AIIMS 1999 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दो सदिशों $\overrightarrow{P}$ और $\overrightarrow{Q}$ का अदिश गुणनफल $\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{Q} = PQ \cos \theta$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $\theta$ दोनों सदिशों के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{Q} = PQ$ है।
परिभाषा को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $PQ \cos \theta = PQ$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $PQ$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $P, Q \neq 0$),हमें $\cos \theta = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos 0^\circ = 1$ होता है,इसलिए कोण $\theta = 0^\circ$ होगा।

(D) जब किसी पिंड को $u$ प्रारंभिक वेग के साथ ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है,तो गुरुत्वाकर्षण $(g)$ के कारण उसमें निरंतर मंदन होता है।
अधिकतम ऊँचाई पर,उसका वेग $0$ हो जाता है।
जैसे ही वह वापस प्रक्षेपण बिंदु पर गिरता है,समान विस्थापन के लिए गुरुत्वाकर्षण $(g)$ के कारण उसमें निरंतर त्वरण होता है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ ऊपर की यात्रा के लिए $a = -g$ और नीचे की यात्रा के लिए $a = g$ है,प्रारंभिक बिंदु पर अंतिम वेग $v$ का परिमाण प्रारंभिक वेग $u$ के समान होगा,लेकिन दिशा विपरीत होगी।
अतः,प्रक्षेपण बिंदु पर वापस लौटने पर पिंड की चाल $v = u$ होगी।

(D) ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित पिंड के लिए गति का समीकरण $v = u - gt$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ अंतिम वेग है,$u$ प्रारंभिक वेग है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $t$ समय है।
चूंकि $g$ स्थिर है,इसलिए यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जो एक सरल रेखा को दर्शाता है।
अतः,ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित पिंड के लिए वेग-समय ग्राफ $-g$ के बराबर ऋणात्मक ढाल वाली एक सरल रेखा होती है।

(C) समतल सड़क पर वृत्ताकार मोड़ लेने वाले साइकिल चालक के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल साइकिल के टायरों और सड़क के बीच स्थित घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
सुरक्षित मोड़ के लिए शर्त सूत्र द्वारा दी जाती है: $v^2 \leq \mu rg$,जहाँ $v$ गति है,$\mu$ घर्षण गुणांक है,$r$ त्रिज्या है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
न्यूनतम घर्षण गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम उपयोग करते हैं: $\mu = \frac{v^2}{rg}$.
दिया गया है: $v = 4.9 \, m/s$,$r = 4 \, m$,और $g = 9.8 \, m/s^2$.
मान रखने पर: $\mu = \frac{(4.9)^2}{4 \times 9.8} = \frac{24.01}{39.2} = 0.6125$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\mu = 0.61$ प्राप्त होता है।

(C) रैखिक संवेग $(p)$,द्रव्यमान $(m)$ और गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $p = \sqrt{2m(K.E.)}$।
चूंकि दोनों पिंडों के लिए गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ समान है,इसलिए $p \propto \sqrt{m}$ होगा।
अतः,उनके रैखिक संवेग का अनुपात $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ होगा।
दिया गया है कि $m_1 = m$ और $m_2 = 4m$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m}{4m}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,अनुपात $1:2$ है।

(D) किसी पदार्थ की प्रत्यास्थता कई बाहरी और आंतरिक कारकों से प्रभावित होती है:
$1$. तापमान: सामान्यतः,तापमान बढ़ने के साथ अधिकांश पदार्थों की प्रत्यास्थता कम हो जाती है।
$2$. अशुद्धियाँ: अशुद्धियाँ मिलाने से पदार्थ के भीतर के अंतर-परमाणु बल बदल सकते हैं,जिससे इसके प्रत्यास्थ गुण बदल जाते हैं।
$3$. हथौड़े से पीटना और एनीलिंग: ये यांत्रिक और थर्मल उपचार पदार्थ की आंतरिक क्रिस्टलीय संरचना को बदलते हैं। हथौड़े से पीटने पर क्रिस्टल के दाने छोटी इकाइयों में टूट जाते हैं,जबकि एनीलिंग बड़े और अधिक समान दाने बनाने में मदद करती है,जो दोनों ही पदार्थ की प्रत्यास्थता को काफी प्रभावित करते हैं।
अतः,दिए गए सभी कारक पदार्थ की प्रत्यास्थता को प्रभावित करते हैं।

(C) गैस अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(E)$ उसके परम ताप $(T)$ के सीधे आनुपातिक होती है: $E \propto T$.
अतः,अनुपात इस प्रकार है: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
दिया गया है:
$E_1 = 6.21 \times 10^{-21} \, J$
$T_1 = 27^oC = 27 + 273 = 300 \, K$
$T_2 = 227^oC = 227 + 273 = 500 \, K$
मान रखने पर:
$\frac{6.21 \times 10^{-21}}{E_2} = \frac{300}{500} = \frac{3}{5}$.
$E_2$ के लिए हल करने पर:
$E_2 = \frac{6.21 \times 10^{-21} \times 5}{3} = 2.07 \times 5 \times 10^{-21} \, J = 10.35 \times 10^{-21} \, J$.

