Numbers Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે, શેષ $= 46$.
પ્રશ્ન મુજબ, ભાજક એ શેષ કરતા $5$ ગણો છે.
ભાજક $= 5 \times 46 = 230$.
વળી, ભાજક એ ભાગફળ કરતા $10$ ગણો છે.
$10 \times \text{ભાગફળ} = 230$.
ભાગફળ $= 230 / 10 = 23$.
ભાજ્ય શોધવાનું સૂત્ર છે: $\text{ભાજ્ય} = (\text{ભાજક} \times \text{ભાગફળ}) + \text{શેષ}$.
ભાજ્ય $= (230 \times 23) + 46$.
ભાજ્ય $= 5290 + 46 = 5336$.

(B) ચાર અંકની સૌથી નાની સંખ્યા $1000$ છે.
$71$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી ચાર અંકની સૌથી નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા $1000$ ને $71$ વડે ભાગીશું.
$1000 \div 71 = 14$ અને શેષ $6$ વધે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $71 \times 14 = 994$,જે ત્રણ અંકની સંખ્યા છે.
$71$ નો પછીનો ગુણક $71 \times 15$ થશે.
$71 \times 15 = 1065$.
વૈકલ્પિક રીતે,$71$ વડે વિભાજ્ય ચાર અંકની સૌથી નાની સંખ્યાની ગણતરી $1000 + (71 - 6) = 1000 + 65 = 1065$ તરીકે કરી શકાય છે.

(A) $100$ સુધીની $7$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે $100 \div 7$ નો ભાગાકાર કરીએ છીએ.
મળતો ભાગફળ $14$ છે અને શેષ $2$ વધે છે $(100 = 7 \times 14 + 2)$.
તેથી,$1$ અને $100$ ની વચ્ચે $7$ ના $14$ ગુણકો છે (જેમ કે $7, 14, 21, \dots, 98$).

(C) $500$ સુધીની $23$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે $500 \div 23$ નો ભાગાકાર કરીશું.
$500 = 23 \times 21 + 17$.
અહીં મળતો ભાગફળ $21$ છે.
તેથી,$500$ સુધીની કુલ $21$ સંખ્યાઓ $23$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) કોઈ સંખ્યા $2$ અને $3$ બંને વડે ત્યારે જ વિભાજ્ય હોય જો તે તેમના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(L.C.M.)$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$2$ અને $3$ નો $L.C.M.$ $6$ છે.
$200$ સુધીની એવી સંખ્યાઓ શોધવા માટે જે $6$ વડે વિભાજ્ય હોય,આપણે $200$ ને $6$ વડે ભાગીશું અને ભાગફળ મેળવીશું.
$200 \div 6 = 33.33...$
ભાગફળનો પૂર્ણાંક ભાગ $33$ છે.
તેથી,$200$ સુધીની કુલ $33$ સંખ્યાઓ એવી છે જે $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય છે.

(A) $100$ અને $300$ ની વચ્ચે $11$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે આ શ્રેણીમાં $11$ ના પ્રથમ અને છેલ્લા ગુણકને ઓળખીએ છીએ.
$100$ થી મોટી $11$ ની પ્રથમ ગુણક સંખ્યા $110$ $(11 \times 10)$ છે.
$300$ થી નાની $11$ ની છેલ્લી ગુણક સંખ્યા $286$ $(11 \times 26)$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $110, 121, 132, \dots, 286$.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર વાપરતા: $a_n = a + (n - 1)d$,જ્યાં $a = 110$,$d = 11$,અને $a_n = 286$.
$286 = 110 + (n - 1)11$
$176 = (n - 1)11$
$n - 1 = 16$
$n = 17$.
વૈકલ્પિક રીતે,$N$ સુધી $k$ ના ગુણકોની સંખ્યા $\lfloor N/k \rfloor$ દ્વારા મળે છે.
$300$ સુધી $11$ ના ગુણકોની સંખ્યા $\lfloor 300/11 \rfloor = 27$ છે.
$100$ સુધી $11$ ના ગુણકોની સંખ્યા $\lfloor 100/11 \rfloor = 9$ છે.
તેથી,$100$ અને $300$ ની વચ્ચે $11$ ના ગુણકોની સંખ્યા $27 - 9 = 18$ છે.

