Numbers Questions in Gujarati

(D) ભાજ્ય, ભાજક, ભાગફળ અને શેષ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
ભાજ્ય $= (\text{ભાજક} \times \text{ભાગફળ}) + \text{શેષ}$
આપેલ છે:
ભાજક $= 38$
ભાગફળ $= 90$
શેષ $= 19$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
ભાજ્ય $= (38 \times 90) + 19$
ભાજ્ય $= 3420 + 19$
ભાજ્ય $= 3439$
તેથી, તે સંખ્યા $3439$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 90$,અંતિમ પદ $l = 110$ છે અને પદોની સંખ્યા $n$ એ $n = (110 - 90) + 1 = 21$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_{21} = \frac{21}{2}(90 + 110)$.
$S_{21} = \frac{21}{2}(200)$.
$S_{21} = 21 \times 100 = 2100$.

(D) જો કોઈ સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $9$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $9$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
આપેલી સંખ્યા $583x437$ છે.
અંકોનો સરવાળો $5 + 8 + 3 + x + 4 + 3 + 7 = 30 + x$ થાય છે.
સંખ્યા $9$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,$(30 + x)$ એ $9$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$30$ થી મોટા $9$ ના ગુણકો $36, 45, \dots$ છે.
$30 + x = 36$ લેતા,આપણને $x = 36 - 30 = 6$ મળે છે.
આમ,$x$ ના સ્થાને આવતી સૌથી નાની પૂર્ણ સંખ્યા $6$ છે.

(A) પાંચ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા $10000$ છે.
$88$ વડે ભાગી શકાય તેવી પાંચ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $10000$ ને $88$ વડે ભાગીશું.
$10000 \div 88 = 113$ અને શેષ $56$ વધે છે.
$88$ નો આગળનો ગુણક શોધવા માટે,આપણે ગણતરી કરીએ: $88 - 56 = 32$.
આ તફાવતને પાંચ અંકની સૌથી નાની સંખ્યામાં ઉમેરતા: $10000 + 32 = 10032$.
ચકાસણી: $10032 \div 88 = 114$. આમ,$10032$ એ $88$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી સંખ્યા છે.

(A) કોઈ સંખ્યા $11$ વડે ત્યારે જ વિભાજ્ય હોય જો તેના એકી સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો અને બેકી સ્થાન પરના અંકોના સરવાળાનો તફાવત $0$ અથવા $11$ નો ગુણક હોય.
$34N$ સંખ્યા માટે,અંકો $3, 4, N$ છે.
વૈકલ્પિક સરવાળો $(3 + N) - 4$ થાય.
સંખ્યા $11$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,આ તફાવત $0$ હોવો જોઈએ.
$(3 + N) - 4 = 0$
$N - 1 = 0$
$N = 1$.
આમ,સંખ્યા $341$ છે,જે $11 \times 31$ છે.

(C) $36$ ના ધન અવયવોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ.
$36 = 6 \times 6 = (2 \times 3) \times (2 \times 3) = 2^{2} \times 3^{2}$.
જો કોઈ સંખ્યાને $p^{a} \times q^{b}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે,જ્યાં $p$ અને $q$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તો અવયવોની કુલ સંખ્યા $(a+1)(b+1)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 2$ અને $b = 2$ છે.
તેથી,અવયવોની સંખ્યા $= (2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 = 9$.

(B) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
$n = 12$ માટે,સરવાળો $S = \frac{12 \times (12+1)}{2} = \frac{12 \times 13}{2} = 78$ થાય.
ધારો કે બે વાર ઉમેરવામાં આવેલી સંખ્યા $x$ છે.
નવો સરવાળો એ મૂળ સરવાળો વત્તા વધારાની સંખ્યા છે: $S_{new} = S + x.$
આપેલ છે કે $S_{new} = 80,$ તેથી $80 = 78 + x.$
આમ,$x = 80 - 78 = 2.$
તેથી,બે વાર ઉમેરવામાં આવેલી સંખ્યા $2$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,$1$ અને $200$ ની વચ્ચે $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સંખ્યાઓની ગણતરી કરો. આ $lfloor 200/3 floor = 66$ દ્વારા મળે છે.
ત્યારબાદ,$3$ અને $7$ બંને વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સંખ્યાઓ શોધો. $3$ અને $7$ અવિભાજ્ય હોવાથી,આ સંખ્યાઓ $\text{lcm}(3, 7) = 21$ ના ગુણક હશે.
$1$ અને $200$ ની વચ્ચે $21$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સંખ્યાઓની સંખ્યા $lfloor 200/21 floor = 9$ છે.
$3$ વડે વિભાજ્ય હોય પરંતુ $7$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યાઓ શોધવા માટે,$3$ ના ગુણકોની સંખ્યામાંથી $21$ ના ગુણકોની સંખ્યા બાદ કરો.
પરિણામ $= 66 - 9 = 57$.