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय अपने परिवेश से ऊष्मीय रूप से पृथक (insulated) होता है।
परिभाषा के अनुसार,निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,जिसका अर्थ है कि $dQ = 0$।
इसलिए,प्रक्रिया के दौरान निकाय की ऊष्मा सामग्री स्थिर रहती है।

(A) जब किसी वस्तु का तापमान मानव शरीर के तापमान के बराबर होता है,तो वस्तु और शरीर के बीच कोई ऊष्मा स्थानांतरित नहीं होती है।
चूंकि मानव शरीर का तापमान स्थिर होता है,यदि वस्तुएं भी उसी तापमान पर हैं,तो ऊष्मा का कोई शुद्ध प्रवाह नहीं होता है।
इसलिए,लकड़ी का ब्लॉक और धातु का ब्लॉक दोनों न तो ठंडे और न ही गर्म महसूस होते हैं,या वे समान रूप से तटस्थ महसूस होते हैं,जिसे 'समान रूप से ठंडा या गर्म' महसूस करने की स्थिति कहा जाता है।
अतः,सही उत्तर यह है कि उनका तापमान मानव शरीर के तापमान के बराबर है।

(D) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,त्वरण $a$ को $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ साम्यावस्था से विस्थापन है।
साम्यावस्था पर,$x = 0$,इसलिए त्वरण $a = 0$ होता है,जो कि न्यूनतम मान है।
चरम स्थितियों पर,$x = \pm A$ (जहाँ $A$ आयाम है),इसलिए त्वरण $a = \mp \omega^2 A$ होता है,जो कि अधिकतम मान है।
अतः,यह कथन कि साम्यावस्था पर त्वरण अधिकतम होता है,गलत है।
सही विकल्प $D$ है।

(D) सरल आवर्त गति करने वाले कण का अधिकतम त्वरण $(a_{\max})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a_{\max} = A\omega^2$,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय वेग है।
दिया गया है:
कोणीय वेग $\omega = 3.5\, rad/s$
अधिकतम त्वरण $a_{\max} = 7.5\, m/s^2$
आयाम $A$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$A = \frac{a_{\max}}{\omega^2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$A = \frac{7.5}{(3.5)^2} = \frac{7.5}{12.25} \approx 0.61\, m$
अतः,दोलन का आयाम $0.61\, m$ है।

(C) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
सूत्र से स्पष्ट है कि आवर्तकाल $T$ केवल लोलक की लंबाई और गुरुत्वीय त्वरण पर निर्भर करता है।
यह गोलक के द्रव्यमान, पदार्थ या घनत्व पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए, धातु के गोलक को लकड़ी के गोलक से बदलने पर लोलक के आवर्तकाल में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

(A) वस्तु के प्लेटफॉर्म से अलग न होने के लिए,अभिलंब प्रतिक्रिया बल $R$ का मान शून्य या उससे अधिक होना चाहिए। वस्तु के अपने दोलन के उच्चतम बिंदु पर अलग होने की संभावना सबसे अधिक होती है जहाँ त्वरण नीचे की ओर निर्देशित होता है।
$m$ द्रव्यमान की वस्तु के लिए उच्चतम बिंदु पर न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करने पर:
$mg - R = ma\omega^2$
क्रांतिक स्थिति के लिए जहाँ वस्तु अलग होने वाली है,अभिलंब प्रतिक्रिया $R = 0$ होगी।
अतः,$mg = ma\omega^2$
$g = a\omega^2$
$\omega = \sqrt{\frac{g}{a}}$
यहाँ $g = 9.8 \, m/s^2$ और आयाम $a = 3.92 \times 10^{-3} \, m$ दिया गया है:
$\omega = \sqrt{\frac{9.8}{3.92 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{9800}{3.92}} = \sqrt{2500} = 50 \, rad/s$
आवर्तकाल $T$ इस प्रकार है:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2 \times 3.14159}{50} = 0.1256 \, s$
अतः,दोलन का न्यूनतम आवर्तकाल $0.1256 \, s$ है।

(B) $SONAR$ का अर्थ है Sound Navigation and Ranging.
यह ध्वनि तरंगों के परावर्तन के सिद्धांत पर कार्य करता है।
$SONAR$ पानी में अल्ट्रासोनिक तरंगें ($20,000 \ Hz$ से अधिक आवृत्ति वाली ध्वनि तरंगें) उत्सर्जित करता है।
ये तरंगें पानी में यात्रा करती हैं,किसी वस्तु से टकराती हैं और वापस परावर्तित होकर रिसीवर तक पहुँचती हैं,जिससे सिस्टम वस्तु की दूरी और स्थिति का पता लगा पाता है।

