AP EAMCET 2001 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया समीकरण $\frac{l}{r} = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = 1 - \cos \theta$ का उपयोग करने पर,$\frac{l}{r} = 1 - \cos \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$l = r(1 - \cos \theta) = r - r \cos \theta$.
चूँकि $x = r \cos \theta$ और $r = \sqrt{x^2 + y^2}$,इसलिए $l = \sqrt{x^2 + y^2} - x$ है।
अतः,$\sqrt{x^2 + y^2} = x + l$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 + y^2 = (x + l)^2 = x^2 + 2lx + l^2$.
सरल करने पर,$y^2 = 2lx + l^2 = 2l(x + \frac{l}{2})$ प्राप्त होता है।
यह एक परवलय का मानक समीकरण है।

(C) माना $(h, k)$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 8$ पर स्थित कोई बिंदु है।
अतः,$h^2 - k^2 = 8$ है।
अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 8$ के अनंतस्पर्शी $x + y = 0$ और $x - y = 0$ हैं।
बिंदु $(h, k)$ से रेखा $x + y = 0$ पर लंब की दूरी $d_1 = \frac{|h + k|}{\sqrt{2}}$ है।
बिंदु $(h, k)$ से रेखा $x - y = 0$ पर लंब की दूरी $d_2 = \frac{|h - k|}{\sqrt{2}}$ है।
लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $d_1 d_2 = \frac{|h + k|}{\sqrt{2}} \times \frac{|h - k|}{\sqrt{2}} = \frac{|h^2 - k^2|}{2}$ है।
$h^2 - k^2 = 8$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $d_1 d_2 = \frac{8}{2} = 4$ प्राप्त होता है।

(B) हमें दिया गया सीमा है: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x \sin ^{-1} x}{x^2}$
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\lim _{x \rightarrow 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right) \left(\frac{\sin ^{-1} x}{x}\right)$
मानक सीमाओं $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{-1} x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:
$1 \times 1 = 1$

(B) दिया गया सीमा: $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(10^x - 1)}{1 - \cos x}$.
यह $\frac{0}{0}$ रूप है,इसलिए $L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot 10^x \ln 10 + (10^x - 1)}{\sin x}$.
पुनः $L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot 10^x (\ln 10)^2 + 10^x \ln 10 + 10^x \ln 10}{\cos x}$.
$x = 0$ रखने पर:
$L = \frac{0 + \ln 10 + \ln 10}{1} = 2 \log 10$.

(A) हम सीमा $L = \lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x+a}{x+b}\right)^{x}$ का मूल्यांकन करते हैं।
यह $1^{\infty}$ के रूप में है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{a-b}{x+b}\right)^{x}$.
मानक सीमा सूत्र $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{k}{x})^x = e^k$ का उपयोग करते हुए:
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{a-b}{x+b}\right)^{\frac{x+b}{a-b} \cdot \frac{x(a-b)}{x+b}}$.
$L = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x(a-b)}{x+b}} = e^{a-b}$.

(D) दिया गया है,$\frac{a}{b^2-c^2} + \frac{c}{b^2-a^2} = 0$।
ज्या नियम (sine rule) $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2R \sin A}{4R^2(\sin^2 B - \sin^2 C)} + \frac{2R \sin C}{4R^2(\sin^2 B - \sin^2 A)} = 0$
$\Rightarrow \frac{\sin A}{\sin(B+C)\sin(B-C)} + \frac{\sin C}{\sin(B+A)\sin(B-A)} = 0$
चूँकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\sin(B+C) = \sin A$ और $\sin(B+A) = \sin C$।
$\Rightarrow \frac{\sin A}{\sin A \sin(B-C)} + \frac{\sin C}{\sin C \sin(B-A)} = 0$
$\Rightarrow \frac{1}{\sin(B-C)} + \frac{1}{\sin(B-A)} = 0$
$\Rightarrow \sin(B-A) + \sin(B-C) = 0$
$\Rightarrow 2 \sin\left(\frac{2B-A-C}{2}\right) \cos\left(\frac{A-C}{2}\right) = 0$
यह मानते हुए कि $\cos\left(\frac{A-C}{2}\right) \neq 0$,हमें $\sin\left(\frac{2B-(A+C)}{2}\right) = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $A+C = \pi - B$,इसलिए $\frac{2B-(\pi-B)}{2} = 0$ $\Rightarrow 3B = \pi$ $\Rightarrow B = \frac{\pi}{3}$।

(B) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
प्रथम पद के लिए:
$\frac{\cos C+\cos A}{c+a} = \frac{2 \cos \frac{C+A}{2} \cos \frac{C-A}{2}}{2R(\sin C+\sin A)} = \frac{2 \cos \frac{C+A}{2} \cos \frac{C-A}{2}}{2R \cdot 2 \sin \frac{C+A}{2} \cos \frac{C-A}{2}} = \frac{1}{2R} \cot \frac{C+A}{2} = \frac{1}{2R} \tan \frac{B}{2}$.
द्वितीय पद के लिए:
$\frac{\cos B}{b} = \frac{\cos B}{2R \sin B} = \frac{1}{2R} \cot B$.
दोनों का योग करने पर:
$\frac{1}{2R} \left( \tan \frac{B}{2} + \cot B \right) = \frac{1}{2R} \left( \tan \frac{B}{2} + \frac{1-\tan^2 \frac{B}{2}}{2 \tan \frac{B}{2}} \right) = \frac{1}{2R} \left( \frac{2 \tan^2 \frac{B}{2} + 1 - \tan^2 \frac{B}{2}}{2 \tan \frac{B}{2}} \right) = \frac{1}{2R} \left( \frac{1 + \tan^2 \frac{B}{2}}{2 \tan \frac{B}{2}} \right) = \frac{1}{2R} \cdot \frac{1}{\sin B} = \frac{1}{b}$.