(C) $3401$ ને $11$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ:
$3401 \div 11 = 309$ અને શેષ $2$ વધે છે.
$3401 = 11 \times 309 + 2$.
આમ,જો આપણે $3401$ માંથી $2$ બાદ કરીએ,તો મળતી સંખ્યા $3399$ એ $11$ વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય થશે $(3399 \div 11 = 309)$.

(A) જ્યારે $2468$ ને $37$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ:
$2468 \div 37$
સૌ પ્રથમ,$246$ ને $37$ વડે ભાગો: $37 \times 6 = 222$.
$246$ માંથી $222$ બાદ કરો: $246 - 222 = 24$.
હવે $8$ ને નીચે ઉતારો જેથી સંખ્યા $248$ બને.
હવે,$248$ ને $37$ વડે ભાગો: $37 \times 6 = 222$.
$248$ માંથી $222$ બાદ કરો: $248 - 222 = 26$.
આમ,શેષ $26$ મળે છે.

(B) કોઈ સંખ્યા $9$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તેના અંકોનો સરવાળો $9$ વડે વિભાજ્ય હોય.
સંખ્યા $432P1$ માટે,અંકોનો સરવાળો $4 + 3 + 2 + P + 1 = 10 + P$ થાય છે.
આ સરવાળો $9$ વડે વિભાજ્ય બને તે માટે,$10$ થી મોટી $9$ ની ગુણક સંખ્યા $18$ છે.
તેથી,$10 + P = 18$.
$P$ માટે ઉકેલતા,આપણને $P = 18 - 10 = 8$ મળે છે.

(C) કોઈ સંખ્યા $12$ વડે ત્યારે જ વિભાજ્ય હોય જો તે $3$ અને $4$ બંને વડે વિભાજ્ય હોય,કારણ કે $12 = 3 \times 4$ થાય છે.
$(i)$ $3$ વડે વિભાજ્યતા માટે,અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ. $34M$ ના અંકોનો સરવાળો $3 + 4 + M = 7 + M$ થાય છે.
જો $M = 2$ હોય,તો સરવાળો $= 9$ ($3$ વડે વિભાજ્ય).
જો $M = 5$ હોય,તો સરવાળો $= 12$ ($3$ વડે વિભાજ્ય).
જો $M = 8$ હોય,તો સરવાળો $= 15$ ($3$ વડે વિભાજ્ય).
$(ii)$ $4$ વડે વિભાજ્યતા માટે,સંખ્યાના છેલ્લા બે અંકો $4$ વડે વિભાજ્ય હોવા જોઈએ. છેલ્લા બે અંકો $4M$ છે.
$4M$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી શક્ય કિંમતો $40, 44, 48$ છે (જ્યાં $M = 0, 4, 8$ હોઈ શકે).
$(i)$ અને $(ii)$ ની શરતોની સરખામણી કરતા,$M$ માટે સામાન્ય કિંમત $8$ મળે છે.
તેથી,$348$ એ $12$ વડે વિભાજ્ય છે $(348 / 12 = 29)$.

(D) $160$ ના ધન અવયવોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા $160$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ.
$160 = 16 \times 10$
$160 = 2^{4} \times (2 \times 5)$
$160 = 2^{5} \times 5^{1}$
જો કોઈ સંખ્યાને $p^{a} \times q^{b}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે,જ્યાં $p$ અને $q$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તો અવયવોની કુલ સંખ્યા $(a+1)(b+1)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 5$ અને $b = 1$ છે.
અવયવોની કુલ સંખ્યા $= (5+1) \times (1+1)$
$= 6 \times 2 = 12$.

(B) $\frac{2}{3}$,$\frac{4}{5}$ અને $\frac{7}{11}$ અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરવા માટે,આપણે તેમને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવીએ છીએ:
$1$. $\frac{2}{3} = 0.666...$
$2$. $\frac{4}{5} = 0.8$
$3$. $\frac{7}{11} = 0.6363...$
દશાંશ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $0.8 > 0.666... > 0.6363...$
તેથી,સૌથી મોટો અપૂર્ણાંક $\frac{4}{5}$ છે.

