AP EAMCET 2010 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) हीलियम और ऑक्सीजन के मिश्रण का उपयोग अस्थमा के उपचार में किया जाता है।
चूंकि हीलियम का घनत्व कम होता है,इसलिए यह मिश्रण श्वसन नली के संकीर्ण मार्गों से आसानी से प्रवाहित हो सकता है,जिससे रोगी को सांस लेने में आसानी होती है।

(D) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $54$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 54$
$n(n-3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$
$n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$
$(n + 9)(n - 12) = 0$
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 12$ है।
अतः,बहुभुज की भुजाओं की संख्या $12$ है।

(A) माना $f(\theta) = \left(\tan \theta - \frac{1}{3} \tan^3 \theta\right) \left(\frac{1}{3} - \tan^2 \theta\right)^{-1}$.
चूँकि $\tan^2 \theta \neq \frac{1}{3}$,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(\theta) = \frac{\tan \theta - \frac{1}{3} \tan^3 \theta}{\frac{1}{3} - \tan^2 \theta} = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$.
सर्वसमिका $\tan(3\theta) = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें $f(\theta) = \tan(3\theta)$ प्राप्त होता है।
$\tan(x)$ का आवर्तकाल $\pi$ होता है। अतः,$\tan(3\theta)$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{3}$ होगा।

(B) दिया गया है: $a \sin^2 \theta + b \cos^2 \theta = c$
दोनों पक्षों को $\cos^2 \theta$ से विभाजित करने पर:
$a \tan^2 \theta + b = c \sec^2 \theta$
चूंकि $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$,इसलिए:
$a \tan^2 \theta + b = c(1 + \tan^2 \theta)$
$a \tan^2 \theta + b = c + c \tan^2 \theta$
$\tan^2 \theta$ को अलग करने पर:
$a \tan^2 \theta - c \tan^2 \theta = c - b$
$(a - c) \tan^2 \theta = c - b$
$\tan^2 \theta = \frac{c - b}{a - c}$

(A) दिया गया समीकरण: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta+(\sqrt{3}+1) \cos \theta=2$
दोनों पक्षों को $2\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
हम जानते हैं कि $\cos(15^{\circ}) = \cos(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ और $\sin(15^{\circ}) = \sin(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin(\frac{\pi}{12}) \sin \theta + \cos(\frac{\pi}{12}) \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
सर्वसमिका $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\cos(\theta - \frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{4})$
$\cos x = \cos \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = 2n\pi \pm \alpha$ है।
अतः,$\theta - \frac{\pi}{12} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$
$\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$,जहाँ $n \in Z$.

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-6x+12y+15=0$ है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-3$,$f=6$,और $c=15$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-3)^2+6^2-15} = \sqrt{9+36-15} = \sqrt{30}$ है।
इस वृत्त का क्षेत्रफल $A_1 = \pi r_1^2 = 30\pi$ है।
माना संकेंद्रित वृत्त $x^2+y^2-6x+12y+k=0$ है।
इसकी त्रिज्या $r_2$ के लिए $r_2^2 = g^2+f^2-k = 45-k$ है।
नए वृत्त का क्षेत्रफल $A_2 = \pi r_2^2 = \pi(45-k)$ है।
दिया गया है कि $A_2 = 2A_1$,इसलिए $\pi(45-k) = 2(30\pi) = 60\pi$।
अतः,$45-k = 60$,जिससे $k = -15$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+12y-15=0$ है।

(C) दिया गया है,$r_1 = 15$ इकाई,$r_2 = 20$ इकाई,और केंद्रों के बीच की दूरी $C_1 C_2 = 25$ इकाई है।
यहाँ $r_1^2 + r_2^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2 = (C_1 C_2)^2$ है।
चूँकि त्रिज्याओं के वर्गों का योग केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के बराबर है,इसलिए $\triangle A C_1 C_2$ एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $\angle C_1 A C_2 = 90^\circ$ है।
उभयनिष्ठ जीवा $AB$,केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा $C_1 C_2$ पर बिंदु $D$ पर लंब है।
$\triangle A C_1 C_2$ में,कर्ण $C_1 C_2$ पर शीर्षलंब $AD = \frac{r_1 \times r_2}{C_1 C_2}$ होता है।
$AD = \frac{15 \times 20}{25} = \frac{300}{25} = 12$ इकाई।
अतः,उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $= 2 \times AD = 2 \times 12 = 24$ इकाई।

(B) वृत्तों के समीकरण $S_1 \equiv x^2+y^2+2x+3y+1=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2+4x+3y+2=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा $AB$ का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है।
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$-2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.
$AB$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का समीकरण $S_1 + k(S_1 - S_2) = 0$ के रूप में होता है।
$x^2+y^2+2x+3y+1 + k(2x+1) = 0$.
चूंकि इस वृत्त का केंद्र रेखा $x = -\frac{1}{2}$ पर स्थित है,इसलिए $k = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $k = \frac{1}{2}$ रखने पर: $x^2+y^2+2x+3y+1 + \frac{1}{2}(2x+1) = 0$.
$x^2+y^2+3x+3y+\frac{3}{2} = 0$.
$2$ से गुणा करने पर: $2x^2+2y^2+2x+6y+1 = 0$.