(B) $2, 3$ અને $7$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યા તેમના લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) વડે પણ વિભાજ્ય હોય છે.
$2, 3$ અને $7$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,તેમનો લ.સા.અ. $= 2 \times 3 \times 7 = 42$ થાય.
આપણે $150$ અને $500$ ની વચ્ચે $42$ ના ગુણકોની સંખ્યા શોધવાની છે.
સૌ પ્રથમ,$150$ થી મોટી $42$ ની સૌથી નાની ગુણક સંખ્યા શોધો: $42 \times 4 = 168$.
ત્યારબાદ,$500$ થી નાની $42$ ની સૌથી મોટી ગુણક સંખ્યા શોધો: $500 \div 42 \approx 11.9$,તેથી $42 \times 11 = 462$.
આ ગુણકો $42 \times 4, 42 \times 5, \dots, 42 \times 11$ છે.
આવી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $11 - 4 + 1 = 8$ થાય.

(A) છ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા $100000$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $100000$ ને $357$ વડે ભાગીને શેષ શોધીએ:
$100000 \div 357 = 280$ અને શેષ $40$ મળે છે.
$357$ વડે ભાગી શકાય તેવી છ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા મેળવવા માટે,આપણે ભાજક અને શેષના તફાવતને ભાજ્યમાં ઉમેરીએ છીએ:
$100000 + (357 - 40) = 100000 + 317 = 100317$.
હવે,આપણે $5555$ માં કઈ સંખ્યા ઉમેરવાથી $100317$ મળે તે શોધવાનું છે:
$x + 5555 = 100317$
$x = 100317 - 5555 = 94762$.
આમ,જરૂરી સંખ્યા $94762$ છે.

(A) $58701$ ની સૌથી નજીકની $567$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા $58701$ ને $567$ વડે ભાગીશું.
$58701 \div 567 = 103$ અને શેષ $300$ વધે છે.
અહીં શેષ $300$ એ ભાજક $(567)$ ના અડધા $(567 / 2 = 283.5)$ કરતા મોટી હોવાથી,
આપણે મૂળ સંખ્યામાં તફાવત $(567 - 300) = 267$ ઉમેરીશું.
સૌથી નજીકની સંખ્યા $= 58701 + 267 = 58968$.

(A) ધારો કે સંખ્યા $N = 3422213xy$ છે,જ્યાં $x$ અને $y$ ખૂટતા અંકો છે.
$N$ એ $99$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,તે $9$ અને $11$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
$9$ વડે વિભાજ્યતા માટે,અંકોનો સરવાળો $9$ નો ગુણક હોવો જોઈએ:
$3+4+2+2+2+1+3+x+y = 17+x+y$. આ $9$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,$x+y$ એ $1, 10$ અથવા $19$ હોવા જોઈએ. $x, y$ અંકો હોવાથી,$x+y=10$ (કારણ કે $17+10=27$,જે $9$ વડે વિભાજ્ય છે).
$11$ વડે વિભાજ્યતા માટે,એકી સ્થાન પરના અંકો અને બેકી સ્થાન પરના અંકોના સરવાળાનો તફાવત $0$ અથવા $11$ નો ગુણક હોવો જોઈએ:
જમણી બાજુથી એકી સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો: $y+1+2+4 = y+7$.
જમણી બાજુથી બેકી સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો: $x+3+2+2+3 = x+10$.
તફાવત: $(y+7) - (x+10) = y-x-3$.
$11$ વડે વિભાજ્યતા માટે,$y-x-3 = 0$ અથવા $y-x-3 = -11$.
કિસ્સો $1$: $y-x = 3$. આપણી પાસે $x+y=10$ અને $y-x=3$ છે. બંનેનો સરવાળો કરતા,$2y=13$ (કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી).
કિસ્સો $2$: $y-x-3 = -11 \implies y-x = -8$. આપણી પાસે $x+y=10$ અને $y-x=-8$ છે. બંનેનો સરવાળો કરતા,$2y=2 \implies y=1$. તેથી $x=9$.
આમ,અંકો $9$ અને $1$ છે.

(A) જો કોઈ સંખ્યાના એકી સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો અને બેકી સ્થાન પરના અંકોના સરવાળાનો તફાવત $0$ અથવા $11$ નો ગુણક હોય,તો તે સંખ્યા $11$ વડે વિભાજ્ય છે.
ધારો કે ખૂટતો અંક $x$ છે.
સંખ્યા $5x3457$ છે.
એકી સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો (જમણી બાજુથી) $= 7 + 4 + x = 11 + x$.
બેકી સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો (જમણી બાજુથી) $= 5 + 3 + 5 = 13$.
સંખ્યા $11$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,તફાવત $0$ અથવા $11$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$(11 + x) - 13 = 0$ અથવા $(11 + x) - 13 = 11$.
કિસ્સો $1$: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
કિસ્સો $2$: $x - 2 = 11 \implies x = 13$ (શક્ય નથી કારણ કે $x$ એક અંકની સંખ્યા હોવી જોઈએ).
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે.

