AP EAMCET 2013 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दो वृत्तों $S_1 = x^2+y^2+4x-6y+c=0$ और $S_2 = x^2+y^2-6x+4y-12=0$ की उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
$(x^2+y^2+4x-6y+c) - (x^2+y^2-6x+4y-12) = 0$
$10x - 10y + c + 12 = 0$
चूंकि पहला वृत्त दूसरे वृत्त की परिधि को समद्विभाजित करता है,इसलिए उभयनिष्ठ जीवा को दूसरे वृत्त के केंद्र से होकर गुजरना चाहिए।
दूसरे वृत्त $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ का केंद्र $(-g, -f) = (3, -2)$ है।
उभयनिष्ठ जीवा के समीकरण में $(3, -2)$ रखने पर:
$10(3) - 10(-2) + c + 12 = 0$
$30 + 20 + c + 12 = 0$
$62 + c = 0$
$c = -62$

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-16x-12y+64=0$ है। केंद्र $(8, 6)$ है और त्रिज्या $r = 6$ है।
$(i)$ $(-5, 1)$ के ध्रुव का समीकरण: $x(-5)+y(1)-8(x-5)-6(y+1)+64=0 \Rightarrow 13x+5y=98$। यह $(D)$ से मेल खाता है।
$(ii)$ $(8, 0)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण: $x(8)+y(0)-8(x+8)-6(y+0)+64=0 \Rightarrow y=0$। यह $(A)$ से मेल खाता है।
$(iii)$ $(2, 6)$ पर अभिलंब का समीकरण: यह केंद्र $(8, 6)$ से गुजरता है,इसलिए $y=6$। यह $(B)$ से मेल खाता है।
$(iv)$ $(8, 12)$ से गुजरने वाले व्यास का समीकरण: यह केंद्र $(8, 6)$ से गुजरता है,इसलिए $x=8$। यह $(E)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(i)-(D), (ii)-(A), (iii)-(B), (iv)-(E)$ है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है,इसलिए $4a = 8$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
माना जीवा $y = mx + c$ है।
रेखा $y = mx + c$ और परवलय $y^2 = 8x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $x = (y - c)/m$ को परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं: $my^2 - 8y + 8c = 0$।
माना बिंदु $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ हैं। तब $y_1 + y_2 = 8/m$ और $y_1y_2 = 8c/m$।
जीवा का मध्य बिंदु $M = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ है।
जीवा को व्यास मानकर बनाए गए वृत्त की त्रिज्या $R = 4$ है।
वृत्त के केंद्र से परवलय के अक्ष $(y = 0)$ की दूरी त्रिज्या $4$ के बराबर है,इसलिए केंद्र का $y$-निर्देशांक $4$ (या $-4$) है।
अतः,$\frac{y_1+y_2}{2} = 4 \Rightarrow y_1 + y_2 = 8$।
चूंकि $y_1 + y_2 = 8/m$,इसलिए $8/m = 8$,जिसका अर्थ है कि $m = 1$।

(C) दिया गया व्यंजक $E = \frac{(1-2 x)^{-1}(1-3 x)^{-2}}{(1-4 x)^{-3}}$ है।
छोटे $x$ के लिए द्विपद प्रसार $(1+ax)^n \approx 1+nax$ का उपयोग करने पर:
$(1-2 x)^{-1} \approx 1 + 2x$.
$(1-3 x)^{-2} \approx 1 + 6x$.
$(1-4 x)^{-3} \approx 1 + 12x$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E \approx \frac{(1+2x)(1+6x)}{1+12x} = \frac{1 + 8x + 12x^2}{1+12x}$.
$x^2$ और उच्च घातों को नगण्य मानने पर:
$E \approx \frac{1+8x}{1+12x} = (1+8x)(1+12x)^{-1}$.
पुनः द्विपद प्रसार का उपयोग करने पर:
$E \approx (1+8x)(1-12x) = 1 - 12x + 8x - 96x^2$.
$x^2$ को नगण्य मानने पर:
$E \approx 1 - 4x$.

(A) शंकु $S=0$ के लिए मध्य-बिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ होता है।
दिया गया दीर्घवृत्त: $S: x^2+4y^2-2x+20y=0$.
मध्य-बिंदु $(x_1, y_1) = (2, -4)$.
$T = x(2) + 4y(-4) - (x+2) + 10(y-4) = 2x - 16y - x - 2 + 10y - 40 = x - 6y - 42$.
$S_1 = (2)^2 + 4(-4)^2 - 2(2) + 20(-4) = 4 + 64 - 4 - 80 = -16$.
$T=S_1$ रखने पर:
$x - 6y - 42 = -16$.
$x - 6y = 26$.

