Time and Distances Questions in Hindi

(C) माना कि घर और स्कूल के बीच की दूरी $S \, km$ है।
स्कूल जाने में लगा समय $= \frac{S}{3} \, hours$ है।
स्कूल से वापस आने में लगा समय $= \frac{S}{2} \, hours$ है।
आने-जाने में लगा कुल समय $5 \, hours$ है।
इसलिए,$\frac{S}{3} + \frac{S}{2} = 5$ है।
$3$ और $2$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $6$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2S + 3S}{6} = 5$.
$\frac{5S}{6} = 5$.
$5S = 30$.
$S = 6 \, km$.
अतः,उसके घर और स्कूल के बीच की दूरी $6 \, km$ है।

(C) जब दो अलग-अलग गतियों के लिए तय की गई दूरी समान हो,तो औसत गति का सूत्र $\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$ होता है।
यहाँ,$v_1 = 64 \, km/hr$ और $v_2 = 80 \, km/hr$ है।
औसत गति $= \frac{2 \times 64 \times 80}{64+80} = \frac{2 \times 64 \times 80}{144}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{10240}{144} = \frac{640}{9} \approx 71.11 \, km/hr$.

(C) माना कि पैदल तय की गई दूरी $x \, km$ है।
तब साइकिल द्वारा तय की गई दूरी $(61 - x) \, km$ होगी।
हम जानते हैं कि $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$.
पैदल लिया गया समय = $\frac{x}{4} \, hours$.
साइकिल पर लिया गया समय = $\frac{61 - x}{9} \, hours$.
कुल समय $9 \, hours$ है,इसलिए:
$\frac{x}{4} + \frac{61 - x}{9} = 9$
पूरे समीकरण को $36$ ($4$ और $9$ का ल.स.प.) से गुणा करने पर:
$9x + 4(61 - x) = 9 \times 36$
$9x + 244 - 4x = 324$
$5x = 324 - 244$
$5x = 80$
$x = \frac{80}{5} = 16 \, km$.
अतः,पैदल तय की गई दूरी $16 \, km$ है।

(C) कुल दूरी $= 6 \, km$.
कुल समय $= 45 \, minutes = \frac{45}{60} \, hr = 0.75 \, hr$.
पहली आधी दूरी $= 3 \, km$.
पहली आधी दूरी के लिए लिया गया समय $= \frac{2}{3} \times 45 \, minutes = 30 \, minutes = 0.5 \, hr$.
शेष दूरी $= 6 \, km - 3 \, km = 3 \, km$.
शेष समय $= 45 \, minutes - 30 \, minutes = 15 \, minutes = \frac{15}{60} \, hr = 0.25 \, hr$.
शेष दूरी के लिए आवश्यक गति $= \frac{\text{शेष दूरी}}{\text{शेष समय}} = \frac{3 \, km}{0.25 \, hr} = 12 \, km/hr$.

(B) औसत चाल $= \frac{\text{कुल तय की गई दूरी}}{\text{कुल लिया गया समय}}$
कुल तय की गई दूरी $= 10 \, km + 12 \, km = 22 \, km$
पहले भाग के लिए लिया गया समय $= \frac{10 \, km}{12 \, km/hr} = \frac{5}{6} \, hr$
दूसरे भाग के लिए लिया गया समय $= \frac{12 \, km}{10 \, km/hr} = \frac{6}{5} \, hr$
कुल लिया गया समय $= \frac{5}{6} + \frac{6}{5} = \frac{25 + 36}{30} = \frac{61}{30} \, hr$
औसत चाल $= \frac{22}{\frac{61}{30}} = \frac{22 \times 30}{61} = \frac{660}{61} \approx 10.82 \, km/hr$
अतः,औसत चाल लगभग $10.8 \, km/hr$ है।

(B) माना कि तीन समान भागों में से प्रत्येक के लिए दूरी $d \, km$ है।
कुल दूरी $= 3d \, km$।
प्रत्येक भाग के लिए लिया गया समय $t_1 = d/3$,$t_2 = d/4$ और $t_3 = d/5$ घंटे है।
कुल समय $= 47 \, minutes = 47/60 \, \text{घंटे}$।
अतः,$d/3 + d/4 + d/5 = 47/60$।
$3, 4, 5$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $60$ लेने पर:
$(20d + 15d + 12d) / 60 = 47/60$।
$47d / 60 = 47/60$।
इसलिए,$d = 1 \, km$।
कुल दूरी $= 3d = 3 \times 1 = 3 \, km$।

(C) से चलने वाली ट्रेन द्वारा सुबह $8$ बजे से $9$ बजे के बीच तय की गई दूरी $= 60\, km/hr \times 1\, hr = 60\, km$ है।
सुबह $9$ बजे दोनों ट्रेनों के बीच की शेष दूरी $= 330\, km - 60\, km = 270\, km$ है।
चूंकि ट्रेनें एक-दूसरे की ओर आ रही हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति $= 60\, km/hr + 75\, km/hr = 135\, km/hr$ होगी।
सुबह $9$ बजे के बाद उन्हें मिलने में लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{270\, km}{135\, km/hr} = 2\, \text{घंटे}$ है।
अतः,दोनों ट्रेनें सुबह $9 + 2 = 11$ बजे मिलेंगी।

