IIT JEE 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ પાવર $P = \frac{dQ}{dt}$.
ઉષ્માધારિતા $S = \frac{dQ}{dT} = \frac{dQ/dt}{dT/dt} = \frac{P}{dT/dt}$.
આપેલ છે $T(t) = T_0(1 + \beta t^{1/4})$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dT}{dt} = T_0 \cdot \beta \cdot \frac{1}{4} t^{-3/4} = \frac{\beta T_0}{4} t^{-3/4}$.
આ કિંમત $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$S = \frac{P}{(\beta T_0 / 4) t^{-3/4}} = \frac{4P}{\beta T_0} t^{3/4}$.
આપેલ સમીકરણ પરથી,$\beta t^{1/4} = \frac{T(t) - T_0}{T_0}$.
તેથી,$t^{1/4} = \frac{T(t) - T_0}{\beta T_0}$.
બંને બાજુ $3$ ઘાત લેતા:
$t^{3/4} = \left( \frac{T(t) - T_0}{\beta T_0} \right)^3$.
$t^{3/4}$ ની કિંમત $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$S = \frac{4P}{\beta T_0} \cdot \frac{(T(t) - T_0)^3}{\beta^3 T_0^3} = \frac{4P(T(t) - T_0)^3}{\beta^4 T_0^4}$.

(D) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યાના ગોળામાં સમાવિષ્ટ કુલ દળ $M$ છે.
$r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા $m$ દળના કણ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv^2 = 2K$ મળે. આ કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{GMm}{r^2} = \frac{2K}{r} \Rightarrow M = \frac{2Kr}{Gm}$
$dr$ જાડાઈના કવચમાં રહેલું દળ $dM$ શોધવા માટે બંને બાજુ $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$dM = \frac{2K}{Gm} dr$
વળી,કવચનું દળ $dM = \rho(r) \cdot 4 \pi r^2 dr$ છે. $dM$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$4 \pi r^2 \rho(r) dr = \frac{2K}{Gm} dr$
ઘનતા $\rho(r)$ માટે ઉકેલતા:
$\rho(r) = \frac{2K}{4 \pi r^2 Gm} = \frac{K}{2 \pi r^2 Gm}$
કણની સંખ્યા ઘનતા $n(r) = \rho(r) / m$ દ્વારા મળે છે:
$n(r) = \frac{K}{2 \pi r^2 m^2 G}$

(B) $V-T$ આલેખ પરથી:
પ્રક્રિયા $1 \rightarrow 2$: $V$ એ $T$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે અને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $V \propto T$,જેનો અર્થ છે કે દબાણ $P$ અચળ છે (સમદાબી). $P_1 = P_2 = \frac{RT_0}{V_0}$.
પ્રક્રિયા $2 \rightarrow 3$: $V$ અચળ $(2V_0)$ છે,તેથી તે સમકદ છે.
પ્રક્રિયા $3 \rightarrow 4$: $V$ અચળ $(V_0)$ છે,તેથી તે સમકદ છે.
પ્રક્રિયા $4 \rightarrow 1$: $V$ અચળ $(V_0)$ છે,તેથી તે સમકદ છે.
થયેલ કાર્ય $W = P-V$ આલેખમાં ચક્રનું ક્ષેત્રફળ.
$W = (P_{12} - P_{34}) \Delta V = (\frac{RT_0}{V_0} - \frac{RT_0}{2V_0}) (2V_0 - V_0) = \frac{RT_0}{2V_0} \cdot V_0 = \frac{1}{2} RT_0$. વિધાન $(1)$ સાચું છે.
$Q_{1 \rightarrow 2} = n C_p \Delta T = 1 \cdot \frac{5R}{2} \cdot (2T_0 - T_0) = \frac{5}{2} RT_0$.
$Q_{2 \rightarrow 3} = n C_v \Delta T = 1 \cdot \frac{3R}{2} \cdot (T_0 - 2T_0) = -\frac{3}{2} RT_0$. ગુણોત્તર $|Q_{1 \rightarrow 2} / Q_{2 \rightarrow 3}| = 5/3$. વિધાન $(2)$ સાચું છે.
વિધાન $(3)$ ખોટું છે કારણ કે તેમાં સમદાબી પ્રક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે.
$Q_{3 \rightarrow 4} = n C_p \Delta T = 1 \cdot \frac{5R}{2} \cdot (T_0/2 - T_0) = -\frac{5}{4} RT_0$. ગુણોત્તર $|Q_{1 \rightarrow 2} / Q_{3 \rightarrow 4}| = |(5/2) / (-5/4)| = 2$. વિધાન $(4)$ ખોટું છે.

(A) આપેલ છે કે દળ $(M)$ અને કોણીય વેગમાન $(L_{ang} = Mvr)$ પરિમાણરહિત છે,તેથી:
$M = M^0 L^0 T^0$
$L_{ang} = M^1 L^2 T^{-1} = M^0 L^0 T^0$
કારણ કે $M$ પરિમાણરહિત છે,$L^2 T^{-1} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $T = L^2$.
$(1)$ બળ $(F = M L T^{-2})$: $M$ પરિમાણરહિત હોવાથી અને $T = L^2$,$F = L^1 (L^2)^{-2} = L^1 L^{-4} = L^{-3}$. (સાચું)
$(2)$ ઉર્જા $(E = M L^2 T^{-2})$: $E = L^2 (L^2)^{-2} = L^2 L^{-4} = L^{-2}$. (સાચું)
$(3)$ પાવર $(P = E/T = M L^2 T^{-3})$: $P = L^2 (L^2)^{-3} = L^2 L^{-6} = L^{-4}$. (ખોટું)
$(4)$ રેખીય વેગમાન $(p = M L T^{-1})$: $p = L^1 (L^2)^{-1} = L^1 L^{-2} = L^{-1}$. (સાચું)
આમ,વિધાન $(1), (2),$ અને $(4)$ સાચા છે.

(B) કેશનળીમાં પાણીનું સ્તર $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g R}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$T_1$ $(\theta = 0^{\circ})$ માટે: $h_1 = \frac{2 \times 0.075 \times \cos 0^{\circ}}{1000 \times 10 \times 0.2 \times 10^{-3}} = 0.075 \ m = 7.5 \ cm$.
$T_2$ $(\theta = 60^{\circ})$ માટે: $h_2 = \frac{2 \times 0.075 \times \cos 60^{\circ}}{1000 \times 10 \times 0.2 \times 10^{-3}} = 0.0375 \ m = 3.75 \ cm$.
$(1)$ સંપર્કકોણ અલગ હોવાથી,મેનિસ્કસનો આકાર અને તેમાં રહેલા પાણીનું વજન બંને કિસ્સામાં અલગ હશે. તેથી,સુધારો અલગ-અલગ હશે. વિધાન $(1)$ સાચું છે.
$(2)$ કિસ્સા $I$ માં,$T_1$ નીચે છે. પાણી $7.5 \ cm$ સુધી ઉપર ચઢે છે. જો જોડાણ $5 \ cm$ પર હોય,તો પાણી જોડાણ ઓળંગે છે. પરંતુ $T_2$ માં દબાણ સંતુલન માટે ઊંચાઈ $h'$ એવી હોવી જોઈએ કે જેથી $\rho g(5 \times 10^{-2} + h') = \frac{2T \cos 60^{\circ}}{R}$. આનાથી $h' = 3.75 - 5 = -1.25 \ cm$ મળે છે. $h' < 0$ હોવાથી,પાણી $T_2$ માં આગળ વધી શકતું નથી. તે જોડાણ પર જ રહે છે. વિધાન $(2)$ ખોટું છે.
$(3)$ કિસ્સા $I$ માં,જો જોડાણ $8 \ cm$ પર હોય,તો પાણી $T_1$ માં તેની મહત્તમ ઊંચાઈ $7.5 \ cm$ સુધી ચઢે છે. $7.5 \ cm < 8 \ cm$ હોવાથી,તે જોડાણ સુધી પહોંચતું નથી. વિધાન $(3)$ સાચું છે.
$(4)$ કિસ્સા $II$ માં,$T_2$ નીચે છે. પાણી $T_2$ માં તેની મહત્તમ ઊંચાઈ $3.75 \ cm$ સુધી ચઢે છે. $3.75 \ cm < 5 \ cm$ હોવાથી,તે જોડાણ સુધી પહોંચતું નથી. વિધાન $(4)$ સાચું છે.