(C) $\frac{3}{7}, \frac{5}{11}$ અને $\frac{6}{13}$ અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરવા માટે,આપણે તેમને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવીએ:
$\frac{3}{7} \approx 0.428$
$\frac{5}{11} \approx 0.454$
$\frac{6}{13} \approx 0.461$
દશાંશ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$0.461 > 0.454 > 0.428$ મળે છે.
તેથી,સૌથી મોટો અપૂર્ણાંક $\frac{6}{13}$ છે.

(C) અવિભાજ્ય સંખ્યા એ $1$ થી મોટી એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય અન્ય કોઈ ભાજક નથી.
સૌથી મોટી બે અંકની અવિભાજ્ય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $99$ થી નીચેની સંખ્યાઓ તપાસીએ:
$1$. $99$ એ $3, 9, 11, 33$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી તે અવિભાજ્ય નથી.
$2$. $98$ એ બેકી સંખ્યા છે,તેથી તે $2$ વડે વિભાજ્ય છે,એટલે તે અવિભાજ્ય નથી.
$3$. $97$ ને $1$ અને $97$ સિવાય અન્ય કોઈ ભાજક નથી. તેથી,$97$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
આમ,સૌથી મોટી બે અંકની અવિભાજ્ય સંખ્યા $97$ છે.

(A) દીવાલ ચણવા માટે જરૂરી કુલ સમય $70$ કલાક છે.
કડિયાએ પહેલેથી જ $7$ કલાક કામ કર્યું છે.
દીવાલ પૂર્ણ કરવા માટે બાકી રહેલો સમય $70 - 7 = 63$ કલાક છે.
દીવાલનો જે ભાગ હજુ બાકી છે તે બાકી રહેલા કલાકોને કુલ કલાકો વડે ભાગીને મેળવી શકાય છે:
$\text{ભાગ} = \frac{63}{70} = \frac{9}{10} = 0.9$.

(C) ધારો કે પ્રથમ ટોપલીમાં નારંગીની સંખ્યા $x$ છે અને બીજી ટોપલીમાં $y$ છે.
આપેલ છે કે $x + y = 640$.
જો પ્રથમ ટોપલીમાંથી $\frac{1}{5}$ નારંગી બીજી ટોપલીમાં ખસેડવામાં આવે,તો પ્રથમ ટોપલીમાં બાકી રહેલી નારંગી $x - \frac{1}{5}x = \frac{4}{5}x$ થાય.
બીજી ટોપલીમાં નારંગીની સંખ્યા $y + \frac{1}{5}x$ થાય.
બંને ટોપલીમાં નારંગીની સંખ્યા સમાન હોવાથી,$\frac{4}{5}x = y + \frac{1}{5}x$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $y = \frac{3}{5}x$ મળે.
પ્રથમ સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા: $x + \frac{3}{5}x = 640$.
$\frac{8}{5}x = 640$.
$x = 640 \times \frac{5}{8} = 80 \times 5 = 400$.
આમ,પ્રથમ ટોપલીમાં નારંગીની સંખ્યા $400$ છે.

(A) અપૂર્ણાંકો $\frac{3}{5}$ અને $\frac{7}{9}$ નો સરવાળો કરવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ છેદ $5$ અને $9$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધીશું.
$5$ અને $9$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $45$ છે.
હવે,બંને અપૂર્ણાંકોના છેદને $45$ માં રૂપાંતરિત કરો:
$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 9}{5 \times 9} = \frac{27}{45}$
$\frac{7}{9} = \frac{7 \times 5}{9 \times 5} = \frac{35}{45}$
આ અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{27}{45} + \frac{35}{45} = \frac{27 + 35}{45} = \frac{62}{45}$.

(D) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યા અને તેના વ્યસ્તના બમણાનો સરવાળો $\frac{33}{4}$ છે.
તેથી,$x + 2(\frac{1}{x}) = \frac{33}{4}$.
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $4x$ વડે ગુણતા:
$4x^2 + 8 = 33x$.
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવતા:
$4x^2 - 33x + 8 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$4x^2 - 32x - x + 8 = 0$.
$4x(x - 8) - 1(x - 8) = 0$.
$(4x - 1)(x - 8) = 0$.
આનાથી $x$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $x = \frac{1}{4}$ અથવા $x = 8$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચી કિંમત $8$ છે.

