IIT JEE 2014 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है $\quad\quad(1)$
दिए गए वृत्त:
$C_1: x^2+y^2-2x-15=0$ $\quad\quad(2)$
$C_2: x^2+y^2-1=0$ $\quad\quad(3)$
चूंकि $(1)$,$(2)$ के लंबकोणीय है,$-2g = c-15$ $\quad\quad(4)$
चूंकि $(1)$,$(3)$ के लंबकोणीय है,$c=1$ प्राप्त होता है।
$(4)$ में $c=1$ रखने पर,$-2g = -14 \Rightarrow g=7$ प्राप्त होता है।
वृत्त $(0,1)$ से गुजरता है:
$1+2f+1=0 \Rightarrow f=-1$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+14x-2y+1=0$ है।
केंद्र $(-7,1)$ है और त्रिज्या $7$ है।
अतः,$(B)$ और $(C)$ सही हैं।

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 1}\left\{\frac{-a x+\sin (x-1)+a}{x+\sin (x-1)-1}\right\}^{\frac{1-x}{1-\sqrt{x}}}$.
चूंकि $\frac{1-x}{1-\sqrt{x}} = 1+\sqrt{x}$,सीमा $\lim _{x \rightarrow 1}\left\{\frac{-a(x-1)+\sin(x-1)}{(x-1)+\sin(x-1)}\right\}^{1+\sqrt{x}} = \frac{1}{4}$ हो जाती है।
$x-1 = h$ रखने पर,जैसे $x \rightarrow 1$,$h \rightarrow 0$. व्यंजक $\lim _{h \rightarrow 0}\left\{\frac{-ah+\sin h}{h+\sin h}\right\}^{1+\sqrt{1+h}} = \frac{1}{4}$ बन जाता है।
अंश और हर को $h$ से विभाजित करने पर,$\lim _{h \rightarrow 0}\left\{\frac{-a+\frac{\sin h}{h}}{1+\frac{\sin h}{h}}\right\}^{1+\sqrt{1+h}} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
$h=0$ रखने पर,$\left(\frac{1-a}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
इससे $\frac{1-a}{2} = \frac{1}{2}$ या $\frac{1-a}{2} = -\frac{1}{2}$ मिलता है।
यदि $\frac{1-a}{2} = \frac{1}{2}$,तो $a=0$. यदि $\frac{1-a}{2} = -\frac{1}{2}$,तो $a=2$.
$a=2$ के लिए आधार ऋणात्मक हो जाता है,इसलिए $a=0$ सही उत्तर है।

(C) मान लीजिए $P(x, y)$ प्रथम चतुर्थांश में एक बिंदु है,इसलिए $x > 0$ और $y > 0$ है।
दूरियाँ $d_1(P) = \frac{|x-y|}{\sqrt{2}}$ और $d_2(P) = \frac{|x+y|}{\sqrt{2}}$ हैं।
दी गई शर्त $2 \leq \frac{|x-y|}{\sqrt{2}} + \frac{|x+y|}{\sqrt{2}} \leq 4$ है,जो $2\sqrt{2} \leq |x-y| + |x+y| \leq 4\sqrt{2}$ में सरल हो जाती है।
स्थिति $1$: $x \geq y$. तो $|x-y| + |x+y| = (x-y) + (x+y) = 2x$.
अतः,$2\sqrt{2} \leq 2x \leq 4\sqrt{2} \implies \sqrt{2} \leq x \leq 2\sqrt{2}$. चूंकि $x \geq y > 0$,यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में एक आयत है।
स्थिति $2$: $y > x$. तो $|x-y| + |x+y| = (y-x) + (x+y) = 2y$.
अतः,$2\sqrt{2} \leq 2y \leq 4\sqrt{2} \implies \sqrt{2} \leq y \leq 2\sqrt{2}$. चूंकि $y > x > 0$,यह क्षेत्र भी एक आयत है।
क्षेत्र $R$ इन दो आयतों का संघ है,जो एक $L$-आकार का क्षेत्र बनाता है।
क्षेत्रफल $2\sqrt{2}$ भुजा वाले बड़े वर्ग और $\sqrt{2}$ भुजा वाले छोटे वर्ग के क्षेत्रफल का अंतर है।
क्षेत्रफल $= (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2 = 8 - 2 = 6$.

(D) हमें दिया गया है $n_1 < n_2 < n_3 < n_4 < n_5$ जहाँ $n_i \in \mathbb{Z}^+$ और $\sum_{i=1}^5 n_i = 20$ है।
$20$ को $5$ भिन्न धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में लिखने के सभी संभव तरीके इस प्रकार हैं:
$(1, 2, 3, 4, 10), (1, 2, 3, 5, 9), (1, 2, 3, 6, 8), (1, 2, 4, 5, 8), (1, 2, 4, 6, 7), (1, 3, 4, 5, 7), (2, 3, 4, 5, 6)$.
कुल $7$ ऐसी व्यवस्थाएं संभव हैं।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $b = ar$ और $c = ar^2$ लें,जहाँ $r$ एक पूर्णांक है क्योंकि $\frac{b}{a} = r$ एक पूर्णांक है।
$a, b, c$ का समांतर माध्य $\frac{a+b+c}{3} = b+2$ है।
$b = ar$ और $c = ar^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{a + ar + ar^2}{3} = ar + 2$ प्राप्त होता है।
$3$ से गुणा करने पर,$a + ar + ar^2 = 3ar + 6$,जो सरल होकर $a + ar^2 = 2ar + 6$ हो जाता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a(1 - 2r + r^2) = 6$,या $a(r-1)^2 = 6$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $r$ पूर्णांक हैं,$(r-1)^2$ को $6$ का गुणनखंड होना चाहिए। $6$ के पूर्ण वर्ग गुणनखंड $1$ हैं। इसलिए,$(r-1)^2 = 1$,जिसका अर्थ है $r-1 = 1$ (क्योंकि $a, b, c$ के धनात्मक पूर्णांक होने के लिए $r$ को धनात्मक होना चाहिए),इसलिए $r = 2$ है।
$a(r-1)^2 = 6$ में $r = 2$ रखने पर,$a(1)^2 = 6$,इसलिए $a = 6$ प्राप्त होता है।
अब,$a = 6$ के लिए $\frac{a^2+a-14}{a+1}$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\frac{6^2 + 6 - 14}{6 + 1} = \frac{36 + 6 - 14}{7} = \frac{28}{7} = 4$.

