IIT JEE 1993 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) कण $x = 0$ ($t = 0$ पर $v = 0$) पर विरामावस्था से शुरू होता है और $x = 1$ ($t = 1$ पर $v = 0$) पर विराम में आ जाता है।
चूंकि कण $x = 0$ से $x = 1$ तक गति करता है,इसलिए इसका औसत वेग धनात्मक है। कण के विरामावस्था से शुरू होकर अंत में विराम में आने के लिए,इसे वेग प्राप्त करने के लिए शुरू में त्वरित होना होगा और अंत में रुकने के लिए मंदित होना होगा।
यदि $\alpha$ पूरे अंतराल $0 \le t \le 1$ के लिए धनात्मक रहता है,तो वेग लगातार बढ़ता रहेगा,जिसका अर्थ है कि कण $t = 1$ पर वापस विराम में नहीं आ सकता है।
इसलिए,$\alpha$ अंतराल $0 \le t \le 1$ में सभी $t$ के लिए धनात्मक नहीं रह सकता है,जिसका अर्थ है कि गति के दौरान $\alpha$ को अपना चिह्न बदलना ही होगा।
अतः,कथन $(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(A) मनके $Q$ के लिए, क्षैतिज दिशा में वेग $v$ स्थिर है, इसलिए क्षैतिज दूरी $AB$ को तय करने में लिया गया समय ${t_Q} = \frac{AB}{v}$ है。
कण $P$ के लिए, वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\theta$ वह कोण है जो वेग सदिश क्षैतिज के साथ बनाता है। जैसे-जैसे कण कटोरे में नीचे फिसलता है, गुरुत्वाकर्षण के कारण उसकी गति बढ़ती है। इसके वेग का क्षैतिज घटक $v_x$ किसी भी बिंदु पर प्रारंभिक क्षैतिज घटक $v$ से अधिक या उसके बराबर होता है क्योंकि कण सबसे निचले बिंदु $C$ की ओर बढ़ते समय त्वरित होता है और फिर मंदित होता है, लेकिन $B$ तक पहुँचने तक पूरे पथ के दौरान इसकी गति प्रारंभिक गति $v$ से अधिक रहती है। चूंकि $P$ के लिए वेग का क्षैतिज घटक गति के दौरान हमेशा $v$ से अधिक या उसके बराबर होता है, इसलिए $P$ का औसत क्षैतिज वेग $v$ से अधिक होता है। इसलिए, समान क्षैतिज दूरी $AB$ को तय करने में $P$ द्वारा लिया गया समय $Q$ द्वारा लिए गए समय से कम होता है। अतः, ${t_P} < {t_Q}$.

(D) कोटरों वाले ठोस गोले के कारण किसी बिंदु $P$ पर गुरुत्वीय विभव $V$ अध्यारोपण के सिद्धांत द्वारा दिया जाता है: $V = V_{\text{large sphere}} - V_{\text{cavity A}} - V_{\text{cavity B}}$.
$1$. मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ पर,बड़े गोले के कारण गुरुत्वीय क्षेत्र $\vec{E}$ शून्य है। दो कोटरों के कारण उत्पन्न क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं $(\vec{E}_A = -\vec{E}_B)$,इसलिए मूल बिंदु पर कुल क्षेत्र शून्य है। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
$2$. कोटर वाले गोले के कारण किसी बिंदु $(x, y, z)$ पर गुरुत्वीय विभव कोटरों के केंद्रों से गुजरने वाली अक्ष के परितः सममित होता है। $x = 0$ तल में ${y^2} + {z^2} = R^2$ वृत्त के लिए,वृत्त के किसी भी बिंदु से केंद्रों $A(-2, 0, 0)$ और $B(2, 0, 0)$ तक की दूरी समान है। विशेष रूप से,वृत्त पर किसी भी बिंदु $(0, y, z)$ के लिए,$A$ से दूरी $\sqrt{(-2-0)^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{4 + R^2}$ है और $B$ से दूरी $\sqrt{(2-0)^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{4 + R^2}$ है। चूंकि दूरियां समान हैं,इसलिए कोटरों के कारण विभव समान हैं,और बड़े गोले के कारण विभव इस वृत्त पर स्थिर है। अतः,कुल विभव ${y^2} + {z^2} = 4$ और ${y^2} + {z^2} = 36$ वृत्तों पर स्थिर है। विकल्प $(B)$ और $(C)$ भी सही हैं।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(D) जब ब्लॉक $C$,ब्लॉक $A$ से टकराता है,तो वे एक साथ जुड़ जाते हैं (पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर मानते हुए) या संवेग स्थानांतरित करते हैं। चूंकि $C$ और $A$ का द्रव्यमान समान $m$ है,टक्कर के बाद $C$ रुक जाता है और $A$,$v$ वेग से गति करता है।
अब,स्प्रिंग से जुड़े ब्लॉक $A$ और $B$ के निकाय पर विचार करें। निकाय का प्रारंभिक संवेग $mv$ है।
मान लीजिए कि अधिकतम संपीड़न के क्षण पर ब्लॉक $A$ और $B$ का उभयनिष्ठ वेग $V$ है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$mv = (m + m)V \Rightarrow V = \frac{v}{2}$.
अधिकतम संपीड़न $x$ पर,निकाय की गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा और शेष गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(m+m)V^2 + \frac{1}{2}Kx^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(2m)(\frac{v}{2})^2 + \frac{1}{2}Kx^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + \frac{1}{2}Kx^2$
$\frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{2}Kx^2 \Rightarrow x^2 = \frac{mv^2}{2K} \Rightarrow x = v\sqrt{\frac{m}{2K}}$.
अधिकतम संपीड़न पर,$A-B$ निकाय की गतिज ऊर्जा है:
$K.E. = \frac{1}{2}(2m)V^2 = m(\frac{v}{2})^2 = \frac{mv^2}{4}$.
अतः,कथन $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(B) तार $k_1$ बल नियतांक वाली स्प्रिंग के रूप में कार्य करता है। यंग मापांक $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ की परिभाषा से,हमें $k_1 = \frac{F}{\Delta L} = \frac{YA}{L}$ प्राप्त होता है।
दी गई स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $k_2 = K$ है।
चूंकि तार और स्प्रिंग श्रेणीक्रम में हैं,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq}$ के लिए $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ होगा।
$\frac{1}{k_{eq}} = \frac{L}{YA} + \frac{1}{K} = \frac{KL + YA}{YAK}$।
अतः,$k_{eq} = \frac{YAK}{YA + KL}$।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m(YA + KL)}{YAK}}$ होगा।

