AIIMS 2005 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) $Parsec$ (પેરેલેક્સ સેકન્ડ) એ અંતરનો એકમ છે જેનો ઉપયોગ સૌરમંડળની બહારના ખગોળીય પદાર્થોના મોટા અંતરને માપવા માટે થાય છે.
તેને તે અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જ્યાં એક ખગોળીય એકમ $(AU)$ એક આર્કસેકન્ડનો ખૂણો બનાવે છે.
$1 \ Parsec \approx 3.086 \times 10^{16} \ m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ઓમના નિયમ મુજબ,$R = \frac{V}{I}$.
પ્રથમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ ના પરિમાણો શોધો: $V = \frac{W}{q} = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[A T]} = [M L^2 T^{-3} A^{-1}]$.
હવે,$V$ અને $I$ ના પરિમાણોને $R$ ના સૂત્રમાં મૂકો:
$R = \frac{[M L^2 T^{-3} A^{-1}]}{[A]} = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) જ્યારે કોઈ દડાને $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગ સાથે શિરોલંબ ઉપર ફેંકવામાં આવે ત્યારે તે પ્રાપ્ત કરતી મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{u^2}{2g}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $h \propto u^2$,જેનો અર્થ છે કે $u \propto \sqrt{h}$.
ધારો કે $h$ ઊંચાઈ માટે પ્રારંભિક વેગ $V_o$ છે અને $3h$ ઊંચાઈ માટે નવો વેગ $V'$ છે.
તેથી,$\frac{V'}{V_o} = \sqrt{\frac{3h}{h}} = \sqrt{3}$.
આમ,$V' = \sqrt{3} V_o$.

(B) લિફ્ટમાં રહેલી વ્યક્તિનું આભાસી વજન $W'$ એ $W' = m(g \pm a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ વ્યક્તિનું દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $a$ એ લિફ્ટનો પ્રવેગ છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી વજન $W' = m(g - a)$ થાય છે.
કારણ કે $(g - a) < g$,તેથી આભાસી વજન $W'$ એ વાસ્તવિક વજન $W = mg$ કરતા ઓછું હોય છે.
તેથી,જ્યારે લિફ્ટ અચળ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે વ્યક્તિને તેનું વજન ઓછું લાગે છે.

(C) ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય અસંતુલિત બળ ન લાગે ત્યાં સુધી પદાર્થ સ્થિર અથવા અચળ વેગથી ગતિમાન રહે છે.
જો પદાર્થ સ્થિર હોય,તો તેનો પ્રવેગ $0$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = ma$.
અહીં $a = 0$ હોવાથી,પદાર્થ પર લાગતું કુલ બળ $F_{net} = 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે પદાર્થ પર લાગતા તમામ વ્યક્તિગત બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય છે,જે સૂચવે છે કે બળો એકબીજાને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા અને $m$ દળ ધરાવતા ગોળાકાર પદાર્થની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર: $v_e = \sqrt{\frac{2Gm}{r}}$ છે.
કોઈ પદાર્થ બ્લેક હોલ બને તે માટે,પ્રકાશ પણ તેના ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાંથી છટકી શકવો જોઈએ નહીં.
તેથી,નિષ્ક્રમણ વેગ પ્રકાશની ઝડપ $c$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
આમ,શરત $\sqrt{\frac{2Gm}{r}} \ge c$ અથવા $(2Gm/r)^{1/2} \ge c$ થાય છે.

(A) જ્યારે નળી કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ફરે છે,ત્યારે આડી બાજુઓમાં રહેલું પાણી બહારની તરફ કેન્દ્રત્યાગી બળ અનુભવે છે.
ભ્રમણની ધરીથી $r$ અંતરે રહેલા $dm$ દળના પાણીના નાના ઘટક માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ દબાણના તફાવત દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $dP = \rho \omega^2 r dr$.
આનું ધરી $(r=0)$ થી $r$ અંતર સુધી સંકલન કરતા,આપણને $r$ અંતરે દબાણ $P(r) = P_0 + \frac{1}{2} \rho \omega^2 r^2$ મળે છે,જ્યાં $P_0$ એ ધરી પરનું દબાણ છે.
કારણ કે ઊભી નળીઓમાં પાણીની સપાટી પરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ જેટલું હોવું જોઈએ,તેથી ધરીથી $r$ અંતરે રહેલી નળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ એ $\rho gh = P(r) - P_{atm}$ દ્વારા મળે છે.
જેમ $r$ વધે છે,તેમ દબાણ $P(r)$ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે આ દબાણને સંતુલિત કરવા માટે પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ વધવી જોઈએ.
નળી $A$ અને $B$ બંને ધરીથી અનુક્રમે $L$ અને $2L$ અંતરે હોવાથી,પાણીના દળના પરિભ્રમણ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડવા માટે બંને નળીઓમાં પાણીનું સ્તર મધ્ય ધરીના સ્તરની તુલનામાં ઉપર જશે.

(B) ધારો કે મીણબત્તીની ઘનતા $\rho_c$ છે અને પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l$ છે. ધારો કે મીણબત્તીની કુલ લંબાઈ $L_0$ છે અને ડૂબેલી લંબાઈ $L_s$ છે. તરવાના સિદ્ધાંત મુજબ,મીણબત્તીનું વજન એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે:
$\rho_c \cdot A \cdot L_0 = \rho_l \cdot A \cdot L_s$
જ્યાં $A$ એ મીણબત્તીનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ સૂચવે છે કે $L_s = (\rho_c / \rho_l) L_0$. ધારો કે $k = \rho_c / \rho_l$. તેથી $L_s = k L_0$.
પ્રવાહીની સપાટીથી ઉપર મીણબત્તીના ટોચની ઊંચાઈ $h = L_0 - L_s = L_0(1 - k)$ છે.
જેમ મીણબત્તી બળે છે,તેની કુલ લંબાઈ $L_0$ એ $v = dL_0/dt = 2 \text{ cm/hour}$ ના દરે ઘટે છે.
મીણબત્તીની ટોચની ઊંચાઈમાં થતો ફેરફારનો દર $dh/dt = (dL_0/dt)(1 - k)$ છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ મીણબત્તી અડધી ડૂબેલી છે તેમ ધારતા,$k = 0.5$.
તેથી,$dh/dt = 2 \text{ cm/hour} \times (1 - 0.5) = 1 \text{ cm/hour}$.
$dh/dt$ ધન હોવાથી,મીણબત્તીની ટોચ $1 \text{ cm/hour}$ ના દરે નીચે જાય છે.

