AIIMS 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) एक कण का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m\vec{v}$ द्वारा दिया जाता है।
उच्चतम बिंदु पर,प्रक्षेप्य का वेग पूरी तरह से क्षैतिज होता है,जो $v_x = v \cos \theta$ है।
उच्चतम बिंदु पर क्षैतिज दूरी $x = R/2 = \frac{v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
उच्चतम बिंदु पर ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
प्रक्षेपण बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग $L = m v_x H = m (v \cos \theta) \left( \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \right) = \frac{m v^3 \sin^2 \theta \cos \theta}{2g}$ है।
दिया गया है: $m = 0.16 \, kg$,$v = 10 \, m/s$,$\theta = 60^{\circ}$,$g = 10 \, m/s^2$.
$L = \frac{0.16 \times (10)^3 \times \sin^2 60^{\circ} \times \cos 60^{\circ}}{2 \times 10}$.
$L = \frac{0.16 \times 1000 \times (3/4) \times (1/2)}{20} = \frac{160 \times 0.375}{20} = 8 \times 0.375 = 3.0 \, kg \cdot m^2/s$.

(C) बंदूक को पकड़े रखने के लिए आवश्यक बल दागी गई गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
बल का सूत्र $F = n \cdot m \cdot v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ:
$n$ प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की संख्या है $(4 \, s^{-1})$,
$m$ प्रत्येक गोली का द्रव्यमान है $(20 \, g = 0.02 \, kg)$,
$v$ गोली का वेग है $(300 \, m/s)$।
मान रखने पर:
$F = 4 \times 0.02 \, kg \times 300 \, m/s$
$F = 4 \times 6 = 24 \, N$.
अतः,बंदूक को पकड़े रखने के लिए आवश्यक बल $24 \, N$ है।

(A) स्प्रिंगों के श्रेणी संयोजन में,प्रत्येक स्प्रिंग पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F$ समान होता है।
स्प्रिंग में संचित ऊर्जा $E = \frac{F^2}{2k}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि श्रेणी क्रम में दोनों स्प्रिंगों के लिए बल $F$ स्थिर है,इसलिए संचित ऊर्जा का अनुपात उनके बल नियतांकों के व्युत्क्रमानुपाती होता है:
$\frac{E_A}{E_B} = \frac{\frac{F^2}{2k_A}}{\frac{F^2}{2k_B}} = \frac{k_B}{k_A}$.
यहाँ $k_A = 300 \, N/m$ और $k_B = 400 \, N/m$ दिया गया है।
अतः,$\frac{E_A}{E_B} = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$.

(D) एक लुढ़कती हुई डिस्क के लिए,कुल गतिज ऊर्जा $(K_{total})$ स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है।
$K_{total} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
चूंकि $v = R\omega$ और डिस्क के लिए $I = \frac{1}{2}mR^2$,इसलिए $K_{rot} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{4}mv^2$ होता है।
अतः,$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
कुल गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{total}}{K_{rot}} = \frac{\frac{3}{4}mv^2}{\frac{1}{4}mv^2} = \frac{3}{1}$ है।

(C) दिया गया तरंग समीकरण $y=0.002 \sin (300 t-15 x)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y=A \sin (\omega t - kx)$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\omega = 300 \ rad/s$
$k = 15 \ rad/m$
तरंग की चाल $v$ का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
$v = \frac{300}{15} = 20 \ m/s$.
डोरी में तरंग की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ होता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 = \frac{T}{\mu}$ प्राप्त होता है।
$T = \mu v^2$.
मान रखने पर,$T = 0.1 \times (20)^2$.
$T = 0.1 \times 400 = 40 \ N$.

(A) शुद्ध लोटनिक गति में एक रिंग के लिए,द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = MR^2$ होता है।
कोणीय वेग $\omega$ और द्रव्यमान केंद्र के वेग $V_{CM}$ के बीच का संबंध शुद्ध लोटनिक गति की शर्त के अनुसार $\omega = \frac{V_{CM}}{R}$ है।
यहाँ $V_{CM} = 2\; m/s$ और $R = 4\; m$ दिया गया है,इसलिए $\omega = \frac{2}{4} = 0.5\; rad/s$ प्राप्त होता है।
किसी बिंदु (मूल बिंदु) के परितः एक पिंड का कोणीय संवेग $L$,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग और मूल बिंदु के परितः द्रव्यमान केंद्र के कोणीय संवेग के योग के बराबर होता है:
$L = I_{CM}\omega + M V_{CM} R$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$L = (MR^2) \omega + M V_{CM} R$
$L = (2 \times 4^2) \times 0.5 + (2 \times 2 \times 4)$
$L = (2 \times 16 \times 0.5) + 16$
$L = 16 + 16 = 32\; kg \cdot m^2/s$.

(A) ल्यूमिनस फ्लक्स प्रकाश की अनुभव की गई शक्ति का माप है।
अंतर्राष्ट्रीय इकाई प्रणाली $(SI)$ में,ल्यूमिनस इंटेंसिटी (प्रकाश की तीव्रता) की मूल इकाई कैंडेला $(cd)$ है।
चूंकि ल्यूमिनस फ्लक्स,ल्यूमिनस इंटेंसिटी के समानुपाती होता है,इसलिए इसकी विमा को ल्यूमिनस इंटेंसिटी की मूल विमा द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,ल्यूमिनस फ्लक्स की विमा $[cd^1]$ है।

(C) माना निचले ब्लॉक का द्रव्यमान $M = 2 \, kg$ और ऊपरी ब्लॉक का द्रव्यमान $m = 0.25 \, kg$ है। स्प्रिंग प्रारंभ में अपनी प्राकृतिक लंबाई पर है।
जब निकाय को मुक्त किया जाता है,तो निचला ब्लॉक $x$ दूरी तक नीचे की ओर गति करता है जब तक कि वह क्षणिक रूप से स्थिर न हो जाए। इस बिंदु पर,स्प्रिंग $x$ तक खिंच जाती है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक $M$ पर गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा के बराबर होता है:
$Mgx = \frac{1}{2} k x^2$
फर्श पर लगाया गया बल अभिलंब बल $N$ है। सबसे निचले बिंदु पर,स्प्रिंग बल $kx$ ब्लॉक $M$ पर उसके भार $Mg$ के साथ नीचे की ओर कार्य करता है।
$N = kx + Mg$
दिए गए समाधान के अनुसार: $kx = 2Mg = 2 \times 0.25 \times 10 = 5 \, N$.
$N = 5 + 2 \times 10 = 25 \, N$.

