AIEEE 2004 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) सूर्य द्वारा उत्सर्जित कुल शक्ति (प्रति इकाई समय में विकिरण ऊर्जा) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $P = \sigma A T^4 = \sigma (4 \pi R^2) T^4$.
चूंकि पृथ्वी और सूर्य के बीच की दूरी स्थिर रहती है,इसलिए पृथ्वी पर प्राप्त विकिरण ऊर्जा सूर्य द्वारा उत्सर्जित शक्ति के सीधे आनुपातिक होती है: $Q \propto R^2 T^4$.
मान लीजिए प्रारंभिक ऊर्जा $Q_1 = k R^2 T^4$ है।
परिवर्तनों के बाद,नई त्रिज्या $R' = 2R$ और नया तापमान $T' = 2T$ है।
नई विकिरण ऊर्जा $Q_2 = k (R')^2 (T')^4$ होगी।
नए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $Q_2 = k (2R)^2 (2T)^4 = k (4R^2) (16T^4) = 64 (k R^2 T^4)$.
अतः,अनुपात $Q_2 / Q_1 = 64$ होगा।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में व्यतिकरण उच्चिष्ठ के लिए शर्त $\Delta x = d \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
दिया गया है कि स्लिट पृथक्करण $d = 2 \lambda$ है,इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \lambda \sin \theta = n \lambda$
$2 \sin \theta = n$
$\sin \theta = \frac{n}{2}$
चूंकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $-1 \le \frac{n}{2} \le 1$,जिसका अर्थ है $-2 \le n \le 2$।
$n$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $-2, -1, 0, 1, 2$ हैं।
इन मानों की गणना करने पर,हमें कुल $5$ व्यतिकरण उच्चिष्ठ प्राप्त होते हैं।

(A) मानक सेल विभव $(E_{cell}^{0})$ और साम्य स्थिरांक $(K)$ के बीच संबंध $25 \ ^oC$ $(298 \ K)$ पर नर्नस्ट समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$E_{cell}^{0} = \frac{0.0591}{n} \log K$
दिया गया है:
$E_{cell}^{0} = 0.591 \ V$
$n = 1$ (एक इलेक्ट्रॉन का परिवर्तन)
मान रखने पर:
$0.591 = \frac{0.0591}{1} \log K$
$\log K = \frac{0.591}{0.0591} = 10$
$K = 10^{10}$

(A) $4f$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 4$ है।
$f$ उपकोश के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 3$ है।
चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ का मान $-l$ से $+l$ तक हो सकता है,अर्थात $-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3$।
चक्रण क्वांटम संख्या $s$ का मान $+\frac{1}{2}$ या $-\frac{1}{2}$ हो सकता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $A$: $n = 4, l = 3, m = +1, s = +\frac{1}{2}$ सही है क्योंकि $m = +1$ का मान $[-3, +3]$ की सीमा के भीतर है।

(B) एल्युमिनियम क्लोराइड $(Al_2Cl_6)$ एक सहसंयोजक यौगिक है जो लुईस अम्ल के रूप में कार्य करता है।
जब यह पानी में घुलता है,तो यह अष्टफलकीय हेक्साएक्वाएल्युमिनियम$(III)$ आयन बनाने के लिए जलयोजन (hydration) से गुजरता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$Al_2Cl_6 + 12H_2O \rightarrow 2[Al(H_2O)_6]^{3+} + 6Cl^-$.
अतः,जलीय विलयन में मौजूद प्रजातियां $[Al(H_2O)_6]^{3+}$ और $Cl^-$ आयन हैं।

(B) $AlCl_3$ प्रकृति में सहसंयोजक है,लेकिन जब इसे पानी में घोला जाता है,तो $Al^{3+}$ आयन की उच्च जलयोजन ऊर्जा के कारण यह एक आयनिक संकुल बनाता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$AlCl_3 + 6H_2O \rightarrow [Al(H_2O)_6]^{3+} + 3Cl^{-}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माध्य $\bar{x}$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $\bar{x} = \frac{n(a) + n(-a)}{2n} = \frac{0}{2n} = 0$.
प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum x_i^2 - \bar{x}^2$ है।
यहाँ,$N = 2n$,$\sum x_i^2 = n(a^2) + n(-a)^2 = 2na^2$,और $\bar{x} = 0$ है।
अतः,$\sigma^2 = \frac{2na^2}{2n} - 0^2 = a^2$।
दिया गया है कि मानक विचलन $\sigma = 2$ है,इसलिए $\sigma^2 = 4$।
अतः,$a^2 = 4$,जिसका अर्थ है कि $|a| = 2$।

