Simplification Questions in Gujarati

(D) આપેલ પદાવલિ $198.995 \times 12.005 + 16.25 \times 6.95 = ?$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે આસન્નમૂલ્ય (approximation) ની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
પ્રથમ,આપેલી કિંમતોને નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાં ફેરવો:
$198.995 \approx 199$
$12.005 \approx 12$
$16.25 \approx 16$
$6.95 \approx 7$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$? = (199 \times 12) + (16 \times 7)$
ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$199 \times 12 = 2388$
$16 \times 7 = 112$
પરિણામોનો સરવાળો કરો:
$? = 2388 + 112 = 2500$
તેથી,આસન્નમૂલ્ય $2500$ છે.

(A) $1.2 \times 1.02 \times 1.002$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે ક્રમશઃ ગુણાકાર કરીશું.
સૌ પ્રથમ,$1.2$ અને $1.02$ નો ગુણાકાર કરો:
$1.2 \times 1.02 = 1.224$
ત્યારબાદ,પરિણામનો $1.002$ સાથે ગુણાકાર કરો:
$1.224 \times 1.002 = 1.226448$
આમ,અંતિમ જવાબ $1.226448$ છે.

(D) પદાવલિ $6.4 - 1.6 \div 0.2$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે ક્રિયાઓના ક્રમ $(BODMAS)$ ને અનુસરીએ છીએ.
સૌ પ્રથમ,ભાગાકાર કરો: $1.6 \div 0.2 = 1.6 \times \frac{1}{0.2} = 1.6 \times 5 = 8$.
ત્યારબાદ,બાદબાકી કરો: $6.4 - 8 = -1.6$.
તેથી,સાચો જવાબ $-1.6$ છે.

(D) $8.88 \times 88.8 \times 88$ નો ગુણાકાર શોધવા માટે,આપણે ક્રમશઃ ગુણાકાર કરીશું.
સૌ પ્રથમ,$8.88$ નો $88.8$ સાથે ગુણાકાર કરો:
$8.88 \times 88.8 = 788.544$
ત્યારબાદ,મળેલા પરિણામનો $88$ સાથે ગુણાકાર કરો:
$788.544 \times 88 = 69391.872$
તેથી,સાચો જવાબ $69391.872$ છે.

(C) $989.001 + 1.00982 \times 76.792$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે ક્રિયાઓના ક્રમ $(BODMAS)$ ને અનુસરીએ છીએ.
સૌ પ્રથમ,ગુણાકાર કરો: $1.00982 \times 76.792 \approx 1.01 \times 76.8 \approx 77.55$.
ત્યારબાદ,સરવાળો કરો: $989.001 + 77.55 = 1066.551$.
આ પરિણામની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,સૌથી નજીકની કિંમત $1065$ છે.

(C) $3.75 + 2.832 - 1.001 + 1.803$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,સરવાળા અને બાદબાકીના ક્રમ (ડાબેથી જમણે) ને અનુસરો:
પગલું $1$: $3.75$ અને $2.832$ નો સરવાળો કરો: $3.750 + 2.832 = 6.582$.
પગલું $2$: પરિણામમાંથી $1.001$ બાદ કરો: $6.582 - 1.001 = 5.581$.
પગલું $3$: પરિણામમાં $1.803$ ઉમેરો: $5.581 + 1.803 = 7.384$.
તેથી,અંતિમ જવાબ $7.384$ છે.

(B) સૌથી નાનો અપૂર્ણાંક શોધવા માટે,આપણે આપેલા અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરીએ:
$1$. $\frac{6}{11}$ અને $\frac{13}{17}$ ની સરખામણી:
$6 \times 17 = 102$ અને $11 \times 13 = 143$.
$102 < 143$ હોવાથી,$\frac{6}{11} < \frac{13}{17}$.
$2$. $\frac{6}{11}$ અને $\frac{19}{27}$ ની સરખામણી:
$6 \times 27 = 162$ અને $11 \times 19 = 209$.
$162 < 209$ હોવાથી,$\frac{6}{11} < \frac{19}{27}$.
$3$. $\frac{6}{11}$ અને $\frac{21}{23}$ ની સરખામણી:
$6 \times 23 = 138$ અને $11 \times 21 = 231$.
$138 < 231$ હોવાથી,$\frac{6}{11} < \frac{21}{23}$.
$4$. $\frac{6}{11}$ અને $\frac{5}{7}$ ની સરખામણી:
$6 \times 7 = 42$ અને $11 \times 5 = 55$.
$42 < 55$ હોવાથી,$\frac{6}{11} < \frac{5}{7}$.
તેથી,સૌથી નાનો અપૂર્ણાંક $\frac{6}{11}$ છે.

