Time and Distances Questions in Hindi

(C) गति का सूत्र $S = \frac{D}{T}$ है।
दी गई दूरी $D = 1.34$ $km = 1340$ $m$.
दिया गया समय $T = 4$ $sec$.
सूत्र में मान रखने पर:
$S = \frac{1340 \text{ } m}{4 \text{ } sec} = 335$ $m/sec$.
अतः,ध्वनि की गति $335$ $m/sec$ है।

(C) चाल को $km/h$ से $m/s$ में बदलने के लिए,हम उसे $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं।
दी गई चाल $= 45\, km/h$ है।
$m/s$ में चाल $= 45 \times \frac{5}{18}$ है।
चाल $= 2.5 \times 5 = 12.5\, m/s$ है।

(A) स्थान $X$ और $Y$ के बीच की कुल दूरी: $\text{दूरी} = \text{चाल} \times \text{समय} = 55\, km/hr \times 4\, hours = 220\, km$.
$5\, km/hr$ की वृद्धि के बाद नई चाल: $55 + 5 = 60\, km/hr$.
नई चाल के साथ लिया गया समय: $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{नई चाल}} = \frac{220}{60}\, hours = \frac{11}{3}\, hours = 3\, hours + \frac{2}{3} \times 60\, minutes = 3\, hours + 40\, minutes$.
प्रारंभिक समय $4\, hours$ $(240\, minutes)$ था।
समय में हुई कमी: $240\, minutes - 220\, minutes = 20\, minutes$.

(D) मान लीजिए कि स्टेशन $A$ और $B$ के बीच की दूरी $28 \, km$ है ($4$ और $3.5$ का ल.स.प.).
$A$ से चलने वाली ट्रेन की गति $= \frac{28}{4} = 7 \, km/h$.
$B$ से चलने वाली ट्रेन की गति $= \frac{28}{3.5} = 8 \, km/h$.
$A$ से चलने वाली ट्रेन सुबह $7$ बजे शुरू होती है। सुबह $8$ बजे तक,उसने $1$ घंटे की यात्रा की होगी।
$A$ से चलने वाली ट्रेन द्वारा $1$ घंटे में तय की गई दूरी $= 7 \, km/h \times 1 \, h = 7 \, km$.
सुबह $8$ बजे शेष दूरी $= 28 - 7 = 21 \, km$.
चूंकि ट्रेनें एक-दूसरे की ओर बढ़ रही हैं,उनकी सापेक्ष गति $= 7 + 8 = 15 \, km/h$.
शेष दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{21}{15} \, \text{घंटे }= \frac{7}{5} \, \text{घंटे }= 1 \, \text{घंटा }\, 24 \, \text{मिनट}$.
अतः,दोनों ट्रेनें सुबह $8$ बजे + $1$ घंटा $24$ मिनट = $9:24$ बजे एक-दूसरे को पार करेंगी।

(D) जब कोई वस्तु $x \text{ km/h}$ की गति से एक निश्चित दूरी तय करती है और उतनी ही दूरी $y \text{ km/h}$ की गति से वापस तय करती है,तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति का सूत्र है: $\text{औसत गति} = \frac{2xy}{x+y}$।
यहाँ,$x = 20 \text{ km/h}$ और $y = 30 \text{ km/h}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{औसत गति} = \frac{2 \times 20 \times 30}{20 + 30} \text{ km/h}$।
$\text{औसत गति} = \frac{1200}{50} \text{ km/h}$।
$\text{औसत गति} = 24 \text{ km/h}$।
अतः,पूरी यात्रा के लिए ट्रेन की औसत गति $24 \text{ km/h}$ है।

(A) मान लीजिए कि साइकिल सवार द्वारा तय की गई दूरी $D$ है और लिया गया समय $T$ है।
अतः,साइकिल सवार की गति $S_c = D / T$ है।
जॉगर के लिए,तय की गई दूरी $D_j = D / 2$ है और लिया गया समय $T_j = 2T$ है।
इसलिए,जॉगर की गति $S_j = D_j / T_j = (D / 2) / (2T) = D / (4T)$ है।
जॉगर की गति और साइकिल सवार की गति का अनुपात $S_j / S_c = (D / 4T) / (D / T) = 1 / 4$ है।
अतः,अनुपात $1:4$ है।

(A) चरण $1$: बिना रुके यात्रा का समय ज्ञात करें।
$\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{999}{55.5} = 18 \text{ घंटे}$.
चरण $2$: रुकने का समय जोड़ें।
$\text{कुल समय} = 18 \text{ घंटे} + 1 \text{ घंटा } 20 \text{ मिनट} = 19 \text{ घंटे } 20 \text{ मिनट}$.
चरण $3$: पहुँचने का समय ज्ञात करें।
ट्रेन सुबह $6:00$ बजे चलती है। इसमें $19 \text{ घंटे } 20 \text{ मिनट}$ जोड़ने पर:
$6:00 \text{ am} + 12 \text{ घंटे} = 6:00 \text{ pm}$.
शेष समय: $19 \text{ घंटे } 20 \text{ मिनट} - 12 \text{ घंटे} = 7 \text{ घंटे } 20 \text{ मिनट}$.
$6:00 \text{ pm} + 7 \text{ घंटे } 20 \text{ मिनट} = 1:20 \text{ am}$ (अगले दिन)।

