AP EAMCET 2021 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें $(x+7y-6)(x-5y+2)=0$ प्राप्त होता है।
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $L_1: x+7y-6=0$ और $L_2: x-5y+2=0$।
तीसरी रेखा $L_3: 5x+\lambda y-8=0$ है।
तीनों रेखाओं के संगामी होने के लिए,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & 7 & -6 \\ 1 & -5 & 2 \\ 5 & \lambda & -8 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(40-2\lambda) - 7(-8-10) - 6(\lambda+25) = 0$
$40 - 2\lambda + 126 - 6\lambda - 150 = 0$
$16 - 8\lambda = 0$
$8\lambda = 16$
$\lambda = 2$

(C) तीन रेखाओं के संगामी होने के लिए,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 4 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ k & 5 & -3 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$4((-1)(-3) - (5)(5)) - 3((1)(-3) - (5)(k)) - 1((1)(5) - (-1)(k)) = 0$
$4(3 - 25) - 3(-3 - 5k) - 1(5 + k) = 0$
$4(-22) + 9 + 15k - 5 - k = 0$
$-88 + 4 + 14k = 0$
$14k = 84$
$k = 6$

(C) चूंकि दी गई तीन रेखाएँ संगामी हैं,इसलिए उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होगा:
$\left|\begin{array}{ccc} 4 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ k & 5 & -3 \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$4((-1)(-3) - (5)(5)) - 3((1)(-3) - (5)(k)) - 1((1)(5) - (-1)(k)) = 0$
$4(3 - 25) - 3(-3 - 5k) - 1(5 + k) = 0$
$4(-22) + 9 + 15k - 5 - k = 0$
$-88 + 4 + 14k = 0$
$-84 + 14k = 0$
$14k = 84$
$k = 6$

(C) दिया गया समीकरण $5x^2 - 8xy + 3y^2 = 0$ है।
$x^2$ से भाग देने पर,हमें $3(\frac{y}{x})^2 - 8(\frac{y}{x}) + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $m = \frac{y}{x}$ रेखाओं की ढाल है। तब $3m^2 - 8m + 5 = 0$।
द्विघात समीकरण $3m^2 - 8m + 5 = 0$ को हल करने पर:
$3m^2 - 3m - 5m + 5 = 0$
$3m(m - 1) - 5(m - 1) = 0$
$(3m - 5)(m - 1) = 0$
अतः,ढाल $m_1 = \frac{5}{3}$ और $m_2 = 1$ हैं (क्योंकि $m_1 > m_2$)।
अनुपात $m_1 : m_2 = \frac{5}{3} : 1 = 5 : 3$ है।

(C) दिया गया समीकरण $4x^2 - 5xy + y^2 = 0$ है।
$x^2$ से भाग देने पर,हमें $m = \frac{y}{x}$ के रूप में द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
$m^2 - 5m + 4 = 0$.
यहाँ,$m_1$ और $m_2$ इस समीकरण के मूल हैं।
अतः,$m_1 + m_2 = 5$ और $m_1 m_2 = 4$.
हम जानते हैं कि $|m_1 - m_2| = \sqrt{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2}$.
मान रखने पर:
$|m_1 - m_2| = \sqrt{(5)^2 - 4(4)} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$.

(D) दिया गया समीकरण:
$y^3 - 4x^2y = 0$
गुणनखंड करने पर:
$y(y^2 - 4x^2) = 0$
$y(y - 2x)(y + 2x) = 0$
इससे तीन रेखाएँ प्राप्त होती हैं:
$L_1: y = 0$
$L_2: y = 2x$
$L_3: y = -2x$
ये तीनों रेखाएँ मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती हैं।
चूँकि ये तीनों रेखाएँ एक ही बिंदु $(0, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए ये संगामी रेखाएँ हैं।

(B) दी गई रेखाओं का समीकरण: $x^2+2 h x y+2 y^2=0$ $(i)$.
इसे $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ से तुलना करने पर,$a=1$ और $b=2$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है।
अतः,$m_1+m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{2h}{2} = -h$ $(ii)$ और $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ $(iii)$.
ढाल का अनुपात $m_1:m_2 = 1:2$ दिया गया है,इसलिए $m_2 = 2m_1$.
$(iii)$ में $m_2 = 2m_1$ रखने पर,$m_1(2m_1) = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2m_1^2 = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow m_1^2 = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow m_1 = \pm \frac{1}{2}$.
यदि $m_1 = \frac{1}{2}$ है,तो $m_2 = 1$,अतः $m_1+m_2 = \frac{3}{2}$. $(ii)$ से,$-h = \frac{3}{2} \Rightarrow h = -\frac{3}{2}$.
यदि $m_1 = -\frac{1}{2}$ है,तो $m_2 = -1$,अतः $m_1+m_2 = -\frac{3}{2}$. $(ii)$ से,$-h = -\frac{3}{2} \Rightarrow h = \frac{3}{2}$.
अतः,$h = \pm \frac{3}{2}$.

