AIIMS 1997 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા $(U)$ શોધવાનું સૂત્ર $U = mgh$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે:
દળ $(m)$ = $20 \,kg$
ઊંચાઈ $(h)$ = $50 \,cm = 0.5 \,m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ = $9.8 \,m/s^2$
સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $(\Delta U)$ = $mgh$
$\Delta U = 20 \times 9.8 \times 0.5$
$\Delta U = 10 \times 9.8 = 98 \,J$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) પદાર્થનું દળ એટલે તેમાં રહેલા દ્રવ્યનો જથ્થો.
દળ એ પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે બ્રહ્માંડમાં કોઈપણ સ્થાને અચળ રહે છે.
વજનથી વિપરીત,જે ચોક્કસ સ્થાને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ પર આધાર રાખે છે,દળ બદલાતું નથી.
તેથી,જો પૃથ્વી પર પદાર્થનું દળ $M$ હોય,તો ચંદ્ર પર પણ તે $M$ જ રહેશે.

(B) ખેંચાયેલી સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,સ્પ્રિંગમાં તણાવ $T$ અને વિસ્તરણ $x$ વચ્ચેનો સંબંધ $T = kx$ છે.
આના પરથી,આપણે વિસ્તરણને $x = \frac{T}{k}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
હવે,$x$ ની આ કિંમતને ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} k \left( \frac{T}{k} \right)^2$
$U = \frac{1}{2} k \left( \frac{T^2}{k^2} \right)$
$U = \frac{T^2}{2k}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પદાર્થના એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $(u)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \frac{1}{2} \times \text{પ્રતિબળ} \times \text{વિકૃતિ}$
આપણે જાણીએ છીએ કે યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ પ્રતિબળ $(S)$ અને વિકૃતિ $(\epsilon)$ નો ગુણોત્તર છે:
$Y = \frac{S}{\epsilon} \implies \epsilon = \frac{S}{Y}$
વિકૃતિ માટેના આ સૂત્રને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \left( \frac{S}{Y} \right)$
$u = \frac{S^2}{2Y}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ઉષ્મા વિનિમયનું સૂત્ર $Q = m \cdot c \cdot \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ ઉષ્મા છે,$m$ એ દળ છે,$c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે અને $\Delta \theta$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $c = \frac{Q}{m \cdot \Delta \theta}$ મળે છે.
જો વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c$ અનંત $(c = \infty)$ હોય,તો છેદ $m \cdot \Delta \theta$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
દળ $m$ શૂન્ય હોઈ શકતું નથી,તેથી તેનો અર્થ એ છે કે $\Delta \theta = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે પદાર્થ દ્વારા ઉષ્માનું શોષણ થાય કે મુક્તિ થાય,તાપમાનમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,જે અવસ્થા પરિવર્તનની પ્રક્રિયાની લાક્ષણિકતા છે.

(A) સેલ્સિયસ $(C)$ અને ફેરનહીટ $(F)$ માં તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{C}{100} = \frac{F - 32}{180}$.
આને $F$ ને $C$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $F = \frac{9}{5}C + 32$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = F$ અને $x = C$ છે:
અહીં,ઢાળ $m = \frac{9}{5}$ (જે ધન છે) અને $Y-$અંતઃખંડ $c = 32$ (જે ધન છે).
$Y-$અંતઃખંડ ધન હોવાથી,રેખા $Y-$અક્ષને ઉગમબિંદુની ઉપરના બિંદુએ છેદે છે. આમ,આલેખ $Y-$અક્ષ પર ધન અંતઃખંડ ધરાવે છે.