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ है। यहाँ $a^2=25$ और $b^2=16$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,$b^2=a^2(1-e^2)$,इसलिए $16=25(1-e^2)$,जिससे $e^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$ प्राप्त होता है,अतः $e=\frac{3}{5}$।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ है। यहाँ $a^2=4$,इसलिए $a=2$ है।
चूंकि अतिपरवलय की नाभियाँ दीर्घवृत्त की नाभियों के साथ संपाती हैं,इसलिए अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm 3, 0)$ हैं।
अतिपरवलय के लिए,नाभियाँ $(\pm ae_1, 0)$ होती हैं,इसलिए $ae_1=3$। $a=2$ होने के कारण,$2e_1=3$,जिसका अर्थ है $e_1=\frac{3}{2}$।
अतिपरवलय के लिए,$b^2=a^2(e_1^2-1)$।
मान रखने पर,$b^2=4((\frac{3}{2})^2-1) = 4(\frac{9}{4}-1) = 4(\frac{5}{4}) = 5$।
अतः,$b^2=5$।

(B) दिया गया है कि $x=9$ अतिपरवलय $x^2-y^2=9$ की स्पर्श-जीवा है।
$x=9$ को अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर:
$81-y^2=9$
$y^2=72$
$y = \pm 6\sqrt{2}$.
अतः,स्पर्श-बिंदु $(9, 6\sqrt{2})$ और $(9, -6\sqrt{2})$ हैं।
$x^2-y^2=9$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
बिंदु $(9, 6\sqrt{2})$ पर ढाल $m = \frac{9}{6\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.
बिंदु $(9, 6\sqrt{2})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - 6\sqrt{2} = \frac{3}{2\sqrt{2}}(x-9) \implies 3x - 2\sqrt{2}y - 3 = 0$.
बिंदु $(9, -6\sqrt{2})$ पर ढाल $m = -\frac{3}{2\sqrt{2}}$.
बिंदु $(9, -6\sqrt{2})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y + 6\sqrt{2} = -\frac{3}{2\sqrt{2}}(x-9) \implies 3x + 2\sqrt{2}y - 3 = 0$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) हमारे पास सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^3 x-\sin ^3 x}{x^5}$ है।
टेलर श्रेणी का उपयोग करते हुए: $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)$ और $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)$।
अंश का गुणनखंड करने पर: $\tan^3 x - \sin^3 x = (\tan x - \sin x)(\tan^2 x + \tan x \sin x + \sin^2 x)$।
अब,$\tan x - \sin x = \sin x (\sec x - 1) = \sin x \cdot \frac{2 \sin^2(x/2)}{\cos x}$।
जब $x \rightarrow 0$,तब $\sin x \approx x$,$\sin(x/2) \approx x/2$,और $\cos x \approx 1$।
अतः,$\tan x - \sin x \approx x \cdot \frac{2(x/2)^2}{1} = \frac{x^3}{2}$।
इस मान को सीमा में रखने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\frac{x^3}{2})(\tan^2 x + \tan x \sin x + \sin^2 x)}{x^5}$।
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^2 x + \tan x \sin x + \sin^2 x}{x^2}$।
चूंकि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए:
$L = \frac{1}{2} (1^2 + 1 \cdot 1 + 1^2) = \frac{1}{2} (3) = \frac{3}{2}$।

(B) $PHBV$ और $Dextron$ जैव-निम्नीकरणीय बहुलकों के उदाहरण हैं।
जैव-निम्नीकरणीय बहुलक वे होते हैं जो एंजाइमी जल-अपघटन और ऑक्सीकरण द्वारा समय के साथ विघटित हो जाते हैं।
$PHBV$ (Poly-$\beta$-hydroxybutyrate-co-$\beta$-hydroxyvalerate) का उपयोग आर्थोपेडिक उपकरणों और नियंत्रित दवा रिलीज में किया जाता है।
$Dextron$ (ग्लाइकोलिक एसिड और लैक्टिक एसिड का एक सह-बहुलक) का उपयोग सर्जरी के बाद घावों को सिलने के लिए किया जाता है।
अतः,सही युग्म $PHBV$ और $Dextron$ है।

(B) यादृच्छिक चर $X$ समुच्चय $\{1, 2, \ldots, m\}$ पर असतत समान वितरण का पालन करता है।
माध्य $\bar{X} = E[X] = \sum_{n=1}^{m} n \cdot P(X=n) = \frac{1}{m} \sum_{n=1}^{m} n = \frac{1}{m} \cdot \frac{m(m+1)}{2} = \frac{m+1}{2}$.
प्रसरण $\operatorname{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ द्वारा दिया जाता है।
$E[X^2] = \sum_{n=1}^{m} n^2 \cdot P(X=n) = \frac{1}{m} \sum_{n=1}^{m} n^2 = \frac{1}{m} \cdot \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} = \frac{(m+1)(2m+1)}{6}$.
अतः,$\operatorname{Var}(X) = \frac{(m+1)(2m+1)}{6} - \left(\frac{m+1}{2}\right)^2 = \frac{m^2-1}{12}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c} = \frac{3}{a+b+c}$.
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(b+c) + (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{3}{a+b+c}$.
$\frac{a+b+2c}{ab+ac+bc+c^2} = \frac{3}{a+b+c}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $(a+b+2c)(a+b+c) = 3(ab+ac+bc+c^2)$.
$(a+b)^2 + 3c(a+b) + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$.
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$.
$a^2 + b^2 - ab = c^2$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $a^2 + b^2 - ab = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.
$-ab = -2ab \cos C$.
$\cos C = \frac{1}{2}$.
अतः,$\angle C = 60^{\circ}$.

