समाकलन int_0^{pi / 2} frac{3 sqrt{cos theta}} | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{3 \sqrt{\cos 	heta}}{(\sqrt{\cos 	heta}+\sqrt{\sin 	heta})^5} d 	heta$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a

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$0.50$

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(D) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{3 \sqrt{\cos 	heta}}{(\sqrt{\cos 	heta}+\sqrt{\sin 	heta})^5} d 	heta$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{3 \sqrt{\sin 	heta}}{(\sqrt{\sin 	heta}+\sqrt{\cos 	heta})^5} d 	heta$. दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{3(\sqrt{\cos 	heta} + \sqrt{\sin 	heta})}{(\sqrt{\cos 	heta}+\sqrt{\sin 	heta})^5} d 	heta = \int_0^{\pi / 2} \frac{3}{(\sqrt{\cos 	heta}+\sqrt{\sin 	heta})^4} d 	heta$. अंश और हर को $\cos^2 	heta$ से विभाजित करने पर: $2I = 3 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec^2 	heta}{(1+\sqrt{	an 	heta})^4} d 	heta$. माना $1+\sqrt{	an 	heta} = t$,तब $\frac{1}{2\sqrt{	an 	heta}} \cdot \sec^2 	heta d 	heta = dt$,अर्थात $\sec^2 	heta d 	heta = 2(t-1) dt$. इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2I = 3 \int_1^{\infty} \frac{2(t-1)}{t^4} dt = 6 \int_1^{\infty} (t^{-3} - t^{-4}) dt$. $2I = 6 \left[ \frac{t^{-2}}{-2} - \frac{t^{-3}}{-3} ight]_1^{\infty} = 6 \left[ 0 - (-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) ight] = 6 \left( \frac{1}{6} ight) = 1$. अतः,$I = 0.50$.

समाकलन $\int_0^{\pi / 2} \frac{3 \sqrt{\cos \theta}}{(\sqrt{\cos \theta}+\sqrt{\sin \theta})^5} d \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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