(C) ધારો કે $T_S$ એ સ્ટીલના તારમાં તણાવ છે અને $T_C$ એ તાંબાના તારમાં તણાવ છે.
ક્ષૈતિજ $(x)$ દિશામાં બળોનું સંતુલન લેતા:
$T_C \cos 30^{\circ} = T_S \cos 60^{\circ}$
$T_C \times \frac{\sqrt{3}}{2} = T_S \times \frac{1}{2}$
$T_S = \sqrt{3} T_C \quad \dots (i)$
શિરોલંબ $(y)$ દિશામાં બળોનું સંતુલન લેતા:
$T_C \sin 30^{\circ} + T_S \sin 60^{\circ} = 100$
$\frac{T_C}{2} + \frac{T_S \sqrt{3}}{2} = 100 \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{T_C}{2} + \frac{(\sqrt{3} T_C) \sqrt{3}}{2} = 100$
$\frac{T_C}{2} + \frac{3 T_C}{2} = 100 \implies 2 T_C = 100 \implies T_C = 50 \ N$
$T_S = \sqrt{3} \times 50 = 50\sqrt{3} \ N$
લંબાઈમાં વધારાનું સૂત્ર $\Delta \ell = \frac{FL}{AY}$ વાપરતા:
$\frac{\Delta \ell_C}{\Delta \ell_S} = \frac{T_C L_C}{A_C Y_C} \times \frac{A_S Y_S}{T_S L_S}$
અહીં $A_C = A_S = 0.5 \ cm^2$,$L_C = \sqrt{3} \ m$,$L_S = 1 \ m$,$Y_C = 1 \times 10^{11} \ N/m^2$,$Y_S = 2 \times 10^{11} \ N/m^2$ છે:
$\frac{\Delta \ell_C}{\Delta \ell_S} = \left( \frac{50 \times \sqrt{3}}{0.5 \times 10^{11}} \right) \times \left( \frac{0.5 \times 2 \times 10^{11}}{50\sqrt{3} \times 1} \right) = \frac{50\sqrt{3}}{50\sqrt{3}} \times \frac{2}{1} = 2$
આમ,ગુણોત્તર $2$ છે.

(C) કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int (\alpha y dx + 2 \alpha x dy)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $\alpha = -1$,તેથી $W = \int (-y dx - 2x dy)$.
$AB$ માર્ગ પર: $y=1, dy=0, x: 0 \to 1$. $W_{AB} = \int_0^1 (-1) dx = -1 \ J$.
$BC$ માર્ગ પર: $x=1, dx=0, y: 1 \to 0.5$. $W_{BC} = \int_1^{0.5} -2(1) dy = -2(0.5 - 1) = 1 \ J$.
$CD$ માર્ગ પર: $y=0.5, dy=0, x: 1 \to 0.5$. $W_{CD} = \int_1^{0.5} -0.5 dx = -0.5(-0.5) = 0.25 \ J$.
$DE$ માર્ગ પર: $x=0.5, dx=0, y: 0.5 \to 0$. $W_{DE} = \int_{0.5}^0 -2(0.5) dy = -1(-0.5) = 0.5 \ J$.
$EF$ માર્ગ પર: $y=0, dy=0, x: 0.5 \to 0$. $W_{EF} = \int_{0.5}^0 0 dx = 0 \ J$.
$FA$ માર્ગ પર: $x=0, dx=0, y: 0 \to 1$. $W_{FA} = \int_0^1 -2(0) dy = 0 \ J$.
કુલ કાર્ય $W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DE} + W_{EF} + W_{FA} = -1 + 1 + 0.25 + 0.5 + 0 + 0 = 0.75 \ J$.

(B) સૌ પ્રથમ,વેગને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો:
$v_{S1} = 108 \times \frac{5}{18} = 30 \ m/s$
$v_O = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \ m/s$
અવલોકનકાર $O$ અને ઉદગમ $S_2$ માટે:
ઉદગમ $S_2$ સ્થિર છે $(v_s = 0)$. અવલોકનકાર $O$ એ તેમને જોડતી રેખા પર $S_2$ તરફ ગતિ કરે છે. તેથી અવલોકનકારનો વેગ $v_o = 10 \ m/s$ છે.
ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $f_2 = f_0 \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 120 \left( \frac{330 + 10}{330} \right) = 120 \left( \frac{340}{330} \right) \approx 123.64 \ Hz$.
અવલોકનકાર $O$ અને ઉદગમ $S_1$ માટે:
$S_1$ અને $S_2$ વચ્ચેનું અંતર $800 \ m$ છે,અને $O$ એ $S_2$ થી $600 \ m$ દૂર છે. અંતર $OS_1 = \sqrt{800^2 + 600^2} = 1000 \ m$.
ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{800}{1000} = 0.8$ અને $\sin \theta = \frac{600}{1000} = 0.6$.
$S_1$ નો $O$ તરફનો વેગ ઘટક $v_{s1} = v_{S1} \cos \theta = 30 \times 0.8 = 24 \ m/s$.
$O$ નો $S_1$ તરફનો વેગ ઘટક $v_{o1} = v_O \sin \theta = 10 \times 0.6 = 6 \ m/s$.
ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $f_1 = f_0 \left( \frac{v + v_{o1}}{v - v_{s1}} \right) = 120 \left( \frac{330 + 6}{330 - 24} \right) = 120 \left( \frac{336}{306} \right) \approx 131.76 \ Hz$.
બીટ આવૃત્તિ $= |f_1 - f_2| = 131.76 - 123.64 = 8.12 \ Hz$.
સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા આશરે $8$ છે.

(C) ધારો કે કેલરીમીટરનું દળ $= m$,કેલરીમીટરની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $= x$,પ્રવાહીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $= s$ અને પ્રવાહીની ગુપ્ત ઉષ્મા $= L$ છે.
જ્યારે $30^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતું $5 \ gm$ પ્રવાહી $110^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા કેલરીમીટરમાં ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે કેલરીમીટર $80^{\circ} C$ સુધી ઠંડુ થાય છે અને પ્રવાહીનું બાષ્પીભવન થાય છે:
$m \cdot x \cdot (110 - 80) = 5 \cdot s \cdot (80 - 30) + 5 \cdot L$
$30 \cdot mx = 250s + 5L$ ... $(i)$
હવે,$80^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા કેલરીમીટરમાં $30^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતું $80 \ gm$ પ્રવાહી ઉમેરવામાં આવે છે અને અંતિમ સંતુલન તાપમાન $50^{\circ} C$ થાય છે:
$m \cdot x \cdot (80 - 50) = 80 \cdot s \cdot (50 - 30)$
$30 \cdot mx = 1600s$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા:
$250s + 5L = 1600s$
$5L = 1350s$
$\frac{L}{s} = \frac{1350}{5} = 270$

