अऋण पूर्णांक a का वह अधिकतम मान ज्ञात कीजिए ज | vedclass

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Question

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 1}\left\{\frac{-a x+\sin (x-1)+a}{x+\sin (x-1)-1}\right\}^{\frac{1-x}{1-\sqrt{x}}}$.चूंकि $\frac{1-x}{1-\sqrt{x}} =

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$0$

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(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 1}\left\{\frac{-a x+\sin (x-1)+a}{x+\sin (x-1)-1}\right\}^{\frac{1-x}{1-\sqrt{x}}}$.चूंकि $\frac{1-x}{1-\sqrt{x}} = 1+\sqrt{x}$,सीमा $\lim _{x \rightarrow 1}\left\{\frac{-a(x-1)+\sin(x-1)}{(x-1)+\sin(x-1)}\right\}^{1+\sqrt{x}} = \frac{1}{4}$ हो जाती है।$x-1 = h$ रखने पर,जैसे $x \rightarrow 1$,$h \rightarrow 0$. व्यंजक $\lim _{h \rightarrow 0}\left\{\frac{-ah+\sin h}{h+\sin h}\right\}^{1+\sqrt{1+h}} = \frac{1}{4}$ बन जाता है।अंश और हर को $h$ से विभाजित करने पर,$\lim _{h \rightarrow 0}\left\{\frac{-a+\frac{\sin h}{h}}{1+\frac{\sin h}{h}}\right\}^{1+\sqrt{1+h}} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।$h=0$ रखने पर,$\left(\frac{1-a}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।इससे $\frac{1-a}{2} = \frac{1}{2}$ या $\frac{1-a}{2} = -\frac{1}{2}$ मिलता है।यदि $\frac{1-a}{2} = \frac{1}{2}$,तो $a=0$. यदि $\frac{1-a}{2} = -\frac{1}{2}$,तो $a=2$.$a=2$ के लिए आधार ऋणात्मक हो जाता है,इसलिए $a=0$ सही उत्तर है।

अऋण पूर्णांक $a$ का वह अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\lim _{x \rightarrow 1}\left\{\frac{-a x+\sin (x-1)+a}{x+\sin (x-1)-1}\right\}^{\frac{1-x}{1-\sqrt{x}}}=\frac{1}{4}$ है।

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यदि $\lim _{x \rightarrow 0}\left\{1+x \log \left(1+a^2\right)\right\}^{1 / x}=2 a \sin ^2 \theta$,जहाँ $a>0$ और $\theta \in R$,तो:

यदि फलन $f(x)$,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{f(x)-2}{x^{2}-1}=\pi$ को संतुष्ट करता है,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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