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2+4xy+y^2=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$2h=4$ (अर्थात $h=2$),और $b=1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{2^2-(1)(1)}}{1+1} \right| = \left| \frac{2\sqrt{4-1}}{2} \right| = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$।

(A) दिया गया समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के रूप में है,जहाँ $A = \cos \theta(\cos \theta + 1)$,$2H = -(2 \cos \theta + \sin^2 \theta)$,और $B = 1 - \cos \theta$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\alpha$,$\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{H^2 - AB}}{A + B} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
पहले,$A + B = \cos^2 \theta + \cos \theta + 1 - \cos \theta = \cos^2 \theta + 1$ की गणना करें।
इसके बाद,$H^2 - AB$ की गणना करने पर,हमें $\frac{(1 + \cos^2 \theta)^2}{4}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\tan \alpha = \frac{2 \sqrt{\frac{(1 + \cos^2 \theta)^2}{4}}}{\cos^2 \theta + 1} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।

(B) रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के बीच का न्यून कोण $\theta$,$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $6x^2 + 11xy - 10y^2 = 0$ की तुलना $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से करने पर,हमें $a = 6$,$b = -10$,और $h = \frac{11}{2}$ प्राप्त होता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{(\frac{11}{2})^2 - (6)(-10)}}{6 - 10}\right|$
$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{\frac{121}{4} + 60}}{-4}\right| = \left|\frac{\sqrt{361}}{-4}\right| = \frac{\sqrt{361}}{4}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{361}}{4}\right)$।

(B) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $ax^2+6xy+by^2-10x+10y-6=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $Ax^2+2Hxy+By^2+2Gx+2Fy+C=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A=a, H=3, B=b, G=-5, F=5, C=-6$ प्राप्त होता है।
समीकरण के रेखाओं के युग्म को दर्शाने के लिए,सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} a & 3 & -5 \\ 3 & b & 5 \\ -5 & 5 & -6 \end{vmatrix} = 0$
$a(-6b-25) - 3(-18+25) - 5(15+5b) = 0$
$-6ab - 25a - 21 - 75 - 25b = 0$
$-6ab - 25(a+b) - 96 = 0$.
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए $x^2$ का गुणांक और $y^2$ के गुणांक का योग शून्य होना चाहिए,अर्थात $a+b=0$,जिसका अर्थ है $b=-a$।
$b=-a$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$-6a(-a) - 25(a-a) - 96 = 0$
$6a^2 - 96 = 0$
$6a^2 = 96$
$a^2 = 16$
$|a| = 4$.

(A) रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम समीकरण $x^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए कोण $\theta$ है।
दूसरे समीकरण $x^2 + 2xy \sec \theta + y^2 = 0$ के लिए,$a=1$,$h=\sec \theta$,और $b=1$ है।
माना इन रेखाओं के बीच का कोण $\phi$ है।
तब $\tan \phi = \left| \frac{2\sqrt{(\sec \theta)^2 - (1)(1)}}{1+1} \right|$.
$\tan \phi = \left| \frac{2\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{2} \right|$.
चूंकि $\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta$,इसलिए $\tan \phi = \sqrt{\tan^2 \theta} = |\tan \theta|$.
अतः,$\phi = \theta$.

(C) दिया गया समीकरण $(\sin^2 \alpha) y^2 - 2xy(\cos^2 \alpha) + (\cos^2 \alpha - 1) x^2 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a = \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$
$h = -\cos^2 \alpha$
$b = \sin^2 \alpha$
रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2 \sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $a + b = -\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 0$ है।
चूंकि $a + b = 0$,रेखाएं एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,$\theta = 90^{\circ}$।

(A) दिया गया समीकरण $ab(x^2 - y^2) + (a^2 - b^2)xy = 0$ है।
इसे विस्तारित करने पर,हमें $abx^2 + (a^2 - b^2)xy - aby^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के रूप का समीकरण है,जहाँ $A = ab$ और $B = -ab$ है।
$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग $A + B = ab - ab = 0$ है।
चूँकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य है,इसलिए रेखाएँ एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(A) माना समीकरण को $(a y^2+p x y+e x^2)(y^2+q x y+k x^2) = 0$ के रूप में दर्शाया गया है।
दो रेखाओं के लंबवत होने के लिए,उनकी प्रवणता $m_1$ और $m_2$ को $m_1 m_2 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
दिए गए समीकरण $a y^4+b x y^3+c x^2 y^2+d x^3 y+e x^4=0$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें यह शर्त प्राप्त होती है:
$(b+d)(a d+b e)+(e-a)^2(a+c+e)=0$.