(D) મિશ્રણ માટે: $n_1 = 5$ (એકપરમાણ્વિક),$C_{v1} = 3R/2$; $n_2 = 1$ (દ્વિપરમાણ્વિક),$C_{v2} = 5R/2$.
કુલ મોલ $n = 5 + 1 = 6$.
$(C_v)_m = \frac{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}{n_1 + n_2} = \frac{5(3R/2) + 1(5R/2)}{6} = \frac{10R}{6} = \frac{5R}{3}$.
$(C_p)_m = (C_v)_m + R = \frac{5R}{3} + R = \frac{8R}{3}$.
એડિબેટિક અચળાંક $\gamma_m = \frac{(C_p)_m}{(C_v)_m} = \frac{8/3}{5/3} = 1.6$. તેથી,$(4)$ સાચું છે.
એડિબેટિક સંકોચન માટે: $P_0 V_0^{\gamma} = P_f (V_0/4)^{\gamma}$.
$P_f = P_0 (4)^{1.6} = P_0 (2^2)^{1.6} = P_0 (2^{3.2}) = 9.2 P_0$. તેથી,$(1)$ સાચું છે.
$T_f V_f^{\gamma-1} = T_0 V_0^{\gamma-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$T_f = T_0 (V_0 / (V_0/4))^{0.6} = T_0 (4)^{0.6} = T_0 (2^{1.2}) = 2.3 T_0$.
કુલ આંતરિક ઊર્જા $U = n_1 (3/2 RT) + n_2 (5/2 RT) = 5(1.5 RT) + 1(2.5 RT) = 10 RT$.
$U_f = 10 R (2.3 T_0) = 23 RT_0$. તેથી,$(2)$ ખોટું છે.
થયેલ કાર્ય $|W| = |\Delta U| = |n_f C_{vm} T_f - n_i C_{vm} T_i| = |6 \times (5R/6) \times (2.3 T_0 - T_0)| = |5R \times 1.3 T_0| = 6.5 RT_0$. તેથી,$(3)$ ખોટું છે.
સાચા વિધાનો $(1)$ અને $(4)$ છે.

(C) અમે સંપર્કબિંદુને મિજાગરા તરીકે ગણીએ છીએ.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$W_g = \Delta K.E.$
$Mg \left( \frac{L}{2} (1 - \cos 60^{\circ}) \right) = \frac{1}{2} I \omega^2$
$Mg \left( \frac{L}{2} \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{ML^2}{3} \right) \omega^2$
$\frac{MgL}{4} = \frac{ML^2}{6} \omega^2 \Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{3g}{2L}}$ (વિધાન $3$ સાચું છે).
$C.M.$ નો ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ: $a_r = \left( \frac{L}{2} \right) \omega^2 = \frac{L}{2} \cdot \frac{3g}{2L} = \frac{3g}{4}$ (વિધાન $1$ સાચું છે).
સંપર્કબિંદુની આસપાસ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$Mg \left( \frac{L}{2} \sin 60^{\circ} \right) = \left( \frac{ML^2}{3} \right) \alpha$
$\alpha = \frac{3g}{2L} \sin 60^{\circ} = \frac{3g}{2L} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}g}{4L}$ (વિધાન $2$ સાચું છે).
$C.M.$ નો કુલ શિરોલંબ પ્રવેગ: $a_v = a_r \cos 60^{\circ} + a_t \cos 30^{\circ}$
$a_v = \left( \frac{3g}{4} \right) \left( \frac{1}{2} \right) + \left( \alpha \frac{L}{2} \right) \cos 30^{\circ} = \frac{3g}{8} + \left( \frac{3\sqrt{3}g}{4L} \cdot \frac{L}{2} \right) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3g}{8} + \frac{9g}{16} = \frac{15g}{16}$.
શિરોલંબ દિશામાં $F_{net} = Ma_v$ લાગુ પાડતા:
$Mg - N = M \left( \frac{15g}{16} \right) \Rightarrow N = \frac{Mg}{16}$ (વિધાન $4$ સાચું છે).
આમ,વિધાન $1, 3, 4$ સાચા છે.

(A) કણ $L$ અંતર ધરાવતી બે દીવાલો વચ્ચે ગતિ કરે છે. એક રાઉન્ડ ટ્રીપ માટે લાગતો સમય $\Delta t = 2L/v$ છે. પિસ્ટન સાથે અથડામણની આવૃત્તિ $f = 1/\Delta t = v/(2L)$ છે. આમ, વિધાન $(1)$ ખોટું છે કારણ કે તે $v/L$ જણાવે છે.
$V$ ઝડપથી કણ તરફ ગતિ કરતા પિસ્ટન સાથેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, કણનો વેગ $v$ થી બદલાઈને $v + 2V$ થાય છે. ઝડપમાં ફેરફાર $(v + 2V) - v = 2V$ છે. આમ, વિધાન $(2)$ સાચું છે.
પિસ્ટનના નાના સ્થાનાંતર $dL$ માટે, ઝડપમાં ફેરફાર $dv = 2V \times (\text{સમય } dt \text{ માં અથડામણોની સંખ્યા})$ છે. કારણ કે $dt = dL/V$, અથડામણોની સંખ્યા $dt / (2L/v) = (dL/V) \cdot (v/2L) = v dL / (2LV)$ છે.
તેથી, $dv = 2V \cdot (v dL / 2LV) = v dL / L$. આમ, વિધાન $(4)$ ખોટું છે કારણ કે તે $2v dL/L$ જણાવે છે.
$dv/v = dL/L$ નું સંકલન કરતા ($L$ ઘટતું હોવાથી, $dv/v = -dL/L$), આપણને $\ln(v/v_0) = -\ln(L/L_0) = \ln(L_0/L)$ મળે છે, તેથી $vL = v_0 L_0$. જો $L$ એ $L_0/2$ થાય, તો $v = 2v_0$. ગતિ ઊર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2$ એ $\frac{1}{2}m(2v_0)^2 = 4 \times (\frac{1}{2}mv_0^2) = 4 KE_0$ થાય છે. આમ, વિધાન $(3)$ સાચું છે.
સાચા વિધાનો $(2)$ અને $(3)$ છે.

(C) ધારો કે બે લટકતા બ્લોક્સને જોડતી દોરીમાં તણાવ $T$ છે. ગતિશીલ ગરગડી માટે,$2M$ દળના બ્લોક સાથે જોડાયેલી દોરીમાં તણાવ $2T$ છે. $2M$ દળના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ $2T - kx = 2Ma_1$ છે. લટકતી સિસ્ટમ માટે,ગતિશીલ ગરગડીના સંદર્ભમાં $M$ અને $2M$ દળના બ્લોક્સનો સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{rel}$ છે. સમીકરણો $Mg - T = M(a_1 - a_{rel})$ અને $2Mg - T = 2M(a_1 + a_{rel})$ છે. આને ઉકેલતા $T = \frac{4}{3}Mg$ અને $a_{rel} = \frac{g}{3}$ મળે છે. $M$ બ્લોકનો પ્રવેગ $a_2 = a_1 + a_{rel}$ અને $2M$ માટે $a_3 = a_1 - a_{rel}$ છે. આમ,$a_2 - a_1 = a_1 - a_3 = a_{rel} = \frac{g}{3}$. $T$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $2(\frac{4}{3}Mg) - kx = 2Ma_1 \implies a_1 = \frac{4g}{3} - \frac{kx}{2M}$. મહત્તમ વિસ્તરણ $x_0$ પર,$a_1 = 0$,તેથી $x_0 = \frac{8Mg}{3k}$. વિકલ્પ $A$ ખોટો છે. વિકલ્પ $C$ માટે,$a_2 - a_1 = a_{rel}$ અને $a_1 - a_3 = a_{rel}$,તેથી $a_2 - a_1 = a_1 - a_3$ સાચું છે. $x = \frac{x_0}{4}$ પર,$a_1 = \frac{4g}{3} - \frac{k(8Mg/12k)}{2M} = \frac{4g}{3} - \frac{g}{3} = g$. વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(C) $u$ ઝડપ અને $\theta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત માટે,ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ અને સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
પ્રથમ ઉડ્ડયન માટે સરેરાશ વેગ $V_1$ એ સ્થાનાંતર ભાગ્યા સમય છે: $V_1 = \frac{R}{T} = \frac{u_0^2 \sin 2\theta / g}{2u_0 \sin \theta / g} = u_0 \cos \theta$.
સમગ્ર ગતિ માટે,કુલ સ્થાનાંતર $S_{total}$ એ તમામ અવધિઓનો સરવાળો છે: $S_{total} = R_1 + R_2 + R_3 + \dots = R_1 (1 + \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\alpha^4} + \dots) = \frac{R_1}{1 - 1/\alpha^2} = \frac{R_1 \alpha^2}{\alpha^2 - 1}$.
કુલ સમય $T_{total}$ એ તમામ ઉડ્ડયન સમયનો સરવાળો છે: $T_{total} = T_1 + T_2 + T_3 + \dots = T_1 (1 + \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^2} + \dots) = \frac{T_1}{1 - 1/\alpha} = \frac{T_1 \alpha}{\alpha - 1}$.
સમગ્ર ગતિ માટે સરેરાશ વેગ $V_{avg} = \frac{S_{total}}{T_{total}} = \frac{R_1 \alpha^2 / (\alpha^2 - 1)}{T_1 \alpha / (\alpha - 1)} = \frac{R_1}{T_1} \cdot \frac{\alpha^2}{\alpha^2 - 1} \cdot \frac{\alpha - 1}{\alpha} = V_1 \cdot \frac{\alpha}{\alpha + 1}$.
આપેલ છે કે $V_{avg} = 0.8 V_1$,તેથી $\frac{\alpha}{\alpha + 1} = 0.8$.
$\alpha = 0.8 \alpha + 0.8 \implies 0.2 \alpha = 0.8 \implies \alpha = 4$.

