IIT JEE 1993 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) कुल बिंदुओं की संख्या $m + n + k$ है। इनमें से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^{m+n+k}C_3$ हैं।
हालाँकि,एक ही रेखा पर स्थित $3$ बिंदुओं को चुनने से त्रिभुज नहीं बनता है। ऐसे संरेख बिंदुओं के समूहों की संख्या $^mC_3 + ^nC_3 + ^kC_3$ है।
अतः,आवश्यक त्रिभुजों की संख्या $^{m+n+k}C_3 - ^mC_3 - ^nC_3 - ^kC_3$ है।

(C) $9600$ के भाजकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले इसका अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
$9600 = 96 \times 100 = (32 \times 3) \times (4 \times 25) = (2^5 \times 3) \times (2^2 \times 5^2) = 2^7 \times 3^1 \times 5^2$.
यदि किसी संख्या $N$ को $N = p_1^{a} \times p_2^{b} \times p_3^{c}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,तो भाजकों की कुल संख्या $(a + 1)(b + 1)(c + 1)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 7$,$b = 1$,और $c = 2$ है।
अतः,भाजकों की संख्या $= (7 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 8 \times 2 \times 3 = 48$.

(C) दिया गया व्यंजक $(3 + 2x)^{50} = 3^{50} (1 + \frac{2x}{3})^{50}$ है।
$x = \frac{1}{5}$ रखने पर,हमें $3^{50} (1 + \frac{2}{15})^{50}$ प्राप्त होता है।
माना $T_{r+1}$ एक $(r+1)^{th}$ पद है।
हम जानते हैं कि $\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{n-r+1}{r} \cdot |\frac{a_2}{a_1}|$.
यहाँ $n=50$,$a_1=1$,$a_2=\frac{2}{15}$ है।
अतः,$\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{51-r}{r} \cdot \frac{2}{15}$.
सबसे बड़े पद के लिए,$\frac{T_{r+1}}{T_r} \ge 1$ लेते हैं।
$\frac{2(51-r)}{15r} \ge 1$ $\Rightarrow 102 - 2r \ge 15r$ $\Rightarrow 102 \ge 17r$ $\Rightarrow r \le 6$.
चूँकि $r=6$ शर्त को संतुष्ट करता है,इसलिए $T_{6+1} = T_7$ सबसे बड़ा पद है।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{2\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} + \frac{2\cos C}{c} = \frac{a}{bc} + \frac{b}{ca}$
कोज्या नियम (cosine rule) का उपयोग करने पर: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$,और $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$\frac{2(b^2 + c^2 - a^2)}{2abc} + \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2abc} + \frac{2(a^2 + b^2 - c^2)}{2abc} = \frac{a^2 + b^2}{abc}$
दोनों पक्षों को $2abc$ से गुणा करने पर:
$2(b^2 + c^2 - a^2) + (a^2 + c^2 - b^2) + 2(a^2 + b^2 - c^2) = 2(a^2 + b^2)$
$3b^2 + c^2 + a^2 = 2a^2 + 2b^2$
$a^2 = b^2 + c^2$
अतः,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,$\angle A = 90^o$।

(D) दिया गया है $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\cos A}{2R \sin A} = \frac{\cos B}{2R \sin B} = \frac{\cos C}{2R \sin C}$ प्राप्त होता है।
यह $\cot A = \cot B = \cot C$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,इसलिए $A = B = C = 60^\circ$।
अतः,$\Delta ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ होता है।
$a = 2$ दिया गया है,इसलिए $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} (2)^2 = \sqrt{3}$।

(B) माना शीर्ष $A = \left( 2, \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right)$,$B = \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right)$,और $C = \left( 2, -\frac{1}{2} \right)$ हैं।
यहाँ भुजा $AC$ ऊर्ध्वाधर है और भुजा $BC$ क्षैतिज है।
अतः,यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण शीर्ष $C = \left( 2, -\frac{1}{2} \right)$ पर स्थित है।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वही शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
इसलिए,लंबकेंद्र $\left( 2, -\frac{1}{2} \right)$ है।