(B) माना घर से स्कूल की दूरी $x \, km$ है।
$4 \, km/h$ की गति पर लिया गया समय $t_1 = \frac{x}{4} \, hours$ है।
$3 \, km/h$ की गति पर लिया गया समय $t_2 = \frac{x}{3} \, hours$ है।
दोनों समय के बीच का अंतर $10 \, minutes$ जल्दी और $10 \, minutes$ देरी का है,जो कुल $10 + 10 = 20 \, minutes$ है।
$20 \, minutes$ को घंटों में बदलने पर: $\frac{20}{60} = \frac{1}{3} \, hours$।
प्रश्न के अनुसार:
$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} = \frac{1}{3}$
$3$ और $4$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ लेने पर:
$\frac{4x - 3x}{12} = \frac{1}{3}$
$\frac{x}{12} = \frac{1}{3}$
$x = \frac{12}{3} = 4 \, km$।
अतः,उसके घर से स्कूल की दूरी $4 \, km$ है।

(C) एक ही दिशा में चल रही दो ट्रेनों की सापेक्ष गति उनकी गति का अंतर होती है।
सापेक्ष गति $= (40 - 20) \, km/h = 20 \, km/h$.
गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलने के लिए,$\frac{5}{18}$ से गुणा करें।
सापेक्ष गति ($m/s$ में) $= 20 \times \frac{5}{18} = \frac{100}{18} = \frac{50}{9} \, m/s$.
तेज ट्रेन धीमी ट्रेन में बैठे व्यक्ति को पार करती है,जिसका अर्थ है कि तय की गई दूरी तेज ट्रेन की लंबाई के बराबर है।
तेज ट्रेन की लंबाई $=$ सापेक्ष गति $\times$ समय।
लंबाई $= \frac{50}{9} \times 5 = \frac{250}{9} \, m$.
मिश्रित भिन्न में बदलने पर: $\frac{250}{9} = 27 \frac{7}{9} \, m$.

(C) लड़का सुबह $10:00$ बजे निकला और दोपहर $1:30$ बजे पकड़ा गया। लड़के द्वारा लिया गया कुल समय $3 \, \text{घंटे }\, 30 \, \text{मिनट }= 3.5 \, \text{घंटे }= \frac{7}{2} \, \text{घंटे}$ है।
लड़के द्वारा तय की गई दूरी = $\text{गति} \times \text{समय} = 12 \times \frac{7}{2} = 42 \, km$।
बड़ा भाई $1 \, \text{घंटा }\, 15 \, \text{मिनट}$ बाद निकला,इसलिए उसका यात्रा का समय $3 \, \text{घंटे }\, 30 \, \text{मिनट }- 1 \, \text{घंटा }\, 15 \, \text{मिनट }= 2 \, \text{घंटे }\, 15 \, \text{मिनट }= 2.25 \, \text{घंटे }= \frac{9}{4} \, \text{घंटे}$ है।
चूंकि दोनों द्वारा तय की गई दूरी समान है,मान लीजिए स्कूटर की गति $x \, km/h$ है।
$x \times \frac{9}{4} = 42$।
$x = \frac{42 \times 4}{9} = \frac{14 \times 4}{3} = \frac{56}{3} = 18 \frac{2}{3} \, km/h$।

(C) $P$ से $Q$ तक व्यक्ति की गति $v_1 = 40 \, km/h$ है।
$Q$ से $P$ तक व्यक्ति की गति में $50\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $v_2 = 40 + (40 \text{ का } 50\%) = 40 + 20 = 60 \, km/h$ है।
जब यात्रा के दोनों भागों में तय की गई दूरी समान हो,तो औसत गति का सूत्र $\text{औसत गति} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$ होता है।
मान रखने पर: $\text{औसत गति} = \frac{2 \times 40 \times 60}{40 + 60} = \frac{4800}{100} = 48 \, km/h$।

(B) माना दूसरी ट्रेन की गति $x\, km/h$ है।
चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं, इसलिए उनकी सापेक्ष गति $(x + 60)\, km/h$ होगी।
सापेक्ष गति को $m/s$ में बदलने के लिए, हम इसे $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं:
सापेक्ष गति $= (x + 60) \times \frac{5}{18}\, m/s$.
तय की जाने वाली कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग है:
कुल दूरी $= 180\, m + 270\, m = 450\, m$.
सूत्र $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$ का उपयोग करते हुए:
$450 = (x + 60) \times \frac{5}{18} \times 10.8$.
$450 = (x + 60) \times 5 \times 0.6$.
$450 = (x + 60) \times 3$.
$150 = x + 60$.
$x = 150 - 60 = 90\, km/h$.