(NONE) પગલું $1$: આપેલી અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓના વ્યસ્ત શોધો.
$\frac{6}{5}$ નો વ્યસ્ત $\frac{5}{6}$ છે.
$\frac{3}{7}$ નો વ્યસ્ત $\frac{7}{3}$ છે.
પગલું $2$: આ વ્યસ્ત સંખ્યાઓનો સરવાળો કરો.
સરવાળો $= \frac{5}{6} + \frac{7}{3} = \frac{5 + 14}{6} = \frac{19}{6}$.
પગલું $3$: પગલું $2$ માં મળેલા સરવાળાનો વ્યસ્ત શોધો.
$\frac{19}{6}$ નો વ્યસ્ત $\frac{6}{19}$ છે.

(A) ધારો કે છોકરીઓની સંખ્યા $x$ છે અને છોકરાઓની સંખ્યા $y$ છે.
કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= x + y$.
ભાગ લેનાર છોકરીઓની સંખ્યા $= \frac{1}{5}x$.
ભાગ લેનાર છોકરાઓની સંખ્યા $= \frac{1}{8}y$.
ભાગ લેનાર કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= \frac{1}{5}x + \frac{1}{8}y = \frac{8x + 5y}{40}$.
ભાગ લેનાર વિદ્યાર્થીઓનો કુલ વિદ્યાર્થીઓ સાથેનો ગુણોત્તર $= \frac{\text{કુલ સહભાગીઓ}}{\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓ}} = \frac{\frac{8x + 5y}{40}}{x + y} = \frac{8x + 5y}{40(x + y)}$.
નોંધ: જો છોકરા અને છોકરીઓની સંખ્યા સમાન હોય $(x = y)$,તો:
$\frac{8x + 5x}{40(x + x)} = \frac{13x}{40(2x)} = \frac{13}{80}$.

(B) ધારો કે અપૂર્ણાંક $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અપૂર્ણાંક તેના વ્યસ્તના બમણા કરતા $\frac{7}{15}$ જેટલો મોટો છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $x - 2(\frac{1}{x}) = \frac{7}{15}$.
છેદ દૂર કરવા માટે $15x$ વડે ગુણતા: $15x^2 - 30 = 7x$.
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણમાં ગોઠવતા: $15x^2 - 7x - 30 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $15x^2 - 25x + 18x - 30 = 0$.
$5x(3x - 5) + 6(3x - 5) = 0$.
$(5x + 6)(3x - 5) = 0$.
આથી $x = \frac{5}{3}$ અથવા $x = -\frac{6}{5}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો અપૂર્ણાંક $\frac{5}{3}$ છે.

(A) ધારો કે અપૂર્ણાંક $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અપૂર્ણાંક તેના વ્યસ્ત કરતાં $\frac{9}{20}$ જેટલો મોટો છે,તેથી:
$x - \frac{1}{x} = \frac{9}{20}$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $20x$ વડે ગુણતા:
$20x^2 - 20 = 9x$
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$20x^2 - 9x - 20 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$20x^2 - 16x + 25x - 20 = 0$
$4x(5x - 4) + 5(5x - 4) = 0$
$(4x + 5)(5x - 4) = 0$
આનાથી $x$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે:
$x = -\frac{5}{4}$ અથવા $x = \frac{4}{5}$ એ ખોટું છે. ચાલો ફરીથી તપાસીએ:
જો $x = \frac{5}{4}$ હોય,તો તેનો વ્યસ્ત $\frac{4}{5}$ થાય.
તફાવત: $\frac{5}{4} - \frac{4}{5} = \frac{25 - 16}{20} = \frac{9}{20}$.
આમ,અપૂર્ણાંક $\frac{5}{4}$ છે.

(D) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તે સંખ્યા તેના વ્યસ્તના $58$ ગણા કરતા $\frac{3}{4}$ જેટલી મોટી છે.
તેથી,$x - \frac{58}{x} = \frac{3}{4}$.
$4x$ વડે ગુણતા,આપણને $4x^2 - 232 = 3x$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ $4x^2 - 3x - 232 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 4, b = -3, c = -232$ છે:
$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(4)(-232)}}{8}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 3712}}{8}$
$x = \frac{3 \pm 61}{8}$
ધન ઉકેલ લેતા: $x = \frac{64}{8} = 8$.
ઋણ ઉકેલ લેતા: $x = \frac{-58}{8} = -7.25$.
આપેલા વિકલ્પોમાં $8$ હોવાથી,સાચી સંખ્યા $8$ છે.