(C) $N_{2}$ (द्वि-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_{1} = 5$ है। मोलर द्रव्यमान $M_{1} = 28 \, g/mol$ है। मोलों की संख्या $n_{1} = 7/28 = 1/4 \, mol$ है।
$Ar$ (एक-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_{2} = 3$ है। मोलर द्रव्यमान $M_{2} = 40 \, g/mol$ है। मोलों की संख्या $n_{2} = 20/40 = 1/2 \, mol$ है।
$C_{V,mix} = \frac{n_{1}C_{V,1} + n_{2}C_{V,2}}{n_{1} + n_{2}} = \frac{\frac{1}{4}(\frac{5}{2}R) + \frac{1}{2}(\frac{3}{2}R)}{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{8}R + \frac{3}{4}R}{\frac{3}{4}} = \frac{\frac{11}{8}R}{\frac{3}{4}} = \frac{11}{6}R$.
$C_{P,mix} = \frac{n_{1}C_{P,1} + n_{2}C_{P,2}}{n_{1} + n_{2}} = \frac{\frac{1}{4}(\frac{7}{2}R) + \frac{1}{2}(\frac{5}{2}R)}{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{7}{8}R + \frac{5}{4}R}{\frac{3}{4}} = \frac{\frac{17}{8}R}{\frac{3}{4}} = \frac{17}{6}R$.
अनुपात $\gamma_{mix} = \frac{C_{P,mix}}{C_{V,mix}} = \frac{17/6 R}{11/6 R} = \frac{17}{11}$.

(B) मरोड़ी गई छड़ में उत्पन्न अपरूपण विकृति $\phi$ को संबंध $r \theta = L \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ छड़ की त्रिज्या है,$\theta$ मरोड़ का कोण है,$L$ छड़ की लंबाई है,और $\phi$ अपरूपण विकृति है।
दिया गया है:
त्रिज्या $r = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$
लंबाई $L = 2 \,m$
मरोड़ का कोण $\theta = 0.8 \,radians$
सूत्र में मान रखने पर:
$10^{-2} \times 0.8 = 2 \times \phi$
$0.008 = 2 \times \phi$
$\phi = \frac{0.008}{2} = 0.004$
अतः,उत्पन्न होने वाली अपरूपण विकृति $0.004$ है।

(C) $n^{\text{वें}}$ सेकंड में किसी पिंड द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र $S_{n} = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ है।
पिंड $A$ के लिए,जो विरामावस्था $(u=0)$ से $t=0$ पर शुरू होता है,पांचवें सेकंड में तय की गई दूरी:
$S_{A, 5} = 0 + \frac{a_{1}}{2}(2 \times 5 - 1) = \frac{9a_{1}}{2}$.
पिंड $B$,$A$ के $2$ सेकंड बाद शुरू होता है। इसलिए,$A$ के शुरू होने के पांचवां सेकंड,पिंड $B$ के लिए $(5-2) = 3^{\text{रे}}$ सेकंड के बराबर है।
पिंड $B$ के लिए,विरामावस्था $(u=0)$ से,उसके तीसरे सेकंड में तय की गई दूरी:
$S_{B, 3} = 0 + \frac{a_{2}}{2}(2 \times 3 - 1) = \frac{5a_{2}}{2}$.
दिया गया है कि $S_{A, 5} = S_{B, 3}$,इसलिए:
$\frac{9a_{1}}{2} = \frac{5a_{2}}{2}$.
अतः,$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{5}{9}$.

(D) सरल आवर्त गति में त्वरण का परिमाण $|a| = \omega^2 y$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ त्वरण है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $y$ विस्थापन है।
दिया गया है $a = 1.0 \, m/s^2$ और $y = 0.01 \, m$,इसलिए:
$1.0 = \omega^2 \times 0.01$
$\omega^2 = \frac{1.0}{0.01} = 100$
$\omega = 10 \, rad/s$
आवर्तकाल $T$ और कोणीय आवृत्ति के बीच संबंध $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \, s$.

(C) चित्र ब्लॉक का फ्री बॉडी डायग्राम दर्शाता है।
ब्लॉक को ऊर्ध्वाधर दीवार के विरुद्ध संतुलन में रखने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला घर्षण बल $f$ ब्लॉक के नीचे की ओर कार्य करने वाले भार $W$ को संतुलित करना चाहिए।
$f = W$
चूंकि घर्षण बल $f$ को $f = \mu R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ दीवार द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब प्रतिक्रिया बल है,और इस मामले में,अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ लगाए गए क्षैतिज बल $F$ के बराबर है $(R = F)$:
$\mu F = W$
$F$ के लिए हल करने पर:
$F = \frac{W}{\mu}$
यह दिया गया है कि $\mu < 1$,इसलिए $\frac{1}{\mu} > 1$ होगा।
अतः,$F = \frac{W}{\mu} > W$।
इस प्रकार,ब्लॉक को पकड़े रखने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल $F$ उसके भार $W$ से अधिक है।

