धनात्मक पूर्णांक n के लिए,f(n) = n + sum_{r=1 | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(n) = n + \sum_{r=1}^n \frac{16r + (9-4r)n - 3n^2}{4rn + 3n^2}$.हम सामान्य पद को $\frac{(16r + 9n) - (4rn + 3n^2)}{4rn + 3n^2} = \fr

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$4 - \frac{3}{4} \log_e \left(\frac{7}{3}\right)$

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(B) दिया गया है $f(n) = n + \sum_{r=1}^n \frac{16r + (9-4r)n - 3n^2}{4rn + 3n^2}$.हम सामान्य पद को $\frac{(16r + 9n) - (4rn + 3n^2)}{4rn + 3n^2} = \frac{16r + 9n}{4rn + 3n^2} - 1$ के रूप में लिख सकते हैं।अतः,$f(n) = n + \sum_{r=1}^n \left( \frac{16r + 9n}{4rn + 3n^2} - 1 \right) = n + \sum_{r=1}^n \frac{16r + 9n}{4rn + 3n^2} - n = \sum_{r=1}^n \frac{16r + 9n}{4rn + 3n^2}$.अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\sum_{r=1}^n \frac{16(r/n) + 9}{4(r/n) + 3} \cdot \frac{1}{n}$ प्राप्त होता है।जब $n \rightarrow \infty$ होता है,तो यह निश्चित समाकलन $\int_0^1 \frac{16x + 9}{4x + 3} dx$ में बदल जाता है।समाकल्य को $\frac{4(4x + 3) - 3}{4x + 3} = 4 - \frac{3}{4x + 3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।समाकलन करने पर,हमें $[4x - \frac{3}{4} \ln|4x + 3|]_0^1$ प्राप्त होता है।सीमाओं पर मान ज्ञात करने पर: $(4 - \frac{3}{4} \ln 7) - (0 - \frac{3}{4} \ln 3) = 4 - \frac{3}{4} \ln \left(\frac{7}{3}\right)$.

धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$f(n) = n + \sum_{r=1}^n \frac{16r + (9-4r)n - 3n^2}{4rn + 3n^2}$ परिभाषित करें। तो,$\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)$ का मान किसके बराबर है?

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$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{{n^2} + {k^2}}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित कथनों में से:
$(S1): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}(2+4+6+\ldots+2n)=1$
$(S2): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{16}}(1^{15}+2^{15}+3^{15}+\ldots+n^{15})=\frac{1}{16}$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ \frac{1}{n} \sin ^{-1} \frac{1}{n} + \frac{2}{n} \sin ^{-1} \frac{2}{n} + \dots + \frac{n}{n} \sin ^{-1} \frac{n}{n} \right] =$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+4)^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+8)^{3}}}+\cdots +\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{[n+4(n-1)]^{3}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{2 n-1} \frac{n^{2}}{n^{2}+4 r^{2}}$ का मान है:

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