AP EAMCET 2020 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) $A_2 X_3$ आण्विक सूत्र वाले अल्प विलेय लवण के लिए,यदि दिए गए तापमान पर शुद्ध जल में विलेयता $y \ M$ है:
$A_2 X_3 \rightleftharpoons 2 A^{3+} + 3 X^{2-}$
साम्यावस्था सांद्रता: $2y \ M, 3y \ M$
विलेयता गुणनफल,$K_{sp} = [A^{3+}]^2 [X^{2-}]^3$
$K_{sp} = (2y)^2 \times (3y)^3$
$K_{sp} = 4y^2 \times 27y^3 = 108y^5 \ M^5$

(A) जब समान आयतन मिलाए जाते हैं,तो प्रत्येक आयन की सांद्रता आधी हो जाती है।
अवक्षेपण तब होता है यदि आयनिक गुणनफल $Q_{sp} = [Ca^{2+}][F^{-}]^2 > K_{sp} = 1.6 \times 10^{-10}$ हो।
विकल्प $A$ के लिए: $Q_{sp} = (0.5 \times 10^{-2})(0.5 \times 10^{-5})^2 = 1.25 \times 10^{-13} < 1.6 \times 10^{-10}$। अतः अवक्षेपण नहीं होगा।

(B) $AgBr$ का वियोजन इस प्रकार है: $AgBr(s) \rightleftharpoons Ag^{+}(aq) + Br^{-}(aq)$.
विलेयता गुणनफल का व्यंजक $K_{sp} = [Ag^{+}][Br^{-}] = 5.0 \times 10^{-13}$ है।
$0.1 \ M$ $NaBr$ की उपस्थिति में,$Br^{-}$ आयनों की सांद्रता $NaBr$ द्वारा निर्धारित होती है,इसलिए $[Br^{-}] \approx 0.1 \ M$ है।
माना $AgBr$ की विलेयता $S$ है। अतः $[Ag^{+}] = S$ होगा।
इन मानों को $K_{sp}$ व्यंजक में रखने पर: $S \times 0.1 = 5.0 \times 10^{-13}$।
$S$ के लिए हल करने पर: $S = (5.0 \times 10^{-13}) / 0.1 = 5.0 \times 10^{-12} \ M$।
अतः,$0.1 \ M$ $NaBr$ में $AgBr$ की विलेयता $5.0 \times 10^{-12} \ M$ है।

(D) माना $CaSO_4$ की विलेयता $S \ mol/L$ है।
$CaSO_4(s) \rightleftharpoons Ca^{2+}(aq) + SO_4^{2-}(aq)$
$K_{sp} = [Ca^{2+}][SO_4^{2-}] = S^2 = 9 \times 10^{-6}$
$S = \sqrt{9 \times 10^{-6}} = 3 \times 10^{-3} \ M$ (या $mol/L$)।
$CaSO_4$ का मोलर द्रव्यमान $= 40 + 32 + (4 \times 16) = 136 \ g/mol$ है।
$g/L$ में विलेयता $= S \times \text{मोलर द्रव्यमान} = 3 \times 10^{-3} \ mol/L \times 136 \ g/mol = 0.408 \ g/L$ है।
इसका अर्थ है कि $0.408 \ g$ $CaSO_4$,$1 \ L$ पानी में घुलता है।
अतः,$1 \ g$ $CaSO_4$ को घोलने के लिए आवश्यक आयतन $= \frac{1 \ g}{0.408 \ g/L} \approx 2.45 \ L$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक को वेज के फ्रेम में देखें। चूंकि ब्लॉक फिसलता नहीं है,इसलिए यह वेज के फ्रेम में संतुलन में है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $m g$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. वेज द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $R$,जो झुकी हुई सतह के लंबवत कार्य करता है।
$3$. छद्म बल (pseudo force) $m a$ जो वेज के त्वरण की विपरीत दिशा में क्षैतिज रूप से कार्य करता है।
झुकी हुई सतह के अनुदिश बलों को वियोजित करने पर:
$m g \sin \theta = m a \cos \theta$
$\Rightarrow a = g \tan \theta$ ... $(i)$
झुकी हुई सतह के लंबवत बलों को वियोजित करने पर:
$R = m g \cos \theta + m a \sin \theta$
समीकरण $(i)$ से $a$ का मान रखने पर:
$R = m g \cos \theta + m (g \tan \theta) \sin \theta$
$R = m g \cos \theta + m g \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}$
$R = \frac{m g \cos^2 \theta + m g \sin^2 \theta}{\cos \theta}$
$R = \frac{m g (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}{\cos \theta}$
$R = \frac{m g}{\cos \theta} = m g \sec \theta$

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \ kg$,प्रारंभिक वेग $u = 30 \hat{i} + 40 \hat{j} \ ms^{-1}$,और बल $F = -(\hat{i} + 5 \hat{j}) \ N$ है।
हम गति के $y$-घटक पर ध्यान केंद्रित करते हैं।
प्रारंभिक $y$-वेग $u_y = 40 \ ms^{-1}$ और बल का $y$-घटक $F_y = -5 \ N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$y$-अक्ष पर त्वरण $a_y = \frac{F_y}{m} = \frac{-5 \ N}{5 \ kg} = -1 \ ms^{-2}$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब अंतिम $y$-वेग $v_y = 0$ हो जाता है।
गति के पहले समीकरण $v_y = u_y + a_y t$ का उपयोग करते हुए:
$0 = 40 + (-1)t$
$t = 40 \ s$.

(A) कण एक चिकनी मेज पर क्षैतिज वृत्त में गति करता है। कण पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. मेज से अभिलंब प्रतिक्रिया $(N)$ जो ऊपर की ओर कार्य करती है।
$3$. डोरी में तनाव $(T)$ जो वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर कार्य करता है।
चूंकि कण एक क्षैतिज वृत्त में गति कर रहा है,इसलिए ऊर्ध्वाधर दिशा में कोई त्वरण नहीं है,अतः $N = mg$ है।
केंद्र की ओर कार्य करने वाला क्षैतिज बल तनाव $T$ है,जो वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है। अतः,केंद्र की ओर निर्देशित कण पर कुल बल $T$ के बराबर है।

(C) $BF_3$ का उपयोग कई औद्योगिक प्रक्रियाओं में उत्प्रेरक के रूप में किया जाता है क्योंकि यह एक प्रबल लुईस अम्ल है।
$BF_3$ में $sp^2$-संकरित बोरॉन इलेक्ट्रॉन-न्यून होता है (संयोजकता कोश में $6 \ e^-$,जो अष्टक पूर्ण करने के लिए आवश्यक $8 \ e^-$ से $2 \ e^-$ कम है) और यह एक प्रबल लुईस अम्ल के रूप में कार्य करता है।

(A) $BF_3 \xrightarrow{LiAlH_4} B_2H_6 (X)$
$3B_2H_6 + 6NH_3 \xrightarrow{\Delta} 2B_3N_3H_6 (Y) + 12H_2$
यौगिक $X$,$B_2H_6$ (डाइबोरेन) है।
यौगिक $Y$,$B_3N_3H_6$ (बोराजीन) है,जिसे अकार्बनिक बेंजीन के रूप में जाना जाता है।

(A) जब बोरॉन ट्राइक्लोराइड $(BCl_3)$ जल के साथ अभिक्रिया करता है,तो यह जल-अपघटन (hydrolysis) द्वारा बोरिक अम्ल $(H_3BO_3)$ और हाइड्रोक्लोरिक अम्ल $(HCl)$ बनाता है।
संतुलित रासायनिक समीकरण इस प्रकार है:
$BCl_3 + 3H_2O \longrightarrow H_3BO_3 + 3HCl$