(A) एक अप्रगामी तरंग (जिसे स्टैंडिंग वेव भी कहा जाता है) विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो समान तरंगों के अध्यारोपण द्वारा बनती है।
अप्रगामी तरंग में,ऊर्जा नोड्स (nodes) के बीच फंसी रहती है और माध्यम में आगे नहीं बढ़ती है।
हालांकि ऊर्जा विभिन्न बिंदुओं पर गतिज और स्थितिज रूपों के बीच दोलन करती है,लेकिन माध्यम में ऊर्जा का कोई शुद्ध स्थानांतरण नहीं होता है।
इसके विपरीत,प्रगामी तरंगें,अनुप्रस्थ तरंगें और विद्युतचुंबकीय तरंगें सभी ऊर्जा को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने के लिए जानी जाती हैं।
इसलिए,सही उत्तर $A$ है।

(C) एक तनी हुई डोरी के कंपन की आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $n$ आवृत्ति है,$L$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $n \propto \sqrt{T}$ है।
यदि आवृत्ति को दो गुना बढ़ाया जाता है,तो नई आवृत्ति $n' = 2n$ होगी।
इसलिए,$\frac{n'}{n} = \frac{\sqrt{T'}}{\sqrt{T}} = 2$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{T'}{T} = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $T' = 4T$।
अतः,तनाव को मूल तनाव का चार गुना करना होगा।

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक से दूर जा रहा होता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$f' = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$
जहाँ:
$f = 500 \; Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = 330 \; m/s$ (ध्वनि की गति)
$v_s = 50 \; m/s$ (स्रोत की गति)
मान रखने पर:
$f' = 500 \times \left( \frac{330}{330 + 50} \right)$
$f' = 500 \times \left( \frac{330}{380} \right)$
$f' = 500 \times 0.8684$
$f' \approx 434.2 \; Hz$

(A) बरसात के दिन सड़कें गीली हो जाती हैं।
पानी टायरों और सड़क की सतह के बीच एक स्नेहक (lubricant) के रूप में कार्य करता है,जो घर्षण गुणांक $(\mu)$ को काफी कम कर देता है।
चूंकि घर्षण बल $f = \mu N$ होता है (जहाँ $N$ अभिलंब बल है),$\mu$ में कमी आने से उपलब्ध घर्षण बल कम हो जाता है।
यह कम हुआ घर्षण वाहन पर नियंत्रण बनाए रखना कठिन बनाता है,ब्रेकिंग दूरी को बढ़ाता है और तेज गति पर फिसलने की संभावना को बढ़ा देता है।
इसलिए,$Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं और $Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या है।

(A) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके तल के लंबवत और उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र है:
$I = \frac{1}{2} M R^2$
दिया गया है:
द्रव्यमान $(M)$ = $0.4\, kg$
त्रिज्या $(R)$ = $100\, cm = 1\, m$
सूत्र में मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \times 0.4\, kg \times (1\, m)^2$
$I = 0.2 \times 1 = 0.2\, kg\, m^2$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) अभिकथन गलत है क्योंकि तापमान पैमाने में डिग्री का आकार पानी के हिमांक और क्वथनांक के बीच के भागों की संख्या द्वारा निर्धारित होता है।
सेल्सियस पैमाने $(^oC)$ में $100$ भाग होते हैं।
फारेनहाइट पैमाने $(^oF)$ में $180$ भाग होते हैं।
रयूमर पैमाने $(^oR)$ में $80$ भाग होते हैं।
रैंकिन पैमाने $(^oRa)$ में $180$ भाग होते हैं।
चूंकि रैंकिन पैमाने में समान तापमान अंतराल के लिए सबसे अधिक भाग होते हैं,इसलिए इसकी इकाई का आकार फारेनहाइट से छोटा होता है।
इसलिए,यह कथन कि फारेनहाइट सबसे छोटी इकाई है,गलत है।
कारण सही है क्योंकि डैनियल गेब्रियल फारेनहाइट ने $1724$ में पहला मानकीकृत मरकरी-इन-ग्लास थर्मामीटर और फारेनहाइट पैमाना विकसित किया था।

(A) पदार्थ के गतिज सिद्धांत के अनुसार,परम शून्य $(0 \ K)$ से ऊपर के तापमान पर सभी वस्तुएं ऊष्मीय ऊर्जा रखती हैं और विद्युत चुम्बकीय विकिरण उत्सर्जित करती हैं। अतः,कथन सही है।
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) की प्रति इकाई सतह क्षेत्र से प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा उसके परम तापमान की चौथी घात के सीधे समानुपाती होती है,जिसे $E = \sigma T^4$ द्वारा दर्शाया जाता है। यह नियम बताता है कि विकिरण की दर वस्तु के तापमान पर कैसे निर्भर करती है। इसलिए,कारण सही है और यह कथन की सही व्याख्या प्रदान करता है।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का कुल प्रारंभिक संवेग उसके कुल अंतिम संवेग के बराबर होना चाहिए।
निकाय का प्रारंभिक संवेग: $P_i = m \cdot v + 2m \cdot 0 = mv$
टक्कर के बाद,दोनों कण एक साथ चिपक जाते हैं,जिससे कुल द्रव्यमान $(m + 2m) = 3m$ हो जाता है।
मान लीजिए कि संयुक्त द्रव्यमान का अंतिम वेग $v'$ है।
निकाय का अंतिम संवेग: $P_f = (3m) \cdot v'$
प्रारंभिक और अंतिम संवेग की तुलना करने पर: $mv = 3m \cdot v'$
$v'$ के लिए हल करने पर: $v' = \frac{mv}{3m} = \frac{v}{3}$