(B) आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है जो केवल निकाय की अवस्था पर निर्भर करता है,न कि अपनाए गए पथ पर। इसी प्रकार,एन्ट्रापी भी एक अवस्था फलन है।
समतापीय (isothermal) प्रक्रिया में,आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है,इसलिए $\Delta U = 0$ होता है।
उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,एन्ट्रापी में परिवर्तन $\Delta S$ शून्य होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = -\Delta U$ द्वारा दिया जाता है,जो सामान्यतः शून्य नहीं होता है।
अतः,यह कथन कि आंतरिक ऊर्जा और एन्ट्रापी अवस्था फलन हैं,एकमात्र सही कथन है।

(D) दिया गया है: गोली का द्रव्यमान $m = 40\, g = 0.04\, kg$,वेग $v = 1200\, m/s$,और अधिकतम बल $F = 144\, N$ है।
मान लीजिए कि प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की संख्या $n$ है।
व्यक्ति द्वारा लगाया गया बल गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर को संतुलित करना चाहिए।
बल $F = n \times (m \times v)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $144 = n \times (0.04\, kg \times 1200\, m/s)$।
$144 = n \times 48$।
$n = \frac{144}{48} = 3$।
अतः,वह व्यक्ति प्रति सेकंड अधिकतम $3$ गोलियां दाग सकता है।

(A) नत समतल पर स्थिर ब्लॉक के लिए,समतल के अनुदिश नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक,समतल के अनुदिश ऊपर की ओर कार्य करने वाले स्थैतिक घर्षण बल द्वारा संतुलित होता है।
$f_s = mg \sin \theta$
दिया गया है:
$f_s = 10 \, N$
$\theta = 30^{\circ}$
$g = 10 \, m/s^2$
मान रखने पर:
$10 = m \times 10 \times \sin 30^{\circ}$
$10 = m \times 10 \times 0.5$
$10 = 5m$
$m = \frac{10}{5} = 2 \, kg$
अतः,ब्लॉक का द्रव्यमान $2 \, kg$ है।

(C) दिया गया है: $\cos \alpha + \cos \beta = -\frac{27}{65}$ और $\sin \alpha + \sin \beta = -\frac{21}{65}$।
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} = -\frac{27}{65}$ $(1)$
$2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} = -\frac{21}{65}$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} (\cos^2 \frac{\alpha + \beta}{2} + \sin^2 \frac{\alpha + \beta}{2}) = (-\frac{27}{65})^2 + (-\frac{21}{65})^2$
$4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{729 + 441}{4225} = \frac{1170}{4225} = \frac{18}{65}$
$\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{18}{4 \times 65} = \frac{9}{130}$
चूंकि $\pi < \alpha - \beta < 3\pi$,इसलिए $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha - \beta}{2} < \frac{3\pi}{2}$ है।
इस अंतराल में,$\cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है।
अतः,$\cos \frac{\alpha - \beta}{2} = -\sqrt{\frac{9}{130}} = -\frac{3}{\sqrt{130}}$।