(D) रेखाओं के युग्म $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ के लिए कोण समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम युग्म $x^2-2 p x y-y^2=0$ के लिए,हमारे पास $a=1, b=-1, h=-p$ है।
कोण समद्विभाजक $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-p}$ हैं,जो सरल होकर $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-p}$ अर्थात $x^2-y^2+\frac{2 x y}{p}=0$ हो जाता है।
दिया गया है कि यह समद्विभाजक युग्म $x^2-2 q x y-y^2=0$ है,गुणांकों की तुलना करने पर:
$x^2+\frac{2}{p} x y-y^2=0$ की तुलना $x^2-2 q x y-y^2=0$ से करने पर,हमें $\frac{2}{p}=-2 q$ प्राप्त होता है।
अतः,$p q=-1$।

(B) दिया गया समीकरण $3 x^2-5 x y+4 y^2=0$ है।
इसे व्यापक रूप $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=3$,$2 h=-5$,और $b=4$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच के कोण के समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ होता है।
मान रखने पर,$\frac{x^2-y^2}{3-4}=\frac{x y}{-5/2}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{x^2-y^2}{-1}=\frac{2 x y}{-5}$ मिलता है।
दोनों पक्षों को $-5$ से गुणा करने पर,$5(x^2-y^2)=2 x y$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2-2 m x y-y^2=0$ है।
इसे सामान्य रूप $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=1, h=-m, b=-1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच के कोणों के समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-m}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-m}$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $-m(x^2-y^2)=2 x y$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $m x^2+2 x y-m y^2=0$ प्राप्त होता है।
$m$ से विभाजित करने पर ($m \neq 0$ मानते हुए),हमें $x^2+\frac{2}{m} x y-y^2=0$ प्राप्त होता है।
इसे समद्विभाजकों के दिए गए समीकरण $x^2-2 n x y-y^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $-2n = \frac{2}{m}$ प्राप्त होता है।
अतः $mn = -1$,या $mn+1=0$।

(B) सरल रेखाओं के युग्म $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ के लिए कोण समद्विभाजकों के युग्म का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
युग्म $x^2-2 p x y-y^2=0$ के लिए,समद्विभाजक $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-p}$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
यह $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-p}$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $-p(x^2-y^2)=2 x y$,या $p x^2+2 x y-p y^2=0$।
$p$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2+\frac{2}{p} x y-y^2=0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह समद्विभाजकों का युग्म है,इसलिए यह दिए गए युग्म $x^2-2 q x y-y^2=0$ के समान होना चाहिए।
$x y$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $-2 q = \frac{2}{p}$ प्राप्त होता है।
अतः,$-2 p q = 2$,जिससे $p q = -1$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $2y^2 + 5xy - 3x^2 = 0$ है,जिसे $3x^2 - 5xy - 2y^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
गुणनखंड करने पर: $3x^2 - 6xy + xy - 2y^2 = 0$ $\Rightarrow 3x(x - 2y) + y(x - 2y) = 0$ $\Rightarrow (x - 2y)(3x + y) = 0$.
रेखाएँ $L_1: x - 2y = 0$ और $L_2: 3x + y = 0$ हैं।
ये रेखाएँ मूलबिंदु $O(0, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
तीसरी रेखा $L_3: x + y = k$ है।
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x - 2y = 0$ और $x + y = k$ को हल करने पर $y = \frac{k}{3}$ और $x = \frac{2k}{3}$ प्राप्त होता है। अतः,$A = \left(\frac{2k}{3}, \frac{k}{3}\right)$.
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $3x + y = 0$ और $x + y = k$ को हल करने पर $x = -\frac{k}{2}$ और $y = \frac{3k}{2}$ प्राप्त होता है। अतः,$B = \left(-\frac{k}{2}, \frac{3k}{2}\right)$.
$\triangle OAB$ का केंद्रक $G = \left(\frac{0 + \frac{2k}{3} - \frac{k}{2}}{3}, \frac{0 + \frac{k}{3} + \frac{3k}{2}}{3}\right) = \left(\frac{k}{18}, \frac{11k}{18}\right)$ है।
दिया गया है कि $G = \left(\frac{1}{18}, \frac{11}{18}\right)$,इसलिए $\frac{k}{18} = \frac{1}{18} \Rightarrow k = 1$।

(B) दिया गया समीकरण $8 x^2-24 x y+18 y^2-6 x+9 y-5=0$ है।
इसे $(2 \sqrt{2} x - 3 \sqrt{2} y)^2 - 3(2 x - 3 y) - 5 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $2 x - 3 y = t$। तो समीकरण $2 t^2 - 3 t - 5 = 0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2 t^2 - 5 t + 2 t - 5 = 0 \implies (t + 1)(2 t - 5) = 0$।
अतः $t = -1$ या $t = 5/2$।
$t = 2 x - 3 y$ वापस रखने पर,हमें $2 x - 3 y + 1 = 0$ और $4 x - 6 y - 5 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों रेखाओं की ढाल $m = 2/3$ है,इसलिए रेखाएं समांतर हैं।