(C) $CR$ की विमा धारिता $(C)$ और प्रतिरोध $(R)$ के गुणनफल द्वारा दी जाती है।
$C = \frac{Q}{V}$,जहाँ $Q$ आवेश है और $V$ विभवांतर है।
$R = \frac{V}{I}$,जहाँ $I$ विद्युत धारा है।
इसलिए,$CR = \left( \frac{Q}{V} \right) \times \left( \frac{V}{I} \right) = \frac{Q}{I}$.
चूँकि $I = \frac{Q}{t}$,जहाँ $t$ समय है,इसलिए $\frac{Q}{I} = t$.
अतः,$CR$ की विमाएँ समय की विमाओं के समान हैं,जो समय अवधि (time period) को दर्शाती हैं।

(B) आवेश के क्वांटीकरण के अनुसार,कुल आवेश $q$ को $q = ne$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $e$ मूल आवेश है।
दिया गया है,$q = 1 \ C$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
इसलिए,$n = \frac{q}{e} = \frac{1}{1.6 \times 10^{-19}}$.
$n = \frac{1}{1.6} \times 10^{19} = 0.625 \times 10^{19} = 6.25 \times 10^{18}$.
अतः,एक कूलॉम आवेश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $6.25 \times 10^{18}$ है।

(C) जब किसी चालक को बाह्य विद्युत क्षेत्र $E$ में रखा जाता है, तो प्रेरित आवेश $q_{ind}$ को संबंध $q_{ind} = -q(1 - 1/K)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $K$ परावैद्युतांक (dielectric constant) है。
किसी भी आदर्श चालक के लिए, परावैद्युतांक $K$ को अनंत $(\infty)$ माना जाता है。
इसलिए, प्रेरित आवेश $q_{ind} = -q(1 - 1/\infty) = -q(1 - 0) = -q$ होगा。
चूंकि तांबा और एल्युमीनियम दोनों धातुएं (चालक) हैं, इसलिए दोनों का परावैद्युतांक अनंत होता है。
अतः, दोनों चालकों पर प्रेरित आवेश का परिमाण समान होगा。

(B) परिपथ आरेख से,हम देख सकते हैं कि प्रतिरोधक $R_2$ और $R_3$ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
इस समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $(R_p)$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
अतः,$R_p = 2 \,\Omega$।
अब,यह समानांतर संयोजन प्रतिरोधकों $R_1$ और $R_4$ के साथ श्रेणी क्रम में है।
बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच कुल तुल्य प्रतिरोध $(R_{AB})$ है:
$R_{AB} = R_1 + R_p + R_4$
$R_{AB} = 2 + 2 + 2 = 6 \,\Omega$।

(D) दिए गए परिपथ में,टर्मिनल $A$ और $B$ खुले हैं (ओपन सर्किट)।
चूंकि परिपथ में कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही है $(I = 0)$,इसलिए सेल के आंतरिक प्रतिरोध में कोई वोल्टेज ड्रॉप नहीं होता है (आदर्श सेल मानते हुए)।
अतः,खुले टर्मिनलों $A$ और $B$ के बीच विभवांतर सेल के विद्युत वाहक बल $(EMF)$ के बराबर होता है।
इस प्रकार,विभवांतर $20 \ V$ है।

(B) गैल्वेनोमीटर को एमीटर में बदलने के लिए,गैल्वेनोमीटर के साथ समांतर क्रम में एक शंट प्रतिरोध $S$ जोड़ा जाना चाहिए।
दिया गया है:
गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G = 50\,\Omega$
पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा $i_g = 100\,\mu A = 100 \times 10^{-6}\,A = 10^{-4}\,A$
एमीटर की वांछित सीमा $i = 10\,A$
शंट प्रतिरोध का सूत्र $S = \frac{G \cdot i_g}{i - i_g}$ है।
मान रखने पर:
$S = \frac{50 \times 10^{-4}}{10 - 10^{-4}}$
चूंकि $10^{-4}$,$10$ की तुलना में बहुत छोटा है,इसलिए हर को लगभग $10$ माना जा सकता है।
$S \approx \frac{50 \times 10^{-4}}{10} = 5 \times 10^{-4}\,\Omega$.
अतः,$5 \times 10^{-4}\,\Omega$ का प्रतिरोध समांतर क्रम में जोड़ना आवश्यक है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण $(B)$ का $SI$ मात्रक टेस्ला $(T)$ है।
एक टेस्ला वह चुंबकीय क्षेत्र है जो क्षेत्र के लंबवत $1 \ m/s$ के वेग से गतिमान $1 \ C$ के आवेश पर $1 \ N$ का बल लगाता है।