(C) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ की मूल अक्ष $S_1-S_2=0$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,समीकरणों को सामान्य करें ताकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांक $1$ हों।
$S_1$ के लिए: $x^2+y^2-x+2y+\frac{18}{7}=0$
$S_2$ के लिए: $x^2+y^2-\frac{7}{4}x+2y+5=0$
$S_1$ में से $S_2$ घटाने पर:
$(x^2+y^2-x+2y+\frac{18}{7}) - (x^2+y^2-\frac{7}{4}x+2y+5) = 0$
$-x + \frac{7}{4}x + \frac{18}{7} - 5 = 0$
$\frac{3}{4}x + \frac{18-35}{7} = 0$
$\frac{3}{4}x - \frac{17}{7} = 0$
$28$ से गुणा करने पर:
$21x - 68 = 0$

(C) $y$-अक्ष के समानांतर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $y = Ax^2 + Bx + C$ है ...$(i)$
चूंकि परवलय बिंदुओं $(0, 4), (1, 9)$ और $(4, 5)$ से गुजरता है,ये बिंदु समीकरण को संतुष्ट करेंगे।
$(0, 4)$ को $(i)$ में रखने पर: $4 = A(0)^2 + B(0) + C \Rightarrow C = 4$ ...(ii)
$(1, 9)$ को $(i)$ में रखने पर: $9 = A(1)^2 + B(1) + 4 \Rightarrow A + B = 5$ ...(iii)
$(4, 5)$ को $(i)$ में रखने पर: $5 = A(4)^2 + B(4) + 4 \Rightarrow 16A + 4B = 1$ ...(iv)
(iv) को $4$ से विभाजित करने पर,$4A + B = \frac{1}{4}$ ...$(v)$
$(v)$ में से (iii) घटाने पर: $3A = \frac{1}{4} - 5 = -\frac{19}{4} \Rightarrow A = -\frac{19}{12}$
$A$ का मान (iii) में रखने पर: $B = 5 + \frac{19}{12} = \frac{79}{12}$
अतः,परवलय का समीकरण $y = -\frac{19}{12}x^2 + \frac{79}{12}x + 4$ है।

(C) दिया गया परवलय $y^2 = 8(x-3)$ है। यहाँ शीर्ष $(3,0)$ और $a=2$ है।
नाभि $S(5,0)$ है और नियता $x=1$ है।
$P$ के निर्देशांक $(3+2t^2, 4t)$ लेने पर,$M$ के निर्देशांक $(1, 4t)$ होंगे।
समबाहु त्रिभुज के लिए $SP = SM$ होना चाहिए।
$SP = 2(t^2+1)$ और $SM = 4\sqrt{1+t^2}$।
$2(t^2+1) = 4\sqrt{1+t^2}$ लेने पर,$t^2=3$ प्राप्त होता है।
अतः $P(9, 4\sqrt{3})$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि संयुग्मी रेखाएँ $2x + 3y + 12 = 0$ $(i)$ और $x - y + k = 0$ $(ii)$ हैं।
दो रेखाएँ एक परवलय के सापेक्ष संयुग्मी कहलाती हैं यदि एक रेखा का ध्रुव (pole) दूसरी रेखा पर स्थित हो।
माना परवलय $y^2 = 8x$ के सापेक्ष रेखा $2x + 3y + 12 = 0$ का ध्रुव $(x_1, y_1)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $yy_1 = 4(x + x_1)$ है,जिसे $4x - yy_1 + 4x_1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे दी गई रेखा $2x + 3y + 12 = 0$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{4}{2} = \frac{-y_1}{3} = \frac{4x_1}{12}$
$2 = \frac{-y_1}{3} \Rightarrow y_1 = -6$
$2 = \frac{x_1}{3} \Rightarrow x_1 = 6$
अतः,ध्रुव $(6, -6)$ है।
चूँकि रेखाएँ संयुग्मी हैं,ध्रुव $(6, -6)$ दूसरी रेखा $x - y + k = 0$ पर स्थित होना चाहिए।
मान रखने पर,$6 - (-6) + k = 0$.
$12 + k = 0 \Rightarrow k = -12$.

(D) दिया गया है,$a_n = 6^n - 5n$ जहाँ $n = 1, 2, 3, \ldots$
हम $6^n$ को $(1 + 5)^n$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$6^n = (1 + 5)^n = {^nC_0} + {^nC_1}(5) + {^nC_2}(5^2) + {^nC_3}(5^3) + \ldots$
$6^n = 1 + 5n + 25({^nC_2} + {^nC_3}(5) + \ldots)$
अब,इस मान को $a_n$ के व्यंजक में रखने पर:
$a_n = (1 + 5n + 25k) - 5n$,जहाँ $k = {^nC_2} + {^nC_3}(5) + \ldots$
$a_n = 1 + 25k$
यह दर्शाता है कि जब $a_n$ को $25$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