(C) $n$ बिंदुओं को जोड़कर बनने वाले कुल रेखाखंडों की संख्या $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ है।
आसन्न बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंडों की संख्या (जो $n$-भुजा वाले बहुभुज की भुजाएँ बनाते हैं) $n$ है।
गैर-आसन्न बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंडों की संख्या (जो बहुभुज के विकर्ण हैं) $\binom{n}{2} - n$ है।
प्रश्न के अनुसार,नीले रेखाखंडों (आसन्न) की संख्या लाल रेखाखंडों (गैर-आसन्न) की संख्या के बराबर है:
$n = \binom{n}{2} - n$
$2n = \frac{n(n-1)}{2}$
$4n = n^2 - n$
$n^2 - 5n = 0$
$n(n - 5) = 0$
चूंकि $n \geq 2$ है,इसलिए $n = 5$ है।

(D) माना $p(x) = ax^2 + c$ जहाँ $a, c \in \mathbb{R}$ है। चूँकि मूल शुद्ध काल्पनिक हैं,माना वे $\pm i k$ $(k \neq 0)$ हैं।
तब $p(ik) = a(ik)^2 + c = -ak^2 + c = 0$,जिसका अर्थ है $c = ak^2$.
अतः,$p(x) = a(x^2 + k^2)$.
अब,$p(p(x)) = 0$ पर विचार करें,जिसका अर्थ है $p(x) = \pm ik$.
$a(x^2 + k^2) = ik$ या $a(x^2 + k^2) = -ik$.
$x^2 + k^2 = \pm \frac{ik}{a}$.
$x^2 = -k^2 \pm \frac{ik}{a}$.
चूँकि $k^2$ वास्तविक है और $\pm \frac{ik}{a}$ शुद्ध काल्पनिक है,इसलिए $x^2$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है जिसका काल्पनिक भाग शून्य नहीं है।
अतः,$x$ वास्तविक नहीं हो सकता (क्योंकि $x^2$ वास्तविक होता) और $x$ शुद्ध काल्पनिक नहीं हो सकता (क्योंकि $x^2$ वास्तविक होता)।
इस प्रकार,मूल न तो वास्तविक हैं और न ही शुद्ध काल्पनिक। सही विकल्प $(D)$ है।

(A) माना $B$ एक लड़का है और $G$ एक लड़की है। कुल $3$ लड़के और $2$ लड़कियाँ हैं। $5$ लोगों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $5! = 120$ हैं।
माना $i$-वीं लड़की के आगे $b_i$ लड़के और $g_i$ लड़कियाँ हैं। शर्त के अनुसार $b_i \ge g_i + 1$ दोनों लड़कियों के लिए होना चाहिए।
यदि लड़कियों के स्थान $x_1$ और $x_2$ हैं जहाँ $1 \le x_1 < x_2 \le 5$ है।
पहली लड़की के लिए $x_1 - 1 \ge 0 + 1 \implies x_1 \ge 2$।
दूसरी लड़की के लिए $x_2 - 2 \ge 1 + 1 \implies x_2 \ge 4$।
संभावित स्थान $(x_1, x_2)$ हैं: $(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)$।
ये सभी $5$ स्थितियाँ शर्त को पूरा करती हैं।
कुल अनुकूल व्यवस्थाएँ = $5 \times (3! \times 2!) = 60$।
प्रायिकता = $\frac{60}{120} = \frac{1}{2}$।

(C) मान लीजिए कार्ड $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5, C_6$ हैं और लिफाफे $E_1, E_2, E_3, E_4, E_5, E_6$ हैं।
दिया गया है कि $C_1, E_2$ में है।
हमें $C_2, C_3, C_4, C_5, C_6$ को $E_1, E_3, E_4, E_5, E_6$ में इस प्रकार रखना है कि $i \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ के लिए $C_i, E_i$ में न हो।
स्थिति $1$: $C_2, E_1$ में है।
तब हमें $C_3, C_4, C_5, C_6$ को $E_3, E_4, E_5, E_6$ में इस प्रकार रखना है कि कोई भी कार्ड $C_i, E_i$ में न हो। यह $4$ वस्तुओं का विन्यास (derangement) है,$D_4 = 4!(\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}) = 9$।
स्थिति $2$: $C_2, E_1$ में नहीं है।
हमें $5$ कार्ड $C_2, C_3, C_4, C_5, C_6$ को $E_1, E_3, E_4, E_5, E_6$ में इस प्रकार रखना है कि $C_2 \neq E_1, C_3 \neq E_3, C_4 \neq E_4, C_5 \neq E_5, C_6 \neq E_6$ हो। यह $5$ वस्तुओं का विन्यास है,$D_5 = 44$।
कुल तरीके = $9 + 44 = 53$।

(B) माना कि दो भुजाएँ $a$ और $b$ हैं। दिया है $a+b=x$ और $ab=y$.
दिया है $x^2-c^2=y$,$x=a+b$ और $y=ab$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $(a+b)^2-c^2=ab$.
$a^2+b^2+2ab-c^2=ab \implies a^2+b^2-c^2=-ab$.
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{-ab}{2ab} = -\frac{1}{2}$.
अतः,$C = 120^\circ$ या $\frac{2\pi}{3}$.
अंतःत्रिज्या $r$ और परिवृत्त त्रिज्या $R$ का अनुपात $\frac{r}{R} = \frac{4\Delta^2}{sabc}$ है।
$\frac{r}{R} = \frac{a^2b^2 \sin^2 C}{(\frac{a+b+c}{2})abc} = \frac{y^2 \cdot (3/4)}{(\frac{x+c}{2})abc} = \frac{3y^2}{2(x+c)abc} = \frac{3y^2}{2(x+c)yc} = \frac{3y}{2c(x+c)}$.

(D) परवलय $y^2=8x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{2}{m}$ है।
वृत्त $x^2+y^2=2$ के लिए,केंद्र $(0,0)$ से रेखा $mx-y+\frac{2}{m}=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{2}$ के बराबर होनी चाहिए।
$\left|\frac{2/m}{\sqrt{m^2+1}}\right|=\sqrt{2}$ $\Rightarrow m^2=1$ $\Rightarrow m=\pm 1$.
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ $y=x+2$ और $y=-x-2$ हैं।
वृत्त पर स्पर्श बिंदु $P=(-1, 1)$ और $Q=(-1, -1)$ हैं।
परवलय पर स्पर्श बिंदु $R=(2, 4)$ और $S=(2, -4)$ हैं।
चतुर्भुज $PQRS$ एक समलंब चतुर्भुज है।
$PQ = 2$,$RS = 8$ और ऊँचाई $h = 3$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}(2+8) \times 3 = 15$.

