IIT JEE 1993 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) કણ $x = 0$ ($t = 0$ સમયે $v = 0$) પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને $x = 1$ ($t = 1$ સમયે $v = 0$) પર સ્થિર થાય છે.
કણ $x = 0$ થી $x = 1$ સુધી ગતિ કરે છે,તેથી તેનો સરેરાશ વેગ ધન છે. કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થઈને અંતે સ્થિર થાય તે માટે,તેણે વેગ મેળવવા માટે શરૂઆતમાં પ્રવેગિત થવું પડે અને અંતે અટકવા માટે પ્રતિપ્રવેગિત થવું પડે.
જો $0 \le t \le 1$ ના સમગ્ર અંતરાલ માટે $\alpha$ ધન રહે,તો વેગ સતત વધતો રહે,જેનો અર્થ છે કે કણ $t = 1$ સમયે ફરીથી સ્થિર થઈ શકે નહીં.
તેથી,$\alpha$ એ $0 \le t \le 1$ અંતરાલમાં તમામ $t$ માટે ધન રહી શકે નહીં,જેનો અર્થ છે કે ગતિ દરમિયાન $\alpha$ એ ચિહ્ન બદલવું જ જોઈએ.
આમ,વિધાન $(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(A) મણકા $Q$ માટે, સમક્ષિતિજ દિશામાં વેગ $v$ અચળ છે, તેથી સમક્ષિતિજ અંતર $AB$ કાપવા માટે લીધેલ સમય ${t_Q} = \frac{AB}{v}$ છે。
કણ $P$ માટે, વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. જેમ કણ વાટકામાં નીચે સરકે છે, તેમ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે તે ઝડપ મેળવે છે. તેના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x$ કોઈપણ બિંદુએ પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ ઘટક $v$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોય છે કારણ કે કણ સૌથી નીચલા બિંદુ $C$ તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે તે પ્રવેગિત થાય છે અને પછી પ્રતિપ્રવેગિત થાય છે, પરંતુ તેની ઝડપ $B$ સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી સમગ્ર માર્ગ દરમિયાન પ્રારંભિક ઝડપ $v$ કરતા વધારે રહે છે. કણ $P$ માટે વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક ગતિ દરમિયાન હંમેશા $v$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવાથી, $P$ નો સરેરાશ સમક્ષિતિજ વેગ $v$ કરતા વધારે હોય છે. તેથી, સમાન સમક્ષિતિજ અંતર $AB$ કાપવા માટે $P$ દ્વારા લીધેલ સમય $Q$ દ્વારા લીધેલ સમય કરતા ઓછો હોય છે. આમ, ${t_P} < {t_Q}$.

(D) પોલાણ ધરાવતા નક્કર ગોળાને કારણે કોઈપણ બિંદુ $P$ પર ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V$ એ સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = V_{\text{large sphere}} - V_{\text{cavity A}} - V_{\text{cavity B}}$.
$1$. ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ પર,મોટા ગોળાને કારણે ગુરુત્વીય ક્ષેત્ર $\vec{E}$ શૂન્ય છે. બે પોલાણને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ છે $(\vec{E}_A = -\vec{E}_B)$,તેથી ઉગમબિંદુ પરનું કુલ ક્ષેત્ર શૂન્ય છે. આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
$2$. પોલાણ ધરાવતા ગોળાને કારણે કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z)$ પર ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન એ પોલાણના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થતી ધરીની આસપાસ સંમિત છે. $x = 0$ સમતલમાં ${y^2} + {z^2} = R^2$ વર્તુળ માટે,વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુથી કેન્દ્રો $A(-2, 0, 0)$ અને $B(2, 0, 0)$ સુધીનું અંતર સમાન છે. ખાસ કરીને,વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ $(0, y, z)$ માટે,$A$ થી અંતર $\sqrt{(-2-0)^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{4 + R^2}$ છે અને $B$ થી અંતર $\sqrt{(2-0)^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{4 + R^2}$ છે. અંતર સમાન હોવાથી,પોલાણને કારણે સ્થિતિમાન સમાન છે,અને મોટા ગોળાને કારણે સ્થિતિમાન આ વર્તુળ પર અચળ છે. આમ,કુલ સ્થિતિમાન ${y^2} + {z^2} = 4$ અને ${y^2} + {z^2} = 36$ વર્તુળો પર અચળ છે. વિકલ્પો $(B)$ અને $(C)$ પણ સાચા છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) જ્યારે બ્લોક $C$,બ્લોક $A$ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેઓ એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે (સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ ધારતા) અથવા વેગમાનનું સ્થાનાંતરણ કરે છે. $C$ અને $A$ સમાન દળ $m$ ધરાવતા હોવાથી,અથડામણ પછી $C$ અટકી જાય છે અને $A$ એ $v$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
હવે,સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા બ્લોક્સ $A$ અને $B$ ના તંત્રનો વિચાર કરો. તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન $mv$ છે.
ધારો કે મહત્તમ સંકોચનના સમયે બ્લોક્સ $A$ અને $B$ નો સામાન્ય વેગ $V$ છે. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mv = (m + m)V \Rightarrow V = \frac{v}{2}$.
મહત્તમ સંકોચન $x$ પર,તંત્રની ગતિ ઊર્જા સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જામાં અને બાકીની ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(m+m)V^2 + \frac{1}{2}Kx^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(2m)(\frac{v}{2})^2 + \frac{1}{2}Kx^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + \frac{1}{2}Kx^2$
$\frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{2}Kx^2 \Rightarrow x^2 = \frac{mv^2}{2K} \Rightarrow x = v\sqrt{\frac{m}{2K}}$.
મહત્તમ સંકોચન સમયે,$A-B$ તંત્રની ગતિ ઊર્જા:
$K.E. = \frac{1}{2}(2m)V^2 = m(\frac{v}{2})^2 = \frac{mv^2}{4}$.
આમ,વિધાન $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(B) તાર $k_1$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ તરીકે વર્તે છે. યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ ની વ્યાખ્યા પરથી,આપણને $k_1 = \frac{F}{\Delta L} = \frac{YA}{L}$ મળે છે.
આપેલી સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_2 = K$ છે.
તાર અને સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq}$ માટે $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ થાય.
$\frac{1}{k_{eq}} = \frac{L}{YA} + \frac{1}{K} = \frac{KL + YA}{YAK}$.
તેથી,$k_{eq} = \frac{YAK}{YA + KL}$.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m(YA + KL)}{YAK}}$ થાય.