(A) જ્યારે $m$ દળનો અણુ $V$ વેગ સાથે પાત્રની દીવાલ સાથે સ્થિતિસ્થાપક રીતે અથડાય છે,ત્યારે તે વિરુદ્ધ દિશામાં તેટલી જ ઝડપ સાથે પાછો ફરે છે.
અણુનું પ્રારંભિક વેગમાન,$p_i = mV$.
અણુનું અંતિમ વેગમાન,$p_f = -mV$.
રેખીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર,$\Delta p = p_f - p_i = -mV - (mV) = -2mV$.
પ્રશ્નમાં રેખીય વેગમાનના ફેરફારનું મૂલ્ય પૂછવામાં આવ્યું હોવાથી,ફેરફાર $2mV$ છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થમાંથી ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર $P$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ (કેલ્વિનમાં) ના ચતુર્થ ઘાત ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$P \propto T^4$
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 7^oC = 7 + 273 = 280 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 287^oC = 287 + 273 = 560 \ K$.
ઉર્જા ઉત્સર્જનના દરોનો ગુણોત્તર:
$\frac{P_2}{P_1} = (\frac{T_2}{T_1})^4$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P_2}{P_1} = (\frac{560}{280})^4 = (2)^4 = 16$.
આમ,ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર $16$ ગણો વધશે.

(C) પ્રથમ તરંગનું સમીકરણ ${y_1} = 10\sin \left( {3\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$ છે. આ તરંગનો કંપવિસ્તાર $A_1 = 10$ છે.
બીજા તરંગનું સમીકરણ ${y_2} = 5(\sin 3\pi t + \sqrt 3 \cos 3\pi t)$ છે.
આપણે તેને $2$ વડે ગુણીને અને ભાગીને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
${y_2} = 5 \times 2 \left( \frac{1}{2} \sin 3\pi t + \frac{\sqrt 3}{2} \cos 3\pi t \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ અને $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt 3}{2}$ છે:
${y_2} = 10 \left( \sin 3\pi t \cos \frac{\pi}{3} + \cos 3\pi t \sin \frac{\pi}{3} \right) = 10 \sin \left( 3\pi t + \frac{\pi}{3} \right)$.
બીજા તરંગનો કંપવિસ્તાર $A_2 = 10$ છે.
તેમના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{10}{10} = 1:1$ છે.

(B) ટોર્ક $\tau$ એ કોણીય વેગમાન $L$ ના સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર: $\tau = \frac{dL}{dt} = \frac{\Delta L}{\Delta t}$ છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = 1\,J\cdot s$
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = 5\,J\cdot s$
સમયગાળો $\Delta t = 5\,s$
કોણીય વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta L = L_f - L_i = 5\,J\cdot s - 1\,J\cdot s = 4\,J\cdot s$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\tau = \frac{4\,J\cdot s}{5\,s} = 0.8\,N\cdot m$.
આમ,ટોર્ક $0.8\,N\cdot m$ છે,જે $\frac{4}{5}\,N\cdot m$ ની બરાબર છે.

(B) કણોના તંત્રની જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ ને $I = \sum m_i r_i^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ $m_i$ દળ ધરાવતા $i$-માં કણનું પરિભ્રમણની અક્ષથી લંબ અંતર છે.
આ વ્યાખ્યા પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $I$ એ પરિભ્રમણની અક્ષના સંદર્ભમાં દળના વિતરણ અને અક્ષના સ્થાન/દિશા પર આધાર રાખે છે. તેથી,$Assertion$ સાચું છે.
જડત્વની આઘૂર્ણને રેખીય ગતિમાં દળના સમકક્ષ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જેમ દળ રેખીય ગતિમાં પદાર્થની જડત્વ દર્શાવે છે (રેખીય વેગમાં ફેરફાર સામે અવરોધ),તેમ જડત્વની આઘૂર્ણ એ પદાર્થની ચાકગતિની જડત્વ દર્શાવે છે (કોણીય વેગમાં ફેરફાર સામે અવરોધ). તેથી,$Reason$ પણ સાચું છે.
જોકે,$Reason$ એ સમજાવે છે કે જડત્વની આઘૂર્ણ શું દર્શાવે છે (ચાકગતિની જડત્વ),પરંતુ તે એ સમજાવતું નથી કે તે પરિભ્રમણની અક્ષ અને દળના વિતરણ પર શા માટે આધાર રાખે છે. તેથી,$Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી નથી. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) મોટા ટીપાનું કદ એ $729$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે.
ધારો કે $V_{big}$ એ મોટા ટીપાનું કદ છે અને $V_{small}$ એ એક નાના ટીપાનું કદ છે.
$V_{big} = 729 \times V_{small}$
ગોળાના કદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{4}{3}\pi R^3 = 729 \times \frac{4}{3}\pi r^3$.
બંને બાજુથી $\frac{4}{3}\pi$ દૂર કરતા,આપણને $R^3 = 729 \times r^3$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$R = \sqrt[3]{729} \times r$.
કારણ કે $9^3 = 729$,તેથી $R = 9r$.
આમ,દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r = \frac{R}{9}$ થશે.

