AP EAMCET 2013 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) किसी कक्षक में रेडियल नोड्स की संख्या ज्ञात करने का सूत्र: $n - l - 1$ है।
$3s$ कक्षक के लिए:
$n = 3$,$l = 0$.
रेडियल नोड्स की संख्या $= 3 - 0 - 1 = 2$.
$2p$ कक्षक के लिए:
$n = 2$,$l = 1$.
रेडियल नोड्स की संख्या $= 2 - 1 - 1 = 0$.
अतः,$3s$ और $2p$ कक्षकों के लिए रेडियल नोड्स की संख्या क्रमशः $2$ और $0$ है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,ऊर्जा विकिरण की दर $E = e A \sigma T^4$ होती है। चूंकि दोनों पिंडों के लिए पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ और ऊर्जा विकिरण की दर $E$ समान है,इसलिए $e_A T_A^4 = e_B T_B^4$ होगा।
दिया गया है कि $e_A = 0.01$,$e_B = 0.81$,और $T_A = 5802 \ K$,अतः:
$T_B^4 = \frac{e_A}{e_B} T_A^4 = \frac{0.01}{0.81} (5802)^4 = \frac{1}{81} (5802)^4$.
चतुर्थ मूल लेने पर,$T_B = \frac{5802}{3} = 1934 \ K$ प्राप्त होता है।
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_A T_A = \lambda_B T_B = b$ (स्थिरांक)।
अतः,$\lambda_A = \lambda_B \frac{T_B}{T_A} = \lambda_B \frac{1934}{5802} = \frac{\lambda_B}{3}$।
दिया गया है कि अंतर $\lambda_B - \lambda_A = 1 \mu m$ है,$\lambda_A$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda_B - \frac{\lambda_B}{3} = 1 \mu m \Rightarrow \frac{2}{3} \lambda_B = 1 \mu m$।
अतः,$\lambda_B = \frac{3}{2} \mu m$।

(C) किसी भी तापमान पैमाने $X$ और केल्विन पैमाने $K$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{X - X_{freezing}}{X_{boiling} - X_{freezing}} = \frac{K - 273}{373 - 273}$.
$Y$ पैमाने के लिए दिया गया है: $Y_{freezing} = -160^{\circ} Y$ और $Y_{boiling} = -50^{\circ} Y$.
$K = 340 \ K$ के लिए इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{Y - (-160)}{-50 - (-160)} = \frac{340 - 273}{373 - 273}$
$\frac{Y + 160}{110} = \frac{67}{100}$
$Y + 160 = \frac{67 \times 110}{100}$
$Y + 160 = 73.7$
$Y = 73.7 - 160 = -86.3^{\circ} Y$.

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
दिया गया है $\eta_1 = 40 \% = 0.4$ और $T_2 = 300 ~K$:
$0.4 = 1 - \frac{300}{T_1} \Rightarrow \frac{300}{T_1} = 0.6 \Rightarrow T_1 = \frac{300}{0.6} = 500 ~K$.
अब,सिंक का तापमान $T_2 = 300 ~K$ स्थिर रखते हुए दक्षता को $\eta_2 = 60 \% = 0.6$ करने के लिए:
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_1^{\prime}} \Rightarrow \frac{300}{T_1^{\prime}} = 0.4 \Rightarrow T_1^{\prime} = \frac{300}{0.4} = 750 ~K$.
स्रोत के तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_1^{\prime} - T_1 = 750 ~K - 500 ~K = 250 ~K$ होगी।

(A) $P-V$ आरेख पर एक चक्रीय प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
दी गई प्रक्रिया $1-2-3-4-1$ के लिए, क्षेत्रफल बिंदुओं $(P_2, V_2), (P_2, V_3), (P_1, V_4), (P_1, V_1)$ द्वारा निर्मित समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है।
चूंकि रेखाएं $1-2$ और $3-4$ मूल बिंदु से गुजरती हैं, वे ऐसी प्रक्रियाओं को दर्शाती हैं जहां $P \propto V$, अर्थात $P/V = \text{नियतांक}$.
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर, $P = (nR/V)T$। चूंकि $P/V$ नियतांक है, $T/V^2$ नियतांक है।
कुल कार्य की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$W_{1-2} = \frac{nR}{2}(T_2 - T_1)$, $W_{2-3} = nR(T_3 - T_2)$, $W_{3-4} = \frac{nR}{2}(T_4 - T_3)$, $W_{4-1} = nR(T_1 - T_4)$.
कुल कार्य $W = \frac{nR}{2} (T_1 - T_2 + T_3 - T_4)$.
यहाँ $n = 3, T_1 = 400 \ K, T_2 = 700 \ K, T_3 = 2500 \ K, T_4 = 1100 \ K$.
$W = \frac{3R}{2} (400 - 700 + 2500 - 1100) = \frac{3R}{2} (1100) = 1650 R$.

