Numbers Questions in Gujarati

(C) ધારો કે બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે $xy = 17$.
$17$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,જે બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $17$ થાય તેવી સંખ્યાઓ માત્ર $1$ અને $17$ છે.
તેથી,$x = 1$ અને $y = 17$.
આપણે તેમના વર્ગોના વ્યસ્તનો સરવાળો શોધવાનો છે,જે $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{17^2} = 1 + \frac{1}{289}$ મળે છે.
સરવાળો કરતા: $1 + \frac{1}{289} = \frac{289 + 1}{289} = \frac{290}{289}$.

(C) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યાને બમણી કરીને $20$ ઉમેરતા $2x + 20$ મળે છે.
સંખ્યાને $8$ વડે ગુણીને $4$ બાદ કરતા $8x - 4$ મળે છે.
બંને પદોને સરખાવતા: $2x + 20 = 8x - 4$.
પદોને ગોઠવતા: $8x - 2x = 20 + 4$.
$6x = 24$.
$6$ વડે ભાગતા: $x = 4$.

(B) ધારો કે પ્રાકૃતિક સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$3x^2 - 4x = x + 50$
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવતા:
$3x^2 - 5x - 50 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$3x^2 - 15x + 10x - 50 = 0$
$3x(x - 5) + 10(x - 5) = 0$
$(3x + 10)(x - 5) = 0$
આથી $x = -\frac{10}{3}$ અથવા $x = 5$ મળે છે.
પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,આપણે ઋણ અપૂર્ણાંકને અવગણીશું.
તેથી,તે પ્રાકૃતિક સંખ્યા $5$ છે.

(C) ધારો કે ચાર સંખ્યાઓ $a, b, c$ અને $d$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$a+3 = b-3 = 3c = d/3 = k$ છે.
આના પરથી,આપણે દરેક ચલને $k$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ:
$a = k-3$
$b = k+3$
$c = k/3$
$d = 3k$
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $64$ છે:
$(k-3) + (k+3) + (k/3) + 3k = 64$
$5k + k/3 = 64$
$(15k + k)/3 = 64$
$16k/3 = 64$
$k = (64 \times 3) / 16 = 12.$
હવે,સંખ્યાઓ શોધવા માટે $k=12$ મૂકતા:
$a = 12-3 = 9$
$b = 12+3 = 15$
$c = 12/3 = 4$
$d = 3 \times 12 = 36.$
સંખ્યાઓ $9, 15, 4$ અને $36$ છે.
સૌથી મોટી સંખ્યા $36$ છે અને સૌથી નાની સંખ્યા $4$ છે.
તફાવત $36 - 4 = 32$ છે.

(B) ધારો કે દશકના સ્થાનનો અંક $x$ છે અને એકમના સ્થાનનો અંક $y$ છે. મૂળ સંખ્યા $10x + y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$y = 2x + 1$ (સમીકરણ $1$).
જ્યારે અંકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંખ્યા $10y + x$ બને છે.
નવી સંખ્યા અને મૂળ સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત $(10y + x) - (10x + y) = 9y - 9x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ તફાવત મૂળ સંખ્યા કરતાં $1$ ઓછો છે:
$9y - 9x = (10x + y) - 1$
$8y - 19x = -1$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માં $y = 2x + 1$ મૂકતા:
$8(2x + 1) - 19x = -1$
$16x + 8 - 19x = -1$
$-3x = -9$
$x = 3$.
હવે,સમીકરણ $1$ નો ઉપયોગ કરીને $y$ શોધો:
$y = 2(3) + 1 = 7$.
તેથી,મૂળ સંખ્યા $10(3) + 7 = 37$ છે.

(B) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ એ દશકનો અંક છે અને $y$ એ એકમનો અંક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો એકમના અંકને અડધો $(y/2)$ કરવામાં આવે અને દશકના અંકને બમણો $(2x)$ કરવામાં આવે,તો નવી સંખ્યા $10(2x) + y/2$ બને છે.
આ નવી સંખ્યા અંકોની અદલાબદલી કરવાથી મળતી સંખ્યા $(10y + x)$ જેટલી છે.
તેથી,$10(2x) + y/2 = 10y + x$.
$20x + y/2 = 10y + x$.
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $40x + y = 20y + 2x$.
પદોને ગોઠવતા: $40x - 2x = 20y - y$.
$38x = 19y$.
બંને બાજુ $19$ વડે ભાગતા,આપણને $2x = y$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે એકમના સ્થાનનો અંક $(y)$ એ દશકના સ્થાનના અંક $(x)$ કરતા બમણો છે.