(C) સમાન જાડાઈ $d$ અને ઉષ્મીય વાહકતા $K_1$ તથા $K_2$ ધરાવતી બે પ્લેટો શ્રેણીમાં જોડાયેલ હોય,ત્યારે કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2$ થાય.
$R = \frac{d}{KA}$ હોવાથી,$\frac{2d}{K_{eq}A} = \frac{d}{K_1A} + \frac{d}{K_2A}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $K_{eq} = \frac{2K_1K_2}{K_1 + K_2}$.
આ $K_1$ અને $K_2$ નો હાર્મોનિક મધ્યક છે. બે સંખ્યાઓનો હાર્મોનિક મધ્યક હંમેશા મોટી સંખ્યા કરતા નાનો અને નાની સંખ્યા કરતા મોટો હોય છે. એટલે કે $K_{min} < K_{eq} < K_{max}$.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $K_1 = 10$ અને $K_2 = 2$ હોય,તો $K_{eq} = \frac{2(10)(2)}{10+2} = \frac{40}{12} \approx 3.33$.
અહીં $3.33 > 2$ (નાનું મૂલ્ય). તેથી,વિધાન ખોટું છે.

(D) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $\Delta Q = \Delta U + P\Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઊર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાન $T$ નું વિધેય છે $(U = f(T))$.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી $\Delta T = 0$.
આમ,$\Delta U = nC_v\Delta T$ હોવાથી,સમતાપી પ્રક્રિયા માટે $\Delta U = 0$ થાય છે.
પ્રથમ નિયમમાં આ કિંમત મૂકતા: $\Delta Q = 0 + P\Delta V$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta Q = P\Delta V$.
તેથી,આપવામાં આવેલી ઉષ્મા તંત્ર દ્વારા થતા કાર્યમાં રૂપાંતરિત થાય છે,આંતરિક ઊર્જામાં નહીં.
આમ,વિધાન ખોટું છે અને કારણ એ ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમનું સાચું વિધાન છે.

(A) કુલંબના નિયમ મુજબ,શૂન્યાવકાશ અથવા હવામાં બે વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતું બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ છે.
જ્યારે આ વિદ્યુતભારોને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે બળ $F_m = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ થાય છે.
તેથી,માધ્યમમાં લાગતું બળ અને હવામાં લાગતા બળ વચ્ચેનો સંબંધ $F_m = \frac{F}{K}$ છે.
અહીં $K = 2$ આપેલ હોવાથી,નવું બળ $F_m = \frac{F}{2}$ થશે.

(C) $Q$ બિંદુવત વિદ્યુતભારથી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $q$ વિદ્યુતભારને $Q$ ની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે વર્તુળાકાર માર્ગ પરનું દરેક બિંદુ $Q$ થી સમાન અંતર $r$ પર હોય છે.
તેથી,આખો વર્તુળાકાર માર્ગ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ તરીકે વર્તે છે.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર બે બિંદુઓ વચ્ચે $q$ વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q(V_f - V_i)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $V_f = V_i$ હોવાથી,કરવામાં આવતું કાર્ય $W = 0$ થાય છે.