(A) મૂળભૂત મોડ માટે,આવૃત્તિ $f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1)$ $T = T_0$ અને $L = L_0$ સાથે,$f_n = \frac{n}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{\mu_n}}$.
તાર $1$ માટે: $f_1 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{\mu}} = f_0 \rightarrow (P)$.
તાર $2$ માટે: $f_2 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{2\mu}} = \frac{f_0}{\sqrt{2}} \rightarrow (R)$.
તાર $3$ માટે: $f_3 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{3\mu}} = \frac{f_0}{\sqrt{3}} \rightarrow (S)$.
તાર $4$ માટે: $f_4 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{4\mu}} = \frac{f_0}{2} \rightarrow (Q)$.
આમ,$I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow S, IV \rightarrow Q$.
$(2)$ બધા તાર માટે $f = f_0$ આપેલ છે.
તાર $1$ માટે: $f_0 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}} = f_0 \Rightarrow T_1 = T_0 \rightarrow (P)$.
તાર $2$ માટે: $f_0 = \frac{3}{2(3L_0/2)} \sqrt{\frac{T_2}{2\mu}} = \frac{1}{L_0} \sqrt{\frac{T_2}{2\mu}} = f_0 \Rightarrow T_2 = T_0/2 \rightarrow (Q)$.
તાર $3$ માટે: $f_0 = \frac{5}{2(5L_0/4)} \sqrt{\frac{T_3}{3\mu}} = \frac{2}{L_0} \sqrt{\frac{T_3}{3\mu}} = f_0 \Rightarrow T_3 = 3T_0/16 \rightarrow (T)$.
તાર $4$ માટે: $f_0 = \frac{14}{2(7L_0/4)} \sqrt{\frac{T_4}{4\mu}} = \frac{4}{L_0} \sqrt{\frac{T_4}{4\mu}} = f_0 \Rightarrow T_4 = T_0/16 \rightarrow (U)$.
આમ,$I \rightarrow P, II \rightarrow Q, III \rightarrow T, IV \rightarrow U$.

(B) $PV$-આકૃતિ પ્રક્રિયા માટે:
$(I)$ થયેલ કાર્ય $W = P_0(2V_0 - V_0) = P_0 V_0 = \frac{1}{3} R T_0 \Rightarrow (Q)$.
$(II)$ $\Delta U = \frac{f}{2} n R \Delta T = \frac{3}{2} (P_3 V_3 - P_1 V_1) = \frac{3}{2} (\frac{3}{2} P_0 \cdot 2 V_0 - P_0 V_0) = \frac{3}{2} (3 P_0 V_0 - P_0 V_0) = 3 P_0 V_0 = R T_0 \Rightarrow (R)$.
$(III)$ $\Delta Q = \Delta U + W = R T_0 + \frac{1}{3} R T_0 = \frac{4}{3} R T_0 \Rightarrow (S)$.
$(IV)$ $1 \rightarrow 2$ માટે,$\Delta Q = \Delta U + W = \frac{3}{2} (P_0 \cdot 2 V_0 - P_0 V_0) + P_0 V_0 = \frac{3}{2} P_0 V_0 + P_0 V_0 = \frac{5}{2} P_0 V_0 = \frac{5}{6} R T_0 \Rightarrow (U)$.
આમ,$(1)$ માટે,સાચી જોડ $I \rightarrow Q, II \rightarrow R, III \rightarrow S, IV \rightarrow U$ છે,જે વિકલ્પ $(3)$ છે.
$TV$-આકૃતિ પ્રક્રિયા માટે:
$(I)$ $W = W_{1 \rightarrow 2} + W_{2 \rightarrow 3} = n R T \ln(V_2/V_1) + 0 = \frac{R T_0}{3} \ln 2 \Rightarrow (P)$.
$(II)$ $\Delta U = \frac{3}{2} R (T_3 - T_1) = \frac{3}{2} R (T_0 - T_0/3) = R T_0 \Rightarrow (R)$.
$(III)$ $\Delta Q = \Delta U + W = R T_0 + \frac{1}{3} R T_0 \ln 2 = \frac{1}{3} R T_0 (3 + \ln 2) \Rightarrow (T)$.
$(IV)$ $1 \rightarrow 2$ (સમતાપી) માટે,$\Delta Q = W = \frac{1}{3} R T_0 \ln 2 \Rightarrow (P)$.
આમ,$(2)$ માટે,સાચી જોડ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow T, IV \rightarrow P$ છે,જે વિકલ્પ $(4)$ છે.

(A) ધારો કે ગોળા પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q$ છે. તેથી,$V_0 = \frac{kQ}{R}$.
જ્યારે $\alpha(4\pi R^2)$ ક્ષેત્રફળનું નાનું છિદ્ર પાડવામાં આવે,ત્યારે દૂર થયેલ વિદ્યુતભાર $q = \alpha Q$ છે.
$(1)$ કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન $(V_c)$ અને કેન્દ્રથી છિદ્ર તરફ $R/2$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર સ્થિતિમાન $(V_p)$:
કોઈપણ બિંદુ પરનું સ્થિતિમાન એ સંપૂર્ણ ગોળાને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાન અને દૂર કરેલા વિદ્યુતભાર (જેને સપાટી પરના ઋણ બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે ગણવામાં આવે છે) ને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$V_c = \frac{kQ}{R} - \frac{kq}{R} = \frac{kQ}{R}(1-\alpha) = V_0(1-\alpha)$.
$V_p = \frac{kQ}{R} - \frac{kq}{R/2} = \frac{kQ}{R} - \frac{2kq}{R} = \frac{kQ}{R}(1-2\alpha) = V_0(1-2\alpha)$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{V_c}{V_p} = \frac{1-\alpha}{1-2\alpha}$. આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
$(2)$ કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E_c)$:
શરૂઆતમાં,$E_c = 0$. વિદ્યુતભાર $q$ દૂર કર્યા પછી,$E_c = \frac{kq}{R^2} = \frac{k(\alpha Q)}{R^2} = \alpha \frac{V_0}{R}$. વિદ્યુતક્ષેત્ર વધે છે.
$(3)$ કેન્દ્રથી $2R$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P'$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર:
શરૂઆતમાં,$E_{P'} = \frac{kQ}{(2R)^2} = \frac{kQ}{4R^2}$.
સપાટી પરથી વિદ્યુતભાર $q$ દૂર કર્યા પછી,છિદ્રને કારણે $P'$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\frac{kq}{R^2}$ છે (કારણ કે $P'$ છિદ્રથી $R$ અંતરે છે).
$E_{P', \text{final}} = \frac{kQ}{4R^2} - \frac{kq}{R^2} = \frac{kQ}{4R^2} - \frac{k(\alpha Q)}{R^2} = \frac{kQ}{4R^2} - \frac{4k\alpha Q}{4R^2} = \frac{kQ}{4R^2}(1-4\alpha)$.
ક્ષેત્રમાં ફેરફાર $\Delta E = \frac{kq}{R^2} = \frac{k(\alpha Q)}{R^2} = \frac{\alpha V_0}{R}$.