(C) हमें $(1+x^2)^4(1+x^3)^7(1+x^4)^{12}$ के विस्तार में $x^{11}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
यह $2a + 3b + 4c = 11$ समीकरण के अऋणात्मक पूर्णांक हलों को खोजने के समान है,जहाँ $0 \le a \le 4$,$0 \le b \le 7$,और $0 \le c \le 12$ है।
संभावित $(a, b, c)$ के संयोजन:
$1$. यदि $b=1$ है,तो $2a + 4c = 8 \implies a + 2c = 4$। संभावित $(a, c)$ मान $(4, 0), (2, 1), (0, 2)$ हैं।
$2$. यदि $b=3$ है,तो $2a + 4c = 2 \implies a + 2c = 1$। संभावित $(a, c)$ मान $(1, 0)$ है।
द्विपद प्रमेय $\binom{n}{r}$ का उपयोग करके गुणांकों की गणना:
- $(a, b, c) = (4, 1, 0)$ के लिए: $\binom{4}{4} \times \binom{7}{1} \times \binom{12}{0} = 7$।
- $(a, b, c) = (2, 1, 1)$ के लिए: $\binom{4}{2} \times \binom{7}{1} \times \binom{12}{1} = 504$।
- $(a, b, c) = (0, 1, 2)$ के लिए: $\binom{4}{0} \times \binom{7}{1} \times \binom{12}{2} = 462$।
- $(a, b, c) = (1, 3, 0)$ के लिए: $\binom{4}{1} \times \binom{7}{3} \times \binom{12}{0} = 140$।
योग: $7 + 504 + 462 + 140 = 1113$।

(D) दिया गया समीकरण: $\sin x + 2 \sin 2x - \sin 3x = 3$.
सर्वसमिका $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ का उपयोग करने पर:
$\sin x + 4 \sin x \cos x - (3 \sin x - 4 \sin^3 x) = 3$.
$-2 \sin x + 4 \sin x \cos x + 4 \sin^3 x = 3$.
$x \in (0, \pi)$ के लिए,$f(x) = \sin x + 2 \sin 2x - \sin 3x$ का अधिकतम मान $3$ से कम है।
अतः,इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

(D,B) $1.$ चूँकि $PQ$ एक नाभीय जीवा है,$t \cdot t' = -1$,इसलिए $t' = -\frac{1}{t}$।
$PK$ की ढाल $m_{PK} = \frac{2at - 0}{at^2 - 2a} = \frac{2at}{a(t^2-2)} = \frac{2t}{t^2-2}$ है।
$QR$ की ढाल $m_{QR} = \frac{2ar - 2at'}{ar^2 - at'^2} = \frac{2a(r-t')}{a(r-t')(r+t')} = \frac{2}{r+t'}$ है।
चूँकि $QR \parallel PK$,$m_{QR} = m_{PK} \implies \frac{2}{r+t'} = \frac{2t}{t^2-2}$।
$r+t' = \frac{t^2-2}{t} = t - \frac{2}{t}$।
$t' = -\frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r - \frac{1}{t} = t - \frac{2}{t} \implies r = t - \frac{1}{t} = \frac{t^2-1}{t}$ प्राप्त होता है।
अतः,$1$ के लिए सही विकल्प $(D)$ है।
$2.$ $P(at^2, 2at)$ पर स्पर्शरेखा $ty = x + at^2$ है।
$S(as^2, 2as)$ पर अभिलंब $y = -sx + 2as + as^3$ है,या $y + sx = 2as + as^3$।
दिया गया है कि $st = 1$,इसलिए $s = \frac{1}{t}$।
अभिलंब का समीकरण $y + \frac{1}{t}x = 2a(\frac{1}{t}) + a(\frac{1}{t^3}) = \frac{2at^2+a}{t^3}$ हो जाता है।
$ty + x = \frac{2at^2+a}{t^2}$।
हमारे पास निकाय है:
$ty - x = at^2$
$ty + x = \frac{2at^2+a}{t^2}$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2ty = at^2 + \frac{2at^2+a}{t^2} = \frac{at^4 + 2at^2 + a}{t^2} = \frac{a(t^2+1)^2}{t^2}$।
$y = \frac{a(t^2+1)^2}{2t^3}$।
अतः,$2$ के लिए सही विकल्प $(B)$ है।

(C) $(P)$ चूँकि $z_k = e^{i(2k\pi/10)}$,हमारे पास $z_k \cdot z_j = e^{i(2(k+j)\pi/10)} = 1$ है यदि $k+j = 10$ हो। किसी भी $k \in \{1, \ldots, 9\}$ के लिए,हम $j = 10-k \in \{1, \ldots, 9\}$ चुन सकते हैं। अतः,यह कथन सत्य है $(1)$.
$(Q)$ समीकरण $z_1 \cdot z = z_k$ सम्मिश्र संख्याओं में एक रैखिक समीकरण है,जिसका हमेशा एक हल $z = z_k / z_1$ होता है। अतः,यह कथन असत्य है $(2)$.
$(R)$ $z_1, z_2, \ldots, z_9$ समीकरण $\frac{z^{10}-1}{z-1} = 0$ के मूल हैं। अतः,$z^{10}-1 = (z-1)(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_9)$। $(z-1)$ से विभाजित करने पर,हमें $1+z+z^2+\ldots+z^9 = (z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_9)$ प्राप्त होता है। $z=1$ रखने पर,हमें $10 = (1-z_1)(1-z_2)\ldots(1-z_9)$ प्राप्त होता है। मापांक लेने पर,$|1-z_1||1-z_2|\ldots|1-z_9| = 10$। अतः,व्यंजक का मान $10/10 = 1$ है $(3)$.
$(S)$ $z^{10}-1=0$ के सभी मूलों का योग $1 + z_1 + z_2 + \ldots + z_9 = 0$ है। अतः,$\sum_{k=1}^9 z_k = -1$। वास्तविक भाग लेने पर,$\sum_{k=1}^9 \cos(2k\pi/10) = -1$। तब $1 - (-1) = 2$ $(4)$.
अतः,सही मिलान $P-1, Q-2, R-3, S-4$ है।

(C) सबसे पहले,हम $x = a$ और $x = b$ पर $g(x)$ की सांतत्यता की जाँच करते हैं।
$x = a$ पर: $\lim_{x \rightarrow a^-} g(x) = 0$ और $\lim_{x \rightarrow a^+} g(x) = \int_a^a f(t) dt = 0$. चूँकि $g(a) = 0$,इसलिए $g(x)$ बिंदु $x = a$ पर सतत है।
$x = b$ पर: $\lim_{x \rightarrow b^-} g(x) = \int_a^b f(t) dt$ और $\lim_{x \rightarrow b^+} g(x) = \int_a^b f(t) dt$. चूँकि $g(b) = \int_a^b f(t) dt$,इसलिए $g(x)$ बिंदु $x = b$ पर सतत है।
अतः,$g(x)$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत है।
अब,$g'(x) = \begin{cases} 0 & x < a \\ f(x) & a < x < b \\ 0 & x > b \end{cases}$ का उपयोग करके अवकलनीयता की जाँच करते हैं।
$x = a$ पर: $g'(a^-) = 0$ और $g'(a^+) = f(a)$. चूँकि $f(a) \in [1, \infty)$,इसलिए $f(a) \neq 0$,अतः $g'(a^-) \neq g'(a^+)$. इस प्रकार,$g(x)$ बिंदु $x = a$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = b$ पर: $g'(b^-) = f(b)$ और $g'(b^+) = 0$. चूँकि $f(b) \in [1, \infty)$,इसलिए $f(b) \neq 0$,अतः $g'(b^-) \neq g'(b^+)$. इस प्रकार,$g(x)$ बिंदु $x = b$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$g(x)$ बिंदु $a$ और $b$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