(A) माना $A(-5, -4)$ से गुजरने वाली रेखा $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है। रेखा का समीकरण $\frac{x + 5}{\cos \theta} = \frac{y + 4}{\sin \theta} = r$ है।
$x + 3y + 2 = 0$ पर स्थित बिंदु $B$ के लिए,$(r_1 \cos \theta - 5) + 3(r_1 \sin \theta - 4) + 2 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $r_1(\cos \theta + 3 \sin \theta) = 15$ मिलता है,अतः $\frac{15}{AB} = \cos \theta + 3 \sin \theta$.
$2x + y + 4 = 0$ पर स्थित बिंदु $C$ के लिए,$2(r_2 \cos \theta - 5) + (r_2 \sin \theta - 4) + 4 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $r_2(2 \cos \theta + \sin \theta) = 10$ मिलता है,अतः $\frac{10}{AC} = 2 \cos \theta + \sin \theta$.
$x - y - 5 = 0$ पर स्थित बिंदु $D$ के लिए,$(r_3 \cos \theta - 5) - (r_3 \sin \theta - 4) - 5 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $r_3(\cos \theta - \sin \theta) = 6$ मिलता है,अतः $\frac{6}{AD} = \cos \theta - \sin \theta$.
इन मानों को दिए गए संबंध में रखने पर,$(\cos \theta + 3 \sin \theta)^2 + (2 \cos \theta + \sin \theta)^2 = (\cos \theta - \sin \theta)^2$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$(2 \cos \theta + 3 \sin \theta)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \theta = -\frac{2}{3}$.
रेखा का समीकरण $y + 4 = -\frac{2}{3}(x + 5)$ अर्थात $2x + 3y + 22 = 0$ है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,त्रिज्या $r = |h|$ है। माना $h > 0$,तो $r = h$ है।
दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 6x - 6y + 14 = 0$ है। इसका केंद्र $C_1(3, 3)$ और त्रिज्या $R_1 = \sqrt{3^2 + 3^2 - 14} = 2$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $CC_1 = R_1 + r$ होगी।
$\sqrt{(h - 3)^2 + (k - 3)^2} = 2 + h$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(h - 3)^2 + (k - 3)^2 = (2 + h)^2$
$h^2 - 6h + 9 + k^2 - 6k + 9 = 4 + 4h + h^2$
$k^2 - 10h - 6k + 14 = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ $y^2 - 10x - 6y + 14 = 0$ है।

(C) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {\tan \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)} \right\}^{1/x}}$.
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $\tan(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}$ प्राप्त होता है।
अतः,$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{1 + \tan x}}{{1 - \tan x}}} \right)^{1/x}}$.
यह $1^\infty$ रूप है,इसलिए $L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} - 1)}$.
$L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1 + \tan x - 1 + \tan x}{1 - \tan x})} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2 \tan x}{x(1 - \tan x)}}$.
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$,इसलिए $L = e^{2 \times 1 \times \frac{1}{1 - 0}} = e^2$.

(A) मान लीजिए $X_1, X_2, X_3, X_4$ चार उछालों के परिणाम हैं।
हम चाहते हैं कि प्रत्येक $i = 1, 2, 3, 4$ के लिए $2 \le X_i \le 5$ हो।
प्रत्येक उछाल के लिए,कुल संभव परिणाम $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं,इसलिए कुल $6$ परिणाम हैं।
प्रत्येक उछाल के लिए अनुकूल परिणाम $\{2, 3, 4, 5\}$ हैं,जो $4$ अनुकूल परिणाम देते हैं।
एक उछाल में $2$ और $5$ के बीच मान प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि चारों उछाल स्वतंत्र हैं,इसलिए चारों उछालों में $2$ और $5$ के बीच मान प्राप्त करने की प्रायिकता $p^4 = (\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}$ है।

(B) दिया गया है $x = 1 + \cos^2\phi + \cos^4\phi + \dots = \frac{1}{1 - \cos^2\phi} = \frac{1}{\sin^2\phi}$.
दिया गया है $y = 1 + \sin^2\phi + \sin^4\phi + \dots = \frac{1}{1 - \sin^2\phi} = \frac{1}{\cos^2\phi}$.
दिया गया है $z = 1 + \cos^2\phi \sin^2\phi + \cos^4\phi \sin^4\phi + \dots = \frac{1}{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi}$.
अब,$xy = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi}$.
अतः $xy + z = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi} + \frac{1}{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi} = \frac{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi + \sin^2\phi \cos^2\phi}{\sin^2\phi \cos^2\phi (1 - \cos^2\phi \sin^2\phi)} = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi (1 - \cos^2\phi \sin^2\phi)}$.
साथ ही,$xyz = \left(\frac{1}{\sin^2\phi}\right) \left(\frac{1}{\cos^2\phi}\right) \left(\frac{1}{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi}\right) = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi (1 - \cos^2\phi \sin^2\phi)}$.
इस प्रकार,$xyz = xy + z$.