(B) $1,000,000$ ની સૌથી નજીકની $537$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા $1,000,000$ ને $537$ વડે ભાગીશું.
$1,000,000 \div 537 = 1862$ અને શેષ $106$ વધે છે.
અહીં શેષ $106$ એ ભાજક $(537 / 2 = 268.5)$ ના અડધા કરતા નાની હોવાથી,સૌથી નજીકની સંખ્યા મેળવવા માટે આપણે $1,000,000$ માંથી શેષ બાદ કરીશું.
$1,000,000 - 106 = 999,894$.
આમ,સૌથી નજીકની પૂર્ણ સંખ્યા $999,894$ છે.

(B) $400$ અને $500$ ની વચ્ચે $9$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સૌથી નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા $400$ ને $9$ વડે ભાગીએ છીએ.
$400 \div 9 = 44$ અને શેષ $4$ વધે છે.
$400$ થી મોટી $9$ ની આગામી ગુણક સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ભાજકમાંથી શેષ બાદ કરીએ છીએ અને તેને સંખ્યામાં ઉમેરીએ છીએ:
$9 - 4 = 5$.
આને $400$ માં ઉમેરતા,આપણને $400 + 5 = 405$ મળે છે.
$405$ એ $400$ અને $500$ ની વચ્ચે છે અને તે $9$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,તે સૌથી નાની સંખ્યા છે.

(A) પાંચ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $99,999$ છે.
$231$ વડે ભાગી શકાય તેવી પાંચ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $99,999$ ને $231$ વડે ભાગીશું.
$99,999 \div 231 = 432$ અને શેષ વધે છે.
$99,999 = 231 \times 432 + 207$.
અહીં શેષ $207$ છે.
જરૂરી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પાંચ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યામાંથી શેષને બાદ કરીશું:
$99,999 - 207 = 99,792$.
આમ,$99,792$ એ $231$ વડે ભાગી શકાય તેવી પાંચ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા છે.

(D) $16386$ ની સૌથી નજીકની સંખ્યા શોધવા માટે જે $425$ વડે વિભાજ્ય હોય,આપણે પહેલા $16386$ ને $425$ વડે ભાગીશું.
$16386 \div 425 = 38$ અને શેષ $361$ વધે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $16386 = (425 \times 38) + 361$.
$16386$ ની સૌથી નજીકના $425$ ના બે ગુણકો $(425 \times 38) = 16150$ અને $(425 \times 39) = 16575$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે નજીકના ગુણક સુધીનું અંતર ગણી શકીએ છીએ:
શેષ $361$ છે. પછીના ગુણક સુધીનું અંતર $425 - 361 = 64$ છે.
અગાઉના ગુણક સુધીનું અંતર $361$ છે.
ચૂકી $64 < 361$ છે,તેથી સૌથી નજીકનો ગુણક $16386 + 64 = 16450$ છે.

(C) બાદ કરવાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $9269$ ને $73$ વડે ભાગીશું.
$9269 \div 73 = 126$ અને શેષ વધે છે.
$9269 = 73 \times 126 + 71$.
અહીં શેષ $71$ મળે છે,તેથી $9269$ માંથી $71$ બાદ કરવાથી મળતી સંખ્યા $73$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાશે.
તેથી,જરૂરી ન્યૂનતમ સંખ્યા $71$ છે.

(A) ઉમેરવાની સંખ્યા શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ $15463$ ને $107$ વડે ભાગો.
$15463 \div 107 = 144$ અને શેષ $55$ વધે છે.
અહીં શેષ $55$ છે,તેથી $15463$ માં જે સંખ્યા ઉમેરવાથી તે $107$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તે સંખ્યા ભાજક અને શેષનો તફાવત હશે.
જરૂરી સંખ્યા $= 107 - 55 = 52$.

(C) $5000$ થી તરત જ મોટી અને $73$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા $5000$ ને $73$ વડે ભાગીશું.
$5000 \div 73 = 68$ અને શેષ $36$ વધે છે.
$5000$ થી મોટી $73$ ની આગામી ગુણક સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ભાજક અને શેષ વચ્ચેનો તફાવત શોધીશું: $73 - 36 = 37$.
આ તફાવતને મૂળ સંખ્યામાં ઉમેરતા: $5000 + 37 = 5037$.
તેથી,જરૂરી સંખ્યા $5037$ છે.