(D) $Entropy$ $(S)$ किसी निकाय की यादृच्छिकता या अव्यवस्था का माप है। एन्ट्रॉपी में धनात्मक परिवर्तन $(\Delta S > 0)$ तब होता है जब निकाय अधिक अव्यवस्थित हो जाता है,जैसे कि द्रव से गैस में चरण संक्रमण के दौरान।
अभिक्रिया $H_2O_{(l)} \longrightarrow H_2O_{(g)}$ में,जल द्रव अवस्था से गैसीय अवस्था में परिवर्तित होता है। चूंकि गैस के अणुओं में द्रव के अणुओं की तुलना में गति की स्वतंत्रता और यादृच्छिकता बहुत अधिक होती है,इसलिए निकाय की एन्ट्रॉपी बढ़ जाती है।
अन्य विकल्पों में,अभिक्रियाओं में गैस के मोलों की संख्या में कमी आती है या अधिक व्यवस्थित अवस्था (जैसे द्रव से ठोस या गैस से ठोस) में संक्रमण होता है,जिसके परिणामस्वरूप एन्ट्रॉपी में ऋणात्मक परिवर्तन होता है।

(B) दी गई राशि $\frac{E J^2}{M^5 G^2}$ है।
हम जानते हैं कि दी गई राशियों के विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$E = [M L^2 T^{-2}]$
$J = [M L^2 T^{-1}]$
$M = [M]$
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
इन विमाओं को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{[M L^2 T^{-2}] [M L^2 T^{-1}]^2}{[M]^5 [M^{-1} L^3 T^{-2}]^2} = \frac{[M L^2 T^{-2}] [M^2 L^4 T^{-2}]}{[M^5] [M^{-2} L^6 T^{-4}]} = \frac{[M^3 L^6 T^{-4}]}{[M^3 L^6 T^{-4}]} = [M^0 L^0 T^0]$.
प्राप्त राशि विमाहीन है।
दिए गए विकल्पों में से,कोण एक विमाहीन राशि है।

(B) फ्रेनेल विवर्तन में,प्रकाश का स्रोत और स्क्रीन अवरोध से सीमित दूरी पर होते हैं।
प्रकाश की किरणों को समानांतर करने के लिए किसी लेंस की आवश्यकता नहीं होती है।
स्क्रीन पर देखी जाने वाली विवर्तन पैटर्न तरंगिका (wavefront) के विभिन्न हिस्सों से उत्पन्न होने वाली द्वितीयक तरंगिकाओं के अध्यारोपण द्वारा बनती है।
स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर परिणामी आयाम और तीव्रता उस बिंदु पर अध्यारोपित होने वाले हाफ-पीरियड ज़ोन की संख्या पर निर्भर करती है।
यदि ज़ोन की संख्या विषम है,तो बिंदु चमकीला हो सकता है,और यदि सम है,तो यह अंधेरा हो सकता है,जो कला व्यतिकरण (phase interference) पर निर्भर करता है।

(B) जब स्रोत गति कर रहा हो,तो स्थिर प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $v^{\prime}$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$v^{\prime} = v \left[ \frac{V}{V - v_s \cos \theta} \right]$
जहाँ $v = 640 ~Hz$ स्रोत की आवृत्ति है,$V = 340 ~m/s$ ध्वनि की गति है,$v_s = \frac{100}{3} ~m/s$ स्रोत की गति है,और $\theta$ स्रोत के वेग सदिश और स्रोत को प्रेक्षक से जोड़ने वाली रेखा के बीच का कोण है।
स्रोत,बिंदु $A$ और प्रेक्षक $O$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज की ज्यामिति से:
कर्ण $\sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = 50 ~m$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} = 0.6$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$v^{\prime} = 640 \left[ \frac{340}{340 - (\frac{100}{3}) \times 0.6} \right]$
$v^{\prime} = 640 \left[ \frac{340}{340 - 20} \right] = 640 \times \frac{340}{320}$
$v^{\prime} = 2 \times 340 = 680 ~Hz$.

(C) बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n_1 = \frac{v}{4l_1}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $l_1 = 32 ~cm = 0.32 ~m$ है,इसलिए $n_1 = \frac{v}{4 \times 0.32} = \frac{v}{1.28}$।
खुले ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n_2 = \frac{v}{2l_2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $l_2 = 66 ~cm = 0.66 ~m$ है,इसलिए $n_2 = \frac{v}{2 \times 0.66} = \frac{v}{1.32}$।
बीट आवृत्ति $|n_1 - n_2| = 8 ~Hz$ है।
अतः,$\frac{v}{1.28} - \frac{v}{1.32} = 8$।
$\frac{1.32v - 1.28v}{1.28 \times 1.32} = 8$।
$0.04v = 8 \times 1.28 \times 1.32$।
$v = \frac{8 \times 1.6896}{0.04} = 200 \times 1.6896 = 337.92 ~m/s$।
अब,आवृत्तियों की गणना करते हैं:
$n_1 = \frac{337.92}{1.28} = 264 ~Hz$।
$n_2 = \frac{337.92}{1.32} = 256 ~Hz$।

(C) मान लीजिए कि प्रारंभिक ऊँचाई $H = 12 ~m$ है। इस ऊँचाई पर गेंद की स्थितिज ऊर्जा $PE_1 = mgH$ है।
जब गेंद जमीन से टकराती है,तो टकराने से ठीक पहले उसकी गतिज ऊर्जा $KE_1 = mgH$ होती है।
गेंद अपनी गतिज ऊर्जा का $25 \%$ खो देती है,इसलिए शेष गतिज ऊर्जा $KE_2 = KE_1 - 0.25 KE_1 = 0.75 KE_1$ है।
गेंद '$h$' ऊँचाई तक वापस उछलती है,इसलिए अधिकतम ऊँचाई पर उसकी स्थितिज ऊर्जा $PE_2 = mgh$ होती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,उछलने के बाद की गतिज ऊर्जा नई ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है: $KE_2 = PE_2$।
इसलिए,$mgh = 0.75 mgH$।
दोनों तरफ से $mg$ को हटाने पर,हमें $h = 0.75 H$ प्राप्त होता है।
$H = 12 ~m$ रखने पर,$h = 0.75 \times 12 = 9 ~m$ प्राप्त होता है।