(B) समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाली रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है।
चूंकि एक रेखा $(0,0)$ और $(2,3)$ से गुजरती है,इसका समीकरण $y - 0 = \frac{3-0}{2-0}(x - 0)$ है,जो $3x - 2y = 0$ हो जाता है।
चूंकि दूसरी रेखा $(0,0)$ और $(4,5)$ से गुजरती है,इसका समीकरण $y - 0 = \frac{5-0}{4-0}(x - 0)$ है,जो $5x - 4y = 0$ हो जाता है।
इन दोनों रेखाओं का संयुक्त समीकरण $(3x - 2y)(5x - 4y) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $15x^2 - 12xy - 10xy + 8y^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $15x^2 - 22xy + 8y^2 = 0$ है।
इसे $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 15$,$2h = -22$ और $b = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + 2h + b = 15 - 22 + 8 = 1$।

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $2x^2+4xy-4y^2-6x-8y+7=0$ है।
$Y$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई ज्ञात करने के लिए $x=0$ रखें।
समीकरण में $x=0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $-4y^2-8y+7=0$ प्राप्त होता है,जो $4y^2+8y-7=0$ के बराबर है।
द्विघाती सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4(4)(-7)}}{2(4)} = \frac{-8 \pm \sqrt{176}}{8}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $y = \frac{-8 \pm 4\sqrt{11}}{8} = -1 \pm \frac{\sqrt{11}}{2}$ प्राप्त होता है।
$Y$-अक्ष पर दो प्रतिच्छेदन बिंदु $y_1 = -1 + \frac{\sqrt{11}}{2}$ और $y_2 = -1 - \frac{\sqrt{11}}{2}$ हैं।
अंतःखंड की लंबाई $|y_1 - y_2| = |(-1 + \frac{\sqrt{11}}{2}) - (-1 - \frac{\sqrt{11}}{2})| = |\sqrt{11}| = \sqrt{11}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $(x-2y)^2 + k(x-2y) = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x-2y)(x-2y+k) = 0$ प्राप्त होता है।
यह दो समांतर रेखाओं को दर्शाता है: $L_1: x-2y = 0$ और $L_2: x-2y+k = 0$।
दो समांतर रेखाओं $Ax+By+C_1=0$ और $Ax+By+C_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A=1, B=-2, C_1=0, C_2=k$ है।
अतः,$3 = \frac{|k-0|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$।
इसलिए,$|k| = 3\sqrt{5}$,जिसका अर्थ है $k = \pm 3\sqrt{5}$।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
रेखाओं के वास्तविक होने के लिए शर्त $h^2 - ab \geq 0$ है।
$2x^2 - pxy + 2y^2 = 0$ की तुलना सामान्य समीकरण से करने पर,$a = 2$,$2h = -p$ (अर्थात $h = -p/2$),और $b = 2$ प्राप्त होता है।
शर्त $h^2 - ab \geq 0$ में इन मानों को रखने पर:
$(-p/2)^2 - (2)(2) \geq 0$
$p^2/4 - 4 \geq 0$
$p^2 - 16 \geq 0$
$(p - 4)(p + 4) \geq 0$
असमिका को हल करने पर,हमें $p \leq -4$ या $p \geq 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$p \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$।

(D) रेखा का समीकरण $x + 2y = k$ है,जिसका अर्थ है $\frac{x + 2y}{k} = 1$।
मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं का संयुक्त समीकरण प्राप्त करने के लिए,हम वक्र $2x^2 - 2xy + 3y^2 + 2x - y - 1 = 0$ को रेखा के समीकरण का उपयोग करके समघात (homogenize) करेंगे:
$2x^2 - 2xy + 3y^2 + (2x - y)(1) - (1)^2 = 0$
$1 = \frac{x + 2y}{k}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2x^2 - 2xy + 3y^2 + (2x - y)\left(\frac{x + 2y}{k}\right) - \left(\frac{x + 2y}{k}\right)^2 = 0$
$k^2$ से गुणा करने पर:
$k^2(2x^2 - 2xy + 3y^2) + k(2x^2 + 4xy - xy - 2y^2) - (x^2 + 4xy + 4y^2) = 0$
$x^2(2k^2 + 2k - 1) + xy(-2k^2 + 3k - 4) + y^2(3k^2 - 2k - 4) = 0$
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होगा:
$(2k^2 + 2k - 1) + (3k^2 - 2k - 4) = 0$
$5k^2 - 5 = 0$
$k^2 = 1$

(C) दिया गया समीकरण $2x^2 + kxy - 6y^2 + 3x + y + 1 = 0$ है।
इसके रेखाओं का युग्म होने के लिए,सारणिक का मान शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & k/2 & 3/2 \\ k/2 & -6 & 1/2 \\ 3/2 & 1/2 & 1 \end{array}\right| = 0$
सरल करने पर,$k = 4$ प्राप्त होता है।
समीकरण $2x^2 + 4xy - 6y^2 + 3x + y + 1 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(2x - 2y + 1)(x + 3y + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरणों $2x - 2y + 1 = 0$ और $x + 3y + 1 = 0$ को हल करने पर:
$x = -5/8$ और $y = -1/8$ प्राप्त होता है।
अतः प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(\frac{-5}{8}, \frac{-1}{8}\right)$ है।