(C) પ્રથમ,આપેલ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો: $\frac{2}{5} \times \frac{15}{21} \times \frac{7}{10} \times \frac{3}{8}$.
$= \frac{2 \times 15 \times 7 \times 3}{5 \times 21 \times 10 \times 8} = \frac{630}{8400} = \frac{3}{40}$.
અહીં $\frac{3}{40} < 1$ હોવાથી,પૂર્ણાંક સંખ્યા (જે $1$ છે) મેળવવા માટે ઉમેરવો પડતો સૌથી નાનો અપૂર્ણાંક $1 - \frac{3}{40}$ થશે.
$= \frac{40 - 3}{40} = \frac{37}{40}$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ થાય છે.
તેથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ $\frac{(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}{a^{2}+ab+b^{2}} = a-b$ મળે છે.
અહીં,$a = 0.96$ અને $b = 0.1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$a-b = 0.96 - 0.1 = 0.86$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{(2.3)^{3}-0.027}{(2.3)^{2}+0.69+0.09}$ છે.
આપણે $0.027$ ને $(0.3)^{3}$ તરીકે અને $0.09$ ને $(0.3)^{2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ. વળી,$0.69 = (2.3)(0.3)$ થાય છે.
તેથી,પદાવલિ $\frac{(2.3)^{3}-(0.3)^{3}}{(2.3)^{2}+(2.3)(0.3)+(0.3)^{2}}$ બને છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}{a^{2}+ab+b^{2}} = a-b$.
અહીં,$a = 2.3$ અને $b = 0.3$ છે.
તેથી,$a-b = 2.3 - 0.3 = 2$.

(C) પદાવલિ $\frac{0.2 \times 0.2 + 0.2 \times 0.02}{0.044}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. અંશમાં રહેલા ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$0.2 \times 0.2 = 0.04$
$0.2 \times 0.02 = 0.004$
$2$. અંશમાં મળેલા પરિણામોનો સરવાળો કરો:
$0.04 + 0.004 = 0.044$
$3$. અંશને છેદ વડે ભાગો:
$\frac{0.044}{0.044} = 1$

(B) આપેલ પદાવલિ $\frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}$ સ્વરૂપમાં છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને નીચે મુજબ સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$\frac{(a-b)(a+b)}{a-b} = a+b$.
અહીં,$a = 2.39$ અને $b = 1.61$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$a + b = 2.39 + 1.61 = 4.00$.
તેથી,પદાવલિની કિંમત $4$ છે.

(C) આ પદાવલિ $\frac{a^2 - b^2}{a - b}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 2.644$ અને $b = 2.356$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીને,અંશને $(2.644 - 2.356)(2.644 + 2.356)$ તરીકે લખી શકાય છે.
આને પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{(2.644 - 2.356)(2.644 + 2.356)}{0.288}$.
કારણ કે $2.644 - 2.356 = 0.288$ થાય છે,તેથી પદાવલિ $\frac{0.288 \times (2.644 + 2.356)}{0.288}$ બને છે.
અંશ અને છેદમાંથી $0.288$ ને ઉડાડતા,આપણને $2.644 + 2.356 = 5$ મળે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{1.49 \times 14.9 - 0.51 \times 5.1}{14.9 - 5.1}$
પદોને સરળ બનાવવા માટે:
$14.9 = 1.49 \times 10$ અને $5.1 = 0.51 \times 10$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{1.49 \times (1.49 \times 10) - 0.51 \times (0.51 \times 10)}{14.9 - 5.1}$
$= \frac{10 \times (1.49^2 - 0.51^2)}{14.9 - 5.1}$
અહીં $14.9 - 5.1 = 9.8$ અને $1.49 - 0.51 = 0.98$ છે. તેથી,$14.9 - 5.1 = 10 \times (1.49 - 0.51)$.
$= \frac{10 \times (1.49 - 0.51)(1.49 + 0.51)}{10 \times (1.49 - 0.51)}$
$= 1.49 + 0.51 = 2.00$

(B) આપેલ પદાવલિ $\frac{4.2 \times 4.2 - 1.9 \times 1.9}{2.3 \times 6.1}$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 4.2$ અને $b = 1.9$ છે:
અંશ $= (4.2)^2 - (1.9)^2 = (4.2 - 1.9)(4.2 + 1.9) = (2.3)(6.1)$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(2.3)(6.1)}{2.3 \times 6.1} = 1$.