(A) माना उड़ान की मूल अवधि $t$ घंटे है।
मूल गति $v = \frac{600}{t} \, km/hr$ है।
प्रश्न के अनुसार,नई गति $v' = v - 200 = \frac{600}{t} - 200$ है।
नया समय $t' = t + 0.5$ घंटे है।
चूंकि दूरी स्थिर $(600 \, km)$ है,इसलिए $v' \times t' = 600$ होगा।
$(\frac{600}{t} - 200)(t + 0.5) = 600$.
$600 + \frac{300}{t} - 200t - 100 = 600$.
$\frac{300}{t} - 200t - 100 = 0$.
$100$ से भाग देने पर: $\frac{3}{t} - 2t - 1 = 0$.
$3 - 2t^2 - t = 0 \implies 2t^2 + t - 3 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2t^2 + 3t - 2t - 3 = 0$.
$t(2t + 3) - 1(2t + 3) = 0$.
$(t - 1)(2t + 3) = 0$.
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $t = 1$ घंटा।

(A) माना अभय की गति $x \, km/h$ है।
अभय द्वारा $30 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{30}{x} \, \text{घंटे}$.
चूंकि अभय समीर से $2 \, \text{घंटे}$ अधिक लेता है,इसलिए समीर द्वारा लिया गया समय $= \left(\frac{30}{x} - 2\right) \, \text{घंटे}$.
यदि अभय अपनी गति दोगुनी कर देता है,तो उसकी नई गति $2x \, km/h$ होगी।
दोगुनी गति पर अभय द्वारा लिया गया समय $= \frac{30}{2x} = \frac{15}{x} \, \text{घंटे}$.
प्रश्न के अनुसार,यह समय समीर के समय से $1 \, \text{घंटा}$ कम है:
$\frac{15}{x} = \left(\frac{30}{x} - 2\right) - 1$
$\frac{15}{x} = \frac{30}{x} - 3$
$3 = \frac{30}{x} - \frac{15}{x}$
$3 = \frac{15}{x}$
$x = \frac{15}{3} = 5 \, km/h$.
अतः,अभय की गति $5 \, km/h$ है।

(C) माना यात्रा की दूरी $x \, km$ है।
$40 \, km/hr$ की गति पर लिया गया समय $t_1 = \frac{x}{40} \, hours$ है।
$35 \, km/hr$ की गति पर लिया गया समय $t_2 = \frac{x}{35} \, hours$ है।
यह दिया गया है कि समय का अंतर $15 \, minutes$ है,जो $\frac{15}{60} = \frac{1}{4} \, hours$ के बराबर है।
अतः,$\frac{x}{35} - \frac{x}{40} = \frac{1}{4}$.
$35$ और $40$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $280$ है:
$\frac{8x - 7x}{280} = \frac{1}{4}$.
$\frac{x}{280} = \frac{1}{4}$.
$x = \frac{280}{4} = 70 \, km$.
इस प्रकार,यात्रा की दूरी $70 \, km$ है।

(A) के सापेक्ष $B$ की सापेक्ष गति $(6 - 1) = 5$ चक्कर/घंटा है।
इसका अर्थ है कि $B$,$A$ से एक घंटे में $5$ पूरे चक्कर अधिक लगाता है।
पहली बार मिलने के लिए,$B$ को $A$ से ठीक $1$ चक्कर अधिक पूरा करना होगा।
$5$ चक्कर पूरा करने में लगा समय $= 60$ मिनट।
$1$ चक्कर पूरा करने में लगा समय $= \frac{60}{5} = 12$ मिनट।
चूंकि वे सुबह $7.30$ बजे शुरू करते हैं,इसलिए वे $12$ मिनट बाद पहली बार मिलेंगे।
अतः,मिलने का समय $7.30 + 12 \text{ मिनट} = 7.42 \, a.m.$ होगा।

(B) माना कार $P$ की गति $u \, km/hr$ है और कार $Q$ की गति $v \, km/hr$ है।
जब कारें विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं,तो उनकी सापेक्ष गति $(u + v)$ होती है।
चूंकि वे $120 \, km$ की दूरी $1 \, \text{घंटे}$ में तय करती हैं,इसलिए: $u + v = \frac{120}{1} = 120 \dots (1)$.
जब कारें एक ही दिशा में यात्रा करती हैं,तो उनकी सापेक्ष गति $(u - v)$ होती है।
चूंकि वे $120 \, km$ की दूरी $6 \, \text{घंटे}$ में तय करती हैं,इसलिए: $u - v = \frac{120}{6} = 20 \dots (2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $(u + v) + (u - v) = 120 + 20$.
$2u = 140$,जिसका अर्थ है कि $u = 70 \, km/hr$.
अतः,कार $P$ की गति $70 \, km/hr$ है।