(A) કોઈ વિધેય સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ ત્યારે જ દર્શાવે જો તે વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$ નું પાલન કરે.
વિકલ્પ $A$: $x = \sin \omega t - \cos \omega t$. આને $x = \sqrt{2} [\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t] = \sqrt{2} \sin(\omega t - \frac{\pi}{4})$ તરીકે લખી શકાય છે. આ એક પ્રમાણિત $S.H.M.$ સમીકરણ છે.
વિકલ્પ $B$: $x = \sin^2 \omega t = \frac{1 - \cos 2\omega t}{2}$. આ અચળ સ્થાનાંતર અને $2\omega$ આવૃત્તિ ધરાવતી ગતિ દર્શાવે છે,જે સરળ આવર્ત ગતિ નથી.
વિકલ્પ $C$ અને $D$: આ બે અલગ-અલગ આવૃત્તિઓ ($\omega$ અને $2\omega$) નું સંપાતીકરણ છે,જે આવર્ત ગતિ આપે છે પરંતુ સરળ આવર્ત ગતિ નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) અસ્ફટિકમય ઘન એવા ઘન પદાર્થો છે જેમાં ઘટક કણો (પરમાણુઓ, અણુઓ અથવા આયનો) લાંબા અંતર સુધી સંપૂર્ણપણે અનિયમિત અથવા અવ્યવસ્થિત રીતે ગોઠવાયેલા હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, $\text{કાચ}$ એ અસ્ફટિકમય ઘનનું ઉત્તમ ઉદાહરણ છે, જેને ઘણીવાર સુપરકૂલ્ડ પ્રવાહી તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
હીરો, મીઠું $(NaCl)$ અને ખાંડ એ બધા સ્ફટિકમય ઘન પદાર્થોના ઉદાહરણો છે, જે લાંબા ગાળાની વ્યવસ્થિત રચના ધરાવે છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ (જેને સાપેક્ષ ઘનતા પણ કહેવાય છે) એ પદાર્થની ઘનતા અને પ્રમાણિત તાપમાને (સામાન્ય રીતે $4^{\circ}C$) પાણીની ઘનતાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\text{Specific Gravity} = \frac{\rho_{\text{fluid}}}{\rho_{\text{water}}}$
તે બે સમાન ભૌતિક રાશિઓ (ઘનતા/ઘનતા) નો ગુણોત્તર હોવાથી,તેના એકમો ઉડી જાય છે,જે તેને પરિમાણરહિત રાશિ બનાવે છે.
તેથી,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે,અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) કોઈ બળને સંરક્ષી ત્યારે કહેવાય છે જો બે બિંદુઓ વચ્ચે કણના સ્થાનાંતર દરમિયાન તેના દ્વારા અથવા તેની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય લીધેલા માર્ગ પર આધારિત ન હોય.
ઘર્ષણ બળ એ અસંરક્ષી બળ છે કારણ કે ઘર્ષણની વિરુદ્ધ કરવામાં આવતું કાર્ય માર્ગની લંબાઈ પર આધાર રાખે છે.
વધુમાં,ઘર્ષણ જેવા અસંરક્ષી બળની વિરુદ્ધ કરવામાં આવતું કાર્ય ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામે છે અને તેને સ્થિતિ ઊર્જા તરીકે પાછું મેળવી શકાતું નથી.
તેથી,$Assertion$ અને $Reason$ બંને ખોટા છે.

(B) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ, કારણ કે સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક કાર્ય કરતું નથી, તેથી કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ અચળ રહે છે.
જ્યારે ચીકણું પ્રવાહી કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવે છે અને તે ફેલાય છે, ત્યારે દળનું વિતરણ પરિભ્રમણની અક્ષથી દૂર જાય છે, જેનાથી સિસ્ટમની જડત્વની આઘૂર્ણ (moment of inertia) $I$ વધે છે.
જેમ કે $L = I\omega$ અચળ છે, $I$ માં વધારો થવાથી કોણીય વેગ $\omega$ માં ઘટાડો થાય છે.
જેમ જેમ પ્રવાહી અંતે પ્લેટફોર્મ પરથી નીચે પડી જાય છે, તેમ સિસ્ટમનું દળ ઘટે છે, જેના કારણે જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ ફરીથી તેના મૂળ મૂલ્ય તરફ ઘટે છે.
પરિણામે, જેમ પ્રવાહી પ્લેટફોર્મ છોડે છે તેમ કોણીય વેગ $\omega$ ફરીથી વધે છે.

(A) $h$ ઊંચાઈ સુધી ઢળતી સપાટી પર ચઢવા માટે,ગબડતા ગોળાની કુલ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $h$ ઊંચાઈએ પ્રાપ્ત કરેલી સ્થિતિઊર્જા જેટલી અથવા તેનાથી વધુ હોવી જોઈએ.
ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા એ તેની સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$K_{total} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mr^2$ અને શુદ્ધ ગબડવા માટે,$\omega = \frac{v}{r}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2$
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ ગતિઊર્જા ટોચ પરની સ્થિતિઊર્જા $mgh$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ:
$\frac{7}{10}mv^2 \ge mgh$
$v^2 \ge \frac{10}{7}gh$
$v \ge \sqrt{\frac{10}{7}gh}$

(B) ધારો કે $\ell$ એ નિસરણીની લંબાઈ છે અને $(x, y)$ એ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ છે,જે નિસરણીનું મધ્યબિંદુ છે.
દીવાલ પર ટેકવેલી નિસરણીની ભૂમિતિ પરથી,તેના છેડાઓના યામ $(2x, 0)$ અને $(0, 2y)$ છે.
નિસરણીની લંબાઈ $\ell$ માટે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$(2x)^2 + (2y)^2 = \ell^2$
$4x^2 + 4y^2 = \ell^2$
$x^2 + y^2 = \left(\frac{\ell}{2}\right)^2$
આ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્રિત અને $\frac{\ell}{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે.
જેમ નિસરણી સરકે છે,તેમ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એક વર્તુળાકાર ચાપ બનાવે છે. તેથી,સાચી રજૂઆત વર્તુળાકાર પથ છે.

