Time and Distances Questions in Hindi

(D) मान लीजिए कि यात्रा की कुल दूरी $2d$ है।
$30 \text{ km/h}$ की गति से पहले आधे भाग $(d)$ को तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{d}{30}$ है।
$20 \text{ km/h}$ की गति से दूसरे आधे भाग $(d)$ को तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{d}{20}$ है।
औसत गति कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है:
$\text{औसत गति} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2d}{t_1 + t_2} = \frac{2d}{\frac{d}{30} + \frac{d}{20}}$.
हर से $d$ को कॉमन लेने पर:
$\text{औसत गति} = \frac{2}{\frac{1}{30} + \frac{1}{20}} = \frac{2}{\frac{2+3}{60}} = \frac{2 \times 60}{5} = \frac{120}{5} = 24 \text{ km/h}$.
चूंकि गणना की गई औसत गति $24 \text{ km/h}$ है,जो दिए गए विकल्पों $25, 28, 32$ में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) माना तय की गई दूरी $d$ है।
बस द्वारा यात्रा करने में लगा समय,$t_1 = \frac{d}{16}$.
साइकिल द्वारा वापस आने में लगा समय,$t_2 = \frac{d}{9}$.
कुल तय की गई दूरी = $d + d = 2d$.
कुल लगा समय = $t_1 + t_2 = \frac{d}{16} + \frac{d}{9} = \frac{9d + 16d}{144} = \frac{25d}{144}$.
औसत गति = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2d}{\frac{25d}{144}} = \frac{2 \times 144}{25} = \frac{288}{25} = 11.52 \text{ km/h}$.
वैकल्पिक रूप से,जब दूरी समान हो तो औसत गति का सूत्र उपयोग करने पर: $\text{औसत गति} = \frac{2s_1s_2}{s_1 + s_2} = \frac{2 \times 16 \times 9}{16 + 9} = \frac{288}{25} = 11.52 \text{ km/h}$.

(C) माना $A$ से $B$ तक कार की गति $v_1 = 64 \, km/h$ है और $B$ से $A$ तक वापसी की गति $v_2 = x \, km/h$ है।
पूरी यात्रा के लिए औसत गति का सूत्र $v_{avg} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ है।
दिया गया है कि $v_{avg} = 56 \, km/h$,मान रखने पर:
$56 = \frac{2 \times 64 \times x}{64 + x}$
दोनों पक्षों को $8$ से विभाजित करने पर:
$7 = \frac{2 \times 8 \times x}{64 + x} = \frac{16x}{64 + x}$
तिर्यक गुणा (cross-multiply) करने पर:
$7(64 + x) = 16x$
$448 + 7x = 16x$
$16x - 7x = 448$
$9x = 448$
$x = \frac{448}{9} \approx 49.78 \, km/h$.
अतः,वापसी की गति $49.78 \, km/h$ है।

(B) माना $A$ और $B$ के बीच की दूरी $d \text{ km}$ है।
$A$ से $B$ तक की यात्रा में लगा समय $t_1 = \frac{d}{10} \text{ घंटे}$ है।
$B$ से $A$ तक की वापसी यात्रा में लगा समय $t_2 = \frac{d}{8} \text{ घंटे}$ है।
कुल लगा समय $t_1 + t_2 = 4 \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \text{ घंटे}$ है।
अतः,$\frac{d}{10} + \frac{d}{8} = \frac{9}{2}$.
$10$ और $8$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $40$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{4d + 5d}{40} = \frac{9}{2}$.
$\frac{9d}{40} = \frac{9}{2}$.
$d = \frac{9}{2} \times \frac{40}{9} = 20 \text{ km}$.
पूरी यात्रा के दौरान तय की गई कुल दूरी आने और जाने की दूरी का योग है,जो $d + d = 2d$ है।
कुल दूरी $= 2 \times 20 = 40 \text{ km}$.

(C) जब दो अलग-अलग गतियों के लिए तय की गई दूरी समान हो,तो औसत गति का सूत्र $\text{Average Speed} = \frac{2s_1s_2}{s_1 + s_2}$ होता है।
यहाँ,$s_1 = 64 \text{ km/h}$ और $s_2 = 80 \text{ km/h}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{Average Speed} = \frac{2 \times 64 \times 80}{64 + 80}$
$\text{Average Speed} = \frac{10240}{144}$
$\text{Average Speed} = 71.11 \text{ km/h}$.

(D) माना यात्रा की कुल दूरी $D\, km$ है।
पहली आधी दूरी $(D/2)$ को $50\, km/h$ की गति से तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{D/2}{50} = \frac{D}{100}\, hours$ है।
शेष आधी दूरी $(D/2)$ को $70\, km/h$ की गति से तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{D/2}{70} = \frac{D}{140}\, hours$ है।
कुल समय $t_1 + t_2 = 6\, hours$ है।
अतः,$\frac{D}{100} + \frac{D}{140} = 6$.
$100$ और $140$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $700$ लेने पर:
$\frac{7D + 5D}{700} = 6$
$\frac{12D}{700} = 6$
$12D = 4200$
$D = \frac{4200}{12} = 350\, km$.
अतः,सही उत्तर $350\, km$ है,जो विकल्पों में नहीं है। इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए राकेश की गति $v_1$ है और सुरेश की गति $v_2$ है।
एक-दूसरे से मिलने के बाद उनके द्वारा लिया गया समय $T_1 = 9$ घंटे और $T_2 = 16$ घंटे है।
जब दो व्यक्ति एक-दूसरे से मिलते हैं और उसके बाद अपनी यात्रा पूरी करने में $T_1$ और $T_2$ समय लेते हैं,तो उनकी गति का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{16}{v_2} = \sqrt{\frac{16}{9}}$.
$\frac{16}{v_2} = \frac{4}{3}$.
$4 \times v_2 = 16 \times 3$.
$4 \times v_2 = 48$.
$v_2 = 12 \, \text{km/h}$.
अतः,सुरेश की गति $12 \, \text{km/h}$ है।