(B) माना कि दोनों ट्रेनें दिल्ली से $x\, \text{km}$ की दूरी पर मिलेंगी।
पश्चिम एक्सप्रेस द्वारा $x\, \text{km}$ की दूरी तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{x}{60}\, \text{घंटे}$ है।
अगस्त क्रांति एक्सप्रेस द्वारा $x\, \text{km}$ की दूरी तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{x}{80}\, \text{घंटे}$ है।
चूंकि अगस्त क्रांति एक्सप्रेस पश्चिम एक्सप्रेस से $2\, \text{घंटे}$ बाद चलती है $(16:30 - 14:30 = 2\, \text{घंटे})$,इसलिए लिए गए समय का अंतर $2\, \text{घंटे}$ है।
अतः,$\frac{x}{60} - \frac{x}{80} = 2$.
$60$ और $80$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $240$ लेने पर:
$\frac{4x - 3x}{240} = 2$.
$\frac{x}{240} = 2$.
$x = 480\, \text{km}$.
इस प्रकार,दोनों ट्रेनें दिल्ली से $480\, \text{km}$ की दूरी पर मिलेंगी।

(C) मान लीजिए शुरुआती बिंदु $A$ है।
$1$. आदमी $10 \, km$ दक्षिण की ओर चलकर बिंदु $B$ पर पहुँचता है।
$2$. वह दाएं (पश्चिम) मुड़ता है और $6 \, km$ चलकर बिंदु $C$ पर पहुँचता है।
$3$. वह दाएं (उत्तर) मुड़ता है और $10 \, km$ चलकर बिंदु $D$ पर पहुँचता है।
$4$. अंत में,वह दाएं (पूर्व) मुड़ता है और $5 \, km$ चलकर बिंदु $E$ पर पहुँचता है।
$5$. शुरुआती बिंदु $A$ से दूरी $AE = 6 \, km - 5 \, km = 1 \, km$ है।
अतः,वह अपने शुरुआती बिंदु से $1 \, km$ की दूरी पर है।

(A) माना दूरी $d \text{ km}$ है और निर्धारित समय $t \text{ मिनट}$ है।
जब गति $40 \text{ km/h}$ होती है,तो लिया गया समय $\frac{d}{40} \text{ घंटे} = \frac{60d}{40} \text{ मिनट} = 1.5d \text{ मिनट}$ होता है।
दिया गया है कि ट्रेन $11 \text{ मिनट}$ देरी से है,इसलिए: $1.5d = t + 11$ ... $(1)$
जब गति $50 \text{ km/h}$ होती है,तो लिया गया समय $\frac{d}{50} \text{ घंटे} = \frac{60d}{50} \text{ मिनट} = 1.2d \text{ मिनट}$ होता है।
दिया गया है कि ट्रेन $5 \text{ मिनट}$ देरी से है,इसलिए: $1.2d = t + 5$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(1.5d - 1.2d) = (t + 11) - (t + 5)$
$0.3d = 6$
$d = \frac{6}{0.3} = 20 \text{ km}$.
$d = 20$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$1.5(20) = t + 11$
$30 = t + 11$
$t = 30 - 11 = 19 \text{ मिनट}$.
अतः,सही समय $19 \text{ मिनट}$ है।

(B) मान लीजिए कि ट्रेनें $t$ घंटे बाद मिलती हैं।
$P$ से शुरू होने वाली ट्रेन $PR = 24t$ की दूरी तय करती है।
$Q$ से शुरू होने वाली ट्रेन $QR = 18t$ की दूरी तय करती है।
चूंकि $P, Q,$ और $R$ एक सीधी रेखा में हैं और $R, Q$ के आगे है,इसलिए हमारे पास है:
$PR - QR = PQ$
$24t - 18t = 27$
$6t = 27$
$t = \frac{27}{6} = 4.5 \text{ घंटे}$.
अतः,दूरी $QR = 18 \times 4.5 = 81 \, km$ है।

(C) माना ट्रेन $A$ की गति $v_A = 45\, \text{km/h}$ है और ट्रेन $B$ की गति $v_B$ है।
माना ट्रेन $A$ को $B$ को पार करने के बाद $Y$ तक पहुँचने में लगा समय $t_1$ है,और ट्रेन $B$ को $A$ को पार करने के बाद $X$ तक पहुँचने में लगा समय $t_2$ है।
दिया गया है: $t_1 = 4\, \text{घंटे } 48\, \text{मिनट} = 4 + \frac{48}{60} = 4 + \frac{4}{5} = \frac{24}{5}\, \text{घंटे}$.
दिया गया है: $t_2 = 3\, \text{घंटे } 20\, \text{मिनट} = 3 + \frac{20}{60} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}\, \text{घंटे}$.
जब दो वस्तुएं एक-दूसरे को पार करती हैं और फिर अपने गंतव्य तक पहुँचती हैं,तो उनकी गति का अनुपात $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{t_2}{t_1}}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{45}{v_B} = \sqrt{\frac{10/3}{24/5}} = \sqrt{\frac{10}{3} \times \frac{5}{24}} = \sqrt{\frac{50}{72}} = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}$.
अतः,$5 \times v_B = 45 \times 6$.
$v_B = \frac{45 \times 6}{5} = 9 \times 6 = 54\, \text{km/h}$.

(A) माना स्टेशन $A$ और स्टेशन $B$ के बीच की दूरी $x$ km है।
लिया गया समय $45$ मिनट $= \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ घंटे है।
ट्रेन की मूल गति $v = \frac{x}{3/4} = \frac{4x}{3}$ km/h है।
प्रश्न के अनुसार, यदि गति $5$ km/h कम कर दी जाए, तो नई गति $\left(\frac{4x}{3} - 5\right)$ km/h हो जाती है।
नया लिया गया समय $48$ मिनट $= \frac{48}{60} = \frac{4}{5}$ घंटे है।
सूत्र दूरी $=$ गति $\times$ समय का उपयोग करते हुए:
$x = \left(\frac{4x}{3} - 5\right) \times \frac{4}{5}$
दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करने पर:
$5x = \left(\frac{4x}{3} - 5\right) \times 4$
$5x = \frac{16x}{3} - 20$
हर को हटाने के लिए $3$ से गुणा करने पर:
$15x = 16x - 60$
$60 = 16x - 15x$
$x = 60$ km
अतः, स्टेशनों के बीच की दूरी $60$ km है।