(C) $B_2H_6$ में,$4$ टर्मिनल $B-H$ बंध होते हैं जो $2$-केंद्र-$2$-इलेक्ट्रॉन $(2c-2e)$ बंध हैं।
इसमें $2$ सेतु हाइड्रोजन परमाणु होते हैं जो $2$ सेतु $B-H-B$ बंध बनाते हैं।
प्रत्येक सेतु $B-H-B$ बंध एक $3$-केंद्र-$2$-इलेक्ट्रॉन $(3c-2e)$ बंध होता है।
इसलिए,ऐसे केवल $2$ ही $3c-2e$ बंध होते हैं,$4$ नहीं।
अतः,कथन $(C)$ गलत है।

(A) बोरोन हैलाइड्स $(BX_3)$ में एक केंद्रीय बोरोन परमाणु तीन हैलोजन परमाणुओं से बंधा होता है।
इन अणुओं में,बोरोन के संयोजी कोश में केवल $6$ इलेक्ट्रॉन होते हैं (अपूर्ण अष्टक)।
इस इलेक्ट्रॉन की कमी के कारण,वे अपने अष्टक को पूरा करने के लिए लुईस क्षार से इलेक्ट्रॉनों के एक एकाकी युग्म को स्वीकार करके लुईस अम्ल के रूप में कार्य करते हैं।

(A) जब कार्बन ऑक्सीजन के साथ जुड़ता है,तो यह चार अलग-अलग ऑक्साइड या ऑक्सोकार्बन बना सकता है:
$1$. कार्बन मोनोऑक्साइड: $CO$
$2$. कार्बन डाइऑक्साइड: $CO_2$
$3$. कार्बन सबऑक्साइड: $C_3O_2$
$4$. मेलिटिक एनहाइड्राइड: $C_{12}O_9$
अतः,ऐसे $4$ यौगिक होते हैं।

(A) $CCl_4$ का जल-अपघटन नहीं हो सकता क्योंकि $C$ परमाणु,दूसरे आवर्त का सदस्य होने के कारण,अपनी संयोजकता कोश में रिक्त $d$-कक्षक नहीं रखता है।
इसलिए,यह जल के अणु के ऑक्सीजन परमाणु द्वारा दान किए गए एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म (lone pair) को समायोजित नहीं कर सकता है।
इसके विपरीत,$SiCl_4$,$VCl_4$ और $TiCl_4$ में रिक्त $d$-कक्षक होते हैं,जिससे वे जल-अपघटन कर सकते हैं।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) समूह $14$ में,जैसे-जैसे हम समूह में नीचे जाते हैं,परमाणु का आकार बढ़ता है और तत्व-तत्व बंध की बंध ऊर्जा घटती है।
इसके परिणामस्वरूप श्रृंखलन प्रदर्शित करने की प्रवृत्ति कम हो जाती है।
श्रृंखलन का सही क्रम है: $C >> Si > Ge \approx Sn$।
लेड $(Pb)$ अपने बड़े आकार और कमजोर बंध शक्ति के कारण श्रृंखलन प्रदर्शित नहीं करता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) $1$. $N(SiH_3)_3$ में,नाइट्रोजन परमाणु के पास एक लोन पेयर होता है जो सिलिकॉन परमाणु के रिक्त $3d$-ऑर्बिटल में दान किया जाता है,जिससे $p\pi-d\pi$ बैक-बॉन्डिंग बनती है। यह नाइट्रोजन परमाणु को $sp^2$ संकरित बनाता है,जिसके परिणामस्वरूप $planar$ ज्यामिति प्राप्त होती है।
$2$. $Me_3N$ (ट्राइमिथाइल एमाइन) में,कार्बन परमाणु के पास रिक्त $d$-ऑर्बिटल नहीं होते हैं,इसलिए कोई बैक-बॉन्डिंग नहीं होती है। नाइट्रोजन परमाणु $sp^3$ संकरित रहता है और एक लोन पेयर रखता है,जिसके परिणामस्वरूप $pyramidal$ ज्यामिति प्राप्त होती है।
$3$. $(SiH_3)_3P$ में,फास्फोरस परमाणु नाइट्रोजन की तुलना में बड़ा होता है और इसकी विद्युत ऋणात्मकता कम होती है। फास्फोरस पर लोन पेयर स्टीरियोकेमिकली सक्रिय होता है और सिलिकॉन के साथ महत्वपूर्ण बैक-बॉन्डिंग में भाग नहीं लेता है। इसलिए,यह $pyramidal$ ज्यामिति बनाए रखता है।

(C) पायरोसिलिकेट $(Si_2O_7)^{6-}$ में,दो सिलिकेट इकाइयाँ $(SiO_4)^{4-}$ एक ऑक्सीजन परमाणु साझा करती हैं। इसकी संरचना को $(Si_2O_7)^{6-} = O_3Si-O-SiO_3$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(A) $(CH_3)_3SiCl$ का उपयोग ऑर्गेनोसिलिकॉन्स के बहुलकीकरण के दौरान किया जाता है क्योंकि यह एक श्रृंखला टर्मिनेटर (chain terminator) के रूप में कार्य करता है।
जब इसे प्रतिक्रिया मिश्रण में मिलाया जाता है,तो यह बढ़ती हुई सिलोक्सेन श्रृंखला के अंतिम $-OH$ समूहों के साथ प्रतिक्रिया करता है,जिससे अंत में एक स्थिर $(CH_3)_3Si-O-$ समूह बनता है।
यह आगे के संघनन (condensation) को रोकता है और इस प्रकार ऑर्गेनोसिलिकॉन पॉलिमर की श्रृंखला की लंबाई को नियंत्रित करने की अनुमति देता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) सिलिकोन $R_2SiO$ सामान्य सूत्र वाले सिंथेटिक ऑर्गेनोसिलिकॉन पॉलिमर हैं।
सिलिकॉन परमाणुओं से जुड़े गैर-ध्रुवीय कार्बनिक समूहों की उपस्थिति के कारण वे हाइड्रोफोबिक (जल-विकर्षक) प्रकृति के होते हैं।
वे जैव-संगत (biocompatible) होने के कारण चिकित्सा अनुप्रयोगों में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।
हालाँकि,सिलिकोन मजबूत $Si-O$ बंध और मुक्त इलेक्ट्रॉनों या आयनों की अनुपस्थिति के कारण विद्युत के अच्छे कुचालक होते हैं,सुचालक नहीं।

(D) समूह-$14$ के तत्वों के डाइऑक्साइडों ($CO_2$,$SiO_2$,$GeO_2$,$SnO_2$,और $PbO_2$) में से,$PbO_2$ प्रकृति में दुर्बल क्षारीय है।
अक्रिय युग्म प्रभाव (inert pair effect) के कारण,$Pb$ की $+2$ ऑक्सीकरण अवस्था $+4$ ऑक्सीकरण अवस्था की तुलना में अधिक स्थिर होती है।
इसलिए,$PbO_2$ (जहाँ $Pb$ $+4$ अवस्था में है) में $Pb^{2+}$ $(PbO)$ में अपचयित होने की प्रबल प्रवृत्ति होती है,जो इसे एक शक्तिशाली ऑक्सीकारक बनाता है।

(D) $NO_3^{-}$ आयन में नाइट्रोजन परमाणु का संयोजी कोश विन्यास $2s^2 2p^3$ होता है।
नाइट्रेट आयन में,नाइट्रोजन तीन सिग्मा बंध (प्रत्येक ऑक्सीजन परमाणु के साथ एक) और एक पाई बंध (तीन ऑक्सीजन परमाणुओं पर विस्थानीकृत) बनाता है।
इसका अर्थ है कि नाइट्रोजन अपने $5$ संयोजी इलेक्ट्रॉनों का उपयोग $4$ बंध बनाने के लिए करता है।
इसलिए,नाइट्रोजन परमाणु पर बंध युग्मों (bond pairs) की संख्या $4$ है।
चूंकि सभी संयोजी इलेक्ट्रॉन बंध बनाने में प्रयुक्त हो जाते हैं,इसलिए नाइट्रोजन परमाणु पर $0$ एकाकी युग्म (lone pairs) होते हैं।
अतः,सही उत्तर $4,0$ है।