(D) जब कोई आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $\theta$ कोण पर (जहाँ $\theta \neq 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ$) प्रवेश करता है,तो उसके वेग $v$ को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है:
$1$. चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर घटक $v \cos \theta$,जो कण को क्षेत्र की दिशा में एक सीधी रेखा में गति कराता है।
$2$. चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत घटक $v \sin \theta$,जो कण को एक वृत्ताकार पथ पर गति कराता है।
चूंकि कण में समानांतर और लंबवत दोनों वेग घटक होते हैं,इसलिए परिणामी पथ हेलिक्स (कुंडलाकार) होता है। यहाँ $\theta = 45^\circ$ होने के कारण,पथ हेलिक्स होगा।

(A) नति कोण (या चुंबकीय झुकाव) वह कोण है जो पृथ्वी का कुल चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी की सतह के साथ बनाता है।
चुंबकीय ध्रुवों पर,पृथ्वी की चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं पृथ्वी की सतह के लंबवत होती हैं।
इसलिए,ध्रुवों पर नति कोण $90^{\circ}$ होता है।

(B) जब किसी चुंबकीय पदार्थ को गर्म किया जाता है,तो वह अपने चुंबकीय गुणों को खो देता है।
ऐसा इसलिए होता है क्योंकि ऊष्मीय ऊर्जा के कारण परमाण्वीय चुंबक (चुंबकीय द्विध्रुव) यादृच्छिक रूप से व्यवस्थित हो जाते हैं,जिससे वह नेट संरेखण नष्ट हो जाता है जो चुंबकीय क्षेत्र बनाता है।

(B) लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा की दिशा ऐसी होती है कि वह उस कारण का विरोध करती है जो इसे उत्पन्न करता है।
जब चुंबक के उत्तरी ध्रुव को एक धात्विक वलय के पास लाया जाता है,तो वलय से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स में वृद्धि होती है।
चुंबकीय फ्लक्स में इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,वलय चुंबक की ओर वाले फलक पर उत्तरी ध्रुव विकसित करेगा।
उत्तरी ध्रुव ध्रुवता वाला फलक चुंबक की ओर से देखने पर धारा की वामावर्त (Anticlockwise) दिशा के अनुरूप होता है।
अतः,वलय में प्रेरित धारा वामावर्त दिशा में होगी।

(A) ट्रांसफार्मर का रूपांतरण अनुपात (transformation ratio) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p}$.
दिया गया है:
प्राथमिक फेरे $(N_p)$ = $500$
द्वितीयक फेरे $(N_s)$ = $5000$
प्राथमिक वोल्टेज $(V_p)$ = $20\, V$
मान रखने पर:
$\frac{V_s}{20} = \frac{5000}{500}$
$\frac{V_s}{20} = 10$
$V_s = 200\, V$.
एक ट्रांसफार्मर में,आउटपुट वोल्टेज की आवृत्ति इनपुट आवृत्ति के समान रहती है क्योंकि चुंबकीय फ्लक्स इनपुट धारा की दर से ही बदलता है। इसलिए,आवृत्ति $50\, Hz$ ही रहेगी।

(C) एक ट्रांसफॉर्मर में,मुख्य उद्देश्य विद्युत चुंबकीय प्रेरण के माध्यम से वोल्टेज और धारा के स्तर को बदलना है। हालाँकि,प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ की आवृत्ति स्थिर रहती है क्योंकि कोर में चुंबकीय फ्लक्स इनपुट आपूर्ति की आवृत्ति के समान दर पर दोलन करता है। इसलिए,इनपुट पर आवृत्ति आउटपुट पर आवृत्ति के बराबर होती है।

(A) एक चोक कॉइल को उच्च प्रेरकत्व और कम प्रतिरोध रखने के लिए डिज़ाइन किया जाता है।
चूंकि एक प्रेरक (inductor) एक आदर्श गैर-प्रतिरोधक उपकरण है,इसलिए यह एक प्रतिरोधक की तरह ऊष्मा के रूप में शक्ति का उपभोग नहीं करता है।
उच्च प्रेरकत्व $(L)$ और बहुत कम प्रतिरोध $(R)$ वाली कॉइल का उपयोग करके,हम शक्ति हानि $(P = I^2 R)$ को कम करते हुए $AC$ सर्किट में धारा को नियंत्रित कर सकते हैं।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) कैथोड किरणें उच्च गति वाले इलेक्ट्रॉनों से बनी होती हैं। जब ये उच्च-ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन उच्च गलनांक वाली धातु की सतह (जैसे टंगस्टन या मोलिब्डेनम) से टकराते हैं,तो वे धातु के नाभिक के प्रबल विद्युत क्षेत्र के कारण अचानक धीमे हो जाते हैं। इस तीव्र मंदन के कारण उच्च-ऊर्जा वाली विद्युत चुम्बकीय विकिरणों का उत्सर्जन होता है,जिन्हें $X$-किरणें कहा जाता है। यह $X$-रे ट्यूब के संचालन का मूल सिद्धांत है।