(B) $\pi$ बंध परमाणु कक्षकों के पार्श्व (sideways) अतिव्यापन से बनते हैं,जैसे $p-p$,$p-d$,या $d-d$।
$\sigma$ बंध कक्षकों के अक्षीय (axial) अतिव्यापन से बनते हैं। संकरित कक्षक हमेशा $\sigma$ बंध बनाते हैं,और $s$-कक्षक अक्षीय अतिव्यापन के माध्यम से $\sigma$ बंध बना सकते हैं।

(C) $4^{th}$ आवर्त के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n=4$ है।
भरी जाने वाली कक्षकें $4s$,$3d$ और $4p$ हैं।
इन कक्षकों में समाहित होने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या $2 (4s) + 10 (3d) + 6 (4p) = 18$ है।
अतः,$4^{th}$ आवर्त में तत्वों की संख्या $18$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-2x+4=0$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए $\alpha+\beta=2$ और $\alpha\beta=4$ है।
समीकरण के मूल $x = 1 \pm i\sqrt{3} = 2e^{\pm i\pi/3}$ हैं।
अतः,$\alpha^9 = (2e^{i\pi/3})^9 = 2^9 e^{i3\pi} = -2^9$ और $\beta^9 = (2e^{-i\pi/3})^9 = 2^9 e^{-i3\pi} = -2^9$ है।
इसलिए,$\alpha^9+\beta^9 = -2^9 - 2^9 = -2^{10}$।

(D) दिया गया समीकरण $(5+\sqrt{2}) x^2-b x+(8+2 \sqrt{5})=0$ है।
माना $\alpha$ और $\beta$ इस समीकरण के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha+\beta = \frac{b}{5+\sqrt{2}}$
$\alpha \beta = \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}$
मूलों के बीच हरात्मक माध्य $(HM)$ $\frac{2 \alpha \beta}{\alpha+\beta} = 4$ द्वारा दिया जाता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2 \left( \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}} \right)}{\frac{b}{5+\sqrt{2}}} = 4$
$\frac{2(8+2 \sqrt{5})}{b} = 4$
$\frac{8+2 \sqrt{5}}{b} = 2$
$b = \frac{8+2 \sqrt{5}}{2} = 4+\sqrt{5}$.

(B) चरण $1$: $x^2+5x+6 \geq 0$ को हल करें।
गुणनखंड करने पर,$(x+2)(x+3) \geq 0$ प्राप्त होता है।
मूल $x = -3$ और $x = -2$ हैं।
अंतराल की जाँच करने पर,हल $x \in (-\infty, -3] \cup [-2, \infty)$ है।
चरण $2$: $x^2+3x-4 < 0$ को हल करें।
गुणनखंड करने पर,$(x+4)(x-1) < 0$ प्राप्त होता है।
मूल $x = -4$ और $x = 1$ हैं।
अंतराल की जाँच करने पर,हल $x \in (-4, 1)$ है।
चरण $3$: दोनों समुच्चयों का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें।
$(-\infty, -3] \cup [-2, \infty)$ और $(-4, 1)$ का सर्वनिष्ठ $(-4, -3] \cup [-2, 1)$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया घन समीकरण $x^3-42 x^2+336 x-512=0$ है।
$x=2$ रखने पर समीकरण संतुष्ट होता है,अतः $(x-2)$ एक गुणनखंड है।
समीकरण को $(x-2)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x-2)(x^2-40x+256) = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात भाग का गुणनखंड करने पर: $(x-2)(x-32)(x-8) = 0$।
अतः,मूल $x = 2, 8, 32$ हैं।
ये मूल बढ़ते हुए गुणोत्तर श्रेणी में हैं,जहाँ प्रथम पद $a = 2$ और सार्व अनुपात $r = \frac{8}{2} = 4$ है।
अतः,सार्व अनुपात $4: 1$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{(1+i) x-i}{2+i}+\frac{(1+2 i) y+i}{2-i}=1$
दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करने पर:
$[(1+i)x - i](2-i) + [(1+2i)y + i](2+i) = 5$
सरल करने पर:
$(3+i)x - (2i+1) + (5i)y + (2i-1) = 5$
$(3+i)x + 5iy - 2 = 5$
$(3+i)x + 5iy = 7$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$3x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{3}$
$x + 5y = 0 \Rightarrow y = -\frac{7}{15}$
अतः,$(x, y) = \left(\frac{7}{3}, -\frac{7}{15}\right)$.

(B) दिया गया है,$|z^2-1|=|z|^2+1$.
माना $z=x+iy$.
तब,$|(x+iy)^2-1|=|x+iy|^2+1$.
$|x^2-y^2+2ixy-1| = x^2+y^2+1$.
$|(x^2-y^2-1)+i(2xy)| = x^2+y^2+1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x^2-y^2-1)^2 + (2xy)^2 = (x^2+y^2+1)^2$.
इस समीकरण को हल करने पर हमें $4x^2=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x=0$.
अतः,$z$ काल्पनिक अक्ष पर स्थित है।

(C) सबसे पहले,$\frac{1+i}{1-i}$ पद को अंश और हर में $1+i$ से गुणा करके सरल करें:
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+i^2+2i}{1-i^2} = \frac{1-1+2i}{1+1} = \frac{2i}{2} = i$.
इसी प्रकार,दूसरे पद के लिए:
$\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1+i^2-2i}{1-i^2} = \frac{1-1-2i}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$.
अब,इन मानों को मूल व्यंजक में रखें:
$(i)^4 + (-i)^4 = i^4 + i^4 = 1 + 1 = 2$.