(D) माना टॉवर की ऊँचाई $h$ है और जब सूर्य का उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है,तब छाया की लंबाई $x$ है।
$\triangle BAD$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow 1 = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow x = h$.
जब सूर्य का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ होता है,तो छाया की लंबाई $x + 60$ हो जाती है।
$\triangle BAC$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x+60} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{h+60}$.
$\Rightarrow h + 60 = h\sqrt{3}$
$\Rightarrow h(\sqrt{3} - 1) = 60$
$\Rightarrow h = \frac{60}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$
$\Rightarrow h = \frac{60(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{60(\sqrt{3}+1)}{2} = 30(\sqrt{3}+1) \ m$.

(B) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए, $a = 2R \sin A$ और $c = 2R \sin C$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$a^2 \sin 2C + c^2 \sin 2A = (2R \sin A)^2 (2 \sin C \cos C) + (2R \sin C)^2 (2 \sin A \cos A)$
$= 8R^2 \sin^2 A \sin C \cos C + 8R^2 \sin^2 C \sin A \cos A$
$= 8R^2 \sin A \sin C (\sin A \cos C + \cos A \sin C)$
$= 8R^2 \sin A \sin C \sin(A + C)$
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$, इसलिए $\sin(A + C) = \sin B$।
$= 8R^2 \sin A \sin B \sin C$
क्षेत्रफल के सूत्र $\Delta = \frac{abc}{4R}$ का उपयोग करते हुए, $abc = 4R\Delta$।
साथ ही, $\sin A = \frac{a}{2R}$, $\sin B = \frac{b}{2R}$, $\sin C = \frac{c}{2R}$।
अतः, $8R^2 \cdot \frac{a}{2R} \cdot \frac{b}{2R} \cdot \frac{c}{2R} = \frac{abc}{R} = \frac{4R\Delta}{R} = 4\Delta$।

(C) दिया गया सारणिक: $\left|\begin{array}{cc}1-i & i \\ 1+2 i & -i\end{array}\right|=x+i y$
सारणिक का विस्तार करने पर: $(1-i)(-i) - (i)(1+2i) = x+iy$
$-i + i^2 - (i + 2i^2) = x+iy$
चूँकि $i^2 = -1$,मान प्रतिस्थापित करने पर: $-i - 1 - (i - 2) = x+iy$
$-i - 1 - i + 2 = x+iy$
$1 - 2i = x+iy$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $x = 1$ और $y = -2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $x = \log_{0.1} 0.001$। चूंकि $0.001 = (0.1)^3$,इसलिए $x = \log_{0.1} (0.1)^3 = 3 \log_{0.1} 0.1 = 3(1) = 3$।
दिया गया है $y = \log_9 81$। चूंकि $81 = 9^2$,इसलिए $y = \log_9 9^2 = 2 \log_9 9 = 2(1) = 2$।
अब,हमें $\sqrt{x - 2\sqrt{y}}$ का मान ज्ञात करना है।
$x$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
हम $3 - 2\sqrt{2}$ को $(\sqrt{2})^2 + (1)^2 - 2(\sqrt{2})(1) = (\sqrt{2} - 1)^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{2} - 1$।

(C) माना $x = \frac{\sqrt{8+\sqrt{28}}+\sqrt{8-\sqrt{28}}}{\sqrt{8+\sqrt{28}}-\sqrt{8-\sqrt{28}}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$x = \frac{(\sqrt{8+\sqrt{28}}+\sqrt{8-\sqrt{28}})^2}{(\sqrt{8+\sqrt{28}})^2 - (\sqrt{8-\sqrt{28}})^2}$
$x = \frac{(8+\sqrt{28}) + (8-\sqrt{28}) + 2\sqrt{(8+\sqrt{28})(8-\sqrt{28})}}{(8+\sqrt{28}) - (8-\sqrt{28})}$
$x = \frac{16 + 2\sqrt{64-28}}{2\sqrt{28}}$
$x = \frac{16 + 2\sqrt{36}}{2\sqrt{4 \times 7}}$
$x = \frac{16 + 2(6)}{2(2\sqrt{7})}$
$x = \frac{16 + 12}{4\sqrt{7}} = \frac{28}{4\sqrt{7}} = \frac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}$.

(A) दिया गया है कि,$P(A) = 0.25$ और $P(B) = 0.50$।
दोनों घटनाओं के एक साथ होने की प्रायिकता $P(A \cap B) = 0.14$ है।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए,कम से कम एक घटना के होने की प्रायिकता:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = 0.25 + 0.50 - 0.14 = 0.61$।
न तो $A$ और न ही $B$ के होने की प्रायिकता $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ है,जो $P(\overline{A \cup B})$ के बराबर है।
$P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.61 = 0.39$।

(D) हम जानते हैं कि व्यंजक $a \sin x + b \cos x$ का मान अंतराल $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ में होता है।
यहाँ,$a = \sqrt{3}$ और $b = 1$ है।
अतः,$\sqrt{3} \sin x + \cos x$ का अधिकतम मान $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ है।
चूंकि व्यंजक का अधिकतम मान $2$ है,इसलिए यह कभी भी $4$ के बराबर नहीं हो सकता है।
अतः,समीकरण $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 4$ का कोई हल नहीं है।