(C) माना कि पहले पाँच किलोमीटर का किराया $Rs. X$ है।
यात्रा की कुल दूरी $= 187 \text{ km}$ है।
पहले $5 \text{ km}$ का किराया $X$ है।
शेष दूरी $= 187 - 5 = 182 \text{ km}$ है।
शेष दूरी के लिए $Rs. 13$ प्रति किलोमीटर की दर से किराया $182 \times 13 = 2366$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,कुल किराया $Rs. 2402$ है।
अतः,$X + 2366 = 2402$ है।
$X = 2402 - 2366$ है।
$X = 36$ है।
इसलिए,$X$ का मान $Rs. 36$ है।

(D) ट्रेन की गति $= 120\, km/h$ है।
इसे $m/s$ में बदलने पर: $120 \times \frac{5}{18} = \frac{100}{3}\, m/s$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए प्लेटफॉर्म की लंबाई $x\, m$ है।
जब ट्रेन प्लेटफॉर्म को पार करती है,तो तय की गई कुल दूरी $(x + 320)\, m$ होती है।
सूत्र $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$ का उपयोग करते हुए:
$x + 320 = \frac{100}{3} \times 24$।
$x + 320 = 100 \times 8 = 800$।
$x = 800 - 320 = 480\, m$।
आदमी उसी प्लेटफॉर्म $(480\, m)$ को $4\, minutes$ में पार करता है।
समय सेकंड में $= 4 \times 60 = 240\, s$।
आदमी की गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{480}{240} = 2\, m/s$।

(C) ट्रैक्टर की औसत गति $= \frac{575 \text{ किमी}}{23 \text{ घंटे}} = 25 \text{ किमी/घंटा}$।
बस की गति ट्रैक्टर की गति से दोगुनी है,इसलिए बस की गति $= 25 \times 2 = 50 \text{ किमी/घंटा}$।
कार की औसत गति बस की औसत गति की $1 \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$ गुनी है,इसलिए कार की गति $= 50 \times \frac{9}{5} = 90 \text{ किमी/घंटा}$।
कार द्वारा $4 \text{ घंटे में }$ तय की गई दूरी $= \text{गति} \times \text{समय} = 90 \times 4 = 360 \text{ किमी}$।

(A) माना ट्रेन $B$ की लंबाई $x \text{ मीटर}$ है।
तो ट्रेन $A$ की लंबाई $\frac{x}{2} \text{ मीटर}$ होगी।
ट्रेन $A$ द्वारा लिया गया समय = $25 \text{ सेकंड}$।
ट्रेन $B$ द्वारा लिया गया समय = $1 \text{ मिनट } 15 \text{ सेकंड} = 60 + 15 = 75 \text{ सेकंड}$।
ट्रेन $A$ की गति = $\frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{x/2}{25} = \frac{x}{50} \text{ मीटर/सेकंड}$।
ट्रेन $B$ की गति = $\frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{x}{75} \text{ मीटर/सेकंड}$।
ट्रेन $A$ और ट्रेन $B$ की गति का अनुपात = $\frac{x/50}{x/75} = \frac{75}{50} = \frac{3}{2} = 3:2$.

(D) माना कुल दूरी $D = 1 \, km$ है।
पहले भाग के लिए लगा समय $(t_1)$ $= \frac{1/5}{8} = \frac{1}{40} \, h$.
दूसरे भाग के लिए लगा समय $(t_2)$ $= \frac{1/10}{25} = \frac{1}{250} \, h$.
शेष दूरी $= 1 - (\frac{1}{5} + \frac{1}{10}) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10} \, km$.
शेष भाग के लिए लगा समय $(t_3)$ $= \frac{7/10}{20} = \frac{7}{200} \, h$.
कुल लगा समय $(T)$ $= t_1 + t_2 + t_3 = \frac{1}{40} + \frac{1}{250} + \frac{7}{200}$.
हर को समान करने पर $(1000)$: $T = \frac{25}{1000} + \frac{4}{1000} + \frac{35}{1000} = \frac{64}{1000} = \frac{8}{125} \, h$.
औसत गति $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{1}{8/125} = \frac{125}{8} = 15.625 \, km/h$.

(B) माना कि स्कूल की दूरी $x \, km$ है।
$3 \, km/h$ की गति से स्कूल पहुँचने में लगा समय $t_1 = \frac{x}{3} \, hours$ है।
$4 \, km/h$ की गति से स्कूल पहुँचने में लगा समय $t_2 = \frac{x}{4} \, hours$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दोनों समयों के बीच का अंतर $5 \, minutes$ देरी और $5 \, minutes$ जल्दी होने के कारण कुल $10 \, minutes$ है।
$10 \, minutes$ को घंटों में बदलने पर: $10 \, minutes = \frac{10}{60} \, hours = \frac{1}{6} \, hours$।
अतः,समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} = \frac{1}{6}$
$3$ और $4$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ लेने पर:
$\frac{4x - 3x}{12} = \frac{1}{6}$
$\frac{x}{12} = \frac{1}{6}$
$x = \frac{12}{6} = 2 \, km$।
इस प्रकार,पिंटू के घर से स्कूल की दूरी $2 \, km$ है।