(D) माना $\max \{f(x): x \in [0, 1] \} = \max \{g(x): x \in [0, 1] \} = \lambda$ है।
चूँकि $f$ और $g$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत हैं,इसलिए ऐसे $a, b \in [0, 1]$ मौजूद हैं कि $f(a) = \lambda$ और $g(b) = \lambda$ हो।
$h(x) = f(x) - g(x)$ को परिभाषित करें।
तब $h(a) = f(a) - g(a) = \lambda - g(a) \ge 0$ और $h(b) = f(b) - g(b) = f(b) - \lambda \le 0$ होगा।
मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,एक ऐसा $c \in [0, 1]$ मौजूद है कि $h(c) = 0$ हो,जिसका अर्थ है $f(c) = g(c)$।
विकल्प $(A)$ के लिए: $(f(c))^2 + 3f(c) = (g(c))^2 + 3g(c)$। चूँकि $f(c) = g(c)$ है,इसलिए यह सत्य है।
विकल्प $(D)$ के लिए: $(f(c))^2 = (g(c))^2$। चूँकि $f(c) = g(c)$ है,इसलिए यह सत्य है।
विकल्प $(B)$ और $(C)$ के लिए,$f(x) = g(x) = \lambda$ लें जहाँ $\lambda \neq 0$ है। तब $(B)$ का रूप $\lambda^2 + \lambda = \lambda^2 + 3\lambda$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\lambda = 3\lambda$,या $\lambda = 0$,जो $\lambda \neq 0$ का विरोधाभास है। इसी प्रकार $(C)$ के लिए भी।
अतः,$(A)$ और $(D)$ सही हैं।

(B) मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$ जहाँ $a, b, c \in \mathbb{Z}$ है।
$(A)$ पहला स्तंभ $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ है और दूसरी पंक्ति का परिवर्त $\begin{bmatrix} b \\ c \end{bmatrix}$ है। यदि वे समान हैं,तो $a=b$ और $b=c$,इसलिए $a=b=c$ है। तब $M = \begin{bmatrix} a & a \\ a & a \end{bmatrix}$,जिसका सारणिक $|M| = a^2 - a^2 = 0$ है। अतः,$M$ व्युत्क्रमणीय नहीं है। $(A)$ गलत है।
$(B)$ दूसरी पंक्ति $[b, c]$ है और पहले स्तंभ का परिवर्त $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ है। यदि वे समान हैं,तो $b=a$ और $c=b$,इसलिए $a=b=c$ है। यह $(A)$ के समान आव्यूह देता है,जो व्युत्क्रमणीय नहीं है। $(B)$ गलत है।
$(C)$ यदि $M$ एक विकर्ण आव्यूह है,तो $M = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & c \end{bmatrix}$ है। सारणिक $|M| = ac$ है। चूँकि $a, c \neq 0$,इसलिए $|M| \neq 0$ है। अतः,$M$ व्युत्क्रमणीय है। $(C)$ सही है।
$(D)$ $M$ का सारणिक $|M| = ac - b^2$ है। $M$ के व्युत्क्रमणीय होने के लिए $|M| \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $ac - b^2 \neq 0$,या $ac \neq b^2$ है। चूँकि $b$ एक पूर्णांक है,$b^2$ एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए,यदि $ac$ किसी पूर्णांक का पूर्ण वर्ग नहीं है,तो $ac \neq b^2$ सुनिश्चित है। $(D)$ सही है।
अतः,$(C, D)$ सही हैं।

(A, B, C) दिया गया है कि $|\vec{x}| = |\vec{y}| = |\vec{z}| = \sqrt{2}$ और प्रत्येक जोड़े के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
अतः,$\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{z} = \vec{z} \cdot \vec{x} = |\vec{x}||\vec{y}| \cos(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 1$.
चूंकि $\vec{a}$,$\vec{x}$ और $\vec{y} \times \vec{z}$ के लंबवत है,$\vec{a}$,$\vec{x} \times (\vec{y} \times \vec{z})$ के समानांतर है।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{x} \times (\vec{y} \times \vec{z}) = (\vec{x} \cdot \vec{z})\vec{y} - (\vec{x} \cdot \vec{y})\vec{z} = 1\vec{y} - 1\vec{z} = \vec{y} - \vec{z}$.
अतः,$\vec{a} = \lambda(\vec{y} - \vec{z})$.
तब $\vec{a} \cdot \vec{y} = \lambda(\vec{y} \cdot \vec{y} - \vec{z} \cdot \vec{y}) = \lambda(2 - 1) = \lambda$. इस प्रकार,$\vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{y})(\vec{y} - \vec{z})$,जो $(B)$ है।
इसी प्रकार,$\vec{b}$,$\vec{y}$ और $\vec{z} \times \vec{x}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{b}$,$\vec{y} \times (\vec{z} \times \vec{x}) = (\vec{y} \cdot \vec{x})\vec{z} - (\vec{y} \cdot \vec{z})\vec{x} = 1\vec{z} - 1\vec{x} = \vec{z} - \vec{x}$ के समानांतर है।
अतः,$\vec{b} = \mu(\vec{z} - \vec{x})$.
तब $\vec{b} \cdot \vec{z} = \mu(\vec{z} \cdot \vec{z} - \vec{x} \cdot \vec{z}) = \mu(2 - 1) = \mu$. इस प्रकार,$\vec{b} = (\vec{b} \cdot \vec{z})(\vec{z} - \vec{x})$,जो $(A)$ है।
अब,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \lambda \mu (\vec{y} - \vec{z}) \cdot (\vec{z} - \vec{x}) = \lambda \mu (\vec{y} \cdot \vec{z} - \vec{y} \cdot \vec{x} - \vec{z} \cdot \vec{z} + \vec{z} \cdot \vec{x}) = \lambda \mu (1 - 1 - 2 + 1) = -\lambda \mu = -(\vec{a} \cdot \vec{y})(\vec{b} \cdot \vec{z})$,जो $(C)$ है।