(A) કેન્દ્રીય બળ ક્ષેત્રમાં,દરેક કણ પર લાગતું બળ બળના કેન્દ્ર અને કણને જોડતી રેખાની દિશામાં હોય છે.
બળ ત્રિજ્યાવર્તી હોવાથી,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ એક જ રેખા પર હોય છે.
ટોર્ક $\vec{\tau}$ ને $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\vec{r}$ અને $\vec{F}$ સમાંતર હોવાથી,તેમનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તંત્ર પર લાગતું કુલ ટોર્ક શૂન્ય છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો કુલ કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ અચળ રહે છે.
તેથી,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે,અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે.

$(A)$ રેનોલ્ડ્સ નંબર $(Re)$ એ પ્રવાહીના પ્રવાહમાં જડત્વના બળો અને સ્નિગ્ધતા બળોના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $Re = \frac{\text{Inertial Force}}{\text{Viscous Force}}$.
$Re < 2000$ માટે, પ્રવાહ સામાન્ય રીતે લેમિનર (laminar) હોય છે, જ્યાં સ્નિગ્ધતા બળો પ્રભાવી હોય છે.
$Re > 2000$ માટે, પ્રવાહ અશાંત (turbulent) બને છે, જેનો અર્થ છે કે સ્નિગ્ધતા બળોની તુલનામાં જડત્વના બળો પ્રભાવી હોય છે.
તેથી, વિધાન સાચું છે, અને કારણ એ સમજાવે છે કે શા માટે ઊંચા રેનોલ્ડ્સ નંબર પર પ્રવાહ અશાંત બને છે.

(A) કિર્ચોફના વિકિરણના નિયમ મુજબ,કોઈપણ પદાર્થ માટે,આપેલ તરંગલંબાઈ અને તાપમાને તેની ઉત્સર્જક શક્તિ $(e_{\lambda})$ અને તેની શોષકતા $(a_{\lambda})$ નો ગુણોત્તર એ સમાન તરંગલંબાઈ અને તાપમાને આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થની ઉત્સર્જક શક્તિ $(E_{\lambda})$ જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\frac{e_{\lambda}}{a_{\lambda}} = E_{\lambda}$.
અહીં $E_{\lambda}$ એ આપેલ તરંગલંબાઈ અને તાપમાન માટે અચળ હોવાથી,$e_{\lambda} \propto a_{\lambda}$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે જે પદાર્થની ઉત્સર્જકતા વધુ હોય (સારો ઉત્સર્જક),તેની શોષકતા પણ તે જ તરંગલંબાઈ પર વધુ હોય (સારો શોષક). આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ક્લોસિયસ-ક્લેપાયરોન સમીકરણ મુજબ,ગલન વક્રનો ઢાળ $\frac{dP}{dT} = \frac{L}{T(V_2 - V_1)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ ગલન ગુપ્ત ઉષ્મા છે,$T$ એ તાપમાન છે,$V_2$ એ પ્રવાહી અવસ્થાનું કદ છે અને $V_1$ એ ઘન અવસ્થાનું કદ છે.
પાણી માટે,બરફ પીગળતી વખતે સંકોચાય છે,જેનો અર્થ છે કે પાણીનું કદ $(V_2)$ એ બરફના કદ $(V_1)$ કરતા ઓછું છે.
તેથી,$(V_2 - V_1) < 0$ થાય છે,જે ઢાળ $\frac{dP}{dT}$ ને ઋણ બનાવે છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ (Wien's displacement law) મુજબ, $\lambda_m T = \text{અચળ}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda_m \propto 1/T$. તેથી, જેમ તાપમાન $T$ વધે છે, તેમ મહત્તમ ઉત્સર્જન તરંગલંબાઈ $\lambda_m$ ઘટે છે. આમ, વિધાન સાચું છે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા $E = \sigma T^4$ છે. આ નિયમ ઉર્જા અને તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે, મહત્તમ તરંગલંબાઈ સાથે નહીં. મહત્તમ તરંગલંબાઈ વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે, તાપમાનના ચતુર્થ ઘાત દ્વારા નહીં. તેથી, કારણ ખોટું છે.

(A) કોઈપણ વાસ્તવિક પ્રક્રિયામાં,ઘર્ષણ,સ્નિગ્ધતા અથવા અન્ય અવરોધક બળોને કારણે કેટલીક ઉર્જા અનિવાર્યપણે ગરમીમાં રૂપાંતરિત થાય છે,જે સ્વભાવે ક્ષયકારી (dissipative) હોય છે.
આ ઉર્જાના વ્યયને કારણે,આસપાસમાં કોઈ ફેરફાર કર્યા વિના પ્રણાલીને તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછી લાવી શકાતી નથી.
તેથી,તમામ કુદરતી પ્રક્રિયાઓ અપ્રતિવર્તી (irreversible) હોય છે,જેના કારણે વાસ્તવિકતામાં સંપૂર્ણ પ્રતિવર્તી પ્રણાલીઓ શોધવી અશક્ય છે.
આમ,$Assertion$ સાચું છે અને $Reason$ તેની સાચી સમજૂતી છે.

(A) જ્યારે ફુગ્ગામાંથી હવા ઝડપથી બહાર નીકળે છે,ત્યારે આ પ્રક્રિયા એટલી ઝડપથી થાય છે કે આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્માની આપ-લે માટે સમય મળતો નથી,તેથી તે એડિબેટિક પ્રક્રિયા બને છે.
આ પ્રક્રિયા દરમિયાન,હવા બાહ્ય વાતાવરણીય દબાણની વિરુદ્ધ વિસ્તરણ પામે છે.
હવા તેની આંતરિક ઉર્જાના ભોગે કાર્ય કરતી હોવાથી,તેનું તાપમાન ઘટે છે,જેના કારણે હવા ઠંડી થઈ જાય છે.