(B) निकाय के संतुलन में रहने के लिए,प्रत्येक आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए। मान लीजिए वर्ग की भुजा $a$ है। केंद्र से प्रत्येक कोने की दूरी $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
एक कोने पर स्थित $-Q$ आवेश पर लगने वाले बल निम्नलिखित हैं:
$1$. अन्य तीन $-Q$ आवेशों द्वारा लगाया गया बल।
$2$. केंद्र पर स्थित $q$ आवेश द्वारा लगाया गया बल।
आसन्न कोनों द्वारा लगाया गया परिणामी बल $F_{adj} = \sqrt{(\frac{kQ^2}{a^2})^2 + (\frac{kQ^2}{a^2})^2} = \frac{\sqrt{2}kQ^2}{a^2}$ है।
विकर्ण के विपरीत कोने द्वारा लगाया गया बल $F_{diag} = \frac{kQ^2}{(a\sqrt{2})^2} = \frac{kQ^2}{2a^2}$ है।
तीनों कोनों द्वारा लगाया गया कुल बल $F_{corners} = \frac{kQ^2}{a^2}(\sqrt{2} + \frac{1}{2})$ है।
संतुलन के लिए,यह बल केंद्रीय आवेश $q$ द्वारा लगाए गए बल $F_{centre} = \frac{kQq}{(a/\sqrt{2})^2} = \frac{2kQq}{a^2}$ द्वारा संतुलित होना चाहिए।
बलों के परिमाणों की तुलना करने पर: $\frac{kQ^2}{a^2}(\sqrt{2} + \frac{1}{2}) = \frac{2kQq}{a^2}$।
$q$ के लिए हल करने पर: $q = \frac{Q}{2}(\sqrt{2} + \frac{1}{2}) = \frac{Q}{4}(2\sqrt{2} + 1)$।
चूंकि कोने के आवेश ऋणात्मक हैं,इसलिए आकर्षण बल प्रदान करने के लिए केंद्रीय आवेश $q$ धनात्मक होना चाहिए।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $T \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$ या $T^2 \propto \frac{1}{K}$।
जब $K_1$ और $K_2$ स्प्रिंग नियतांक वाली दो स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_s$ का सूत्र $\frac{1}{K_s} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$ होता है।
चूंकि $T^2 = \frac{4\pi^2 m}{K}$,इसलिए $\frac{1}{K} = \frac{T^2}{4\pi^2 m}$ होगा।
इस मान को श्रेणीक्रम संयोजन के सूत्र में रखने पर:
$\frac{T^2}{4\pi^2 m} = \frac{t_1^2}{4\pi^2 m} + \frac{t_2^2}{4\pi^2 m}$।
दोनों पक्षों को $4\pi^2 m$ से गुणा करने पर,हमें $T^2 = t_1^2 + t_2^2$ प्राप्त होता है।

(C) कार्य फलन $\phi_{0}$ देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{max}$ से इस समीकरण द्वारा संबंधित है: $\phi_{0} = \frac{hc}{\lambda_{max}}$.
दिया गया है कि $\phi_{0} = 4.0 \, eV$ और $hc \approx 1240 \, eV \cdot nm$ है,इसलिए $\lambda_{max}$ के लिए सूत्र इस प्रकार होगा:
$\lambda_{max} = \frac{hc}{\phi_{0}} = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{4.0 \, eV} = 310 \, nm$.
अतः,प्रकाश की वह अधिकतम तरंगदैर्ध्य जो फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जन का कारण बन सकती है,$310 \, nm$ है।

(A) माना कि ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है।
ब्लॉक नत समतल पर स्थिर है।
समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \sin 30^{\circ}$ है।
चूंकि ब्लॉक संतुलन में है,इसलिए स्थैतिक घर्षण बल $F$ इस घटक को संतुलित करेगा:
$F = mg \sin 30^{\circ}$
दिया गया है $F = 10 \, N$,$g = 10 \, m/s^2$,और $\sin 30^{\circ} = 0.5$:
$10 = m \times 10 \times 0.5$
$10 = 5m$
$m = \frac{10}{5} = 2 \, kg$.
नोट: हमें यह जांचना चाहिए कि क्या यह स्थिति संभव है। अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{max} = \mu_s N = \mu_s mg \cos 30^{\circ} = 0.8 \times 2 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 13.86 \, N$ है। चूंकि $F = 10 \, N < 13.86 \, N$,इसलिए ब्लॉक स्थिर रहेगा।

(A) गुरुत्वाकर्षण बल $F \propto \frac{1}{R^n} = R^{-n}$ द्वारा दिया जाता है।
वृत्ताकार कक्षा में एक ग्रह के लिए,अभिकेंद्री बल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है:
$M R \omega^2 = F \propto R^{-n}$.
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $\omega^2 \propto \frac{1}{T^2}$ होता है।
इसे बल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$R \cdot \frac{1}{T^2} \propto R^{-n}$.
$\frac{1}{T^2} \propto R^{-n-1} = R^{-(n+1)}$.
$T^2 \propto R^{n+1}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$T \propto R^{\frac{n+1}{2}}$.