(A) કુલ ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ બે શાખાઓ માટેના વ્યક્તિગત ક્ષય અચળાંકોનો સરવાળો છે:
$\lambda = \lambda_1 + \lambda_2 = 4.5 \times 10^{-10} + 0.5 \times 10^{-10} = 5.0 \times 10^{-10} \text{ પ્રતિ વર્ષ}$.
ધારો કે $N_0$ એ ${ }_{19}^{40} K$ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા છે અને $N$ એ $t$ સમયે રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
ઉત્પન્ન થયેલ સ્થિર ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_s = N_0 - N$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્થિર ન્યુક્લિયસ અને રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસનો ગુણોત્તર $99$ છે:
$\frac{N_0 - N}{N} = 99 \Rightarrow \frac{N_0}{N} - 1 = 99 \Rightarrow \frac{N_0}{N} = 100$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ $N = N_0 e^{-\lambda t}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t} = \frac{1}{100} = 10^{-2}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$-\lambda t = \ln(10^{-2}) = -2 \ln 10$.
આપેલ છે $\ln 10 = 2.3$,તેથી $\lambda t = 2 \times 2.3 = 4.6$.
$\lambda = 5 \times 10^{-10} \text{ પ્રતિ વર્ષ}$ મૂકતા:
$(5 \times 10^{-10}) \times t = 4.6 \Rightarrow t = \frac{4.6}{5} \times 10^{10} = 0.92 \times 10^{10} = 9.2 \times 10^9 \text{ વર્ષ}$.
આમ,$t$ નું મૂલ્ય $9.2$ છે.

(D) વિધાન $(3)$ માટે: $t=0$ સમયે,કેપેસિટર્સ શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. પરિપથમાં $5 V$ ની બેટરી અને કુલ અવરોધ $R_{eq} = 30 \Omega + 100 \Omega + 70 \Omega = 200 \Omega$ છે. પ્રવાહ $i = \frac{5 V}{200 \Omega} = 0.025 A = 25 mA$. આમ,$(3)$ સાચું છે.
વિધાન $(4)$ માટે: સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર્સ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. પરિપથ એ $5 V$ ની બેટરી અને શ્રેણીમાં જોડાયેલા $C_1, C_4, C_3$ કેપેસિટર્સનો શ્રેણી લૂપ છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = (1/10 + 1/80 + 1/80)^{-1} = (8/80 + 1/80 + 1/80)^{-1} = 80/10 = 8 \mu F$. વીજભાર $Q = C_{eq} V = 8 \mu F \times 5 V = 40 \mu C$. $C_1$ પરનો વોલ્ટેજ $V_1 = Q/C_1 = 40 \mu C / 10 \mu F = 4 V$. આમ,$(4)$ સાચું છે.
વિધાન $(1)$ માટે: $S_1$ લાંબા સમય સુધી બંધ રહ્યા પછી,$V_P - V_Q = 4 V$ ($C_1$ પરનો સ્થિતિમાન). જ્યારે $S_2$ બંધ થાય છે,ત્યારે આપણે કિર્ચોફના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને પરિપથનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ. સમતુલ્ય અવરોધ અને વોલ્ટેજ સ્ત્રોતોને કારણે તત્કાલીન પ્રવાહ આશરે $0.079 A$ મળે છે,$0.2 A$ નહીં. આમ,$(1)$ ખોટું છે.
વિધાન $(2)$ માટે: ઉપર ગણતરી કર્યા મુજબ,$P$ અને $Q$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $4 V$ છે,$10 V$ નહીં. આમ,$(2)$ ખોટું છે.
તેથી,વિધાન $(3)$ અને $(4)$ સાચા છે.

(D) જ્યારે $n_1 = n_2 = n$ હોય,ત્યારે લેન્સ લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ $f$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા એકલ બહિર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે છે:
$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (n - 1) \frac{2}{R} \implies f = \frac{R}{2(n - 1)}$.
બીજા કિસ્સામાં,લેન્સ સંપર્કમાં રહેલા બે સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સનો બનેલો છે. તેમની કેન્દ્રલંબાઈઓ:
$\frac{1}{f_1} = \frac{n - 1}{R}$ અને $\frac{1}{f_2} = \frac{(n + \Delta n) - 1}{R}$ છે.
સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f' = f + \Delta f$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{f + \Delta f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{n - 1 + n + \Delta n - 1}{R} = \frac{2n + \Delta n - 2}{R} = \frac{2(n - 1) + \Delta n}{R}$.
$f = \frac{R}{2(n - 1)}$ હોવાથી,$\frac{1}{f} = \frac{2(n - 1)}{R}$ થાય.
$\frac{1}{f + \Delta f} = \frac{1}{f} + \frac{\Delta n}{R} = \frac{1}{f} \left( 1 + \frac{\Delta n}{R} \cdot f \right) = \frac{1}{f} \left( 1 + \frac{\Delta n}{R} \cdot \frac{R}{2(n - 1)} \right) = \frac{1}{f} \left( 1 + \frac{\Delta n}{2(n - 1)} \right)$.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1 + x)^{-1} \approx 1 - x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f + \Delta f} \approx \frac{1}{f} \left( 1 - \frac{\Delta n}{2(n - 1)} \right) \implies f + \Delta f \approx f \left( 1 - \frac{\Delta n}{2(n - 1)} \right) = f - f \frac{\Delta n}{2(n - 1)}$.
આમ,$\frac{\Delta f}{f} = -\frac{\Delta n}{2(n - 1)}$.
$(1)$ સંબંધ $\frac{\Delta f}{f} = -\frac{\Delta n}{2(n - 1)}$ એ $R$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી તે અંતર્ગોળ સપાટીઓ માટે પણ સાચું છે. સાચું.
$(2)$ $1 < n < 2$ હોવાથી,$n - 1 < 1$,તેથી $2(n - 1) < 2$. આમ,$\left| \frac{\Delta f}{f} \right| = \frac{1}{2(n - 1)} \left| \frac{\Delta n}{n} \right| \cdot n = \frac{n}{2(n - 1)} \left| \frac{\Delta n}{n} \right|$. $n < 2$ માટે $\frac{n}{2(n - 1)} > 1$ હોવાથી,$\left| \frac{\Delta f}{f} \right| > \left| \frac{\Delta n}{n} \right|$. ખોટું.
$(3)$ $|\Delta f| = f \cdot \frac{\Delta n}{2(n - 1)} = 20 \cdot \frac{10^{-3}}{2(1.5 - 1)} = 20 \cdot \frac{10^{-3}}{1} = 0.02 \text{ cm}$. વિધાનમાં $0.04 \text{ cm}$ આપેલ છે. ખોટું.
$(4)$ જો $\frac{\Delta n}{n} < 0$ હોય,તો $\Delta n < 0$ થાય. $\frac{\Delta f}{f} = -\frac{\Delta n}{2(n - 1)}$ પરથી,જો $\Delta n < 0$ હોય,તો $\frac{\Delta f}{f} > 0$ થાય. સાચું.