(A) पुलिसकर्मी और चोर के बीच की प्रारंभिक दूरी $200\, m$ है।
चोर के सापेक्ष पुलिसकर्मी की सापेक्ष गति $= 11\, km/h - 10\, km/h = 1\, km/h$ है।
सापेक्ष गति को मीटर प्रति मिनट में बदलने के लिए,हम जानते हैं कि $1\, km/h = \frac{1000\, m}{60\, min} = \frac{50}{3}\, m/min$।
$6\, \text{मिनट}$ में चोर के सापेक्ष पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी $= \text{सापेक्ष गति} \times \text{समय} = \frac{50}{3}\, m/min \times 6\, min = 100\, m$।
अतः,$6\, \text{मिनट}$ बाद उनके बीच की शेष दूरी $= 200\, m - 100\, m = 100\, m$ है।

(A) माना कि तय की गई वास्तविक दूरी $x \, km$ है और लिया गया समय $t \, hr$ है।
चूंकि दोनों स्थितियों में लिया गया समय समान है,हम लिख सकते हैं:
$t = \frac{x}{10}$
साथ ही,यदि वह $14 \, km/hr$ की गति से चलता है,तो वह उसी समय $t$ में $x + 20 \, km$ की दूरी तय करता है:
$t = \frac{x + 20}{14}$
$t$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{x}{10} = \frac{x + 20}{14}$
$14x = 10(x + 20)$
$14x = 10x + 200$
$4x = 200$
$x = 50 \, km$
अतः,तय की गई वास्तविक दूरी $50 \, km$ है।

(C) चूंकि $A$ और $B$ विपरीत दिशाओं में चल रहे हैं, इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होगी।
सापेक्ष गति $= 2 + 3 = 5$ rounds per hour।
इसका अर्थ है कि वे हर घंटे में $5$ बार एक-दूसरे को पार करेंगे।
$8\, a.m.$ से $9.30\, a.m.$ तक कुल समय $1.5$ hours है।
पार करने की कुल संख्या
$= \text{सापेक्ष गति} \times \text{समय} = 5 \times 1.5 = 7.5$
अतः, $9.30\, a.m.$ से पहले वे $7$ बार एक-दूसरे को पार करेंगे।

(C) माना ट्रेन की गति $v_t\, km/hr$ और कार की गति $v_c\, km/hr$ है।
स्थिति $1$: $\frac{120}{v_t} + \frac{480}{v_c} = 8$ --- $(1)$
स्थिति $2$: $\frac{200}{v_t} + \frac{400}{v_c} = 8 + \frac{20}{60} = 8 + \frac{1}{3} = \frac{25}{3}$ --- $(2)$
$(1)$ को $40$ से विभाजित करने पर: $\frac{3}{v_t} + \frac{12}{v_c} = \frac{1}{5}$ --- $(3)$
$(2)$ को $200$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{v_t} + \frac{2}{v_c} = \frac{25}{3 \times 200} = \frac{1}{24}$ --- $(4)$
$(4)$ को $3$ से गुणा करने पर: $\frac{3}{v_t} + \frac{6}{v_c} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ --- $(5)$
$(3)$ में से $(5)$ घटाने पर: $(\frac{12}{v_c} - \frac{6}{v_c}) = \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{6}{v_c} = \frac{8-5}{40} = \frac{3}{40} \Rightarrow v_c = \frac{6 \times 40}{3} = 80\, km/hr$.
$v_c = 80$ को $(4)$ में रखने पर: $\frac{1}{v_t} + \frac{2}{80} = \frac{1}{24} \Rightarrow \frac{1}{v_t} = \frac{1}{24} - \frac{1}{40} = \frac{5-3}{120} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60} \Rightarrow v_t = 60\, km/hr$.
ट्रेन की गति और कार की गति का अनुपात $= v_t : v_c = 60 : 80 = 3 : 4$.

(C) $P$ से $Q$ तक की गति $v_1 = 40 \, km/hr$ है।
वापसी की गति में $50 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $v_2 = 40 + (0.50 \times 40) = 40 + 20 = 60 \, km/hr$ है।
जब दूरी समान हो,तो औसत गति का सूत्र $\text{औसत गति} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$ होता है।
मान रखने पर: $\text{औसत गति} = \frac{2 \times 40 \times 60}{40 + 60} = \frac{4800}{100} = 48 \, km/hr$।

(C) माना घर से स्कूल की दूरी $x \, km$ है।
माना स्कूल पहुँचने का निर्धारित समय $t \, hours$ है।
पहले मामले में,गति $v_1 = 2.5 \, km/hr$ है और लिया गया समय $t_1 = t + \frac{6}{60} = t + 0.1 \, hours$ है।
सूत्र $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$ का उपयोग करते हुए,$x = 2.5(t + 0.1)$ प्राप्त होता है।
दूसरे मामले में,गति $v_2 = 2.5 + 1 = 3.5 \, km/hr$ है और लिया गया समय $t_2 = t - \frac{6}{60} = t - 0.1 \, hours$ है।
अतः,$x = 3.5(t - 0.1)$।
$x$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $2.5(t + 0.1) = 3.5(t - 0.1)$।
$2.5t + 0.25 = 3.5t - 0.35$।
$1.0t = 0.6$,इसलिए $t = 0.6 \, hours$।
$t$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $x = 2.5(0.6 + 0.1) = 2.5 \times 0.7 = 1.75 \, km$।