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ है। इसे व्यापक रूप $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=1, b=-35, g=-2, f=22, c=-12$ प्राप्त होता है।
इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$x = \frac{hf-bg}{ab-h^2} = \frac{(1)(22)-(-35)(-2)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{22-70}{-36} = \frac{-48}{-36} = \frac{4}{3}$
$y = \frac{gh-af}{ab-h^2} = \frac{(-2)(1)-(1)(22)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{-2-22}{-36} = \frac{-24}{-36} = \frac{2}{3}$
चूँकि रेखाएँ संगामी हैं,इसलिए बिंदु $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ समीकरण $5x+ky-8=0$ को संतुष्ट करेगा।
मान रखने पर: $5(\frac{4}{3}) + k(\frac{2}{3}) - 8 = 0$
$\frac{20}{3} + \frac{2k}{3} = 8$
$20 + 2k = 24$
$2k = 4$
$k = 2$

(D) दी गई रेखाओं का समीकरण $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=1, b=-35, g=-2, f=22, c=-12$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ का सूत्र:
$x_0 = \frac{hf-bg}{ab-h^2} = \frac{(1)(22)-(-35)(-2)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{22-70}{-36} = \frac{4}{3}$
$y_0 = \frac{gh-af}{ab-h^2} = \frac{(-2)(1)-(1)(22)}{-36} = \frac{-24}{-36} = \frac{2}{3}$
चूंकि रेखाएं संगामी हैं,बिंदु $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ रेखा $5x+\lambda y-8=0$ को संतुष्ट करेगा।
$5(\frac{4}{3}) + \lambda(\frac{2}{3}) - 8 = 0$
$\frac{20}{3} + \frac{2\lambda}{3} - 8 = 0$
$3$ से गुणा करने पर: $20 + 2\lambda - 24 = 0$
$2\lambda - 4 = 0$
$\lambda = 2$

(C) हम जानते हैं कि मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{a}{x+b})^{x+c} = e^a$ होती है।
दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{x \rightarrow \infty} (\frac{x+6}{x+1})^{x+4}$ है।
इसे $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{x+6}{x+1} - 1)^{x+4} = \lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{5}{x+1})^{x+4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मानक सीमा सूत्र $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{k}{f(x)})^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} k \cdot \frac{g(x)}{f(x)}}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e^{\lim _{x \rightarrow \infty} 5 \cdot \frac{x+4}{x+1}} = e^{5 \cdot \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1+4/x}{1+1/x}} = e^{5 \cdot 1} = e^5$.

(C) हमारे पास सीमा $L = \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+6}{x+1}\right)^{x+4}$ है।
चूंकि यह $1^{\infty}$ का एक अनिर्धारित रूप है,हम सूत्र $\lim _{x \rightarrow a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow a} (f(x)-1)g(x)}$ का उपयोग करते हैं।
$L = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x+6}{x+1} - 1\right)(x+4)}$
$L = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x+6-x-1}{x+1}\right)(x+4)}$
$L = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5(x+4)}{x+1}}$
$L = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5x+20}{x+1}}$
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$L = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5 + 20/x}{1 + 1/x}}$
जैसे $x \rightarrow \infty$,$1/x \rightarrow 0$,इसलिए:
$L = e^{\frac{5+0}{1+0}} = e^5$.

(B) दिया गया है,$x=a\left(\cos \theta+\log \tan \left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$ और $y=a \sin \theta$।
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\tan(\theta/2)} \cdot \sec^2(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} \right)$
यहाँ $\frac{1}{\tan(\theta/2)} \cdot \sec^2(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\theta/2)} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} = \frac{1}{\sin \theta}$।
अतः,$\frac{dx}{d\theta} = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} \right) = a \left( \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta} \right) = \frac{a \cos^2 \theta}{\sin \theta}$।
साथ ही,$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$।
इसलिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{a \cos^2 \theta / \sin \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$।

(B) दिया गया है $x=a[\cos \theta+\log (\tan (\theta/2))]$ और $y=a \sin \theta$.
सबसे पहले,$x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left[ -\sin \theta + \frac{1}{\tan(\theta/2)} \cdot \sec^2(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} \right]$
सर्वसमिका $\tan(\theta/2) = \frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)}$ और $\sec^2(\theta/2) = \frac{1}{\cos^2(\theta/2)}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left[ -\sin \theta + \frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\theta/2)} \cdot \frac{1}{2} \right]$
$\frac{dx}{d\theta} = a \left[ -\sin \theta + \frac{1}{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)} \right]$
चूंकि $2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2) = \sin \theta$,इसलिए:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left[ -\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} \right] = a \left[ \frac{1-\sin^2 \theta}{\sin \theta} \right] = \frac{a \cos^2 \theta}{\sin \theta} \quad \dots(i)$
अब,$y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta \quad \dots(ii)$
$\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{a \cos^2 \theta / \sin \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.