(B) दिया गया है $k = \sin \frac{\pi}{18} \sin \frac{5\pi}{18} \sin \frac{7\pi}{18}$.
सर्वसमिका $\sin \theta = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ का उपयोग करने पर:
$k = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18} \right) \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{18} \right) \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{7\pi}{18} \right)$
$k = \cos \frac{4\pi}{9} \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{\pi}{9}$.
सूत्र $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta = \frac{\sin 8\theta}{8 \sin \theta}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{9}$:
$k = \frac{\sin \left( 8 \cdot \frac{\pi}{9} \right)}{8 \sin \frac{\pi}{9}} = \frac{\sin \frac{8\pi}{9}}{8 \sin \frac{\pi}{9}}$.
चूँकि $\sin \frac{8\pi}{9} = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{9} \right) = \sin \frac{\pi}{9}$:
$k = \frac{\sin \frac{\pi}{9}}{8 \sin \frac{\pi}{9}} = \frac{1}{8}$.

(C) दिया गया है $x = \log_3 5$ और $y = \log_{17} 25 = 2 \log_{17} 5$.
व्युत्क्रम लेने पर:
$\frac{1}{x} = \log_5 3 = \log_5 (9^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_5 9$.
$\frac{1}{y} = \frac{1}{2} \log_5 17$.
चूंकि $17 > 9$,इसलिए $\log_5 17 > \log_5 9$.
अतः,$\frac{1}{2} \log_5 17 > \frac{1}{2} \log_5 9$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{y} > \frac{1}{x}$.
चूंकि $x$ और $y$ दोनों धनात्मक हैं,$\frac{1}{y} > \frac{1}{x}$ का अर्थ है $x > y$.

(A) माना सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \log_x y & \log_x z \\ \log_y x & 1 & \log_y z \\ \log_z x & \log_z y & 1 \end{array} \right|$ है।
गुणधर्म $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$ का उपयोग करते हुए,हम तत्वों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \frac{\ln y}{\ln x} & \frac{\ln z}{\ln x} \\ \frac{\ln x}{\ln y} & 1 & \frac{\ln z}{\ln y} \\ \frac{\ln x}{\ln z} & \frac{\ln y}{\ln z} & 1 \end{array} \right|$.
अब,पहली पंक्ति $(R_1)$ को $\ln x$ से,दूसरी पंक्ति $(R_2)$ को $\ln y$ से और तीसरी पंक्ति $(R_3)$ को $\ln z$ से गुणा करने पर और सारणिक को $(\ln x \ln y \ln z)$ से भाग देने पर:
$\Delta = \frac{1}{\ln x \ln y \ln z} \left| \begin{array}{ccc} \ln x & \ln y & \ln z \\ \ln x & \ln y & \ln z \\ \ln x & \ln y & \ln z \end{array} \right|$.
चूंकि तीनों पंक्तियाँ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(A) माना कि $\cos ^{ - 1}x = \theta$. तब $x = \cos \theta$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}$.
अब,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan \theta = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.
अतः,$\tan (\cos ^{ - 1}x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.

(B) चूंकि सदिश समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$\begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$
स्तंभ संक्रिया $C_2 \to C_2 - C_1$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} a & 0 & c \\ 1 & -1 & 1 \\ c & 0 & b \end{vmatrix} = 0$
दूसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-(-1) \begin{vmatrix} a & c \\ c & b \end{vmatrix} = 0$
$ab - c^2 = 0 \Rightarrow c^2 = ab$
अतः,$c = \sqrt{ab}$,जो $a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य है।