(C) औसत चाल को कुल तय की गई दूरी को कुल लिए गए समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
कुल दूरी $= 225 \ km + 370 \ km = 595 \ km$.
कुल समय $= 3.5 \ \text{घंटे} + 5 \ \text{घंटे} = 8.5 \ \text{घंटे}$.
औसत चाल $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{595}{8.5} \ km/h$.
औसत चाल $= 70 \ km/h$.

(B) औसत गति कुल तय की गई दूरी को कुल लिए गए समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
कुल दूरी $D = 6 + 8 + 32 = 46 \, km$.
चलने में लगा समय $t_1 = \frac{6}{1.5} = 4 \, \text{घंटे}$.
दौड़ने में लगा समय $t_2 = \frac{8}{2} = 4 \, \text{घंटे}$.
बस द्वारा यात्रा में लगा समय $t_3 = \frac{32}{8} = 4 \, \text{घंटे}$.
कुल समय $T = t_1 + t_2 + t_3 = 4 + 4 + 4 = 12 \, \text{घंटे}$.
औसत गति $= \frac{D}{T} = \frac{46}{12} = \frac{23}{6} = 3 \frac{5}{6} \, km/h$.

(D) औसत गति का सूत्र $\text{औसत गति} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$ है।
सबसे पहले,सभी समय अंतरालों को घंटों में बदलें:
$T_1 = 30 \text{ मिनट} = 0.5 \text{ घंटे}$
$T_2 = 45 \text{ मिनट} = 0.75 \text{ घंटे}$
$T_3 = 2 \text{ घंटे}$
अब,प्रत्येक अंतराल में तय की गई दूरी ज्ञात करें $(D = \text{गति} \times \text{समय})$:
$D_1 = 40 \times 0.5 = 20 \text{ km}$
$D_2 = 60 \times 0.75 = 45 \text{ km}$
$D_3 = 70 \times 2 = 140 \text{ km}$
कुल दूरी $= 20 + 45 + 140 = 205 \text{ km}$
कुल समय $= 0.5 + 0.75 + 2 = 3.25 \text{ घंटे}$
$\text{औसत गति} = \frac{205}{3.25} \approx 63.07 \text{ km/h}$.
अतः,सही उत्तर $D$ है।

(B) माना सामान्य गति $S$ है और सामान्य समय $T$ है।
चूंकि दूरी स्थिर है,$D = S \times T$.
जब गति $\frac{3}{4}S$ हो जाती है,तो लिया गया नया समय $T + 20$ होता है।
अतः,$S \times T = \frac{3}{4}S \times (T + 20)$.
दोनों पक्षों को $S$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $T = \frac{3}{4}(T + 20)$.
$4T = 3T + 60$.
$T = 60 \text{ मिनट}$.
अतः,सामान्य समय $60 \text{ मिनट}$ है।

(A) माना कि दूरी $d \, km$ है।
पहले व्यक्ति द्वारा लिया गया समय $= \frac{d}{4} \, \text{घंटे}$.
दूसरे व्यक्ति द्वारा लिया गया समय $= \frac{d}{3} \, \text{घंटे}$.
प्रश्न के अनुसार,पहला व्यक्ति दूसरे व्यक्ति से आधा घंटा $(0.5 \, \text{घंटे})$ पहले पहुँचता है।
इसलिए,$\frac{d}{3} - \frac{d}{4} = 0.5$.
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,$\frac{4d - 3d}{12} = 0.5$.
$\frac{d}{12} = 0.5$.
$d = 0.5 \times 12 = 6 \, km$.
अतः,दूरी $6 \, km$ है।

(C) माना $A$ और $B$ के बीच की दूरी $d \, km$ है।
पहली कार द्वारा $d$ दूरी तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{d}{20} \, \text{घंटे}$ है।
दूसरी कार द्वारा $d$ दूरी तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{d}{30} \, \text{घंटे}$ है।
दूसरी कार $1.5 \, \text{घंटे}$ बाद शुरू होती है और $2.5 \, \text{घंटे}$ पहले पहुँचती है,इसलिए समय का अंतर $t_1 - t_2 = 1.5 + 2.5 = 4 \, \text{घंटे}$ है।
मान रखने पर: $\frac{d}{20} - \frac{d}{30} = 4$.
$20$ और $30$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $60$ लेने पर: $\frac{3d - 2d}{60} = 4$.
$\frac{d}{60} = 4$.
$d = 240 \, km$.
अतः,$A$ से $B$ की दूरी $240 \, km$ है।