(B) माना सामान्य गति $v$ है और सामान्य समय $t$ है।
चूंकि दूरी $d$ स्थिर है,$d = v \times t$।
जब व्यक्ति अपनी मूल गति की $\frac{3}{4}$ गति से गाड़ी चलाता है,तो नई गति $v' = \frac{3}{4}v$ होती है।
नया समय $t' = t + 20$ है।
चूंकि $d = v' \times t'$,इसलिए $v \times t = \frac{3}{4}v \times (t + 20)$।
दोनों पक्षों को $v$ से विभाजित करने पर,$t = \frac{3}{4}(t + 20)$ प्राप्त होता है।
$4t = 3t + 60$।
$t = 60 \text{ minutes}$।
अतः,सामान्य समय $60 \text{ minutes}$ है।

(D) मान लीजिए ट्रेन की लंबाई $L$ मीटर है और इसकी गति $v$ $m/s$ है।
कथन $II$ से,हम जानते हैं कि $L = y$ है।
कथन $III$ से,ट्रेन एक सिग्नल पोल को $m$ सेकंड में पार करती है। तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई $(y)$ के बराबर है। अतः,$v = y/m$ $m/s$ है।
कथन $I$ से,ट्रेन $x$ लंबाई के प्लेटफॉर्म को $n$ सेकंड में पार करती है। कुल तय की गई दूरी $(x + y)$ है। अतः,$v = (x + y)/n$ $m/s$ है।
हालाँकि हम कथनों $II$ और $III$ (या $I$ और $II$) का उपयोग करके गति $v$ को व्यक्त कर सकते हैं,लेकिन चर $x, y, n, m$ के कोई संख्यात्मक मान नहीं दिए गए हैं। इन चरों के लिए विशिष्ट संख्यात्मक मानों के बिना,गति की गणना $km/h$ में एक विशिष्ट संख्या के रूप में नहीं की जा सकती है। इसलिए,प्रश्न का उत्तर नहीं दिया जा सकता है।

(D) चरण $1$: कार की गति ज्ञात करें।
$\text{कार की गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{588 \text{ km}}{6 \text{ घंटे}} = 98 \text{ km/h}$.
चरण $2$: ट्रेन की गति ज्ञात करें।
ट्रेन की गति कार की गति की $1 \frac{3}{7} = \frac{10}{7}$ गुनी है।
$\text{ट्रेन की गति} = \frac{10}{7} \times 98 \text{ km/h} = 10 \times 14 \text{ km/h} = 140 \text{ km/h}$.
चरण $3$: $13 \text{ घंटे}$ में ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात करें।
$\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय} = 140 \text{ km/h} \times 13 \text{ घंटे} = 1820 \text{ km}$.

(D) औसत चाल कुल तय की गई दूरी और कुल लिए गए समय का अनुपात होती है।
कुल दूरी $= 39 \, km + 25 \, km = 64 \, km$.
कुल समय $= 45 \, minutes + 35 \, minutes = 80 \, minutes$.
समय को घंटों में बदलने के लिए $60$ से भाग देने पर: $80 \, minutes = \frac{80}{60} \, hours = \frac{4}{3} \, hours$.
औसत चाल $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{64 \, km}{(4/3) \, h} = 64 \times \frac{3}{4} \, km/h = 16 \times 3 \, km/h = 48 \, km/h$.

(B) कार की गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{720 \text{ km}}{9 \text{ h}} = 80 \text{ km/h}$.
बस की गति $= \frac{3}{4} \times 80 \text{ km/h} = 60 \text{ km/h}$.
बस और ट्रेन की गति का अनुपात $15:27$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\text{बस की गति}}{\text{ट्रेन की गति}} = \frac{15}{27}$.
ट्रेन की गति $= \frac{27}{15} \times 60 \text{ km/h} = 27 \times 4 = 108 \text{ km/h}$.
ट्रेन द्वारा $7 \text{ घंटे}$ में तय की गई दूरी $= \text{गति} \times \text{समय} = 108 \text{ km/h} \times 7 \text{ h} = 756 \text{ km}$.

(D) कंपनी $A$ के लिए: दर $3 \text{ सेकंड}$ पर $1 \text{ पैसा}$ है।
कुल समय $= 591 \text{ सेकंड}$।
कंपनी $A$ के लिए खर्च $= \frac{591}{3} = 197 \text{ पैसे}$।
कंपनी $B$ के लिए: दर $60 \text{ सेकंड}$ $(1 \text{ मिनट})$ पर $45 \text{ पैसे}$ है।
कुल समय $= 780 \text{ सेकंड}$।
कंपनी $B$ के लिए खर्च $= \frac{45}{60} \times 780 = 45 \times 13 = 585 \text{ पैसे}$।
कुल खर्च $= 197 + 585 = 782 \text{ पैसे}$।
चूंकि $100 \text{ पैसे} = 1 \text{ रुपया}$,इसलिए कुल राशि $7.82 \text{ रुपये}$ है।

(B) सबसे पहले,ट्रेन की गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
$108 \, km/h = 108 \times \frac{5}{18} = 30 \, m/s$.
मान लीजिए प्लेटफॉर्म की लंबाई $L \, m$ है।
जब ट्रेन प्लेटफॉर्म को पार करती है,तो तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग होती है:
$\text{गति} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{समय}}$
$30 = \frac{280 + L}{12}$
$360 = 280 + L$
$L = 360 - 280 = 80 \, m$.
व्यक्ति उसी $80 \, m$ लंबे प्लेटफॉर्म को $10 \, s$ में पार करता है। व्यक्ति की लंबाई को नगण्य मानते हुए:
$\text{व्यक्ति की गति} = \frac{\text{प्लेटफॉर्म की लंबाई}}{\text{समय}} = \frac{80}{10} = 8 \, m/s$.