(C) $P_4O_{10}$ की संरचना में एक $P_4$ चतुष्फलकीय कोर होता है जहाँ प्रत्येक किनारे को एक ऑक्सीजन परमाणु ($P-O-P$ लिंकेज) द्वारा जोड़ा जाता है।
इसके अतिरिक्त,प्रत्येक फास्फोरस परमाणु एक द्वि-बंध $(P=O)$ के माध्यम से एक टर्मिनल ऑक्सीजन परमाणु से जुड़ा होता है।
इनकी गणना करने पर,इसमें $12$ $P-O$ एकल बंध और $4$ $P=O$ द्वि-बंध होते हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) $O_3$ एक प्रबल ऑक्सीकारक के रूप में कार्य करता है।
$KI$ का ऑक्सीकरण $I_2$ में हो जाता है।
$FeSO_4$ का ऑक्सीकरण $Fe_2(SO_4)_3$ में हो जाता है।
$K_2MnO_4$ का ऑक्सीकरण $KMnO_4$ में हो जाता है।
$KMnO_4$ में,$Mn$ की ऑक्सीकरण अवस्था $+VII$ है,जो $Mn$ के लिए अधिकतम संभव ऑक्सीकरण अवस्था है।
इसलिए,$KMnO_4$ का $O_3$ द्वारा और अधिक ऑक्सीकरण नहीं किया जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) संतुलित रासायनिक समीकरण: $AgNO_{3(aq)} + NaCl_{(aq)} \rightarrow AgCl_{(s)} + NaNO_{3(aq)}$
चरण $1$: अभिकारकों का द्रव्यमान ज्ञात करें।
$AgNO_3$ का द्रव्यमान = $25 \ mL \times 0.35 = 8.75 \ g$.
$AgNO_3$ के मोल = $\frac{8.75 \ g}{169.87 \ g/mol} \approx 0.0515 \ mol$.
$NaCl$ का द्रव्यमान = $25 \ mL \times 0.116 = 2.9 \ g$.
$NaCl$ के मोल = $\frac{2.9 \ g}{58.44 \ g/mol} \approx 0.0496 \ mol$.
चरण $2$: सीमांत अभिकर्मक की पहचान करें।
चूंकि स्टोइकोमेट्री $1:1$ है,$NaCl$ सीमांत अभिकर्मक है $(0.0496 \ mol < 0.0515 \ mol)$.
चरण $3$: बने $AgCl$ का द्रव्यमान ज्ञात करें।
$AgCl$ के मोल = $NaCl$ के मोल = $0.0496 \ mol$.
$AgCl$ का द्रव्यमान = $0.0496 \ mol \times 143.32 \ g/mol \approx 7.1 \ g$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,उत्तर $7 \ g$ है।

(C) एक अपचायक वह पदार्थ है जिसका ऑक्सीकरण हो सकता है,जिसका अर्थ है कि इसके केंद्रीय परमाणु की ऑक्सीकरण अवस्था बढ़नी चाहिए।
$SO_2$ में,$S$ की ऑक्सीकरण अवस्था $+4$ है और इसकी अधिकतम ऑक्सीकरण अवस्था $+6$ है,इसलिए इसका ऑक्सीकरण हो सकता है।
$NO_2$ में,$N$ की ऑक्सीकरण अवस्था $+4$ है और इसकी अधिकतम ऑक्सीकरण अवस्था $+5$ है,इसलिए इसका ऑक्सीकरण हो सकता है।
$CO_2$ में,$C$ की ऑक्सीकरण अवस्था $+4$ है,जो इसकी अधिकतम समूह ऑक्सीकरण अवस्था (समूह $14$) है। इसलिए,इसका और अधिक ऑक्सीकरण नहीं हो सकता है और यह अपचायक के रूप में कार्य नहीं कर सकता है।
$ClO_2$ में,$Cl$ की ऑक्सीकरण अवस्था $+4$ है और इसकी अधिकतम ऑक्सीकरण अवस्था $+7$ है,इसलिए इसका ऑक्सीकरण हो सकता है।

(B) $SF_6$ में,सल्फर परमाणु $sp^3d^2$ संकरित होता है,जिसके परिणामस्वरूप अष्टफलकीय ज्यामिति प्राप्त होती है।
छह फ्लोरीन परमाणु केंद्रीय सल्फर परमाणु को घेर लेते हैं,जिससे एक अत्यधिक भीड़भाड़ वाला वातावरण बनता है।
यह त्रिविम बाधा (steric hindrance) सल्फर परमाणु पर किसी भी न्यूक्लियोफाइल या इलेक्ट्रोफाइल के हमले को रोकती है,जिससे $SF_6$ गतिक रूप से अक्रिय हो जाता है।

(B) आवर्त सारणी में समूह में नीचे जाने पर,हैलोजन का परमाणु आकार काफी बढ़ जाता है।
आकार में इस वृद्धि के कारण $H-X$ बंध की बंध वियोजन एन्थैल्पी कम हो जाती है।
परिणामस्वरूप,बंध कमजोर हो जाता है और $H^+$ आयन को मुक्त करना आसान हो जाता है।
इसलिए,समूह में नीचे जाने पर अम्लीय शक्ति बढ़ती है।
सही क्रम $HF < HCl < HBr < HI$ है।

(C) आण्विक कक्षकों का निर्माण परमाणु कक्षकों के रैखिक संयोजन $(LCAO)$ विधि द्वारा वर्णित किया जाता है।
आबंधी आण्विक कक्षक परमाणु कक्षकों के रचनात्मक व्यतिकरण द्वारा बनते हैं,जो उनके तरंग फलनों के योग के अनुरूप होता है।
इसलिए,एक आबंधी आण्विक कक्षक के लिए तरंग फलन $\psi_{bonding} = \psi_A + \psi_B$ द्वारा दिया जाता है।
इसके विपरीत,अनाबंधी आण्विक कक्षक विनाशी व्यतिकरण द्वारा बनते हैं,जिसे तरंग फलनों के घटाव द्वारा दर्शाया जाता है,$\psi_{antibonding} = \psi_A - \psi_B$।

(D) दी गई व्यंजक: $\tan 9^{\circ}-\tan 27^{\circ}-\tan 63^{\circ}+\tan 81^{\circ}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\tan 81^{\circ}+\tan 9^{\circ}) - (\tan 63^{\circ}+\tan 27^{\circ})$
सर्वसमिका $\tan(90^{\circ}-\theta) = \cot \theta$ का उपयोग करने पर:
$= (\cot 9^{\circ}+\tan 9^{\circ}) - (\cot 27^{\circ}+\tan 27^{\circ})$
सूत्र $\cot \theta + \tan \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$
$= 2 \left( \frac{\sin 54^{\circ} - \sin 18^{\circ}}{\sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}} \right)$
सूत्र $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \left( \frac{2 \cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ}}{\sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}} \right)$
चूंकि $\sin 54^{\circ} = \cos 36^{\circ}$:
$= 2 \left( \frac{2 \cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ}}{\cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ}} \right) = 2 \times 2 = 4$

(B) $x$ और $y$ में द्वितीय घात का समघातीय समीकरण,जो $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,मूल बिंदु से गुजरने वाली दो सरल रेखाओं का युग्म दर्शाता है,बशर्ते $h^2 \geq ab$ हो।