(D) बोर के हाइड्रोजन परमाणु मॉडल के अनुसार,$n$ वीं स्थिर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र इस प्रकार है:
$r_n = \frac{\varepsilon_0 n^2 h^2}{\pi Z m e^2}$
इस व्यंजक में,$\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है,$h$ प्लांक नियतांक है,$Z$ परमाणु क्रमांक है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
चूंकि ये सभी पैरामीटर एक दिए गए परमाणु के लिए स्थिर हैं,इसलिए त्रिज्या $r$ मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के वर्ग के सीधे आनुपातिक होती है।
अतः,$r \propto n^2$।

(B) सही उत्तर $(b)$ है। न्यूट्रॉन मंदक एक ऐसा माध्यम है जो तीव्र न्यूट्रॉन की गति को कम करता है,जिससे वे थर्मल न्यूट्रॉन में बदल जाते हैं जो यूरेनियम$-235$ से जुड़ी परमाणु श्रृंखला अभिक्रिया को बनाए रखने में सक्षम होते हैं।
भारी जल $(D_2O)$ परमाणु रिएक्टर में एक प्रभावी न्यूट्रॉन मंदक के रूप में कार्य करता है। यह प्रत्यास्थ टक्करों के माध्यम से तीव्र गति वाले न्यूट्रॉन को धीमा कर देता है,जिससे इन न्यूट्रॉन द्वारा यूरेनियम नाभिक में आगे विखंडन होने की संभावना बढ़ जाती है।
व्याख्या:
विखंडन अभिक्रिया में,न्यूट्रॉन उच्च गतिज ऊर्जा के साथ मुक्त होते हैं। इन तीव्र न्यूट्रॉन के आगे विखंडन का कारण बनने की संभावना कम होती है। भारी जल जैसे मंदक का उपयोग करके,न्यूट्रॉन अपनी गतिज ऊर्जा खो देते हैं और 'थर्मल' या 'धीमे' न्यूट्रॉन बन जाते हैं,जो श्रृंखला अभिक्रिया को बनाए रखने के लिए अधिक कुशल होते हैं।

(D) सूर्य में ऊर्जा मुख्य रूप से नाभिकीय संलयन (Nuclear Fusion) की प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न होती है।
सूर्य के केंद्र में,हाइड्रोजन के नाभिक (प्रोटॉन) संलयन करके हीलियम नाभिक बनाते हैं।
इस प्रक्रिया में अभिकारकों और उत्पादों के बीच द्रव्यमान क्षति (mass defect) के कारण भारी मात्रा में ऊर्जा मुक्त होती है,जिसे आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत $E = \Delta mc^2$ द्वारा वर्णित किया गया है।

(D) $N$-प्रकार के अर्धचालक में,आंतरिक अर्धचालक (जैसे सिलिकॉन या जर्मेनियम) में पंचसंयोजी अशुद्धि परमाणुओं (जैसे फास्फोरस या आर्सेनिक) को मिलाया जाता है।
ये अशुद्धि परमाणु चालन बैंड में अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन प्रदान करते हैं।
इसलिए,$N$-प्रकार के अर्धचालकों में,इलेक्ट्रॉन बहुसंख्यक आवेश वाहक होते हैं,जबकि होल अल्पसंख्यक आवेश वाहक होते हैं।

(B) बूलियन बीजगणित बीजगणित की एक शाखा है जिसमें चरों के मान सत्य मान $true$ और $false$ होते हैं,जिन्हें आमतौर पर क्रमशः $1$ और $0$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यह अनिवार्य रूप से तर्क (Logic) पर आधारित है,क्योंकि यह इन सत्य मानों को संचालित करने के लिए $AND$,$OR$,और $NOT$ जैसे तार्किक कार्यों के साथ काम करता है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) डायोड एक अर्धचालक उपकरण है जो केवल एक दिशा में विद्युत धारा को प्रवाहित होने देता है। इस एकदिशीय गुण के कारण,इसका उपयोग मुख्य रूप से प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ को दिष्ट धारा $(DC)$ में बदलने के लिए दिष्टकारी (Rectifier) के रूप में किया जाता है।

(A) क्रांतिक कोण $C$ को सूत्र $\sin C = \frac{1}{\mu}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ हवा के सापेक्ष माध्यम का अपवर्तनांक है।
चूंकि जल का अपवर्तनांक $\mu_w \approx 1.33$ और कांच का अपवर्तनांक $\mu_g \approx 1.50$ है,इसलिए हमारे पास $\mu_w < \mu_g$ है।
चूंकि $C = \arcsin(\frac{1}{\mu})$,इसलिए छोटा अपवर्तनांक बड़े क्रांतिक कोण का कारण बनता है।
अतः,$C_w > C_g$ है।