(C) चरण $1$: ट्रैक्टर की गति की गणना करें।
ट्रैक्टर की गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{575 \, km}{23 \, \text{घंटे}} = 25 \, km/h$.
चरण $2$: बस की गति की गणना करें।
दिया गया है कि बस की गति ट्रैक्टर की गति से दोगुनी है।
बस की गति $= 2 \times 25 \, km/h = 50 \, km/h$.
चरण $3$: कार की गति की गणना करें।
कार की औसत गति बस की गति की $1 \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$ गुनी है।
कार की गति $= \frac{9}{5} \times 50 \, km/h = 90 \, km/h$.
चरण $4$: कार द्वारा $4 \, \text{घंटे}$ में तय की गई दूरी की गणना करें।
दूरी $= \text{गति} \times \text{समय} = 90 \, km/h \times 4 \, \text{घंटे }= 360 \, km$.

(D) औसत चाल को कुल तय की गई दूरी और कुल लिए गए समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
कुल दूरी $= 39 \, km + 25 \, km = 64 \, km$.
कुल समय $= 45 \, minutes + 35 \, minutes = 80 \, minutes$.
समय को घंटों में बदलने के लिए,$60$ से भाग देने पर: कुल समय $= \frac{80}{60} \, hours = \frac{4}{3} \, hours$.
औसत चाल $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{64 \, km}{\frac{4}{3} \, hours} = 64 \times \frac{3}{4} \, km/h = 16 \times 3 \, km/h = 48 \, km/h$.

(D) माना ट्रेन की गति $x \, km/h$ है।
चूंकि व्यक्ति उसी दिशा में चल रहा है,इसलिए सापेक्ष गति $(x - 3) \, km/h$ होगी।
सापेक्ष गति को $m/s$ में बदलने के लिए,हम इसे $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं। अतः,सापेक्ष गति $= (x - 3) \times \frac{5}{18} \, m/s$ है।
ट्रेन द्वारा व्यक्ति को पार करने में तय की गई दूरी उसकी अपनी लंबाई के बराबर है,जो $300 \, m$ है।
सूत्र $\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$ का उपयोग करते हुए:
$(x - 3) \times \frac{5}{18} = \frac{300}{33}$
$(x - 3) = \frac{300}{33} \times \frac{18}{5}$
$(x - 3) = \frac{60}{11} \times 6 = \frac{360}{11} = 32 \frac{8}{11}$
$x = 32 \frac{8}{11} + 3 = 35 \frac{8}{11} \, km/h$.

(C) माना बस की गति $v_b = 20 \text{ km/h}$ है और व्यक्ति की गति $v_m = x \text{ km/h}$ है।
दो लगातार बसों के बीच की दूरी वह दूरी है जो एक बस $10 \text{ मिनट}$ में तय करती है।
दूरी $D = v_b \times \text{समय} = 20 \times (10/60) \text{ km} = 10/3 \text{ km}$।
जब व्यक्ति विपरीत दिशा में चलता है,तो बस के सापेक्ष व्यक्ति की सापेक्ष गति $(v_b + v_m) = (20 + x) \text{ km/h}$ होती है।
व्यक्ति $8 \text{ मिनट}$ के अंतराल पर बसों से मिलता है,जिसका अर्थ है कि $D$ दूरी सापेक्ष गति द्वारा $8 \text{ मिनट}$ में तय की जाती है।
$D = (v_b + v_m) \times \text{समय अंतराल}$।
$10/3 = (20 + x) \times (8/60)$।
$10/3 = (20 + x) \times (2/15)$।
दोनों पक्षों को $15/2$ से गुणा करने पर:
$(10/3) \times (15/2) = 20 + x$।
$5 \times 5 = 20 + x$।
$25 = 20 + x$।
$x = 5 \text{ km/h}$।

(C) कार $A$ द्वारा तय की गई दूरी $= \text{चाल} \times \text{समय} = 65 \text{ km/h} \times 8 \text{ घंटे} = 520 \text{ km}$.
कार $B$ द्वारा तय की गई दूरी $= \text{चाल} \times \text{समय} = 70 \text{ km/h} \times 4 \text{ घंटे} = 280 \text{ km}$.
कार $A$ और कार $B$ द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात $\frac{520}{280}$ है।
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{520}{280} = \frac{52}{28} = \frac{13}{7}$.
अतः, अनुपात $13:7$ है।

(A) प्रारंभिक बिंदु और गंतव्य के बीच की दूरी की गणना इस प्रकार की जाती है: $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय} = 30 \, km/h \times 6 \, h = 180 \, km$.
हेमा की मूल गति है: $\text{गति} = \frac{180 \, km}{4 \, h} = 45 \, km/h$.
दीपा की नई गति $30 + 10 = 40 \, km/h$ है। दीपा द्वारा लिया गया नया समय: $\text{समय} = \frac{180 \, km}{40 \, km/h} = 4.5 \, h = 4 \, \text{घंटे }\, 30 \, \text{मिनट}$.
हेमा की नई गति $45 + 5 = 50 \, km/h$ है। हेमा द्वारा लिया गया नया समय: $\text{समय} = \frac{180 \, km}{50 \, km/h} = 3.6 \, h = 3 \, \text{घंटे }\, 36 \, \text{मिनट}$.
लिए गए समय में अंतर है: $4 \, \text{घंटे }\, 30 \, \text{मिनट }- 3 \, \text{घंटे }\, 36 \, \text{मिनट }= 54 \, \text{मिनट}$.