(D) माना तिलक नगर और मोती नगर के बीच की दूरी $d \, km$ है।
पहले मामले में,कुल समय $T_1 = \frac{d}{3.5} + \frac{d}{3.5} = \frac{2d}{3.5} = \frac{4d}{7} \, hours$ है।
दूसरे मामले में,कुल समय $T_2 = \frac{d}{3} + \frac{d}{4} = \frac{4d + 3d}{12} = \frac{7d}{12} \, hours$ है।
दिया गया है कि समय का अंतर $10 \, minutes = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \, hours$ है।
अतः,$T_2 - T_1 = \frac{1}{6}$।
$\frac{7d}{12} - \frac{4d}{7} = \frac{1}{6}$।
$12$ और $7$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $84$ लेने पर:
$\frac{49d - 48d}{84} = \frac{1}{6}$।
$\frac{d}{84} = \frac{1}{6}$।
$d = \frac{84}{6} = 14 \, km$।
चूंकि $14 \, km$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ (इनमें से कोई नहीं) है।

(B) माना ट्रेन की मूल गति $s \, \text{km/h}$ है।
इस गति पर लिया गया समय $T_1 = 8 \, \text{घंटे}$ है।
तय की गई दूरी $D = \text{गति} \times \text{समय} = 8s$ है।
यदि गति में $5 \, \text{km/h}$ की वृद्धि की जाती है, तो नई गति $(s + 5) \, \text{km/h}$ होगी।
नया लिया गया समय $6 \, \text{घंटे} \, 40 \, \text{मिनट} = 6 + \frac{40}{60} = 6 + \frac{2}{3} = \frac{20}{3} \, \text{घंटे}$ है।
चूंकि दूरी समान है, इसलिए हम दूरी के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं:
$8s = (s + 5) \times \frac{20}{3}$
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर:
$24s = 20(s + 5)$
$24s = 20s + 100$
$4s = 100$
$s = 25 \, \text{km/h}$.
अतः, ट्रेन की न्यूनतम गति $25 \, \text{km/h}$ है।

(C) माना कि बिना ठहराव के गति $s_{1} = 42 \, km/h$ है और ठहराव के साथ गति $s_{2} = 28 \, km/h$ है।
प्रति घंटे ठहराव का समय निकालने का सूत्र है: $\text{ठहराव का समय} = \frac{s_{1} - s_{2}}{s_{1}} \times 60 \, \text{मिनट}$.
मान रखने पर: $\text{ठहराव का समय} = \frac{42 - 28}{42} \times 60 \, \text{मिनट}$.
$= \frac{14}{42} \times 60 \, \text{मिनट}$.
$= \frac{1}{3} \times 60 \, \text{मिनट} = 20 \, \text{मिनट}$.
अतः, वह व्यक्ति प्रति घंटे $20 \, \text{मिनट}$ रुकता है।

(B) सबसे पहले,ट्रेन की गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलने के लिए इसे $\frac{5}{18}$ से गुणा करें:
गति $= 60 \times \frac{5}{18} = \frac{300}{18} = \frac{50}{3} \, m/s$.
मान लीजिए कि ट्रेन की लंबाई $L \, m$ है।
जब एक ट्रेन प्लेटफॉर्म को पार करती है,तो तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग होती है।
दूरी $= L + 130 \, m$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$.
$L + 130 = \frac{50}{3} \times 15$.
$L + 130 = 50 \times 5$.
$L + 130 = 250$.
$L = 250 - 130 = 120 \, m$.

(A) ट्रेन की गति $54 \, km/h$ दी गई है।
गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलने के लिए,हम इसे $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं:
$\text{गति} = 54 \times \frac{5}{18} = 3 \times 5 = 15 \, m/s$.
टेलीग्राफ पोस्ट को पार करने में लगा समय $9 \, \text{सेकंड}$ है।
चूंकि ट्रेन एक स्थिर बिंदु (टेलीग्राफ पोस्ट) को पार करते समय अपनी लंबाई के बराबर दूरी तय करती है,इसलिए ट्रेन की लंबाई की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{लंबाई} = \text{गति} \times \text{समय}$
$\text{लंबाई} = 15 \, m/s \times 9 \, s = 135 \, m$.
अतः,ट्रेन की लंबाई $135 \, \text{मीटर}$ है।

(B) टेलीग्राफ पोस्ट को पार करने के लिए,ट्रेन को अपनी लंबाई के बराबर दूरी तय करनी होगी।
दिया गया है:
ट्रेन की लंबाई $(L)$ = $135\, m$
ट्रेन की गति $(v)$ = $54\, km/h$
सबसे पहले,गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
$v = 54 \times \frac{5}{18} = 3 \times 5 = 15\, m/s$
लिया गया समय $(t)$ = $\frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{L}{v}$
$t = \frac{135}{15} = 9\, seconds$
अतः,ट्रेन टेलीग्राफ पोस्ट को $9\, seconds$ में पार कर लेगी।

(C) ट्रेन की गति की गणना ट्रेन की लंबाई को व्यक्ति को पार करने में लगे समय से विभाजित करके की जाती है।
गति $= \frac{\text{ट्रेन की लंबाई}}{\text{लिया गया समय}}$
गति $= \frac{160 \ m}{18 \ s} = \frac{80}{9} \ m/s$.
गति को $m/s$ से $km/h$ में बदलने के लिए,$\frac{18}{5}$ से गुणा करें।
गति ($km/h$ में) $= \frac{80}{9} \times \frac{18}{5} \ km/h$.
गति $= 16 \times 2 = 32 \ km/h$.

