Numbers Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ: $18 \% \text{ of } 125 \times 9 \% \text{ of } 25 = x - 100$
પગલું $1$: $18 \% \text{ of } 125 = (18 / 100) \times 125 = 0.18 \times 125 = 22.5$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $2$: $9 \% \text{ of } 25 = (9 / 100) \times 25 = 0.09 \times 25 = 2.25$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $3$: પરિણામોનો ગુણાકાર કરો: $22.5 \times 2.25 = 50.625$
પગલું $4$: $x$ માટે ઉકેલો: $50.625 = x - 100$
$x = 50.625 + 100 = 150.625$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $6$ વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય હોય તેવી $3$ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા $102$ છે (કારણ કે $102 / 6 = 17$).
$6$ વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય હોય તેવી $3$ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $996$ છે (કારણ કે $996 / 6 = 166$).
આ સંખ્યાઓ એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 102$,સામાન્ય તફાવત $d = 6$,અને છેલ્લું પદ $a_n = 996$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a_n = a + (n - 1)d$.
કિંમતો મૂકતા: $996 = 102 + (n - 1)6$.
બંને બાજુથી $102$ બાદ કરતા: $894 = (n - 1)6$.
$6$ વડે ભાગતા: $n - 1 = 149$.
તેથી,$n = 150$.

(D) ધારો કે સંખ્યા $n$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,જ્યારે $n$ ને $5$ વડે ભાગવામાં આવે છે,ત્યારે શેષ $3$ મળે છે. આને $n = 5k + 3$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $k$ એક પૂર્ણાંક છે.
આપણે $n^2$ ને $5$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
$n^2 = (5k + 3)^2$
$n^2 = 25k^2 + 30k + 9$
$n^2 = 25k^2 + 30k + 5 + 4$
$n^2 = 5(5k^2 + 6k + 1) + 4$
અહીં $5(5k^2 + 6k + 1)$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી જ્યારે $n^2$ ને $5$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $4$ મળે છે.

(C) $323.232 + 32.3232 + 3.23232$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,દશાંશ ચિહ્નોને એક સીધી રેખામાં ગોઠવો:
$323.23200$
$032.32320$
$003.23232$
----------
$358.78752$
આમ,સરવાળો $358.78752$ થાય છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $525 \times 24 \div 8 + 25 = (?)^2$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે $BODMAS$ ના નિયમ (ભાગાકાર,ગુણાકાર,સરવાળો,બાદબાકી) નું પાલન કરીશું.
સૌ પ્રથમ,ભાગાકાર કરો: $24 \div 8 = 3$.
ત્યારબાદ,ગુણાકાર કરો: $525 \times 3 = 1575$.
પછી,સરવાળો કરો: $1575 + 25 = 1600$.
આમ,$(?)^2 = 1600$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $? = \sqrt{1600} = 40$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $46818 + 34484 - 24642 - 21232$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. પ્રથમ,ધન સંખ્યાઓનો સરવાળો કરો: $46818 + 34484 = 81302$.
$2$. ત્યારબાદ,ઋણ સંખ્યાઓનો સરવાળો કરો: $24642 + 21232 = 45874$.
$3$. અંતે,ધન સંખ્યાઓના સરવાળામાંથી ઋણ સંખ્યાઓનો સરવાળો બાદ કરો: $81302 - 45874 = 35428$.
તેથી,સાચો જવાબ $35428$ છે.

(C) આ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાં ફેરવીને અંદાજિત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$499.99 \approx 500$
$1999 \approx 2000$
$39.99 \approx 40$
$50.01 \approx 50$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$500 + 2000 \div 40 \times 50$
$BODMAS$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા (ભાગાકાર પછી ગુણાકાર):
$500 + (2000 \div 40) \times 50$
$500 + 50 \times 50$
$500 + 2500 = 3000$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) $\frac{601}{49} \times \frac{399}{81} \div \frac{29}{201}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે પહેલા ભાગાકારને ગુણાકારમાં ફેરવીએ છીએ,જેના માટે ભાજકનો વ્યસ્ત લેવો પડે.
આથી: $\frac{601}{49} \times \frac{399}{81} \times \frac{201}{29}$.
હવે,ગણતરી સરળ બનાવવા માટે આપણે કિંમતોનું આશરે મૂલ્ય લઈએ:
$\frac{601}{49} \approx \frac{600}{50} = 12$.
$\frac{399}{81} \approx \frac{400}{80} = 5$.
$\frac{201}{29} \approx \frac{200}{30} \approx 6.67$.
આ આશરે કિંમતોનો ગુણાકાર કરતા: $12 \times 5 \times 6.67 = 60 \times 6.67 = 400.2$.
આ પરિણામને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $420$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $(13.99)^{2} - (15.02)^{2} + (18.07)^{2} - 36.64$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે કિંમતોને નજીકના પૂર્ણાંકમાં ફેરવીશું:
$13.99 \approx 14$
$15.02 \approx 15$
$18.07 \approx 18$
$36.64 \approx 37$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(14)^{2} - (15)^{2} + (18)^{2} - 37$
$= 196 - 225 + 324 - 37$
$= (196 + 324) - (225 + 37)$
$= 520 - 262$
$= 258$
$258$ ની સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $260$ છે.