(B) ધારો કે નાતુ પાસે $N$ નારંગી છે અને બુચકુ પાસે $B$ નારંગી છે.
પ્રથમ વિધાન મુજબ: $N + 10 = 2(B - 10)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $N + 10 = 2B - 20$,જે $2B - N = 30$ આપે છે (સમીકરણ $1$).
બીજા વિધાન મુજબ: $B + 10 = N - 10$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $N - B = 20$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ પરથી,આપણને $N = B + 20$ મળે છે.
આ કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $2B - (B + 20) = 30$.
$2B - B - 20 = 30$,તેથી $B = 50$.
હવે,$N = 50 + 20 = 70$.
આમ,નાતુ પાસે $70$ નારંગી અને બુચકુ પાસે $50$ નારંગી છે.

(A) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ દશકનો અંક છે અને $y$ એકમનો અંક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,દશકનો અંક એકમના અંક કરતા $7$ વધારે છે: $x = y + 7$.
સંખ્યાની કિંમત $10x + y$ છે.
જ્યારે અંકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંખ્યા $10y + x$ બને છે.
પ્રશ્ન મુજબ,મૂળ સંખ્યામાંથી $63$ બાદ કરતા નવી સંખ્યા મળે છે:
$(10x + y) - 63 = 10y + x$
$9x - 9y = 63$
$x - y = 7$
$x = y + 7$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(y + 7) - y = 7$,જે કોઈપણ $y$ માટે સાચું છે.
જોકે,આપણે જાણીએ છીએ કે $x$ અને $y$ અંકો છે. $x = y + 7$ અને $x \le 9$ હોવાથી,$y$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ છે.
જો $y = 1$ હોય,તો $x = 8$. તેથી સંખ્યા $81$ છે.
ચકાસણી: $81 - 63 = 18$,જે અંકોની અદલાબદલી કરવાથી મળતી સંખ્યા છે. આમ,તે સંખ્યા $81$ છે.

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $n$ અને $n+2$ છે. મોટી સંખ્યા $n+2$ છે.
આપેલ છે કે મોટી સંખ્યા છેદ $D$ કરતા નાની છે,તેથી $n+2 < D$.
ધારો કે અપૂર્ણાંક $f(n) = \frac{n(n+2)}{D}$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે અંશમાં રહેલા દ્વિઘાત સમીકરણનું વિશ્લેષણ કરીએ.
નિશ્ચિત છેદ $D$ માટે,પદાવલિ $n^2 + 2n$ એ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય દર્શાવે છે.
આ પરવલયનું શિરોબિંદુ $n = -b/2a = -2/2 = -1$ પર છે.
જો આપણે છેદ $D=5$ લઈએ,તો અપૂર્ણાંક $f(n) = \frac{n^2+2n}{5}$ થાય.
$n=0$ માટે,$f(0) = 0$.
$n=-1$ માટે,$f(-1) = \frac{1-2}{5} = -\frac{1}{5}$.
$n=-2$ માટે,$f(-2) = 0$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{1}{5}$ છે.

(C) આપેલ છે કે શેષ $r = 46$ છે.
ભાજક $d$ એ શેષ $r$ કરતા $5$ ગણો છે,તેથી $d = 5 \times 46 = 230$.
ભાજક $d$ એ ભાગફળ $q$ કરતા $10$ ગણો પણ છે,તેથી $10q = 230$,જેનો અર્થ છે કે $q = 23$.
ભાગાકારના નિયમ મુજબ: $\text{ભાજ્ય} = (\text{ભાજક} \times \text{ભાગફળ}) + \text{શેષ}$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{ભાજ્ય} = (230 \times 23) + 46$.
ગુણાકાર કરતા: $230 \times 23 = 5290$.
શેષ ઉમેરતા: $5290 + 46 = 5336$.
તેથી,ભાજ્ય $5336$ છે.

(C) ભાજ્ય, ભાજક, ભાગફળ અને શેષ વચ્ચેનો સંબંધ આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\text{ભાજ્ય} = (\text{ભાજક} \times \text{ભાગફળ}) + \text{શેષ}$.
આપેલ છે: $\text{ભાજક} = 44$, $\text{ભાગફળ} = 432$, $\text{શેષ} = 0$.
તેથી, $\text{ભાજ્ય} = (44 \times 432) + 0 = 19008$.
હવે, આપણે $19008$ ને $31$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
ભાગાકાર કરતા: $19008 \div 31 = 613$ અને શેષ વધે છે.
$19008 = 31 \times 613 + 5$.
આમ, શેષ $5$ છે.