(D) આપેલ પદાવલિ $(7.5 \times 7.5 + 37.5 + 2.5 \times 2.5)$ છે.
આપણે $37.5$ ને $2 \times 7.5 \times 2.5$ તરીકે લખી શકીએ છીએ કારણ કે $2 \times 7.5 = 15$ અને $15 \times 2.5 = 37.5$ થાય છે.
આમ,પદાવલિ $(7.5)^2 + 2(7.5)(2.5) + (2.5)^2$ સ્વરૂપમાં ફેરવાય છે.
આ બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 7.5$ અને $b = 2.5$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(7.5 + 2.5)^2 = (10)^2 = 100$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} - ab + b^{2}}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 0.051$ અને $b = 0.041$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\frac{(a + b)(a^{2} - ab + b^{2})}{a^{2} - ab + b^{2}} = a + b$.
હવે,$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા: $0.051 + 0.041 = 0.092$.
તેથી,પદાવલિની કિંમત $0.092$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{0.125+0.027}{0.5 \times 0.5+0.09-0.15}$ છે.
અંશને $(0.5)^3 + (0.3)^3$ તરીકે લખી શકાય છે કારણ કે $0.5^3 = 0.125$ અને $0.3^3 = 0.027$ થાય છે.
છેદને $(0.5)^2 + (0.3)^2 - (0.5)(0.3)$ તરીકે લખી શકાય છે કારણ કે $0.5^2 = 0.25$,$0.3^2 = 0.09$,અને $(0.5)(0.3) = 0.15$ થાય છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 + b^2 - ab)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 0.5$ અને $b = 0.3$ છે,પદાવલિ નીચે મુજબ બનશે:
$\frac{(0.5+0.3)(0.5^2 + 0.3^2 - 0.5 \times 0.3)}{0.5^2 + 0.3^2 - 0.5 \times 0.3}$.
સામાન્ય પદ $(0.5^2 + 0.3^2 - 0.5 \times 0.3)$ ને દૂર કરતા,આપણને $0.5 + 0.3 = 0.8$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{8(3.75)^{3}+1}{(7.5)^{2}-6.5}$ છે.
આપણે $8(3.75)^{3}$ ને $(2 \times 3.75)^{3} = (7.5)^{3}$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,પદાવલિ $\frac{(7.5)^{3} + 1^{3}}{(7.5)^{2} - 6.5}$ બને છે.
અહીં $a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 7.5$ અને $b = 1$:
અંશ $= (7.5 + 1)((7.5)^{2} - (7.5)(1) + 1^{2}) = (8.5)((7.5)^{2} - 7.5 + 1)$.
છેદ $= (7.5)^{2} - 7.5 + 1 = 56.25 - 7.5 + 1 = 49.75$.
આમ,$\frac{(7.5+1)(7.5^{2} - 7.5 + 1)}{7.5^{2} - 7.5 + 1} = 7.5 + 1 = 8.5$.

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 10.3$ અને $b = 1$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{(a^2 - ab + b^2)} = a + b$.
હવે $a = 10.3$ અને $b = 1$ ની કિંમત મૂકતા:
$10.3 + 1 = 11.3$.

(D) આપેલ પદાવલિ $= \frac{5 \times 1.6 - 2 \times 1.4}{1.3}$
સૌ પ્રથમ,અંશમાં ગુણાકાર કરો:
$5 \times 1.6 = 8.0$
$2 \times 1.4 = 2.8$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$= \frac{8.0 - 2.8}{1.3}$
$= \frac{5.2}{1.3}$
$= 4$

(C) આશરે કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને તેમની નજીકની અનુકૂળ કિંમતોમાં ફેરવીએ છીએ:
$3.157 \approx 3.2$
$3.198 \approx 3.2$
$63.972 \approx 64$
$2835.121 \approx 2835$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{3.2 \times 4126 \times 3.2}{64 \times 2835} = \frac{10.24 \times 4126}{181440} \approx \frac{42250}{181440} \approx 0.2328$
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,કિંમત આશરે $0.2$ છે.