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $a + b = 100$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો તફાવત $a - b = 37$ છે.
આપણે તેમના વર્ગોનો તફાવત શોધવાનો છે,જે $a^2 - b^2$ છે.
બીજગણિતના નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ નો ઉપયોગ કરતા,
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $a^2 - b^2 = 100 \times 37$.
તેથી,$a^2 - b^2 = 3700$.

(B) ધારો કે $79$ ને $n$ વખત બાદ કરવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આપણી પાસે સમીકરણ છે:
$50000 - (n \times 79) = 43759$
$n$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$n \times 79 = 50000 - 43759$
$n \times 79 = 6241$
$n = \frac{6241}{79}$
$n = 79$
તેથી,$79$ ને $79$ વખત બાદ કરવા જોઈએ.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $3x$ અને $4x$ છે,જ્યાં $x$ એ સામાન્ય અવયવ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $420$ છે.
તેથી,$3x + 4x = 420$.
$7x = 420$.
$x = 420 / 7 = 60$.
આમ,બે સંખ્યાઓ $3 \times 60 = 180$ અને $4 \times 60 = 240$ છે.
તેથી,બે સંખ્યાઓમાંથી મોટી સંખ્યા $240$ છે.

(C) ધારો કે બે ક્રમિક સંખ્યાઓ $x$ અને $(x+1)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમના વર્ગોનો તફાવત $35$ છે.
તેથી,$(x+1)^{2} - x^{2} = 35$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^{2} + 2x + 1) - x^{2} = 35$.
સમીકરણનું સાદુરૂપ આપતા: $2x + 1 = 35$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા: $2x = 34$.
$2$ વડે ભાગતા: $x = 17$.
આમ,બે ક્રમિક સંખ્યાઓ $17$ અને $17+1 = 18$ છે.

(B) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x$ ના એક-પંચમાંશના ત્રણ-ચતુર્થાંશ ભાગ $60$ છે.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{3}{4} \times \frac{1}{5} \times x = 60$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{3}{20} \times x = 60$.
બંને બાજુ $20$ વડે ગુણતા: $3x = 60 \times 20$.
$3x = 1200$.
$3$ વડે ભાગતા: $x = \frac{1200}{3} = 400$.
તેથી,તે સંખ્યા $400$ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે તેમના વર્ગોનો સરવાળો $a^2 + b^2 = 80$ છે.
તેમજ,તેમના તફાવતનો વર્ગ $(a - b)^2 = 36$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ થાય છે.
આ નિત્યસમમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$36 = 80 - 2ab$.
$2ab$ ની કિંમત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$2ab = 80 - 36 = 44$.
ગુણાકાર $ab$ શોધવા માટે $2$ વડે ભાગતા:
$ab = 22$.
તેથી,તે બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $22$ છે.

(A) ધારો કે સંખ્યા $N$ છે અને ભાગફળ $K$ છે.
ભાગાકારના નિયમ મુજબ,$N = 357 \times K + 37.$
આપણે $N$ ને $17$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
$N = (17 \times 21) \times K + (17 \times 2 + 3).$
$N = 17 \times (21K + 2) + 3.$
અહીં $N$ ને $17 \times Q' + R$ સ્વરૂપમાં દર્શાવેલ છે,જ્યાં $Q' = 21K + 2$ અને $R = 3$ છે,તેથી શેષ $3$ મળે છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $ab = 120$ છે.
આપેલ છે કે તેમના વર્ગોનો સરવાળો $a^2 + b^2 = 289$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
આપેલ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(a + b)^2 = 289 + 2(120)$.
$(a + b)^2 = 289 + 240$.
$(a + b)^2 = 529$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે $a + b = \sqrt{529} = 23$.
આમ,બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $23$ છે.

(C) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $4x$,$5x$ અને $6x$ છે.
આ સંખ્યાઓની સરેરાશનું સૂત્ર છે: $\frac{\text{સંખ્યાઓનો સરવાળો}}{\text{સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા}} = \text{સરેરાશ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{4x + 5x + 6x}{3} = 25$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{15x}{3} = 25$,જે આપણને $5x = 25$ આપે છે.
$x$ ની કિંમત શોધતા: $x = \frac{25}{5} = 5$.
સૌથી મોટી સંખ્યા $6x$ છે. $x$ ની કિંમત મૂકતા: $6 \times 5 = 30$.

(A) ધારો કે જરૂરી સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તે સંખ્યા તેના $20 \%$ કરતા $40$ જેટલી વધારે છે.
આને સમીકરણ તરીકે આ રીતે લખી શકાય: $x - 0.20x = 40$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $0.80x = 40$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{40}{0.80} = \frac{4000}{80} = 50$.
તેથી,તે સંખ્યા $50$ છે.