(C) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અનંત લંબાઈની પાતળી શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$+\sigma$ અને $-\sigma$ વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતી બે સમાંતર પ્લેટો માટે,ધન વિદ્યુતભારિત પ્લેટનું વિદ્યુતક્ષેત્ર તેનાથી દૂરની દિશામાં હોય છે અને ઋણ વિદ્યુતભારિત પ્લેટનું વિદ્યુતક્ષેત્ર તેની તરફની દિશામાં હોય છે.
પ્લેટો વચ્ચેના વિસ્તારમાં,બંને વિદ્યુતક્ષેત્રો એક જ દિશામાં (ધન પ્લેટથી ઋણ પ્લેટ તરફ) હોય છે.
તેથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net}$ એ વ્યક્તિગત ક્ષેત્રોના મૂલ્યોનો સરવાળો છે:
$E_{net} = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{|-\sigma|}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \text{ V/m}$.

(A) ચોરસના ખૂણાઓ પર રહેલા ચાર ધન વિદ્યુતભારો $(Q)$ $Z$-અક્ષ પર કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે।
$Z$-અક્ષ પર $z$ જેટલા નાના અંતરે મૂકવામાં આવેલા ઋણ વિદ્યુતભાર $(-q)$ પર લાગતું પરિણામી સ્થિત-વિદ્યુત બળ ચોરસ ફ્રેમના કેન્દ્ર તરફ હોય છે।
નાના $z$ માટે આ બળનું મૂલ્ય સ્થાનાંતર $z$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે (એટલે કે $F \propto -z$)।
આ પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે। જેમ ઋણ વિદ્યુતભાર કેન્દ્ર તરફ આકર્ષાય છે, તેમ તે પ્રવેગિત થાય છે। જ્યારે તે કેન્દ્ર (ફ્રેમના સમતલ) પર પહોંચે છે, ત્યારે પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે, પરંતુ તેના પ્રાપ્ત વેગ (જડત્વ) ને કારણે, તે કેન્દ્રને ઓળંગીને બીજી બાજુ જાય છે।
ત્યારબાદ પુનઃસ્થાપક બળ વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે, જે તેને ધીમું પાડે છે જ્યાં સુધી તે અટકે નહીં અને ફરી પાછું ખેંચાય નહીં।
આમ, ઋણ વિદ્યુતભાર ફ્રેમના કેન્દ્રની આસપાસ $Z$-અક્ષ પર સરળ આવર્ત ગતિ (દોલનો) કરે છે।

(A) સામાન્ય કેન્દ્રથી $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે:
$1$. $x < r_A$ માટે: વાહક કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. તેથી,$E = 0$.
$2$. $r_A < x < r_B$ માટે: માત્ર કવચ $A$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_A$ ક્ષેત્રમાં ફાળો આપે છે. તેથી,$E = \frac{k Q_A}{x^2}$. આ એક ધન મૂલ્ય છે જે $x$ વધવાની સાથે ઘટે છે.
$3$. $x > r_B$ માટે: બંને વિદ્યુતભારો $Q_A$ અને $-Q_B$ ક્ષેત્રમાં ફાળો આપે છે. કુલ વિદ્યુતભાર $(Q_A - Q_B)$ છે. કારણ કે $|Q_B| > |Q_A|$,કુલ વિદ્યુતભાર ઋણ છે. તેથી,$E = \frac{k(Q_A - Q_B)}{x^2}$. આ એક ઋણ મૂલ્ય છે જે $x \to \infty$ થતાં શૂન્યની નજીક પહોંચે છે.
આ લાક્ષણિકતાઓને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આલેખ $x < r_A$ માટે $E=0$,$r_A < x < r_B$ માટે ધન $1/x^2$ વક્ર અને $x > r_B$ માટે ઋણ $1/x^2$ વક્ર દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે દરેક અવરોધમાં વ્યય થતી ઉર્જા $H$ છે. અવરોધો ${R_2}$ અને ${R_3}$ સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન છે. તેથી,તેમાં વ્યય થતી ઉર્જા $H = \frac{V^2}{R}t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઉર્જા સમાન રહે તે માટે,${R_2} = {R_3}$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i$ છે. ${R_1}$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ છે. જંકશન પર પ્રવાહ ${i_1}$ અને ${i_2}$ માં વહેંચાય છે. ${R_2} = {R_3}$ હોવાથી,પ્રવાહ સમાન રીતે વહેંચાય છે,તેથી ${i_1} = {i_2} = \frac{i}{2}$.
${R_1}$ માં વ્યય થતી ઉર્જા $H = i^2 {R_1} t$ છે.
${R_2}$ માં વ્યય થતી ઉર્જા $H = i_1^2 {R_2} t = (\frac{i}{2})^2 {R_2} t = \frac{i^2}{4} {R_2} t$ છે.
બધા અવરોધોમાં વ્યય થતી ઉર્જા સમાન હોવાથી,આપણે ${R_1}$ અને ${R_2}$ માં ઉર્જાને સરખાવીએ છીએ:
$i^2 {R_1} t = \frac{i^2}{4} {R_2} t$
${R_1} = \frac{{R_2}}{4}$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B(t) = B_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_0 = 0.01\,T$ અને $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 100 = 200\pi\,rad/s$ છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -A \frac{dB}{dt}$ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = B_0 \sin(\omega t) \cdot \pi r^2$ છે.
તેથી,$\varepsilon = -\pi r^2 \frac{d}{dt}(B_0 \sin(\omega t)) = -\pi r^2 B_0 \omega \cos(\omega t)$ મળે.
રીંગની પરિઘ પર પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ $\oint E \cdot dl = \varepsilon$ દ્વારા મળે છે.
$E(2\pi r) = \pi r^2 \frac{dB}{dt} \implies E = \frac{r}{2} \frac{dB}{dt}$ થાય.
અહીં $\frac{dB}{dt} = B_0 \omega \cos(\omega t)$ હોવાથી,મહત્તમ પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{max} = \frac{r}{2} B_0 \omega$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $E_{max} = \frac{1}{2} \times 0.01 \times 200\pi = \pi \approx 3.14\,V/m$ મળે.
જોકે,પ્રશ્નના સંદર્ભમાં સરેરાશ પ્રેરિત emf ની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\varepsilon_{avg} = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{B_0 A}{T/4} = 4 B_0 A f = 4 \times 0.01 \times \pi(1)^2 \times 100 = 4\pi$ મળે.
તેથી $E = \frac{\varepsilon}{2\pi r} = \frac{4\pi}{2\pi(1)} = 2\,V/m$ મળે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $e.m.f.$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ કોઈલની નજીક આવે છે,ત્યારે કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે,જેનાથી એક ધ્રુવીયતા (દા.ત.,ધન) વાળું $e.m.f.$ પ્રેરિત થાય છે અને ગતિનો વિરોધ કરવા માટે પ્રવાહ એન્ટિક્લોકવાઇઝ દિશામાં વહે છે.
જેમ જેમ ચુંબક કોઈલના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેમ ફ્લક્સમાં થતો ફેરફારનો દર ક્ષણિક રીતે શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી પ્રેરિત $e.m.f.$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
જેમ જેમ ચુંબક દૂર જાય છે,તેમ ફ્લક્સ ઘટે છે,જેનાથી વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા (દા.ત.,ઋણ) વાળું $e.m.f.$ પ્રેરિત થાય છે અને પ્રવાહ ક્લોકવાઇઝ દિશામાં વહે છે.
જ્યારે ચુંબક તેના દોલનના અંતિમ છેડે પહોંચે છે,ત્યારે તે ક્ષણિક રીતે સ્થિર હોય છે,તેથી $e.m.f.$ શૂન્ય હોય છે.
જેમ તે પાછું ફરે છે,આ પ્રક્રિયા ઉલટી રીતે પુનરાવર્તિત થાય છે,જે દોલનના એક સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન $e.m.f.$ માં સપ્રમાણ ફેરફાર બનાવે છે. આના પરિણામે એક વેવફોર્મ મળે છે જે ધન અને ઋણ બંને શિખરો દર્શાવે છે,જે પ્રથમ વિકલ્પમાં દર્શાવેલ છે.