(A) $\frac{0.0203 \times 2.92}{0.0073 \times 14.5 \times 0.7}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $10$ ની યોગ્ય ઘાત વડે ગુણીને દશાંશ ચિહ્નો દૂર કરીએ છીએ.
અંશ: $0.0203 \times 2.92 = \frac{203}{10000} \times \frac{292}{100} = \frac{203 \times 292}{10^6}$.
છેદ: $0.0073 \times 14.5 \times 0.7 = \frac{73}{10000} \times \frac{145}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{73 \times 145 \times 7}{10^6}$.
બંનેનો ભાગાકાર કરતા,$10^6$ પદ ઉડી જશે:
$\frac{203 \times 292}{73 \times 145 \times 7}$.
અપૂર્ણાંકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$203 / 7 = 29$.
$292 / 73 = 4$.
તેથી,પદાવલિ $\frac{29 \times 4}{145}$ બને છે.
કારણ કે $145 = 29 \times 5$,તેથી $\frac{29 \times 4}{29 \times 5} = \frac{4}{5} = 0.8$.

(B) પદાવલિ $\frac{3.6 \times 0.48 \times 2.50}{0.12 \times 0.09 \times 0.5}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $10$ ની યોગ્ય ઘાત વડે ગુણીને દશાંશ ચિહ્નો દૂર કરીએ છીએ.
અંશ: $3.6 \times 0.48 \times 2.50 = \frac{36}{10} \times \frac{48}{100} \times \frac{250}{100} = \frac{36 \times 48 \times 250}{100000}$
છેદ: $0.12 \times 0.09 \times 0.5 = \frac{12}{100} \times \frac{9}{100} \times \frac{5}{10} = \frac{12 \times 9 \times 5}{100000}$
બંનેનો ભાગાકાર કરતા,$100000$ ઉડી જશે:
$\frac{36 \times 48 \times 250}{12 \times 9 \times 5} = \frac{36}{12} \times \frac{48}{9} \times \frac{250}{5} = 3 \times \frac{16}{3} \times 50 = 16 \times 50 = 800$.

(D) આપેલ પદાવલિ $= \frac{(0.1667)(0.8333)(0.3333)}{(0.2222)(0.6667)(0.1250)}$
દશાંશ સંખ્યાઓને તેમના અપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$0.1667 \approx \frac{1}{6}$
$0.8333 \approx \frac{5}{6}$
$0.3333 \approx \frac{1}{3}$
$0.2222 \approx \frac{2}{9}$
$0.6667 \approx \frac{2}{3}$
$0.1250 = \frac{1}{8}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \left( \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{3} \right) \div \left( \frac{2}{9} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{8} \right)$
$= \left( \frac{5}{108} \right) \div \left( \frac{4}{216} \right)$
$= \frac{5}{108} \times \frac{216}{4}$
$= \frac{5}{108} \times 54 = 5 \times 0.5 = 2.5$

(C) આપેલ છે કે $1^{3}+2^{3}+\cdots+9^{3}=2025$.
આપણે $(0.11)^{3}+(0.22)^{3}+\cdots+(0.99)^{3}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આને $(0.11 \times 1)^{3} + (0.11 \times 2)^{3} + \cdots + (0.11 \times 9)^{3}$ તરીકે લખી શકાય.
$(0.11)^{3}$ સામાન્ય લેતા,આપણને $(0.11)^{3} \times (1^{3} + 2^{3} + \cdots + 9^{3})$ મળે છે.
આપેલ સરવાળો મૂકતા,આપણને $(0.11)^{3} \times 2025$ મળે છે.
કારણ કે $(0.11)^{3} = 0.001331$,તેથી પદાવલિ $0.001331 \times 2025$ બને છે.
ગુણાકાર કરતા: $0.001331 \times 2025 = 2.695$.

(C) આપેલ છે કે $\frac{1}{6.198} = 0.16134.$
આપણે $\frac{1}{0.0006198}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અહીં $0.0006198 = \frac{6.198}{10000}$ થાય છે.
તેથી,$\frac{1}{0.0006198} = \frac{1}{\frac{6.198}{10000}} = \frac{10000}{6.198}.$
આને $10000 \times \frac{1}{6.198}$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ કિંમત મૂકતા,$10000 \times 0.16134 = 1613.4$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\frac{2994}{14.5} = 172$.
$\frac{29.94}{1.45}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{29.94}{1.45} = \frac{2994 \div 100}{14.5 \div 10} = \frac{2994}{14.5} \times \frac{10}{100}$.
આપેલ કિંમત મૂકતા:
$= 172 \times \frac{1}{10} = 17.2$.