(D) पास्कल के नियम के अनुसार,एक बंद तरल पर लगाया गया दबाव तरल के प्रत्येक भाग और पात्र की दीवारों पर समान रूप से प्रसारित होता है।
कार के वजन के कारण बड़े पिस्टन पर लगने वाला बल:
$F = m \times g$
$F = 3000 \, kg \times 9.8 \, m/s^{2} = 29400 \, N$
बड़े पिस्टन का क्षेत्रफल:
$A = 425 \, cm^{2} = 425 \times 10^{-4} \, m^{2} = 0.0425 \, m^{2}$
बड़े पिस्टन पर लगने वाला दबाव:
$P = \frac{F}{A}$
$P = \frac{29400 \, N}{0.0425 \, m^{2}}$
$P \approx 6.92 \times 10^{5} \, Pa$
चूंकि दबाव तरल में समान रूप से प्रसारित होता है,इसलिए छोटे पिस्टन को भी $6.92 \times 10^{5} \, Pa$ का ही दबाव सहन करना होगा।

(A) पारे का वास्तविक आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_{\text{real}})$ पात्र के बदलने पर भी स्थिर रहता है।
वास्तविक प्रसार, आभासी प्रसार और पात्र के प्रसार के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\gamma_{\text{real}} = \gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}}$
चूंकि दोनों स्थितियों में $\gamma_{\text{real}}$ समान है:
$(\gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}})_{\text{glass}} = (\gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}})_{\text{steel}}$
हम जानते हैं कि ठोस के लिए आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_{\text{vessel}} = 3\alpha$ होता है।
स्टील के लिए:
$\gamma_{\text{vessel, steel}} = 3 \times (12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C) = 36 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
समीकरण में मान रखने पर:
$153 \times 10^{-6} + \gamma_{\text{vessel, glass}} = 144 \times 10^{-6} + 36 \times 10^{-6}$
$153 \times 10^{-6} + \gamma_{\text{vessel, glass}} = 180 \times 10^{-6}$
$\gamma_{\text{vessel, glass}} = (180 - 153) \times 10^{-6} = 27 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
चूंकि $\gamma_{\text{vessel, glass}} = 3\alpha_{\text{glass}}$:
$3\alpha_{\text{glass}} = 27 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
$\alpha_{\text{glass}} = 9 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$

(A) दिया गया है: $m_1 = 5 \times 10^{3} \, kg$,$u_1 = 2 \, m/s$,$m_2 = 15 \times 10^{3} \, kg$,$u_2 = 0 \, m/s$.
चूंकि टक्कर पूर्णतः अप्रत्यास्थ $(e = 0)$ है,इसलिए पिंड आपस में चिपक जाते हैं।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए गतिज ऊर्जा में हानि $(\Delta K.E.)$ का सूत्र है:
$\Delta K.E. = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} (u_1 - u_2)^2$
मान रखने पर:
$\Delta K.E. = \frac{1}{2} \times \frac{(5 \times 10^{3}) \times (15 \times 10^{3})}{5 \times 10^{3} + 15 \times 10^{3}} \times (2 - 0)^2$
$\Delta K.E. = \frac{1}{2} \times \frac{75 \times 10^{6}}{20 \times 10^{3}} \times 4$
$\Delta K.E. = \frac{1}{2} \times 3.75 \times 10^{3} \times 4$
$\Delta K.E. = 7.5 \times 10^{3} \, J = 7.5 \, kJ$.

(C) घूमती हुई डिस्क पर ब्लॉक को स्थिर रहने के लिए,अभिकेंद्र बल स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाना चाहिए।
मान लीजिए $m$ ब्लॉक का द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,और $x$ अक्ष से दूरी है।
बिना फिसलने की शर्त है: $f_s \leq \mu_s N$.
चूंकि $N = mg$ और $f_s = m\omega^2 x$,इसलिए हमारे पास है: $m\omega^2 x \leq \mu_s mg$.
अतः,$x \leq \frac{\mu_s g}{\omega^2}$.
दिया गया है $\mu_s = 0.4$,$g = 10\, m/s^2$,और $\omega = 10\, rad/s$:
$x = \frac{0.4 \times 10}{10^2} = \frac{4}{100}\, m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $x = 0.04\, m \times 100 = 4\, cm$.

(A) वृत्ताकार पथ पर गति करने वाली वस्तु का त्वरण अभिकेंद्र त्वरण के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \frac{v^2}{r}$
दिया गया है:
गति $v = 4 \, m/s$
त्रिज्या $r = 2 \, m$
सूत्र में मान रखने पर:
$a = \frac{(4)^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \, m/s^2$
अतः,इलेक्ट्रॉन का त्वरण $8 \, m/s^2$ है।

(A) द्रव में अलग-अलग गहराई पर स्थित दो बिंदुओं के बीच दाबांतर हाइड्रोस्टेटिक दबाव के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta P = \rho g h$.
यहाँ,पानी का घनत्व $\rho = 1000 \, kg/m^3$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$,और ऊँचाई का अंतर $h = 10 \, cm = 0.1 \, m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta P = 1000 \times 10 \times 0.1$
$\Delta P = 1000 \, Pa$.

(D) टैंक में पानी के स्तर की ऊँचाई $H = 1\, m$ है।
जमीन से छिद्र की ऊँचाई $h = 0.25\, m$ है।
ऊपरी सतह से छिद्र की गहराई $y = H - h = 1 - 0.25 = 0.75\, m$ है।
टोरिसेली के नियम के अनुसार बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gy} = \sqrt{2 \times g \times 0.75} = \sqrt{1.5g}$ है।
पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.25}{g}} = \sqrt{\frac{0.5}{g}}$ है।
क्षैतिज परास $R = v \times t = \sqrt{2g(H-h)} \times \sqrt{\frac{2h}{g}} = 2\sqrt{h(H-h)}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $R = 2\sqrt{0.25 \times 0.75} = 2\sqrt{0.1875} = 2 \times 0.433 = 0.866\, m$।
सेंटीमीटर में बदलने पर: $0.866\, m = 86.6\, cm$।

(A) औसत मान $\bar{x}$ की गणना इस प्रकार है:
$\bar{x} = \frac{80.0 + 80.5 + 81.0 + 81.5 + 82.0}{5} = \frac{405}{5} = 81.0$
प्रत्येक अवलोकन के लिए निरपेक्ष त्रुटि $|x_i - \bar{x}|$ है। प्रत्येक के लिए सापेक्ष त्रुटि $\frac{|x_i - \bar{x}|}{x_i}$ है।