(B) हमें दिया गया है $n = 1! + 4! + 7! + \ldots + 400!$।
सबसे पहले,फैक्टोरियल के मानों की गणना करें:
$1! = 1$
$4! = 24$
$7! = 5040$
$10! = 3628800$
किसी भी $k \ge 10$ के लिए,$k!$ कम से कम दो शून्य के साथ समाप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $k!$ के अंतिम दो अंक $00$ हैं।
अतः,$n$ का $100$ के सापेक्ष शेषफल पहले कुछ पदों के योग द्वारा निर्धारित होता है:
$n \equiv 1! + 4! + 7! + 10! + \ldots + 400! \pmod{100}$
$n \equiv 1 + 24 + 40 + 0 + \ldots + 0 \pmod{100}$
$n \equiv 65 \pmod{100}$
$n$ के अंतिम दो अंक $65$ हैं।
इसलिए,$n$ का दहाई का अंक $6$ है।

(A) दिया गया है $(1+2x+3x^2)^{10} = a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{20}x^{20}$।
द्विपद प्रसार $(1+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k y^k$ का उपयोग करने पर,जहाँ $y = 2x+3x^2$:
$(1+(2x+3x^2))^{10} = {}^{10}C_0 + {}^{10}C_1(2x+3x^2) + {}^{10}C_2(2x+3x^2)^2 + \ldots$
$= 1 + 10(2x+3x^2) + 45(4x^2+12x^3+9x^4) + \ldots$
$= 1 + 20x + 30x^2 + 180x^2 + 540x^3 + 405x^4 + \ldots$
$= 1 + 20x + 210x^2 + \ldots$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$a_1 = 20$
$a_2 = 210$
अतः,$\frac{a_2}{a_1} = \frac{210}{20} = 10.5$।

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{1}{(1-5 x)(1-4 x)}$ है,जहाँ $|x| < \frac{1}{5}$ है।
द्विपद विस्तार सूत्र $(1-z)^{-1} = 1 + z + z^2 + z^3 + \dots$ का उपयोग करने पर:
$(1-5x)^{-1} = 1 + 5x + 25x^2 + 125x^3 + \dots$
$(1-4x)^{-1} = 1 + 4x + 16x^2 + 64x^3 + \dots$
इन दोनों श्रेणियों का गुणा करने पर:
$(1 + 5x + 25x^2 + 125x^3 + \dots)(1 + 4x + 16x^2 + 64x^3 + \dots)$
$x^3$ का गुणांक उन पदों के गुणनफल का योग है जिनकी घातों का योग $3$ है:
$= (1 \cdot 64) + (5x \cdot 16x^2) + (25x^2 \cdot 4x) + (125x^3 \cdot 1)$
$= 64 + 80 + 100 + 125$
$= 369$

(C) दिया गया वक्र $2 x^2+y^2=2 x$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2 x^2-2 x+y^2=0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $2(x-\frac{1}{2})^2+y^2=\frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2}$ से भाग देने पर: $\frac{(x-\frac{1}{2})^2}{1/4} + \frac{y^2}{1/2} = 1$.
यह एक दीर्घवृत्त है जिसका केंद्र $(\frac{1}{2}, 0)$,$a = \frac{1}{2}$ और $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
दीर्घवृत्त पर एक बिंदु $P(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos \theta, \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta)$ लें।
बिंदु $Q(a, 0)$ से दूरी $PQ^2 = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos \theta - a)^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta)^2$ है।
गणना करने पर,$PQ^2 = -\frac{1}{4} \cos^2 \theta + (\frac{1}{2}-a) \cos \theta + (\frac{1}{2}-a)^2 + \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम मान के लिए $\cos \theta = 1-2a$ रखने पर,दूरी $\sqrt{2a^2 - 2a + 1}$ प्राप्त होती है।

(C) अनंतस्पर्शी $L_1=0$ और $L_2=0$ वाले अतिपरवलय का समीकरण $L_1 \cdot L_2 + k = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,अनंतस्पर्शी $(4x+3y-7)=0$ और $(x-2y-1)=0$ हैं।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $(4x+3y-7)(x-2y-1)+k=0$ होगा ...$(i)$
चूंकि अतिपरवलय बिंदु $(2,3)$ से गुजरता है,हम $x=2$ और $y=3$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(4(2)+3(3)-7)(2-2(3)-1)+k=0$
$(8+9-7)(2-6-1)+k=0$
$(10)(-5)+k=0$
$-50+k=0 \Rightarrow k=50$
$k=50$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(4x+3y-7)(x-2y-1)+50=0$
$4x^2-8xy-4x+3xy-6y^2-3y-7x+14y+7+50=0$
$4x^2-5xy-6y^2-11x+11y+57=0$

(B) माना $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर कोई बिंदु है।
अनंतस्पर्शी रेखाओं के समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ और $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ हैं।
बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ से रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ पर लंब की दूरी $P_1 = \frac{|\sec \theta + \tan \theta|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$ है।
बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ से रेखा $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ पर लंब की दूरी $P_2 = \frac{|\sec \theta - \tan \theta|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$ है।
अतः,$P_1 P_2 = \frac{|\sec^2 \theta - \tan^2 \theta|}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}} = \frac{1}{\frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2}} = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$.

(C) हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$.
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ रूप है,हम टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हैं:
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x + \frac{x^3}{3}) - (x - \frac{x^3}{6})}{x^3} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6}}{x^3} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{x^3} = \frac{1}{2}$.