(C) पहली रेखा $L_1: \frac{x}{1} = \frac{y}{1}, z=1$ है। $L_1$ पर कोई बिंदु $Q$ $(\alpha, \alpha, 1)$ है।
$PQ$ के दिक अनुपात $(\alpha-\lambda, \alpha-\lambda, 1-\lambda)$ हैं।
चूंकि $PQ$,$L_1$ (दिश सदिश $(1, 1, 0)$) के लंबवत है,इसलिए $(\alpha-\lambda)(1) + (\alpha-\lambda)(1) + (1-\lambda)(0) = 0$,जिससे $2(\alpha-\lambda) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha = \lambda$.
इस प्रकार,$Q = (\lambda, \lambda, 1)$ और सदिश $\vec{PQ} = (0, 0, 1-\lambda)$ है।
दूसरी रेखा $L_2: \frac{x}{-1} = \frac{y}{1}, z=-1$ है। $L_2$ पर कोई बिंदु $R$ $(-\beta, \beta, -1)$ है।
$PR$ के दिक अनुपात $(-\beta-\lambda, \beta-\lambda, -1-\lambda)$ हैं।
चूंकि $PR$,$L_2$ (दिश सदिश $(-1, 1, 0)$) के लंबवत है,इसलिए $(-\beta-\lambda)(-1) + (\beta-\lambda)(1) + (-1-\lambda)(0) = 0$,जिससे $\beta+\lambda+\beta-\lambda = 0$ प्राप्त होता है,अतः $2\beta = 0$,यानी $\beta = 0$.
इस प्रकार,$R = (0, 0, -1)$ और सदिश $\vec{PR} = (-\lambda, -\lambda, -1-\lambda)$ है।
दिया गया है कि $\angle QPR = 90^\circ$,इसलिए $\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 0$.
$(0)(-\lambda) + (0)(-\lambda) + (1-\lambda)(-1-\lambda) = 0$.
$-(1-\lambda)(1+\lambda) = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm 1$.
यदि $\lambda = 1$ है,तो $P = (1, 1, 1)$,जो $L_1$ पर स्थित है,इसलिए $PQ$ अद्वितीय रूप से परिभाषित नहीं है। अतः,$\lambda = -1$ ही एकमात्र समाधान है।

(C) दिया गया है कि $MN = NM$ और $M^2 = N^4$ है।
इसका अर्थ है $M^2 - N^4 = 0$,जिसे $(M - N^2)(M + N^2) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है क्योंकि $M$ और $N$ क्रमविनिमेय हैं।
चूंकि $M \neq N^2$,आव्यूह $(M - N^2)$ आवश्यक रूप से शून्य आव्यूह नहीं है,लेकिन गुणनफल $(M - N^2)(M + N^2) = 0$ यह दर्शाता है कि गुणनफल का सारणिक शून्य है:
$|M - N^2| \cdot |M + N^2| = 0$।
दिए गए तर्क के अनुसार,किसी भी स्थिति में $|M + N^2| = 0$ है।
अब,व्यंजक $M^2 + MN^2 = M(M + N^2)$ पर विचार करें।
इसका सारणिक $|M^2 + MN^2| = |M| \cdot |M + N^2| = |M| \cdot 0 = 0$ है।
अतः,$(A)$ सही है।
चूंकि $(M^2 + MN^2)$ का सारणिक $0$ है,इसलिए आव्यूह $(M^2 + MN^2)$ अव्युत्क्रमणीय (singular) है।
इसलिए,एक शून्येतर आव्यूह $U$ मौजूद है जिससे $(M^2 + MN^2)U = 0$ (क्योंकि $|A| = 0$ होने पर रैखिक समीकरणों के निकाय $AX = 0$ के शून्येतर हल होते हैं)।
अतः,$(B)$ सही है।
$(C)$ गलत है क्योंकि सारणिक $0$ है।
$(D)$ गलत है क्योंकि एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए,$AU = 0$ का अर्थ यह नहीं है कि $U = 0$ (शून्येतर हल मौजूद होते हैं)।
इसलिए,सही विकल्प $(A)$ और $(B)$ हैं।

(A) दिया गया है $f(x)=\int_{1 / x}^x e^{-\left(t+\frac{1}{t}\right)} \frac{d t}{t}$.
लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए:
$f^{\prime}(x) = e^{-\left(x+\frac{1}{x}\right)} \cdot \frac{1}{x} - e^{-\left(\frac{1}{x}+x\right)} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{2 e^{-\left(x+\frac{1}{x}\right)}}{x}$.
$(A)$ $x \in [1, \infty)$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$,अतः $f(x)$ वर्धमान फलन है। अतः $(A)$ सही है।
$(B)$ $x \in (0, 1)$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$,अतः $f(x)$ वर्धमान फलन है। अतः $(B)$ गलत है।
$(C)$ $f(1/x) = \int_{x}^{1/x} e^{-\left(t+\frac{1}{t}\right)} \frac{dt}{t}$. $t = 1/u$ रखने पर,$f(1/x) = -f(x)$. अतः $f(x) + f(1/x) = 0$. अतः $(C)$ सही है।
$(D)$ $g(x) = f(2^x)$ लेने पर,$g(-x) = f(2^{-x}) = -f(2^x) = -g(x)$. अतः $f(2^x)$ एक विषम फलन है। अतः $(D)$ सही है।
सही विकल्प $(A, C, D)$ है।

(A, C) चरण $1$: विषम/सम फलन की जाँच करें।
$f(-x) = (\log(\sec(-x) + \tan(-x)))^3 = (\log(\sec x - \tan x))^3$.
चूंकि $\sec x - \tan x = \frac{1}{\sec x + \tan x}$,इसलिए $\log(\sec x - \tan x) = \log((\sec x + \tan x)^{-1}) = -\log(\sec x + \tan x)$.
अतः,$f(-x) = (-\log(\sec x + \tan x))^3 = -(\log(\sec x + \tan x))^3 = -f(x)$.
इसलिए,$f(x)$ एक विषम फलन है।
चरण $2$: एकैकी फलन की जाँच करें।
$f'(x) = 3(\log(\sec x + \tan x))^2 \cdot \frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot (\sec x \tan x + \sec^2 x) = 3(\log(\sec x + \tan x))^2 \cdot \sec x$.
चूंकि $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए $\sec x > 0$ है और $(\log(\sec x + \tan x))^2 \ge 0$ है,इसलिए $f'(x) \ge 0$ है। फलन निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह एक एकैकी फलन है।
चरण $3$: आच्छादक फलन की जाँच करें।
जैसे $x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-$,$\sec x + \tan x \rightarrow \infty$,इसलिए $f(x) \rightarrow \infty$.
जैसे $x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^+$,$\sec x + \tan x \rightarrow 0^+$,इसलिए $\log(\sec x + \tan x) \rightarrow -\infty$,और $f(x) \rightarrow -\infty$.
चूंकि परिसर $(-\infty, \infty) = \mathbb{R}$ है,इसलिए फलन आच्छादक है।
निष्कर्ष: $f(x)$ एक विषम फलन और आच्छादक फलन है।