अवलोकन $(x_i)$	निरपेक्ष त्रुटि $|x_i - \bar{x}|$	सापेक्ष त्रुटि $\frac{|x_i - \bar{x}|}{x_i}$
$80.0$	$1.0$	$0.0125$
$80.5$	$0.5$	$0.00621$
$81.0$	$0.0$	$0.0000$
$81.5$	$0.5$	$0.00613$
$82.0$	$1.0$	$0.01219$

सापेक्ष त्रुटियों का योग $= 0.0125 + 0.00621 + 0 + 0.00613 + 0.01219 = 0.03703$
औसत सापेक्ष त्रुटि $= \frac{0.03703}{5} = 0.007406$
औसत प्रतिशत त्रुटि $= 0.007406 \times 100 \% \approx 0.74 \%$.

(B) $1$. सांतत्य समीकरण लागू करें: $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$.
चूंकि $A = \pi (d/2)^{2}$,इसलिए $d_{1}^{2} v_{1} = d_{2}^{2} v_{2}$ होगा।
मान रखने पर: $5^{2} \times 4 = 2^{2} \times v_{2} \implies 25 \times 4 = 4 \times v_{2} \implies v_{2} = 25 \, m/s$.
$2$. बर्नौली का समीकरण लागू करें (क्षैतिज प्रवाह मानते हुए): $P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}$.
$3$. दाबांतर ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करें: $\Delta P = P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} \rho (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$.
$4$. मान रखने पर: $\Delta P = \frac{1}{2} \times 1000 \times (25^{2} - 4^{2})$.
$\Delta P = 500 \times (625 - 16) = 500 \times 609 = 304500 \, Pa$.

(D) एक डैम्प्ड ऑसिलेटर की यांत्रिक ऊर्जा समय $t$ पर $E(t) = E_0 e^{-bt/m}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $E_0$ प्रारंभिक ऊर्जा है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $E(t) = \frac{E_0}{2}$ हो।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{E_0}{2} = E_0 e^{-bt/m}$।
दोनों पक्षों को $E_0$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2} = e^{-bt/m}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/2) = -bt/m$।
चूंकि $\ln(1/2) = -\ln 2$, इसलिए $-\ln 2 = -bt/m$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{m}{b} \ln 2$।
दिए गए विकल्पों के आधार पर, विकल्प $D$ सही उत्तर माना गया है।

(B) रेफ्रिजरेटर के लिए निष्पादन गुणांक $(COP)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$COP = \frac{T_{2}}{T_{1} - T_{2}}$
सबसे पहले,तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T_{1} = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_{2} = -23 + 273 = 250 \ K$
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$COP = \frac{250}{300 - 250}$
$COP = \frac{250}{50}$
$COP = 5$

(A) सबसे पहले,हम रैखिक प्रसार गुणांक $(\alpha)$ की गणना करेंगे:
$\alpha = \frac{\Delta L}{L_{0} \Delta \theta}$
$\alpha = \frac{0.19 \; cm}{100 \; cm \times (100^{\circ} C - 0^{\circ} C)}$
$\alpha = \frac{0.19}{100 \times 100} = \frac{0.19}{10000} = 1.9 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$
आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma)$ और रैखिक प्रसार गुणांक के बीच का संबंध $\gamma = 3\alpha$ है।
$\gamma = 3 \times (1.9 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C)$
$\gamma = 5.7 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$

(A) प्रक्षेप्य गति का अधिकतम परास $R$ इस प्रकार दिया जाता है:
$R = \frac{u^{2} \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^{2} \sin\theta \cos\theta}{g}$
प्रक्षेप्य गति का उड़ान का समय $T$ इस प्रकार दिया जाता है:
$T = \frac{2u \sin\theta}{g}$
उड़ान के समय का वर्ग:
$T^{2} = \left(\frac{2u \sin\theta}{g}\right)^{2} = \frac{4u^{2} \sin^{2}\theta}{g^{2}}$
अधिकतम परास और उड़ान के समय के वर्ग का अनुपात:
$\frac{R}{T^{2}} = \frac{\frac{2u^{2} \sin\theta \cos\theta}{g}}{\frac{4u^{2} \sin^{2}\theta}{g^{2}}}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{R}{T^{2}} = \left(\frac{2u^{2} \sin\theta \cos\theta}{g}\right) \times \left(\frac{g^{2}}{4u^{2} \sin^{2}\theta}\right) = \frac{g}{2} \cot\theta$
नोट: यदि प्रश्न अधिकतम परास (जहाँ $\theta = 45^{\circ}$) के लिए है,तो $\cot 45^{\circ} = 1$ होगा,जिससे उत्तर $\frac{g}{2}$ प्राप्त होगा।

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$
जहाँ $\Delta Q$ निकाय को दी गई ऊष्मा है और $\Delta W$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
सबसे पहले,दी गई ऊष्मा को कैलोरी से जूल में परिवर्तित करें:
$\Delta Q = 300 \text{ cal} \times 4.18 \text{ J/cal} = 1254 \text{ J}$.
निकाय द्वारा किया गया कार्य $\Delta W = 600 \text{ J}$ है।
$\Delta U$ के लिए प्रथम नियम के समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\Delta U = \Delta Q - \Delta W$
$\Delta U = 1254 \text{ J} - 600 \text{ J} = 654 \text{ J}$.
अतः,निकाय की आंतरिक ऊर्जा में $654 \text{ J}$ की वृद्धि होती है।