(C) ધારો કે ગોળાની સમાન વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho = \frac{3Q}{4\pi R^3}$ છે અને $E$ એ ગોળાના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર છે,જ્યાં $x < R$ છે.
$x$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગૌસિયન સપાટી માટે ગૌસનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$E \cdot 4\pi x^2 = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0} = \frac{\rho V'}{\varepsilon_0} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \cdot \frac{4}{3}\pi x^3$
અહીં,$V' = \frac{4}{3}\pi x^3$ એ $x$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનું કદ છે.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$E = \frac{\rho}{3\varepsilon_0} x$
અહીં $\rho$,$3$,અને $\varepsilon_0$ અચળાંકો હોવાથી,$E \propto x$ મળે છે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(D) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ છે.
આમ,$R = \rho \frac{L}{\pi d^2 / 4} = \frac{4 \rho L}{\pi d^2}$ થાય.
જ્યારે તારને ખેંચીને તેનો વ્યાસ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ $V = A \times L$ અચળ રહે છે.
કારણ કે $V = (\pi d^2 / 4) \times L$ અચળ છે,તેથી $L \propto \frac{1}{d^2}$ થાય.
આને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $R \propto \frac{L}{d^2} \propto \frac{1/d^2}{d^2} = \frac{1}{d^4}$ મળે.
જો વ્યાસ અડધો કરવામાં આવે $(d' = d/2)$,તો નવો અવરોધ $R'$ નીચે મુજબ થશે:
$R' = R \times (d/d')^4 = R \times (d / (d/2))^4 = R \times (2)^4 = 16R$.
તેથી,અવરોધ મૂળ મૂલ્ય કરતા $16$ ગણો થશે.

(B) પ્રેરિત $e.m.f.$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = -N \frac{d\phi}{dt} = -N \frac{\phi_2 - \phi_1}{\Delta t}$.
અહીં,$\phi = BA \cos \theta$. શરૂઆતમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલને લંબ છે,તેથી $\theta_1 = 0^o$. $180^o$ પરિભ્રમણ કર્યા પછી,ખૂણો $\theta_2 = 180^o$ થાય છે.
આપેલ છે: $N = 200$,$A = 70 \ cm^2 = 70 \times 10^{-4} \ m^2$,$B = 0.3 \ Wb/m^2$,$\Delta t = 0.1 \ s$.
$e = -N \frac{BA(\cos 180^o - \cos 0^o)}{\Delta t}$
$e = -200 \times \frac{0.3 \times 70 \times 10^{-4} \times (-1 - 1)}{0.1}$
$e = -200 \times \frac{0.3 \times 70 \times 10^{-4} \times (-2)}{0.1}$
$e = 200 \times 0.3 \times 70 \times 10^{-4} \times 20 = 8.4 \ V$.

(A) સેલ્ફ-ઇન્ડક્શનને કારણે કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું $e.m.f.$ $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = -L \frac{di}{dt}$.
અહીં,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 5 \, H$ છે.
પ્રવાહમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{di}{dt} = -2 \, A/s$ છે (કારણ કે પ્રવાહ ઘટી રહ્યો છે).
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = -5 \times (-2) = 10 \, V$.
તેથી,કોઈલની આજુબાજુ ઉત્પન્ન થતું $e.m.f.$ $10 \, V$ છે.

(B) શુદ્ધ કેપેસિટિવ સર્કિટ માટે,લાગુ પાડવામાં આવેલ ઓલ્ટરનેટિંગ e.m.f. $e = e_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટરમાં,પ્રવાહ $i$ એ વોલ્ટેજ $e$ કરતા $\pi / 2$ ના ફેઝ એંગલથી આગળ હોય છે.
તેથી,પ્રવાહ માટેનું સમીકરણ $i = i_0 \sin(\omega t + \pi / 2)$ છે.
આ દર્શાવે છે કે પ્રવાહ e.m.f. કરતા $\pi / 2$ જેટલો આગળ છે.