(C) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x$ ના $40 \%$ ના $16 \%$ એ $8$ છે.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{16}{100} \times \frac{40}{100} \times x = 8$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{16 \times 40}{10000} \times x = 8$.
$\frac{640}{10000} \times x = 8$.
$0.064 \times x = 8$.
$x = \frac{8}{0.064}$.
$x = \frac{8000}{64}$.
$x = 125$.

(B) ધારો કે સંખ્યા $N = d_2 d_1 d_0 341$ છે,જ્યાં $d_2, d_1, d_0$ ખૂટતા અંકો છે.
$4767$ એ $N$ ને નિઃશેષ ભાગે છે,તેથી આપણે $N = 4767 \times Q$ લખી શકીએ.
$N$ નો છેલ્લો અંક $1$ છે અને $4767$ નો છેલ્લો અંક $7$ છે.
ગુણાકારનો છેલ્લો અંક $1$ મળે તે માટે ભાગફળ $Q$ નો છેલ્લો અંક $3$ હોવો જોઈએ (કારણ કે $7 \times 3 = 21$).
ચાલો $xxx,341$ ને $4767$ વડે ભાગીને ભાગફળ $Q$ નો અંદાજ લગાવીએ.
$4767 \times 100 = 476700$.
$N - 476700 = xxx,341 - 476,700 = yyy,641$.
હવે,$4767 \times 20 = 95340$.
$N - 476700 - 95340 = 586341 - 572040 = 14301$.
છેલ્લે,$4767 \times 3 = 14301$.
આમ,$Q = 100 + 20 + 3 = 123$.
$N = 4767 \times 123 = 586341$.
ખૂટતા અંકો $5, 8, 6$ છે.

(A) ધારો કે સંખ્યા $N$ છે અને ભાજક $D$ છે.
ભાગાકારના નિયમ મુજબ,$N = D \times q_1 + 241$,જ્યાં $q_1$ ભાગફળ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $N > 241$,તેથી $D > 241$.
જ્યારે $2N$ ને $D$ વડે ભાગવામાં આવે છે,ત્યારે શેષ $112$ મળે છે.
તેથી,$2N = D \times q_2 + 112$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $N$ ની કિંમત મૂકતા: $2(D \times q_1 + 241) = D \times q_2 + 112$.
$2D \times q_1 + 482 = D \times q_2 + 112$.
$482 - 112 = D \times q_2 - 2D \times q_1$.
$370 = D(q_2 - 2q_1)$.
આ દર્શાવે છે કે $D$ એ $370$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.
કારણ કે $D > 241$,તેથી $370$ નો $241$ થી મોટો એકમાત્ર અવયવ $370$ પોતે જ છે.
તેથી,ભાજક $370$ છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $N_1$ અને $N_2$ છે અને ભાજક $d$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$N_1 = q_1d + 43$ અને $N_2 = q_2d + 37$,જ્યાં $q_1$ અને $q_2$ ભાગફળ છે.
સંખ્યાઓનો સરવાળો $N_1 + N_2 = (q_1 + q_2)d + (43 + 37) = (q_1 + q_2)d + 80$ થાય.
જ્યારે આ સરવાળાને $d$ વડે ભાગવામાં આવે છે,ત્યારે શેષ $13$ વધે છે. તેથી,$80$ ને $d$ વડે ભાગતા શેષ $13$ મળવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $80 = kd + 13$,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
$kd = 80 - 13 = 67$.
$67$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,ભાજક $d$ એ $67$ હોવો જોઈએ (કારણ કે શેષ $13$ એ ભાજક $d$ કરતા નાની હોવી જોઈએ,અને $13 < 67$ એ શરતનું પાલન થાય છે).

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $3x$ અને $5x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો દરેક સંખ્યામાં $10$ ઉમેરવામાં આવે,તો નવો ગુણોત્તર $5:7$ થાય છે.
તેથી,$\frac{3x + 10}{5x + 10} = \frac{5}{7}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$7(3x + 10) = 5(5x + 10)$.
$21x + 70 = 25x + 50$.
$25x - 21x = 70 - 50$.
$4x = 20$.
$x = 5$.
તેથી,તે સંખ્યાઓ $3(5) = 15$ અને $5(5) = 25$ છે.