(A) पॉलीडिस्पर्सिटी इंडेक्स $(PDI)$ को भार औसत आणविक भार और संख्या औसत आणविक भार के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$PDI = \frac{\bar{M}_w}{\bar{M}_n}$
दिया गया है:
$\bar{M}_n = 40000$
$\bar{M}_w = 60000$
मान रखने पर:
$PDI = \frac{60000}{40000} = 1.5$
अतः,$PDI > 1$ होगा।

(B) दिया गया है $\angle C = 90^{\circ}$। समकोण त्रिभुज में,$c^2 = a^2 + b^2$ होता है।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर,$a = c \sin A$ और $b = c \sin B$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{(c \sin A)^2 - (c \sin B)^2}{c^2} = \sin^2 A - \sin^2 B$।
सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर।
चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$ और $C = 90^{\circ}$,इसलिए $A+B = 90^{\circ}$ होगा।
अतः,$\sin(A+B) = \sin 90^{\circ} = 1$।
इस प्रकार,$\sin^2 A - \sin^2 B = 1 \cdot \sin(A-B) = \sin(A-B)$।

(B) दिया गया है $\Delta = a^2 - (b - c)^2$.
सर्वसमिका $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ का उपयोग करने पर,$\Delta = (a - b + c)(a + b - c)$.
चूंकि $2s = a + b + c$,इसलिए $a + b - c = 2s - 2c$ और $a - b + c = 2s - 2b$.
अतः,$\Delta = (2s - 2b)(2s - 2c) = 4(s - b)(s - c)$.
हम जानते हैं कि $\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = 4(s - b)(s - c)$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{(s - b)(s - c)}$ से विभाजित करने पर,$\sqrt{s(s - a)} = 4\sqrt{(s - b)(s - c)}$.
इसलिए,$\sqrt{\frac{(s - b)(s - c)}{s(s - a)}} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s - b)(s - c)}{s(s - a)}}$,इसलिए $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{4}$.
सूत्र $\tan A = \frac{2 \tan \frac{A}{2}}{1 - \tan^2 \frac{A}{2}}$ का उपयोग करने पर,$\tan A = \frac{2(1/4)}{1 - (1/4)^2} = \frac{1/2}{15/16} = \frac{8}{15}$.

(A) दिया गया है कि $\operatorname{det}(I+A) \neq 0$,जिसका अर्थ है कि $(I+A)$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
हमें $A^3 = O$ दिया गया है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$ जानते हैं।
$x=A$ और $y=I$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A^3 + I^3 = (A+I)(A^2 - AI + I^2)$.
चूँकि $I^3 = I$ और $A^3 = O$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$O + I = (A+I)(A^2 - A + I)$.
$I = (A+I)(A^2 - A + I)$.
चूँकि $(A+I)$ व्युत्क्रमणीय है,हम दोनों पक्षों को बाईं ओर से $(A+I)^{-1}$ से गुणा कर सकते हैं:
$(A+I)^{-1} I = (A+I)^{-1} (A+I)(A^2 - A + I)$.
$(A+I)^{-1} = I(A^2 - A + I)$.
$(A+I)^{-1} = I - A + A^2$.

(B) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3\end{array}\right|=0$.
हम सारणिक को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & x^3 \\ y & y^2 & y^3 \\ z & z^2 & z^3\end{array}\right|=0$.
दूसरे सारणिक से $xyz$ कॉमन लेने पर: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right|+xyz\left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2\end{array}\right|=0$.
स्तंभों की अदला-बदली ($C_1 \leftrightarrow C_2$ और फिर $C_2 \leftrightarrow C_3$) करने पर,दूसरा सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right|$ बन जाता है।
अतः,$(1+xyz)\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right|=0$.
चूंकि $x \neq y \neq z$,इसलिए सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| \neq 0$.
इसलिए,$1+xyz=0$,जिसका अर्थ है कि $xyz = -1$.

(B) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$.
सारणिक के अवकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$f^{\prime}(x)$ तीन सारणिकों का योग है जहाँ प्रत्येक पंक्ति का अलग-अलग अवकलन किया जाता है:
$f^{\prime}(x) = \left| \begin{array}{ccc} -2 \sin x & 1 & 0 \\ 1 & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 0 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & -2 \sin x & 1 \\ 0 & 0 & 2 \cos x \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 0 \\ 0 & 1 & -2 \sin x \end{array} \right|$.
अब,$x = \pi$ प्रतिस्थापित करने पर। चूँकि $\sin \pi = 0$ और $\cos \pi = -1$:
$f^{\prime}(\pi) = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right|$.
प्रत्येक सारणिक का मान ज्ञात करने पर:
$1$. $\left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right| = 0 - 1(-2 - 0) + 0 = 2$.
$2$. $\left| \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right| = 0$ (चूँकि दूसरा स्तंभ शून्य है)।
$3$. $\left| \begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right| = 0$ (चूँकि तीसरा स्तंभ शून्य है)।
अतः,$f^{\prime}(\pi) = 2 + 0 + 0 = 2$.