(A) આપેલ કિંમતોનું આસન્ન મૂલ્ય લેતા: $40 \%$ ના $440 + x \%$ ના $655 = 228.5$
$440$ ના $40 \%$ ની ગણતરી કરતા: $\frac{40}{100} \times 440 = 176$
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા: $176 + \frac{x \times 655}{100} = 228.5$
બંને બાજુથી $176$ બાદ કરતા: $\frac{x \times 655}{100} = 228.5 - 176 = 52.5$
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{52.5 \times 100}{655} \approx 8.01$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,આપણને $x = 8$ મળે છે.

(A) સરવાળો શોધવા માટે,દશાંશ ચિહ્નોને એક લાઇનમાં ગોઠવો અને દરેક સ્તંભનો સરવાળો કરો:
$6894.986 + 5025.005 + 600.020$
$= (6894 + 5025 + 600) + (0.986 + 0.005 + 0.020)$
$= 12519 + 1.011$
$= 12520.011$
આપેલા વિકલ્પોમાં સાચો જવાબ ન હોવાથી,નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત $12520$ છે.

(A) $149.9 \% \text{ of } 149.9 + 149.9$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે સરળતા માટે કિંમતોને $150$ તરીકે આસન્ન (approximate) કરી શકીએ છીએ.
$150 \% \text{ of } 150 = 1.5 \times 150 = 225$.
બાકીના $150$ ઉમેરતા,આપણને $225 + 150 = 375$ મળે છે.
આમ,સૌથી નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત $375$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,દરેક સંખ્યાનું વર્ગમૂળ શોધો:
$\sqrt{2601} = 51$
$\sqrt{1156} = 34$
$\sqrt{484} = 22$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$51 - 34 + 22$
$= 17 + 22$
$= 39$
કારણ કે $39$ એ $40$ ની સૌથી નજીક છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) $\frac{901}{29} \times \frac{91}{301} \div \frac{51}{599}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે ઝડપી ગણતરી માટે આસન્નમૂલ્ય (approximation) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કિંમતોનું આસન્નમૂલ્ય લેતા: $\frac{901}{29} \approx \frac{900}{30} = 30$.
$\frac{91}{301} \approx \frac{90}{300} = 0.3$.
$\frac{51}{599} \approx \frac{50}{600} = \frac{1}{12}$.
હવે,પદાવલિ $30 \times 0.3 \div \frac{1}{12} = 9 \times 12 = 108$ બને છે.
$108$ ને નજીકના વિકલ્પમાં ફેરવતા જવાબ $110$ મળે છે.

(C) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{x} \% \text{ ના } 160 = 128 \div 4$.
પ્રથમ,જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $128 \div 4 = 32$.
હવે,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\frac{\sqrt{x}}{100} \times 160 = 32$.
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $\sqrt{x} \times 1.6 = 32$.
બંને બાજુ $1.6$ વડે ભાગતા: $\sqrt{x} = \frac{32}{1.6} = 20$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x = 20^2 = 400$.
આમ,ખૂટતી સંખ્યા $400$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંકોને અલગ કરો:
$(3 + 6 - 5 + 2) + \left( \frac{6}{7} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right)$
$= 6 + \left( \frac{6}{7} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right)$
છેદ $7, 4, 3, 2$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધો,જે $84$ છે.
$= 6 + \left( \frac{6 \times 12}{84} + \frac{1 \times 21}{84} - \frac{1 \times 28}{84} + \frac{1 \times 42}{84} \right)$
$= 6 + \left( \frac{72 + 21 - 28 + 42}{84} \right)$
$= 6 + \left( \frac{107}{84} \right)$
$= 6 + 1 \frac{23}{84} = 7 \frac{23}{84}$