(B) મોઝલેના નિયમ મુજબ,તત્વ દ્વારા ઉત્સર્જિત લાક્ષણિક $X-$કિરણોની આવૃત્તિ $(f)$ તેના પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $f = a(Z - b)^2$,જ્યાં $a$ અને $b$ અચળાંકો છે.
ઉચ્ચ પરમાણુ ક્રમાંક માટે,$b$ ને અવગણી શકાય છે,તેથી $f \propto Z^2$.
આમ,લાક્ષણિક $X-$કિરણોની આવૃત્તિ પરમાણુ ક્રમાંકના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,કુલ ઊર્જા $(E)$,ગતિ ઊર્જા $(K)$,અને સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E = -K$
$U = 2E$
આપેલ છે કે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઊર્જા $E = -13.6 \, eV$ છે.
તેથી,સ્થિતિ ઊર્જા $U = 2 \times (-13.6 \, eV) = -27.2 \, eV$ થાય.

(A) ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનનો ચુંબકીય મોમેન્ટ $(\mu)$ સંબંધ $\mu = \frac{e}{2m} L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,$n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
આ કિંમતને ચુંબકીય મોમેન્ટના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $\mu = \frac{e}{2m} \left( \frac{nh}{2\pi} \right)$.
પદોને ગોઠવતા,$\mu = n \left( \frac{eh}{4\pi m} \right)$.
અહીં $e$,$h$,અને $m$ અચળાંકો હોવાથી,$\frac{eh}{4\pi m}$ પણ એક અચળાંક છે (જે બોહર મેગ્નેટોન $\mu_B = \frac{eh}{4\pi m}$ સાથે સંબંધિત છે).
તેથી,$\mu \propto n$.

(C) સમય $t$ પછી બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા માટેનું સૂત્ર: $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ છે.
અહીં,પ્રારંભિક જથ્થો $N_0$ છે,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 10$ દિવસ છે,અને કુલ સમય $t = 30$ દિવસ છે.
બાકી રહેલા પદાર્થનો અંશ $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{30}{10}}$ છે.
$\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$.
$\frac{N}{N_0} = 0.125$.

(A) અર્ધવાહકમાં,વિદ્યુતભાર વાહકોની મોબિલિટીને એકમ વિદ્યુતક્ષેત્ર દીઠ ડ્રિફ્ટ વેગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન હલકા હોય છે અને કન્ડક્શન બેન્ડમાં ગતિ કરે છે,જ્યારે હોલ એ વેલેન્સ બેન્ડમાં રહેલી ખાલી જગ્યાઓ છે જે ક્રમિક ઇલેક્ટ્રોન કૂદકાની પ્રક્રિયા દ્વારા ગતિ કરે છે.
તેમના ઓછા અસરકારક દળ અને કન્ડક્શન બેન્ડમાં તેમની ગતિના સ્વભાવને કારણે,ઇલેક્ટ્રોન હોલની સરખામણીમાં ઓછા સ્કેટરિંગનો અનુભવ કરે છે અને તેમની મોબિલિટી વધુ હોય છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોનની મોબિલિટી હંમેશા હોલની મોબિલિટી કરતા વધારે હોય છે,એટલે કે $\mu_e > \mu_h$.

(B) આપેલ છે: કરંટ ગેઈન $\beta = 100$,કલેક્ટર કરંટમાં ફેરફાર $\Delta I_c = 1\, mA$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોમન-એમિટર કોન્ફિગરેશનમાં કરંટ ગેઈન $\beta = \frac{\Delta I_c}{\Delta I_b}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,બેઝ કરંટમાં ફેરફાર $\Delta I_b = \frac{\Delta I_c}{\beta} = \frac{1\, mA}{100} = 0.01\, mA$ થશે.
એમિટર,કલેક્ટર અને બેઝ કરંટ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta I_e = \Delta I_c + \Delta I_b$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\Delta I_e = 1\, mA + 0.01\, mA = 1.01\, mA$ મળે છે.
આમ,એમિટર કરંટમાં ફેરફાર $1.01\, mA$ છે.

