lim _{x rightarrow 0} frac{tan ^3 x-sin ^3 x} | vedclass

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Question

(B) हमारे पास सीमा $L = \lim _{x ightarrow 0} \frac{	an ^3 x-\sin ^3 x}{x^5}$ है।टेलर श्रेणी का उपयोग करते हुए: $	an x = x + \frac{x^3}{3} + \frac

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$\frac{3}{2}$

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(B) हमारे पास सीमा $L = \lim _{x ightarrow 0} \frac{	an ^3 x-\sin ^3 x}{x^5}$ है।टेलर श्रेणी का उपयोग करते हुए: $	an x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)$ और $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)$।अंश का गुणनखंड करने पर: $	an^3 x - \sin^3 x = (	an x - \sin x)(	an^2 x + 	an x \sin x + \sin^2 x)$।अब,$	an x - \sin x = \sin x (\sec x - 1) = \sin x \cdot \frac{2 \sin^2(x/2)}{\cos x}$।जब $x ightarrow 0$,तब $\sin x \approx x$,$\sin(x/2) \approx x/2$,और $\cos x \approx 1$।अतः,$	an x - \sin x \approx x \cdot \frac{2(x/2)^2}{1} = \frac{x^3}{2}$।इस मान को सीमा में रखने पर:$L = \lim _{x ightarrow 0} \frac{(\frac{x^3}{2})(	an^2 x + 	an x \sin x + \sin^2 x)}{x^5}$।$L = \lim _{x ightarrow 0} \frac{1}{2} \cdot \frac{	an^2 x + 	an x \sin x + \sin^2 x}{x^2}$।चूंकि $\lim _{x ightarrow 0} \frac{	an x}{x} = 1$ और $\lim _{x ightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए:$L = \frac{1}{2} (1^2 + 1 \cdot 1 + 1^2) = \frac{1}{2} (3) = \frac{3}{2}$।

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^3 x-\sin ^3 x}{x^5}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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