(C) दिया गया समीकरण: $\tanh ^{-1} x = a \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$,जहाँ $|x| < 1$ ...$(i)$
हम जानते हैं कि प्रतिलोम अतिपरवलयिक स्पर्शज्या (inverse hyperbolic tangent) फलन का मानक लघुगणकीय रूप: $\tanh ^{-1} x = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ ...(ii) होता है।
समीकरण $(i)$ और समीकरण (ii) की तुलना करने पर,हम लघुगणकीय पद के गुणांकों की तुलना कर सकते हैं।
अतः,$a = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y+\tan ^{-1} z=\frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$.
अतः,$\tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) + \tan ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$.
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर,हम $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $A = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ और $B = \tan ^{-1} z$.
तब $\tan(A+B) = \tan \left( \frac{\pi}{2} \right) = \infty$.
व्यंजक के अपरिभाषित होने के लिए,हर (denominator) शून्य होना चाहिए:
$1 - \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) z = 0$.
$1 - \frac{z(x+y)}{1-xy} = 0$.
$1 - xy - z(x+y) = 0$.
$1 - xy - zx - zy = 0$.
अतः,$1 - xy - yz - zx = 0$.

(D) माना $f(x) = \frac{x^2-6x+5}{x^2+2x+1}$,जहाँ $x \in \mathbb{R}$.
माना $y = \frac{x^2-6x+5}{x^2+2x+1}$.
$y(x^2+2x+1) = x^2-6x+5$.
$yx^2 + 2yx + y = x^2 - 6x + 5$.
$(y-1)x^2 + (2y+6)x + (y-5) = 0$.
चूँकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर $D \geq 0$.
$D = (2y+6)^2 - 4(y-1)(y-5) \geq 0$.
$4(y+3)^2 - 4(y^2 - 6y + 5) \geq 0$.
$(y^2 + 6y + 9) - (y^2 - 6y + 5) \geq 0$.
$12y + 4 \geq 0$.
$12y \geq -4$.
$y \geq -\frac{1}{3}$.
अतः,न्यूनतम मान $-\frac{1}{3}$ है.

(B) दिया गया है $f(x) = \sin x + \cos x$।
प्रथम अवकलज: $f'(x) = \cos x - \sin x$।
द्वितीय अवकलज: $f''(x) = -\sin x - \cos x$।
तृतीय अवकलज: $f'''(x) = -\cos x + \sin x$।
चतुर्थ अवकलज: $f^{(iv)}(x) = \sin x + \cos x$।
अब,$x = \frac{\pi}{4}$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।
इसी प्रकार,$f^{(iv)}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$।
अतः,$f\left(\frac{\pi}{4}\right) f^{(iv)}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$।

(B) दिया गया है $y = \sin(m \sin^{-1} x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \cos(m \sin^{-1} x) \cdot \frac{m}{\sqrt{1 - x^2}}$
$y_1 \sqrt{1 - x^2} = m \cos(m \sin^{-1} x)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$y_1^2 (1 - x^2) = m^2 \cos^2(m \sin^{-1} x) = m^2 (1 - \sin^2(m \sin^{-1} x)) = m^2 (1 - y^2)$
$y_1^2 (1 - x^2) = m^2 - m^2 y^2$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 y_1 y_2 (1 - x^2) + y_1^2 (-2x) = -2 m^2 y y_1$
$2 y_1$ से भाग देने पर ($y_1 \neq 0$ मानते हुए):
$y_2 (1 - x^2) - x y_1 = -m^2 y$

(B) दिया गया है कि $f(x) = \prod_{r=1}^n \cos(rx)$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln|f(x)| = \sum_{r=1}^n \ln|\cos(rx)|$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{f(x)} f^{\prime}(x) = \sum_{r=1}^n \frac{1}{\cos(rx)} \cdot (-\sin(rx) \cdot r)$.
$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = -\sum_{r=1}^n r \tan(rx)$.
दोनों पक्षों को $f(x)$ से गुणा करने पर:
$f^{\prime}(x) = -f(x) \sum_{r=1}^n r \tan(rx)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$f^{\prime}(x) + \sum_{r=1}^n (r \tan(rx)) f(x) = 0$.

(C) माना शंकु की ऊँचाई $h$ है और शंकु के आधार की त्रिज्या $r$ है।
दिया गया है कि गोले की त्रिज्या $R$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OPB$ में,जहाँ $O$ गोले का केंद्र है,$P$ शंकु के आधार का केंद्र है,और $B$ शंकु के आधार की परिधि पर एक बिंदु है:
$R^2 = r^2 + (h - R)^2$
$r^2 = R^2 - (h - R)^2 = R^2 - (h^2 - 2Rh + R^2) = 2Rh - h^2$.
शंकु का आयतन $V$ इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2Rh - h^2) h = \frac{\pi}{3} (2Rh^2 - h^3)$.
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{3} (4Rh - 3h^2)$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर:
$\frac{\pi}{3} h(4R - 3h) = 0$.
चूँकि $h \neq 0$,इसलिए $h = \frac{4R}{3}$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर:
$\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{\pi}{3} (4R - 6h)$.
$h = \frac{4R}{3}$ पर,$\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{\pi}{3} (4R - 6(\frac{4R}{3})) = \frac{\pi}{3} (4R - 8R) = -\frac{4\pi R}{3} < 0$.
चूँकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए $h = \frac{4R}{3}$ पर आयतन अधिकतम है।