(A) दिया गया है $f(x) = x^5 - 5x + a$.
वास्तविक मूलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम फलन $g(x) = x^5 - 5x$ का विश्लेषण करते हैं,जहाँ $f(x) = g(x) + a = 0$,जिसका अर्थ है $g(x) = -a$.
सबसे पहले,$g'(x) = 0$ रखकर $g(x)$ के क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें:
$g'(x) = 5x^4 - 5 = 5(x^4 - 1) = 5(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 5(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0$.
क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = -1$ हैं।
स्थानीय अधिकतम मान $g(-1) = (-1)^5 - 5(-1) = -1 + 5 = 4$ है।
स्थानीय न्यूनतम मान $g(1) = (1)^5 - 5(1) = 1 - 5 = -4$ है।
$f(x) = 0$ के लिए,हमें $g(x) = -a$ की आवश्यकता है।
$1$. यदि $-a > 4$ (अर्थात $a < -4$),तो रेखा $y = -a$ स्थानीय अधिकतम मान से ऊपर है,इसलिए केवल $1$ वास्तविक मूल है।
$2$. यदि $-a < -4$ (अर्थात $a > 4$),तो रेखा $y = -a$ स्थानीय न्यूनतम मान से नीचे है,इसलिए केवल $1$ वास्तविक मूल है।
$3$. यदि $-4 < -a < 4$ (अर्थात $-4 < a < 4$),तो रेखा $y = -a$ ग्राफ को $3$ बिंदुओं पर काटती है,इसलिए $3$ वास्तविक मूल हैं।
अतः,$(B)$ सही है ($a > 4$ का अर्थ है $1$ मूल) और $(D)$ सही है ($-4 < a < 4$ का अर्थ है $3$ मूल)।

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $(y-x^5)^2=x(1+x^2)^2$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2(y-x^5)(\frac{dy}{dx}-5x^4) = (1+x^2)^2 + x \cdot 2(1+x^2)(2x)$
$2(y-x^5)(\frac{dy}{dx}-5x^4) = (1+x^2)^2 + 4x^2(1+x^2)$
बिंदु $(1,3)$ को समीकरण में रखने पर:
$2(3-1^5)(\frac{dy}{dx}-5(1)^4) = (1+1^2)^2 + 4(1)^2(1+1^2)$
$2(3-1)(\frac{dy}{dx}-5) = (2)^2 + 4(2)$
$2(2)(\frac{dy}{dx}-5) = 4 + 8$
$4(\frac{dy}{dx}-5) = 12$
$\frac{dy}{dx}-5 = 3$
$\frac{dy}{dx} = 8$
अतः,बिंदु $(1,3)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $8$ है।

(B) फलन $f(x) = \cos^{-1}(\cos x)$ एक $2\pi$ आवर्तकाल वाला आवर्ती फलन है।
अंतराल $[0, 4\pi]$ में,$f(x)$ का ग्राफ दो त्रिकोणीय तरंगों से बना है।
विशेष रूप से,$x \in [0, \pi]$ के लिए $f(x) = x$,$x \in [\pi, 2\pi]$ के लिए $f(x) = 2\pi - x$,$x \in [2\pi, 3\pi]$ के लिए $f(x) = x - 2\pi$,और $x \in [3\pi, 4\pi]$ के लिए $f(x) = 4\pi - x$ है।
हमें $f(x)$ और रेखा $y = 1 - \frac{x}{10}$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करनी है।
$x = 0$ पर,$f(0) = 0$ और $y = 1$ है।
$x = \pi \approx 3.14$ पर,$f(\pi) = \pi \approx 3.14$ और $y = 1 - 0.314 = 0.686$ है।
$x = 2\pi \approx 6.28$ पर,$f(2\pi) = 0$ और $y = 1 - 0.628 = 0.372$ है।
$x = 3\pi \approx 9.42$ पर,$f(3\pi) = \pi \approx 3.14$ और $y = 1 - 0.942 = 0.058$ है।
$x = 4\pi \approx 12.56$ पर,$f(4\pi) = 0$ और $y = 1 - 1.256 = -0.256$ है।
ग्राफ का अवलोकन करने पर,रेखा $y = 1 - \frac{x}{10}$ अंतराल $[0, 4\pi]$ में $f(x)$ के ग्राफ को $3$ अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है।
अतः,बिंदुओं की संख्या $3$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = |x| + 1$ और $g(x) = x^2 + 1$।
$x \leq 0$ के लिए,$f(x) = -x + 1$ और $g(x) = x^2 + 1$। हम $h(x) = \max\{-x+1, x^2+1\}$ परिभाषित करते हैं।
चूंकि $x \in [-1, 0]$ के लिए $x^2+1 \geq -x+1$ है (क्योंकि $x^2+x \geq 0$),इसलिए $x \in [-1, 0]$ के लिए $h(x) = x^2+1$ और $x < -1$ के लिए $h(x) = -x+1$ है।
$x > 0$ के लिए,$f(x) = x + 1$ और $g(x) = x^2 + 1$। हम $h(x) = \min\{x+1, x^2+1\}$ परिभाषित करते हैं।
चूंकि $x \in [0, 1]$ के लिए $x^2+1 \leq x+1$ है (क्योंकि $x^2-x \leq 0$),इसलिए $x \in [0, 1]$ के लिए $h(x) = x^2+1$ और $x > 1$ के लिए $h(x) = x+1$ है।
अतः,$h(x) = \begin{cases} -x+1 & x < -1 \\ x^2+1 & -1 \leq x \leq 1 \\ x+1 & x > 1 \end{cases}$।
अवकलनीयता की जाँच करने पर:
$x = -1$ पर: $h(-1) = 2$। बायां अवकलज $-1$ है,दायां अवकलज $2(-1) = -2$ है। अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर: $h(1) = 2$। बायां अवकलज $2(1) = 2$ है,दायां अवकलज $1$ है। अवकलनीय नहीं है।
$x = 0$ पर: $h(0) = 1$। बायां अवकलज $2(0) = 0$ है,दायां अवकलज $2(0) = 0$ है। अवकलनीय है।
अवकलनीय न होने वाले बिंदुओं की संख्या $2$ है।

(B) माना $I = \int_0^1 4 x^3 \frac{d^2}{d x^2} (1-x^2)^5 d x$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = 4x^3$ और $dv = \frac{d^2}{dx^2}(1-x^2)^5 dx$ लें।
तब $du = 12x^2 dx$ और $v = \frac{d}{dx}(1-x^2)^5 = 5(1-x^2)^4(-2x) = -10x(1-x^2)^4$ होगा।
$I = [4x^3 \cdot (-10x(1-x^2)^4)]_0^1 - \int_0^1 (-10x(1-x^2)^4) \cdot 12x^2 dx$.
सीमा पद $[ -40x^4(1-x^2)^4 ]_0^1 = 0 - 0 = 0$ है।
अतः,$I = 120 \int_0^1 x^3(1-x^2)^4 dx$.
मान लीजिए $t = 1-x^2$,तो $dt = -2x dx$,इसलिए $x^2 = 1-t$ और $x dx = -\frac{1}{2} dt$ होगा।
$I = 120 \int_1^0 (1-t) t^4 (-\frac{1}{2} dt) = 60 \int_0^1 (t^4 - t^5) dt$.
$I = 60 [\frac{t^5}{5} - \frac{t^6}{6}]_0^1 = 60 (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) = 60 (\frac{6-5}{30}) = 60 (\frac{1}{30}) = 2$.