(A) जब कोई वस्तु किसी नत समतल पर नियत वेग से नीचे फिसलती है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
इसका अर्थ है कि समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक,समतल के ऊपर की ओर कार्य करने वाले घर्षण बल द्वारा संतुलित होता है।
मान लीजिए $m$ द्रव्यमान है,$\theta$ झुकाव का कोण है,और $\mu$ घर्षण गुणांक है।
समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला बल $mg \sin \theta$ है।
घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$ है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें प्राप्त होता है $mg \sin \theta = \mu mg \cos \theta$.
इसलिए,$\mu = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.
यहाँ $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\mu = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(D) कैमरे का $F$-नंबर फोकल लंबाई $(f)$ और एपर्चर के व्यास $(D)$ का अनुपात होता है: $F = \frac{f}{D}$.
$F/4$ सेटिंग के लिए,$F$-नंबर $4$ है,इसलिए $4 = \frac{f}{D_1}$,जिसका अर्थ है $D_1 = \frac{f}{4}$.
$F/5.6$ सेटिंग के लिए,$F$-नंबर $5.6$ है,इसलिए $5.6 = \frac{f}{D_2}$,जिसका अर्थ है $D_2 = \frac{f}{5.6}$.
एपर्चर में परिवर्तन ज्ञात करने के लिए,हम अनुपात लेते हैं: $\frac{D_2}{D_1} = \frac{f/5.6}{f/4} = \frac{4}{5.6}$.
चूंकि $5.6 \approx 4 \times \sqrt{2}$,इसलिए $\frac{D_2}{D_1} = \frac{4}{4 \times \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,एपर्चर $D_2$ को मूल एपर्चर $D_1$ का $\frac{1}{\sqrt{2}}$ गुना होना चाहिए।

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में रखे गए किसी भी बंद धारावाही लूप पर लगने वाला कुल चुंबकीय बल हमेशा शून्य होता है।
इसका कारण यह है कि धारा अवयव $I d\vec{l}$ पर लगने वाला चुंबकीय बल $d\vec{F} = I(d\vec{l} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
एक बंद लूप के लिए,कुल बल का मान समाकलन $\oint I(d\vec{l} \times \vec{B}) = I(\oint d\vec{l}) \times \vec{B}$ होता है।
चूंकि एक बंद लूप में सभी विस्थापन अवयवों $d\vec{l}$ का सदिश योग शून्य होता है (अर्थात $\oint d\vec{l} = 0$),इसलिए कुल बल $\vec{F}$ शून्य होता है।

(A) $1$ लीटर पानी उबालने के लिए आवश्यक ऊष्मा $H$ स्थिर है। इलेक्ट्रिक केतली द्वारा उत्पन्न ऊष्मा $H = \frac{V^2}{R}t$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $V$ वोल्टेज है, $R$ प्रतिरोध है और $t$ समय है।
चूंकि $V$ स्थिर है, इसलिए $H \propto \frac{t}{R}$ होगा।
प्रारंभ में, $H = \frac{V^2}{R} \times 12$ है।
कॉइल का प्रतिरोध फेरों की संख्या $(N)$ के समानुपाती होता है, इसलिए $R \propto N$ है।
यदि $20\%$ फेरे हटा दिए जाते हैं, तो फेरों की नई संख्या $N' = N - 0.2N = 0.8N$ होगी।
अतः, नया प्रतिरोध $R' = 0.8R$ होगा।
समान ऊष्मा $H$ के लिए, $\frac{V^2}{R} \times 12 = \frac{V^2}{R'} \times t'$ होगा।
$R' = 0.8R$ प्रतिस्थापित करने पर, $\frac{V^2}{R} \times 12 = \frac{V^2}{0.8R} \times t'$ प्राप्त होता है।
$t' = 12 \times 0.8 = 9.6$ मिनट।

(C) एक पतली अनंत आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों शीटों का सतह आवेश घनत्व $\sigma$ समान है और वे समान चिह्न की हैं,इसलिए उनके बीच के बिंदु पर पहली शीट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (शीट से दूर की दिशा में) है।
उसी बिंदु पर दूसरी शीट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (दूसरी शीट से दूर की दिशा में,जो $E_1$ की विपरीत दिशा में है) है।
शीटों के बीच का कुल विद्युत क्षेत्र $E_{net}$ इन क्षेत्रों का सदिश योग है: $E_{net} = E_1 - E_2 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = 0$.
अतः,दो समानांतर शीटों के बीच विद्युत क्षेत्र शून्य है।

(B) कॉमन एमिटर एम्पलीफायर का वोल्टेज गेन $A_v$ आउटपुट वोल्टेज और इनपुट वोल्टेज के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है।
इसकी गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
$A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_i}$
दिया गया है:
इनपुट प्रतिरोध $R_i = 3 \, \Omega$
लोड प्रतिरोध $R_L = 24 \, \Omega$
करंट गेन $\beta = 0.6$
सूत्र में मान रखने पर:
$A_v = 0.6 \times \frac{24}{3}$
$A_v = 0.6 \times 8$
$A_v = 4.8$
अतः,वोल्टेज गेन $4.8$ है।

(D) अर्धचालक के लिए,द्रव्यमान क्रिया के नियम (law of mass action) के अनुसार इलेक्ट्रॉन सांद्रता $(n_{e})$ और होल सांद्रता $(n_{h})$ का गुणनफल आंतरिक वाहक सांद्रता $(n_{i})$ के वर्ग के बराबर होता है:
$n_{e} n_{h} = n_{i}^{2}$
यहाँ दिया गया है कि आंतरिक सांद्रता $n_{i} = 10^{16} \ m^{-3}$ है और डोप्ड होल सांद्रता $n_{h} = 5 \times 10^{22} \ m^{-3}$ है,इसलिए $n_{e}$ का मान इस प्रकार निकाला जा सकता है:
$n_{e} = \frac{n_{i}^{2}}{n_{h}}$
$n_{e} = \frac{(10^{16} \ m^{-3})^{2}}{5 \times 10^{22} \ m^{-3}}$
$n_{e} = \frac{10^{32}}{5 \times 10^{22}} \ m^{-3}$
$n_{e} = 0.2 \times 10^{10} \ m^{-3} = 2 \times 10^{9} \ m^{-3}$