(A) बस की गति $= \frac{480 \, km}{8 \, h} = 60 \, km/h$.
यह दिया गया है कि बस की गति ट्रेन की गति का $\frac{3}{4}$ है,इसलिए: $60 = \frac{3}{4} \times \text{ट्रेन की गति}$.
ट्रेन की गति $= \frac{60 \times 4}{3} = 80 \, km/h$.
ट्रेन और कार की गति का अनुपात $16: 15$ है। मान लीजिए ट्रेन की गति $16x$ और कार की गति $15x$ है।
चूंकि $16x = 80$,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।
कार की गति $= 15 \times 5 = 75 \, km/h$.
कार द्वारा $6 \, \text{घंटे}$ में तय की गई दूरी $= \text{गति} \times \text{समय} = 75 \, km/h \times 6 \, h = 450 \, km$.

(A) $1$ व्यक्ति के लिए बस का किराया $= Rs. 420$.
$2$ व्यक्तियों के लिए बस का किराया $= 420 \times 2 = Rs. 840$.
$1$ व्यक्ति के लिए ट्रेन का किराया $= \frac{3}{4} \times (2 \text{ व्यक्तियों के लिए बस का किराया}) = \frac{3}{4} \times 840 = 3 \times 210 = Rs. 630$.
बस से $2$ व्यक्तियों और ट्रेन से $4$ व्यक्तियों का कुल किराया $= (2 \times 420) + (4 \times 630)$.
$= 840 + 2520 = Rs. 3360$.

(A) मान लीजिए कि ट्रेन $B$ की लंबाई $x \,m$ है। चूंकि ट्रेन $A$ की गति समान है,इसलिए हम दोनों स्थितियों से प्राप्त गति की तुलना कर सकते हैं।
जब ट्रेन $A$ खंभे को पार करती है तो उसकी गति: $v = \frac{\text{ट्रेन } A \text{ की लंबाई}}{\text{समय}} = \frac{240 \,m}{20 \,s} = 12 \,m/s$.
जब ट्रेन $A$ स्थिर ट्रेन $B$ को पार करती है,तो तय की गई कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग होती है: $D = 240 + x$.
सूत्र $\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$ का उपयोग करते हुए:
$12 = \frac{240 + x}{50}$
दोनों पक्षों को $50$ से गुणा करने पर:
$600 = 240 + x$
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = 600 - 240 = 360 \,m$.
अतः,स्थिर ट्रेन $B$ की लंबाई $360 \,m$ है।

(B) बाइक द्वारा तय की गई कुल दूरी की गणना $\text{Distance} = \text{Speed} \times \text{Time}$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
दिया गया है,$\text{Speed} = 64 \, km/h$ और $\text{Time} = 8 \, hours$.
$\text{Distance} = 64 \times 8 = 512 \, km$.
अब,$512 \, km$ की समान दूरी को $6 \, hours$ में तय करने के लिए,आवश्यक गति की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{Speed} = \frac{\text{Distance}}{\text{Time}} = \frac{512}{6} \, km/h$.
$\text{Speed} \approx 85.33 \, km/h$.
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,अनुमानित गति $85 \, km/h$ है।

(B) माना घर और स्कूल के बीच की दूरी $x \, km$ है।
$3 \, km/h$ की गति से लगा समय = $\frac{x}{3} \, hours$।
$4 \, km/h$ की गति से लगा समय = $\frac{x}{4} \, hours$।
दोनों स्थितियों के बीच समय का अंतर $5 \, minutes$ देरी और $5 \, minutes$ जल्दी है,जो कुल $10 \, minutes$ या $\frac{10}{60} = \frac{1}{6} \, hours$ के बराबर है।
प्रश्न के अनुसार:
$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} = \frac{1}{6}$
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\frac{4x - 3x}{12} = \frac{1}{6}$
$\frac{x}{12} = \frac{1}{6}$
$x = \frac{12}{6} = 2 \, km$।
अतः,दूरी $2 \, km$ है।

(A) मान लीजिए कि $A$ और $B$ से शुरू होने वाली कारों की गति क्रमशः $x \, km/h$ और $y \, km/h$ है,जहाँ $x > y$ है।
स्थिति $I$: जब दोनों कारें एक ही दिशा में चलती हैं,तो सापेक्ष गति $(x - y) \, km/h$ होती है।
दिया गया है कि वे $100 \, km$ की दूरी $5 \, \text{घंटे}$ में तय करती हैं:
$5(x - y) = 100 \Rightarrow x - y = 20$ .....$(1)$
स्थिति $II$: जब दोनों कारें एक-दूसरे की ओर चलती हैं,तो सापेक्ष गति $(x + y) \, km/h$ होती है।
दिया गया है कि वे $100 \, km$ की दूरी $1 \, \text{घंटे}$ में तय करती हैं:
$1(x + y) = 100 \Rightarrow x + y = 100$ .....$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(x - y) + (x + y) = 20 + 100$
$2x = 120 \Rightarrow x = 60 \, km/h$.
समीकरण $(2)$ में $x = 60$ रखने पर:
$60 + y = 100 \Rightarrow y = 40 \, km/h$.
अतः,तेज चलने वाली कार की गति $60 \, km/h$ है।