(A) सरल रेखाओं का युग्म $A x^2+2 H x y+B y^2=0$ मूल बिंदु से होकर गुजरता है। इन रेखाओं द्वारा रेखा $a x+b y+c=0$ के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाने के लिए,रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $60^{\circ}$ या $\frac{\pi}{3}$ होना चाहिए।
रेखाओं $A x^2+2 H x y+B y^2=0$ के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{2 \sqrt{H^2-A B}}{|A+B|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = \frac{\pi}{3}$ रखने पर,हमें $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{3} = \frac{2 \sqrt{H^2-A B}}{|A+B|}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$3 = \frac{4(H^2-A B)}{(A+B)^2}$।
$3(A+B)^2 = 4(H^2-A B)$।
$3(A^2+2 A B+B^2) = 4 H^2-4 A B$।
$3 A^2+6 A B+3 B^2 = 4 H^2-4 A B$।
$3 A^2+10 A B+3 B^2 = 4 H^2$।
बाएँ पक्ष का गुणनखंड करने पर: $3 A^2+9 A B+A B+3 B^2 = 4 H^2$।
$3 A(A+3 B)+B(A+3 B) = 4 H^2$।
$(A+3 B)(3 A+B) = 4 H^2$।

(B) यह दिया गया है कि रेखाओं $2x^2 - xy + by^2 = 0$ में से एक रेखा बिंदु $(-4, -2)$ से होकर गुजरती है।
समीकरण में बिंदु $(-4, -2)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$2(-4)^2 - (-4)(-2) + b(-2)^2 = 0$
$2(16) - (8) + b(4) = 0$
$32 - 8 + 4b = 0$
$24 + 4b = 0$
$4b = -24$
$b = -6$
अतः,$b^2 = (-6)^2 = 36$.
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(C) सरल रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
$2x^2 + 5xy + 3y^2 + 6x + 7y + 4 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$h = \frac{5}{2}$,और $b = 3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(\frac{5}{2})^2 - (2)(3)}}{2 + 3} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\frac{25}{4} - 6}}{5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}}}{5} \right| = \left| \frac{2 \times \frac{1}{2}}{5} \right| = \frac{1}{5}$.
चूंकि रेखाओं के बीच का कोण $\tan^{-1}(k)$ है,इसलिए $\tan \theta = |k| = \frac{1}{5}$,जिसका अर्थ है $k = \pm \frac{1}{5}$।

(D) रेखाओं के युग्म $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ के लिए कोण समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम युग्म $x^2-2 p x y-y^2=0$ के लिए,हमारे पास $a=1, b=-1, h=-p$ है।
कोण समद्विभाजक $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-p}$ हैं,जो सरल होकर $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-p}$ अर्थात $x^2-y^2+\frac{2 x y}{p}=0$ हो जाता है।
दिया गया है कि यह समद्विभाजक युग्म $x^2-2 q x y-y^2=0$ है,गुणांकों की तुलना करने पर:
$x^2+\frac{2}{p} x y-y^2=0$ की तुलना $x^2-2 q x y-y^2=0$ से करने पर,हमें $\frac{2}{p}=-2 q$ प्राप्त होता है।
अतः,$p q=-1$।

(B) दी गई सरल रेखाओं के युग्म का समीकरण $6x^2 - 5xy + y^2 = 0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है:
$\left(\frac{y}{x}\right)^2 - 5\left(\frac{y}{x}\right) + 6 = 0$.
माना $m = \frac{y}{x}$,तो $m^2 - 5m + 6 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(m - 3)(m - 2) = 0$.
अतः,ढाल $m_1 = \tan \alpha = 3$ और $m_2 = \tan \beta = 2$ हैं।
दो कोणों के अंतर के टेंजेंट के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$.
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan(\alpha - \beta) = \frac{3 - 2}{1 + (3)(2)} = \frac{1}{1 + 6} = \frac{1}{7}$.

(A) सरल रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है। यदि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य है,अर्थात $a + b = 0$,तो रेखाएं लंबवत होती हैं।
विकल्प $A$ के लिए: $2 x^2 = y(x + 2 y) \Rightarrow 2 x^2 - xy - 2 y^2 = 0$।
यहाँ,$a = 2$ और $b = -2$ है।
चूंकि $a + b = 2 + (-2) = 0$,इसलिए इस समीकरण द्वारा निरूपित रेखाएं लंबवत हैं।

(B) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
इन रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
जब रेखाएँ लंबवत होती हैं,तो $\theta = 90^{\circ}$ होता है।
चूँकि $\tan 90^{\circ}$ अपरिभाषित है,इसलिए हर (denominator) शून्य होना चाहिए।
अतः,$a + b = 0$।

(A) समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच का न्यून कोण $(\theta)$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$
यदि रेखाएँ लंबवत हैं,तो $\theta = 90^\circ$ होगा।
चूँकि $\tan 90^\circ$ अपरिभाषित है,इसलिए हर (denominator) शून्य होना चाहिए।
अतः,$a+b=0$।

(C) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2+4xy+y^2=0$ है।
इसे सामान्य समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$2h=4 \Rightarrow h=2$,और $b=1$ प्राप्त होता है।
सरल रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$.
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{2^2-(1)(1)}}{1+1} \right| = \frac{2\sqrt{4-1}}{2} = \sqrt{3}$.
चूंकि $\tan \theta = \sqrt{3}$,इसलिए $\theta = 60^{\circ}$ है।

(B) दी गई रेखाओं के युग्म का समीकरण $3dx^2 - 5xy + (d^2 - 2)y^2 = 0$ है।
रेखाओं के युग्म $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के लिए,यदि रेखाएँ लंबवत हैं तो $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होता है,अर्थात $A + B = 0$।
यहाँ,$A = 3d$ और $B = d^2 - 2$ है।
$A + B = 0$ रखने पर,$3d + d^2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $d^2 + 3d - 2 = 0$ है।
द्विघात सूत्र $d = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$d = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $d$ के दो अलग-अलग वास्तविक मान हैं,इसलिए यह शर्त $d$ के $2$ मानों के लिए पूरी होती है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) रेखाओं के युग्म $ax^2+2hxy+by^2=0$ के कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
$x^2-2pxy-y^2=0$ के लिए,$a=1, h=-p, b=-1$ है।
कोण समद्विभाजक $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{-p}$ हैं,जो सरल होकर $\frac{x^2-y^2}{2} = \frac{xy}{-p}$ या $x^2 + \frac{2}{p}xy - y^2 = 0$ हो जाते हैं।
यह दिया गया है कि यह समद्विभाजकों का युग्म $x^2-2qxy-y^2=0$ के समान है।
$xy$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{2}{p} = -2q$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $pq = -1$,या $pq+1=0$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) मान लीजिए कि दो निश्चित रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
जो रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ पर समान रूप से झुकी हुई हैं,वे $L_1$ और $L_2$ द्वारा निर्मित कोणों के समद्विभाजक हैं।
किन्हीं भी दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के कोण समद्विभाजक हमेशा एक-दूसरे के लंबवत होते हैं क्योंकि आंतरिक और बाह्य समद्विभाजकों के बीच का कोण हमेशा $90^{\circ}$ होता है।
अतः,कथन-$II$ सत्य है और यह सही ढंग से बताता है कि कथन-$I$ में वर्णित दो रेखाएँ लंबवत क्यों होनी चाहिए।
इसलिए,दोनों कथन सत्य हैं और कथन-$II$,कथन-$I$ की सही व्याख्या है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ के लिए,यदि रेखाएँ लंबवत हैं तो $a+b=0$ होता है।
यहाँ $a=l$ और $b=-2$ है,इसलिए $l-2=0 \Rightarrow l=2$।
अब समीकरण $2x^2+3xy-2y^2-5x+5y+k=0$ हो जाता है।
रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ का उपयोग करने पर,
$a=2, b=-2, c=k, h=\frac{3}{2}, g=-\frac{5}{2}, f=\frac{5}{2}$ रखने पर,
$-4k - \frac{75}{4} - \frac{50}{4} + \frac{50}{4} - \frac{9k}{4} = 0$।
$-\frac{25k}{4} = \frac{75}{4} \Rightarrow k=-3$।
अतः,$l=2$ और $k=-3$।