(B) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ $(x-2)$,$x$ અને $(x+2)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો પ્રથમ સંખ્યા કરતાં $20$ વધારે છે:
$(x-2) + x + (x+2) = (x-2) + 20$
ડાબી બાજુનું સાદુંરૂપ આપતા: $3x = x + 18$
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા: $2x = 18$
$2$ વડે ભાગતા: $x = 9$
આમ,વચ્ચેની સંખ્યા $9$ છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આપણી પાસે નીચેના સમીકરણો છે:
$(1) \quad \frac{1}{5} x = \frac{5}{8} y$
$(2) \quad x + 35 = 4 y$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ:
$x = \frac{5}{8} y \times 5 = \frac{25}{8} y$
હવે,$x$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{25}{8} y + 35 = 4 y$
$y$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$35 = 4 y - \frac{25}{8} y$
$35 = \left( \frac{32 - 25}{8} \right) y$
$35 = \frac{7}{8} y$
$y = \frac{35 \times 8}{7}$
$y = 5 \times 8 = 40$
તેથી,બીજી સંખ્યા $40$ છે.

(D) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યા અને તેના વર્ગનો સરવાળો $182$ છે.
તેથી,$x^2 + x = 182$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x^2 + x - 182 = 0$ મળે છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણને ઉકેલવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $-182$ થાય અને સરવાળો $1$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $14$ અને $-13$ છે.
તેથી,$x^2 + 14x - 13x - 182 = 0$.
$x(x + 14) - 13(x + 14) = 0$.
$(x - 13)(x + 14) = 0$.
આનાથી આપણને $x = 13$ અથવા $x = -14$ મળે છે.
વિકલ્પોમાં $13$ આપેલ હોવાથી,સાચી સંખ્યા $13$ છે.

(B) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સમીકરણ આ મુજબ છે:
$\frac{x-4}{6} = 8$
બંને બાજુ $6$ વડે ગુણતા:
$x - 4 = 8 \times 6$
$x - 4 = 48$
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે બંને બાજુ $4$ ઉમેરતા:
$x = 48 + 4 = 52$
હવે,આપણે તે પરિણામ શોધવાનું છે જો સંખ્યામાંથી $2$ બાદ કરવામાં આવે અને પછી તેને $5$ વડે ભાગવામાં આવે:
$\frac{x - 2}{5} = \frac{52 - 2}{5}$
$= \frac{50}{5} = 10$

(B) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ એ દશકનો અંક છે અને $y$ એ એકમનો અંક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંકોનો ગુણાકાર $8$ છે,તેથી $xy = 8$.
જ્યારે સંખ્યામાં $18$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે અંકોની અદલાબદલી થાય છે,એટલે કે નવી સંખ્યા $10y + x$ બને છે.
તેથી,$(10x + y) + 18 = 10y + x$.
પદોને ગોઠવતા: $10y - y + x - 10x = 18$,જેનું સાદું રૂપ $9y - 9x = 18$ થાય છે.
$9$ વડે ભાગતા,આપણને $y - x = 2$ મળે છે,અથવા $y = x + 2$.
$y = x + 2$ ને ગુણાકારના સમીકરણ $xy = 8$ માં મૂકતા:
$x(x + 2) = 8$
$x^2 + 2x - 8 = 0$
$(x + 4)(x - 2) = 0$.
કારણ કે $x$ એ ધન અંક હોવો જોઈએ,તેથી $x = 2$.
ત્યારબાદ $y = 2 + 2 = 4$.
તેથી સંખ્યા $10(2) + 4 = 24$ છે.

(B) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ એ દશકનો અંક છે અને $y$ એ એકમનો અંક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યા અને તેના અંકોની અદલાબદલી કરવાથી મળતી સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત $36$ છે:
$| (10x + y) - (10y + x) | = 36$
$| 9x - 9y | = 36$
$| x - y | = 4$
અંકોનો ગુણોત્તર $1:2$ આપેલ છે,તેથી $y/x = 1/2$ અથવા $x/y = 1/2$. એટલે કે $x = 2y$ અથવા $y = 2x$.
$x = 2y$ ને $| x - y | = 4$ માં મૂકતા,આપણને $| 2y - y | = 4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = 4$. તેથી $x = 2(4) = 8$.
આમ,અંકો $8$ અને $4$ છે.
અંકોનો સરવાળો $x + y = 8 + 4 = 12$ છે.
અંકોનો તફાવત $x - y = 8 - 4 = 4$ છે.
અંકોના સરવાળા અને તફાવત વચ્ચેનો તફાવત $12 - 4 = 8$ થાય.