(A) $(0 . \overline{09} \times 7 . \overline{3})$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ આવૃત દશાંશને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવીશું.
$1.$ $0 . \overline{09}$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
ધારો કે $x = 0 . \overline{09} = 0.090909...$
$100x = 9.090909...$
$100x - x = 9.090909... - 0.090909... = 9$
$99x = 9 \implies x = \frac{9}{99} = \frac{1}{11}$.
$2.$ $7 . \overline{3}$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$7 . \overline{3} = 7 + 0 . \overline{3} = 7 + \frac{3}{9} = 7 + \frac{1}{3} = \frac{21+1}{3} = \frac{22}{3}$.
$3.$ અપૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર કરો:
$\frac{1}{11} \times \frac{22}{3} = \frac{1 \times 22}{11 \times 3} = \frac{22}{33} = \frac{2}{3}$.
$4.$ $\frac{2}{3}$ ને ફરીથી દશાંશમાં ફેરવો:
$\frac{2}{3} = 0.666... = 0 . \overline{6}$.

(D) $3 . \overline{87} - 2 . \overline{59}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે આવૃત દશાંશને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવીશું.
$3 . \overline{87} = 3 + \frac{87}{99} = \frac{3 \times 99 + 87}{99} = \frac{297 + 87}{99} = \frac{384}{99}$.
$2 . \overline{59} = 2 + \frac{59}{99} = \frac{2 \times 99 + 59}{99} = \frac{198 + 59}{99} = \frac{257}{99}$.
હવે,બંને અપૂર્ણાંકોની બાદબાકી કરો:
$\frac{384}{99} - \frac{257}{99} = \frac{384 - 257}{99} = \frac{127}{99}$.
$\frac{127}{99}$ ને ફરીથી આવૃત દશાંશમાં ફેરવતા:
$\frac{127}{99} = 1 + \frac{28}{99} = 1 . \overline{28}$.

(C) ધારો કે $x = 2.1\overline{36}$.
આને $x = 2 + 0.1\overline{36}$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $y = 0.1\overline{36} = 0.1363636...$
$10$ વડે ગુણતા,આપણને $10y = 1.363636...$ મળે.
$1000$ વડે ગુણતા,આપણને $1000y = 136.363636...$ મળે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $1000y - 10y = 136.3636... - 1.3636...$
$990y = 135$
$y = \frac{135}{990} = \frac{27}{198} = \frac{3}{22}$.
તેથી,$x = 2 + \frac{3}{22} = 2\frac{3}{22}$.

(D) ધારો કે $x = 6.\overline{46}$.
આને $x = 6.464646...$ તરીકે લખી શકાય.
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે $100$ વડે ગુણતા: $100x = 646.464646...$
મૂળ સમીકરણ $x = 6.464646...$ ને $100x = 646.464646...$ માંથી બાદ કરતા:
$100x - x = 646.464646... - 6.464646...$
$99x = 640$
$x = \frac{640}{99}$
વૈકલ્પિક રીતે,$6.\overline{46} = 6 + 0.\overline{46} = 6 + \frac{46}{99} = \frac{6 \times 99 + 46}{99} = \frac{594 + 46}{99} = \frac{640}{99}$.

(C) ધારો કે $x = 0.125125 \ldots$ (સમીકરણ $1$).
અહીં $3$ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $1000$ વડે ગુણતા:
$1000x = 125.125125 \ldots$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 125.125125 \ldots - 0.125125 \ldots$
$999x = 125$
$x = \frac{125}{999}$
આમ,સંમેય સંખ્યા $\frac{125}{999}$ છે.

(C) ધારો કે $x = 0.232323 \ldots$ (સમીકરણ $1$)
અહીં બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 23.232323 \ldots$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$100x - x = 23.232323 \ldots - 0.232323 \ldots$
$99x = 23$
$x = \frac{23}{99}$
આમ,$0.232323 \ldots = 0.\overline{23} = \frac{23}{99}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{144}{0.144} = \frac{14.4}{x}$
સૌ પ્રથમ,ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{144}{0.144} = \frac{144000}{144} = 1000$
હવે,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $1000 = \frac{14.4}{x}$
$x$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા: $x = \frac{14.4}{1000}$
$x = 0.0144$

(C) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $\frac{0.009}{x} = 0.01$.
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$x = \frac{0.009}{0.01}$.
સરળ બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને $100$ વડે ગુણતા:
$x = \frac{0.009 \times 100}{0.01 \times 100} = \frac{0.9}{1} = 0.9$.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $0.9$ છે.