(D) माना कार की वास्तविक गति $v \, km/hr$ है।
दी गई गति $= \frac{5}{7}v$.
लिया गया समय $= 1 \, \text{घंटा }+ 40 \, \text{मिनट }+ 48 \, \text{सेकंड}$.
समय को घंटों में बदलने पर: $1 + \frac{40}{60} + \frac{48}{3600} = 1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{75} = \frac{75 + 50 + 1}{75} = \frac{126}{75} = 1.68 \, \text{घंटे}$.
सूत्र $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$ का उपयोग करने पर:
$42 = (\frac{5}{7}v) \times 1.68$.
$42 = (\frac{5}{7}v) \times \frac{126}{75}$.
$42 = v \times \frac{5 \times 126}{7 \times 75} = v \times \frac{630}{525} = v \times 1.2$.
$v = \frac{42}{1.2} = 35 \, km/hr$.

(D) कुल दूरी $= 600 + 800 + 500 + 100 = 2000 \, km$.
कुल लगा समय $= \frac{600}{80} + \frac{800}{40} + \frac{500}{400} + \frac{100}{50}$.
$= 7.5 + 20 + 1.25 + 2 = 30.75 \, \text{घंटे}$.
औसत गति $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2000}{30.75} = \frac{200000}{3075} = \frac{8000}{123} \, km/hr$.
$= 65 \frac{5}{123} \, km/hr$.

(B) माना $A$ की गति $v_A$ और $B$ की गति $v_B$ है ($km/hr$ में)।
दिया गया है: $v_A + v_B = 7$ और $v_A > v_B$.
$A$ द्वारा लिया गया समय $t_A = \frac{24}{v_A}$ और $B$ द्वारा लिया गया समय $t_B = \frac{24}{v_B}$ है।
दिया गया है: $t_A + t_B = 14$,इसलिए $\frac{24}{v_A} + \frac{24}{v_B} = 14$.
$\frac{24(v_A + v_B)}{v_A v_B} = 14$.
$v_A + v_B = 7$ रखने पर: $\frac{24 \times 7}{v_A v_B} = 14$.
$v_A v_B = \frac{24 \times 7}{14} = 12$.
हमारे पास $v_A + v_B = 7$ और $v_A v_B = 12$ है। द्विघात समीकरण $x^2 - 7x + 12 = 0$ को हल करने पर गति प्राप्त होती है।
$(x - 4)(x - 3) = 0$,इसलिए $x = 4$ या $x = 3$.
चूंकि $A$,$B$ से तेज़ है,इसलिए $v_A = 4 \, km/hr$ और $v_B = 3 \, km/hr$ होगा।

(B) माना सामान्य गति $v$ है और सामान्य समय $t$ है।
दूरी $d = v \times t$ है।
जब व्यक्ति अपनी सामान्य गति के $\frac{6}{7}$ भाग पर चलता है, तो नई गति $v' = \frac{6}{7}v$ होती है।
नया समय $t' = \frac{d}{v'} = \frac{d}{\frac{6}{7}v} = \frac{7}{6} \times \frac{d}{v} = \frac{7}{6}t$ होगा।
दिया गया है कि व्यक्ति $12 \, \text{मिनट}$ देरी से है, इसलिए समय का अंतर $t' - t = 12 \, \text{मिनट}$ है।
$\frac{7}{6}t - t = 12 \, \text{मिनट}$.
$\frac{1}{6}t = 12 \, \text{मिनट}$.
$t = 12 \times 6 = 72 \, \text{मिनट}$.
$72 \, \text{मिनट} = 1 \, \text{घंटा} \, 12 \, \text{मिनट}$.

(C) माना बिंदु $A$ तक की दूरी $d$ किमी है और $2\, p.m.$ बजे पहुँचने में लगा समय $t$ घंटे है।
यदि गति $10\, km/hr$ है,तो लगा समय $t$ है,इसलिए $d = 10t$।
यदि गति $15\, km/hr$ है,तो वह $12\, noon$ बजे पहुँचता है,जो $2\, p.m.$ से $2$ घंटे पहले है,इसलिए $d = 15(t - 2)$।
$d$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $10t = 15(t - 2)$।
$10t = 15t - 30$।
$5t = 30$,इसलिए $t = 6$ घंटे।
दूरी $d = 10 \times 6 = 60$ किमी।
$1\, p.m.$ बजे पहुँचने के लिए,उसे $2\, p.m.$ से $1$ घंटा पहले पहुँचना होगा।
अतः,आवश्यक समय $t - 1 = 6 - 1 = 5$ घंटे है।
आवश्यक गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{60\, km}{5\, hr} = 12\, km/hr$।