(B) दिया गया है,$\frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} = \frac{3}{a+b+c}$।
बाएँ पक्ष को सरल करने पर:
$\frac{(c+a) + (b+c)}{(b+c)(c+a)} = \frac{3}{a+b+c}$
$\frac{a+b+2c}{bc + ab + c^2 + ac} = \frac{3}{a+b+c}$
वज्र-गुणन करने पर:
$(a+b+2c)(a+b+c) = 3(bc + ab + c^2 + ac)$
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3bc + 3ab + 3c^2 + 3ac$
दोनों पक्षों से $3ac + 3bc$ घटाने पर:
$a^2 + b^2 - c^2 = ab$
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$:
$\cos C = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$
अतः,$C = 60^{\circ}$।

(A) हम जानते हैं कि बाह्य त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ हैं।
इन मानों को $r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1$ व्यंजक में रखने पर:
$= \frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{\Delta^2}{(s-c)(s-a)}$
$= \frac{\Delta^2(s-c + s-a + s-b)}{(s-a)(s-b)(s-c)}$
चूँकि $2s = a+b+c$,इसलिए $s-a+s-b+s-c = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$ प्राप्त होता है।
साथ ही,हम जानते हैं कि $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,इसलिए $(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\Delta^2 \cdot s}{\frac{\Delta^2}{s}} = s^2$
चूँकि $r = \frac{\Delta}{s}$,इसलिए $s = \frac{\Delta}{r}$ होता है,अतः $s^2 = \frac{\Delta^2}{r^2}$।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ है।
चूँकि $A$ समीकरण $x^2 + 4x - p = 0$ को संतुष्ट करता है,इसलिए $A^2 + 4A - pI = 0$ होगा,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-8)(-8) + (5)(2) & (-8)(5) + (5)(4) \\ (2)(-8) + (4)(2) & (2)(5) + (4)(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 64 + 10 & -40 + 20 \\ -16 + 8 & 10 + 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 74 & -20 \\ -8 & 26 \end{bmatrix}$.
अब,$4A$ की गणना करते हैं:
$4A = 4 \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -32 & 20 \\ 8 & 16 \end{bmatrix}$.
अब,इन मानों को समीकरण $A^2 + 4A - pI = 0$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\begin{bmatrix} 74 & -20 \\ -8 & 26 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -32 & 20 \\ 8 & 16 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} p & 0 \\ 0 & p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
आव्यूहों का योग और घटाव करने पर:
$\begin{bmatrix} 74 - 32 - p & -20 + 20 - 0 \\ -8 + 8 - 0 & 26 + 16 - p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$\begin{bmatrix} 42 - p & 0 \\ 0 & 42 - p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर,हमें $42 - p = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $p = 42$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
हम $A$ की घातों की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
अवलोकन करने पर,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
अब,विकल्प $A$ की जाँच करें: $nA - (n-1)I = n \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - (n-1) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} n & n \\ 0 & n \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} n-1 & 0 \\ 0 & n-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n-(n-1) & n-0 \\ 0-0 & n-(n-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = A^n$।
अतः,सही संबंध $A^n = nA - (n-1)I$ है।

(D) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+2 & x+3 & x+5 \\ x+4 & x+6 & x+9 \\ x+8 & x+11 & x+15\end{array}\right|$ है।
संक्रिया $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+2 & x+3 & x+5 \\ 2 & 3 & 4 \\ 6 & 8 & 10\end{array}\right|$ प्राप्त होता है।
अब,$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 6 & 2 & 4\end{array}\right|$ प्राप्त होता है।
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (x+2)(4-4) - 1(8-12) + 3(4-6)$
$\Delta = (x+2)(0) - 1(-4) + 3(-2)$
$\Delta = 0 + 4 - 6 = -2$.

(D) दी गई समीकरण प्रणाली है:
$3x + 2y + z = 6$
$3x + 4y + 3z = 14$
$6x + 10y + 8z = a$
माना $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \\ 6 & 10 & 8 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 6 \\ 14 \\ a \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 3(32 - 30) - 2(24 - 18) + 1(30 - 24) = 3(2) - 2(6) + 6 = 6 - 12 + 6 = 0$.
चूंकि $|A| = 0$,प्रणाली का या तो कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं।
अनंत हल के लिए,$(\text{adj } A) \cdot B = 0$ होना चाहिए।
$A$ का सहखंडज आव्यूह:
$C_{11} = 2, C_{12} = -6, C_{13} = 6$
$C_{21} = -6, C_{22} = 18, C_{23} = -18$
$C_{31} = 2, C_{32} = -6, C_{33} = 6$
अतः,$\text{adj } A = \begin{bmatrix} 2 & -6 & 2 \\ -6 & 18 & -6 \\ 6 & -18 & 6 \end{bmatrix}$.
अब,$(\text{adj } A) \cdot B = \begin{bmatrix} 2 & -6 & 2 \\ -6 & 18 & -6 \\ 6 & -18 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 \\ 14 \\ a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a - 72 \\ 216 - 6a \\ 6a - 216 \end{bmatrix}$.
इसे शून्य सदिश के बराबर रखने पर,$2a - 72 = 0$,जिसका अर्थ है $a = 36$।

(C) हम सूत्र $\cos ^{-1} A + \cos ^{-1} B = \cos ^{-1} (AB - \sqrt{1-A^2} \sqrt{1-B^2})$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया है $\cos ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)=\cos ^{-1} x$.
यहाँ $A = \frac{5}{13}$ और $B = \frac{3}{5}$ है।
तब $\sqrt{1-A^2} = \sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
और $\sqrt{1-B^2} = \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \left( \frac{5}{13} \cdot \frac{3}{5} - \frac{12}{13} \cdot \frac{4}{5} \right)$.
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \left( \frac{15}{65} - \frac{48}{65} \right)$.
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \left( \frac{-33}{65} \right)$.
अतः,$x = \frac{-33}{65}$.