(A) ધારો કે બે ભાગ $x$ અને $(50 - x)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમના વ્યસ્તનો સરવાળો $1/12$ છે:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{50 - x} = \frac{1}{12}$
ડાબી બાજુએ સામાન્ય છેદ લેતા:
$\frac{(50 - x) + x}{x(50 - x)} = \frac{1}{12}$
$\frac{50}{50x - x^2} = \frac{1}{12}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$50 \times 12 = 50x - x^2$
$600 = 50x - x^2$
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણમાં ગોઠવતા:
$x^2 - 50x + 600 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x - 30)(x - 20) = 0$
આમ,$x = 30$ અથવા $x = 20$.
જો $x = 30$ હોય,તો બીજો ભાગ $50 - 30 = 20$ થાય. જો $x = 20$ હોય,તો બીજો ભાગ $50 - 20 = 30$ થાય.
તેથી,બે ભાગ $20$ અને $30$ છે.

(A) ધારો કે સાત સંખ્યાઓ $n_1, n_2, n_3, n_4, n_5, n_6, n_7$ છે.
સાત સંખ્યાઓનો સરવાળો $n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 + n_6 + n_7 = 235$ આપેલ છે.
પ્રથમ ત્રણ સંખ્યાઓની સરેરાશ $23$ છે,તેથી તેમનો સરવાળો $n_1 + n_2 + n_3 = 23 \times 3 = 69$ થાય.
છેલ્લી ત્રણ સંખ્યાઓની સરેરાશ $42$ છે,તેથી તેમનો સરવાળો $n_5 + n_6 + n_7 = 42 \times 3 = 126$ થાય.
આ સરવાળાને કુલ સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$69 + n_4 + 126 = 235$
$195 + n_4 = 235$
$n_4 = 235 - 195 = 40$.
તેથી,ચોથી સંખ્યા $40$ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે તેમના વર્ગોનો સરવાળો $a^2 + b^2 = 68$ છે.
વળી,તેમના તફાવતનો વર્ગ $(a - b)^2 = 36$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$.
આ નિત્યસમમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$36 = 68 - 2ab$.
$2ab$ ની કિંમત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$2ab = 68 - 36$.
$2ab = 32$.
$2$ વડે ભાગતા:
$ab = 16$.
તેથી,તે બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $16$ છે.

(A) જો કોઈ સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $9$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $9$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
$6735K1$ ના અંકોનો સરવાળો $= 6 + 7 + 3 + 5 + K + 1 = 22 + K$ થાય.
સંખ્યા $9$ વડે વિભાજ્ય બને તે માટે,સરવાળો $22 + K$ એ $9$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$9$ ના ગુણકો $9, 18, 27, 36, \dots$ છે.
અહીં $K$ એ એક અંકની સંખ્યા $(0-9)$ હોવાથી,$22 + K$ ની કિંમત ઓછામાં ઓછી $22$ અને વધુમાં વધુ $22 + 9 = 31$ હોઈ શકે.
$22$ થી $31$ ની વચ્ચે $9$ નો એકમાત્ર ગુણક $27$ છે.
તેથી,$22 + K = 27$.
$K = 27 - 22 = 5$.
આમ,$K$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $5$ છે.

(A) જો કોઈ સંખ્યાના છેલ્લા ત્રણ અંકોથી બનતી સંખ્યા $8$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે આખી સંખ્યા $8$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
આપેલ સંખ્યા $7236K2$ માં,છેલ્લા ત્રણ અંકો $6K2$ છે.
આપણે તપાસવું પડશે કે $K$ ની કઈ કિંમત માટે $6K2$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય છે.
જો $K = 3$ હોય,તો સંખ્યા $632$ બને છે. $632 / 8 = 79$ હોવાથી,તે $8$ વડે વિભાજ્ય છે.
જો $K = 7$ હોય,તો સંખ્યા $672$ બને છે. $672 / 8 = 84$ હોવાથી,તે $8$ વડે વિભાજ્ય છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$7$ એ એક વિકલ્પ તરીકે ઉપલબ્ધ છે.