(C) मान लीजिए कार की गति $x\, km/hr$ है और ट्रेन की गति $1.5x\, km/hr$ है।
बिंदु $A$ और $B$ के बीच की दूरी $75\, km$ है।
कार द्वारा $A$ से $B$ तक पहुँचने में लगा समय $T_c = \frac{75}{x}\, \text{hours}$ है।
ट्रेन द्वारा $A$ से $B$ तक पहुँचने में लगा समय (बिना रुके) $T_t = \frac{75}{1.5x}\, \text{hours}$ है।
चूंकि ट्रेन $12.5\, \text{minutes}$ (अर्थात $\frac{12.5}{60} = \frac{5}{24}\, \text{hours}$) के लिए रुकती है,इसलिए ट्रेन द्वारा लिया गया कुल समय $T_t + \frac{5}{24}$ है।
चूंकि दोनों एक ही समय पर पहुँचते हैं,इसलिए: $\frac{75}{x} = \frac{75}{1.5x} + \frac{5}{24}$।
दोनों पक्षों से $\frac{75}{1.5x}$ घटाने पर: $\frac{75}{x} - \frac{75}{1.5x} = \frac{5}{24}$।
$\frac{75}{x} (1 - \frac{1}{1.5}) = \frac{5}{24} \Rightarrow \frac{75}{x} (1 - \frac{2}{3}) = \frac{5}{24}$।
$\frac{75}{x} (\frac{1}{3}) = \frac{5}{24} \Rightarrow \frac{25}{x} = \frac{5}{24}$।
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{25 \times 24}{5} = 5 \times 24 = 120\, km/hr$।

(B) ट्रैक की परिधि $726 \, m = 0.726 \, km$ है।
चूंकि वे विपरीत दिशाओं में चल रहे हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होगी।
सापेक्ष गति $= 4.5 \, km/h + 3.75 \, km/h = 8.25 \, km/h$.
पहली बार मिलने में लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{0.726 \, km}{8.25 \, km/h}$.
घंटों में समय $= \frac{0.726}{8.25} \, h$.
इसे मिनटों में बदलने के लिए,$60$ से गुणा करें:
मिनटों में समय $= \left( \frac{0.726}{8.25} \right) \times 60 \, min = 0.088 \times 60 \, min = 5.28 \, min$.

(B) मान लीजिए कि व्यक्ति की मूल गति $x \, \text{km/hr}$ है।
$30 \, \text{घंटे}$ में मूल गति से तय की गई दूरी $D_1 = 30x$ है।
यदि वह अपनी गति में $\frac{1}{15}$ भाग की कमी करता है, तो नई गति $x - \frac{1}{15}x = \frac{14}{15}x$ हो जाती है।
$30 \, \text{घंटे}$ में नई गति से तय की गई दूरी $D_2 = 30 \times \frac{14}{15}x = 28x$ है।
प्रश्न के अनुसार, दूरी में अंतर $10 \, \text{km}$ है:
$D_1 - D_2 = 10$
$30x - 28x = 10$
$2x = 10$
$x = 5 \, \text{km/hr}$.

(C) माना $A$ द्वारा लिया गया समय $x$ घंटे है।
चूंकि $A$ को $B$ से $30 \text{ मिनट}$ $(0.5 \text{ घंटे})$ अधिक समय लगता है,इसलिए $B$ द्वारा लिया गया समय $(x - 0.5)$ घंटे है।
$A$ और $B$ की गति का अनुपात $3:4$ है। माना गति क्रमशः $3k$ और $4k$ है।
चूंकि दोनों के लिए दूरी समान है,इसलिए हमारे पास है:
$\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$
$3k \times x = 4k \times (x - 0.5)$
दोनों पक्षों को $k$ से विभाजित करने पर $(k \neq 0)$:
$3x = 4(x - 0.5)$
$3x = 4x - 2$
$4x - 3x = 2$
$x = 2 \text{ घंटे}$।
अतः,$A$ द्वारा लिया गया समय $2 \text{ घंटे}$ है।

(D) $80\, km/h$ की गति से पहले $2\, \text{घंटे}\, 15\, \text{मिनट}$ $(2.25\, \text{घंटे})$ में तय की गई दूरी:
$D_1 = 80 \times 2.25 = 180\, km.$
शेष दूरी जो तय करनी है:
$D_2 = 350 - 180 = 170\, km.$
$60\, km/h$ की गति से शेष दूरी तय करने में लगा समय:
$T_2 = \frac{170}{60} = \frac{17}{6}\, \text{घंटे }= 2\, \text{घंटे}\, 50\, \text{मिनट}.$
यात्रा में लगा कुल समय:
$T_{total} = 2\, \text{घंटे}\, 15\, \text{मिनट }+ 2\, \text{घंटे}\, 50\, \text{मिनट }= 5\, \text{घंटे}\, 5\, \text{मिनट}.$
अन्ना सुबह $5:20$ बजे निकली थी। शुरुआती समय में $5\, \text{घंटे}\, 5\, \text{मिनट}$ जोड़ने पर:
$5:20 + 5:05 = 10:25\, a.m.$