(D) हम जानते हैं कि $|x| > 1$ के लिए $\operatorname{coth}^{-1}(x) = \tanh^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$ होता है।
अतः,$\operatorname{coth}^{-1}(2) = \tanh^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tanh ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\operatorname{coth}^{-1}(2) = \tanh ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\tanh ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \tanh ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$।
सूत्र $\tanh ^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \tanh ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\right)$।
$= \log \left(\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}\right) = \log 3$।

(D) लघुगणक को परिभाषित होने के लिए,इसका तर्क $0$ से बड़ा होना चाहिए।
$(1.6)^{1-x^2} - (0.625)^{6(1+x)} > 0$
$(1.6)^{1-x^2} > (0.625)^{6(1+x)}$
चूंकि $1.6 = \frac{8}{5}$ और $0.625 = \frac{5}{8} = (\frac{8}{5})^{-1}$,हमारे पास है:
$(\frac{8}{5})^{1-x^2} > (\frac{8}{5})^{-6(1+x)}$
चूंकि आधार $\frac{8}{5} > 1$ है,इसलिए असमानता की दिशा समान रहेगी:
$1 - x^2 > -6(1 + x)$
$x^2 - 6x - 7 < 0$
$(x - 7)(x + 1) < 0$
अतः,$x \in (-1, 7)$.

(D) दिया गया है,$f(x)=\cos \left(\frac{x}{3}\right)+\sin \left(\frac{x}{2}\right)$.
हम जानते हैं कि $\cos(ax)$ और $\sin(ax)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|a|}$ होता है।
पद $\cos \left(\frac{x}{3}\right)$ के लिए,आवर्तकाल $T_1 = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$ है।
पद $\sin \left(\frac{x}{2}\right)$ के लिए,आवर्तकाल $T_2 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ है।
दो आवर्ती फलनों के योग का आवर्तकाल उनके व्यक्तिगत आवर्तकालों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है।
इसलिए,$f(x)$ का आवर्तकाल = $\text{LCM}(6\pi, 4\pi)$ होगा।
चूंकि $6\pi = 2 \times 3\pi$ और $4\pi = 2 \times 2\pi$,इसलिए $\text{LCM}(6\pi, 4\pi) = 12\pi$ होगा।
अतः,$f(x)$ का आवर्तकाल $12\pi$ है।

(A) दिया गया है,$f(x) = (p - x^n)^{1/n}$,जहाँ $p > 0$ है।
$f[f(x)]$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ को फलन $f$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$f[f(x)] = f((p - x^n)^{1/n})$
$= (p - ((p - x^n)^{1/n})^n)^{1/n}$
$= (p - (p - x^n))^{1/n}$
$= (p - p + x^n)^{1/n}$
$= (x^n)^{1/n}$
$= x$

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ है,जहाँ $x, y \in R$ है।
हम जानते हैं कि इस गुण को संतुष्ट करने वाला सतत फलन $f(x) = a^x$ के रूप का होता है।
दिया गया है कि $f(2) = 9$,इसलिए $a^2 = 9$ है।
चूँकि $f$ एक शून्येतर फलन है,$a^2 = 3^2$,जिसका अर्थ है $a = 3$।
अतः,$f(x) = 3^x$ है।
अब,$f(6)$ का मान ज्ञात करने के लिए:
$f(6) = 3^6$.

(B) दिया गया है कि $f(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{x}} = \frac{x}{x+1}$.
तब $g(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{f(x)}} = \frac{1}{1+\frac{x+1}{x}} = \frac{1}{\frac{x+x+1}{x}} = \frac{x}{2x+1}$.
$g^{\prime}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u^{\prime} - u v^{\prime}}{v^2}$.
$g^{\prime}(x) = \frac{(2x+1)(1) - x(2)}{(2x+1)^2} = \frac{2x+1-2x}{(2x+1)^2} = \frac{1}{(2x+1)^2}$.
$x = 2$ रखने पर,हमें $g^{\prime}(2) = \frac{1}{(2(2)+1)^2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}=2$
$\sqrt{xy}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $y+x=2\sqrt{xy}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x+y)^2 = (2\sqrt{xy})^2$
$x^2+y^2+2xy = 4xy$
$x^2+y^2-2xy = 0$
$(x-y)^2 = 0$
इसका अर्थ है कि $x-y=0$,या $y=x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$

(D) माना $f(x) = (x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)$ है।
$(x-1)$ से गुणा और भाग करने पर:
$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{(x^4-1)(x^4+1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{(x^8-1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{x^{16}-1}{x-1}$।
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left[ \frac{x^{16}-1}{x-1} \right] = \frac{(x-1)(16x^{15}) - (x^{16}-1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{16x^{16} - 16x^{15} - x^{16} + 1}{(x-1)^2} = \frac{15x^{16} - 16x^{15} + 1}{(x-1)^2}$।
इसे दिए गए व्यंजक $\left(15 x^p-16 x^q+1\right)(x-1)^{-2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $p=16$ और $q=15$ प्राप्त होता है।
अतः,$(p, q) = (16, 15)$।