(A) $f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए विकल्पों का अवकलन करेंगे ताकि यह पता चल सके कि कौन सा विकल्प समाकल्य $\frac{7x^8+8x^7}{(1+x+x^8)^2}$ देता है।
माना $f(x) = \frac{x^8}{1+x+x^8}$ है।
भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x^8$ और $v = 1+x+x^8$ है:
$f'(x) = \frac{(1+x+x^8)(8x^7) - (x^8)(1+8x^7)}{(1+x+x^8)^2}$
$f'(x) = \frac{8x^7 + 8x^8 + 8x^{15} - x^8 - 8x^{15}}{(1+x+x^8)^2}$
$f'(x) = \frac{7x^8 + 8x^7}{(1+x+x^8)^2}$
अतः,विकल्प $A$ का अवकलन समाकल्य से मेल खाता है,इसलिए $f(x) = \frac{x^8}{1+x+x^8}$ है।

(A) दिया गया है $f_n(x) = \log(\log(\ldots \log x))$ ($n$ बार)।
मान लीजिए $I = \int \frac{dx}{x f_1(x) f_2(x) \ldots f_n(x)}$।
मान लीजिए $t = f_n(x) = \log(f_{n-1}(x))$।
तब,$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{f_{n-1}(x)} \cdot \frac{d}{dx}(f_{n-1}(x)) = \frac{1}{f_{n-1}(x) f_{n-2}(x) \ldots f_1(x) \cdot x}$।
अतः,$dx = (x f_1(x) f_2(x) \ldots f_{n-1}(x)) dt$।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{(x f_1(x) f_2(x) \ldots f_{n-1}(x)) dt}{x f_1(x) f_2(x) \ldots f_{n-1}(x) f_n(x)} = \int \frac{dt}{f_n(x)}$।
यहाँ $t = f_n(x)$ लेने पर,$dt = \frac{dx}{x f_1(x) \ldots f_{n-1}(x)}$।
इसलिए,$I = \int \frac{dt}{t} = \log|t| + c = \log|f_n(x)| + c$।
चूँकि $f_{n+1}(x) = \log(f_n(x))$,इसलिए $I = f_{n+1}(x) + c$।

(D) दो वृत्तों $x^2+y^2=1$ $(i)$ और $(x-1)^2+y^2=1$ (ii) के प्रतिच्छेदन बिंदु $(i)$ से $y^2=1-x^2$ को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं:
$(x-1)^2+(1-x^2)=1$
$x^2-2x+1+1-x^2=1$
$2-2x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$
$x=\frac{1}{2}$ को $(i)$ में रखने पर,$y^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ प्राप्त होता है,अतः $y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ और $C\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ हैं।
कुल क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए क्षेत्रफल $= 2 \times \int_{0}^{1/2} \sqrt{1-(x-1)^2} dx + 2 \times \int_{1/2}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$.
सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करते हुए,
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) \right]_0^{1/2} + 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) \right]_{1/2}^1$
$= 2 \left[ (-\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-\frac{1}{2})) - (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1)) \right] + 2 \left[ (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{2})) \right]$
$= 2 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} \right] + 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} \right]$
$= 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right] + 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right] = 4 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(C) समाकलन $\int_{x_0}^{x_n} f(x) dx$ के अनुमान के लिए ट्रेपेज़ॉइडल नियम इस प्रकार है:
$\int_{x_0}^{x_n} f(x) dx \approx \frac{h}{2} [ (y_0 + y_n) + 2(y_1 + y_2 + \dots + y_{n-1}) ]$
यहाँ,$h = 1$ ($x$ के क्रमिक मानों के बीच का अंतर है)।
मान $y_0=2, y_1=3, y_2=6, y_3=11, y_4=18, y_5=27$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $\approx \frac{1}{2} [ (2 + 27) + 2(3 + 6 + 11 + 18) ]$
क्षेत्रफल $\approx \frac{1}{2} [ 29 + 2(38) ]$
क्षेत्रफल $\approx \frac{1}{2} [ 29 + 76 ]$
क्षेत्रफल $\approx \frac{1}{2} [ 105 ] = 52.5$ वर्ग इकाई।

(C) एक ऑप्टिकल फाइबर के लिए,स्वीकार्य कोण (acceptance angle) $\theta_a$ का सूत्र है: $\sin \theta_a = \sqrt{\mu_1^2 - \mu_2^2}$,जहाँ $\mu_1$ कोर का अपवर्तनांक है और $\mu_2$ क्लैडिंग का अपवर्तनांक है,यह मानते हुए कि बाहरी माध्यम हवा $(\mu_0 = 1)$ है।
दिया गया है: $\mu_1 = 1.5$ और $\mu_2 = 1.414$।
मान रखने पर: $\sin \theta_a = \sqrt{(1.5)^2 - (1.414)^2}$।
चूंकि $(1.414)^2 \approx 2$,इसलिए $\sin \theta_a = \sqrt{2.25 - 2} = \sqrt{0.25} = 0.5$।
अतः,$\theta_a = \sin^{-1}(0.5) = 30^{\circ}$।
इसका अर्थ है कि पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए आपतित प्रकाश को ऑप्टिकल फाइबर की धुरी के साथ $0^{\circ}$ से $30^{\circ}$ के कोण की सीमा के भीतर प्रवेश करना चाहिए।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।