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,किसी भी बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकलन लूप द्वारा घिरे कुल विद्युत धारा $I_{\text{enclosed}}$ के $\mu_0$ गुना के बराबर होता है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
एक अनंत लंबाई के,पतली दीवार वाले पाइप के लिए जिसमें विद्युत धारा $I$ प्रवाहित हो रही है,पाइप के अंदर चुना गया कोई भी बंद लूप शून्य धारा को घेरता है $(I_{\text{enclosed}} = 0)$.
इसलिए,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$,जिसका अर्थ है कि पाइप के अंदर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ शून्य है।

(C) वर्गाकार लूप का प्रारंभिक चुंबकीय आघूर्ण $\mu_1 = iA = iL^2$ है,जिसकी दिशा लूप के तल के लंबवत है।
जब लूप को बीच से मोड़ा जाता है,तो यह दो छोटे आयताकार लूप बनाता है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $A' = L \times (L/2) = L^2/2$ है।
प्रत्येक आधे भाग का चुंबकीय आघूर्ण $M = iA' = iL^2/2 = \mu_1/2$ है।
ये दोनों आधे भाग परस्पर लंबवत तलों में स्थित हैं। मान लीजिए क्षैतिज भाग का चुंबकीय आघूर्ण $\overrightarrow{M_h}$ और ऊर्ध्वाधर भाग का $\overrightarrow{M_v}$ है।
दोनों का परिमाण $M = \mu_1/2$ है। परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $\overrightarrow{\mu_2}$ इन दोनों का सदिश योग है: $\mu_2 = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$।
$M = \mu_1/2$ रखने पर,हमें $\mu_2 = (\mu_1/2) \times \sqrt{2} = \mu_1/\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{|\overrightarrow{\mu_1}|}{|\overrightarrow{\mu_2}|} = \frac{\mu_1}{\mu_1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।

(C) कुल अभिक्रिया है: $3(_1H^2) \to _2He^4 + p + n$.
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = 3 \times M(H^2) - [M(He^4) + M(p) + M(n)]$
$\Delta m = 3(2.014) - [4.001 + 1.007 + 1.008] = 6.042 - 6.016 = 0.026 \, amu$.
प्रति अभिक्रिया मुक्त ऊर्जा $Q = 0.026 \times 931.5 \, MeV \approx 24.22 \, MeV$.
$Q = 24.22 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J \approx 3.875 \times 10^{-12} \, J$.
चूंकि $3$ ड्यूटेरॉन का उपयोग $Q$ ऊर्जा उत्पन्न करने के लिए किया जाता है, प्रति ड्यूटेरॉन ऊर्जा $E_d = Q/3 = 1.29 \times 10^{-12} \, J$ है।
कुल उपलब्ध ऊर्जा $E_{total} = N \times E_d = 10^{40} \times 1.29 \times 10^{-12} = 1.29 \times 10^{28} \, J$.
लिया गया समय $t = E_{total} / P = (1.29 \times 10^{28}) / 10^{16} = 1.29 \times 10^{12} \, s$.
अतः, समय $10^{12} \, s$ के क्रम का है।

(D) इनपुट $V(t)$ के धनात्मक अर्ध-चक्र में, डायोड $D_1$ फॉरवर्ड बायस में है और $D_2$ रिवर्स बायस में है। धारा $R_1$ और $R$ से होकर बहती है। $R$ पर वोल्टेज ड्रॉप वोल्टेज डिवाइडर नियम द्वारा निर्धारित होता है: $V_{AB, pos} = V(t) \cdot \frac{R}{R + R_1}$.
इनपुट $V(t)$ के ऋणात्मक अर्ध-चक्र में, डायोड $D_2$ फॉरवर्ड बायस में है और $D_1$ रिवर्स बायस में है। धारा $R_2$ और $R$ से होकर बहती है। $R$ पर वोल्टेज ड्रॉप है: $V_{AB, neg} = |V(t)| \cdot \frac{R}{R + R_2}$.
चूंकि $R_1 = 100 \ \Omega$ और $R_2 = 150 \ \Omega$ अलग-अलग हैं, इसलिए धनात्मक और ऋणात्मक अर्ध-चक्रों के दौरान $R$ पर पीक वोल्टेज मान अलग-अलग होंगे。
अतः, आउटपुट रेक्टिफाइड नहीं है और इसमें धनात्मक और ऋणात्मक अर्ध-चक्रों के दौरान अलग-अलग पीक मान होते हैं।