(A) दिया गया संबंध $p V^{1/4} = C$ है,जहाँ $C$ एक स्थिरांक है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln p + \frac{1}{4} \ln V = \ln C$.
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{p} \frac{dp}{dV} + \frac{1}{4V} = 0$.
इससे प्राप्त होता है: $\frac{dp}{p} = -\frac{1}{4} \frac{dV}{V}$.
हमें दिया गया है कि आयतन में प्रतिशत कमी $\frac{dV}{V} \times 100 = -\frac{1}{2} \%$ है।
इस मान को अवकल संबंध में रखने पर: $\frac{dp}{p} \times 100 = -\frac{1}{4} \left( \frac{dV}{V} \times 100 \right)$.
$\frac{dp}{p} \times 100 = -\frac{1}{4} \left( -\frac{1}{2} \% \right) = \frac{1}{8} \%$.
अतः,दाब में प्रतिशत वृद्धि $\frac{1}{8} \%$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{2}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ $(i)$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$-\frac{2}{f^2} df = -\frac{1}{v^2} dv + \frac{1}{u^2} du$
दिया गया है कि $u$ और $v$ में त्रुटियाँ $p$ हैं,इसलिए $dv = p$ और $du = p$ है।
इन मानों को अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{2}{f^2} df = -\frac{1}{v^2} p + \frac{1}{u^2} p$
$-\frac{2}{f^2} df = p \left( \frac{1}{u^2} - \frac{1}{v^2} \right)$
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$-\frac{2}{f^2} df = p \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{v} \right) \left( \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \right)$
समीकरण $(i)$ से,$\frac{1}{u} - \frac{1}{v} = -\frac{2}{f}$। इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{2}{f^2} df = p \left( -\frac{2}{f} \right) \left( \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \right)$
दोनों पक्षों को $-\frac{2}{f}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{df}{f} = p \left( \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \right)$
अतः,$f$ में सापेक्ष त्रुटि $p \left( \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \right)$ है।

(D) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और मीनार के आधार $(B)$ से बिंदु $A$ की दूरी $x$ है।
$\triangle ABD$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow h = x \sqrt{3}$ $\Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
व्यक्ति $AB$ के लंबवत दिशा में $60 \ m$ चलकर बिंदु $C$ पर पहुँचता है। अतः,$AC = 60 \ m$ और $\angle CAB = 90^{\circ}$ है।
$\triangle ABC$ में,$C$ से आधार $B$ की दूरी $CB = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{60^2 + x^2}$ है।
$\triangle CBD$ में,उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = \frac{h}{CB} = 1$ है।
अतः,$h = CB = \sqrt{3600 + x^2} \Rightarrow h^2 = 3600 + x^2$ है।
$x^2 = \frac{h^2}{3}$ को समीकरण में रखने पर: $h^2 = 3600 + \frac{h^2}{3}$।
$\frac{2h^2}{3} = 3600 \Rightarrow h^2 = 1800 \times 3 = 5400$।
$h = \sqrt{5400} = \sqrt{900 \times 6} = 30 \sqrt{6} \ m$।

(B) माना $I_1 = \int \frac{d x}{x(\log x-2)(\log x-3)}$.
$t = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर,$d t = \frac{1}{x} d x$ प्राप्त होता है।
अतः समाकलन $I_1 = \int \frac{d t}{(t-2)(t-3)}$ हो जाता है।
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करने पर,$\frac{1}{(t-2)(t-3)} = \frac{1}{t-3} - \frac{1}{t-2}$.
अतः $I_1 = \int \left( \frac{1}{t-3} - \frac{1}{t-2} \right) d t$.
$I_1 = \log |t-3| - \log |t-2| + C = \log \left| \frac{t-3}{t-2} \right| + C$.
$t = \log x$ का मान वापस रखने पर,$I = \log \left| \frac{\log x - 3}{\log x - 2} \right|$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int e^x \left( \frac{2+\sin 2x}{1+\cos 2x} \right) dx$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$ और $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int e^x \left( \frac{2 + 2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{2}{2\cos^2 x} + \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x (\sec^2 x + \tan x) dx$.
हम मानक समाकलन रूप $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ को जानते हैं।
यहाँ,$f(x) = \tan x$ लेने पर,$f'(x) = \sec^2 x$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = e^x \tan x + C$.