(D) $X$-રે ટ્યુબમાં ઉત્પન્ન થતા $X$-કિરણોની લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ (કટ-ઓફ તરંગલંબાઈ) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
${\lambda _{\min }} = \frac{{hc}}{{eV}}$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે અને $V$ એ પ્રવેગક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
સંબંધ ${\lambda _{\min }} \propto \frac{1}{V}$ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ એ લાગુ પાડેલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જ્યારે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ ${\lambda _{\min }}$ ઘટે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની $n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = r_0 n^2 / Z$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે,તેથી સમીકરણ $r_n = r_0 n^2$ બને છે.
ત્રીજી કક્ષા માટે,આપણે સૂત્રમાં $n = 3$ મૂકીએ છીએ.
તેથી,ત્રીજી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_3 = r_0 \times (3)^2 = 9r_0$ થશે.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે.
નિશ્ચિત સંક્રમણ ($n_i = 4$ થી $n_f = 2$) માટે,તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$.
હાઇડ્રોજન $(H)$ માટે,$Z = 1$,તેથી $\lambda_H = 20.397 \, cm$.
હિલિયમ આયન $(He^+)$ માટે,$Z = 2$,તેથી $\lambda_{He^+} = \frac{\lambda_H}{Z^2} = \frac{20.397}{2^2} = \frac{20.397}{4} = 5.099 \, cm$.

(C) ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયોનની સંખ્યા અને પ્રતિ ન્યુક્લિયોન બંધન ઉર્જાના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
પ્રક્રિયક માટે,બે ડ્યુટેરોન $(1^2H)$ સામેલ છે. દરેક ડ્યુટેરોનમાં $2$ ન્યુક્લિયોન હોય છે.
બે ડ્યુટેરોનની કુલ બંધન ઉર્જા $= 2 \times (2 \times 1.112 \, MeV) = 4 \times 1.112 \, MeV = 4.448 \, MeV$.
નીપજ માટે,એક $\alpha$-કણ $(2^4He)$ બને છે. તેમાં $4$ ન્યુક્લિયોન હોય છે.
એક $\alpha$-કણની કુલ બંધન ઉર્જા $= 4 \times 7.047 \, MeV = 28.188 \, MeV$.
સંલયન પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા $Q$ એ નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે.
$Q = 28.188 \, MeV - 4.448 \, MeV = 23.74 \, MeV$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $Q \approx 23.8 \, MeV$ છે.

(D) પરમાણુ પ્રતિક્રિયાઓમાં,કુલ ઉર્જા (દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતા સહિત),રેખીય વેગમાન,કોણીય વેગમાન અને વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થાય છે. દળ-ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સિસ્ટમની કુલ દળ-ઉર્જા અચળ રહે છે. સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,કુલ રેખીય વેગમાન પણ સંરક્ષિત રહે છે. તેથી,દળ (દળ-ઉર્જાના સંદર્ભમાં),ઉર્જા અને વેગમાન ત્રણેયનું સંરક્ષણ થાય છે.