(A) रेले के प्रकीर्णन नियम के अनुसार, प्रकीर्णित प्रकाश की तीव्रता $I$ उसकी तरंगदैर्ध्य की चौथी घात के व्युत्क्रमानुपाती होती है, जिसे $I \propto \frac{1}{\lambda^4}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि दृश्य स्पेक्ट्रम में नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{blue})$ सबसे कम होती है, इसलिए वायुमंडलीय कणों द्वारा इसका प्रकीर्णन सबसे अधिक होता है।
इसी कारण आकाश हमें नीला दिखाई देता है।

(D) व्यतिकरण तरंगों का एक सामान्य गुण है। यह तब होता है जब समान आवृत्ति और स्थिर कलांतर वाली दो या दो से अधिक तरंगें एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं। यह घटना सभी प्रकार की तरंगों में देखी जाती है,जिसमें अनुदैर्ध्य यांत्रिक तरंगें (जैसे,ध्वनि तरंगें),अनुप्रस्थ यांत्रिक तरंगें (जैसे,डोरी पर तरंगें),और विद्युत चुम्बकीय तरंगें (जैसे,प्रकाश तरंगें) शामिल हैं। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) पारदर्शी प्लेट डालने के कारण व्यतिकरण पैटर्न में होने वाला विस्थापन सूत्र द्वारा दिया जाता है: $x = \frac{(\mu - 1)tD}{d}$।
यहाँ,$\mu = 1.5$,$t = 2.5 \times 10^{-5} \, m$,$D = 100 \, cm = 1 \, m$,और $d = 0.5 \, mm = 0.5 \times 10^{-3} \, m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x = \frac{(1.5 - 1) \times 2.5 \times 10^{-5} \times 1}{0.5 \times 10^{-3}}$
$x = \frac{0.5 \times 2.5 \times 10^{-5}}{0.5 \times 10^{-3}}$
$x = 2.5 \times 10^{-2} \, m$
$x = 2.5 \, cm$।

(D) जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पतली कांच की प्लेट को किसी एक किरण के पथ में रखा जाता है,तो एक अतिरिक्त पथ अंतर उत्पन्न होता है।
यह पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ द्वारा दिया जाता है।
इस अतिरिक्त पथ अंतर के कारण,पूरा व्यतिकरण पैटर्न $y = \frac{D}{d}(\mu - 1)t$ की दूरी से उस तरफ विस्थापित हो जाता है जिस तरफ कांच की प्लेट रखी गई है।
हालाँकि,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ केवल तरंग दैर्ध्य $\lambda$,स्लिट्स के बीच की दूरी $d$,और पर्दे तक की दूरी $D$ पर निर्भर करती है।
चूंकि ये पैरामीटर अपरिवर्तित रहते हैं,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई स्थिर रहती है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) नाभिकीय विखंडन वह प्रक्रिया है जिसमें एक भारी नाभिक दो हल्के नाभिकों में विभाजित हो जाता है।
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा वक्र के अनुसार,भारी नाभिकों (उच्च द्रव्यमान संख्या $A$) के लिए,जैसे-जैसे द्रव्यमान संख्या बढ़ती है,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा घटती जाती है।
इसका अर्थ है कि मध्यम द्रव्यमान वाले नाभिकों की तुलना में भारी नाभिक कम स्थिर होते हैं।
जब एक भारी नाभिक दो हल्के नाभिकों में विभाजित होता है,तो प्राप्त उत्पादों की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा मूल नाभिक की तुलना में अधिक होती है।
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा में यह वृद्धि ऊर्जा के उत्सर्जन का कारण बनती है,जिससे विखंडन प्रक्रिया संभव हो जाती है।
अतः,सही कारण यह है कि उच्च द्रव्यमान संख्या पर प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा द्रव्यमान संख्या के साथ घटती है।

(B) पदार्थ की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 20 \, min$ है। क्षय नियतांक $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{20}$ है।
मान लीजिए पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा $N_0$ है।
$20\%$ क्षय के लिए,शेष मात्रा $N_1 = N_0 - 0.20 N_0 = 0.80 N_0$ है। इसमें लगा समय $t_1$ है,जहाँ $0.80 N_0 = N_0 e^{-\lambda t_1}$ है।
$80\%$ क्षय के लिए,शेष मात्रा $N_2 = N_0 - 0.80 N_0 = 0.20 N_0$ है। इसमें लगा समय $t_2$ है,जहाँ $0.20 N_0 = N_0 e^{-\lambda t_2}$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{0.80 N_0}{0.20 N_0} = \frac{e^{-\lambda t_1}}{e^{-\lambda t_2}}$
$4 = e^{\lambda(t_2 - t_1)}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln 4 = \lambda(t_2 - t_1)$
$2 \ln 2 = \left( \frac{\ln 2}{20} \right) (t_2 - t_1)$
$2 = \frac{t_2 - t_1}{20}$
$t_2 - t_1 = 40 \, min$.