(A) प्लेटफॉर्म को पार करने के लिए,ट्रेन द्वारा तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग होती है।
कुल दूरी $= 280\,m + 220\,m = 500\,m$.
ट्रेन की गति $60\,km/h$ है। इसे $m/s$ में बदलने पर:
गति $= 60 \times \frac{5}{18} = \frac{300}{18} = \frac{50}{3}\,m/s$.
लिया गया समय $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{गति}} = \frac{500}{50/3} = \frac{500 \times 3}{50} = 10 \times 3 = 30\,seconds$.

(B) ट्रेन की गति ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:
गति = (कुल तय की गई दूरी) / (लिया गया समय)
जब कोई ट्रेन प्लेटफॉर्म को पार करती है,तो तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग होती है।
कुल दूरी = $50\, m + 100\, m = 150\, m$.
लिया गया समय = $10\, s$.
गति = $150\, m / 10\, s = 15\, m/s$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) पहली ट्रेन की लंबाई,$L_1 = 300 \text{ m}$.
दूसरी ट्रेन की लंबाई,$L_2 = 200 \text{ m}$.
एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी,$D = L_1 + L_2 = 300 + 200 = 500 \text{ m}$.
चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होगी।
सापेक्ष गति,$S_{rel} = 90 \text{ km/h} + 60 \text{ km/h} = 150 \text{ km/h}$.
सापेक्ष गति को $\frac{5}{18}$ से गुणा करके $\text{m/s}$ में बदलें:
$S_{rel} = 150 \times \frac{5}{18} = \frac{750}{18} = \frac{125}{3} \text{ m/s}$.
एक-दूसरे को पार करने में लगा समय,$T = \frac{D}{S_{rel}} = \frac{500}{125/3} = \frac{500 \times 3}{125} = 4 \times 3 = 12 \text{ सेकंड}$.

(C) माना प्रत्येक ट्रेन की गति $x \, m/s$ है।
दिया गया है: प्रत्येक ट्रेन की लंबाई $L_1 = L_2 = 135 \, m$ और गति $s_1 = s_2 = x \, m/s$ है।
चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं,उनकी सापेक्ष गति $s_1 + s_2 = x + x = 2x \, m/s$ होगी।
एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की गई कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है: $D = 135 + 135 = 270 \, m$।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}}$
$18 = \frac{270}{2x}$
$2x = \frac{270}{18} = 15 \, m/s$
$x = 7.5 \, m/s$।
गति को $m/s$ से $km/h$ में बदलने के लिए,$\frac{18}{5}$ से गुणा करें:
$\text{गति} = 7.5 \times \frac{18}{5} = 1.5 \times 18 = 27 \, km/h$।

(C) ट्रेन की लंबाई $L = 150 \, m$ है।
ट्रेन की गति $v_t = 95 \, km/h$ है।
व्यक्ति की गति $v_m = 5 \, km/h$ है।
चूंकि दोनों एक ही दिशा में चल रहे हैं,इसलिए सापेक्ष गति $v_{rel} = v_t - v_m = 95 - 5 = 90 \, km/h$ होगी।
सापेक्ष गति को $m/s$ में बदलने पर: $v_{rel} = 90 \times \frac{5}{18} = 25 \, m/s$।
व्यक्ति को पार करने में लगा समय $t = \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{150}{25} = 6 \, seconds$ होगा।

(B) ट्रेन की लंबाई $(L_1)$ = $100 \, m$.
व्यक्ति की गति $(s_2)$ = $6 \, km/h$.
लिया गया समय $(t)$ = $3 \frac{3}{5} \, s = \frac{18}{5} \, s$.
माना ट्रेन की गति $x \, km/h$ है।
चूंकि ट्रेन और व्यक्ति विपरीत दिशा में चल रहे हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति $(x + 6) \, km/h$ होगी।
सापेक्ष गति को $m/s$ में बदलने पर: $(x + 6) \times \frac{5}{18} \, m/s$.
सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}}$.
$\frac{18}{5} = \frac{100}{(x + 6) \times \frac{5}{18}}$.
$\frac{18}{5} = \frac{100 \times 18}{(x + 6) \times 5}$.
$18 = \frac{100 \times 18}{x + 6}$.
$1 = \frac{100}{x + 6}$.
$x + 6 = 100$.
$x = 94 \, km/h$.

