दो वृत्तों x^2+y^2+2x-2y+2=0 और 25(x^2+y^2)-1 | vedclass

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Question

(C) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+2x-2y+2=0$ और $S_2: x^2+y^2-\frac{2}{5}x-\frac{16}{5}y+\frac{13}{5}=0$ हैं। सह-अक्षीय वृत्तों का परिवार $S_1 + \lambda(

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$(-1,1),\left(\frac{1}{5}, \frac{8}{5}\right)$

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(C) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+2x-2y+2=0$ और $S_2: x^2+y^2-\frac{2}{5}x-\frac{16}{5}y+\frac{13}{5}=0$ हैं। सह-अक्षीय वृत्तों का परिवार $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है। सीमित बिंदु प्रणाली में बिंदु वृत्तों के केंद्र हैं,जो तब होते हैं जब त्रिज्या $r = 0$ होती है। वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के लिए,त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ है। $r=0$ रखने पर $g^2+f^2=c$ प्राप्त होता है। रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0 \Rightarrow 4x + 2y - 1 = 0$ है। प्रणाली का कोई भी वृत्त $S_1 + \lambda(4x + 2y - 1) = 0 \Rightarrow x^2+y^2+(2+4\lambda)x+(-2+2\lambda)y+(2-\lambda)=0$ है। सीमित बिंदुओं के लिए,$g^2+f^2=c \Rightarrow (1+2\lambda)^2 + (-1+\lambda)^2 = 2-\lambda$। $5\lambda^2+3\lambda=0$ हल करने पर,$\lambda=0$ या $\lambda=-\frac{3}{5}$ प्राप्त होता है। $\lambda=0$ के लिए,केंद्र $(-1, 1)$ है। $\lambda=-\frac{3}{5}$ के लिए,केंद्र $(\frac{1}{5}, \frac{8}{5})$ है। अतः,सीमित बिंदु $(-1, 1)$ और $(\frac{1}{5}, \frac{8}{5})$ हैं।

दो वृत्तों $x^2+y^2+2x-2y+2=0$ और $25(x^2+y^2)-10x-80y+65=0$ वाली सह-अक्षीय प्रणाली के सीमित बिंदु (limiting points) क्या हैं?

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