(C) ઇન્ટ્રિન્સિક (શુદ્ધ) અર્ધવાહક એ એક શુદ્ધ અર્ધવાહક પદાર્થ છે જેમાં વિદ્યુત વાહકતા સંપૂર્ણપણે વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઇલેક્ટ્રોનના થર્મલ ઉત્તેજનાને કારણે હોય છે,જેમાં સહસંયોજક બંધોનું તૂટવું સામેલ છે.
તેનાથી વિપરીત,એક્સટ્રિન્સિક (અશુદ્ધ) અર્ધવાહક એવો અર્ધવાહક છે જેમાં વાહકતા વધારવા માટે અશુદ્ધિઓ ઉમેરવામાં આવે છે,એટલે કે તેની વાહકતા સહસંયોજક બંધો તૂટવા અને અશુદ્ધિ પરમાણુઓ દ્વારા દાખલ કરાયેલા વધારાના ચાર્જ કેરિયર્સ બંનેને કારણે હોય છે.
તેથી,જ્યારે વાહકતા શુદ્ધ પદાર્થમાં સહસંયોજક બંધો તૂટવાને કારણે હોય,ત્યારે તેને ઇન્ટ્રિન્સિક અર્ધવાહક તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(A) $P-$ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટરમાં,ડોપિંગ ટ્રાયવેલેન્ટ અશુદ્ધિઓનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે,જે હોલ્સની અધિકતા પેદા કરે છે.
હોલ્સ એ મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ હોવાથી,$P-$ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ મુખ્યત્વે હોલ્સ દ્વારા વહન પામે છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) પ્લેટ અવરોધ $({r_p})$ ને પ્લેટ વોલ્ટેજમાં થતા ફેરફાર $(\delta V)$ અને પ્લેટ કરંટમાં થતા ફેરફાર $(\delta I)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $r_p = \frac{\delta V}{\delta I}$ છે.
સેચ્યુરેશન પોઈન્ટ પર,કરંટ તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે અને વોલ્ટેજમાં વધારો કરવા છતાં તેમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,એટલે કે કરંટમાં થતો ફેરફાર $\delta I = 0$ થાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $r_p = \frac{\delta V}{0} = \infty$ મળે છે.
તેથી,સેચ્યુરેશન સમયે પ્લેટ અવરોધ અનંત હોય છે.

(C) જ્યારે બે સમતલ અરીસાઓ $\theta$ ખૂણે નમેલા હોય ત્યારે રચાતા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n$ શોધવાનું સૂત્ર $n = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$ છે,જો $\frac{360^{\circ}}{\theta}$ એ બેકી સંખ્યા હોય.
અહીં $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{360^{\circ}}{60^{\circ}} = 6$ મળે છે.
$6$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n = 6 - 1 = 5$ થશે.

(C) વ્યતિકરણમાં પરિણામી તરંગની તીવ્રતા $I_{res} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ તીવ્રતા માટે, $\cos \phi = 1$, તેથી $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે, તેથી $I_{max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા માટે, $\cos \phi = -1$, તેથી $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
આમ, $I_{min} = (\sqrt{I} - \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} - 2\sqrt{I})^2 = (-\sqrt{I})^2 = I$.
તેથી, મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા અનુક્રમે $9I$ અને $I$ છે.

(C) પ્રકાશ માટે ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે પ્રકાશનો સ્ત્રોત અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ વધે છે,જે તરંગલંબાઇમાં ઘટાડો સૂચવે છે.
દ્રશ્ય વર્ણપટમાં ટૂંકી તરંગલંબાઇ (ઊંચી આવૃત્તિ) તરફના આ સ્થાનાંતરને 'બ્લુ શિફ્ટ' (વાદળી સ્થાનાંતર) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી,વર્ણપટ રેખાઓ વર્ણપટના વાદળી છેડા તરફ ખસે છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે કે નવું અંતર $d' = \frac{d}{2}$ અને નવો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K' = 3K$ છે.
નવું કેપેસીટન્સ $C'$ એ $C' = \frac{(3K) \epsilon_0 A}{(d/2)} = 6 \left( \frac{K \epsilon_0 A}{d} \right) = 6C$ થાય છે.
આમ,વિધાન સાચું છે.
કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ પ્લેટો વચ્ચે રાખેલા પદાર્થના ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $(K)$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,કારણ ખોટું છે.

(C) સાયક્લોટ્રોન એ એક કણ પ્રવેગક છે જેનો ઉપયોગ ધન આયનો જેવા વીજભારિત કણોને ઉચ્ચ ઉર્જા સુધી પ્રવેગિત કરવા માટે થાય છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{Bq}{2 \pi m}$
જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$q$ એ વીજભાર છે,અને $m$ એ કણનું દળ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ માત્ર ચુંબકીય ક્ષેત્ર,વીજભાર અને કણના દળ પર આધાર રાખે છે. તે વેગ $v$ અને કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,કારણ ખોટું છે.