(C) एक ही दिशा में चल रही दो ट्रेनों की सापेक्ष गति उनकी गति का अंतर होती है।
सापेक्ष गति $= (50 - 30) \, km/h = 20 \, km/h$.
गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलने के लिए,$\frac{5}{18}$ से गुणा करें।
सापेक्ष गति $= 20 \times \frac{5}{18} = \frac{100}{18} = \frac{50}{9} \, m/s$.
तेज ट्रेन धीमी ट्रेन में बैठे व्यक्ति को पार करती है,जिसका अर्थ है कि तय की गई दूरी तेज ट्रेन की लंबाई के बराबर है।
दूरी $= \text{सापेक्ष गति} \times \text{समय}$.
दूरी $= \frac{50}{9} \, m/s \times 18 \, s = 50 \times 2 = 100 \, m$.
अतः,तेज ट्रेन की लंबाई $100 \, m$ है।

(A) माना कि दोनों ट्रेनों की गति $v_1$ और $v_2$ $(v_1 > v_2)$ $m/s$ में है।
ट्रेनों की कुल लंबाई $L = 130 + 110 = 240 \,m$ है।
जब वे एक ही दिशा में चलती हैं,तो सापेक्ष गति $(v_1 - v_2)$ होती है। लिया गया समय $60 \,s$ है।
$v_1 - v_2 = \frac{240}{60} = 4 \,m/s$ --- (समीकरण $1$)
जब वे विपरीत दिशा में चलती हैं,तो सापेक्ष गति $(v_1 + v_2)$ होती है। लिया गया समय $3 \,s$ है।
$v_1 + v_2 = \frac{240}{3} = 80 \,m/s$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर:
$2v_1 = 84 \implies v_1 = 42 \,m/s$.
समीकरण $2$ में से $1$ को घटाने पर:
$2v_2 = 76 \implies v_2 = 38 \,m/s$.
अतः,ट्रेनों की गति $42 \,m/s$ और $38 \,m/s$ है।

(C) माना तेज ट्रेन की गति $v_1$ है और धीमी ट्रेन की गति $v_2$ है ($m/s$ में)।
दोनों ट्रेनों की कुल लंबाई $= 90 + 90 = 180\, m$ है।
जब वे एक ही दिशा में चलती हैं,तो सापेक्ष गति $= v_1 - v_2$ होती है।
लिया गया समय $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} \implies 18 = \frac{180}{v_1 - v_2} \implies v_1 - v_2 = 10\, (i)$।
जब वे विपरीत दिशाओं में चलती हैं,तो सापेक्ष गति $= v_1 + v_2$ होती है।
लिया गया समय $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} \implies 9 = \frac{180}{v_1 + v_2} \implies v_1 + v_2 = 20\, (ii)$।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2v_1 = 30 \implies v_1 = 15\, m/s$।
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$2v_2 = 10 \implies v_2 = 5\, m/s$।
अतः,ट्रेनों की गति $15\, m/s$ और $5\, m/s$ है।

$(A)$ दूसरी ट्रेन के चलने से पहले पहली ट्रेन $1.5$ घंटे ($1 \frac{1}{2}$ घंटे) तक चलती है。
पहली ट्रेन द्वारा $1.5$ घंटे में तय की गई दूरी $= 60 \times 1.5 = 90 \, km$.
पहली ट्रेन के सापेक्ष दूसरी ट्रेन की सापेक्ष गति $= 75 - 60 = 15 \, km/h$.
दूसरी ट्रेन को पहली ट्रेन तक पहुँचने में लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{90}{15} = 6$ घंटे。
मिलने का समय $= 6.30 \, am + 6$ घंटे $= 12.30 \, pm$.
स्टेशन से दूरी $= 75 \, km/h \times 6$ घंटे $= 450 \, km$.

(D) $1$. स्टेशन $A$ और $B$ के बीच की दूरी $100 \, km$ है।
$2$. $A$ से ट्रेन सुबह $7$ बजे $20 \, km/h$ की गति से चलती है। सुबह $8$ बजे तक,उसने $1$ घंटे की यात्रा की होगी,यानी $20 \, km \times 1 \, h = 20 \, km$ की दूरी तय की होगी।
$3$. सुबह $8$ बजे,दोनों ट्रेनों के बीच शेष दूरी $100 \, km - 20 \, km = 80 \, km$ है।
$4$. चूंकि ट्रेनें एक-दूसरे की ओर आ रही हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति $20 \, km/h + 25 \, km/h = 45 \, km/h$ होगी।
$5$. सुबह $8$ बजे के बाद मिलने में लगा समय = $\frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{80}{45} = \frac{16}{9}$ घंटे = $1$ घंटा $46$ मिनट $40$ सेकंड।
$6$. अतः,मिलने का समय सुबह $8:00 + 1$ घंटा $46$ मिनट $40$ सेकंड = $9:46:40 \, am$ होगा।
$7$. चूंकि यह समय विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(A) $1$. पहली ट्रेन सुबह $9$ बजे चलती है और दूसरी ट्रेन के सुबह $11$ बजे चलने तक $2$ घंटे यात्रा करती है।
$2$. पहली ट्रेन द्वारा $2$ घंटे में तय की गई दूरी $= 50\, km/h \times 2\, h = 100\, km$.
$3$. सुबह $11$ बजे दोनों ट्रेनों के बीच की शेष दूरी $= 210\, km - 100\, km = 110\, km$.
$4$. चूंकि ट्रेनें एक-दूसरे की ओर चल रही हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति $= 50\, km/h + 60\, km/h = 110\, km/h$.
$5$. सुबह $11$ बजे के बाद मिलने में लगा समय $= \frac{\text{शेष दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{110\, km}{110\, km/h} = 1\, \text{घंटा}$.
$6$. ट्रेनें दोपहर $12$ बजे मिलेंगी।
$7$. स्टेशन $A$ से मिलन बिंदु तक की कुल दूरी = (पहली ट्रेन द्वारा $2$ घंटे में तय दूरी) + ($11$ बजे के बाद $1$ घंटे में पहली ट्रेन द्वारा तय दूरी) = $100\, km + (50\, km/h \times 1\, h) = 150\, km$.