(A) $1$. बिना रुके यात्रा का समय ज्ञात करें: $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{600 \, km}{100 \, km/hr} = 6 \, \text{घंटे}$.
$2$. स्टॉप की संख्या ज्ञात करें: ट्रेन हर $75 \, km$ पर रुकती है। $600 \, km$ में स्टॉप की संख्या $\frac{600}{75} = 8$ है। चूँकि ट्रेन अंतिम गंतव्य पर नहीं रुकती है, इसलिए कुल स्टॉप $8 - 1 = 7$ होंगे।
$3$. कुल विराम समय ज्ञात करें: $7 \, \text{स्टॉप} \times 3 \, \text{मिनट/स्टॉप} = 21 \, \text{मिनट}$.
$4$. कुल समय ज्ञात करें: $\text{कुल समय} = \text{यात्रा का समय} + \text{विराम समय} = 6 \, \text{घंटे} + 21 \, \text{मिनट} = 6 \, \text{घंटे} \, 21 \, \text{मिनट}$.

(C) चरण $1$: गति को $km/hr$ से $m/s$ में बदलने के लिए उसे $\frac{5}{18}$ से गुणा करें।
गति $= 108 \times \frac{5}{18} \, m/s = 6 \times 5 \, m/s = 30 \, m/s$.
चरण $2$: $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$ सूत्र का उपयोग करके दूरी की गणना करें।
दूरी $= 30 \, m/s \times 15 \, s = 450 \, m$.

(B) दिया गया है: दूरी $= 600\, m$, समय $= 5\, minutes$।
सबसे पहले, समय को सेकंड में बदलें:
$5\, minutes = 5 \times 60 = 300\, s$
$m/s$ में गति की गणना करें:
$\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{600}{300} = 2\, m/s$
गति को $m/s$ से $km/hr$ में बदलने के लिए $\frac{18}{5}$ से गुणा करें:
$\text{गति (km/hr)} = 2 \times \frac{18}{5} = \frac{36}{5} = 7.2\, km/hr$

(D) वर्गाकार मैदान का परिमाप $4 \times \text{भुजा} = 4 \times 35 \, m = 140 \, m$ है।
लड़के की गति $9 \, km/hr$ है। इसे $m/s$ में बदलने के लिए,हम $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं:
$\text{गति} = 9 \times \frac{5}{18} \, m/s = 2.5 \, m/s$.
मैदान के चारों ओर दौड़ने में लगा समय इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{140 \, m}{2.5 \, m/s} = 56 \, \text{सेकंड}$.

(C) औसत गति की गणना $\text{गति} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$ सूत्र द्वारा की जाती है।
पहली बस के लिए,$\text{दूरी}_1 = 300 \, km$ और $\text{समय}_1 = 7.5 \, \text{घंटे}$ है।
$\text{गति}_1 = \frac{300}{7.5} = 40 \, km/h$ है।
दूसरी बस के लिए,$\text{दूरी}_2 = 450 \, km$ और $\text{समय}_2 = 9 \, \text{घंटे}$ है।
$\text{गति}_2 = \frac{450}{9} = 50 \, km/h$ है।
उनकी औसत गति का अनुपात $\frac{\text{गति}_1}{\text{गति}_2} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$ या $4:5$ है।

(C) पहले $2 \, \text{घंटे}$ में,तय की गई दूरी $= 70 \times 2 = 140 \, km$ है।
अगले $2 \, \text{घंटे}$ में,गति बढ़कर $80 \, km/hr$ हो जाती है,इसलिए तय की गई दूरी $= 80 \times 2 = 160 \, km$ है।
$4 \, \text{घंटे}$ में कुल तय की गई दूरी $= 140 + 160 = 300 \, km$ है।
शेष दूरी $= 345 - 300 = 45 \, km$ है।
अगले अंतराल में,गति बढ़कर $90 \, km/hr$ हो जाती है।
शेष $45 \, km$ की दूरी को $90 \, km/hr$ की गति से तय करने में लगा समय $= \frac{45}{90} = 0.5 \, \text{घंटे}$ है।
कुल लगा समय $= 4 + 0.5 = 4.5 \, \text{घंटे}$ या $4\frac{1}{2} \, \text{घंटे}$ है।

(D) ट्रेन की प्रारंभिक गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{10 \text{ km}}{12 \text{ मिनट}} = \frac{10 \text{ km}}{12/60 \text{ घंटा}} = \frac{10 \times 60}{12} \text{ km/hr} = 50 \text{ km/hr}$.
यदि गति $5 \text{ km/hr}$ कम कर दी जाती है,तो नई गति $= 50 - 5 = 45 \text{ km/hr}$ होगी।
नई गति से $10 \text{ km}$ की दूरी तय करने में लगा समय:
समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{नई गति}} = \frac{10}{45} \text{ घंटा}$.
मिनट में बदलने पर: $\frac{10}{45} \times 60 \text{ मिनट} = \frac{10 \times 4}{3} \text{ मिनट} = \frac{40}{3} \text{ मिनट}$.
$\frac{40}{3} \text{ मिनट} = 13 \frac{1}{3} \text{ मिनट} = 13 \text{ मिनट } + (\frac{1}{3} \times 60) \text{ सेकंड} = 13 \text{ मिनट } 20 \text{ सेकंड}$.