(C) $t_n$ एक समतल में $n$ बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुजों की संख्या है,जहाँ कोई भी तीन बिंदु संरेख नहीं हैं।
अतः,$t_n = {}^{n}C_3$.
इसी प्रकार,$t_{n+1} = {}^{n+1}C_3$.
दिया गया है कि $t_{n+1} - t_n = 36$.
गुणधर्म ${}^{n+1}C_r - {}^{n}C_r = {}^{n}C_{r-1}$ का उपयोग करने पर:
${}^{n}C_2 = 36$.
$\frac{n(n-1)}{2} = 36$.
$n(n-1) = 72$.
$n^2 - n - 72 = 0$.
$(n-9)(n+8) = 0$.
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 9$।

(C) दिया गया है,${}^n C_{r-1}=330$,${}^n C_r=462$,और ${}^n C_{r+1}=462$।
हम जानते हैं कि $\frac{{}^n C_{r+1}}{{}^n C_r} = \frac{n-r}{r+1}$।
चूंकि ${}^n C_{r+1} = {}^n C_r = 462$,इसलिए $\frac{n-r}{r+1} = 1$,जिसका अर्थ है $n-r = r+1$,या $n = 2r+1$।
अब,अनुपात $\frac{{}^n C_r}{{}^n C_{r-1}} = \frac{462}{330} = \frac{7}{5}$ पर विचार करें।
सूत्र $\frac{{}^n C_r}{{}^n C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,$\frac{n-r+1}{r} = \frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण में $n = 2r+1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(2r+1)-r+1}{r} = \frac{7}{5} \Rightarrow \frac{r+2}{r} = \frac{7}{5}$।
$5(r+2) = 7r$ $\Rightarrow 5r+10 = 7r$ $\Rightarrow 2r = 10$ $\Rightarrow r = 5$।

(B) ओजोन परत के क्षय का सबसे गंभीर प्रभाव यह है कि सूर्य से आने वाली $UV$ किरणें समताप मंडल से गुजरकर पृथ्वी की सतह तक पहुँच सकती हैं।
यह पाया गया है कि $UV$ किरणों के संपर्क में वृद्धि के साथ,त्वचा कैंसर होने की संभावना बढ़ जाती है।
इसके अलावा,$UV$ किरणों के संपर्क में आने से आँख का कॉर्निया और लेंस क्षतिग्रस्त हो जाते हैं,जिससे मोतियाबिंद और यहाँ तक कि अंधापन भी हो सकता है।

(D) दी गई समीकरणों की प्रणाली:
$x+y = \frac{2 \pi}{3}$ $(i)$
$\cos x + \cos y = \frac{3}{2}$ $(ii)$
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करते हुए,$\cos x + \cos y = 2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$.
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \pi}{3}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
$2 \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
चूंकि $\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
$\cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
चूंकि कोसाइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए समीकरण $\cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$ का कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,हल समुच्चय एक रिक्त समुच्चय है।

(C) $1$. मूल बिंदु को $(1,2)$ पर स्थानांतरित करने पर,बिंदु $(7,5)$ का स्थान $(7-1, 5-2) = (6,3)$ हो जाता है।
$2$. नई $X$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में $2$ इकाइयों के स्थानांतरण के बाद,बिंदु $(6,3)$ का स्थान $(6-2, 3) = (4,3)$ हो जाता है।
$3$. दक्षिणावर्त दिशा में $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर घूर्णन करने पर,नए निर्देशांक $(x', y')$ इस प्रकार होंगे: $x' = x \cos \theta + y \sin \theta$ और $y' = -x \sin \theta + y \cos \theta$.
$x=4, y=3$ और $\theta = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$x' = 4 \cos \frac{\pi}{4} + 3 \sin \frac{\pi}{4} = \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$
$y' = -4 \sin \frac{\pi}{4} + 3 \cos \frac{\pi}{4} = -\frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
अंतिम स्थिति $\left(\frac{7}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ है।

(A) माना $l_1 \equiv 2x + 3y = 5$ है।
चूंकि रेखा $AB$,$l_1$ के लंबवत है,$l_1$ की ढाल $m_1 = -\frac{2}{3}$ है।
इसलिए,$AB$ की ढाल $m_{AB} = -\frac{1}{m_1} = \frac{3}{2}$ है।
बिंदु $A\left(1, \frac{1}{3}\right)$ से गुजरने वाली और $\frac{3}{2}$ ढाल वाली रेखा $AB$ का समीकरण:
$\left(y - \frac{1}{3}\right) = \frac{3}{2}(x - 1)$
$\Rightarrow 2y - \frac{2}{3} = 3x - 3$
$\Rightarrow 3x - 2y = \frac{7}{3}$
$\Rightarrow 9x - 6y = 7$ (समीकरण $i$)
रेखा $l_1$ का समीकरण $2x + 3y = 5$ है (समीकरण $ii$)।
समीकरण $ii$ को $2$ से गुणा करने पर,$4x + 6y = 10$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण $i$ में जोड़ने पर: $(9x - 6y) + (4x + 6y) = 7 + 10$ $\Rightarrow 13x = 17$ $\Rightarrow x = \frac{17}{13}$।
समीकरण $ii$ में $x$ का मान रखने पर: $2\left(\frac{17}{13}\right) + 3y = 5$ $\Rightarrow 3y = 5 - \frac{34}{13} = \frac{31}{13}$ $\Rightarrow y = \frac{31}{39}$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ ($AB$ का मध्य-बिंदु) $\left(\frac{17}{13}, \frac{31}{39}\right)$ है।
माना $B = (x_2, y_2)$ है। चूंकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है:
$\frac{1 + x_2}{2} = \frac{17}{13}$ $\Rightarrow 1 + x_2 = \frac{34}{13}$ $\Rightarrow x_2 = \frac{21}{13}$।
$\frac{1/3 + y_2}{2} = \frac{31}{39}$ $\Rightarrow \frac{1}{3} + y_2 = \frac{62}{39}$ $\Rightarrow y_2 = \frac{62}{39} - \frac{13}{39} = \frac{49}{39}$।
अतः,$B = \left(\frac{21}{13}, \frac{49}{39}\right)$।