(B) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યા $x$ અને તે સંખ્યાના $\frac{3}{5}$ ભાગ વચ્ચેનો તફાવત $30$ છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $x - \frac{3}{5}x = 30$.
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે,સામાન્ય છેદ લો: $\frac{5x - 3x}{5} = 30$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2x}{5} = 30$.
બંને બાજુ $5$ વડે ગુણતા: $2x = 150$.
$2$ વડે ભાગતા: $x = 75$.
આમ,તે સંખ્યા $75$ છે.

(A) આ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે $BODMAS$ નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (કૌંસ,ભાગાકાર,ગુણાકાર,સરવાળો,બાદબાકી).
સૌ પ્રથમ,કિંમતોને નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાં ફેરવો:
$5999.99 \approx 6000$
$1999 \approx 2000$
$39.99 \approx 40$
$50.01 \approx 50$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$6000 + 2000 \div 40 \times 50$
સૌ પ્રથમ ભાગાકાર કરો:
$2000 \div 40 = 50$
ત્યારબાદ,ગુણાકાર કરો:
$50 \times 50 = 2500$
અંતે,સરવાળો કરો:
$6000 + 2500 = 8500$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) પદાવલિ $[(7.98)^{2} - (13.002)^{2} + (4.02)^{3}]^{2}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે કિંમતોને નજીકના પૂર્ણાંકમાં આશરે લઈ શકીએ છીએ:
$7.98 \approx 8$
$13.002 \approx 13$
$4.02 \approx 4$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$[(8)^{2} - (13)^{2} + (4)^{3}]^{2}$
$= [64 - 169 + 64]^{2}$
$= [-105 + 64]^{2}$
$= [-41]^{2}$
$= 1681$
આ પરિણામને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $1680$ છે.

(A) આને ઉકેલવા માટે,આપણે આશરે કિંમત (approximation) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$74.01 \% \approx 74 \%$
$1301 \approx 1300$
$9.99 \% \approx 10 \%$
$1901 \approx 1900$
હવે,કિંમતોની ગણતરી કરો:
$74 \% \text{ of } 1300 = \frac{74}{100} \times 1300 = 74 \times 13 = 962$
$10 \% \text{ of } 1900 = \frac{10}{100} \times 1900 = 190$
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $962 + 190 = 1152$
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $1150$ છે.

(C) આ અંદાજિત પ્રશ્નને ઉકેલવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને તેમની નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાં ફેરવીએ છીએ:
$5894 \div 15.01 \approx 5895 \div 15 = 393$
$590.01 \approx 590$
$111.98 \approx 112$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$393 + 590 - 112 = 983 - 112 = 871$
$871$ ને નજીકના વિકલ્પમાં ફેરવતા,આપણને $880$ મળે છે.