(B) सरल रेखाओं के युग्म $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ के लिए कोण समद्विभाजकों के युग्म का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
युग्म $x^2-2 p x y-y^2=0$ के लिए,समद्विभाजक $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-p}$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
यह $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-p}$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $-p(x^2-y^2)=2 x y$,या $p x^2+2 x y-p y^2=0$।
$p$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2+\frac{2}{p} x y-y^2=0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह समद्विभाजकों का युग्म है,इसलिए यह दिए गए युग्म $x^2-2 q x y-y^2=0$ के समान होना चाहिए।
$x y$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $-2 q = \frac{2}{p}$ प्राप्त होता है।
अतः,$-2 p q = 2$,जिससे $p q = -1$ प्राप्त होता है।

(D) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
इन रेखाओं के लिए कोण समद्विभाजकों के युग्म का समीकरण सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2+4xy-y^2=0$ है। इसे $ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=2, b=-1$ प्राप्त होता है।
कोण द्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ है।
मान रखने पर,$\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{x^2-y^2}{2} = \frac{xy}{2} \implies x^2-xy-y^2=0$.
चूंकि $y=mx$ एक द्विभाजक है,समीकरण में $y=mx$ रखने पर: $x^2-x(mx)-(mx)^2=0$.
$x^2(1-m-m^2)=0$.
अतः,$m^2+m-1=0$.
द्विघाती सूत्र का उपयोग करने पर,$m = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
इसलिए,$2m = -1 \pm \sqrt{5}$.

(B) दिया गया समीकरण $x^2+2 \sqrt{2} xy+2y^2+4x+4 \sqrt{2}y+1=0$ है।
इसे $(x+\sqrt{2}y)^2 + 4(x+\sqrt{2}y) + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $t = x+\sqrt{2}y$,तो समीकरण $t^2 + 4t + 1 = 0$ हो जाता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $t = \frac{-4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$।
अतः,दो समांतर रेखाएँ $x+\sqrt{2}y + 2 - \sqrt{3} = 0$ और $x+\sqrt{2}y + 2 + \sqrt{3} = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $Ax+By+C_1=0$ और $Ax+By+C_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ होती है।
यहाँ $A=1, B=\sqrt{2}, C_1=2-\sqrt{3}, C_2=2+\sqrt{3}$ है।
$d = \frac{|(2-\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})|}{\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}} = \frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = 2 \text{ इकाई}$।
अतः,रेखाओं के बीच की दूरी $2 \text{ इकाई}$ है।

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-6x-4y-12=0$ है।
केंद्र $(h, k) = (3, 2)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
$X$-अक्ष के समांतर स्पर्श रेखाओं का समीकरण $y=k$ के रूप में होता है।
केंद्र $(3, 2)$ से रेखा $y-k=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r=5$ के बराबर है।
$\frac{|2-k|}{1} = 5 \Rightarrow |2-k| = 5$.
इससे $2-k = 5$ या $2-k = -5$ प्राप्त होता है,अर्थात $k = -3$ या $k = 7$।
रेखाओं के समीकरण $y=-3$ और $y=7$ हैं,जिन्हें $(y+3)=0$ और $(y-7)=0$ लिखा जा सकता है।
रेखाओं के युग्म का संयुक्त समीकरण $(y+3)(y-7) = 0$ अर्थात $y^2-4y-21=0$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2(\sec^2 \theta - \sin^2 \theta) - 2xy \tan \theta + y^2 \sin^2 \theta = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ से तुलना करने पर:
$A = \sec^2 \theta - \sin^2 \theta$,$H = -\tan \theta$,और $B = \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
माना $m_1$ और $m_2$ रेखाओं के ढाल हैं। तब $m_1 + m_2 = \frac{2 \tan \theta}{\sin^2 \theta}$ और $m_1 m_2 = \frac{\sec^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin^2 \theta}$ है।
ढालों के अंतर का वर्ग $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2$ होता है।
गणना करने पर,$(m_1 - m_2)^2 = 4$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-6x-4y-12=0$ है।
केंद्र $(h, k) = (3, 2)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
चूँकि स्पर्श रेखाएँ $X$-अक्ष के समानांतर हैं,उनका समीकरण $y=k$ के रूप में होगा।
केंद्र $(3, 2)$ से रेखा $y-k=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $5$ के बराबर होनी चाहिए।
$|2-k| = 5$,जिससे $k = -3$ या $k = 7$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के समीकरण $y=-3$ और $y=7$ हैं।
अतः,संयुक्त समीकरण $(y+3)(y-7) = 0$ अर्थात $y^2-4y-21=0$ है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(A) जब क्रिस्टल जालक में विद्युत उदासीनता बनाए रखने के लिए अंतराकाशी स्थलों में अतिरिक्त धनायन मौजूद होते हैं,तो इसे धातु आधिक्य दोष कहा जाता है।
यह एक प्रकार का रससमीकरणमितीय (non-stoichiometric) दोष है।

(A) पीजोइलेक्ट्रिक सामग्री वे सामग्रियां हैं जिनमें यांत्रिक तनाव लागू करने पर आंतरिक विद्युत आवेश उत्पन्न करने की क्षमता होती है।
क्वार्ट्ज $(SiO_2)$ पीजोइलेक्ट्रिक सामग्री का एक प्रसिद्ध उदाहरण है।
अतः,विकल्प $(A)$ सही है.

(A) जीवाणुनाशक $(bactericidal)$ एंटीबायोटिक वे होते हैं जो बैक्टीरिया को मार देते हैं। उदाहरणों में $Penicillin$,$Aminoglycosides$ और $Ofloxacin$ शामिल हैं।
जीवाणुरोधी $(bacteriostatic)$ एंटीबायोटिक वे होते हैं जो बैक्टीरिया की वृद्धि को रोकते हैं। उदाहरणों में $Tetracycline$,$Chloramphenicol$ और $Erythromycin$ शामिल हैं।
अतः,$Penicillin$ एक जीवाणुनाशक एंटीबायोटिक है।

(C) वाष्प दाब में सापेक्ष अवनमन $(RLVP)$ का सूत्र: $\frac{p^{\circ} - p}{p^{\circ}} = \chi_A$
$373 \ K$ पर शुद्ध जल का वाष्प दाब $(p^{\circ})$ = $760 \ Torr$ है।
विलेय '$A$' का द्रव्यमान = $160 \ g$,'$A$' का आणविक द्रव्यमान = $160 \ g \ mol^{-1}$.
'$A$' के मोल $(n_A)$ = $\frac{160 \ g}{160 \ g \ mol^{-1}} = 1 \ mol$.
जल का आयतन = $54 \ mL$,जल का घनत्व $\approx 1 \ g \ mL^{-1}$,अतः जल का द्रव्यमान = $54 \ g$.
जल $(H_2O)$ का आणविक द्रव्यमान = $18 \ g \ mol^{-1}$.
जल के मोल $(n_{H_2O})$ = $\frac{54 \ g}{18 \ g \ mol^{-1}} = 3 \ mol$.
विलेय '$A$' का मोल अंश $(\chi_A)$ = $\frac{n_A}{n_A + n_{H_2O}} = \frac{1}{1 + 3} = \frac{1}{4}$.
सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{760 - p}{760} = \frac{1}{4}$.
$760 - p = \frac{760}{4} = 190$.
$p = 760 - 190 = 570 \ Torr$.