(A) मंदन $a$,विस्थापन $x$ के समानुपाती है,इसलिए $a = -kx$,जहाँ $k$ एक धनात्मक नियतांक है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F = ma = -mkx$ है।
इस बल द्वारा $x$ विस्थापन के लिए किया गया कार्य $W = \int_{0}^{x} F \cdot dx$ द्वारा दिया जाता है।
$W = \int_{0}^{x} (-mkx) \cdot dx = -mk \int_{0}^{x} x \cdot dx = -mk \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x} = -\frac{1}{2} mkx^2$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,$W = \Delta KE = KE_f - KE_i$।
चूंकि बल एक मंदन है,इसलिए गतिज ऊर्जा कम हो जाती है,अतः गतिज ऊर्जा में हानि $|W| = \frac{1}{2} mkx^2$ है।
इसलिए,गतिज ऊर्जा में हानि $x^2$ के समानुपाती है।

(D) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब प्रकाश एक विशिष्ट कोण पर आपतित होता है जिसे ध्रुवण कोण $(i_p)$ कहा जाता है,तो परावर्तित प्रकाश पूरी तरह से समतल ध्रुवीकृत हो जाता है।
यह संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tan i_p = n$,जहाँ $n$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
इसलिए,आपतन कोण $i_p$ का मान है: $i_p = \tan^{-1}(n)$.

(D) तांबा एक धातु है और जर्मेनियम एक अर्धचालक पदार्थ है।
धातुओं के लिए,तापमान कम होने पर प्रतिरोध घटता है।
अर्धचालकों के लिए,तापमान कम होने पर प्रतिरोध बढ़ता है क्योंकि आवेश वाहकों की संख्या कम हो जाती है।
चूंकि दोनों को कमरे के तापमान से $80\,K$ तक ठंडा किया जाता है,इसलिए तांबे का प्रतिरोध घटता है और जर्मेनियम का प्रतिरोध बढ़ता है।
अतः,सही कथन यह है कि तांबे का प्रतिरोध घटता है जबकि जर्मेनियम का प्रतिरोध बढ़ता है।

(A) गैसों के मिश्रण के लिए,तुल्य रुद्धोष्म घातांक $\gamma_{\text{mix}}$ का सूत्र है: $\frac{n_1 + n_2}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}$.
दिया गया है: $n_1 = 1$ मोल,$\gamma_1 = 5/3$ (एकपरमाणुक); $n_2 = 1$ मोल,$\gamma_2 = 7/5$ (द्विपरमाणुक)।
मान रखने पर:
$\frac{1 + 1}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{1}{5/3 - 1} + \frac{1}{7/5 - 1}$
$\frac{2}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{1}{2/3} + \frac{1}{2/5} = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
$\frac{2}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = 4 \implies \gamma_{\text{mix}} - 1 = 2/4 = 1/2$.
$\gamma_{\text{mix}} = 1 + 0.5 = 1.5 = 3/2$.

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,किसी भी बंद पथ के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकल उस पथ द्वारा परिबद्ध कुल धारा $I_{en}$ के $\mu_0$ गुना होता है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{en}$।
अनंत लंबी पतली दीवार वाली नली के अंदर किसी भी बिंदु के लिए,हम नली की अक्ष पर केंद्रित $r$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार एम्पीरियन लूप मान सकते हैं।
चूंकि धारा $i$ केवल नली की दीवारों से होकर बहती है,इसलिए नली के अंदर किसी भी लूप द्वारा परिबद्ध धारा $I_{en} = 0$ होती है।
अतः,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0(0) = 0$।
इसका अर्थ है कि नली के अंदर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय प्रेरण $B$ शून्य है।

(D) तांबा एक धातु है और जर्मेनियम एक अर्धचालक पदार्थ है।
धातुओं के लिए,जैसे-जैसे तापमान कम होता है,प्रतिरोध कम हो जाता है।
अर्धचालकों के लिए,जैसे-जैसे तापमान कम होता है,प्रतिरोध बढ़ जाता है क्योंकि कम तापमान पर आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या में काफी कमी आ जाती है।
चूंकि दोनों पदार्थों को कमरे के तापमान से $80 \, K$ तक ठंडा किया जाता है,इसलिए तांबे का प्रतिरोध घटता है और जर्मेनियम का प्रतिरोध बढ़ता है।
अतः,सही कथन यह है कि तांबे का प्रतिरोध घटता है जबकि जर्मेनियम का प्रतिरोध बढ़ता है।