(A) સમીકરણ $2438.79 - 1233.99 + 399.99 = x + 989.99$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે અંદાજિત ગણતરી માટે સંખ્યાઓને નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં ફેરવી શકીએ છીએ:
$2439 - 1234 + 400 = x + 990$
$1205 + 400 = x + 990$
$1605 = x + 990$
$x = 1605 - 990$
$x = 615$
આપેલા વિકલ્પોમાંથી સૌથી નજીકની કિંમત $600$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $21.9 \%$ of $(511.987 - 42.49) = \frac{x}{5.5}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે ગણતરી સરળ બનાવવા માટે કિંમતોનું આશરે મૂલ્ય લઈશું.
$1$. $21.9 \%$ ને આશરે $22 \%$ તરીકે લો.
$2$. $511.987$ ને $512$ અને $42.49$ ને $42.5$ તરીકે લો.
$3$. સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $0.22 \times (512 - 42.5) = \frac{x}{5.5}$.
$4$. બાદબાકી કરતા: $512 - 42.5 = 469.5$.
$5$. હવે,$0.22 \times 469.5 = \frac{x}{5.5}$.
$6$. $x = 0.22 \times 469.5 \times 5.5$.
$7$. ગણતરી કરતા $x \approx 568.7$ મળે છે.
આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સૌથી નજીકનો જવાબ $380$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $1601 \times 198 \div 49 - 1399 + 3878$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે $BODMAS$ ના નિયમનું પાલન કરીશું.
પગલું $1$: ભાગાકાર અને ગુણાકાર કરો.
$1601 \times (198 \div 49) \approx 1601 \times 4.0408 \approx 6469.32$.
સ્પર્ધાત્મક પરીક્ષાઓ માટે અંદાજિત ગણતરી કરતા: $1600 \times (200 \div 50) = 1600 \times 4 = 6400$.
પગલું $2$: આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકો.
$6469.32 - 1399 + 3878 = 5070.32 + 3878 = 8948.32$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,આપણને $8900$ મળે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $(13.95)^{2} - (15.04)^{2} + (18.08)^{2} - 32.64$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે કિંમતોને નજીકના પૂર્ણાંકમાં ફેરવીશું:
$13.95 \approx 14$
$15.04 \approx 15$
$18.08 \approx 18$
$32.64 \approx 33$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(14)^{2} - (15)^{2} + (18)^{2} - 33$
$= 196 - 225 + 324 - 33$
$= (196 + 324) - (225 + 33)$
$= 520 - 258$
$= 262$
આ પરિણામની સરખામણી આપેલા વિકલ્પો સાથે કરતા,સૌથી નજીકની કિંમત $260$ છે.

(B) $441.01 - 232.99 + 1649.99 = x + 1225.92$ સમીકરણને ઉકેલવા માટે,આપણે કિંમતોને નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાં ફેરવી શકીએ છીએ:
$441 - 233 + 1650 = x + 1226$
પ્રથમ,ડાબી બાજુની ગણતરી કરો:
$441 - 233 = 208$
$208 + 1650 = 1858$
હવે,$x$ માટે ઉકેલો:
$1858 = x + 1226$
$x = 1858 - 1226$
$x = 632$
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,આપણને $630$ મળે છે.

(A) કિંમતનો અંદાજ કાઢવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને નજીકના પૂર્ણ વર્ગમાં ફેરવીએ છીએ:
$\sqrt{624} \approx \sqrt{625} = 25$
$\sqrt{63} \approx \sqrt{64} = 8$
$\sqrt{398} \approx \sqrt{400} = 20$
$\sqrt{17} \approx \sqrt{16} = 4$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$25 \times 8 + 20 \div 4$
ગણિતના ક્રમ $(BODMAS)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 200 + 5 = 205$

(A) $1523.89 \div 19.95 + 496.28 + 249.927$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે ઝડપી અંદાજ માટે આસન્નમૂલ્ય (approximation) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. $1523.89$ ને $1525$ અને $19.95$ ને $20$ તરીકે રાઉન્ડ ઓફ કરો.
$2$. $496.28$ ને $500$ અને $249.927$ ને $250$ તરીકે રાઉન્ડ ઓફ કરો.
$3$. ભાગાકાર કરો: $1525 \div 20 = 76.25$.
$4$. કિંમતોનો સરવાળો કરો: $76.25 + 500 + 250 = 826.25$.
$5$. આ પરિણામની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,સૌથી નજીકની કિંમત $825$ છે.

(A) $2439.97 - 1234.01 + 401.99 = x + 989.99$ સમીકરણને ઉકેલવા માટે,આપણે અંદાજિત ગણતરી માટે સંખ્યાઓને નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં ફેરવી શકીએ છીએ.
$2440 - 1234 + 402 = x + 990$
$1206 + 402 = x + 990$
$1608 = x + 990$
$x = 1608 - 990$
$x = 618$
$618$ ને નજીકના વિકલ્પમાં ફેરવતા,આપણને $620$ મળે છે.

(A) ધારો કે $a = 0.9743$ અને $b = 0.0257$.
આપેલ પદાવલિ $\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$ સ્વરૂપમાં છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદાવલિને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = a - b$.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$0.9743 - 0.0257 = 0.9486$.