(D) व्यक्ति की गति $5\, km/hr$ है। इसे $m/s$ में बदलने के लिए,हम $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं।
गति $= 5 \times \frac{5}{18} = \frac{25}{18}\, m/s$.
पुल पार करने में लगा समय $15\, \text{मिनट}$ है। इसे सेकंड में बदलने पर,हमें $15 \times 60 = 900\, \text{सेकंड}$ प्राप्त होते हैं।
पुल की लंबाई उस समय में व्यक्ति द्वारा तय की गई दूरी के बराबर होती है।
दूरी $= \text{गति} \times \text{समय}$.
दूरी $= \frac{25}{18} \times 900$.
दूरी $= 25 \times 50 = 1250\, \text{मीटर}$.

(A) ट्रक की चाल $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{550\, m}{60\, s} = \frac{55}{6}\, m/s$.
बस की चाल $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{33\, km}{45\, \text{min}} = \frac{33 \times 1000\, m}{45 \times 60\, s} = \frac{33000}{2700}\, m/s = \frac{330}{27}\, m/s = \frac{110}{9}\, m/s$.
ट्रक की चाल और बस की चाल का अनुपात $= \frac{55/6}{110/9} = \frac{55}{6} \times \frac{9}{110} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.
अतः,अनुपात $3:4$ है।

(C) प्रत्येक घंटे में तय की गई दूरी एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती है जहाँ प्रथम पद $a = 35$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
$n = 12$ घंटों में तय की गई कुल दूरी इस समांतर श्रेणी के पहले $12$ पदों का योग है।
समांतर श्रेणी के पहले $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d\}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$S_{12} = \frac{12}{2} \{2 \times 35 + (12 - 1) \times 2\}$
$S_{12} = 6 \{70 + 11 \times 2\}$
$S_{12} = 6 \{70 + 22\}$
$S_{12} = 6 \times 92$
$S_{12} = 552\, km$.

(D) एथलीट की गति की गणना सूत्र: $\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$ का उपयोग करके की जाती है।
दिया गया है: $\text{दूरी} = 200 \text{ m}$, $\text{समय} = 24 \text{ s}$.
$\text{गति} = \frac{200}{24} \text{ m/s} = \frac{25}{3} \text{ m/s}$.
गति को $\text{m/s}$ से $\text{km/hr}$ में बदलने के लिए, $\frac{18}{5}$ से गुणा करें:
$\text{गति} = \frac{25}{3} \times \frac{18}{5} \text{ km/hr} = 5 \times 6 \text{ km/hr} = 30 \text{ km/hr}$.

(C) माना गाँव और डाकघर के बीच की दूरी $d \, km$ है।
डाकघर जाने में लगा समय $= \frac{d}{25} \, hours$ है।
डाकघर से वापस आने में लगा समय $= \frac{d}{4} \, hours$ है।
कुल समय $= 5 \, hours \, 48 \, minutes = 5 + \frac{48}{60} \, hours = 5 + \frac{4}{5} = \frac{29}{5} \, hours$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{d}{25} + \frac{d}{4} = \frac{29}{5}$ है।
$25$ और $4$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $100$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{4d + 25d}{100} = \frac{29}{5}$।
$\frac{29d}{100} = \frac{29}{5}$।
$d = \frac{29}{5} \times \frac{100}{29} = 20 \, km$ है।
अतः,गाँव से डाकघर की दूरी $20 \, km$ है।

(B) गति को तय की गई दूरी और लिए गए समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है: दूरी $= 600 \, m$,समय $= 5 \, \text{मिनट} = 5 \times 60 \, \text{सेकंड} = 300 \, \text{सेकंड}$।
$m/s$ में गति $= \frac{600 \, m}{300 \, s} = 2 \, m/s$।
गति को $m/s$ से $km/h$ में बदलने के लिए,हम $\frac{18}{5}$ से गुणा करते हैं।
$km/h$ में गति $= 2 \times \frac{18}{5} = \frac{36}{5} = 7.2 \, km/h$।

(C) गति की तुलना करने के लिए,हमें उन्हें समान इकाई में बदलना होगा।
$80 \, km/h$ को $\frac{5}{18}$ से गुणा करके $m/s$ में बदलें:
$80 \times \frac{5}{18} = \frac{400}{18} = \frac{200}{9} \, m/s$.
अब,$\frac{200}{9} \, m/s$ की तुलना $10 \, m/s$ से करें:
अनुपात $= \frac{200}{9} : 10 = \frac{200}{9} : \frac{90}{9} = 200 : 90 = 20 : 9$.

(B) चरण $1$: मोहन की चाल ज्ञात कीजिए।
चाल $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{10.2 \, km}{3 \, h} = 3.4 \, km/h$.
चरण $2$: $5 \, \text{घंटे में} \, \text{तय की गई दूरी} \, \text{ज्ञात कीजिए}$.
दूरी $= \text{चाल} \times \text{समय} = 3.4 \, km/h \times 5 \, h = 17 \, km$.