(C) दिया गया समाकलन $I = \int_1^3 \frac{dx}{2+3x}$ है। यहाँ,$n = 2$ और अंतराल $[1, 3]$ को $n=2$ समान भागों में विभाजित किया गया है।
स्टेप साइज $h = \frac{b-a}{n} = \frac{3-1}{2} = 1$ है।
$x$ के मान $x_0 = 1, x_1 = 2, x_2 = 3$ हैं।
$y = f(x) = \frac{1}{2+3x}$ के संगत मान हैं:
$y_0 = f(1) = \frac{1}{5} = 0.2$
$y_1 = f(2) = \frac{1}{8} = 0.125$
$y_2 = f(3) = \frac{1}{11} \approx 0.0909$
सिम्पसन के नियम के अनुसार: $\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{3} [y_0 + 4y_1 + y_2]$।
मान रखने पर: $I \approx \frac{1}{3} [0.2 + 4(0.125) + 0.0909] = \frac{1}{3} [0.2 + 0.5 + 0.0909] = \frac{0.7909}{3} \approx 0.2636$।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\frac{29}{110} \approx 0.2636$। अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
यहाँ कांच के लेंस का अपवर्तनांक $\mu_g = 1.5$ और माध्यम का अपवर्तनांक $\mu_m = 1.75$ है।
अवतल लेंस के लिए,वक्रता त्रिज्याएँ $R_1 = -R$ और $R_2 = +R$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{1.5}{1.75} - 1 \right) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{R} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{1.5 - 1.75}{1.75} \right) \left( -\frac{2}{R} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{-0.25}{1.75} \right) \left( -\frac{2}{R} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( -\frac{1}{7} \right) \left( -\frac{2}{R} \right) = \frac{2}{7R}$
$f = +3.5 R$
फोकस दूरी का धनात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि लेंस एक अभिसारी लेंस की तरह व्यवहार करता है।

(B) नेत्रिका के लिए,प्रतिबिंब दूरी $v_e = -25 \ cm$ और फोकस दूरी $f_e = 5 \ cm$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v_e} - \frac{1}{u_e} = \frac{1}{f_e}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{-25} - \frac{1}{u_e} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{1}{u_e} = -\frac{1}{25} - \frac{1}{5} = -\frac{6}{25} \Rightarrow u_e = -\frac{25}{6} \ cm$.
अभिदृश्यक द्वारा बनाए गए प्रतिबिंब की अभिदृश्यक से दूरी $v_0 = L - |u_e| = 10.5 - \frac{25}{6} = \frac{63-25}{6} = \frac{38}{6} \ cm$ है।
अभिदृश्यक के लिए,$f_0 = 1.9 \ cm$ और $v_0 = \frac{38}{6} \ cm$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v_0} - \frac{1}{u_0} = \frac{1}{f_0}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{38/6} - \frac{1}{u_0} = \frac{1}{1.9} \Rightarrow \frac{6}{38} - \frac{1}{u_0} = \frac{10}{19} \Rightarrow \frac{3}{19} - \frac{10}{19} = \frac{1}{u_0}$.
$\frac{1}{u_0} = -\frac{7}{19} \Rightarrow u_0 = -\frac{19}{7} \approx -2.71 \ cm$.
अतः,वस्तु को अभिदृश्यक से $2.7 \ cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(A) असमानुपातन अभिक्रिया रेडॉक्स अभिक्रिया का एक विशेष प्रकार है जिसमें एक ही तत्व एक ही ऑक्सीकरण अवस्था में एक साथ ऑक्सीकृत और अपचयित होता है।
अभिक्रिया $3Cl_{2\text{(g)}} + 6OH^-{_{\text{(aq)}}} \rightarrow ClO_3^-{_{\text{(aq)}}} + 5Cl^-{_{\text{(aq)}}} + 3H_2O_{\text{(l)}}$ में,क्लोरीन की ऑक्सीकरण अवस्था $Cl_2$ में $0$ से बदलकर $Cl^-$ में $-1$ (अपचयन) और $ClO_3^-$ में $+5$ (ऑक्सीकरण) हो जाती है। अतः,यह एक असमानुपातन अभिक्रिया है।

(C) जब क्लोरोफॉर्म $(CHCl_3)$ को जलीय सोडियम हाइड्रॉक्साइड $(NaOH)$ के साथ गर्म किया जाता है,तो यह जल-अपघटन (hydrolysis) के माध्यम से एक अस्थिर मध्यवर्ती,मेथेनट्रायोल $(HC(OH)_3)$ बनाता है।
यह मध्यवर्ती पानी का एक अणु खोकर फॉर्मिक एसिड $(HCOOH)$ बनाता है।
फॉर्मिक एसिड फिर शेष $NaOH$ के साथ प्रतिक्रिया करके सोडियम फॉर्मेट $(HCOONa)$ बनाता है।
कुल अभिक्रिया इस प्रकार है: $CHCl_3 + 4NaOH \rightarrow HCOONa + 3NaCl + 2H_2O$.

(C) ट्रांजिस्टर का करंट गेन $\beta$,कलेक्टर करंट में परिवर्तन और बेस करंट में परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$.
दिया गया है:
बेस करंट में परिवर्तन $\Delta I_B = 140 \mu A - 45 \mu A = 95 \mu A = 95 \times 10^{-6} \text{ A}$.
कलेक्टर करंट में परिवर्तन $\Delta I_C = 4.0 \text{ mA} - 0.2 \text{ mA} = 3.8 \text{ mA} = 3.8 \times 10^{-3} \text{ A}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{3.8 \times 10^{-3}}{95 \times 10^{-6}} = \frac{3800 \times 10^{-6}}{95 \times 10^{-6}} = 40$.
अतः,करंट गेन $40$ है।