(B) माना रेखा $L(x, y) = 3x - 5y + a = 0$ है। बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 2)$ और $(x_2, y_2) = (3, 4)$ रेखा के एक ही ओर स्थित होते हैं यदि $L(x_1, y_1)$ और $L(x_2, y_2)$ का चिह्न समान हो,अर्थात $L(x_1, y_1) \cdot L(x_2, y_2) > 0$.
सबसे पहले,$L(1, 2) = 3(1) - 5(2) + a = a - 7$ ज्ञात करें।
दूसरा,$L(3, 4) = 3(3) - 5(4) + a = a - 11$ ज्ञात करें।
बिंदुओं के एक ही ओर होने के लिए,$(a - 7)(a - 11) > 0$ होना चाहिए।
इस असमिका को हल करने पर,हमें $a < 7$ या $a > 11$ प्राप्त होता है।
अतः,$a \in (-\infty, 7) \cup (11, \infty)$,जो $R - [7, 11]$ है।

(D) दिए गए बिंदु $(1, \pi)$,$(1, 0^{\circ})$ और $(1, \frac{\pi}{2})$ ध्रुवीय निर्देशांक में हैं।
इन्हें कार्तीय निर्देशांक $(x, y) = (r \cos \theta, r \sin \theta)$ में बदलने पर:
$(1, \pi) \rightarrow (-1, 0)$
$(1, 0^{\circ}) \rightarrow (1, 0)$
$(1, \frac{\pi}{2}) \rightarrow (0, 1)$
$(1, 0)$ और $(0, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x + y - 1 = 0$ है।
बिंदु $(-1, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी:
$d = \frac{|1(-1) + 1(0) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(A) दी गई सरल रेखाओं के समीकरण हैं:
$(i) \ x \sec \theta - y \operatorname{cosec} \theta = a$
$(ii) \ x \cos \theta + y \sin \theta = a \cos 2 \theta$
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
रेखा $(i)$ के लिए:
$p = \frac{|-a|}{\sqrt{\sec^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta}} = a \sin \theta \cos \theta = \frac{a}{2} \sin 2 \theta$.
अतः,$2p = a \sin 2 \theta$.
रेखा $(ii)$ के लिए:
$q = \frac{|-a \cos 2 \theta|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = a \cos 2 \theta$.
अब,$4p^2 + q^2$ की गणना करने पर:
$4p^2 + q^2 = (2p)^2 + q^2 = (a \sin 2 \theta)^2 + (a \cos 2 \theta)^2 = a^2(\sin^2 2 \theta + \cos^2 2 \theta) = a^2$.
अतः,$4p^2 + q^2 = a^2$.

(A) एनैन्टीओमर्स ऐसे त्रिविम समावयवी (stereoisomers) होते हैं जो एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब होते हैं और एक-दूसरे पर अध्यारोपित नहीं होते हैं।
वे एक अकिरल (achiral) वातावरण में समान भौतिक गुण जैसे गलनांक,क्वथनांक,घनत्व और अपवर्तनांक प्रदर्शित करते हैं।
हालाँकि,वे समतल-ध्रुवित प्रकाश (plane-polarized light) के साथ अपनी परस्पर क्रिया में भिन्न होते हैं।
एक एनैन्टीओमर समतल-ध्रुवित प्रकाश के तल को दाईं ओर (दक्षिण-ध्रुवण घूर्णक,$+$ द्वारा दर्शाया गया) घुमाता है,जबकि दूसरा इसे समान सीमा तक बाईं ओर (वाम-ध्रुवण घूर्णक,$-$ द्वारा दर्शाया गया) घुमाता है।
इसलिए,वे अपने विशिष्ट घूर्णन के चिह्न में भिन्न होते हैं।

(A) $M$ द्रव्यमान वाले ठोस गोले के कारण उसके केंद्र से $3R$ की दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के कण पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल:
$F_1 = \frac{G M m}{(3 R)^2} = \frac{G M m}{9 R^2}$
जब $R/2$ त्रिज्या का एक गोलाकार छेद किया जाता है,तो हटाए गए भाग का द्रव्यमान $M'$ उसके आयतन के समानुपाती होता है। चूंकि घनत्व $\rho$ समान है:
$M' = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi (R/2)^3 = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{M}{8}$
छेद का केंद्र बड़े गोले के केंद्र से $R/2$ की दूरी पर है। कण बड़े गोले के केंद्र से $3R$ की दूरी पर है,इसलिए यह छेद के केंद्र से $(3R - R/2) = 5R/2$ की दूरी पर है।
छेद वाले गोले द्वारा लगाया गया बल $F_2$,मूल ठोस गोले के बल में से हटाए गए भाग द्वारा लगाए गए बल को घटाने पर प्राप्त होता है:
$F_2 = F_1 - F_{\text{hole}} = \frac{G M m}{9 R^2} - \frac{G (M/8) m}{(5 R / 2)^2}$
$F_2 = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{25} \right] = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{50} \right]$
$F_2 = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{50 - 9}{450} \right] = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{41}{450} \right]$
अब,$F_1 / F_2$ का अनुपात है:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{\frac{G M m}{9 R^2}}{\frac{41 G M m}{450 R^2}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{450}{41} = \frac{50}{41}$