(A) नत समतल पर स्थित ब्लॉक के लिए,समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $F_g = mg \sin(\theta)$ है।
यहाँ $\theta = 30^o$,$g = 10\,m/s^2$,और घर्षण बल $f = 10\,N$ दिया गया है।
चूंकि ब्लॉक स्थिर है,इसलिए स्थैतिक घर्षण बल को समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक को संतुलित करना चाहिए।
अतः,$f = mg \sin(30^o)$.
मान रखने पर: $10 = m \times 10 \times \sin(30^o)$.
चूंकि $\sin(30^o) = 0.5$,इसलिए $10 = m \times 10 \times 0.5$.
$10 = 5m$.
$m = 10 / 5 = 2\,kg$.
नोट: स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s = 0.8$ यह जाँचने के लिए दिया गया है कि क्या ब्लॉक स्थिर रह सकता है। अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{max} = \mu_s N = \mu_s mg \cos(30^o) = 0.8 \times 2 \times 10 \times 0.866 \approx 13.86\,N$ है। चूंकि $10\,N < 13.86\,N$,इसलिए ब्लॉक स्थिर रहेगा।

(A) विश्राम कोण (angle of repose) $\alpha = \tan^{-1}(\mu) = \tan^{-1}(0.8) \approx 38.6^{\circ}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि नत समतल का कोण $\theta = 30^{\circ}$ विश्राम कोण $\alpha$ से कम है,इसलिए ब्लॉक स्थिर रहता है।
नत समतल पर स्थिर ब्लॉक के लिए,स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक को संतुलित करता है।
अतः,$f_s = mg \sin(\theta)$।
दिया गया है कि $f_s = 10 \, N$,$g = 10 \, m/s^2$,और $\theta = 30^{\circ}$,इसलिए:
$10 = m \times 10 \times \sin(30^{\circ})$
$10 = m \times 10 \times 0.5$
$10 = 5m$
$m = \frac{10}{5} = 2 \, kg$.

(B) $k$ नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़े $m$ द्रव्यमान का आवर्तकाल $t = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$t_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$ और $t_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$t_1^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k_1}$ और $t_2^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k_2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{k_1} = \frac{t_1^2}{4 \pi^2 m}$ और $\frac{1}{k_2} = \frac{t_2^2}{4 \pi^2 m}$।
जब दो स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff}$ का मान $\frac{1}{k_{eff}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ होता है।
श्रेणीक्रम में निकाय का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_{eff}}}$ है,इसलिए $T^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k_{eff}}$।
श्रेणीक्रम के सूत्र में $\frac{1}{k_1}$ और $\frac{1}{k_2}$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{T^2}{4 \pi^2 m} = \frac{t_1^2}{4 \pi^2 m} + \frac{t_2^2}{4 \pi^2 m}$।
$4 \pi^2 m$ से गुणा करने पर,हमें $T^2 = t_1^2 + t_2^2$ प्राप्त होता है।

(C) सरल आवर्त गति करने वाले कण की कुल ऊर्जा $(E)$ उसकी गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के योग के बराबर होती है।
$E = K + U = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
चूँकि दी गई सरल आवर्त गति के लिए $m$,$\omega$ और $A$ अचर हैं,इसलिए कुल ऊर्जा $E$ गति के दौरान स्थिर रहती है।
अतः,कुल ऊर्जा साम्यावस्था से विस्थापन $x$ से स्वतंत्र है।
इसलिए,विकल्प $(c)$ सही है।

(B) जब $2$ मोल क्लोरोबेंजीन सांद्र $H_2SO_4$ की उपस्थिति में $1$ मोल क्लोरल $(CCl_3CHO)$ के साथ अभिक्रिया करता है,तो प्राप्त उत्पाद $1,1,1$-ट्राइक्लोरो-$2,2$-बिस($p$-क्लोरोफेनिल)इथेन है,जिसे सामान्यतः $DDT$ के रूप में जाना जाता है।
अभिक्रिया: $2C_6H_5Cl + CCl_3CHO \xrightarrow{conc. H_2SO_4} (ClC_6H_4)_2CHCCl_3 + H_2O$.