(D) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x \quad \dots(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan(\pi-x)}{\sec(\pi-x) + \tan(\pi-x)} d x$
चूँकि $\tan(\pi-x) = -\tan x$ और $\sec(\pi-x) = -\sec x$,इसलिए:
$I = \int_0^\pi \frac{-(\pi-x) \tan x}{-\sec x - \tan x} d x = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan x}{\sec x + \tan x} d x \quad \dots(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \tan x}{\sec x + \tan x} d x = \pi \int_0^\pi \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}} d x$
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1 + \sin x} d x = \pi \int_0^\pi \frac{1 + \sin x - 1}{1 + \sin x} d x$
$2I = \pi \left[ \int_0^\pi 1 d x - \int_0^\pi \frac{1}{1 + \sin x} d x \right]$
$2I = \pi \left[ [x]_0^\pi - \int_0^\pi \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} d x \right]$
$2I = \pi \left[ \pi - \int_0^\pi (\sec^2 x - \sec x \tan x) d x \right]$
$2I = \pi \left[ \pi - [\tan x - \sec x]_0^\pi \right]$
$2I = \pi \left[ \pi - ((\tan \pi - \sec \pi) - (\tan 0 - \sec 0)) \right]$
$2I = \pi \left[ \pi - ((0 - (-1)) - (0 - 1)) \right] = \pi [\pi - (1 + 1)] = \pi(\pi - 2)$
$I = \frac{\pi(\pi - 2)}{2}$

(D) असमानुपातन अभिक्रिया वह रासायनिक अभिक्रिया है जिसमें एक ही स्पीशीज का एक साथ ऑक्सीकरण और अपचयन दोनों होता है।
$ClO_4^{-}$ में,$Cl$ परमाणु की ऑक्सीकरण अवस्था $+7$ है। चूँकि क्लोरीन का संयोजी कोश विन्यास $3s^2 3p^5$ है,इसलिए यह अधिकतम $+7$ ऑक्सीकरण अवस्था प्रदर्शित कर सकता है।
चूँकि $Cl$ पहले से ही अपनी अधिकतम ऑक्सीकरण अवस्था में है,इसलिए इसका और अधिक ऑक्सीकरण नहीं हो सकता है।
अतः,$ClO_4^{-}$ केवल अपचयन प्रदर्शित कर सकता है और असमानुपातन अभिक्रिया में भाग नहीं ले सकता है।

(A) रेडॉक्स अभिक्रिया को संतुलित करने के लिए,हम अर्ध-अभिक्रिया विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. ऑक्सीकरण अर्ध-अभिक्रिया: $C_2O_4^{2-} \rightarrow 2CO_2 + 2e^-$
$2$. अपचयन अर्ध-अभिक्रिया: $MnO_4^{-} + 8H^{+} + 5e^- \rightarrow Mn^{2+} + 4H_2O$
$3$. इलेक्ट्रॉनों को संतुलित करने के लिए,ऑक्सीकरण अर्ध-अभिक्रिया को $5$ से और अपचयन अर्ध-अभिक्रिया को $2$ से गुणा करें:
$5C_2O_4^{2-} \rightarrow 10CO_2 + 10e^-$
$2MnO_4^{-} + 16H^{+} + 10e^- \rightarrow 2Mn^{2+} + 8H_2O$
$4$. दोनों अर्ध-अभिक्रियाओं को जोड़ने पर संतुलित समीकरण प्राप्त होता है:
$2MnO_4^{-} + 5C_2O_4^{2-} + 16H^{+} \rightarrow 2Mn^{2+} + 10CO_2 + 8H_2O$
अतः,$MnO_4^{-}$,$C_2O_4^{2-}$ और $H^{+}$ के गुणांक क्रमशः $2$,$5$ और $16$ हैं।

(B) $(i)$ $MnO_2$,$4 \ mol$ $HCl$ के साथ अभिक्रिया करके $1 \ mol$ $Cl_2$ गैस उत्पन्न करता है।
अभिक्रिया: $MnO_2 + 4 HCl \rightarrow MnCl_2 + Cl_2 + 2 H_2O$
$(ii)$ $2 \ mol$ $KMnO_4$,$16 \ mol$ $HCl$ के साथ अभिक्रिया करके $5 \ mol$ $Cl_2$ गैस उत्पन्न करता है।
अभिक्रिया: $2 KMnO_4 + 16 HCl \rightarrow 2 MnCl_2 + 5 Cl_2 + 8 H_2O + 2 KCl$
अतः,मुक्त होने वाली क्लोरीन गैस के मोलों की संख्या क्रमशः $1$ और $5$ है।

(B) किसी तत्व का तुल्यांकी भार इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{तुल्यांकी भार} = \frac{\text{परमाणु द्रव्यमान}}{\text{संयोजकता कारक}}$.
$Fe_2O_3$ में $Fe$ की ऑक्सीकरण अवस्था $+3$ है,इसलिए संयोजकता कारक $3$ है।
$Fe$ का परमाणु द्रव्यमान $= 56 \ g \ mol^{-1}$ दिया गया है।
अतः,$\text{तुल्यांकी भार} = \frac{56}{3} = 18.66 \ g \ \approx 18.6 \ g$.