(D) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं और उनके बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
दिया गया समीकरण $p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c}$ है।
क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) लेने पर:
$1$) $\vec{a} \cdot (p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c}) \Rightarrow p + \frac{q}{2} + \frac{r}{2} = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$.
$2$) $\vec{b} \cdot (p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c}) \Rightarrow \frac{p}{2} + q + \frac{r}{2} = 0$.
$3$) $\vec{c} \cdot (p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}) = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c}) \Rightarrow \frac{p}{2} + \frac{q}{2} + r = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$.
$(1)$ और $(3)$ से,$p + \frac{q}{2} + \frac{r}{2} = \frac{p}{2} + \frac{q}{2} + r \Rightarrow p = r$.
$r = p$ को $(2)$ में रखने पर: $\frac{p}{2} + q + \frac{p}{2} = 0 \Rightarrow p + q = 0 \Rightarrow q = -p$.
अब,$\frac{p^2 + 2q^2 + r^2}{q^2} = \frac{p^2 + 2(-p)^2 + p^2}{(-p)^2} = \frac{p^2 + 2p^2 + p^2}{p^2} = \frac{4p^2}{p^2} = 4$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{x}{x^2-1}$ और $Q(x) = \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int \frac{x}{x^2-1} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln|x^2-1|} = e^{\frac{1}{2} \ln(1-x^2)} = \sqrt{1-x^2}$ है।
व्यापक हल $y \cdot \sqrt{1-x^2} = \int \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} dx + c = \int (x^4+2x) dx + c = \frac{x^5}{5} + x^2 + c$ है।
चूँकि $f(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0 \cdot 1 = 0 + 0 + c$,जिससे $c=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{x^5/5 + x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
हमें $I = \int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} f(x) dx$ का मान ज्ञात करना है। चूँकि $f(x) = \frac{x^5/5}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ है,पहला पद एक विषम फलन है,इसलिए सममित अंतराल पर इसका समाकलन $0$ होगा।
अतः,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$ है।
माना $x = \sin \theta$,तब $dx = \cos \theta d\theta$ है। जब $x=0, \theta=0$; जब $x=\frac{\sqrt{3}}{2}, \theta=\frac{\pi}{3}$ है।
$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \cos \theta d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos 2\theta) d\theta$ है।
$I = [\theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$ है।

(B) दिया गया है $F(x) = \int_0^{x^2} f(\sqrt{t}) dt$। लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए,$F'(x) = f(\sqrt{x^2}) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = f(x) \cdot 2x$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $F'(x) = f'(x)$,इसलिए $f'(x) = 2x f(x)$ है।
यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{f'(x)}{f(x)} = 2x$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\ln|f(x)| = x^2 + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(0) = 1$,इसलिए $\ln(1) = 0^2 + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$।
अतः,$\ln(f(x)) = x^2$,जिससे $f(x) = e^{x^2}$ प्राप्त होता है।
अब,$F(x) = \int_0^{x^2} e^{(\sqrt{t})^2} dt = \int_0^{x^2} e^t dt = [e^t]_0^{x^2} = e^{x^2} - e^0 = e^{x^2} - 1$।
इसलिए,$F(2) = e^{2^2} - 1 = e^4 - 1$।

(A) माना $I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (2 \operatorname{cosec} x)^{17} dx$.
$\tan(\frac{x}{2}) = e^u$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2}) dx = e^u du$,अतः $dx = \frac{2 e^u}{1+e^{2u}} du$.
साथ ही,$\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1+e^{2u}}{2e^u} = \frac{e^u + e^{-u}}{2}$.
जब $x = \frac{\pi}{4}$,तो $e^u = \tan(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{2}-1$,अतः $u = \ln(\sqrt{2}-1) = -\ln(\sqrt{2}+1)$.
जब $x = \frac{\pi}{2}$,तो $e^u = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,अतः $u = 0$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{-\ln(\sqrt{2}+1)}^{0} (e^u + e^{-u})^{17} \cdot \frac{2}{e^u + e^{-u}} du = \int_{-\ln(\sqrt{2}+1)}^{0} 2(e^u + e^{-u})^{16} du$.
चूंकि $f(u) = (e^u + e^{-u})^{16}$ एक सम फलन है,इसलिए $\int_{-a}^{0} f(u) du = \int_{0}^{a} f(u) du$.
अतः,$I = \int_{0}^{\ln(1+\sqrt{2})} 2(e^u + e^{-u})^{16} du$.

(A-D) $1.$ योग $x_1 + x_2 + x_3$ विषम तब होता है यदि तीनों विषम हों या दो सम और एक विषम हो।
स्थिति $1$: $(O, O, O) \rightarrow P = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{24}{105}$
स्थिति $2$: $(O, E, E) \rightarrow P = \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{12}{105}$
स्थिति $3$: $(E, O, E) \rightarrow P = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{9}{105}$
स्थिति $4$: $(E, E, O) \rightarrow P = \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{8}{105}$
कुल प्रायिकता $= \frac{24+12+9+8}{105} = \frac{53}{105}$.
$2.$ $x_1, x_2, x_3$ के समांतर श्रेणी में होने के लिए,$2x_2 = x_1 + x_3$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $x_1 + x_3$ सम होना चाहिए,जिसका मतलब है कि $x_1$ और $x_3$ की समता (parity) समान होनी चाहिए।
यदि $x_1, x_3$ दोनों विषम हैं: $(1,1), (1,3), (1,5), (1,7), (3,1), (3,3), (3,5), (3,7)$ (कुल $8$ जोड़े)।
यदि $x_1, x_3$ दोनों सम हैं: $(2,2), (2,4), (2,6)$ (कुल $3$ जोड़े)।
कुल अनुकूल परिणाम $= 8 + 3 = 11$.
कुल संभावित परिणाम $= 3 \times 5 \times 7 = 105$.
प्रायिकता $= \frac{11}{105}$.