(C) $1$. વોલ્ટમીટર રૂપાંતરણ: $V = I_g(R_g + R_v) \implies 0.1 = 2 \times 10^{-6} (10 + R_v) \implies 50000 = 10 + R_v \implies R_v = 49990 \Omega \approx 50 \text{ k} \Omega$. વિધાન $(2)$ સાચું છે.
$2$. એમીટર રૂપાંતરણ: $I_g R_g = (I - I_g) R_s \implies 2 \times 10^{-6} \times 10 = (10^{-3} - 2 \times 10^{-6}) R_s \implies 2 \times 10^{-5} = 0.998 \times 10^{-3} R_s \implies R_s \approx 0.02004 \Omega$. એમીટરનો કુલ અવરોધ $R_A = \frac{R_g R_s}{R_g + R_s} \approx R_s \approx 0.02 \Omega$. વિધાન $(3)$ સાચું છે.
$3$. માપેલ અવરોધ: વોલ્ટમીટર $R = 1000 \Omega$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R \times R_v}{R + R_v} = \frac{1000 \times 50000}{1000 + 50000} = \frac{50000}{51} \approx 980.39 \Omega$. વિધાન $(1)$ ખોટું છે.
$4$. આંતરિક અવરોધ: પરિપથમાં શ્રેણીમાં $r = 5 \Omega$ આંતરિક અવરોધ ઉમેરવાથી એમીટરમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $x$ ઘટે છે,પરંતુ $R$ નું માપેલ મૂલ્ય વોલ્ટમીટર પરના વોલ્ટેજ અને અવરોધ $R$ માંથી વહેતા પ્રવાહના ગુણોત્તર દ્વારા નક્કી થાય છે. વોલ્ટમીટર $R$ સાથે સમાંતર હોવાથી,માપેલ અવરોધ $R_{eq} \approx 980.39 \Omega$ રહે છે,જે કોષના આંતરિક અવરોધથી સ્વતંત્ર છે. વિધાન $(4)$ ખોટું છે.
આમ,વિધાન $(2)$ અને $(3)$ સાચા છે.

(A-D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ છે.
$(1)$ જો $h > 2R$ અને $r > R$ હોય,તો આખું કવચ નળાકારની અંદર આવી જાય છે. તેથી,$q_{enclosed} = Q$ અને $\Phi = \frac{Q}{\epsilon_0}$. આ સાચું છે.
$(2)$ જો $h < \frac{8R}{5}$ અને $r = \frac{3R}{5}$ હોય,તો નળાકાર સંપૂર્ણપણે કવચની અંદર છે. વિદ્યુતભારીત કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,નળાકારમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi = 0$ થાય. આ સાચું છે.
$(3)$ જો $h > 2R$ અને $r = \frac{4R}{5}$ હોય,તો નળાકાર કવચને છેદે છે. ફ્લક્સ એ નળાકાર દ્વારા કપાતા ગોળાકાર ભાગો (caps) પરના વિદ્યુતભારને કારણે છે. કેપ દ્વારા બનતો ઘનકોણ $\Omega = 2\pi(1 - \cos\theta)$ છે,જ્યાં $\sin\theta = \frac{r}{R} = \frac{4}{5}$,તેથી $\cos\theta = \frac{3}{5}$. એક કેપમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \times \Omega = \frac{Q}{2\epsilon_0}(1 - \cos\theta)$ છે. બે કેપ માટે,$\Phi = \frac{Q}{\epsilon_0}(1 - \frac{3}{5}) = \frac{2Q}{5\epsilon_0}$. આ સાચું છે.
$(4)$ જો $h > 2R$ અને $r = \frac{3R}{5}$ હોય,તો $\sin\theta = \frac{3}{5}$,તેથી $\cos\theta = \frac{4}{5}$. ફ્લક્સ $\Phi = \frac{Q}{\epsilon_0}(1 - \frac{4}{5}) = \frac{Q}{5\epsilon_0}$ થાય. આ સાચું છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B(y) \hat{k}$ માં $V_0 \hat{i}$ વેગથી ગતિ કરતા તારના નાના ખંડ $dy$ માં ઉદ્ભવતું ગતિકીય $EMF$ $d\phi = |(\vec{V} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $\vec{V} \times \vec{B} = V_0 B(y) (\hat{i} \times \hat{k}) = -V_0 B(y) \hat{j}$ થાય છે.
તારના છેડાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta \phi = \int_0^L V_0 B(y) dy$ છે.
$B(y) = B_0 \left(1 + \left(\frac{y}{L}\right)^\beta\right)$ મુકતા:
$\Delta \phi = \int_0^L V_0 B_0 \left(1 + \frac{y^\beta}{L^\beta}\right) dy = V_0 B_0 \left[ y + \frac{y^{\beta+1}}{L^\beta (\beta+1)} \right]_0^L = V_0 B_0 \left( L + \frac{L}{\beta+1} \right) = V_0 B_0 L \left( 1 + \frac{1}{\beta+1} \right)$.
$(1)$ સંકલન ફક્ત $y$ ના વિસ્તાર ($0$ થી $L$) પર આધાર રાખે છે. તેથી,સમાન $y$-વિસ્તાર ધરાવતા કોઈપણ આકારના તાર માટે $\Delta \phi$ સમાન રહેશે. વિધાન $(1)$ સાચું છે.
$(2)$ $\Delta \phi = V_0 B_0 L \left( \frac{\beta+2}{\beta+1} \right)$ હોવાથી,તે $L$ ($y$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ) ના સમપ્રમાણમાં છે. વિધાન $(2)$ સાચું છે.
$(3)$ $\beta = 0$ માટે,$\Delta \phi = V_0 B_0 L (1 + 1) = 2 V_0 B_0 L$. વિધાન $(3)$ ખોટું છે.
$(4)$ $\beta = 2$ માટે,$\Delta \phi = V_0 B_0 L (1 + 1/3) = \frac{4}{3} V_0 B_0 L$. વિધાન $(4)$ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(1), (2)$ અને $(4)$ છે.

(B) મહત્તમ સમય માટે,પ્રકાશના કિરણનું તમામ સપાટીઓ પર લઘુત્તમ ખૂણે એટલે કે ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવું જોઈએ.
$TIR$ માટે,શરત $n_1 \sin \theta_c = n_2$ છે.
$\sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.44}{1.5} = 0.96$.
માધ્યમ $n_1$ માં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{n_1} = \frac{3 \times 10^8}{1.5} = 2 \times 10^8 \ m/s$ છે.
ધારો કે માળખાની અંદર કિરણની કુલ પથ લંબાઈ $D$ છે. આડી લંબાઈ $L$ છે. કિરણ સપાટીના લંબ સાથે $\theta_c$ ખૂણો બનાવે છે. તેથી,પથનો આડો ઘટક $D \sin \theta_c = L$ થાય.
આમ,$D = \frac{L}{\sin \theta_c}$.
લાગતો સમય $t_{total} = \frac{D}{v} = \frac{L}{v \sin \theta_c} = \frac{9.6}{(2 \times 10^8) \times 0.96} = \frac{9.6}{1.92 \times 10^8} = 5 \times 10^{-8} \ s = 50 \times 10^{-9} \ s$.
તેથી,$t = 50$.

(A) કેપેસીટર એ $N$ કેપેસીટરોના શ્રેણી જોડાણ સમાન છે,જેમાં દરેકની જાડાઈ $\delta = dx = \frac{d}{N}$ છે.
મોટા $N$ માટે,આપણે આને સતત ફેરફાર તરીકે ગણી શકીએ જ્યાં $\frac{m}{N} = \frac{x}{d}$ થાય.
ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K(x) = K(1 + \frac{x}{d})$ મુજબ બદલાય છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા કેપેસીટરો માટે સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ એ $\frac{1}{C_{eq}} = \int \frac{dx}{C(x)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C(x) = \frac{K(x) \varepsilon_0 A}{dx}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{C_{eq}} = \int_0^d \frac{dx}{\frac{K(1 + x/d) \varepsilon_0 A}{dx}} = \frac{1}{K \varepsilon_0 A} \int_0^d \frac{dx}{1 + x/d}$.
ધારો કે $u = 1 + \frac{x}{d}$,તો $du = \frac{dx}{d}$,તેથી $dx = d \cdot du$.
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{d}{K \varepsilon_0 A} \int_1^2 \frac{du}{u} = \frac{d}{K \varepsilon_0 A} [\ln u]_1^2 = \frac{d}{K \varepsilon_0 A} \ln 2$.
આમ,$C_{eq} = \frac{K \varepsilon_0 A}{d \ln 2}$.
આને આપેલ સમીકરણ $C = \alpha \left( \frac{K \varepsilon_0 A}{d \ln 2} \right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1$ મળે છે.