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:
$E = \phi + K_{\max}$
$\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + eV_s$
प्रथम स्थिति के लिए,$\lambda_{\text{incident}} = \lambda$ और $V_s = 3 \text{ V}$:
$\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + 3e \quad \dots (i)$
द्वितीय स्थिति के लिए,$\lambda_{\text{incident}} = 2\lambda$ और $V_s = 1 \text{ V}$:
$\frac{hc}{2\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + 1e \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{2\lambda} = (\frac{hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0}) + (3e - 1e)$
$\frac{hc}{2\lambda} = 2e$
$e = \frac{hc}{4\lambda}$
$e$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$\frac{hc}{2\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + \frac{hc}{4\lambda}$
$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{4\lambda} = \frac{hc}{4\lambda}$
$\lambda_0 = 4\lambda$

(C) जब स्विच बंद किया जाता है,तो $3 \ \Omega$ और $6 \ \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
उनका समतुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है:
$R_p = \frac{3 \times 6}{3 + 6} \ \Omega = \frac{18}{9} \ \Omega = 2 \ \Omega$
यह समानांतर संयोजन $1 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है।
इसलिए,परिपथ का कुल समतुल्य प्रतिरोध है:
$R_{eq} = 1 \ \Omega + R_p = 1 \ \Omega + 2 \ \Omega = 3 \ \Omega$
$9 \ V$ की बैटरी से ली गई धारा $i$ की गणना ओम के नियम का उपयोग करके की जाती है:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9 \ V}{3 \ \Omega} = 3 \ A$

(A) दिया गया है: $\frac{R}{l} = \frac{1}{2} \, \Omega/cm$ और $l = 5 \, cm$.
सबसे पहले,तार का प्रतिरोध $R$ ज्ञात करें:
$R = \frac{1}{2} \times l = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5 \, \Omega$.
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,विद्युत धारा $i$ इस प्रकार है:
$i = \frac{V}{R}$.
यहाँ $V = 1 \, V$ दिया गया है,इसलिए:
$i = \frac{1}{2.5} = \frac{10}{25} = 0.4 \, A$.
अतः,तार से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा $0.4 \, A$ है।

(A) मॉड्यूलेशन इंडेक्स $\mu$ को मॉड्यूलेटिंग सिग्नल के आयाम $(V_{m})$ और वाहक तरंग (कैरियर वेव) के आयाम $(V_{c})$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\mu = \frac{V_{m}}{V_{c}}$
दिया गया है कि $\mu = \frac{1}{2}$ और $V_{m} = 2$,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{2}{V_{c}}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर हमें प्राप्त होता है:
$V_{c} = 2 \times 2$
$V_{c} = 4$

(A) दिया गया है:
अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी,$f_o = 10 \ cm = 100 \ mm$.
नेत्रिका लेंस की फोकस दूरी,$f_e = 10 \ mm = 1 \ cm$.
ट्यूब की लंबाई,$L = 11 \ cm$.
सामान्य समायोजन (normal adjustment) में दूरबीन के लिए,ट्यूब की लंबाई $L = f_o + f_e = 10 \ cm + 1 \ cm = 11 \ cm$ होती है। चूंकि दी गई ट्यूब की लंबाई इस शर्त को पूरा करती है,इसलिए दूरबीन सामान्य समायोजन में है।
सामान्य समायोजन में दूरबीन के लिए कोणीय आवर्धन $M$ का सूत्र है:
$M = \frac{f_o}{f_e}$
मान रखने पर:
$M = \frac{10 \ cm}{1 \ cm} = 10$.
अतः,कोणीय आवर्धन $10$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\tau = |\vec{m} \times \vec{B}| = N I A B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
कुंडली $y-z$ तल में है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$x$-अक्ष की दिशा में है। हालाँकि,प्रश्न में कहा गया है कि कुंडली $x$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है। इसका अर्थ है कि कुंडली के अभिलंब (क्षेत्रफल सदिश) और चुंबकीय क्षेत्र (जो $x$-अक्ष की दिशा में है) के बीच का कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
दिए गए मान: $N=100$,$I=1 \text{ A}$,$R=2 \text{ m}$,$B=\frac{1}{\pi} \text{ T}$.
क्षेत्रफल $A = \pi R^2 = \pi (2)^2 = 4\pi \text{ m}^2$.
टॉर्क के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$\tau = N I A B \sin 30^{\circ}$
$\tau = 100 \times 1 \times (4\pi) \times \frac{1}{\pi} \times \sin 30^{\circ}$
$\tau = 100 \times 4 \times \frac{1}{2}$
$\tau = 200 \text{ N} \cdot \text{m}$.

(D) $YDSE$ में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{0} \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_{0}$ अधिकतम तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
दिया गया है कि तीव्रता $I = \frac{I_{0}}{2}$,इसलिए:
$\frac{I_{0}}{2} = I_{0} \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right)$
$\cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right) = \frac{1}{2}$
$\cos \left( \frac{\phi}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{4} \implies \phi = \frac{\pi}{2}$.
पथान्तर $\Delta x$ कलांतर $\phi$ से $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \phi$ द्वारा संबंधित है।
$\phi = \frac{\pi}{2}$ रखने पर,हमें $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\lambda}{4}$ प्राप्त होता है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ से दूरी $y$,$y = \frac{\Delta x D}{a}$ द्वारा दी जाती है।
मान $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$,$D = 2 \, m$,$a = 2 \times 10^{-3} \, m$,और $\lambda = 500 \times 10^{-9} \, m$ रखने पर:
$y = \frac{\lambda D}{4a} = \frac{500 \times 10^{-9} \times 2}{4 \times 2 \times 10^{-3}}$
$y = \frac{1000 \times 10^{-9}}{8 \times 10^{-3}} = 125 \times 10^{-6} \, m = 125 \, \mu m$.