(B) मान लीजिए कि ट्रेनों को मिलने में लगा समय $t$ घंटे है。
पहली ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी $(d_1)$ = $60t$.
दूसरी ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी $(d_2)$ = $40t$.
प्रश्न के अनुसार, दूरी में अंतर $20\, km$ है:
$60t - 40t = 20$
$20t = 20$
$t = 1\, \text{घंटा}$.
मुंबई और पुणे के बीच की कुल दूरी दोनों ट्रेनों द्वारा तय की गई दूरियों का योग है:
कुल दूरी = $d_1 + d_2 = 60t + 40t = 100t$.
$t = 1$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
कुल दूरी = $100 \times 1 = 100\, km$.

(B) तय की गई कुल दूरी $3 + 3 + 3 + 3 = 12 \, km$ है।
प्रत्येक दूरी के लिए लिया गया समय $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$ सूत्र का उपयोग करके निकाला जाता है।
समय $t_1 = \frac{3}{10} \, h$,$t_2 = \frac{3}{20} \, h$,$t_3 = \frac{3}{30} \, h$,और $t_4 = \frac{3}{60} \, h$ है।
कुल समय $T = \frac{3}{10} + \frac{3}{20} + \frac{3}{30} + \frac{3}{60} = \frac{18 + 9 + 6 + 3}{60} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5} \, h$ है।
औसत गति $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{12}{3/5} = \frac{12 \times 5}{3} = 20 \, km/h$ है।

(D) माना $P$ से $R$ की दूरी $x \text{ km}$ है।
चूँकि दोनों व्यक्ति एक ही समय पर चलना शुरू करते हैं और $R$ पर मिलते हैं,इसलिए $A$ द्वारा $R$ तक पहुँचने में लिया गया समय,$B$ द्वारा $Q$ तक पहुँचने और फिर $R$ तक वापस आने में लिए गए समय के बराबर है।
$A$ द्वारा $x \text{ km}$ की दूरी $3 \text{ km/h}$ की गति से तय करने में लगा समय $t_A = \frac{x}{3} \text{ घंटे}$ है।
$B$ द्वारा $PQ = 21 \text{ km}$ और फिर $QR = (21 - x) \text{ km}$ की दूरी $4 \text{ km/h}$ की गति से तय करने में लगा समय $t_B = \frac{21 + (21 - x)}{4} = \frac{42 - x}{4} \text{ घंटे}$ है।
समय को बराबर करने पर: $\frac{x}{3} = \frac{42 - x}{4}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $4x = 3(42 - x)$.
$4x = 126 - 3x$.
$7x = 126$.
$x = \frac{126}{7} = 18 \text{ km}$.

(A) माना लड़के की चाल $v_b$ है और कार की चाल $v_c$ है।
चूंकि लिया गया समय $t$ दोनों के लिए समान है,हम सूत्र $\text{चाल} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$ का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}$.
यह दिया गया है कि लिया गया समय समान है:
$\frac{12}{v_b} = \frac{36}{v_c}$
चाल का अनुपात $\frac{v_b}{v_c}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{v_b}{v_c} = \frac{12}{36}$
$\frac{v_b}{v_c} = \frac{1}{3}$
अतः,लड़के और कार की चाल का अनुपात $1:3$ है।

(B) माना $A$ से $B$ तक की गति $v_1 = 64 \text{ km/h}$ है और $B$ से $A$ तक वापस आने की गति $v_2 = x \text{ km/h}$ है।
जब यात्रा के दोनों भागों के लिए दूरी समान हो,तो औसत गति का सूत्र इस प्रकार है:
$\text{औसत गति} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$
दिया गया है कि औसत गति $56 \text{ km/h}$ है,इसलिए:
$56 = \frac{2 \times 64 \times x}{64 + x}$
दोनों पक्षों को $(64 + x)$ से गुणा करने पर:
$56(64 + x) = 128x$
$3584 + 56x = 128x$
दोनों पक्षों से $56x$ घटाने पर:
$3584 = 128x - 56x$
$3584 = 72x$
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{3584}{72} \approx 49.77 \text{ km/h}$

(B) बिना रुके बस की गति $54 \, km/h$ है।
इसका अर्थ है कि बस $60$ मिनट में $54 \, km$ की दूरी तय करती है।
रुकने के साथ बस की गति $45 \, km/h$ है।
इसका अर्थ है कि बस $60$ मिनट में $45 \, km$ की दूरी तय करती है।
एक घंटे में रुकने के कारण कम तय की गई दूरी $54 \, km - 45 \, km = 9 \, km$ है।
मूल गति $54 \, km/h$ पर इस $9 \, km$ की दूरी को तय करने में लगा समय:
$\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{9 \, km}{54 \, km/h} = \frac{1}{6} \, \text{घंटे}$.
इसे मिनटों में बदलने पर: $\frac{1}{6} \times 60 \, \text{मिनट} = 10 \, \text{मिनट}$.
अतः, बस प्रति घंटे $10$ मिनट के लिए रुकती है।