(D) ધારો કે $x = 5 . \overline{45} = 5.454545...$
દશાંશ ચિહ્નને પુનરાવર્તિત ભાગ પછી ખસેડવા માટે $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 545.454545...$
નવા સમીકરણમાંથી મૂળ સમીકરણ $x = 5.454545...$ બાદ કરતા:
$100x - x = 545.454545... - 5.454545...$
$99x = 540$
તેથી,$x = \frac{540}{99}$.

(A) પગલું $1$: પ્રથમ ભાગાકારની કિંમત શોધો: $\frac{368.39}{17} = 21.67$.
પગલું $2$: બીજા ભાગાકારની કિંમત શોધો: $\frac{170.50}{62} = 2.75$.
પગલું $3$: ત્રીજા ભાગાકારની કિંમત શોધો: $\frac{875.65}{83} = 10.55$.
પગલું $4$: કિંમતોની સરખામણી કરો: $21.67 > 10.55 > 2.75$.
તેથી,ઉતરતો ક્રમ $1, 3, 2$ છે. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(B) $0.04 \times 0.0162$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે દશાંશ સંખ્યાઓને $10$ ના ઘાતાંક તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ:
$0.04 = 4 \times 10^{-2}$
$0.0162 = 162 \times 10^{-4}$
હવે,આ કિંમતોનો ગુણાકાર કરો:
$(4 \times 10^{-2}) \times (162 \times 10^{-4}) = (4 \times 162) \times (10^{-2} \times 10^{-4})$
$= 648 \times 10^{-6}$
આને વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં દર્શાવવા માટે,દશાંશ ચિહ્નને બે સ્થાન ડાબી બાજુ ખસેડો:
$648 \times 10^{-6} = 6.48 \times 10^{2} \times 10^{-6} = 6.48 \times 10^{-4}$

(C) $40.83 \times 1.02 \times 1.2$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે પહેલા સંખ્યાઓને પૂર્ણાંક ગણીને ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$4083 \times 102 \times 12 = 4997592$
ત્યારબાદ,આપણે મૂળ પદાવલિમાં દશાંશ ચિહ્ન પછીના કુલ અંકોની ગણતરી કરીએ છીએ:
$40.83$ માં $2$ દશાંશ સ્થળ છે.
$1.02$ માં $2$ દશાંશ સ્થળ છે.
$1.2$ માં $1$ દશાંશ સ્થળ છે.
કુલ દશાંશ સ્થળ = $2 + 2 + 1 = 5$.
હવે,ગુણાકાર $4997592$ માં દશાંશ ચિહ્ન એવી રીતે મૂકો કે જેથી દશાંશ ચિહ્નની જમણી બાજુ $5$ અંકો રહે:
$49.97592$

(B) $16.02$ ને $0.001$ વડે ગુણવા માટે,આપણે $16.02$ માં દશાંશ ચિહ્નને ત્રણ સ્થાન ડાબી બાજુ ખસેડીએ છીએ.
$16.02$ થી શરૂ કરીને,દશાંશ ચિહ્નને ત્રણ સ્થાન ડાબી બાજુ ખસેડતા $0.01602$ મળે છે.
તેથી,$16.02 \times 0.001 = 0.01602$ થાય છે.

(B) $0.002$ નો $0.5$ સાથે ગુણાકાર કરવા માટે,આપણે શરૂઆતમાં દશાંશ ચિહ્નોને અવગણીને સંખ્યાઓનો પૂર્ણાંક તરીકે ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ:
$2 \times 5 = 10$
ત્યારબાદ,મૂળ સંખ્યાઓમાં દશાંશ ચિહ્ન પછીના કુલ અંકોની ગણતરી કરો:
$0.002$ માં $3$ દશાંશ સ્થળ છે.
$0.5$ માં $1$ દશાંશ સ્થળ છે.
કુલ દશાંશ સ્થળ $= 3 + 1 = 4$.
હવે,પરિણામ $(10)$ માં દશાંશ ચિહ્ન એવી રીતે મૂકો કે જેથી દશાંશ ચિહ્નની જમણી બાજુએ $4$ અંકો હોય:
$0.0010$,જે $0.001$ ની બરાબર છે.