(C) સૌ પ્રથમ,મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$6 \frac{35}{216} = \frac{6 \times 216 + 35}{216} = \frac{1296 + 35}{216} = \frac{1331}{216}$.
હવે,મળેલા અપૂર્ણાંકનું ઘનમૂળ શોધો:
$\sqrt[3]{\frac{1331}{216}} = \frac{\sqrt[3]{1331}}{\sqrt[3]{216}}$.
કારણ કે $11^3 = 1331$ અને $6^3 = 216$ થાય છે,તેથી આપણને મળે છે:
$\frac{11}{6}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(8.5 \times 8.5 + 93.5 + 5.5 \times 5.5)^{1/2}$
આપણે $93.5$ ને $2 \times 8.5 \times 5.5$ તરીકે લખી શકીએ છીએ કારણ કે $2 \times 8.5 = 17$ અને $17 \times 5.5 = 93.5$ થાય છે.
તેથી,પદાવલિ આ મુજબ બનશે: $[(8.5)^2 + 2 \times 8.5 \times 5.5 + (5.5)^2]^{1/2}$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 8.5$ અને $b = 5.5$ છે:
$[(8.5 + 5.5)^2]^{1/2} = (14^2)^{1/2} = 14$.

(A) ધારો કે $a = 8.25$ અને $b = 6.75$.
આપેલ પદાવલિ $\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{a^2 - b^2}$ સ્વરૂપમાં છે.
બીજગણિતના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2$ અને $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{(a - b)^2}{(a + b)(a - b)} = \frac{a - b}{a + b}$.
હવે,$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા: $\frac{8.25 - 6.75}{8.25 + 6.75} = \frac{1.5}{15.0} = 0.1$.

(D) આપેલ પદાવલિ $(\sqrt[3]{8000} + \sqrt[3]{0.027} - \sqrt[3]{0.216})$ ને ઉકેલવા માટે:
$1$. $8000$ નું ઘનમૂળ શોધો: $\sqrt[3]{8000} = \sqrt[3]{20^3} = 20$.
$2$. $0.027$ નું ઘનમૂળ શોધો: $\sqrt[3]{0.027} = \sqrt[3]{(0.3)^3} = 0.3$.
$3$. $0.216$ નું ઘનમૂળ શોધો: $\sqrt[3]{0.216} = \sqrt[3]{(0.6)^3} = 0.6$.
$4$. આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો: $20 + 0.3 - 0.6$.
$5$. ગણતરી કરતા: $20.3 - 0.6 = 19.7$.

(A) ધારો કે $a = 0.146$ અને $b = 0.092$.
તેથી $0.073 = \frac{a}{2}$ અને $0.046 = \frac{b}{2}$ થાય.
આપેલ પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\frac{(a+b)^{2} + (b-a)^{2}}{(\frac{a}{2})^{2} + (\frac{b}{2})^{2}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(b-a)^{2} = (a-b)^{2}$,તેથી અંશ $(a+b)^{2} + (a-b)^{2} = 2(a^{2} + b^{2})$ થશે.
છેદ $\frac{a^{2}}{4} + \frac{b^{2}}{4} = \frac{a^{2} + b^{2}}{4}$ થશે.
આમ,પદાવલિની કિંમત $\frac{2(a^{2} + b^{2})}{\frac{a^{2} + b^{2}}{4}} = 2 \times 4 = 8$ મળે છે.

(A) પદાવલિ $6 \frac{1}{15}-4 \frac{1}{12}+7 \frac{1}{3}-2 \frac{1}{6}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંકોને અલગ કરીશું.
પ્રથમ,પૂર્ણાંક સંખ્યાઓને જૂથબદ્ધ કરો: $(6 - 4 + 7 - 2) = 7$.
ત્યારબાદ,અપૂર્ણાંકોને જૂથબદ્ધ કરો: $\left(\frac{1}{15} - \frac{1}{12} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}\right)$.
છેદ $15, 12, 3, 6$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $60$ છે.
અપૂર્ણાંકોને $60$ ના સામાન્ય છેદમાં ફેરવતા:
$\frac{1 \times 4}{60} - \frac{1 \times 5}{60} + \frac{1 \times 20}{60} - \frac{1 \times 10}{60} = \frac{4 - 5 + 20 - 10}{60} = \frac{9}{60}$.
અપૂર્ણાંક $\frac{9}{60}$ ને અંશ અને છેદ બંનેને $3$ વડે ભાગીને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{3}{20}$ મળે છે.
પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંકને જોડતા,આપણને $7 + \frac{3}{20} = 7 \frac{3}{20}$ મળે છે.