(B) ધારો કે સંખ્યા $N$ છે. ભાગાકારના નિયમ મુજબ,$N = 729q + 56$,જ્યાં $q$ એ ભાગફળ છે.
આપણે $N$ ને $27$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવી છે.
આપણે $N$ ને આ રીતે લખી શકીએ: $N = (27 \times 27)q + 56$.
કારણ કે $729 = 27^2$,તેથી $729$ એ $27$ નો ગુણક છે.
હવે,$56$ ને $27$ વડે ભાગતા શેષ મળે છે: $56 = 27 \times 2 + 2$.
તેથી,$N = 27(27q + 2) + 2$.
આ દર્શાવે છે કે જ્યારે $N$ ને $27$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $2$ વધે છે.

(D) સૌથી નાની $6$-અંકી સંખ્યા $100000$ છે.
શેષ શોધવા માટે $100000$ ને $108$ વડે ભાગો:
$100000 \div 108 = 925$ અને શેષ $100$ મળે છે.
$108$ વડે ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની $6$-અંકી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ગણતરી કરીએ:
$108 - \text{શેષ} = 108 - 100 = 8$.
આ તફાવતને સૌથી નાની $6$-અંકી સંખ્યામાં ઉમેરો:
$100000 + 8 = 100008$.
આમ,$100008$ એ $108$ વડે ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની $6$-અંકી સંખ્યા છે.

(C) ધારો કે તે સંખ્યા $N$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,જ્યારે $N$ ને $56$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $29$ વધે છે.
આને $N = 56k + 29$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $k$ એક પૂર્ણાંક છે.
આપણે $N$ ને $8$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવી છે.
સમીકરણમાં $N$ ની કિંમત મૂકતા: $N = 8(7k) + 29.$
હવે,$29$ ને $8$ વડે ભાગતા શેષ મળે છે: $29 = 8 \times 3 + 5.$
તેથી,$N = 8(7k) + 8(3) + 5 = 8(7k + 3) + 5.$
આમ,જ્યારે $N$ ને $8$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $5$ વધે છે.

(B) ભાજક $= 555 + 445 = 1000$
ભાગફળ $= 2 \times (555 - 445) = 2 \times 110 = 220$
શેષ $= 30$
ભાગાકારના નિયમ મુજબ: $\text{ભાજ્ય} = (\text{ભાજક} \times \text{ભાગફળ}) + \text{શેષ}$
ભાજ્ય $= (1000 \times 220) + 30$
ભાજ્ય $= 220000 + 30 = 220030$

(B) ધારો કે બીજી સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
પ્રથમ સંખ્યા $= \frac{x}{2}$
ત્રીજી સંખ્યા $= \frac{x}{4}$
ત્રણેય સંખ્યાઓનો સરવાળો $2$ છે,તેથી:
$\frac{x}{2} + x + \frac{x}{4} = 2$
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે,છેદ સમાન કરતા (લસાઅ $4$ લેતા):
$\frac{2x + 4x + x}{4} = 2$
$\frac{7x}{4} = 2$
$7x = 8$
$x = \frac{8}{7}$
આમ,બીજી સંખ્યા $\frac{8}{7}$ છે.

(A) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યામાં $\frac{1}{2}$ (જે $0.5$ છે) ઉમેરતા $(x + 0.5)$ મળે છે.
આ સરવાળાને $3$ વડે ગુણતા $21$ મળે છે,તેથી સમીકરણ $(x + 0.5) \times 3 = 21$ થશે.
બંને બાજુને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $x + 0.5 = 7$ મળે છે.
બંને બાજુથી $0.5$ બાદ કરતા,આપણને $x = 7 - 0.5 = 6.5$ મળે છે.
તેથી,તે સંખ્યા $6.5$ છે.

(C) $x$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે આપેલી દશાંશ સંખ્યાઓનો સરવાળો કરીએ:
$x = 0.3 + 0.6 + 0.7 + 0.8$
$x = 2.4$
હવે,દશાંશ $2.4$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$2.4 = \frac{24}{10}$
અંશ અને છેદ બંનેને $2$ વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપો:
$\frac{24 \div 2}{10 \div 2} = \frac{12}{5}$
અશુદ્ધ અપૂર્ણાંક $\frac{12}{5}$ ને મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$\frac{12}{5} = 2 \frac{2}{5}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $6, 9, 12, 15$ અને $18$ વડે ભાગતા $2$ શેષ વધે તેવી સૌથી નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા આ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$6 = 2 \times 3$
$9 = 3^2$
$12 = 2^2 \times 3$
$15 = 3 \times 5$
$18 = 2 \times 3^2$
$LCM = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$.
કારણ કે સંખ્યાને દરેક કિસ્સામાં $2$ શેષ વધવી જોઈએ,તેથી આપણે $LCM$ માં $2$ ઉમેરીશું.
જરૂરી સંખ્યા $= LCM + 2 = 180 + 2 = 182$.