(C) ऊष्मा के अनुप्रयोग द्वारा किसी यौगिक के अपघटन को ताप अपघटन (पायरोलिसिस) कहा जाता है।
उच्च एल्केन का निम्न एल्केन,एल्कीन आदि के मिश्रण में अपघटन को क्रैकिंग या पायरोलिसिस भी कहा जाता है।

(A) कथन $1$ सही है क्योंकि भारी जल $(D_2O)$ पौधों और जानवरों की वृद्धि के लिए हानिकारक होता है।
कथन $2$ गलत है क्योंकि $Al_4C_3$ की $D_2O$ के साथ अभिक्रिया से $\text{deuterated methane}$ $(CD_4)$ प्राप्त होता है,न कि $\text{acetylene}$। संतुलित रासायनिक समीकरण है: $Al_4C_3 + 12D_2O \rightarrow 4Al(OD)_3 + 3CD_4$.
कथन $3$ सही है क्योंकि $BaCl_2 \cdot 2D_2O$ एक $\text{interstitial deuterate}$ का उदाहरण है।

(D) दिया गया है,$u=\log \left(x^3+y^3+z^3-3 x y z\right)$.
हम जानते हैं कि $x^3+y^3+z^3-3 x y z = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$.
अतः,$u = \log(x+y+z) + \log(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$.
अब,आंशिक अवकलज (partial derivatives) ज्ञात करने पर:
$u_x = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{3x^2-3yz}{x^3+y^3+z^3-3xyz}$,
$u_y = \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{3y^2-3xz}{x^3+y^3+z^3-3xyz}$,
$u_z = \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{3z^2-3xy}{x^3+y^3+z^3-3xyz}$.
इनका योग करने पर:
$u_x+u_y+u_z = \frac{3(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)} = \frac{3}{x+y+z}$.
इसलिए,$(x+y+z)(u_x+u_y+u_z) = 3$.

(B) दिया गया है: $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=2 \log \left(\frac{x}{2}\right)$ जहाँ $x>0$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}} \cdot \frac{1}{b} \frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{1}{\left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{2}$
$-\frac{1}{\sqrt{b^2-y^2}} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$
$x \frac{d y}{d x} = -2 \sqrt{b^2-y^2} \quad \dots (i)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} = -2 \cdot \frac{1}{2} (b^2-y^2)^{-1/2} (-2y) \frac{d y}{d x}$
$x \frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} = \frac{2y}{\sqrt{b^2-y^2}} \cdot \frac{d y}{d x}$
समीकरण $(i)$ से,$\sqrt{b^2-y^2} = -\frac{x}{2} \frac{d y}{d x}$ है। इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$x \frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} = \frac{2y}{-\frac{x}{2} \frac{d y}{d x}} \cdot \frac{d y}{d x}$
$x \frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} = -\frac{4y}{x}$
दोनों पक्षों में $x$ से गुणा करने पर:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} + x \frac{d y}{d x} = -4y$.

(B) $NH_4OH$ (दुर्बल क्षार) और $NH_4Cl$ (प्रबल अम्ल के साथ इसका लवण) का मिश्रण एक क्षारीय बफर विलयन बनाता है।
क्षारीय बफर के लिए,$pOH$ की गणना हेंडरसन-हैसेलबैक समीकरण का उपयोग करके की जाती है:
$pOH = pK_b + \log \frac{[\text{salt}]}{[\text{base}]}$
दिया गया है: $[\text{salt}] = 0.2 \ M$,$[\text{base}] = 0.02 \ M$,और $pK_b = 4.8$.
$pOH = 4.8 + \log \left( \frac{0.2}{0.02} \right) = 4.8 + \log(10) = 4.8 + 1 = 5.8$.
अब,$25^{\circ}C$ पर $pH + pOH = 14$ संबंध का उपयोग करके $pH$ ज्ञात करें:
$pH = 14 - 5.8 = 8.2$.

(A) मान लीजिए कि नत समतल की कुल लंबाई $l$ है। ऊपरी आधे भाग की लंबाई $l/2$ है और यह चिकना है $(\mu = 0)$। निचले आधे भाग की लंबाई $l/2$ है और यह $\mu$ घर्षण गुणांक के साथ खुरदरा है।
ऊपरी आधे भाग के लिए:
त्वरण $a_1 = g \sin \phi$ है। विरामावस्था $(u = 0)$ से शुरू होकर,मध्य बिंदु पर वेग $v$,$v^2 = u^2 + 2 a_1 s$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $s = l/2$ है।
$v^2 = 0 + 2(g \sin \phi) \cdot (l/2) = gl \sin \phi$.
निचले आधे भाग के लिए:
प्रारंभिक वेग $v$ है और अंतिम वेग $0$ है। त्वरण $a_2 = g(\sin \phi - \mu \cos \phi)$ है। $v_f^2 = v_i^2 + 2 a_2 s$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $s = l/2$ है:
$0 = v^2 + 2g(\sin \phi - \mu \cos \phi) \cdot (l/2)$.
$v^2 = gl \sin \phi$ प्रतिस्थापित करने पर:
$0 = gl \sin \phi + gl(\sin \phi - \mu \cos \phi)$.
$0 = gl \sin \phi + gl \sin \phi - gl \mu \cos \phi$.
$gl \mu \cos \phi = 2gl \sin \phi$.
$\mu = 2 \frac{\sin \phi}{\cos \phi} = 2 \tan \phi$.