(A) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $[(72)^{2} \div 36 + x^{2}] \div 5 = 45$
પગલું $1$: બંને બાજુ $5$ વડે ગુણતા:
$(72)^{2} \div 36 + x^{2} = 45 \times 5$
$(72)^{2} \div 36 + x^{2} = 225$
પગલું $2$: $(72)^{2} \div 36$ નું સાદું રૂપ આપતા:
$(5184) \div 36 + x^{2} = 225$
$144 + x^{2} = 225$
પગલું $3$: $x^{2}$ માટે ઉકેલતા:
$x^{2} = 225 - 144$
$x^{2} = 81$
પગલું $4$: $x$ ની કિંમત શોધતા:
$x = \sqrt{81} = 9$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $9$ છે.

(B) ધારો કે $a = 0.6, b = -0.1, c = -0.4$.
આપેલ પદાવલિ $\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc}{a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca}$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{(a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)}{(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)} = a + b + c$.
$a, b,$ અને $c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$0.6 + (-0.1) + (-0.4) = 0.6 - 0.1 - 0.4 = 0.1$.

(D) ધારો કે $a = 0.188$ અને $b = 0.077$ છે.
આપેલ પદાવલિ $\frac{(a+b)^{2} + (a-b)^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ સ્વરૂપમાં છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
$(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$
આ બંને પદાવલિઓનો સરવાળો કરતા:
$(a+b)^{2} + (a-b)^{2} = (a^{2} + 2ab + b^{2}) + (a^{2} - 2ab + b^{2}) = 2a^{2} + 2b^{2} = 2(a^{2} + b^{2})$.
આ કિંમતને મૂળ અપૂર્ણાંકમાં મૂકતા:
$\frac{2(a^{2} + b^{2})}{a^{2} + b^{2}} = 2$.
તેથી,પદાવલિનું મૂલ્ય $2$ છે.

(B) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ એ દશકનો અંક છે અને $y$ એ એકમનો અંક છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,સંખ્યા તેના અંકોના સરવાળા કરતાં ત્રણ ગણી છે:
$10x + y = 3(x + y)$
$10x + y = 3x + 3y$
$7x = 2y$
$\frac{x}{y} = \frac{2}{7}$
આનો અર્થ એ છે કે $x = 2$ અને $y = 7$ (કારણ કે $x$ અને $y$ એક અંકની સંખ્યાઓ છે).
આમ,તે સંખ્યા $27$ છે.
બીજી શરત સાથે ચકાસણી:
જો સંખ્યા $27$ માં $45$ ઉમેરવામાં આવે:
$27 + 45 = 72$
અહીં,અંકો $2$ અને $7$ ની અદલાબદલી થઈને $72$ મળે છે.
તેથી,તે સંખ્યા $27$ છે.

(C) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $10x + 3$ છે,જ્યાં $x$ દશકનો અંક છે અને $3$ એકમનો અંક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંકોનો સરવાળો તે સંખ્યાના $\frac{1}{7}$ ભાગ જેટલો છે.
તેથી,$x + 3 = \frac{1}{7}(10x + 3)$.
બંને બાજુ $7$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $7(x + 3) = 10x + 3$.
$7x + 21 = 10x + 3$.
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા: $21 - 3 = 10x - 7x$.
$18 = 3x$.
$x = 6$.
તેથી,માંગેલ સંખ્યા $10(6) + 3 = 63$ છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે $x + y = 25$ અને $x - y = 13$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + y)^2 - (x - y)^2 = 4xy$ થાય છે.
આપેલ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(25)^2 - (13)^2 = 4xy$
$625 - 169 = 4xy$
$456 = 4xy$
$xy = \frac{456}{4}$
$xy = 114$
તેથી,બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $114$ છે.

(A) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જ્યારે સંખ્યાને $15$ વડે ગુણવામાં આવે છે,ત્યારે તે $196$ જેટલી વધે છે,જેનો અર્થ છે કે નવી કિંમત $x + 196$ થાય છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ છે: $15x = x + 196$.
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા: $14x = 196$.
$14$ વડે ભાગતા: $x = 196 / 14$.
$x = 14$.