(C) ડાયપોલ $\vec{p}$ ને કારણે બિંદુ $(r, \theta)$ પર સ્થિતિમાન $V_{dip} = \frac{k \vec{p} \cdot \hat{r}}{r^2}$ છે. સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E_0 \hat{i}$ માં,સ્થિતિમાન $V_{ext} = -E_0 x = -E_0 r \cos \theta$ છે.
વર્તુળ સમસ્થિતિમાન હોવા માટે,કુલ સ્થિતિમાન $V = V_{dip} + V_{ext}$ એ $\theta$ થી સ્વતંત્ર હોવું જોઈએ.
આપેલ છે $\vec{p} = \frac{p_0}{\sqrt{2}}(\hat{i}+\hat{j})$,ધ્રુવીય યામમાં $\vec{p} = p_0(\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j})$.
$R$ અંતરે સ્થિતિમાન $V = \frac{k p_0 \cos(\theta - 45^\circ)}{R^2} - E_0 R \cos \theta$ છે.
$\cos(\theta - 45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \theta + \sin \theta)$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$V = \left(\frac{k p_0}{R^2 \sqrt{2}} - E_0 R\right) \cos \theta + \left(\frac{k p_0}{R^2 \sqrt{2}}\right) \sin \theta$.
વર્તુળ સમસ્થિતિમાન સપાટી છે જ્યાં ચોખ્ખા વિદ્યુતક્ષેત્રનો સ્પર્શકીય ઘટક શૂન્ય છે.
બિંદુ $B$ પર,ડાયપોલ ક્ષેત્રનો સ્પર્શકીય ઘટક સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રના સ્પર્શકીય ઘટકને રદ કરે છે. આનાથી $R = \left(\frac{p_0}{4 \pi \varepsilon_0 E_0}\right)^{1/3}$ મળે છે. તેથી,વિધાન $(1)$ સાચું છે.
કુલ ક્ષેત્ર એ સમાન ક્ષેત્ર અને અસમાન ડાયપોલ ક્ષેત્રનો સદિશ સરવાળો હોવાથી,વર્તુળ પર મૂલ્ય બદલાય છે. તેથી,$(2)$ ખોટું છે.
બિંદુ $B$ પર,ત્રિજ્યાવર્તી અને સ્પર્શકીય ઘટકો રદ થાય છે,પરિણામે $\vec{E}_B = 0$ મળે છે. તેથી,$(4)$ સાચું છે.

(B) એક ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર: $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$ છે. અહીં,$n_1 = 1.5$,$n_2 = 1$,અને $u = -H = -30 \text{ cm} = -0.3 \text{ m}$.
નળાકાર $I$ (સપાટ સપાટી) માટે: $R = \infty$. આભાસી ઊંડાઈ $H_1 = \frac{H}{n} = \frac{30}{1.5} = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$.
નળાકાર $II$ (બહિર્ગોળ સપાટી) માટે: $R = +3 \text{ m}$.
$\frac{1}{v} - \frac{1.5}{-0.3} = \frac{1 - 1.5}{3} \implies \frac{1}{v} + 5 = -\frac{0.5}{3} = -\frac{1}{6} \implies \frac{1}{v} = -\frac{1}{6} - 5 = -\frac{31}{6} \implies v = -\frac{6}{31} \text{ m} \approx -19.35 \text{ cm}$.
તેથી,$H_2 = 19.35 \text{ cm}$.
નળાકાર $III$ (અંતર્ગોળ સપાટી) માટે: $R = -3 \text{ m}$.
$\frac{1}{v} - \frac{1.5}{-0.3} = \frac{1 - 1.5}{-3} \implies \frac{1}{v} + 5 = \frac{-0.5}{-3} = \frac{1}{6} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{6} - 5 = -\frac{29}{6} \implies v = -\frac{6}{29} \text{ m} \approx -20.69 \text{ cm}$.
તેથી,$H_3 = 20.69 \text{ cm}$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $H_3 (20.69 \text{ cm}) > H_1 (20 \text{ cm}) > H_2 (19.35 \text{ cm})$.
તેથી,વિધાન $(1)$ અને $(4)$ સાચા છે.

(C) આપેલ છે: $d = 0.3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-4} \text{ m}$,$D = 1 \text{ m}$,$\lambda = 600 \text{ nm} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$,$PO = y = 11 \text{ mm} = 1.1 \times 10^{-2} \text{ m}$.
$(1)$ બિંદુ $O$ $(y=0)$ પર,પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \alpha \approx d \alpha$ (નાના $\alpha$ માટે).
આપેલ છે $\alpha = \frac{0.36}{\pi} \text{ ડિગ્રી} = \frac{0.36}{\pi} \times \frac{\pi}{180} \text{ રેડિયન} = 2 \times 10^{-3} \text{ rad}$.
પથ તફાવત $\Delta x = (3 \times 10^{-4} \text{ m}) \times (2 \times 10^{-3} \text{ rad}) = 6 \times 10^{-7} \text{ m} = \lambda$.
કારણ કે $\Delta x = n\lambda$ ($n=1$ માટે),તેથી $O$ પર સહાયક વ્યતિકરણ થાય છે. આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
$(2)$ ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta = \frac{D\lambda}{d}$. આ ફક્ત $D, \lambda, d$ પર આધાર રાખે છે,$\alpha$ પર નહીં. આમ,વિધાન $(B)$ ખોટું છે.
$(3)$ બિંદુ $P$ પર,પથ તફાવત $\Delta x_P = d \sin \alpha + \frac{dy}{D} \approx d \alpha + \frac{dy}{D}$.
$\Delta x_P = (3 \times 10^{-4})(2 \times 10^{-3}) + \frac{(3 \times 10^{-4})(1.1 \times 10^{-2})}{1} = 6 \times 10^{-7} + 33 \times 10^{-7} = 39 \times 10^{-7} \text{ m}$.
$\frac{\Delta x_P}{\lambda} = \frac{39 \times 10^{-7}}{6 \times 10^{-7}} = 6.5$. તે અર્ધ-પૂર્ણાંક ગુણક હોવાથી,$P$ પર વિનાશક વ્યતિકરણ થાય છે. આમ,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(4)$ $\alpha = 0$ માટે,$\Delta x_P = \frac{dy}{D} = 33 \times 10^{-7} \text{ m}$.
$\frac{\Delta x_P}{\lambda} = \frac{33 \times 10^{-7}}{6 \times 10^{-7}} = 5.5$. તે અર્ધ-પૂર્ણાંક ગુણક હોવાથી,$P$ પર વિનાશક વ્યતિકરણ થાય છે. આમ,વિધાન $(D)$ ખોટું છે.

(A) શોષાયેલા ફોટોનની ઊર્જા $\frac{hc}{\lambda_{a}} = 13.6 \text{ eV} \times \left[\frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2}\right] = 13.6 \times \frac{15}{16} \text{ eV} \quad (i)$
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $\frac{hc}{\lambda_{e}} = 13.6 \text{ eV} \times \left[\frac{1}{m^2} - \frac{1}{4^2}\right] \quad (ii)$
આપેલ છે $\frac{\lambda_{a}}{\lambda_{e}} = \frac{1}{5}$,તેથી $(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\lambda_{a}}{\lambda_{e}} = \frac{13.6 \times [1 - 1/16]}{13.6 \times [1/m^2 - 1/16]} = 5 \implies \frac{15/16}{1/m^2 - 1/16} = 5$
$\frac{15}{16} = 5 \times \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{16}\right) \implies \frac{3}{16} = \frac{1}{m^2} - \frac{1}{16}$
$\frac{1}{m^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \implies m = 2$. આમ,વિકલ્પ $(3)$ સાચો છે.
ગતિઊર્જા માટે,$K_n \propto \frac{1}{n^2}$. તેથી,$\frac{K_{m=2}}{K_{n=1}} = \frac{1/2^2}{1/1^2} = \frac{1}{4}$. આમ,વિકલ્પ $(2)$ સાચો છે.
વેગમાન માટે,$\Delta p = \frac{h}{\lambda}$. તેથી,$\frac{\Delta p_{a}}{\Delta p_{e}} = \frac{\lambda_{e}}{\lambda_{a}} = 5$. આમ,વિકલ્પ $(4)$ ખોટો છે.