(B) जब एक बंद पात्र में रखे पानी में एक अवाष्पशील विलेय (जैसे नमक) मिलाया जाता है,तो सतह पर विलायक के अणुओं की संख्या कम हो जाती है,जिससे वाष्पीकरण की दर कम हो जाती है। इसके परिणामस्वरूप शुद्ध पानी की तुलना में विलयन का वाष्प दाब कम हो जाता है। इस घटना को वाष्प दाब में अवनमन कहा जाता है,जिसे $\Delta p = p^{\circ} - p$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\Delta p \propto \chi_B$ ($p^{\circ}$ शुद्ध पानी का वाष्प दाब है,$p$ विलयन का वाष्प दाब है,और $\chi_B$ विलेय का मोल अंश है)।

(A) राउल्ट के नियम के अनुसार,वाष्प दाब में आपेक्षिक अवनमन विलेय के मोल अंश के सीधे समानुपाती होता है।
इसलिए,विलयन की सांद्रता को उसके वाष्प दाब से संबंधित करने के लिए मोल अंश का उपयोग किया जाता है।

(D) समान तापमान पर समान परासरण दाब $(\pi)$ वाले दो विलयनों को आइसोटोनिक विलयन कहा जाता है।
परासरण दाब $\pi = i \times C \times R \times T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ वॉट हॉफ कारक है।
$0.1 \ M$ $NaCl$ के लिए,$i = 2$ (क्योंकि यह $Na^+$ और $Cl^-$ में वियोजित होता है),इसलिए $\pi = 2 \times 0.1 \times R \times T = 0.2 \ RT$ है।
$0.1 \ M$ $KNO_3$ के लिए,$i = 2$ (क्योंकि यह $K^+$ और $NO_3^-$ में वियोजित होता है),इसलिए $\pi = 2 \times 0.1 \times R \times T = 0.2 \ RT$ है।
चूंकि दोनों विलयनों का परासरण दाब समान है,इसलिए वे आइसोटोनिक हैं।

(D) विधियों का उनके संबंधित अनुसंख्य गुणधर्मों के साथ सही मिलान इस प्रकार है:
$A$. बेकमैन विधि $\rightarrow$ $3$. हिमांक में अवनमन
$B$. ओस्टवाल्ड-वॉकर विधि $\rightarrow$ $4$. वाष्प दाब में आपेक्षिक अवनमन
$C$. बर्कले-हार्टले विधि $\rightarrow$ $1$. परासरण दाब
$D$. लैंड्सबर्गर विधि $\rightarrow$ $2$. क्वथनांक में उन्नयन
अतः,सही क्रम $A-3, B-4, C-1, D-2$ है।

(C) हिमांक में अवनमन एक अणुसंख्यक गुणधर्म है,जो विलयन में कणों की संख्या पर निर्भर करता है।
ग्लूकोज एक अन-अपघट्य है और पानी में वियोजित नहीं होता है,इसलिए इसका वांट हॉफ कारक $(i)$ $1$ है।
$MgCl_2$ एक प्रबल विद्युत-अपघट्य है जो $MgCl_2 \rightarrow Mg^{2+} + 2Cl^-$ के रूप में वियोजित होता है,जो प्रति इकाई $3$ आयन देता है,इसलिए इसका वांट हॉफ कारक $(i)$ $3$ है।
चूंकि दोनों विलयनों की सांद्रता $0.01 \ M$ है,इसलिए $MgCl_2$ के हिमांक में अवनमन ग्लूकोज विलयन की तुलना में लगभग $3$ गुना होगा।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(D) हिमांक में अवनमन एक अणुसंख्यक गुणधर्म है,जो वॉट हॉफ गुणांक $(i)$ पर निर्भर करता है,जो विलयन में प्रति सूत्र इकाई उत्पन्न कणों की संख्या को दर्शाता है।
यूरिया एक विद्युत-अनपघट्य है,इसलिए $i = 1$ है।
$NaCl$ का वियोजन $NaCl \rightarrow Na^+ + Cl^-$ के रूप में होता है,इसलिए $i = 2$ है।
$Na_2SO_4$ का वियोजन $Na_2SO_4 \rightarrow 2Na^+ + SO_4^{2-}$ के रूप में होता है,इसलिए $i = 3$ है।
$Al_2(SO_4)_3$ का वियोजन $Al_2(SO_4)_3 \rightarrow 2Al^{3+} + 3SO_4^{2-}$ के रूप में होता है,इसलिए $i = 5$ है।
चूंकि हिमांक में अवनमन $\Delta T_f = i \times K_f \times m$ होता है,जिस विलयन के लिए $i$ का मान सबसे अधिक होगा,उसमें हिमांक में अधिकतम कमी होगी,जिसके परिणामस्वरूप हिमांक सबसे कम होगा।
अतः,$1 \ M \ Al_2(SO_4)_3$ का हिमांक सबसे कम है। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) मोलरता $(M)$ को प्रति लीटर विलयन में विलेय के मोलों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चरण $1$: $NaOH$ के मोलों की गणना करें।
$NaOH$ के मोल $= \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{0.4 \ g}{40 \ g \ mol^{-1}} = 0.01 \ mol$.
चरण $2$: विलयन के आयतन को लीटर में बदलें।
आयतन $= 500 \ mL = 0.5 \ L$.
चरण $3$: मोलरता की गणना करें।
$M = \frac{\text{विलेय के मोल}}{\text{विलयन का आयतन (लीटर में)}} = \frac{0.01 \ mol}{0.5 \ L} = 0.02 \ M$.

(C) विलयन का प्रारंभिक द्रव्यमान $= 100 \ g$।
सुक्रोज का द्रव्यमान $= 40 \ g$ और जल का द्रव्यमान $= 60 \ g$।
गर्म करने के बाद,सुक्रोज का द्रव्यमान $40 \ g$ स्थिर रहता है,लेकिन सांद्रता $50 \%$ हो जाती है।
माना विलयन का नया द्रव्यमान $m$ है।
$50 \% \text{ of } m = 40 \ g$।
$m = \frac{40}{0.50} = 80 \ g$।
लुप्त हुए जल का द्रव्यमान $= 100 \ g - 80 \ g = 20 \ g$।

(A) Schiff बेस का निर्माण प्राथमिक एमीन $(R-NH_2)$ और एक कार्बोनिल यौगिक,जैसे कि एल्डिहाइड या कीटोन की अभिक्रिया से होता है।
इस अभिक्रिया में,एमीन कार्बोनिल कार्बन पर आक्रमण करके एक हेमियामिनल मध्यवर्ती बनाता है,जो बाद में निर्जलीकरण के माध्यम से एक इमीन उत्पन्न करता है,जिसे सामान्यतः Schiff बेस कहा जाता है।
अतः,$A$ एक एल्डिहाइड या कीटोन को दर्शाता है।

(D) मोलरता $(M)$ को विलयन के प्रति लीटर में विलेय के मोलों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चरण $1$: $NaOH$ के मोलों की संख्या की गणना करें।
$NaOH$ के मोल $= \frac{\text{दिया गया द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{10 \ g}{40 \ g \ mol^{-1}} = 0.25 \ mol$.
चरण $2$: विलयन के आयतन को लीटर में बदलें।
आयतन $= 500 \ mL = 0.5 \ L$.
चरण $3$: मोलरता की गणना करें।
मोलरता $= \frac{\text{विलेय के मोल}}{\text{विलयन का आयतन (L में)}} = \frac{0.25 \ mol}{0.5 \ L} = 0.5 \ M$.