(B) આપેલ સર્કિટ ઓપરેશનલ એમ્પ્લીફાયર (op-amp) નો ઉપયોગ કરીને બનાવેલ ઇનવર્ટિંગ એમ્પ્લીફાયર છે.
ઇનવર્ટિંગ એમ્પ્લીફાયર માટે,વોલ્ટેજ ગેઇન $A_v$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$A_v = -\frac{R_f}{R_i}$
જ્યાં $R_f$ એ ફીડબેક અવરોધ છે અને $R_i$ એ ઇનપુટ અવરોધ છે.
સર્કિટ ડાયાગ્રામ પરથી,આપણી પાસે છે:
$R_f = 100 \, k\Omega$
$R_i = 1 \, k\Omega$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$A_v = -\frac{100 \, k\Omega}{1 \, k\Omega} = -100$
વોલ્ટેજ ગેઇનનું મૂલ્ય (magnitude) $|A_v| = 100$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(B) એક્સેપ્ટન્સ એંગલ $\theta_a$ એ મહત્તમ ખૂણો છે જે પ્રકાશનું કિરણ ઓપ્ટિકલ ફાઈબરની અક્ષ સાથે બનાવી શકે છે અને તેમ છતાં તે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન દ્વારા કોરમાંથી પસાર થઈ શકે છે.
એર-કોર ઈન્ટરફેસ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ કરતા: $1 \cdot \sin \theta_a = n_1 \cdot \sin \theta_r$,જ્યાં $\theta_r$ એ વક્રીભવન કોણ છે.
કોર-ક્લેડિંગ ઈન્ટરફેસ પર,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $\theta_i$ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ જેટલો અથવા તેનાથી વધુ હોવો જોઈએ,જ્યાં $\sin \theta_c = n_2/n_1$.
કારણ કે $\theta_r + \theta_i = 90^\circ$,તેથી $\sin \theta_r = \cos \theta_i = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_i} = \sqrt{1 - (n_2/n_1)^2} = \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1}$.
આ કિંમતને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $\sin \theta_a = n_1 \cdot \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$.
તેથી,$\theta_a = \sin^{-1}\sqrt{n_1^2 - n_2^2}$.

(A) ટેલિસ્કોપના ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ દ્વારા મળતી મોટવણી એ પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $(I)$ અને વસ્તુની ઊંચાઈ $(O)$ ના ગુણોત્તર જેટલી હોય છે,જે ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_0)$ અને વસ્તુ અંતર $(u_0)$ ના ગુણોત્તર બરાબર પણ હોય છે:
$m = \frac{I}{O} = \frac{f_0}{u_0}$
આપેલ છે:
ઈમારતની ઊંચાઈ $(O)$ = $50 \, m = 5000 \, cm$
ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_0)$ = $200 \, cm$
ઈમારતનું અંતર $(u_0)$ = $2 \, km = 2000 \, m = 200,000 \, cm$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I}{5000} = \frac{200}{200000}$
$I = 5000 \times \frac{200}{200000}$
$I = 5000 \times \frac{1}{1000} = 5 \, cm$
તેથી,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $5 \, cm$ છે.

(B) આભાસી ઊંડાઈ $h'$ અને વાસ્તવિક ઊંડાઈ $h$ વચ્ચેનો સંબંધ $h' = h / \mu$ છે,જ્યાં $\mu = n_2/n_1$ એ હવાના સાપેક્ષમાં પાણીનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે કે આભાસી ઊંડાઈ $x \, cm/min$ ના દરે ઘટી રહી છે,તેથી $\frac{dh'}{dt} = -x$.
$h' = h \cdot (n_1/n_2)$ હોવાથી,સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $\frac{dh'}{dt} = \frac{n_1}{n_2} \frac{dh}{dt}$ મળે.
આપેલ દર મૂકતા: $-x = \frac{n_1}{n_2} \frac{dh}{dt}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dh}{dt} = -x \cdot (n_2/n_1)$. આમ,વાસ્તવિક ઊંડાઈ $x \cdot (n_2/n_1) \, cm/min$ ના દરે ઘટી રહી છે.
નળાકાર ટાંકીમાં પાણીનું કદ $V = \pi R^2 h$ છે.
કદમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = \pi R^2 \frac{dh}{dt}$ છે.
$\frac{dh}{dt}$ નું મૂલ્ય મૂકતા,પ્રતિ મિનિટ બહાર નીકળતા પાણીનું કદ $\frac{dV}{dt} = \pi R^2 \cdot x \cdot (n_2/n_1) = x \pi R^2 (n_2/n_1)$ થાય.

(B) જ્યારે પ્રકાશ પાણી પર રહેલા તેલના પાતળા પડ પર પડે છે,ત્યારે તે તેલના પડની ઉપરની અને નીચેની સપાટી પરથી પરાવર્તન અને વક્રીભવન પામે છે.
પાતળા પડની ઉપરની અને નીચેની સપાટીઓ પરથી પરાવર્તિત થતા પ્રકાશના તરંગો એકબીજા સાથે વ્યતિકરણ પામે છે.
પડની જાડાઈ અને આપાતકોણના આધારે,પ્રકાશની કેટલીક તરંગલંબાઈઓ સહાયક વ્યતિકરણ (તેજસ્વી દેખાય છે) અનુભવે છે,જ્યારે અન્ય વિનાશક વ્યતિકરણ (અંધારું દેખાય છે) અનુભવે છે.
પાતળા પડની બે સપાટીઓ પરથી પરાવર્તિત થતા પ્રકાશના તરંગોના સંપાતપણાની આ ઘટનાને પ્રકાશનું વ્યતિકરણ કહેવામાં આવે છે,જેના પરિણામે તેજસ્વી રંગો જોવા મળે છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ એ $\vec{E} = E_0 \sin(kx - \omega t) \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$E_0$ એ કંપવિસ્તાર છે,$k$ એ તરંગ સંખ્યા છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $t$ એ સમય છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશનું મૂલ્ય $|\vec{E}| = |E_0 \sin(kx - \omega t)|$ છે.
જેમ કે સાઈન વિધેય $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે,તેથી કોઈપણ નિશ્ચિત સ્થાન $x$ પર વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશનું મૂલ્ય સમય સાથે આવર્તનીય રીતે બદલાય છે.