(A) टेलीस्कोप की विभेदन सीमा $(d\theta)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$d\theta = \frac{1.22 \lambda}{a}$
जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास है।
दिया गया है:
$\lambda = 4538 \ \mathring{A} = 4538 \times 10^{-10} \ \text{m}$
$a = 1 \ \text{m}$
मान रखने पर:
$d\theta = \frac{1.22 \times 4538 \times 10^{-10}}{1}$
$d\theta = 5536.36 \times 10^{-10} \ \text{rad}$
$d\theta \approx 5.54 \times 10^{-7} \ \text{rad}$

(D) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$ के बराबर है,और दोनों प्रिज्म के कोण का $3/4$ हैं:
$i = e = \frac{3}{4} \times A = \frac{3}{4} \times 60^{\circ} = 45^{\circ}$।
आपतन कोण,निर्गत कोण,प्रिज्म के कोण और विचलन कोण $\delta$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$i + e = A + \delta$
समीकरण में ज्ञात मान रखने पर:
$45^{\circ} + 45^{\circ} = 60^{\circ} + \delta$
$90^{\circ} = 60^{\circ} + \delta$
$\delta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
अतः,विचलन कोण $30^{\circ}$ है।

(B) जब क्लोरीन गर्म और सांद्र सोडियम हाइड्रॉक्साइड के साथ अभिक्रिया करता है,तो यह असमानुपातन (disproportionation) अभिक्रिया के माध्यम से सोडियम क्लोराइड,सोडियम क्लोरेट और जल बनाता है।
संतुलित रासायनिक समीकरण है:
$3Cl_{2(g)} + 6NaOH_{(aq, \text{hot conc})} \longrightarrow 5NaCl_{(aq)} + NaClO_{3(aq)} + 3H_2O_{(l)}$
अतः,सोडियम क्लोराइड के अलावा,सोडियम क्लोरेट $(NaClO_3)$ बनता है।

(C) सॉल्वे प्रक्रिया का उपयोग सोडियम कार्बोनेट,$Na_2CO_3$ के निर्माण में किया जाता है। इस प्रक्रिया में निम्नलिखित अभिक्रियाएँ शामिल हैं:
$NH_3 + H_2O + CO_2 \longrightarrow NH_4HCO_3$
$NH_4HCO_3 + NaCl \longrightarrow NaHCO_3 + NH_4Cl$
कुल अभिक्रिया: $NH_3 + H_2O + CO_2 + NaCl \longrightarrow NaHCO_3 + NH_4Cl$
प्राप्त सोडियम बाइकार्बोनेट को गर्म करने पर सोडियम कार्बोनेट प्राप्त होता है:
$2NaHCO_3 \xrightarrow{\Delta} Na_2CO_3 + H_2O + CO_2$
नोट: इस प्रक्रिया का उपयोग पोटेशियम कार्बोनेट $(K_2CO_3)$ के निर्माण के लिए नहीं किया जा सकता है क्योंकि पोटेशियम बाइकार्बोनेट $(KHCO_3)$ पानी में अत्यधिक घुलनशील है और $NaHCO_3$ की तरह अवक्षेपित नहीं होता है।

(D) कॉमन-एमिटर ट्रांजिस्टर का करंट गेन $\beta$,कलेक्टर धारा में परिवर्तन $(\Delta i_C)$ और बेस धारा में परिवर्तन $(\Delta i_B)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\beta = \frac{\Delta i_C}{\Delta i_B}$
दिया गया है: $\beta = 80$ और $\Delta i_B = 250 \mu A = 250 \times 10^{-6} \text{ A}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$80 = \frac{\Delta i_C}{250 \times 10^{-6} \text{ A}}$
$\Delta i_C = 80 \times 250 \times 10^{-6} \text{ A}$
$\Delta i_C = 20,000 \times 10^{-6} \text{ A}$
$\Delta i_C = 20 \times 10^{-3} \text{ A} = 20 \text{ mA}$.
अतः,कलेक्टर धारा में परिवर्तन $20 \text{ mA}$ है।

(B) दिया गया है: $\tan y \frac{dy}{dx} = \sin(x+y) + \sin(x-y)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\tan y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos y$
चरों को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{\sin y}{\cos^2 y} dy = 2 \sin x dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\sin y}{\cos^2 y} dy = \int 2 \sin x dx$
माना $t = \cos y$,तब $dt = -\sin y dy$,अर्थात $\sin y dy = -dt$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$-\int \frac{dt}{t^2} = -2 \cos x + c$
$-(- \frac{1}{t}) = -2 \cos x + c$
$\frac{1}{\cos y} = -2 \cos x + c$
$\sec y = -2 \cos x + c$