(D) अपचायक (reducing agent) की उपस्थिति में,$MnO_4^{-}$ एक स्व-सूचक के रूप में कार्य करता है और इसका रंग गुलाबी से रंगहीन हो जाता है।
क्योंकि $MnO_4^{-}$ में $Mn$ की ऑक्सीकरण अवस्था $+7$ है,जो इसकी उच्चतम ऑक्सीकरण अवस्था है।
अतः,यह अपचयित होने की प्रवृत्ति रखता है और आसानी से इलेक्ट्रॉन स्वीकार करता है।
चार्ज ट्रांसफर कॉम्प्लेक्स होने के कारण,यह गहरा रंग प्रदर्शित करता है,इसीलिए यह स्व-सूचक के रूप में कार्य करता है।

(C) $K, Rb,$ और $Cs$ जब हवा में जलाए जाते हैं तो सुपरऑक्साइड बनाते हैं। \\ जैसे-जैसे हम समूह में नीचे जाते हैं,क्षार धातु धनायन का आकार $K^+$ से $Cs^+$ तक बढ़ता है। \\ सुपरऑक्साइड की स्थिरता जालक ऊर्जा द्वारा निर्धारित होती है; जैसे-जैसे धनायन का आकार बढ़ता है,जालक ऊर्जा कम हो जाती है,जिससे सुपरऑक्साइड की स्थिरता में कमी आती है। \\ इसलिए,सुपरऑक्साइड की स्थिरता $K$ से $Cs$ तक घटती है। \\ अतः,कथन $(A)$ सत्य है,लेकिन कारण $(R)$ असत्य है।

(D) क्षार धातुओं के सबसे बाहरी कोश में केवल एक संयोजी इलेक्ट्रॉन होता है।
कम आयनन एन्थैल्पी के कारण वे आसानी से एक संयोजी इलेक्ट्रॉन खो देते हैं और अन्य यौगिकों को अपचयित करने के लिए स्वयं ऑक्सीकृत हो जाते हैं।
इसलिए,वे शक्तिशाली अपचायक के रूप में कार्य करते हैं।

(A) जालक ऊर्जा धनायन और ऋणायन के बीच की अंतर-आयनिक दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
चूंकि दिए गए सभी यौगिकों में फ्लोराइड आयन $(F^{-})$ सामान्य है,इसलिए जालक ऊर्जा क्षार धातु धनायन के आकार पर निर्भर करती है।
जैसे-जैसे धनायन का आकार $Li^{+}$ से $Cs^{+}$ तक बढ़ता है,अंतर-आयनिक दूरी बढ़ती है,जिससे जालक ऊर्जा में कमी आती है।
इसलिए,$LiF$ में सबसे कम अंतर-आयनिक दूरी होती है और परिणामस्वरूप इसकी जालक ऊर्जा सबसे अधिक होती है।

(B) मांसपेशियों के संकुचन में,कैल्शियम आयन $Ca^{2+}$ प्रोटीन मायोसिन और एक्टिन के बीच बातचीत को सुविधाजनक बनाकर एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
$Ca^{2+}$ आयन एक्टिन फिलामेंट पर ट्रोपोनिन कॉम्प्लेक्स से जुड़ते हैं,जिससे संरचनात्मक परिवर्तन होता है और मायोसिन हेड के लिए बाइंडिंग साइट्स खुल जाती हैं,जिससे मांसपेशियों का संकुचन उत्तेजित होता है।

(D) समूह में नीचे जाने पर क्षारीय मृदा धातु धनायन का आकार बढ़ने के साथ हाइड्रेट बनाने की प्रवृत्ति घटती है।
छोटे धनायनों का आवेश घनत्व अधिक होता है,जो उन्हें पानी के अणुओं को अधिक प्रभावी ढंग से ध्रुवीकृत (polarize) करने की क्षमता देता है,जिससे मजबूत जलयोजन (hydration) होता है।
आयनिक त्रिज्या का क्रम: $Mg^{2+} < Ca^{2+} < Sr^{2+} < Ba^{2+}$.
अतः,हाइड्रेट बनाने की प्रवृत्ति का क्रम: $Mg^{2+} > Ca^{2+} > Sr^{2+} > Ba^{2+}$.
इस प्रकार,सही क्रम $Mg > Ca > Sr > Ba$ है।