(C) मोलरता $(M)$,मोललता $(m)$ और घनत्व $(d)$ के बीच संबंध का सूत्र है:
$m = \frac{1000 \times M}{1000 \times d - M \times M_B}$
घनत्व $(d)$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$d = \frac{M}{m} + \frac{M \times M_B}{1000} = \frac{1.44}{1.5} + \frac{1.44 \times 166}{1000}$
$d = 0.96 + 0.23904 = 1.19904 \ g \ mL^{-1} \approx 1.20 \ g \ mL^{-1}$
यहाँ,$M = 1.44 \ mol \ L^{-1}$,$m = 1.5 \ mol \ kg^{-1}$,और $M_B (KI) = 166 \ g \ mol^{-1}$ है।

(B) $PPM$ (Parts Per Million) को विलयन के प्रति $kg$ में विलेय के $mg$ द्रव्यमान के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है,टूथपेस्ट का द्रव्यमान $= 500 \ g = 0.5 \ kg$।
फ्लोरीन का द्रव्यमान $= 0.2 \ g = 200 \ mg$।
$ppm$ में सांद्रता $= \frac{\text{विलेय का द्रव्यमान } (mg)}{\text{विलयन का द्रव्यमान } (kg)} = \frac{200 \ mg}{0.5 \ kg} = 400 \ ppm$।
$400 \ ppm$ को $4 \times 10^2 \ ppm$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(B) दिया है: मोललता $(m) = 5 \ mol / kg$,घनत्व $(d) = 1.3 \ g / mL$,यूरिया का मोलर द्रव्यमान $(M_w) = 60.06 \ g / mol$।
$5$ मोलल विलयन का अर्थ है कि $1000 \ g$ विलायक (जल) में $5$ मोल यूरिया घुला हुआ है।
यूरिया का द्रव्यमान = $5 \ mol \times 60.06 \ g / mol = 300.3 \ g$।
विलयन का कुल द्रव्यमान = विलेय का द्रव्यमान + विलायक का द्रव्यमान = $300.3 \ g + 1000 \ g = 1300.3 \ g$।
विलयन का आयतन = $\frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{घनत्व}} = \frac{1300.3 \ g}{1.3 \ g / mL} \approx 1000.23 \ mL = 1.00023 \ L$।
मोलरता $(M) = \frac{\text{विलेय के मोल}}{\text{विलयन का आयतन } (L)} = \frac{5 \ mol}{1.00023 \ L} \approx 4.9988 \ M$।
चूंकि $4.9988 \ M$ लगभग $5 \ M$ है,इसलिए सही विकल्प $(B)$ है।

(B) विलेय का द्रव्यमान $\%$ = $\frac{\text{विलेय का द्रव्यमान}}{\text{विलयन का द्रव्यमान}} \times 100$
विलेय का द्रव्यमान = $1 \ g$
विलायक का द्रव्यमान = $18 \ g$
विलयन का द्रव्यमान = $1 \ g + 18 \ g = 19 \ g$
$\therefore$ विलेय का द्रव्यमान $\%$ = $\frac{1}{19} \times 100 \approx 5.26 \%$
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $5 \%$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(C) दिया गया है,$HCl$ का द्रव्यमान $= 18.25 \ g$.
$HCl$ का मोलर द्रव्यमान $= 36.5 \ g/mol$.
जल का द्रव्यमान $= 500 \ g = 0.5 \ kg$.
$HCl$ के मोलों की संख्या $= \frac{HCl \text{ का द्रव्यमान}}{HCl \text{ का मोलर द्रव्यमान}} = \frac{18.25}{36.5} = 0.5 \ mol$.
मोललता $= \frac{\text{विलेय के मोलों की संख्या}}{\text{विलायक का द्रव्यमान } (kg \text{ में})}$.
मोललता $= \frac{0.5 \ mol}{0.5 \ kg} = 1 \ m$.
अतः,विलयन की मोललता $1 \ m$ है,इसलिए सही विकल्प $C$ है.

(C) मोल अंश सांद्रता की एक इकाई है,जिसे किसी घटक के मोलों की संख्या और विलयन के कुल मोलों की संख्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि यह समान इकाई वाली दो राशियों का अनुपात है,इसलिए मोल अंश एक मात्रकहीन राशि है।
विलयन के सभी घटकों के मोल अंशों का योग हमेशा $1$ के बराबर होता है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(D) अभिक्रिया की अर्ध-आयु वह समय है जो अभिकारक की सांद्रता को उसके प्रारंभिक मान के आधे तक कम करने के लिए आवश्यक होता है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ है।
ग्राफ से,$t = 30 \ minutes$ पर,अभिकारक की सांद्रता $[A]_t$ उत्पाद $[B_2]$ की सांद्रता के बराबर है।
अभिक्रिया: $A_5 \rightarrow 5 B_2$
प्रारंभिक: $a \quad 0$
$t = 30 \ min$ पर: $a-x \quad 5x$
दिया गया है कि $a-x = 5x$,इसलिए $a = 6x$.
दर समीकरण में मान रखने पर:
$k = \frac{2.303}{30} \log \frac{6x}{x} = \frac{2.303}{30} \log 6 \approx 0.0597 \ min^{-1}$.
अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{0.0597} \approx 116 \ minutes$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$114 \ minutes$ सबसे निकटतम मान है।

(A) मोललता $(m)$ को विलायक के प्रति किलोग्राम में विलेय के मोलों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिया गया है: मोललता $(m)$ = $0.25 \ mol/kg$,विलयन का द्रव्यमान = $2.5 \ kg$.
माना यूरिया का द्रव्यमान $w \ g$ है। यूरिया का मोलर द्रव्यमान $(NH_2CONH_2)$ = $60 \ g/mol$.
यूरिया के मोल $(n)$ = $\frac{w}{60}$.
विलायक का द्रव्यमान = विलयन का द्रव्यमान - विलेय का द्रव्यमान = $(2500 - w) \ g = \frac{2500 - w}{1000} \ kg$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $m = \frac{n}{\text{विलायक का द्रव्यमान } (kg)}$.
$0.25 = \frac{w/60}{(2500 - w)/1000}$.
$0.25 = \frac{1000w}{60(2500 - w)}$.
$15(2500 - w) = 1000w$.
$37500 - 15w = 1000w$.
$1015w = 37500$.
$w \approx 36.94 \ g \approx 37 \ g$.

(A) माना $R_1, R_2$ और $R_3$ क्रमशः प्रथम,द्वितीय और तृतीय कोटि की तीन अभिक्रियाओं की दर हैं और $k$ तीनों अभिक्रियाओं के लिए दर स्थिरांक है।
दर नियम इस प्रकार हैं:
$R_1 = k[A]^1$
$R_2 = k[A]^2$
$R_3 = k[A]^3$
जहाँ $[A]$ अभिकारक $A$ की मोल प्रति लीटर में सांद्रता है।
दिया गया है कि $[A] = 1$,इसलिए:
$R_1 = k(1)^1 = k$
$R_2 = k(1)^2 = k$
$R_3 = k(1)^3 = k$
अतः,$R_1 = R_2 = R_3$.