(C) माना शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{a} = 2i+3j+4k$,$\vec{b} = 3i+4j+2k$,और $\vec{c} = 4i+2j+3k$ हैं।
भुजाओं के सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (3-2)i + (4-3)j + (2-4)k = i + j - 2k$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (4-3)i + (2-4)j + (3-2)k = i - 2j + k$.
$\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c} = (2-4)i + (3-2)j + (4-3)k = -2i + j + k$.
भुजाओं की लंबाई:
$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}$.
$|\vec{CA}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$.
चूंकि $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}| = \sqrt{6}$,इसलिए तीनों भुजाओं की लंबाई समान है।
अतः,यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।

(A) माना कि दो रेखाओं $AB$ और $AC$ के दिक्-अनुपात क्रमशः $\vec{v_1} = \langle 1, -1, -1 \rangle$ और $\vec{v_2} = \langle 2, -1, 1 \rangle$ हैं।
चूंकि रेखाएं $AB$ और $AC$ समतल $ABC$ में स्थित हैं,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ इन रेखाओं की दिशा में सदिशों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(1 - (-2)) + \hat{k}(-1 - (-2))$
$\vec{n} = \hat{i}(-2) - \hat{j}(3) + \hat{k}(1)$
$\vec{n} = -2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$
अतः,अभिलंब के दिक्-अनुपात $\langle -2, -3, 1 \rangle$ हैं। इसे $-1$ से गुणा करने पर,हमें $\langle 2, 3, -1 \rangle$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(C) बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = \langle a, b, c \rangle$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ होता है।
यहाँ दिया गया बिंदु $(-1, 2, 3)$ है,इसलिए समीकरण $a(x+1) + b(y-2) + c(z-3) = 0$ होगा।
अभिलंब निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण $\alpha$ बनाता है,इसलिए दिक्-कोसाइन $\cos \alpha, \cos \alpha, \cos \alpha$ हैं।
चूँकि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,इसलिए $3 \cos^2 \alpha = 1$,जिसका अर्थ है $\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,दिक्-अनुपात $\langle a, b, c \rangle$ को $\langle 1, 1, 1 \rangle$ के रूप में लिया जा सकता है।
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर: $1(x+1) + 1(y-2) + 1(z-3) = 0$।
सरल करने पर,हमें $x + 1 + y - 2 + z - 3 = 0$ प्राप्त होता है,जो $x + y + z - 4 = 0$ है।

(B) मान लीजिए कि चर समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y - 2) + c(z - 3) = 0$ है,जहाँ $(a, b, c)$ समतल के अभिलंब के दिक अनुपात हैं।
मान लीजिए $P(x_0, y_0, z_0)$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल पर लंब का पाद है।
सदिश $\vec{OP} = (x_0, y_0, z_0)$ समतल के लंबवत है,इसलिए यह अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ के समानांतर है।
अतः,हम किसी स्थिरांक $k$ के लिए $(a, b, c) = k(x_0, y_0, z_0)$ लिख सकते हैं।
चूंकि $P$ समतल पर स्थित है,यह समीकरण को संतुष्ट करता है: $x_0(x_0 - 1) + y_0(y_0 - 2) + z_0(z_0 - 3) = 0$.
इसे सरल करने पर $x_0^2 - x_0 + y_0^2 - 2y_0 + z_0^2 - 3z_0 = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(x_0^2 - x_0 + \frac{1}{4}) + (y_0^2 - 2y_0 + 1) + (z_0^2 - 3z_0 + \frac{9}{4}) = \frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} = 3.5$ प्राप्त होता है।
यह केंद्र $(\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2})$ और त्रिज्या $\sqrt{3.5}$ वाले एक गोले का समीकरण है।

(C) $8$ में से $2$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके ${}^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ हैं।
मान लीजिए कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं जहाँ $x < y$ है। हम चाहते हैं कि छोटी संख्या $x$,$4$ से कम हो,अर्थात $x \in \{1, 2, 3\}$।
स्थिति $I$: यदि $x = 1$ है,तो $y$ शेष $7$ संख्याओं $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ में से कोई भी हो सकती है। तरीकों की संख्या $= 7$।
स्थिति $II$: यदि $x = 2$ है,तो $y$ शेष $6$ संख्याओं $\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ में से कोई भी हो सकती है। तरीकों की संख्या $= 6$।
स्थिति $III$: यदि $x = 3$ है,तो $y$ शेष $5$ संख्याओं $\{4, 5, 6, 7, 8\}$ में से कोई भी हो सकती है। तरीकों की संख्या $= 5$।
कुल अनुकूल स्थितियाँ $= 7 + 6 + 5 = 18$।
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{18}{28} = \frac{9}{14}$।