(A) माना कि उन्हें मिलने में लगा समय $t$ घंटे है।
समय $t$ में,पहला लड़का $200t$ पंक्तियाँ लिखता है।
दूसरा लड़का $150t$ पंक्तियाँ लिखता है।
दोनों द्वारा लिखी गई कुल पंक्तियों की संख्या $817$ है।
अतः,$200t + 150t = 817$.
$350t = 817$.
$t = \frac{817}{350} \approx 2.334$ घंटे।
पहले लड़के द्वारा लिखी गई पंक्तियों की संख्या $200 \times \frac{817}{350} = \frac{817 \times 4}{7} = \frac{3268}{7} \approx 466.85$ है।
चूंकि पहले लड़के ने $466$ पंक्तियाँ पूरी कर ली हैं और वह वर्तमान में $467$ वीं पंक्ति पर काम कर रहा है,इसलिए वे $467$ वीं पंक्ति पर मिलेंगे।

(A) पुल की लंबाई $1 \, km$ है।
ट्रेन की लंबाई पुल की लंबाई की आधी है,जो $0.5 \, km$ है।
पुल को पूरी तरह से पार करने के लिए,ट्रेन को पुल की लंबाई और ट्रेन की लंबाई के योग के बराबर कुल दूरी तय करनी होगी।
कुल दूरी $= 1 \, km + 0.5 \, km = 1.5 \, km$।
लिया गया समय $2 \, minutes$ है,जो $\frac{2}{60} \, hours = \frac{1}{30} \, hours$ के बराबर है।
गति $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{1.5 \, km}{1/30 \, h} = 1.5 \times 30 \, km/h = 45 \, km/h$।

(D) कुल दूरी $= 80 \text{ km}$.
कुल समय $= 10 \text{ घंटे}$.
यात्रा का आधा भाग $= 40 \text{ km}$.
पहले आधे भाग के लिए लिया गया समय $= \frac{3}{5} \times 10 = 6 \text{ घंटे}$.
शेष दूरी $= 80 - 40 = 40 \text{ km}$.
शेष समय $= 10 - 6 = 4 \text{ घंटे}$.
शेष दूरी के लिए आवश्यक गति $= \frac{\text{शेष दूरी}}{\text{शेष समय}} = \frac{40}{4} = 10 \text{ km/h}$.

(A) मान लीजिए कि वर्गाकार खेत की भुजा $a \, km$ है।
अमित द्वारा $A$ से $C$ तक सीमा के साथ तय की गई दूरी $AB + BC = a + a = 2a$ है।
लिया गया समय $0.5 \, h$ है और गति $8 \, km/h$ है।
दूरी = $\text{गति} \times \text{समय} = 8 \times 0.5 = 4 \, km$।
इसलिए,$2a = 4 \, km$,जिससे $a = 2 \, km$ प्राप्त होता है।
वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल $a^2 = 2^2 = 4 \, km^2$ है।

(A) माना ट्रेन की गति $x\, km/h$ है।
चूंकि व्यक्ति समान दिशा में चल रहा है,इसलिए सापेक्ष गति $(x - 6)\, km/h$ होगी।
इसे $m/s$ में बदलने पर,सापेक्ष गति $(x - 6) \times \frac{5}{18}\, m/s$ होती है।
ट्रेन अपनी लंबाई $(100\, m)$ को $5\, s$ में पार करती है:
$(x - 6) \times \frac{5}{18} \times 5 = 100$
$(x - 6) \times \frac{25}{18} = 100$
$x - 6 = 100 \times \frac{18}{25} = 72$
$x = 78\, km/h$.
अब,माना कार की गति $y\, km/h$ है। सापेक्ष गति $(78 - y)\, km/h$ होगी।
ट्रेन कार को $6\, s$ में पार करती है:
$(78 - y) \times \frac{5}{18} \times 6 = 100$
$(78 - y) \times \frac{5}{3} = 100$
$78 - y = 100 \times \frac{3}{5} = 60$
$y = 78 - 60 = 18\, km/h$.

(A) $1$. मोटरसाइकिल सवार द्वारा मुंबई से पुणे तक यात्रा करने में लिया गया समय: $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{192 \, km}{32 \, km/h} = 6 \, \text{घंटे}$.
$2$. कार मोटरसाइकिल सवार के $2.5 \, \text{घंटे}$ बाद शुरू होती है और मोटरसाइकिल सवार से $0.5 \, \text{घंटा}$ पहले पहुँच जाती है।
$3$. कार द्वारा लिया गया कुल समय: $6 \, \text{घंटे }- 2.5 \, \text{घंटे }- 0.5 \, \text{घंटे }= 3 \, \text{घंटे}$.
$4$. कार की गति: $\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{192 \, km}{3 \, \text{घंटे}} = 64 \, km/h$.
$5$. मोटरसाइकिल की गति और कार की गति का अनुपात: $\frac{32}{64} = \frac{1}{2}$,जो $1:2$ है।