(A) मान लीजिए कि निकाय का त्वरण $a$ है। चूंकि गुटका $m$,गुटके $M$ के सापेक्ष स्थिर है,इसलिए दोनों समान त्वरण $a$ से गति करते हैं।
गुटके $m$ के लिए,गुटके $M$ के फ्रेम (स्यूडो फोर्स फ्रेम) में कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. स्यूडो बल $ma$ जो क्षैतिज रूप से बाईं ओर कार्य करता है।
$2$. गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$3$. अभिलंब बल $N$ जो झुकी हुई सतह के लंबवत कार्य करता है।
$m$ को ढलान पर स्थिर रहने के लिए,ढलान के अनुदिश स्यूडो बल का घटक और गुरुत्वाकर्षण बल का घटक संतुलित होना चाहिए:
$ma \cos \beta = mg \sin \beta$
$a = g \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = g \tan \beta$
अब,पूरे $(M+m)$ द्रव्यमान के निकाय पर विचार करते हुए जो बल $P$ के तहत $a$ त्वरण से गति कर रहा है:
$P = (M+m) a$
$a$ का मान रखने पर:
$P = (M+m) g \tan \beta$

(D) दिए गए वक्र $x^2+p y^2=1$ $(i)$ और $q x^2+y^2=1$ (ii) हैं।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 2py \frac{dy}{dx} = 0$,जिससे $m_1 = \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{py}$ प्राप्त होता है।
(ii) का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2qx + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,जिससे $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{qx}{y}$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र लंबकोणीय हैं,$m_1 \cdot m_2 = -1$।
ढाल के मान रखने पर: $(-\frac{x}{py}) \cdot (-\frac{qx}{y}) = -1 \Rightarrow \frac{qx^2}{py^2} = -1 \Rightarrow qx^2 = -py^2$।
$(i)$ से,$x^2 = 1 - py^2$। इस मान को लंबकोणीयता की शर्त में रखने पर: $q(1 - py^2) = -py^2 \Rightarrow q - qpy^2 = -py^2 \Rightarrow q = y^2(qp - p) \Rightarrow y^2 = \frac{q}{p(q-1)}$।
इसी प्रकार,$x^2 = \frac{p(1-q)}{q-p}$।
$x^2$ और $y^2$ के मानों को $q x^2 + y^2 = 1$ में रखने पर: $q(\frac{p-pq}{q-p}) + \frac{q}{pq-p} = 1$।
इसे हल करने पर $p+q = 2pq$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 2$।

(A) माना $I = \int \frac{x-\sin x}{1+\cos x} dx$ है।
सर्वसमिकाओं $1+\cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2})$ और $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{x}{2\cos^2(\frac{x}{2})} dx - \int \frac{2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})}{2\cos^2(\frac{x}{2})} dx$
$I = \frac{1}{2} \int x \sec^2(\frac{x}{2}) dx - \int \tan(\frac{x}{2}) dx$ प्राप्त होता है।
प्रथम पद के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:
$\int x \sec^2(\frac{x}{2}) dx = x \cdot 2\tan(\frac{x}{2}) - \int 2\tan(\frac{x}{2}) dx = 2x\tan(\frac{x}{2}) - 4\log|\sec(\frac{x}{2})|$।
इस मान को वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2} [2x\tan(\frac{x}{2}) - 4\log|\sec(\frac{x}{2})|] - \int \tan(\frac{x}{2}) dx$।
चूंकि $\int \tan(\frac{x}{2}) dx = 2\log|\sec(\frac{x}{2})|$,इसलिए:
$I = x\tan(\frac{x}{2}) - 2\log|\sec(\frac{x}{2})| - 2\log|\sec(\frac{x}{2})| + C = x\tan(\frac{x}{2}) - 4\log|\sec(\frac{x}{2})| + C$।
इसे दिए गए व्यंजक $x \tan(\frac{x}{2}) + p \log|\sec(\frac{x}{2})| + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $p = -4$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - 2y \tan 2x = e^x \sec 2x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -2 \tan 2x$ और $Q = e^x \sec 2x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int -2 \tan 2x dx}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$IF = e^{-\ln(\sec 2x)} = e^{\ln(\cos 2x)} = \cos 2x$.
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ है।
मान रखने पर,$y \cos 2x = \int (e^x \sec 2x) \cdot \cos 2x dx + C$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sec 2x \cdot \cos 2x = 1$,इसलिए $y \cos 2x = \int e^x dx + C$।
अतः,हल $y \cos 2x = e^x + C$ है,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण है:
$(1+y+x^2 y) dx + (x+x^3) dy = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(x+x^3) dy = -(1+y+x^2 y) dx$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y(1+x^2)}{x(1+x^2)}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x(1+x^2)} - \frac{y(1+x^2)}{x(1+x^2)}$
$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = -\frac{1}{x(1+x^2)}$
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = -\frac{1}{x(1+x^2)}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$.

(B) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)(2n+1)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,$\frac{1}{(2n)(2n+1)} = \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n+1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + \dots$
हम जानते हैं कि $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$
$x=1$ के लिए,$\ln(2) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \dots$
इसलिए,$1 - \ln(2) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots$
अतः,$S = 1 - \ln(2) = \ln(e) - \ln(2) = \ln\left(\frac{e}{2}\right)$।

(B) हम जानते हैं कि किया गया कार्य $W$,बल $F$ और विस्थापन $d$ का अदिश गुणनफल (dot product) होता है।
दिया गया है,बल $F = 2 \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$।
मूल बिंदु से $r = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$ बिंदु तक का विस्थापन सदिश $d = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$ है।
अदिश गुणनफल के गुण $\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ और $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0$ का उपयोग करते हुए।
$W = F \cdot d = (2 \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k})$।
$W = (2 \times 3) + (-1 \times 2) + (-1 \times -5)$।
$W = 6 - 2 + 5 = 9 \text{ units}$।