(A) सबसे पहले,ट्रेन की गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
गति $= 72 \times \frac{5}{18} = 20\, m/s$.
इसके बाद,$25\, s$ में ट्रेन द्वारा तय की गई कुल दूरी ज्ञात करें:
कुल दूरी $= \text{गति} \times \text{समय} = 20\, m/s \times 25\, s = 500\, m$.
पुल को पार करते समय ट्रेन द्वारा तय की गई कुल दूरी,ट्रेन की लंबाई और पुल की लंबाई का योग होती है:
कुल दूरी $= \text{ट्रेन की लंबाई} + \text{पुल की लंबाई}$.
$500\, m = 100\, m + \text{पुल की लंबाई}$.
पुल की लंबाई $= 500\, m - 100\, m = 400\, m$.

(B) माना कि ट्रेन की लंबाई $x \,m$ है।
पुल को पार करते समय ट्रेन द्वारा तय की गई कुल दूरी $(x + 150) \,m$ है।
ट्रेन की गति $60 \,km/h$ है। इसे $m/s$ में बदलने पर:
$60 \times \frac{5}{18} = \frac{300}{18} = \frac{50}{3} \,m/s$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$.
$x + 150 = \frac{50}{3} \times 18$.
$x + 150 = 50 \times 6$.
$x + 150 = 300$.
$x = 300 - 150 = 150 \,m$.
अतः,ट्रेन की लंबाई $150 \,m$ है।

(C) दिया गया है:
ध्वनि की गति $(v)$ = $330 \text{ m/s}$
लिया गया समय $(t)$ = $10 \text{ s}$
दूरी $(d)$ = गति $\times$ समय
$d = 330 \text{ m/s} \times 10 \text{ s} = 3300 \text{ मीटर}$
मीटर को किलोमीटर में बदलने के लिए,$1000$ से भाग दें:
$d = 3300 / 1000 = 3.3 \text{ km}$
अतः,बादल की दूरी $3.3 \text{ km}$ है।

(B) ट्रेन की गति $= 92.4 \, km/h$ है।
गति को $m/s$ में बदलने के लिए,$\frac{5}{18}$ से गुणा करें:
गति $= 92.4 \times \frac{5}{18} = \frac{462}{18} = \frac{77}{3} \, m/s$ है।
समय $= 10 \, minutes = 10 \times 60 = 600 \, seconds$ है।
दूरी $= \text{गति} \times \text{समय}$ है।
दूरी $= \frac{77}{3} \times 600 = 77 \times 200 = 15400 \, m$ है।

(A) सूर्य की पृथ्वी से दूरी $143,400,000 \text{ km} = 1434 \times 10^5 \text{ km}$ है।
प्रकाश को सूर्य से पृथ्वी तक पहुँचने में लगा समय $7 \text{ मिनट}$ और $58 \text{ सेकंड}$ है।
समय को सेकंड में बदलने पर: $T = (7 \times 60) + 58 = 420 + 58 = 478 \text{ सेकंड}$।
प्रकाश का वेग $v$ निकालने का सूत्र: $v = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$।
$v = \frac{1434 \times 10^5 \text{ km}}{478 \text{ s}} = 3 \times 10^5 \text{ km/s}$।
अतः,प्रकाश का वेग $3 \times 10^5 \text{ km/s}$ है।

(C) ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र है: $\text{दूरी} = \text{चाल} \times \text{समय}$.
दिया गया है,$\text{चाल} = 48 \text{ km/h}$ और $\text{समय} = 50 \text{ मिनट} = \frac{50}{60} \text{ घंटे}$.
$\text{दूरी} = 48 \times \frac{50}{60} = 48 \times \frac{5}{6} = 8 \times 5 = 40 \text{ km}$.
अब,उसी $40 \text{ km}$ की दूरी को $40 \text{ मिनट}$ (जो $\frac{40}{60} = \frac{2}{3} \text{ घंटे}$ है) में तय करने के लिए आवश्यक चाल:
$\text{आवश्यक चाल} = \frac{\text{दूरी}}{\text{नया समय}} = \frac{40}{40/60} = \frac{40 \times 60}{40} = 60 \text{ km/h}$.
अतः,ट्रेन को $60 \text{ km/h}$ की गति से चलना होगा।

(A) पहिये की परिधि $3 \frac{3}{4} \text{ m} = \frac{15}{4} \text{ m}$ है।
$2$ सेकंड में,पहिया $4$ चक्कर लगाता है।
$2$ सेकंड में तय की गई दूरी $= \text{परिधि} \times \text{चक्करों की संख्या} = \frac{15}{4} \times 4 = 15 \text{ m}$।
गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{15 \text{ m}}{2 \text{ s}} = 7.5 \text{ m/s}$।
गति को $\text{m/s}$ से $\text{km/h}$ में बदलने के लिए,$\frac{18}{5}$ से गुणा करें।
$\text{km/h}$ में गति $= 7.5 \times \frac{18}{5} = 1.5 \times 18 = 27 \text{ km/h}$।