(B) એક ફોટોનનું વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda}$ છે.
જ્યારે $N$ ફોટોન અરીસા પર અથડાય છે,ત્યારે અરીસાને મળતું કુલ વેગમાન $\Delta P = 2Np = \frac{2Nh}{\lambda}$ થાય છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,આ આઘાત $M$ દળ ધરાવતા અરીસાને સરેરાશ સ્થાન પર $v$ જેટલો પ્રારંભિક વેગ આપે છે:
$Mv = \frac{2Nh}{\lambda} \implies v = \frac{2Nh}{M\lambda}$.
સ્પ્રિંગ-દળ સિસ્ટમ માટે,મહત્તમ સ્થાનાંતર (કંપવિસ્તાર $A$) અને સરેરાશ સ્થાન પરના વેગ વચ્ચેનો સંબંધ $v = A\Omega$ છે.
આપેલ છે કે $A = 1 \mu\text{m} = 10^{-6} \text{ m}$,તેથી:
$A\Omega = \frac{2Nh}{M\lambda} \implies N = \frac{M\Omega A \lambda}{2h}$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{4 \pi M \Omega}{h} = 10^{24} \text{ m}^{-2}$ પરથી,$\frac{M\Omega}{h} = \frac{10^{24}}{4\pi} \text{ m}^{-2}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$N = \left( \frac{10^{24}}{4\pi} \right) \times \frac{A \lambda}{2} = \frac{10^{24}}{4\pi} \times \frac{10^{-6} \times 8\pi \times 10^{-6}}{2}$.
$N = \frac{10^{24} \times 8\pi \times 10^{-12}}{8\pi} = 10^{12}$.
તેથી $N = x \times 10^{12}$ હોવાથી,$x = 1$ મળે છે.

(A) તાર $PQ$ માં પ્રેરિત ગતિકીય ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $\varepsilon = Blv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $B = 1 \text{ T}$,$l = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$,$v = 1 \text{ cm/s} = 0.01 \text{ m/s}$.
$\varepsilon = 1 \times 0.1 \times 0.01 = 10^{-3} \text{ V}$.
જ્યારે કી $S$ બંધ થાય છે,ત્યારે પરિપથ અચળ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત $\varepsilon$ સાથે $LR$ શ્રેણી પરિપથ તરીકે કાર્ય કરે છે. સમય $t$ પર પ્રવાહ $i$ નું સૂત્ર $i(t) = \frac{\varepsilon}{R} (1 - e^{-Rt/L})$ છે.
આપેલ છે: $R = 1 \ \Omega$,$L = 1 \text{ mH} = 10^{-3} \text{ H}$,$t = 1 \text{ ms} = 10^{-3} \text{ s}$.
કિંમતો મૂકતા:
$i = \frac{10^{-3}}{1} (1 - e^{-(1 \times 10^{-3}) / 10^{-3}})$
$i = 10^{-3} (1 - e^{-1})$
$e^{-1} = 0.37$ નો ઉપયોગ કરતા:
$i = 10^{-3} (1 - 0.37) = 10^{-3} (0.63) = 0.63 \times 10^{-3} \text{ A}$.
આને $x \times 10^{-3} \text{ A}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 0.63$ મળે છે.

(C) બીજી સપાટી પર તમામ $\theta \leq 60^{\circ}$ માટે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થાય તે માટે,પ્રિઝમની અંદરના ન્યૂનતમ આપાતકોણ પર શરત સંતોષાવી જોઈએ.
ધારો કે પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r_1$ છે અને બીજી સપાટી પર આપાતકોણ $r_2$ છે.
પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,$r_1 + r_2 = A = 75^{\circ}$.
બીજી સપાટી પર $TIR$ માટે,આપાતકોણ $r_2$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ,જ્યાં $\sin C = \frac{n}{n_0}$.
જેમ $\theta$ ઘટે છે,તેમ $r_1$ ઘટે છે,અને પરિણામે $r_2 = 75^{\circ} - r_1$ વધે છે.
$TIR$ માટેની શરત $\theta = 60^{\circ}$ પર સીમાંત સ્થિતિમાં છે.
$\theta = 60^{\circ}$ પર,પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ: $1 \cdot \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \cdot \sin r_1 \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin r_1 \Rightarrow r_1 = 30^{\circ}$.
તેથી,$r_2 = 75^{\circ} - 30^{\circ} = 45^{\circ}$.
આ સપાટી પર $TIR$ માટે,$r_2 \geq C$,તેથી $45^{\circ} \geq C$,જેનો અર્થ છે કે $\sin 45^{\circ} \geq \sin C = \frac{n}{\sqrt{3}}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} \geq \frac{n}{\sqrt{3}} \Rightarrow n \leq \sqrt{\frac{3}{2}}$.
સીમાંત મૂલ્ય $n = \sqrt{1.5}$ છે,તેથી $n^2 = 1.5$.

(D) $\alpha$-ક્ષયની પ્રક્રિયા: ${ }_{88}^{226} Ra \longrightarrow { }_{86}^{222} Rn^* + { }_{2}^{4} \alpha$.
મુક્ત થતી કુલ ઊર્જા ($Q$-મૂલ્ય): $Q = (M_{Ra} - M_{Rn} - M_{\alpha}) \times 931 \text{ MeV}$.
$Q = (226.005 - 222.000 - 4.000) \times 931 \text{ MeV} = 0.005 \times 931 \text{ MeV} = 4.655 \text{ MeV}$.
ધારો કે $E_{\gamma}$ એ ${ }_{86}^{222} Rn$ ન્યુક્લિયસની ઉત્તેજિત ઊર્જા છે. ગતિઊર્જા માટે ઉપલબ્ધ ઊર્જા $(Q - E_{\gamma})$ છે.
$\alpha$ કણની ગતિઊર્જા $K_{\alpha} = \frac{A-4}{A} (Q - E_{\gamma})$,જ્યાં $A = 226$.
$4.44 \text{ MeV} = \frac{222}{226} (4.655 - E_{\gamma})$.
$4.655 - E_{\gamma} = 4.44 \times \frac{226}{222} \approx 4.520 \text{ MeV}$.
$E_{\gamma} = 4.655 - 4.520 = 0.135 \text{ MeV}$.
$1 \text{ MeV} = 1000 \text{ keV}$ હોવાથી,$E_{\gamma} = 0.135 \times 1000 = 135 \text{ keV}$.

(A) આપેલ છે કે લેન્સ $75 cm$ પર,ઓબ્જેક્ટ પિન $45 cm$ પર અને ઈમેજ પિન $135 cm$ પર છે.
વસ્તુ અંતર $u = 45 - 75 = -30 cm$.
પ્રતિબિંબ અંતર $v = 135 - 75 = 60 cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{f} = \frac{1}{60} - \frac{1}{-30} = \frac{1+2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$. તેથી,$f = 20 cm$.
સ્કેલ પર $1 cm$ માં $4$ વિભાગો છે,તેથી લઘુત્તમ માપશક્તિ (least count) $\Delta u = \Delta v = \frac{1}{4} cm = 0.25 cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નું વિકલન કરતા,$-\frac{df}{f^2} = -\frac{dv}{v^2} + \frac{du}{u^2}$ મળે.
મહત્તમ ત્રુટિ માટે મૂલ્યો લેતા: $\frac{df}{f^2} = \frac{dv}{v^2} + \frac{du}{u^2}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{df}{f} \times 100 = f \left[ \frac{dv}{v^2} + \frac{du}{u^2} \right] \times 100$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{df}{f} \times 100 = 20 \left[ \frac{0.25}{60^2} + \frac{0.25}{30^2} \right] \times 100$.
$= 20 \times 0.25 \left[ \frac{1}{3600} + \frac{1}{900} \right] \times 100 = 5 \left[ \frac{1+4}{3600} \right] \times 100 = 5 \times \frac{5}{36} = \frac{25}{36} \% \approx 0.69 \%$.