(D) विद्युत क्षेत्र $E$ की दिशा उच्च विभव से निम्न विभव की ओर होती है।
इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक आवेश $q = -e$ होता है।
विद्युत क्षेत्र में आवेशित कण पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आवेश ऋणात्मक है,इसलिए इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में होता है।
अतः,इलेक्ट्रॉन निम्न विभव से उच्च विभव की ओर गति करते हैं।
इस प्रकार,कथन गलत है और कारण सही है।

(D) प्रिज्म-द्रव इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $c$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
दिए गए चित्र में,किरण $i = 45^o$ के आपतन कोण पर इंटरफ़ेस से टकराती है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,हमें $i \ge c$ की आवश्यकता है,इसलिए $45^o \ge c$,या $\sin 45^o \ge \sin c$।
चूंकि $\sin c = \frac{\mu_{liquid}}{\mu_{prism}}$,और यह मानते हुए कि प्रिज्म कांच का है जिसका अपवर्तनांक $\mu_{prism} \approx 1.5$ है,तो पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्त $\sin 45^o \ge \frac{\mu_{liquid}}{\mu_{prism}}$ है।
हालाँकि,प्रश्न द्रव के उस अधिकतम अपवर्तनांक के बारे में पूछता है जिसके लिए पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है। यह तब होता है जब $c = 45^o$ हो।
संबंध $\sin c = \frac{\mu_{liquid}}{\mu_{prism}}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\mu_{liquid} = \mu_{prism} \sin 45^o = 1.5 \times \frac{1}{\sqrt 2} \approx 1.06$ प्राप्त होता है।
कथन में दिया गया मान $\sqrt 2$ है,जो गलत है क्योंकि यह प्रिज्म के अपवर्तनांक को $2$ मानता है। ऐसे प्रश्नों के मानक संदर्भ को देखते हुए,कथन और कारण दोनों तकनीकी रूप से गलत हैं।

(A) लेंस मेकर का सूत्र $\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_l}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है,जिसे $\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_l - \mu_m}{\mu_m} \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,कारण सही है।
हवा में लेंस के लिए $(\mu_m = 1)$:
$\frac{1}{10} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \implies \frac{1}{10} = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \implies \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{5} \dots (i)$
पानी में लेंस के लिए $(\mu_m = 4/3)$:
$\frac{1}{f'} = \left( \frac{1.5 - 4/3}{4/3} \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
$\frac{1}{f'} = \left( \frac{4.5/3 - 4/3}{4/3} \right) \left( \frac{1}{5} \right) = \left( \frac{0.5/3}{4/3} \right) \left( \frac{1}{5} \right) = \left( \frac{0.5}{4} \right) \left( \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{40}$
अतः,$f' = 40 \, cm$। कथन भी सही है और कारण इसकी सही व्याख्या करता है।

(D) उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा आपतित फोटॉन की आवृत्ति पर निर्भर करती है, न कि तीव्रता पर। तीव्रता केवल प्रति इकाई समय में उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की संख्या निर्धारित करती है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $K_{max} = h\nu - \Phi_0$, जहाँ $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\Phi_0$ कार्य फलन है।
इसके अतिरिक्त, धात्विक सतह से इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन केवल तभी संभव है जब आपतित फोटॉन की आवृत्ति देहली आवृत्ति से अधिक या उसके बराबर हो $(\nu \ge \nu_0)$।
अतः, कथन और कारण दोनों गलत हैं।

(A) धनात्मक किरणों का विशिष्ट आवेश $\frac{e}{m}$ आवेश और द्रव्यमान के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है। सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार,$v$ वेग से गतिमान कण का द्रव्यमान $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m_0$ विराम द्रव्यमान है और $c$ प्रकाश की गति है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ गति $v$ पर निर्भर करता है,इसलिए विशिष्ट आवेश $\frac{e}{m}$ भी गति के साथ बदलता है।
अतः,धनात्मक किरणों का विशिष्ट आवेश स्थिर नहीं होता है क्योंकि आयनों का द्रव्यमान गति के साथ बदलता है।
इस प्रकार,कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण,कथन की सही व्याख्या है।

(D) किसी तत्व के समस्थानिकों में इलेक्ट्रॉनों और प्रोटॉन की संख्या समान होती है, लेकिन न्यूट्रॉन की संख्या में अंतर होता है, जिससे उनके परमाणु द्रव्यमान में अंतर आ जाता है।
परमाणु द्रव्यमान में इस अंतर के कारण, समस्थानिकों को मास स्पेक्ट्रोमीटर का उपयोग करके अलग किया जा सकता है, जो आयनों को उनके द्रव्यमान-से-आवेश अनुपात $(m/q)$ के आधार पर अलग करता है।
चूंकि कथन में दावा किया गया है कि पृथक्करण इलेक्ट्रॉनों की संख्या में अंतर के कारण होता है, इसलिए कथन गलत है।
हालाँकि, कारण यह है कि समस्थानिकों को मास स्पेक्ट्रोमीटर द्वारा अलग किया जा सकता है, जो कि सही है।
इसलिए, सही विकल्प $D$ है।