(A) કોઈ સંખ્યા $88$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તે $8$ અને $11$ બંને વડે વિભાજ્ય હોય,કારણ કે $88 = 8 \times 11$ અને $\gcd(8, 11) = 1$ છે.
પ્રથમ,$8$ ની વિભાજ્યતાની ચાવી લાગુ કરો. જો કોઈ સંખ્યાના છેલ્લા ત્રણ અંકો $8$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $8$ વડે વિભાજ્ય હોય છે. છેલ્લા ત્રણ અંકો $23y$ છે.
$23y$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય બને તે માટે,$230 \div 8 = 28$ અને શેષ $6$ મળે છે. $230$ માં $2$ ઉમેરતા $232$ મળે છે,જે $8 \times 29 = 232$ થાય છે. તેથી,$y = 2$ એ સૌથી નાની કિંમત છે.
હવે સંખ્યા $5x4232$ છે. $11$ ની વિભાજ્યતાની ચાવી લાગુ કરો. જો એકી સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો અને બેકી સ્થાન પરના અંકોના સરવાળાનો તફાવત $0$ અથવા $11$ નો ગુણક હોય,તો તે સંખ્યા $11$ વડે વિભાજ્ય છે.
એકી સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો (જમણી બાજુથી): $2 + 2 + x = x + 4$.
બેકી સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો (જમણી બાજુથી): $3 + 4 + 5 = 12$.
તફાવત: $(x + 4) - 12 = x - 8$.
સંખ્યા $11$ વડે વિભાજ્ય બને તે માટે,$x - 8 = 0$,જેનો અર્થ છે $x = 8$.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમતો $x = 8$ અને $y = 2$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ ભાગ $x$ છે. તેથી બીજો ભાગ $(24 - x)$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ ભાગના $7$ ગણા અને બીજા ભાગના $5$ ગણાનો સરવાળો $146$ છે.
તેથી,$7x + 5(24 - x) = 146$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $7x + 120 - 5x = 146$.
સાદું રૂપ આપતા: $2x + 120 = 146$.
બંને બાજુથી $120$ બાદ કરતા: $2x = 26$.
$2$ વડે ભાગતા: $x = 13$.
આમ,પ્રથમ ભાગ $13$ છે.

(B) ધારો કે બીજી સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,પ્રથમ સંખ્યા $2x$ થશે.
ત્રીજી સંખ્યા પ્રથમ સંખ્યાના ત્રીજા ભાગની છે,એટલે કે $\frac{1}{3} \times 2x = \frac{2x}{3}$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો $132$ છે:
$2x + x + \frac{2x}{3} = 132$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા:
$6x + 3x + 2x = 396$
$11x = 396$
$x = \frac{396}{11} = 36$.
આમ,બીજી સંખ્યા $36$ છે.

(C) $5$ અને $9$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,સંખ્યા તેમના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
$5$ અને $9$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો $LCM = 5 \times 9 = 45$ થાય.
હવે,શેષ શોધવા માટે $7231$ ને $45$ વડે ભાગો:
$7231 \div 45 = 160$ અને શેષ $31$ વધે છે.
સંખ્યાને $45$ વડે નિઃશેષ ભાગવા માટે,આપણે ભાજક અને શેષ વચ્ચેનો તફાવત મૂળ સંખ્યામાં ઉમેરવો પડે.
જરૂરી સંખ્યા $= 45 - 31 = 14$.

(A) $3$ અને $11$ બંને વડે ભાગી શકાય તેવી સંખ્યા તેમના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $33$ વડે પણ ભાગી શકાય.
સૌથી નજીકની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $9231$ ને $33$ વડે ભાગીશું.
$9231 \div 33 = 279$ અને શેષ $24$ વધે છે.
અહીં શેષ $24$ એ ભાજક $33$ ના અડધા $(16.5)$ કરતા મોટી હોવાથી,આપણે આગામી ગુણક મેળવવા માટે $33 - 24 = 9$ ઉમેરીશું.
તેથી,સૌથી નજીકની સંખ્યા $9231 + 9 = 9240$ થશે.

(A) પ્રથમ ચાર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5$ અને $7$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210$ થાય છે.
$12199$ ની સૌથી નજીકની $210$ વડે ભાગી શકાય તેવી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $12199$ ને $210$ વડે ભાગીશું:
$12199 \div 210 = 58$ અને શેષ $19$ વધે છે.
અહીં શેષ $19$ એ ભાજક $(210)$ ના અડધા $(105)$ કરતા નાની હોવાથી,સૌથી નજીકની સંખ્યા મેળવવા માટે આપણે ભાજ્યમાંથી શેષ બાદ કરીશું.
તેથી,જરૂરી સંખ્યા $12199 - 19 = 12180$ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$x^{2} + y^{2} = 90$ $.....(1)$
$(x - y)^{2} = 46$ $.....(2)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x - y)^{2} = x^{2} + y^{2} - 2xy$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની કિંમતો આ નિત્યસમમાં મૂકતા:
$46 = 90 - 2xy$
$xy$ ની કિંમત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$2xy = 90 - 46$
$2xy = 44$
$xy = 22$
તેથી,બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $22$ છે.