(B) $N$-एथिलबेन्जीन सल्फोनामाइड $(C_6H_5SO_2NHC_2H_5)$ क्षार में घुलनशील है क्योंकि सल्फोनामाइड में नाइट्रोजन से जुड़ा हाइड्रोजन परमाणु सल्फोनाइल समूह $(-SO_2-)$ के प्रबल इलेक्ट्रॉन-आकर्षक प्रभाव के कारण अम्लीय होता है।
यह इसे क्षार के साथ जल में घुलनशील लवण बनाने की अनुमति देता है।
$N,N$-डाइएथिलबेन्जीन सल्फोनामाइड में नाइट्रोजन से जुड़ा कोई अम्लीय हाइड्रोजन परमाणु नहीं होता है,इसलिए यह क्षार में अघुलनशील है।
तृतीयक एमीन एसिड क्लोराइड या हिन्सबर्ग अभिकर्मक $(C_6H_5SO_2Cl)$ के साथ अभिक्रिया नहीं करते हैं क्योंकि उनके नाइट्रोजन पर कोई अम्लीय हाइड्रोजन परमाणु नहीं होता है।

(C) 'स्पिन ओनली' चुंबकीय आघूर्ण $(\mu_{so})$ की गणना परमाणु या आयन में अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(n)$ का उपयोग करके की जाती है। इसका सूत्र है:
$\mu_{so} = \sqrt{n(n+2)} \ BM$
जहाँ $BM$ का अर्थ बोर मैग्नेटॉन है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(D) रसायनशोषण उच्च विशिष्टता,उच्च अधिशोषण एन्थैल्पी (आमतौर पर $80-400 \ kJ \ mol^{-1}$) और एक अनुत्क्रमणीय प्रक्रिया द्वारा पहचाना जाता है।
रसायनशोषण के परिणामस्वरूप अधिशोषक की सतह पर एक एकल-आणविक परत (unimolecular layer) बनती है,न कि बहु-आणविक परत।
अतः,विकल्प $(d)$ रसायनशोषण का लक्षण नहीं है।

(A) घन का प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (10 \ cm)^2 = 600 \ cm^2$.
जब घन को लंबाई के अनुदिश $5$ बराबर टुकड़ों में काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़ा $2 \ cm \times 10 \ cm \times 10 \ cm$ आयामों वाला एक घनाभ होता है।
एक घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times (2 \times 10 + 10 \times 10 + 10 \times 2) = 2 \times (20 + 100 + 20) = 280 \ cm^2$.
$5$ घनाभों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 5 \times 280 \ cm^2 = 1400 \ cm^2$.
चूंकि अधिशोषण क्षमता पृष्ठीय क्षेत्रफल के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए अंतिम और प्रारंभिक अधिशोषण क्षमता का अनुपात $= \frac{1400}{600} = \frac{14}{6} = 2.33$.
अतः,अधिशोषण क्षमता $2.33$ गुना बढ़ जाती है।

(B) $Sc^{3+}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^0$ है।
चूंकि $d$-कक्षक में कोई अयुग्मित इलेक्ट्रॉन नहीं है,इसलिए $d-d$ संक्रमण संभव नहीं है,जिससे यह आयन रंगहीन हो जाता है।
इसके विपरीत,$Ti^{3+}$ $(3d^1)$,$V^{4+}$ $(3d^1)$,और $Cr^{4+}$ $(3d^2)$ में अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होते हैं,जो $d-d$ संक्रमण की अनुमति देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप रंग दिखाई देता है।

(B) उत्प्रेरण का अधिशोषण सिद्धांत $Heterogeneous \ catalysis$ (विषमांगी उत्प्रेरण) की क्रियाविधि को समझाता है।
इस सिद्धांत के अनुसार,अभिकारक के अणु ठोस उत्प्रेरक की सतह पर अधिशोषित हो जाते हैं,जिससे सतह पर अभिकारकों की सांद्रता बढ़ जाती है और मध्यवर्ती के निर्माण में आसानी होती है,जिससे अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा कम हो जाती है।

(A) फ्रुंडलिच अधिशोषण समतापी के अनुसार,संबंध $\frac{x}{m} = K p^{\frac{1}{n}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर,हमें $\log \left( \frac{x}{m} \right) = \log K + \frac{1}{n} \log p$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = \log \left( \frac{x}{m} \right)$,$x = \log p$,$m = \frac{1}{n}$,और $c = \log K$ है।
अतः,सीधी रेखा का ढाल $\frac{1}{n}$ है।

(C) फ्रुंडलिच अधिशोषण समतापी एक स्थिर तापमान पर दबाव $(p)$ में परिवर्तन के साथ अधिशोषक की सतह पर अधिशोषित अधिशोष्य की मात्रा $(x/m)$ में परिवर्तन को दर्शाता है।
भौतिक अधिशोषण एक ऊष्माक्षेपी प्रक्रिया है। ला शातेलिए के सिद्धांत के अनुसार,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अधिशोषण की मात्रा घटती जाती है।
दिए गए ग्राफ में,एक स्थिर दबाव के लिए,अधिशोषण की मात्रा $(x/m)$ का क्रम: $T_1 > T_2 > T_3 > T_4$ है।
चूंकि तापमान बढ़ने पर अधिशोषण घटता है,इसलिए तापमान का क्रम: $T_1 < T_2 < T_3 < T_4$ होना चाहिए।
दिए गए मानों की तुलना करने पर,$195 \ K < 244 \ K < 298 \ K < 303 \ K$ का क्रम ग्राफ में $T_1, T_2, T_3, T_4$ के लिए दिखाए गए रुझान से मेल खाता है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(B) आर्सेनिक सल्फाइड का घोल $(As_2S_3)$ एक हाइड्रोफोबिक सोल है,जिसका अर्थ है कि इसका परिक्षेपण माध्यम $(H_2O)$ के प्रति बहुत कम या शून्य आकर्षण होता है।
इसके विपरीत,गोंद,स्टार्च और प्रोटीन के घोल प्रकृति में हाइड्रोफिलिक होते हैं क्योंकि वे मैक्रोमोलेक्यूल्स (प्राकृतिक पॉलिमर) हैं जिनका परिक्षेपण माध्यम के साथ मजबूत आकर्षण होता है।

(C) कोलाइडल कणों में विलयन से विशेष प्रकार के आयनों को अधिमानतः अधिशोषित करने की प्रवृत्ति होती है।
एक कोलाइडल कण आमतौर पर उन आयनों को अधिशोषित करता है जो अधिकता में होते हैं और उसके अपने जालक (lattice) के लिए सामान्य होते हैं।
विशेष प्रकार के आयनों का यह अधिमान्य अधिशोषण कोलाइडल कणों को एक विशेष प्रकार का आवेश प्रदान करता है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(B) ग्लाइसिन एक अमीनो एसिड है जिसका आइसोइलेक्ट्रिक पॉइंट $(pI)$ $5.97$ है। इस $pH$ पर,ग्लाइसिन एक ज़्विटरआयन के रूप में मौजूद होता है,जिसका अर्थ है कि इस पर कोई नेट चार्ज नहीं होता है और यह विद्युत क्षेत्र में किसी भी इलेक्ट्रोड की ओर नहीं बढ़ता है।
जब बेस मिलाया जाता है,तो घोल का $pH$ उसके $pI$ से ऊपर बढ़ जाता है $(pH > 5.97)$।
क्षारीय माध्यम में,अमीनो एसिड $-NH_3^+$ समूह से एक प्रोटॉन खो देता है,जिसके परिणामस्वरूप ग्लाइसिन अणु पर नेट ऋणात्मक चार्ज आ जाता है।
चूंकि कोलाइडल कण ऋणात्मक रूप से आवेशित हो जाते हैं,इसलिए वे विद्युत क्षेत्र के प्रभाव में एनोड की ओर बढ़ेंगे।
ऋणात्मक रूप से आवेशित कोलाइडल कणों की एनोड की ओर गति को $Anaphoresis$ कहा जाता है।

(B) सल्फैपाइरीडीन एक सल्फोनामाइड एंटीबायोटिक है। इसकी रासायनिक संरचना में एक बेंजीन रिंग होती है,जिसके पैरा स्थान पर एक अमीनो समूह $(-NH_2)$ और एक पाइरीडीन रिंग से जुड़ा सल्फोनामाइड समूह $(-SO_2NH-)$ होता है। सही संरचना विकल्प $B$ में दिखाई गई है।