(C) माना दूसरी ट्रेन की लंबाई $x \, m$ है।
चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होगी:
सापेक्ष गति $= (62 + 40) \, km/h = 102 \, km/h$.
सापेक्ष गति को $\frac{5}{18}$ से गुणा करके $m/s$ में बदलें:
सापेक्ष गति $= 102 \times \frac{5}{18} = \frac{510}{18} = \frac{85}{3} \, m/s$.
एक-दूसरे को पार करते समय तय की गई कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग है,जो $(250 + x) \, m$ है।
सूत्र $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$ का उपयोग करते हुए:
$250 + x = \left(\frac{85}{3}\right) \times 18$
$250 + x = 85 \times 6$
$250 + x = 510$
$x = 510 - 250 = 260 \, m$.
अतः,दूसरी ट्रेन की लंबाई $260 \, m$ है।

(B) माना ट्रेन की लंबाई $x \, \text{meters}$ है और इसकी गति $y \, \text{meters/second}$ है।
जब ट्रेन एक खंभे को पार करती है, तो तय की गई दूरी उसकी अपनी लंबाई के बराबर होती है:
$\frac{x}{y} = 15 \implies y = \frac{x}{15} \quad \dots(1)$
जब ट्रेन $100 \, \text{meter}$ लंबे प्लेटफॉर्म को पार करती है, तो तय की गई कुल दूरी $(x + 100) \, \text{meters}$ होती है:
$\frac{x + 100}{y} = 25 \implies x + 100 = 25y \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ से $y$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$x + 100 = 25 \times \left( \frac{x}{15} \right)$
$x + 100 = \frac{5x}{3}$
$3x + 300 = 5x$
$2x = 300$
$x = 150 \, \text{meters}$.
अतः, ट्रेन की लंबाई $150 \, \text{meters}$ है।

(B) एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग है: $D = 150 \, m + 100 \, m = 250 \, m$.
लिया गया समय $t = 10 \, s$ है।
सापेक्ष गति $v_{rel} = \frac{D}{t} = \frac{250 \, m}{10 \, s} = 25 \, m/s$.
सापेक्ष गति को $km/h$ में बदलने के लिए,$\frac{18}{5}$ से गुणा करें: $v_{rel} = 25 \times \frac{18}{5} = 90 \, km/h$.
चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग है: $v_{rel} = v_1 + v_2$.
दिया गया है $v_1 = 30 \, km/h$,इसलिए $30 + v_2 = 90$.
अतः,$v_2 = 90 - 30 = 60 \, km/h$.

(C) कुल दूरी $= 12 \, km$।
कुल समय $= 45 \, \text{मिनट }= \frac{45}{60} \, \text{घंटे }= 0.75 \, \text{घंटे}$।
तय की गई दूरी $= \frac{3}{4} \times 12 \, km = 9 \, km$।
लिया गया समय $= \frac{2}{3} \times 45 \, \text{मिनट }= 30 \, \text{मिनट }= 0.5 \, \text{घंटे}$।
शेष दूरी $= 12 \, km - 9 \, km = 3 \, km$।
शेष समय $= 45 \, \text{मिनट }- 30 \, \text{मिनट }= 15 \, \text{मिनट }= \frac{15}{60} \, \text{घंटे }= 0.25 \, \text{घंटे}$।
आवश्यक गति $= \frac{\text{शेष दूरी}}{\text{शेष समय}} = \frac{3 \, km}{0.25 \, h} = 12 \, km/h$।

(A) माना कि ट्रेन की गति $x \text{ km/h}$ है।
चूंकि व्यक्ति ट्रेन की विपरीत दिशा में चल रहा है,इसलिए सापेक्ष गति $(x + 6) \text{ km/h}$ होगी।
सापेक्ष गति को $\text{m/s}$ में बदलने के लिए,हम इसे $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं:
सापेक्ष गति $= (x + 6) \times \frac{5}{18} \text{ m/s}$.
ट्रेन द्वारा व्यक्ति को पार करने के लिए तय की गई दूरी उसकी अपनी लंबाई के बराबर है,जो $110 \text{ meters}$ है।
सूत्र $\text{Distance} = \text{Speed} \times \text{Time}$ का उपयोग करते हुए:
$110 = (x + 6) \times \frac{5}{18} \times 6$.
$110 = (x + 6) \times \frac{30}{18}$.
$110 = (x + 6) \times \frac{5}{3}$.
$x + 6 = 110 \times \frac{3}{5}$.
$x + 6 = 22 \times 3$.
$x + 6 = 66$.
$x = 66 - 6 = 60 \text{ km/h}$.
अतः,ट्रेन की गति $60 \text{ km/h}$ है।

(D) माना ट्रेन की गति $x \, km/h$ है।
जब ट्रेन व्यक्ति की विपरीत दिशा में चलती है,तो सापेक्ष गति $(x + 6) \, km/h$ होती है।
इसे $m/s$ में बदलने पर: $(x + 6) \times \frac{5}{18} \, m/s$।
$\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$110 = (x + 6) \times \frac{5}{18} \times 6$
$110 = (x + 6) \times \frac{5}{3}$
$x + 6 = \frac{110 \times 3}{5} = 66$
$x = 60 \, km/h$।
जब ट्रेन व्यक्ति की समान दिशा में चलती है,तो सापेक्ष गति $(60 - 6) \, km/h = 54 \, km/h$ होती है।
इसे $m/s$ में बदलने पर: $54 \times \frac{5}{18} = 15 \, m/s$।
दूसरे व्यक्ति को पार करने में लगा समय $= \frac{\text{ट्रेन की लंबाई}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{110}{15} = \frac{22}{3} = 7 \frac{1}{3} \, s$।