(A) અપૂર્ણાંકોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવવા માટે,તેમને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવો:
$\frac{1}{3} \approx 0.333$
$\frac{2}{5} = 0.4$
$\frac{4}{7} \approx 0.571$
$\frac{3}{5} = 0.6$
$\frac{5}{6} \approx 0.833$
$\frac{6}{7} \approx 0.857$
દશાંશ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $0.333 < 0.4 < 0.571 < 0.6 < 0.833 < 0.857$.
આમ,ચડતો ક્રમ $\frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{4}{7}, \frac{3}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}$ છે.

(A) સૌથી મોટી અને સૌથી નાની અપૂર્ણાંક સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે તેમને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવીએ છીએ:
$\frac{2}{3} \approx 0.666$
$\frac{3}{4} = 0.75$
$\frac{4}{5} = 0.8$
$\frac{5}{6} \approx 0.833$
સૌથી મોટી અપૂર્ણાંક સંખ્યા $\frac{5}{6}$ છે અને સૌથી નાની અપૂર્ણાંક સંખ્યા $\frac{2}{3}$ છે.
જરૂરી તફાવત $\frac{5}{6} - \frac{2}{3}$ છે.
$6$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $6$ લેતા:
$\frac{5}{6} - \frac{4}{6} = \frac{1}{6}$.

(D) ઉતરતો ક્રમ નક્કી કરવા માટે,દરેક અપૂર્ણાંકને તેના દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવો:
$\frac{5}{9} \approx 0.555$
$\frac{7}{11} \approx 0.636$
$\frac{8}{15} \approx 0.533$
$\frac{11}{17} \approx 0.647$
દશાંશ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા:
$0.647 > 0.636 > 0.555 > 0.533$
તેથી,ઉતરતો ક્રમ આ મુજબ છે:
$\frac{11}{17} > \frac{7}{11} > \frac{5}{9} > \frac{8}{15}$

(D) આપેલ સમીકરણ: $832.58 - 242.31 = 779.84 - ?$
સૌ પ્રથમ,ડાબી બાજુની ગણતરી કરો: $832.58 - 242.31 = 590.27$
હવે,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $590.27 = 779.84 - ?$
$?$ માટે ઉકેલવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $? = 779.84 - 590.27$
બાદબાકી કરતા: $779.84 - 590.27 = 189.57$
અહીં $189.57$ એ વિકલ્પો $A, B,$ કે $C$ માં આપેલ નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $138.009 + 341.981 - 146.305 = 123.6 + ?$
સૌ પ્રથમ,પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો કરો: $138.009 + 341.981 = 479.990$
ત્યારબાદ,ત્રીજું પદ બાદ કરો: $479.990 - 146.305 = 333.685$
હવે,સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $333.685 = 123.6 + ?$
$?$ ની કિંમત શોધવા માટે,$333.685$ માંથી $123.6$ બાદ કરો: $? = 333.685 - 123.6 = 210.085$
આમ,$210.085$ એ વિકલ્પો $A, B,$ કે $C$ માં આપેલ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $12.1212 + 17.0005 - 9.1102$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,સરવાળા અને બાદબાકીના ક્રમનું પાલન કરો.
સૌ પ્રથમ,ધન સંખ્યાઓનો સરવાળો કરો: $12.1212 + 17.0005 = 29.1217$.
ત્યારબાદ,મળેલા સરવાળામાંથી ત્રીજી સંખ્યા બાદ કરો: $29.1217 - 9.1102 = 20.0115$.
આમ,અંતિમ પરિણામ $20.0115$ છે.

(D) $48.95$ માંથી $32.006$ બાદ કરવા માટે,આપણે પહેલા દશાંશ ચિહ્નોને એક સીધી રેખામાં ગોઠવીએ છીએ:
$48.950 - 32.006$
બાદબાકી કરતા:
$48.950 - 32.006 = 16.944$
આમ,સાચો જવાબ $16.944$ છે.

(C) સરવાળો શોધવા માટે,તમામ સંખ્યાઓના દશાંશ ચિહ્નોને એક સીધી રેખામાં ગોઠવો:
$617.0000$
$6.0170$
$0.6170$
$6.0017$
----------
$629.6357$
તેથી,સરવાળો $629.6357$ થાય છે.