(A) और $c$ के समतल में कोई भी सदिश $r = b + tc$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सदिशों का मान रखने पर,$r = (i + 2j - k) + t(i + j - 2k) = (1 + t)i + (2 + t)j - (1 + 2t)k$ प्राप्त होता है।
$r$ का $a$ पर प्रक्षेप $\frac{|r \cdot a|}{|a|} = \sqrt{2/3}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$r \cdot a = (1 + t)(2) + (2 + t)(-1) + (-1 - 2t)(1) = 2 + 2t - 2 - t - 1 - 2t = -t - 1$ की गणना करें।
साथ ही,$|a| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ है।
अतः,$\frac{|-t - 1|}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$।
इस प्रकार,$|-t - 1| = 2$,जिसका अर्थ है कि $-t - 1 = 2$ या $-t - 1 = -2$।
यदि $-t - 1 = 2$,तो $t = -3$। $t = -3$ को $r$ में रखने पर,$r = -2i - j + 5k$ प्राप्त होता है।
यदि $-t - 1 = -2$,तो $t = 1$। $t = 1$ को $r$ में रखने पर,$r = 2i + 3j - 3k$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट सदिश $2i + 3j - 3k$ और $-2i - j + 5k$ हैं।

(D) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{dx}{1 + \tan^3 x}$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{dx}{1 + \tan^3(\pi/2 - x)} = \int_0^{\pi /2} \frac{dx}{1 + \cot^3 x}$.
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{\tan^3 x}{1 + \tan^3 x} dx$.
$I$ के दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi /2} \left( \frac{1}{1 + \tan^3 x} + \frac{\tan^3 x}{1 + \tan^3 x} \right) dx$.
$2I = \int_0^{\pi /2} \frac{1 + \tan^3 x}{1 + \tan^3 x} dx = \int_0^{\pi /2} 1 dx$.
$2I = [x]_0^{\pi /2} = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{4}$.

(A) माना $I = \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{\phi}{1 + \sin \phi} \, d\phi$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{\pi - \phi}{1 + \sin(\pi - \phi)} \, d\phi = \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{\pi - \phi}{1 + \sin \phi} \, d\phi$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{\phi + \pi - \phi}{1 + \sin \phi} \, d\phi = \pi \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{1}{1 + \sin \phi} \, d\phi$.
$2I = \pi \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{1 - \sin \phi}{\cos^2 \phi} \, d\phi = \pi \int_{\pi /4}^{3\pi /4} (\sec^2 \phi - \sec \phi \tan \phi) \, d\phi$.
$2I = \pi [\tan \phi - \sec \phi]_{\pi /4}^{3\pi /4}$.
$2I = \pi [(\tan(3\pi/4) - \sec(3\pi/4)) - (\tan(\pi/4) - \sec(\pi/4))]$.
$2I = \pi [(-1 - (-\sqrt{2})) - (1 - \sqrt{2})] = \pi [\sqrt{2} - 1 - 1 + \sqrt{2}] = \pi [2\sqrt{2} - 2] = 2\pi(\sqrt{2} - 1)$.
$I = \pi(\sqrt{2} - 1)$.
चूंकि $\tan(\pi/8) = \sqrt{2} - 1$,इसलिए मान $\pi \tan(\pi/8)$ है।

(A) दिया गया है कि $E$ और $F$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(E \cap F) = P(E)P(F) = \frac{1}{12}$ $(i)$.
साथ ही,$P(\bar{E} \cap \bar{F}) = P(\bar{E})P(\bar{F}) = \frac{1}{2}$.
चूंकि $P(\bar{E}) = 1 - P(E)$ और $P(\bar{F}) = 1 - P(F)$,इसलिए $(1 - P(E))(1 - P(F)) = \frac{1}{2}$.
$1 - (P(E) + P(F)) + P(E)P(F) = \frac{1}{2}$.
$P(E)P(F) = \frac{1}{12}$ रखने पर,$1 - (P(E) + P(F)) + \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$.
$P(E) + P(F) = 1 + \frac{1}{12} - \frac{1}{2} = \frac{7}{12}$ $(ii)$.
मान लीजिए $x = P(E)$ और $y = P(F)$। तब $x + y = \frac{7}{12}$ और $xy = \frac{1}{12}$।
द्विघात समीकरण $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ का रूप $t^2 - \frac{7}{12}t + \frac{1}{12} = 0$ होगा।
$12t^2 - 7t + 1 = 0 \Rightarrow (4t - 1)(3t - 1) = 0$.
अतः,$t = \frac{1}{4}$ या $t = \frac{1}{3}$।
इसलिए,प्रायिकताएँ $\frac{1}{3}$ और $\frac{1}{4}$ हैं।