(A) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
આપેલ છે કે $x$ ના $40 \% = 360$.
તેથી,$\frac{40}{100} \times x = 360$.
$x = \frac{360 \times 100}{40} = 9 \times 100 = 900$.
હવે,આપણે આ સંખ્યા $x$ ના $15 \%$ શોધવાના છે.
$900$ ના $15 \% = \frac{15}{100} \times 900 = 15 \times 9 = 135$.

(A) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ દશકનો અંક છે અને $y$ એકમનો અંક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંકોનો સરવાળો $x + y = 8$ છે $...(1)$.
જ્યારે અંકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંખ્યા $10y + x$ બને છે.
આપેલ છે કે નવી સંખ્યા મૂળ સંખ્યા કરતા $54$ વધારે છે: $10y + x = (10x + y) + 54$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $9y - 9x = 54$,જેનો અર્થ થાય છે $y - x = 6$ $...(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $(x + y) + (y - x) = 8 + 6$,તેથી $2y = 14$,જેનો અર્થ છે $y = 7$.
સમીકરણ $(1)$ માં $y = 7$ મૂકતા: $x + 7 = 8$,તેથી $x = 1$.
મૂળ સંખ્યા $10x + y = 10(1) + 7 = 17$ છે.

(A) ધારો કે સંખ્યા $N$ છે. ભાજક $3, 4, 6$ છે અને અનુક્રમે શેષ $1, 2, 4$ છે.
ભાજક અને શેષ વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$3 - 1 = 2$
$4 - 2 = 2$
$6 - 4 = 2$
અહીં સામાન્ય તફાવત $2$ છે.
$N$ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ $3, 4, 6$ નો લ.સા.અ. $(LCM)$ શોધીએ,જે $12$ છે.
સંખ્યાનું સામાન્ય સ્વરૂપ $N = 12k - 2$ છે,જ્યાં $k$ એક પૂર્ણાંક છે.
બે અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા માટે,આપણે $12k - 2 < 100$ લઈએ,જે $12k < 102$ આપે છે,તેથી $k < 8.5$.
$k = 8$ લેતા,આપણને $N = 12(8) - 2 = 96 - 2 = 94$ મળે છે.
હવે,જ્યારે $N = 94$ ને $5$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધીએ.
$94 = 5 \times 18 + 4$.
તેથી,શેષ $4$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $A + B + AB = 65$.
પદાવલિના અવયવ પાડવા માટે બંને બાજુ $1$ ઉમેરો:
$A + B + AB + 1 = 65 + 1$
$A(1 + B) + 1(1 + B) = 66$
$(A + 1)(B + 1) = 66$
$A$ અને $B$ ધન પૂર્ણાંકો હોવાથી,$(A + 1)$ અને $(B + 1)$ એ $66$ ના $1$ કરતા મોટા અવયવો હોવા જોઈએ.
$66$ ના અવયવોની જોડી $(1, 66), (2, 33), (3, 22), (6, 11)$ છે.
$A, B \leq 15$ હોવાથી,$(A + 1) \leq 16$ અને $(B + 1) \leq 16$ થાય.
આ શરત સંતોષતી એકમાત્ર જોડી $(6, 11)$ છે.
તેથી,$A + 1 = 6$ અને $B + 1 = 11$ (અથવા તેનાથી ઉલટું).
$A = 5$ અને $B = 10$.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો તફાવત $|10 - 5| = 5$ છે.

(D) અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરવા માટે,આપણે દરેક અપૂર્ણાંકનો વ્યસ્ત શોધી શકીએ છીએ અને તેમની કિંમતોની સરખામણી કરી શકીએ છીએ. જે અપૂર્ણાંકનો વ્યસ્ત સૌથી નાનો હશે તે અપૂર્ણાંક સૌથી મોટો હશે.
$1$. $\frac{5}{113}$ નો વ્યસ્ત $\frac{113}{5} = 22.6$ છે.
$2$. $\frac{7}{120}$ નો વ્યસ્ત $\frac{120}{7} \approx 17.14$ છે.
$3$. $\frac{13}{145}$ નો વ્યસ્ત $\frac{145}{13} \approx 11.15$ છે.
$4$. $\frac{17}{160}$ નો વ્યસ્ત $\frac{160}{17} \approx 9.41$ છે.
પરિણામોની સરખામણી કરતા: $22.6 > 17.14 > 11.15 > 9.41$.
અહીં $\frac{160}{17}$ એ વ્યસ્તોમાં સૌથી નાની કિંમત હોવાથી,$\frac{17}{160}$ એ સૌથી મોટો અપૂર્ણાંક છે.