(D) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{3}{4}x = \frac{1}{6}x + 7$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{6}x$ બાદ કરતા: $\frac{3}{4}x - \frac{1}{6}x = 7$.
$4$ અને $6$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ છે.
તેથી,$\frac{9x - 2x}{12} = 7$.
$\frac{7x}{12} = 7$.
બંને બાજુ $12$ વડે ગુણતા: $7x = 84$.
$7$ વડે ભાગતા: $x = 12$.
હવે,તે સંખ્યાના $5/3$ ભાગ શોધો: $\frac{5}{3} \times 12 = 5 \times 4 = 20$.

(D) પ્રથમ $n$ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $S_n = n^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંખ્યાઓનો સરેરાશ એટલે સંખ્યાઓનો સરવાળો ભાગ્યા કુલ સંખ્યા.
પ્રથમ $n$ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે,સરેરાશ $\frac{S_n}{n} = \frac{n^2}{n} = n$ થાય છે.
અહીં $n = 20$ આપેલ હોવાથી,સરેરાશ $20$ થશે.

(A) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 2, 3, \dots, n$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાંતર મધ્યક $(A.M.)$ એટલે અવલોકનોનો સરવાળો ભાગ્યા અવલોકનોની કુલ સંખ્યા.
તેથી,$A.M. = \frac{S_n}{n} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n} = \frac{n+1}{2}$.

(B) ધારો કે $2$ અંકની સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ એ દશકનો અંક છે અને $y$ એ એકમનો અંક છે.
આપેલ છે કે એકમનો અંક દશકના અંક કરતાં બમણો છે,તેથી $y = 2x$.
અંકોનો સરવાળો $x + y$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,જો આ સરવાળામાંથી $2$ બાદ કરવામાં આવે,તો પરિણામ સંખ્યાના $1/6$ ભાગ જેટલું મળે છે:
$x + y - 2 = \frac{1}{6}(10x + y)$
સમીકરણમાં $y = 2x$ મૂકતા:
$x + 2x - 2 = \frac{1}{6}(10x + 2x)$
$3x - 2 = \frac{1}{6}(12x)$
$3x - 2 = 2x$
$x = 2$
તેથી $y = 2(2) = 4$.
આમ,તે સંખ્યા $10(2) + 4 = 24$ છે.

(A) $12, 16, 18$ અને $21$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે તેમનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$12 = 2^2 \times 3$
$16 = 2^4$
$18 = 2 \times 3^2$
$21 = 3 \times 7$
$LCM = 2^4 \times 3^2 \times 7 = 16 \times 9 \times 7 = 1008$.
$1008$ ના ગુણકો $1008, 2016, 3024, \dots$ છે.
$2000$ થી મોટી $1008$ ની સૌથી નાની ગુણક સંખ્યા $2016$ છે.
તેથી,ઉમેરવાની સંખ્યા $x = 2016 - 2000 = 16$ છે.
$x$ ના અંકોનો સરવાળો $1 + 6 = 7$ થાય છે.

(A) $(2467)^{153} \times (341)^{72}$ નો એકમનો અંક શોધવા માટે,આપણે આધારના એકમના અંકો જોઈએ.
$1$. $(2467)^{153}$ માટે,એકમનો અંક $7^{153}$ જેવો જ હોય છે.
$7$ ની ઘાત $4$ ના ચક્રમાં પુનરાવર્તિત થાય છે: $7^1=7, 7^2=49, 7^3=343, 7^4=2401$.
ઘાતાંક $153$ ને $4$ વડે ભાગતા,આપણને $153 = 4 \times 38 + 1$ મળે છે. તેથી,$7^{153}$ નો એકમનો અંક $7^1$ જેવો જ એટલે કે $7$ છે.
$2$. $(341)^{72}$ માટે,એકમનો અંક $1^{72}$ જેવો જ હોય છે.
કોઈપણ સંખ્યાની $1$ ઘાત $1$ જ રહે છે,તેથી એકમનો અંક $1$ છે.
$3$. ગુણાકારનો એકમનો અંક એ એકમના અંકોનો ગુણાકાર છે: $7 \times 1 = 7$.