(A) હબલનો નિયમ જણાવે છે કે ગેલેક્સીનો દૂર જવાનો વેગ $(v)$ એ અવલોકનકારથી તેના અંતર $(r)$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $v = H_0 r$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $H_0$ એ હબલ અચળાંક છે.
કારણ કે બિન-સાપેક્ષ ગતિ માટે રેડશિફ્ટ $(Z)$ એ દૂર જવાના વેગ $(v)$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $Z \propto v$ થાય.
આ સંબંધને મૂકતા,આપણને $Z \propto r$ મળે છે.
તેથી,દૂર જતી ગેલેક્સીનું રેડશિફ્ટ પૃથ્વીથી તેના અંતરના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.

(A) સુપરકન્ડક્ટર્સ 'માઈસનર ઇફેક્ટ' (Meissner effect) દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે જ્યારે તેમને તેમના ક્રાંતિક તાપમાન $(T_c)$ થી નીચે ઠંડુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ તેમના આંતરિક ભાગમાંથી ચુંબકીય ક્ષેત્રને બહાર કાઢે છે.
આ કારણે,તેઓ સંપૂર્ણ ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થ તરીકે વર્તે છે.
જ્યારે કોઈ ચુંબકને સુપરકન્ડક્ટરની નજીક મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સુપરકન્ડક્ટર સપાટી પર પ્રવાહો ઉત્પન્ન કરે છે જે ચુંબકના ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે.
આના પરિણામે એક અપાકર્ષી બળ ઉત્પન્ન થાય છે જે ચુંબકને સુપરકન્ડક્ટરની ઉપર તરતું રાખે છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે કારણ કે ચુંબક તરતું રહે છે,અને કારણ પણ સાચું છે કારણ કે સુપરકન્ડક્ટર્સ માઈસનર ઇફેક્ટને કારણે ચુંબક પ્રત્યે અપાકર્ષી બળ દર્શાવે છે.

(C) વિધાન સાચું છે કારણ કે કાચની શીટની સપાટીને ખરબચડી કરવાથી પ્રકાશનું પ્રકીર્ણન (scattering) થાય છે,જે કાચમાંથી સીધા પસાર થતા પ્રકાશના જથ્થાને ઘટાડે છે,જેનાથી તેની પારદર્શકતા ઘટે છે.
કારણ ખોટું છે કારણ કે ખરબચડી સપાટી જરૂરી નથી કે વધુ પ્રકાશનું શોષણ કરે; તેના બદલે,તે આપાત પ્રકાશને વિવિધ દિશાઓમાં વિખેરી નાખે છે (પ્રકીર્ણન કરે છે). પારદર્શકતામાં ઘટાડો મુખ્યત્વે પ્રકીર્ણનને કારણે થાય છે,શોષણમાં વધારાને કારણે નહીં.

(C) વિધાન સાચું છે કારણ કે હીરાનો વક્રીભવનાંક $(n \approx 2.42)$ ખૂબ ઊંચો હોય છે,જેના પરિણામે તેનો ક્રાંતિકોણ $(C \approx 24.4^\circ)$ ખૂબ નાનો હોય છે.
જ્યારે પ્રકાશ હીરામાં પ્રવેશે છે,ત્યારે આ નાના ક્રાંતિકોણને કારણે તે વારંવાર આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે,જેનાથી તે ખૂબ જ તેજસ્વી રીતે ચમકે છે.
કારણ ખોટું છે કારણ કે હીરાનું ચમકવું એ સૂર્યપ્રકાશના શોષણ સાથે સંબંધિત નથી,પરંતુ તે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ ની ઘટનાને કારણે છે.

(C) વિધાન સાચું છે કારણ કે પાણીના ટીપાં દ્વારા પ્રકાશના પ્રકીર્ણનને કારણે વાદળો સફેદ દેખાય છે.
વાદળોમાં પાણીના ટીપાંનું કદ દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા ઘણું મોટું હોય છે.
પ્રકીર્ણનના સિદ્ધાંત મુજબ, જ્યારે પ્રકીર્ણન કરતા કણનું કદ $(a)$ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ કરતા ઘણું મોટું હોય, એટલે કે $a \gg \lambda$, ત્યારે પ્રકીર્ણન તરંગલંબાઇથી સ્વતંત્ર હોય છે.
દ્રશ્ય પ્રકાશની તમામ તરંગલંબાઇઓ સમાન રીતે પ્રકીર્ણન પામે છે, તેથી સંયુક્ત અસર સફેદ પ્રકાશ તરીકે અનુભવાય છે.
વિવર્તન એ એક એવી ઘટના છે જે ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશ તેની તરંગલંબાઇની સરખામણીમાં અવરોધ અથવા છિદ્રનો સામનો કરે છે. વાદળના કણો પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા ઘણા મોટા હોવાથી, તેઓ દ્રશ્ય પ્રકાશનું નોંધપાત્ર વિવર્તન કરતા નથી.
તેથી, કારણ ખોટું છે.