(C) क्षय की दर रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $-\frac{dN}{dt} = \lambda N$.
$1$ वर्ष के छोटे समय अंतराल $dt = 1$ के लिए,क्षयित नाभिकों की संख्या $\Delta N \approx \lambda N \Delta t$ है।
क्षय नियतांक $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ है।
$\ln 2 \approx 0.7$ और $T_{1/2} = 10^{33}$ वर्ष का उपयोग करने पर:
$\Delta N = \frac{0.7}{10^{33}} \times (26 \times 10^{24}) \times 1$.
$\Delta N = 0.7 \times 26 \times 10^{-9} = 18.2 \times 10^{-9}$.
प्रश्न में दिए गए प्रारूप के अनुसार,उत्तर $18.2 \times 10^{-7}$ के रूप में $18.2$ है।

(B) संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_{0} = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ है।
संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $q_{0} = C_{0} V = \frac{\varepsilon_{0} A}{d} V$ है।
जब बैटरी जुड़ी रहती है और प्लेटों के बीच $k$ परावैद्युतांक वाली परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है।
नई धारिता $C = k C_{0} = \frac{k \varepsilon_{0} A}{d}$ हो जाती है।
संधारित्र पर अंतिम आवेश $q = C V = \left( \frac{k \varepsilon_{0} A}{d} \right) V = k q_{0}$ होगा।

(C) चुंबकीय फ्लक्स $(\Phi_B)$ को चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ और उस क्षेत्रफल $(A)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है जिससे यह गुजरता है, जिसे $\Phi_B = B \cdot A \cdot \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र का $SI$ मात्रक टेस्ला $(T)$ है और क्षेत्रफल का मात्रक वर्ग मीटर $(m^2)$ है।
इसलिए, $1 \text{ Tesla} \cdot m^2 = 1 \text{ Weber}$ $(Wb)$।
अतः, चुंबकीय फ्लक्स का $SI$ मात्रक वेबर है।

(A) दी गई आकृति से,वस्तु की दूरी $u = -20 \ cm$ है।
आवर्धन $m = -0.5 = -1/2$ है।
लेंस के लिए,आवर्धन का सूत्र $m = \frac{f}{u+f}$ होता है।
मान रखने पर:
$-1/2 = \frac{f}{-20 + f}$
$-(-20 + f) = 2f$
$20 - f = 2f$
$3f = 20$
$f = \frac{20}{3} \approx 6.66 \ cm$.
अतः,लेंस की फोकस दूरी $6.66 \ cm$ है।

(C) एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए,इनपुट पावर आउटपुट पावर के बराबर होती है।
$P_{\text{in}} = P_{\text{out}}$
$E_{p} I_{p} = \frac{V_{s}^{2}}{R_{s}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$1000 \times 50 = \frac{220^{2}}{R_{s}}$
$50000 = \frac{48400}{R_{s}}$
$R_{s} = \frac{48400}{50000} = 0.968 \, \Omega$
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $R_{s} \approx 1 \, \Omega$ प्राप्त होता है।

(A) हाइड्रोजन जैसे आयन के लिए इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या का सूत्र है:
$r = r_{0} \frac{n^{2}}{Z}$
जहाँ $r_{0}$ बोहर त्रिज्या है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$Be^{3+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 4$ है।
हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था के लिए,त्रिज्या $r = r_{0}$ है (जहाँ $n = 1$ और $Z = 1$)।
दोनों त्रिज्याओं को बराबर रखने पर:
$r_{0} = r_{0} \frac{n^{2}}{4}$
$n^{2} = 4$
$n = 2$
मुख्य क्वांटम संख्या $n = 2$ पहली उत्तेजित अवस्था के अनुरूप है।
अतः,$Be^{3+}$ की पहली उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या $H$ परमाणु की मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या के समान होगी।

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,स्रोत वोल्टेज $V$ और घटकों पर वोल्टेज के बीच संबंध इस प्रकार है:
$V^{2} = V_{R}^{2} + (V_{L} - V_{C})^{2}$
दिया गया है:
$V = 120 \ V$
$V_{R} = 40 \ V$
$V_{L} = 50 \ V$
समीकरण में मान रखने पर:
$120^{2} = 40^{2} + (50 - V_{C})^{2}$
$14400 = 1600 + (50 - V_{C})^{2}$
$(50 - V_{C})^{2} = 14400 - 1600 = 12800$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$50 - V_{C} = \pm \sqrt{12800} = \pm \sqrt{6400 \times 2} = \pm 80\sqrt{2}$
स्थिति $1$: $50 - V_{C} = 80\sqrt{2} \implies V_{C} = 50 - 80\sqrt{2}$ (ऋणात्मक मान,जो संभव नहीं है)
स्थिति $2$: $50 - V_{C} = -80\sqrt{2} \implies V_{C} = 50 + 80\sqrt{2}$
$V_{C} = 10(5 + 8\sqrt{2}) \ V$

(B) चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M$ को धारा $i$ और लूप के क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$M = i A$
$f$ आवृत्ति के साथ गति करने वाले $q$ आवेश के लिए,समतुल्य धारा $i = qf$ होती है।
$\alpha$ कण के लिए,आवेश $q = 2e$ है।
आवृत्ति $f$,वेग $v$ और त्रिज्या $r$ के साथ $f = \frac{v}{2 \pi r}$ द्वारा संबंधित है।
अतः,धारा $i = (2e) \times \left( \frac{v}{2 \pi r} \right) = \frac{ev}{\pi r}$ है।
वृत्ताकार पथ का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
इन मानों को $M$ के सूत्र में रखने पर:
$M = \left( \frac{ev}{\pi r} \right) \times (\pi r^2) = evr$.