(A) द्वि-लवण ऐसे संकलन यौगिक हैं जो केवल ठोस अवस्था में मौजूद होते हैं और पानी में घुलने पर अपने घटक आयनों में वियोजित हो जाते हैं। $Li_2SO_4$ द्वि-लवण (जैसे फिटकरी) नहीं बनाता है क्योंकि $Li^+$ आयन का आकार बहुत छोटा होता है और इसकी ध्रुवण क्षमता (polarizing power) अधिक होती है। अपने छोटे आकार के कारण,$Li^+$ आयन द्वि-लवण की विशिष्ट क्रिस्टल जालक संरचना बनाने के लिए आवश्यक समन्वय आवश्यकताओं को पूरा नहीं कर पाता है,जबकि $Na^+$,$K^+$ और $Rb^+$ जैसे बड़े क्षार धातु आयन ऐसा कर सकते हैं।

(C) दिया है,$l^2+m^2-n^2=0$ $(i)$ और $l+m+n=0$ $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ से,$n=-(l+m)$. इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$l^2+m^2=(-(l+m))^2 = l^2+m^2+2lm$.
इसका अर्थ है $2lm=0$,अतः $l=0$ या $m=0$.
स्थिति $1$: यदि $l=0$,तो $n=-m$. चूँकि $l^2+m^2+n^2=1$,हमारे पास $0^2+m^2+(-m)^2=1 \Rightarrow 2m^2=1 \Rightarrow m=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$. अतः,दिक्-कोसाइन $(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ और $(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=0$,तो $n=-l$. चूँकि $l^2+m^2+n^2=1$,हमारे पास $l^2+0^2+(-l)^2=1 \Rightarrow 2l^2=1 \Rightarrow l=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$. अतः,दिक्-कोसाइन $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ और $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
माना दोनों रेखाओं के दिक्-सदिश $\vec{a} = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ और $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = |l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2|$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = |(0)(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(0) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})| = |0 + 0 + \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(D) दो रेखाओं की दिक्कोज्याओं $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ का मान दूसरे समीकरण $l^2-5m^2+n^2=0$ में रखने पर:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2 = 0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2 = 0$
$2l^2+2lm-4m^2 = 0$
$l^2+lm-2m^2 = 0$
$(l+2m)(l-m) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $l=m$. तब $n = -(l+m) = -2l$. दिक् अनुपात $(l, l, -2l)$ प्राप्त होते हैं,जो सरल होकर $(1, 1, -2)$ हो जाते हैं। दिक्कोज्याएँ $(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$ हैं।
स्थिति $2$: $l=-2m$. तब $n = -(-2m+m) = m$. दिक् अनुपात $(-2m, m, m)$ प्राप्त होते हैं,जो सरल होकर $(-2, 1, 1)$ हो जाते हैं। दिक्कोज्याएँ $(-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$ हैं।
माना दो रेखाओं की दिक्कोज्याएँ $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$ और $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$ हैं।
उनके बीच के कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta$ इस प्रकार है:
$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$
अतः $\cos \theta = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$।

(C) दिया गया है,$l+m+n=0 \implies l = -m-n$ और $l^2+m^2-n^2=0$.
दूसरे समीकरण में $l = -m-n$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(-m-n)^2 + m^2 - n^2 = 0$
$m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - n^2 = 0$
$2m^2 + 2mn = 0$
$2m(m+n) = 0$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: यदि $m=0$,तो $l = -n$. दिक् अनुपात $(-n, 0, n)$ हैं,जिसे $(-1, 0, 1)$ के रूप में सरल किया जा सकता है। मान लीजिए $\vec{v_1} = (-1, 0, 1)$.
स्थिति $2$: यदि $m+n=0$,तो $m = -n$. $l = -m-n$ में मान रखने पर,$l = -(-n)-n = 0$ प्राप्त होता है। दिक् अनुपात $(0, -n, n)$ हैं,जिसे $(0, -1, 1)$ के रूप में सरल किया जा सकता है। मान लीजिए $\vec{v_2} = (0, -1, 1)$.
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (-1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$.
$|\vec{v_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(D) माना $Fe^{2+}$ आयनों की संख्या $x$ है और $Fe^{3+}$ आयनों की संख्या $(0.96 - x)$ है।
चूंकि यौगिक विद्युत रूप से उदासीन है,इसलिए कुल धनात्मक आवेश कुल ऋणात्मक आवेश के बराबर होना चाहिए।
$O^{2-}$ का आवेश $-2$ है।
अतः,$2x + 3(0.96 - x) - 2 = 0$.
$2x + 2.88 - 3x - 2 = 0$.
$-x + 0.88 = 0$.
$x = 0.88$.
अतः,$Fe^{2+}$ आयनों की संख्या $0.88$ है और $Fe^{3+}$ आयनों की संख्या $0.96 - 0.88 = 0.08$ है।
$Fe^{2+}$ का मोल अंश $Fe^{2+}$ आयनों की संख्या और $Fe$ आयनों की कुल संख्या का अनुपात है।
$Fe^{2+}$ का मोल अंश $= \frac{0.88}{0.96} = \frac{88}{96} = \frac{11}{12}$.