(D) दिया गया है,$\frac{1}{x^4+x^2+1} = \frac{Ax+B}{x^2+x+1} + \frac{Cx+D}{x^2-x+1}$.
चूँकि $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$,हमें प्राप्त होता है:
$1 = (Ax+B)(x^2-x+1) + (Cx+D)(x^2+x+1)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$1 = (Ax^3 - Ax^2 + Ax + Bx^2 - Bx + B) + (Cx^3 + Cx^2 + Cx + Dx^2 + Dx + D)$.
$x$ के घातों के अनुसार पदों को व्यवस्थित करने पर:
$1 = (A+C)x^3 + (-A+B+C+D)x^2 + (A-B+C+D)x + (B+D)$.
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+C = 0$ $(i)$
$-A+B+C+D = 0$ (ii)
$A-B+C+D = 0$ (iii)
$B+D = 1$ (iv)
समीकरण (ii) और (iii) को जोड़ने पर:
$(-A+B+C+D) + (A-B+C+D) = 0 + 0$
$2C + 2D = 0$
$2(C+D) = 0$
$C+D = 0$.

(C) दिया गया है कि $a \cdot y = c$ और $a \times y = b$ है। चूँकि $a$ और $b$ लंबवत हैं,इसलिए $a \cdot b = 0$ है।
दूसरे समीकरण के साथ $a$ का सदिश गुणनफल लेने पर:
$a \times (a \times y) = a \times b$।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ का उपयोग करने पर:
$(a \cdot y)a - (a \cdot a)y = a \times b$।
$a \cdot y = c$ और $a \cdot a = |a|^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$c a - |a|^2 y = a \times b$।
$y$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$|a|^2 y = c a - (a \times b)$।
$y = \frac{1}{|a|^2}[c a - (a \times b)]$।

(C) दिया गया है कि $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$ और $a \times b = 0, b \times c = 0$ है।
चूँकि $a \times b = 0$,इसका अर्थ है कि सदिश $a$,सदिश $b$ के समांतर है।
चूँकि $b \times c = 0$,इसका अर्थ है कि सदिश $b$,सदिश $c$ के समांतर है।
समांतर सदिशों के संक्रामक गुणधर्म के अनुसार,यदि $a \parallel b$ और $b \parallel c$ है,तो $a \parallel c$ होगा।
अतः,दो समांतर सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य होता है,इसलिए $a \times c = 0$।

(B) बिंदुओं $P, Q, R, S$ के स्थिति सदिश $P(3, -4, 5)$,$Q(2, -1, 4)$,$R(-4, 5, 1)$ और $S(-3, 4, 3)$ हैं।
रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x-3}{-1} = \frac{y+4}{3} = \frac{z-5}{-1} = r_1$ है।
रेखा $PQ$ पर कोई भी बिंदु $(-r_1+3, 3r_1-4, -r_1+5)$ है।
रेखा $RS$ का समीकरण $\frac{x+4}{1} = \frac{y-5}{-1} = \frac{z-1}{2} = r_2$ है।
रेखा $RS$ पर कोई भी बिंदु $(r_2-4, -r_2+5, 2r_2+1)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,निर्देशांकों की तुलना करने पर: $-r_1+3 = r_2-4 \Rightarrow r_1+r_2 = 7$ और $3r_1-4 = -r_2+5 \Rightarrow 3r_1+r_2 = 9$।
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर $2r_1 = 2 \Rightarrow r_1 = 1$ प्राप्त होता है।
$r_1 = 1$ को $r_1+r_2 = 7$ में रखने पर $r_2 = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-3, 4, 3)$ अर्थात $-3i + 4j + 3k$ है।

(D) दी गई रेखाएं $r=a_1+\lambda b_1$ और $r=a_2+\mu b_2$ हैं,जहाँ:
$a_1 = 3i+5j+7k, b_1 = i+2j+k$
$a_2 = -i-j-k, b_2 = 7i-6j+k$
न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|(a_2-a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|}$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $b_1 \times b_2$ की गणना करें:
$b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 1 \\ 7 & -6 & 1 \end{vmatrix} = i(2+6) - j(1-7) + k(-6-14) = 8i + 6j - 20k$.
इसका परिमाण $|b_1 \times b_2| = \sqrt{8^2 + 6^2 + (-20)^2} = \sqrt{64 + 36 + 400} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}$.
अब,$a_2 - a_1 = (-i-j-k) - (3i+5j+7k) = -4i - 6j - 8k$.
अब,अदिश गुणनफल $(a_2-a_1) \cdot (b_1 \times b_2) = (-4i - 6j - 8k) \cdot (8i + 6j - 20k) = (-4)(8) + (-6)(6) + (-8)(-20) = -32 - 36 + 160 = 92$.
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \frac{|92|}{10\sqrt{5}} = \frac{92}{10\sqrt{5}} = \frac{46}{5\sqrt{5}}$.

(A) पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $P(X=1) = 2 P(X=2)$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = 2 \times \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$
$\lambda e^{-\lambda} = 2 \times \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2}$
$\lambda e^{-\lambda} = \lambda^2 e^{-\lambda}$
चूंकि $\lambda > 0$ और $e^{-\lambda} \neq 0$,इसलिए दोनों पक्षों को $\lambda e^{-\lambda}$ से विभाजित करने पर:
$1 = \lambda$
अतः,प्राचल $\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
अब,$P(X=3)$ की गणना करते हैं:
$P(X=3) = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!} = \frac{1^3 e^{-1}}{6} = \frac{e^{-1}}{6}$.