(C) पहली ट्रेन की गति $(v_1)$ $= 60 \, km/h$ है।
इसे $m/s$ में बदलने पर: $v_1 = 60 \times \frac{5}{18} = \frac{50}{3} \, m/s$.
मान लीजिए दूसरी ट्रेन की गति $v_2 \, m/s$ है।
चूंकि दोनों ट्रेनें एक ही दिशा में चल रही हैं,इसलिए सापेक्ष गति $(v_1 - v_2) = (\frac{50}{3} - v_2) \, m/s$ होगी।
पहली ट्रेन $18 \, seconds$ में $120 \, m$ की सापेक्ष दूरी तय करती है।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{सापेक्ष गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$.
$\frac{50}{3} - v_2 = \frac{120}{18} = \frac{20}{3}$.
$v_2 = \frac{50}{3} - \frac{20}{3} = \frac{30}{3} = 10 \, m/s$.
इसे वापस $km/h$ में बदलने पर: $10 \times \frac{18}{5} = 36 \, km/h$.

(A) माना बस की लंबाई $l$ इकाई है।
व्यक्ति की गति $= \frac{l}{18} \text{ इकाई/सेकंड}$।
बस की गति $= \frac{l}{4} \text{ इकाई/सेकंड}$।
बस की गति और व्यक्ति की गति का अनुपात $= \frac{l/4}{l/18} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$।
अतः,अनुपात $9:2$ है।

(A) चरण $1$: ट्रेन $A$ की गति ज्ञात करें। चूंकि यह $20 \text{ सेकंड में}$ एक खंभे को पार करती है,इसलिए गति $v = \frac{\text{ट्रेन } A \text{ की लंबाई}}{\text{समय}} = \frac{240 \text{ मीटर}}{20 \text{ सेकंड}} = 12 \text{ मीटर/सेकंड}$ है।
चरण $2$: ट्रेन $B$ को पार करते समय तय की गई कुल दूरी ज्ञात करें। $50 \text{ सेकंड में}$ तय की गई दूरी $D = \text{गति} \times \text{समय} = 12 \text{ मीटर/सेकंड} \times 50 \text{ सेकंड} = 600 \text{ मीटर}$ है।
चरण $3$: एक स्थिर ट्रेन को पार करते समय तय की गई कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग $(L_A + L_B)$ होती है।
इसलिए,$240 + L_B = 600 \text{ मीटर}$।
$L_B = 600 - 240 = 360 \text{ मीटर}$।

(A) ट्रैक्टर की गति $= \frac{360\,km}{12\,h} = 30\,km/h$.
कार,जीप और ट्रैक्टर की गति का अनुपात $3:5:2$ दिया गया है। मान लीजिए कि उनकी गति क्रमशः $3x$,$5x$ और $2x$ है।
चूंकि ट्रैक्टर की गति $30\,km/h$ है,इसलिए $2x = 30$,जिसका अर्थ है $x = 15$.
कार की गति $= 3x = 3 \times 15 = 45\,km/h$.
जीप की गति $= 5x = 5 \times 15 = 75\,km/h$.
कार और जीप की औसत गति $= \frac{45 + 75}{2} = \frac{120}{2} = 60\,km/h$.

(C) मान लीजिए कि कार,ट्रेन और बस की गति क्रमशः $5x \text{ km/h}$,$9x \text{ km/h}$ और $4x \text{ km/h}$ है।
तीनों की औसत गति $\frac{5x + 9x + 4x}{3} = \frac{18x}{3} = 6x \text{ km/h}$ है।
दिया गया है कि औसत गति $72 \text{ km/h}$ है,इसलिए $6x = 72$,जिसका अर्थ है $x = 12 \text{ km/h}$।
कार और ट्रेन की एक साथ औसत गति $\frac{5x + 9x}{2} = \frac{14x}{2} = 7x$ है।
$x$ का मान रखने पर,हमें $7 \times 12 = 84 \text{ km/h}$ प्राप्त होता है।

(B) दो ट्रेनों द्वारा एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की गई कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है: $180 \, m + 270 \, m = 450 \, m$.
पार करने में लगा समय $10.8 \, s$ है।
दोनों ट्रेनों की सापेक्ष गति $m/s$ में $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{समय}} = \frac{450}{10.8} \, m/s = \frac{4500}{108} \, m/s$.
सापेक्ष गति को $m/s$ से $km/h$ में बदलने के लिए,$\frac{18}{5}$ से गुणा करें:
सापेक्ष गति $= \frac{4500}{108} \times \frac{18}{5} \, km/h = \frac{900}{6} \, km/h = 150 \, km/h$.
चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं,उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग है: $V_{rel} = V_1 + V_2$.
$150 \, km/h = 60 \, km/h + V_2$.
अतः,दूसरी ट्रेन की गति $V_2 = 150 \, km/h - 60 \, km/h = 90 \, km/h$.