(A) લીલું ફૂલ ફક્ત લીલા પ્રકાશનું પરાવર્તન કરે છે અને અન્ય તમામ તરંગલંબાઇના પ્રકાશનું શોષણ કરે છે.
લાલ કાચ એક ફિલ્ટર તરીકે કાર્ય કરે છે જે ફક્ત લાલ પ્રકાશનું પ્રસરણ કરે છે અને અન્ય તમામ રંગોનું શોષણ અથવા પરાવર્તન કરે છે.
જ્યારે પ્રકાશ લાલ કાચમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે ફક્ત લાલ પ્રકાશ જ લીલા ફૂલ સુધી પહોંચે છે.
કારણ કે લીલું ફૂલ લાલ પ્રકાશનું શોષણ કરે છે અને ફક્ત લીલા પ્રકાશનું પરાવર્તન કરે છે (જે આપાત પ્રકાશમાં ગેરહાજર છે),તેથી તે નિરીક્ષકની આંખ સુધી લગભગ કોઈ પ્રકાશનું પરાવર્તન કરતું નથી.
તેથી,લાલ કાચ દ્વારા જોતી વખતે ફૂલ ઘેરા અથવા કાળા રંગનું દેખાય છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) લીલું ફૂલ દ્રશ્ય વર્ણપટના લીલા વિસ્તારમાં પ્રકાશનું પરાવર્તન કરે છે અને અન્ય તરંગલંબાઇઓને શોષી લે છે.
જ્યારે આ પરાવર્તિત લીલો પ્રકાશ લાલ કાચ પર આપાત થાય છે,ત્યારે લાલ કાચ એક ફિલ્ટર તરીકે કાર્ય કરે છે જે ફક્ત લાલ પ્રકાશનું જ પ્રસારણ કરે છે અને લીલા સહિતની અન્ય તમામ તરંગલંબાઇઓને શોષી લે છે.
કારણ કે લીલો પ્રકાશ લાલ કાચ દ્વારા શોષાઈ જાય છે,તેથી ફૂલમાંથી કોઈ પ્રકાશ અવલોકનકારની આંખ સુધી પહોંચતો નથી.
તેથી,લાલ કાચ દ્વારા જોતી વખતે ફૂલ ઘેરું દેખાય છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ધાતુની ફોટોસેન્સિટિવિટી એટલે જ્યારે તેના પર યોગ્ય આવૃત્તિનો પ્રકાશ આપાત થાય ત્યારે તેમાંથી ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત કરવાની તેની ક્ષમતા। જે ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $(\Phi_0)$ ઓછું હોય, તેને ઈલેક્ટ્રોન બહાર કાઢવા માટે ઓછી ઉર્જાની જરૂર પડે છે, તેથી તે વધુ ફોટોસેન્સિટિવ બને છે। આમ, વિધાન સાચું છે.
વર્ક ફંક્શનને $\Phi_0 = hf_0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $f_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે। આ ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર માટેનો પ્રમાણિત ભૌતિક સંબંધ છે। તેથી, કારણ પણ સાચું છે.
વર્ક ફંક્શન એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(f_0)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવાથી, અને ઓછી $f_0$ (તેથી ઓછું $\Phi_0$) ઈલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવાનું સરળ બનાવે છે, તેથી કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે। તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે।

(B) વ્યાખ્યા મુજબ,આઈસોબાર એવા તત્વોના પરમાણુઓ છે જેનો દળ ક્રમાંક $(A)$ સમાન હોય છે પરંતુ પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ અલગ હોય છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે.
પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન ખરેખર ન્યુક્લિયસની અંદર હાજર હોય છે,જે ન્યુક્લિયર બંધારણના સંદર્ભમાં એક સાચું વિધાન છે.
જો કે,ન્યુક્લિયસમાં પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન હોય છે તે હકીકત એ સમજાવતી નથી કે અમુક પરમાણુઓ આઈસોબાર કેમ છે.
આમ,કારણ એ સાચું વિધાન છે પરંતુ તે વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.