(C) हैलोजन की ऑक्सीकरण शक्ति मानक इलेक्ट्रोड विभव $(E^{\circ})$ द्वारा निर्धारित की जाती है,जो तीन कारकों पर निर्भर करती है: वियोजन एन्थैल्पी,इलेक्ट्रॉन लब्धि एन्थैल्पी और जलयोजन एन्थैल्पी।
फ्लोरीन सबसे शक्तिशाली ऑक्सीकरण एजेंट है क्योंकि इसकी कम बंध वियोजन ऊर्जा और बहुत उच्च नकारात्मक जलयोजन एन्थैल्पी,क्लोरीन की तुलना में इसकी अपेक्षाकृत कम इलेक्ट्रॉन लब्धि एन्थैल्पी की भरपाई कर देती है।

(D) क्लोरोफिल पौधों में हरे वर्णक हैं और इनमें कैल्शियम नहीं बल्कि मैग्नीशियम $(Mg)$ होता है।
ये प्रकाश संश्लेषण के दौरान सूर्य के प्रकाश की उपस्थिति में कार्बन डाइऑक्साइड और पानी से ग्लूकोज के रूप में ऊर्जा संग्रहीत करने के लिए उपयोगी होते हैं।

(C) $LCR$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति $f_r$ का सूत्र है:
$f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
अनुनाद आवृत्ति को अपरिवर्तित रखने के लिए,गुणनफल $LC$ स्थिर रहना चाहिए:
$L_1 C_1 = L_2 C_2$
दिया गया है कि $L_1 = L$,$C_1 = C$,और $C_2 = 2C$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$L \cdot C = L_2 \cdot (2C)$
$L_2$ का मान ज्ञात करने पर:
$L_2 = \frac{LC}{2C} = \frac{L}{2}$
अतः,प्रेरकत्व को बदलकर $L/2$ किया जाना चाहिए।

(A) ग्रह को सूर्य के चारों ओर घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
मान लीजिए गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{k}{R^n}$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें मिलता है $\frac{mv^2}{R} = \frac{k}{R^n}$।
इसे सरल करने पर $v^2 = \frac{k}{mR^{n-1}}$,इसलिए $v \propto R^{-\frac{n-1}{2}}$।
आवर्तकाल $T$ का मान $T = \frac{2\pi R}{v}$ होता है।
$v$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $T \propto \frac{R}{R^{-\frac{n-1}{2}}}$।
अतः,$T \propto R^{1 + \frac{n-1}{2}} = R^{\frac{2+n-1}{2}} = R^{\frac{n+1}{2}}$।

(A) दिया गया है कि मंदन $a$ विस्थापन $x$ के समानुपाती है,इसलिए $a = -kx$ (जहाँ $k$ एक धनात्मक नियतांक है)।
संबंध $a = v \frac{dv}{dx}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $v \frac{dv}{dx} = -kx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int v dv = \int -kx dx$।
इससे प्राप्त होता है $\frac{v^2}{2} = -\frac{kx^2}{2} + C$।
$x = 0$ पर,मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u$ है,इसलिए $C = \frac{u^2}{2}$।
अतः,$\frac{v^2}{2} = \frac{u^2}{2} - \frac{kx^2}{2}$,जिसका अर्थ है $u^2 - v^2 = kx^2$।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = \frac{1}{2}m(u^2 - v^2) = \frac{1}{2}m(kx^2)$ है।
चूंकि $m$ और $k$ नियतांक हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा में हानि $x^2$ के समानुपाती है।

(B) $k$ नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़े $m$ द्रव्यमान का आवर्तकाल $t = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$t_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$ और $t_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$।
इनका वर्ग करने पर,हमें $t_1^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1}$ और $t_2^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_2}$ प्राप्त होता है।
जब दो स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq}$ का मान $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ होता है।
श्रेणी संयोजन के लिए दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ है।
इसका वर्ग करने पर,$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_{eq}} = 4\pi^2 m \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$।
$t_1^2$ और $t_2^2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1} + 4\pi^2 \frac{m}{k_2} = t_1^2 + t_2^2$ प्राप्त होता है।

(B) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर,$r = R$,इसलिए $U_i = -\frac{GMm}{R}$।
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$U_i = -mgR$।
सतह से $h = R$ ऊँचाई पर,केंद्र से दूरी $r = R + h = 2R$ होगी।
अतः,$U_f = -\frac{GMm}{2R} = -\frac{gR^2m}{2R} = -\frac{1}{2}mgR$।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{1}{2}mgR - (-mgR) = \frac{1}{2}mgR$ है।

(B) चेन की कुल लंबाई $L = 2\, m$ है और इसका कुल द्रव्यमान $M = 4\, kg$ है।
लटकने वाले भाग की लंबाई $l = 60\, cm = 0.6\, m$ है।
चेन की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{4}{2} = 2\, kg/m$ है।
लटकने वाले भाग का द्रव्यमान $m = \lambda \times l = 2 \times 0.6 = 1.2\, kg$ है।
लटकने वाले भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $h = \frac{l}{2} = \frac{0.6}{2} = 0.3\, m$ नीचे है।
चेन को मेज पर खींचने के लिए किया गया कार्य लटकने वाले भाग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जो $W = mgh$ है।
मान रखने पर: $W = 1.2 \times 10 \times 0.3 = 3.6\, J$.