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x y \frac{d y}{d x}=2 y^2-x^2$ है।
$x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{d y}{d x}=\frac{2 y}{x}-\frac{x}{y}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y \frac{d y}{d x}-\frac{2 y^2}{x}=-x$ $\ldots$ $(i)$.
माना $v=y^2$,तब $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d v}{d x}=2 y \frac{d y}{d x}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2} \frac{d v}{d x}$.
इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} \frac{d v}{d x}-\frac{2 v}{x}=-x$.
$2$ से गुणा करने पर: $\frac{d v}{d x}-\frac{4 v}{x}=-2 x$.
यह $\frac{d v}{d x}+P v=Q$ रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=-\frac{4}{x}$ और $Q=-2 x$ है।
समाकलन गुणक $IF=e^{\int P d x}=e^{\int-\frac{4}{x} d x}=e^{-4 \log x}=x^{-4}$.
हल $v \cdot IF = \int Q \cdot IF d x + c$ है।
$v \cdot x^{-4} = \int (-2 x) \cdot x^{-4} d x + c = -2 \int x^{-3} d x + c$.
$v x^{-4} = -2 \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) + c = x^{-2} + c$.
$v = x^2 + c x^4$.
चूंकि $v=y^2$,वक्रों का परिवार $y^2 = x^2 + c x^4$ है।

(A) दिए गए सदिश $\overrightarrow{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\overrightarrow{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ और $\overrightarrow{c}=\lambda \hat{i}+\hat{j}+(2 \lambda-1) \hat{k}$ हैं।
चूंकि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ एक ही समतल में स्थित हैं,उनका क्रॉस गुणनफल $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ उस समतल के लंबवत एक सदिश है।
यदि $\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ वाले समतल के समानांतर है,तो $\overrightarrow{c}$ को लंबवत सदिश $\overrightarrow{n}$ के लंबवत होना चाहिए।
इसलिए,अदिश त्रिक गुणनफल $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = 0$ होगा।
सबसे पहले,$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-9) - \hat{j}(-1-6) + \hat{k}(3+4) = -7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k}$.
अब,$\overrightarrow{c}$ के साथ डॉट गुणनफल लें:
$(-7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (\lambda \hat{i} + \hat{j} + (2\lambda-1)\hat{k}) = 0$.
$-7\lambda + 7(1) + 7(2\lambda-1) = 0$.
$-7\lambda + 7 + 14\lambda - 7 = 0$.
$7\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
अतः,$\lambda$ का मान $0$ है।

(A) दिया गया है कि $P(A \cap B) = \frac{3}{25}$ और $P(B - A) = \frac{8}{25}$ है।
समुच्चय और प्रायिकता के गुणों के अनुसार,घटना $B$ को दो असंयुक्त समुच्चयों के संघ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $(B - A)$ और $(A \cap B)$।
अतः,$P(B) = P(B - A) + P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(B) = \frac{8}{25} + \frac{3}{25} = \frac{11}{25}$।

(D) स्थिति $I$: पात्र $A$ से पात्र $B$ में एक सफेद गेंद स्थानांतरित की जाती है।
पात्र $A$ से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P(W_A) = \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8}$ है।
स्थानांतरण के बाद,पात्र $B$ में $7$ सफेद और $8$ काली गेंदें (कुल $15$) हैं।
पात्र $B$ से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P(W_B|W_A) = \frac{7}{15}$ है।
इस स्थिति की प्रायिकता $P(W_A) \times P(W_B|W_A) = \frac{3}{8} \times \frac{7}{15} = \frac{21}{120} = \frac{7}{40}$ है।
स्थिति $II$: पात्र $A$ से पात्र $B$ में एक काली गेंद स्थानांतरित की जाती है।
पात्र $A$ से काली गेंद चुनने की प्रायिकता $P(B_A) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$ है।
स्थानांतरण के बाद,पात्र $B$ में $6$ सफेद और $9$ काली गेंदें (कुल $15$) हैं।
पात्र $B$ से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P(W_B|B_A) = \frac{6}{15}$ है।
इस स्थिति की प्रायिकता $P(B_A) \times P(W_B|B_A) = \frac{5}{8} \times \frac{6}{15} = \frac{30}{120} = \frac{10}{40}$ है।
पात्र $B$ से सफेद गेंद चुनने की कुल प्रायिकता $\frac{7}{40} + \frac{10}{40} = \frac{17}{40}$ है।

(C) मान लीजिए कि $\lambda$ यादृच्छिक चर $X$ के लिए पॉइसन वितरण का प्राचल (माध्य) है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = \frac{\lambda^r e^{-\lambda}}{r!}$ है,जहाँ $r = 0, 1, 2, \dots$ है।
दिया गया है कि $P(X=1) = P(X=2)$,इसलिए:
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$
$\lambda = \frac{\lambda^2}{2}$
चूँकि $\lambda \neq 0$,$\lambda$ से विभाजित करने पर हमें $1 = \frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda = 2$।
अब,$P(X=5)$ की गणना करते हैं:
$P(X=5) = \frac{\lambda^5 e^{-\lambda}}{5!} = \frac{2^5 e^{-2}}{120}$
$P(X=5) = \frac{32 e^{-2}}{120} = \frac{4}{15} e^{-2}$.

(B) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $np = 2$ और प्रसरण $npq = 1$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p = 1 - q$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 2$ में रखने पर,$n(\frac{1}{2}) = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 4$।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ है।
हमें $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ ज्ञात करना है।
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$।
अतः,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$।