(B) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ લૂપની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખીય સંકલન એ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{\text{enclosed}}$ ના $\mu_0$ ગણું હોય છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
અનંત લંબાઈની,પાતળી દીવાલવાળી પાઇપ કે જેમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વહે છે,તેની અંદર પસંદ કરેલ કોઈપણ બંધ લૂપ શૂન્ય વિદ્યુતપ્રવાહને ઘેરે છે $(I_{\text{enclosed}} = 0)$.
તેથી,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$,જે સૂચવે છે કે પાઇપની અંદરના કોઈપણ બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ શૂન્ય છે.

(C) ચોરસ લૂપની પ્રારંભિક ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu_1 = iA = iL^2$ છે,જેની દિશા લૂપના સમતલને લંબ છે.
જ્યારે લૂપને મધ્યમાંથી વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તે બે નાના લંબચોરસ લૂપ બનાવે છે,જે દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A' = L \times (L/2) = L^2/2$ છે.
દરેક અડધા ભાગની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = iA' = iL^2/2 = \mu_1/2$ છે.
આ બે અડધા ભાગો પરસ્પર લંબ સમતલોમાં રહેલા છે. ધારો કે સમક્ષિતિજ ભાગની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\overrightarrow{M_h}$ અને શિરોલંબ ભાગની $\overrightarrow{M_v}$ છે.
બંનેનું મૂલ્ય $M = \mu_1/2$ છે. પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $\overrightarrow{\mu_2}$ એ આ બંનેનો સદિશ સરવાળો છે: $\mu_2 = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$.
$M = \mu_1/2$ મૂકતા,આપણને $\mu_2 = (\mu_1/2) \times \sqrt{2} = \mu_1/\sqrt{2}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{|\overrightarrow{\mu_1}|}{|\overrightarrow{\mu_2}|} = \frac{\mu_1}{\mu_1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ થાય છે.

(C) કુલ પ્રક્રિયા છે: $3(_1H^2) \to _2He^4 + p + n$.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = 3 \times M(H^2) - [M(He^4) + M(p) + M(n)]$
$\Delta m = 3(2.014) - [4.001 + 1.007 + 1.008] = 6.042 - 6.016 = 0.026 \, amu$.
પ્રત્યેક પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા $Q = 0.026 \times 931.5 \, MeV \approx 24.22 \, MeV$.
$Q = 24.22 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J \approx 3.875 \times 10^{-12} \, J$.
$3$ ડ્યુટેરોનનો ઉપયોગ $Q$ ઉર્જા ઉત્પન્ન કરવા માટે થાય છે, તેથી પ્રતિ ડ્યુટેરોન ઉર્જા $E_d = Q/3 = 1.29 \times 10^{-12} \, J$.
કુલ ઉપલબ્ધ ઉર્જા $E_{total} = N \times E_d = 10^{40} \times 1.29 \times 10^{-12} = 1.29 \times 10^{28} \, J$.
લાગતો સમય $t = E_{total} / P = (1.29 \times 10^{28}) / 10^{16} = 1.29 \times 10^{12} \, s$.
આમ, સમય $10^{12} \, s$ ના ક્રમનો છે.

(D) ઇનપુટ $V(t)$ ના ધન અર્ધ-ચક્રમાં, ડાયોડ $D_1$ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે અને $D_2$ રિવર્સ બાયસમાં છે। પ્રવાહ $R_1$ અને $R$ માંથી વહે છે। $R$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ વોલ્ટેજ ડિવાઇડર નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે: $V_{AB, pos} = V(t) \cdot \frac{R}{R + R_1}$.
ઇનપુટ $V(t)$ ના ઋણ અર્ધ-ચક્રમાં, ડાયોડ $D_2$ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે અને $D_1$ રિવર્સ બાયસમાં છે। પ્રવાહ $R_2$ અને $R$ માંથી વહે છે। $R$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ છે: $V_{AB, neg} = |V(t)| \cdot \frac{R}{R + R_2}$.
કારણ કે $R_1 = 100 \ \Omega$ અને $R_2 = 150 \ \Omega$ અલગ છે, તેથી ધન અને ઋણ અર્ધ-ચક્ર દરમિયાન $R$ પરના પીક વોલ્ટેજ મૂલ્યો અલગ હશે。
તેથી, આઉટપુટ રેક્ટિફાઇડ નથી અને તે ધન અને ઋણ અર્ધ-ચક્ર દરમિયાન અલગ-અલગ પીક મૂલ્યો ધરાવે છે।