(D) कुल प्रतिदर्श बिंदु,$n(S) = 6 \times 6 = 36$.
योग $\ge 10$ के लिए अनुकूल घटनाएं हैं:
$E = [(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)]$.
कुल अनुकूल घटनाओं की संख्या,$n(E) = 6$.
अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(A) माना $H$ वह घटना है कि उछाल में चित आता है। थैली में कुल $2n+1$ सिक्के हैं।
$n$ सिक्के ऐसे हैं जिनके दोनों ओर चित है (पक्षपाती) और $n+1$ सिक्के निष्पक्ष हैं।
पक्षपाती सिक्का चुनने की प्रायिकता $P(B) = \frac{n}{2n+1}$ है और निष्पक्ष सिक्का चुनने की प्रायिकता $P(F) = \frac{n+1}{2n+1}$ है।
यदि पक्षपाती सिक्का चुना जाता है,तो चित आने की प्रायिकता $1$ है।
यदि निष्पक्ष सिक्का चुना जाता है,तो चित आने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(H) = P(H|B)P(B) + P(H|F)P(F)$
$\frac{31}{42} = (1) \times \frac{n}{2n+1} + \left(\frac{1}{2}\right) \times \frac{n+1}{2n+1}$
$\frac{31}{42} = \frac{2n + n + 1}{2(2n+1)} = \frac{3n+1}{4n+2}$
$31(4n+2) = 42(3n+1)$
$124n + 62 = 126n + 42$
$20 = 2n$
$n = 10$

(A) क्लोज पैक्ड संरचना ($hcp$ या $ccp$) में:
$(i)$ अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या = क्लोज पैकिंग में उपस्थित कणों की संख्या $(N)$।
(ii) चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या = $2 \times$ अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या।
यहाँ '$X$' परमाणु दिए गए हैं,इसलिए अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या '$X$' और चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या '$2X$' होगी।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) राउल्ट के नियम के अनुसार,वाष्प दाब में आपेक्षिक अवनमन: $\frac{p^{\circ} - p_s}{p^{\circ}} = \frac{n_2}{n_1 + n_2}$
जहाँ,$p^{\circ} = 100^{\circ} C$ पर शुद्ध जल का वाष्प दाब $= 760 \ mmHg$.
$p_s = 100^{\circ} C$ पर विलयन का वाष्प दाब।
$n_2 = \text{ग्लूकोज के मोल} = \frac{18}{180} = 0.1 \ mol$.
$n_1 = \text{जल के मोल} = \frac{180}{18} = 10 \ mol$.
मान रखने पर: $\frac{760 - p_s}{760} = \frac{0.1}{10 + 0.1} = \frac{0.1}{10.1}$.
$760 - p_s = 760 \times \frac{0.1}{10.1} = \frac{76}{10.1} \approx 7.524 \ mmHg$.
$p_s = 760 - 7.524 = 752.476 \ mmHg \approx 752.4 \ mmHg$.

(B) दिया गया है: सांद्रता $(C) = 0.10 \ M$,आयनन की मात्रा $(\alpha) = 4.0 \ \% = 0.04$.
लैक्टिक अम्ल के वियोजन के लिए: $CH_3CH(OH)COOH \rightleftharpoons CH_3CH(OH)COO^{-} + H^{+}$.
साम्य स्थिरांक $K_a$ का व्यंजक: $K_a = \frac{C\alpha^2}{1-\alpha}$.
मान रखने पर: $K_a = \frac{0.1 \times (0.04)^2}{1 - 0.04}$.
$K_a = \frac{0.1 \times 0.0016}{0.96} = \frac{0.00016}{0.96} = \frac{1.6 \times 10^{-4}}{0.96} \approx 1.66 \times 10^{-4}$.

(A) दो विलयन आइसोटोनिक होते हैं यदि उनमें कणों की मोलर सांद्रता समान हो।
$0.15 \ M \ NaCl$ के लिए: $NaCl$ $2$ आयनों ($Na^+$ और $Cl^-$) में वियोजित होता है। कणों की सांद्रता $= 0.15 \times 2 = 0.30 \ M$ है।
$0.1 \ M \ Na_2SO_4$ के लिए: $Na_2SO_4$ $3$ आयनों ($2Na^+$ और $SO_4^{2-}$) में वियोजित होता है। कणों की सांद्रता $= 0.1 \times 3 = 0.30 \ M$ है।
चूंकि दोनों विलयनों में कणों की सांद्रता समान है,इसलिए वे आइसोटोनिक हैं।

(D) $n$ मोल आदर्श गैस के लिए $T$ तापमान पर गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = n \times \frac{3}{2} RT$ है।
$4 \text{ g}$ $H_2$ के लिए: मोल $n_1 = \frac{4 \text{ g}}{2 \text{ g/mol}} = 2 \text{ mol}$.
$KE_{H_2} = 2 \times \frac{3}{2} RT = 3RT$.
$8 \text{ g}$ $O_2$ के लिए: मोल $n_2 = \frac{8 \text{ g}}{32 \text{ g/mol}} = 0.25 \text{ mol} = \frac{1}{4} \text{ mol}$.
$KE_{O_2} = \frac{1}{4} \times \frac{3}{2} RT = \frac{3}{8} RT$.
अनुपात $KE_{H_2} : KE_{O_2} = 3RT : \frac{3}{8} RT = 1 : \frac{1}{8} = 8 : 1$.

(C) परमाणु का क्वांटम या तरंग यांत्रिक मॉडल इलेक्ट्रॉन की द्वैत प्रकृति पर आधारित है,अर्थात,इलेक्ट्रॉन कण और तरंग दोनों के गुण प्रदर्शित करता है।
यह मॉडल पदार्थ की तरंग प्रकृति के संबंध में डी ब्रोग्ली परिकल्पना और हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत को समाहित करता है।