(B) ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિ એ બે દૂરના પદાર્થો વચ્ચેના સૌથી નાના કોણીય અંતરના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેને ટેલિસ્કોપ દ્વારા અલગ પાડી શકાય છે.
ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિનું સૂત્ર છે: $\text{Resolving Power} = \frac{D}{1.22 \lambda}$,જ્યાં $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે અને $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિભેદન શક્તિ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના વ્યાસ $D$ ના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
કારણમાં જણાવેલ છે કે મોટા વ્યાસવાળો ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વધુ પ્રકાશ એકત્રિત કરે છે. આ વિધાન ભૌતિક રીતે સાચું છે,કારણ કે મોટું છિદ્ર (aperture) ટેલિસ્કોપમાં વધુ પ્રકાશને પ્રવેશવા દે છે,જે તેની પ્રકાશ એકત્ર કરવાની ક્ષમતા (પ્રતિબિંબની તેજસ્વીતા) વધારે છે. જોકે,આ વિભેદન શક્તિમાં વધારો થવાનું કારણ નથી. વિભેદન શક્તિ એ વિવર્તનની મર્યાદા (diffraction limit) પર આધાર રાખે છે,પ્રકાશ એકત્ર કરવાની ક્ષમતા પર નહીં.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે,પરંતુ કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) સાપેક્ષવાદના સિદ્ધાંત મુજબ,કણની ઉર્જા $E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફોટોન માટે,સ્થિર દળ $m_0$ એ $0$ છે.
તેથી,$E^2 = (pc)^2$,જેનું સાદું રૂપ $E = pc$ અથવા $p = E/c$ થાય છે.
આ સંબંધ ખાસ કરીને ફોટોનના કણ સ્વભાવ પરથી તારવવામાં આવ્યો છે,જે તેને સ્થિર દળ ન હોવા છતાં વેગમાન ધરાવવાની ક્ષમતા આપે છે.
આમ,વિધાન સાચું છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) ન્યુક્લિયર ફ્યુઝન (સંલયન) માં હલકા ન્યુક્લિયસ જોડાઈને ભારે અને વધુ સ્થાયી ન્યુક્લિયસ બનાવે છે,જે પ્રક્રિયામાં ઉર્જા મુક્ત થાય છે.
${}^{35}Cl$ એ પ્રમાણમાં સ્થાયી,મધ્યમ દળ ધરાવતું ન્યુક્લિયસ છે જેની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા વધારે હોય છે.
તે પહેલેથી જ સ્થાયી હોવાથી,તે ઉર્જા મુક્ત કરવા માટે ફ્યુઝન પ્રક્રિયામાં ભાગ લેતું નથી.
વિધાન સાચું છે કારણ કે ${}^{35}Cl$ નો ઉપયોગ ફ્યુઝન માટે બળતણ તરીકે થઈ શકતો નથી.
કારણ ખોટું છે કારણ કે ${}^{35}Cl$ ની બંધન ઉર્જા વાસ્તવમાં ઘણી વધારે છે,ઓછી નથી,અને આ જ કારણ છે કે તે સ્થાયી છે અને ફ્યુઝન પ્રક્રિયામાં ભાગ લેતું નથી.

(D) $NOT$ ગેટ એ એક ઇન્વર્ટર છે જેને ઇન્વર્ઝન લોજિક કરવા માટે ટ્રાન્ઝિસ્ટર જેવા સક્રિય ઘટકની જરૂર હોય છે. ડાયોડ એ એક નિષ્ક્રિય,એકદિશીય ઉપકરણ છે જે માત્ર એક જ દિશામાં પ્રવાહ વહેવા દે છે અને $NOT$ ગેટ માટે જરૂરી લોજિકલ ઇન્વર્ઝન કરી શકતું નથી.
વધુમાં,ડાયોડ ઇનપુટ અને આઉટપુટ વોલ્ટેજ વચ્ચે $180^o$ નો ફેઝ શિફ્ટ લાવતું નથી. તેથી,વિધાન અને કારણ બંને ખોટા છે.

(A) દ્રવ્યમાન ક્રિયાના નિયમ મુજબ,સેમિકન્ડક્ટર માટે,આપેલ તાપમાને ઇલેક્ટ્રોન $(n_e)$ અને હોલ $(n_h)$ ની સંખ્યા ઘનતાનો ગુણાકાર અચળ રહે છે: $n_e n_h = n_i^2$,જ્યાં $n_i$ એ આંતરિક વાહક સાંદ્રતા છે.
$p-$ પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં,ટ્રાયવેલેન્ટ અશુદ્ધિના પરમાણુઓ ઉમેરવામાં આવે છે,જે હોલની સંખ્યામાં નોંધપાત્ર વધારો કરે છે $(n_h > n_i)$.
કારણ કે ગુણાકાર $n_e n_h$ એ $n_i^2$ જેટલો જ રહેવો જોઈએ,તેથી $n_h$ માં વધારો થવાથી ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(n_e)$ માં ઘટાડો થાય છે,જેથી $n_e = n_i^2 / n_h$ થાય. કારણ કે $n_h > n_i$,તેથી સાબિત થાય છે કે $n_e < n_i$.
આમ,$p-$ પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા સમાન તાપમાને આંતરિક (શુદ્ધ) સેમિકન્ડક્ટર કરતા ઓછી હોય છે.
વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) કોમન એમિટર ટ્રાન્ઝિસ્ટર એમ્પ્લીફાયરમાં,ઇનપુટ પ્રવાહ એ બેઝ પ્રવાહ $(I_B)$ છે અને આઉટપુટ પ્રવાહ એ કલેક્ટર પ્રવાહ $(I_C)$ છે.
કારણ કે પ્રવાહ ગેઇન $\beta = I_C / I_B$ સામાન્ય રીતે $1$ કરતા ઘણો વધારે હોય છે,તેથી $I_C \gg I_B$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે ઇનપુટ પ્રવાહ આઉટપુટ પ્રવાહ કરતા ઘણો ઓછો છે. આમ,વિધાન સાચું છે.
જોકે,કોમન એમિટર ટ્રાન્ઝિસ્ટર એમ્પ્લીફાયરનો ઇનપુટ ઇમ્પિડન્સ ઓછો હોય છે,ઊંચો નહીં.
તેથી,કારણ ખોટું છે.

(D) યુનિવર્સલ ગેટ એ એક એવો લોજિક ગેટ છે જેનો ઉપયોગ અન્ય કોઈપણ પ્રકારના ગેટની જરૂર વગર કોઈપણ અન્ય લોજિક ગેટ અથવા બુલિયન ફંક્શનને અમલમાં મૂકવા માટે થઈ શકે છે.
$NAND$ અને $NOR$ ગેટને યુનિવર્સલ ગેટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં,$NAND$ એ યુનિવર્સલ ગેટ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.