(A) गैसों के मिश्रण के लिए,समोष्मी घातांक $\gamma_{mix}$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{\mu_1 + \mu_2}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{\mu_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{\mu_2}{\gamma_2 - 1}$.
दिया गया है: $\mu_1 = 1$,$\gamma_1 = 5/3$ (एकपरमाणुक) और $\mu_2 = 1$,$\gamma_2 = 7/5$ (द्विपरमाणुक)।
मान रखने पर:
$\frac{1 + 1}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{1}{5/3 - 1} + \frac{1}{7/5 - 1}$.
$\frac{2}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{1}{2/3} + \frac{1}{2/5} = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
$\frac{2}{\gamma_{mix} - 1} = 4 \implies \gamma_{mix} - 1 = 2/4 = 0.5$.
$\gamma_{mix} = 1 + 0.5 = 1.5 = 3/2$.

(D) तार पर लगाया गया बल $0$ से $F$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है जैसे-जैसे यह $0$ से $l$ तक खिंचता है।
खिंचाव की प्रक्रिया के दौरान औसत बल $F_{av} = \frac{0 + F}{2} = \frac{F}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
तार को खींचने में किया गया कार्य $(W)$ औसत बल और विस्थापन (लंबाई में वृद्धि) के गुणनफल के बराबर होता है।
$W = F_{av} \times l = \left( \frac{F}{2} \right) \times l = \frac{Fl}{2}$.
अतः,किया गया कार्य $\frac{Fl}{2}$ है।

(B) आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है,जिसका अर्थ है कि यह केवल निकाय की अवस्था पर निर्भर करती है,न कि अपनाए गए पथ पर। इसी प्रकार,एन्ट्रापी भी एक अवस्था फलन है।
समतापीय (isothermal) प्रक्रिया में,तापमान स्थिर रहता है,और एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा नहीं बदलती है $(\Delta U = 0)$।
उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रक्रिया में,एन्ट्रापी में परिवर्तन शून्य होता है $(\Delta S = 0)$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = -\Delta U$ द्वारा दिया जाता है,जो आमतौर पर शून्य नहीं होता है।
इसलिए,यह कथन कि आंतरिक ऊर्जा और एन्ट्रापी अवस्था फलन हैं,सही है।

(D) सूर्य की विकिरण शक्ति (ल्यूमिनोसिटी) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $E = \sigma A T^4$।
चूंकि सतह का क्षेत्रफल $A = 4\pi R^2$ है,इसलिए $A \propto R^2$ है।
अतः,विकिरण ऊर्जा $E \propto R^2 T^4$ है।
मान लीजिए $E_1$ प्रारंभिक ऊर्जा है और $E_2$ अंतिम ऊर्जा है।
दिया गया है कि $R_1 = R$,$T_1 = T$ और $R_2 = 2R$,$T_2 = 2T$।
अनुपात $\frac{E_2}{E_1} = \frac{R_2^2 T_2^4}{R_1^2 T_1^4}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{(2R)^2 (2T)^4}{R^2 T^4} = \frac{4R^2 \cdot 16T^4}{R^2 T^4} = 4 \cdot 16 = 64$।

(B) $N_{2(g)} + O_{2(g)} \rightleftharpoons 2 NO_{(g)}$ अभिक्रिया के लिए,साम्य स्थिरांक $K_C = 4 \times 10^{-4}$ है।
$NO_{(g)} \rightleftharpoons \frac{1}{2} N_{2(g)} + \frac{1}{2} O_{2(g)}$ अभिक्रिया के लिए,यह अभिक्रिया मूल अभिक्रिया की उल्टी है और इसे $\frac{1}{2}$ के गुणांक से गुणा किया गया है।
अतः,नया साम्य स्थिरांक $K_C' = \frac{1}{\sqrt{K_C}}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$K_C' = \frac{1}{\sqrt{4 \times 10^{-4}}} = \frac{1}{2 \times 10^{-2}} = \frac{1}{0.02} = 50$.