(C) $1.$ $g(a)$ ज्ञात करने के लिए,हम समाकलन $g(a) = \lim_{n \rightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-a}(1-t)^{a-1} dt$ का मूल्यांकन करते हैं।
$a = \frac{1}{2}$ के लिए,$g\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^1 t^{-1/2}(1-t)^{-1/2} dt = \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}}$।
प्रतिस्थापन $t = \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$dt = 2 \sin \theta \cos \theta d\theta$,समाकलन $\int_0^{\pi/2} \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} d\theta = \int_0^{\pi/2} 2 d\theta = \pi$ हो जाता है।
अतः,$g\left(\frac{1}{2}\right) = \pi$।
$2.$ हम देखते हैं कि $g(1-a) = \lim_{n \rightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-(1-a)}(1-t)^{(1-a)-1} dt = \lim_{n \rightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{a-1}(1-t)^{-a} dt$।
गुणधर्म $\int_n^{1-n} f(t) dt = \int_n^{1-n} f(1-t) dt$ का उपयोग करने पर,हमें $g(1-a) = \lim_{n \rightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} (1-t)^{a-1} t^{-a} dt = g(a)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g(1-a) = g(a)$,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके दोनों पक्षों का $a$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $-g'(1-a) = g'(a)$ प्राप्त होता है।
$a = \frac{1}{2}$ पर,$-g'\left(\frac{1}{2}\right) = g'\left(\frac{1}{2}\right)$,जिसका अर्थ है कि $2g'\left(\frac{1}{2}\right) = 0$,इसलिए $g'\left(\frac{1}{2}\right) = 0$।
अतः,सही युग्म $(A, D)$ है।

(D) $(P)$ मान लीजिए $f(x) = ax^2 + bx$,जहाँ $a, b \in \mathbb{W}$ (चूँकि $f(0)=0$ है)।
$\int_0^1 (ax^2 + bx) dx = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} = 1 \implies 2a + 3b = 6$.
संभावित गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हल $(a, b)$ $(3, 0)$ और $(0, 2)$ हैं।
अतः,ऐसे बहुपदों की संख्या $2$ है।
$(Q)$ $f(x) = \sqrt{2} \sin(x^2 + \frac{\pi}{4})$.
$f(x)$ अधिकतम होता है जब $x^2 + \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{\pi}{2} \implies x^2 = 2n\pi + \frac{\pi}{4}$.
$n=0$ के लिए,$x^2 = \frac{\pi}{4} \in [0, 13)$.
$n=1$ के लिए,$x^2 = 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \in [0, 13)$.
$x^2$ के प्रत्येक मान के लिए $x$ के दो मान मिलते हैं $(\pm \sqrt{x^2})$,इसलिए कुल $4$ बिंदु मिलते हैं।
$(R)$ $\int_{-2}^2 \frac{3x^2}{1+e^x} dx = \int_0^2 3x^2 (\frac{1}{1+e^x} + \frac{1}{1+e^{-x}}) dx = \int_0^2 3x^2 dx = [x^3]_0^2 = 8$.
$(S)$ अंश $\int_{-1/2}^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx$ है। $\cos 2x$ सम है और $\log(\frac{1+x}{1-x})$ विषम है,इसलिए उनका गुणनफल एक विषम फलन है। अतः समाकलन $0$ है।

(C) $(P)$ दिया है $y(x) = \cos(3 \cos^{-1} x) = 4x^3 - 3x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 12x^2 - 3$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = 24x$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $(x^2-1)(24x) + x(12x^2-3) = 24x^3 - 24x + 12x^3 - 3x = 36x^3 - 27x = 9(4x^3 - 3x) = 9y$.
अतः,$\frac{1}{y} \{9y\} = 9$. इसलिए $P \to 4$.
$(Q)$ सदिश गुणन का परिमाण $\sum |\vec{a}_k| |\vec{a}_{k+1}| \sin(\frac{2\pi}{n}) = (n-1) \lambda^2 \sin(\frac{2\pi}{n})$ है।
अदिश गुणन का परिमाण $\sum |\vec{a}_k| |\vec{a}_{k+1}| \cos(\frac{2\pi}{n}) = (n-1) \lambda^2 \cos(\frac{2\pi}{n})$ है।
दोनों को बराबर करने पर $\tan(\frac{2\pi}{n}) = 1$ मिलता है,इसलिए $\frac{2\pi}{n} = \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है $n = 8$. इसलिए $Q \to 3$.
$(R)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1$ पर बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब $\frac{6x}{x_1} - \frac{3y}{y_1} = 3$ है। $P(h, 1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,इसलिए $\frac{h^2}{6} + \frac{1}{3} = 1 \implies h^2 = 4 \implies h = 2$. अभिलंब की ढाल $\frac{2y_1}{x_1}$ है। चूंकि यह $x+y=8$ (ढाल $-1$) के लंबवत है,अभिलंब की ढाल $1$ है। इसलिए $2y_1 = x_1$. दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर $y_1 = 1$ और $x_1 = 2$ मिलता है। अभिलंब का समीकरण $x - y = 1$ होता है। $P(h, 1)$ अभिलंब पर है,इसलिए $h - 1 = 1 \implies h = 2$. इसलिए $R \to 2$.
$(S)$ $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1}(\frac{A+B}{1-AB})$ सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{6x+2}{8x^2+6x} = \frac{2}{x^2} \implies 3x^3 - 7x^2 - 6x = 0$ मिलता है। चूंकि $x > 0$,$3x^2 - 7x - 6 = 0 \implies (3x+2)(x-3) = 0$. केवल $x=3$ एक धनात्मक हल है। अतः,$1$ धनात्मक हल है। इसलिए $S \to 1$.

(D) $1$. $f_4(x)$ का विश्लेषण:
$f_2(f_1(x)) = (f_1(x))^2 = \begin{cases} x^2 & x < 0 \\ e^{2x} & x \geq 0 \end{cases}$
$f_4(x) = \begin{cases} x^2 & x < 0 \\ e^{2x} - 1 & x \geq 0 \end{cases}$
$x=0$ पर,$f_4(0) = e^0 - 1 = 0$. $\lim_{x \to 0^-} f_4(x) = 0$. अतः $f_4$ संतत है। यह बहु-एक (many-one) है (उदा.,$f_4(-1) = 1, f_4(\frac{1}{2}\ln 2) = 1$)। परिसर $[0, \infty)$ है,इसलिए यह आच्छादक है। अतः $P \to 1$.
$2$. $f_3(x)$ का विश्लेषण:
$f_3(x) = \begin{cases} \sin x & x < 0 \\ x & x \geq 0 \end{cases}$
$x=0$ पर,$f_3(0) = 0$. $\lim_{x \to 0^-} \sin x = 0$. संतत है। $f_3'(0^-) = \cos(0) = 1$,$f_3'(0^+) = 1$. अवकलनीय है। यह बहु-एक है (उदा.,$f_3(-\pi) = 0, f_3(0) = 0$)। अतः $Q \to 3$.
$3$. $f_2 \circ f_1(x)$ का विश्लेषण:
$(f_2 \circ f_1)(x) = \begin{cases} x^2 & x < 0 \\ e^{2x} & x \geq 0 \end{cases}$
$x=0$ पर,$LHL = 0, RHL = 1$. असंतत है। अतः $R \to 2$.
$4$. $[0, \infty)$ पर $f_2(x) = x^2$ का विश्लेषण:
यह वर्धमान फलन है,इसलिए एकैकी है। संतत है। अतः $S \to 4$.
मिलान: $P-1, Q-3, R-2, S-4$. सही विकल्प $(D)$ है।