(A) $n$ अर्ध-आयु के बाद शेष पदार्थ की मात्रा $N = N_0 (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है।
यदि तत्व का $99 \%$ भाग क्षयित हो जाता है,तो शेष मात्रा $100 \% - 99 \% = 1 \%$ होगी।
अतः,$N/N_0 = 1/100 = 0.01$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $0.01 = (1/2)^n$,जिसका अर्थ है $2^n = 100$।
हम जानते हैं कि $2^6 = 64$ और $2^7 = 128$ होता है।
चूंकि $64 < 100 < 128$,इसलिए $n$ का मान $6$ और $7$ के बीच स्थित है।
इस प्रकार,रेडियोधर्मी तत्व का $99 \%$ भाग $6$ और $7$ अर्ध-आयु के बीच क्षयित होगा।

(A) नियंत्रित श्रृंखला अभिक्रिया एक ऐसी प्रक्रिया है जिसमें अतिरिक्त न्यूट्रॉन को अवशोषित करके परमाणु विखंडन की दर को स्थिर रखा जाता है। इस सिद्धांत का उपयोग परमाणु ऊर्जा रिएक्टर में सुरक्षित रूप से बिजली उत्पन्न करने के लिए किया जाता है। इसके विपरीत,परमाणु बम में अनियंत्रित श्रृंखला अभिक्रिया का उपयोग होता है। अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) विद्युत फ्लक्स $\Phi$ को विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है,$\vec{E} = (5 \hat{i} + 4 \hat{j} + 9 \hat{k})$.
सतह $Y-Z$ तल में स्थित है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$X$-अक्ष की दिशा में होगा।
अतः,$\vec{A} = 20 \hat{i}$ इकाई।
विद्युत फ्लक्स की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\Phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$
$\Phi = (5 \hat{i} + 4 \hat{j} + 9 \hat{k}) \cdot (20 \hat{i})$
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,और $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$:
$\Phi = 5 \times 20 = 100$ इकाई।

(C) मान लीजिए कि सेल का emf $E$ है और इसका आंतरिक प्रतिरोध $r$ है। बाहरी प्रतिरोध $R = n r$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + r = n r + r = r(n+1)$ है।
ओम के नियम के अनुसार परिपथ में बहने वाली धारा $I = E / R_{total} = E / [r(n+1)]$ है।
बाहरी प्रतिरोध पर टर्मिनल वोल्टेज $V = I R = [E / (r(n+1))] \times (n r)$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $V = E \times [n / (n+1)]$ प्राप्त होता है।
अतः,टर्मिनल वोल्टेज और emf का अनुपात $V/E = n / (n+1)$ है।

(A) डोपिंग एक आंतरिक अर्धचालक के विद्युत गुणों को संशोधित करने के लिए उसमें अशुद्धि परमाणुओं की थोड़ी मात्रा मिलाने की प्रक्रिया है।
जब अशुद्धि मिलाई जाती है,तो यह आवेश वाहकों (n-प्रकार में मुक्त इलेक्ट्रॉन या p-प्रकार में होल) की सांद्रता को काफी बढ़ा देती है।
चूंकि चालकता $\sigma$ आवेश वाहकों की सांद्रता ($n$ या $p$) के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए अर्धचालक की चालकता काफी बढ़ जाती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) मान लीजिए $r$ प्रत्येक शीर्ष से समबाहु त्रिभुज के केंद्र तक की दूरी है।
केंद्र पर विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण उत्पन्न विभवों का बीजगणितीय योग है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{2q}{r} + \frac{-q}{r} + \frac{-q}{r} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} r} (2q - q - q) = 0$
केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है। चूंकि आवेश परिमाण में समान नहीं हैं और इस तरह से व्यवस्थित नहीं हैं कि उनके क्षेत्र सदिश एक-दूसरे को निरस्त कर दें,इसलिए परिणामी विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ शून्य नहीं है।
विशेष रूप से,$2q$ के कारण क्षेत्र उससे दूर इंगित करता है,जबकि दो $-q$ आवेशों के कारण क्षेत्र उनकी ओर इंगित करते हैं। इन सदिशों का योग शून्य नहीं होता है।
इसलिए,क्षेत्र शून्य नहीं है लेकिन विभव शून्य है।

(D) गतिमान चालक में प्रेरित विभवांतर $E$ का सूत्र $E = \vec{l} \cdot (\vec{v} \times \vec{B})$ है।
चूंकि तार $x-y$ तल के लंबवत है,इसलिए इसकी लंबाई का सदिश $z$-अक्ष की दिशा में है,अतः $\vec{l} = 1\hat{k}\, m$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B}$ की गणना करें:
$\vec{v} \times \vec{B} = (3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}) \times (\hat{i} + 2\hat{j})$
$= 3(\hat{i} \times \hat{i}) + 6(\hat{i} \times \hat{j}) + 3(\hat{j} \times \hat{i}) + 6(\hat{j} \times \hat{j}) + 2(\hat{k} \times \hat{i}) + 4(\hat{k} \times \hat{j})$
$= 0 + 6\hat{k} - 3\hat{k} + 0 + 2\hat{j} - 4\hat{i}$
$= -4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
अब,$\vec{l} = 1\hat{k}$ के साथ अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) करें:
$E = (1\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$
$E = 1 \times 3 = 3\, V$.

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र इस प्रकार है:
$U = \frac{1}{2} C V^2$
दिया गया है:
धारिता $C = 5.0 \mu F = 5.0 \times 10^{-6} F$
विभवांतर $V = 800 V$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (5.0 \times 10^{-6} F) \times (800 V)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 5.0 \times 10^{-6} \times 640000$
$U = 2.5 \times 10^{-6} \times 6.4 \times 10^5$
$U = 16 \times 10^{-1} = 1.6 J$
अतः,चालक को दी गई ऊर्जा $1.6 J$ है।

(A) $I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
दूरी $r$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$r = \frac{\mu_0 I}{2 \pi B}$
दिए गए मान:
$I = 12 \, A$
$B = 3 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$
मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$r = \frac{(4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A) \times (12 \, A)}{2 \pi \times (3 \times 10^{-5} \, Wb/m^2)}$
$r = \frac{2 \times 10^{-7} \times 12}{3 \times 10^{-5}} \, m$
$r = \frac{24 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-5}} \, m$
$r = 8 \times 10^{-2} \, m$