(B) સંખ્યા $x$ એ $x = \operatorname{LCM}(5, 6, 7, 8) \times k + 3$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $k$ એ ધન પૂર્ણાંક છે.
પ્રથમ,$5, 6, 7$ અને $8$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(\operatorname{LCM})$ શોધો:
$5 = 5$
$6 = 2 \times 3$
$7 = 7$
$8 = 2^3$
$\operatorname{LCM}(5, 6, 7, 8) = 5 \times 3 \times 7 \times 8 = 840$.
તેથી,$x = 840k + 3$.
આપણને આપેલ છે કે $x$ એ $9$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$840k + 3 \equiv 0 \pmod{9}$.
$840 = 9 \times 93 + 3$ હોવાથી,$840 \equiv 3 \pmod{9}$ મળે.
તેથી,$3k + 3 \equiv 0 \pmod{9}$,જેનો અર્થ છે કે $3(k + 1) = 9n$,એટલે કે $k + 1$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
સૌથી નાની ધન પૂર્ણાંક કિંમત $k = 2$ છે (કારણ કે $k=1$ માટે $843$ એ $9$ વડે વિભાજ્ય નથી).
$k = 2$ માટે,$x = 840(2) + 3 = 1680 + 3 = 1683$.
$9$ વડે વિભાજ્યતા તપાસતા: $1 + 6 + 8 + 3 = 18$,જે $9$ વડે વિભાજ્ય છે.
$x = 1683$ ના અંકોનો સરવાળો $1 + 6 + 8 + 3 = 18$ થાય છે.

(B) ધારો કે તે સંખ્યા $N$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,$N = 361q + 47$,જ્યાં $q$ એ ભાગફળ છે.
આપણે $361$ ને $19 \times 19$ તરીકે લખી શકીએ છીએ. તેથી,$N = 19(19q) + 47$.
જ્યારે $N$ ને $19$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે પદાવલિને $19$ વડે ભાગીશું.
પદ $19(19q)$ એ $19$ વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય છે.
આમ,શેષ એ $47$ ને $19$ વડે ભાગવા પર આધાર રાખે છે.
$47 = 19 \times 2 + 9$.
તેથી,શેષ $9$ મળે છે.

(C) સંખ્યાઓની સરખામણી કરવા માટે,આપણે તેમને $10$ ના સામાન્ય ઘાતાંક સાથે દર્શાવીએ છીએ:
$3^{50} = (3^5)^{10} = 243^{10}$
$4^{40} = (4^4)^{10} = 256^{10}$
$5^{30} = (5^3)^{10} = 125^{10}$
$6^{20} = (6^2)^{10} = 36^{10}$
આધાર $243, 256, 125$ અને $36$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $256$ સૌથી મોટી સંખ્યા છે.
તેથી,$4^{40}$ એ સૌથી મોટી સંખ્યા છે.

(D) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યા તેના બે-પંચમાંશ કરતા $75$ વધારે છે,જેને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$x - \frac{2}{5}x = 75$
અપૂર્ણાંકની બાદબાકી કરતા:
$\frac{5x - 2x}{5} = 75$
$\frac{3x}{5} = 75$
હવે,$x$ માટે ઉકેલતા:
$3x = 75 \times 5$
$3x = 375$
$x = \frac{375}{3}$
$x = 125$
તેથી,તે સંખ્યા $125$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા $x$ છે.
તો બીજી સંખ્યા $\frac{2}{5}x$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $50$ છે:
$x + \frac{2}{5}x = 50$
$\frac{5x + 2x}{5} = 50$
$\frac{7x}{5} = 50$
$7x = 250$
$x = \frac{250}{7}$
હવે,બીજી સંખ્યા શોધો:
$\text{બીજી સંખ્યા} = \frac{2}{5} \times \frac{250}{7} = \frac{2 \times 50}{7} = \frac{100}{7}$
આમ,તે બે સંખ્યાઓ $\frac{250}{7}$ અને $\frac{100}{7}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x[-2\{-4(-a)\}]+5[-2\{-2(-a)\}]=4 a$
સૌ પ્રથમ,કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપો:
$-4(-a) = 4a$
$-2(4a) = -8a$
તેથી,પ્રથમ પદ $x(-8a) = -8ax$ થાય.
હવે,બીજા ભાગનું સાદું રૂપ આપો:
$-2(-a) = 2a$
$-2(2a) = -4a$
$5(-4a) = -20a$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$-8ax - 20a = 4a$
બંને બાજુ $20a$ ઉમેરતા:
$-8ax = 24a$
બંને બાજુ $-8a$ વડે ભાગતા (ધારો કે $a \neq 0$):
$x = \frac{24a}{-8a}$
$x = -3$