(B) ધારો કે મૂળ અપૂર્ણાંક $\frac{p}{q}$ છે.
આપેલ છે કે અંશ અને છેદનો ગુણોત્તર $2:3$ છે,તેથી $\frac{p}{q} = \frac{2}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $3p = 2q$ અથવા $q = \frac{3p}{2}$.
પ્રશ્ન મુજબ,જો અંશમાંથી $6$ બાદ કરવામાં આવે,તો નવો અપૂર્ણાંક $\frac{p-6}{q}$ બને છે.
આપેલ છે કે આ નવો અપૂર્ણાંક મૂળ અપૂર્ણાંકના $\frac{2}{3}$ ગણો છે:
$\frac{p-6}{q} = \frac{2}{3} \times \frac{p}{q}$.
અહીં $q \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુથી $q$ ને દૂર કરતા:
$p-6 = \frac{2}{3}p$.
સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા:
$3(p-6) = 2p$.
$3p - 18 = 2p$.
$3p - 2p = 18$.
$p = 18$.
આમ,મૂળ અપૂર્ણાંકનો અંશ $18$ છે.

(B) ધારો કે સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ એ દશકનો અંક છે અને $y$ એ એકમનો અંક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x = y - 2$.
અંકોની અદલાબદલી કરવાથી મળતી સંખ્યા $10y + x$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $3(10x + y) + \frac{6}{7}(10y + x) = 108$.
સમીકરણમાં $x = y - 2$ મૂકતા:
$3(10(y - 2) + y) + \frac{6}{7}(10y + (y - 2)) = 108$
$3(11y - 20) + \frac{6}{7}(11y - 2) = 108$
$33y - 60 + \frac{66y - 12}{7} = 108$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $7$ વડે ગુણતા:
$7(33y - 60) + 66y - 12 = 756$
$231y - 420 + 66y - 12 = 756$
$297y - 432 = 756$
$297y = 1188$
$y = \frac{1188}{297} = 4$.
તેથી $x = y - 2 = 4 - 2 = 2$.
આમ,સંખ્યા $24$ છે.
અંકોનો સરવાળો $x + y = 2 + 4 = 6$ થાય.

(B) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $(x-1)$,$x$ અને $(x+1)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમના વર્ગોનો સરવાળો $2030$ છે:
$(x-1)^2 + x^2 + (x+1)^2 = 2030$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 2x + 1) + x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 2030$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$3x^2 + 2 = 2030$
બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા:
$3x^2 = 2028$
$3$ વડે ભાગતા:
$x^2 = 676$
વર્ગમૂળ લેતા:
$x = \sqrt{676} = 26$
આમ,વચ્ચેની સંખ્યા $26$ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $x + y = 22$ છે.
આપેલ છે કે તેમના વર્ગોનો સરવાળો $x^2 + y^2 = 404$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.
આ નિત્યસમમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$(22)^2 = 404 + 2xy$.
$484 = 404 + 2xy$.
$2xy = 484 - 404$.
$2xy = 80$.
$xy = \frac{80}{2} = 40$.
તેથી,સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $40$ છે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $x + y = 20$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો તફાવત $x - y = 8$ છે.
આપણે વર્ગોના તફાવત માટેનું બીજગણિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$.
આ નિત્યસમમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$x^2 - y^2 = (20) \times (8)$.
$x^2 - y^2 = 160$.
તેથી,તેમના વર્ગોનો તફાવત $160$ છે.

(B) ધારો કે બે ધન પૂર્ણાંકો $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે $x - y = 3$ અને $x^2 + y^2 = 369$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$ છે.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $3^2 = 369 - 2xy$,જે આપણને $9 = 369 - 2xy$ આપે છે.
તેથી,$2xy = 369 - 9 = 360$.
આપણે સંખ્યાઓનો સરવાળો એટલે કે $(x + y)$ શોધવાનો છે.
નિત્યસમ $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ નો ઉપયોગ કરીને,કિંમતો મૂકતા:
$(x + y)^2 = 369 + 360 = 729$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$x + y = \sqrt{729} = 27$ (કારણ કે પૂર્ણાંકો ધન છે).
આમ,સંખ્યાઓનો સરવાળો $27$ છે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે,જ્યાં $x > y$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો તફાવત $5$ છે,તેથી $x - y = 5$.
આપેલ છે કે તેમનો ગુણાકાર $336$ છે,તેથી $x y = 336$.
આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$(x + y)^2 = (5)^2 + 4(336)$
$(x + y)^2 = 25 + 1344$
$(x + y)^2 = 1369$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $x + y = \sqrt{1369} = 37$ મળે છે.
આમ,બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $37$ છે.