(D) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક એકી પૂર્ણાંકો $x$,$(x+2)$,અને $(x+4)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ સંખ્યાના ત્રણ ગણા એ ત્રીજી સંખ્યાના બમણા કરતાં $3$ વધારે છે.
$3x = 2(x+4) + 3$
$3x = 2x + 8 + 3$
$3x - 2x = 11$
$x = 11$
તેથી,ત્રણ ક્રમિક એકી પૂર્ણાંકો $11$,$13$,અને $15$ છે.
ત્રીજી સંખ્યા $x + 4 = 11 + 4 = 15$ થાય.

(D) ધારો કે બે અંકની સંખ્યાના અંકો $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે અંકોનો સરવાળો $x + y = 15$ $(1)$ છે.
આપેલ છે કે અંકો વચ્ચેનો તફાવત $x - y = 3$ $(2)$ અથવા $y - x = 3$ $(3)$ છે.
કિસ્સો $1$: સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા:
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$2x = 18 \Rightarrow x = 9$ મળે.
$x = 9$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$9 + y = 15 \Rightarrow y = 6$ મળે.
આમ,સંખ્યા $96$ છે.
કિસ્સો $2$: સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ ઉકેલતા:
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$2y = 18 \Rightarrow y = 9$ મળે.
$y = 9$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$x + 9 = 15 \Rightarrow x = 6$ મળે.
આમ,સંખ્યા $69$ છે.
અહીં $96$ અને $69$ બંને આપેલી શરતોનું પાલન કરે છે,તેથી ચોક્કસ સંખ્યા નક્કી કરી શકાતી નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $xy = 45$ છે અને તેમના વર્ગોનો સરવાળો $x^2 + y^2 = 106$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(x + y)^2 = 106 + 2(45) = 106 + 90 = 196$.
તેથી,$x + y = \sqrt{196} = 14$.
આપણી પાસે $x + y = 14$ અને $xy = 45$ છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ ના બીજ છે,એટલે કે $t^2 - 14t + 45 = 0$.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 9)(t - 5) = 0$.
તેથી,તે સંખ્યાઓ $5$ અને $9$ છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $x y = 120$ છે.
આપેલ છે કે તેમના વર્ગોનો સરવાળો $x^2 + y^2 = 289$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ છે.
આ નિત્યસમમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$(x + y)^2 = 289 + 2(120)$
$(x + y)^2 = 289 + 240$
$(x + y)^2 = 529$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $x + y = \sqrt{529} = 23$ મળે છે.
તેથી,સંખ્યાઓનો સરવાળો $23$ છે.

(C) ધારો કે બીજી સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
પ્રથમ સંખ્યા $= 2x$
ત્રીજી સંખ્યા $= \frac{1}{3} \times (2x) = \frac{2}{3}x$
ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો $264$ છે,તેથી:
$2x + x + \frac{2}{3}x = 264$
પદોને જોડતા:
$3x + \frac{2}{3}x = 264$
$\frac{9x + 2x}{3} = 264$
$\frac{11x}{3} = 264$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$11x = 264 \times 3$
$11x = 792$
$x = \frac{792}{11} = 72$
તેથી,બીજી સંખ્યા $72$ છે.

(B) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સમીકરણ નીચે મુજબ બનશે:
$\frac{2}{3}x - 50 = \frac{x}{4} + 40$
$x$ વાળા પદોને એક બાજુ લાવતા:
$\frac{2}{3}x - \frac{x}{4} = 50 + 40$
$\frac{2}{3}x - \frac{x}{4} = 90$
ડાબી બાજુના અપૂર્ણાંકોનો લસાઅ $12$ લેતા:
$\frac{8x - 3x}{12} = 90$
$\frac{5x}{12} = 90$
બંને બાજુ $12$ વડે ગુણતા:
$5x = 90 \times 12$
$5x = 1080$
$5$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{1080}{5}$
$x = 216$
આમ,તે સંખ્યા $216$ છે.

(B) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સમીકરણ આ મુજબ છે:
$\left[\left(x + 2 \frac{1}{2}\right) \times 4 \frac{1}{2} + 3\right] \div 1 \frac{1}{5} = 25$
મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા:
$\left[\left(x + \frac{5}{2}\right) \times \frac{9}{2} + 3\right] \div \frac{6}{5} = 25$
બંને બાજુ $\frac{6}{5}$ વડે ગુણતા:
$\left(x + \frac{5}{2}\right) \times \frac{9}{2} + 3 = 25 \times \frac{6}{5}$
$\left(x + \frac{5}{2}\right) \times \frac{9}{2} + 3 = 30$
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા:
$\left(x + \frac{5}{2}\right) \times \frac{9}{2} = 27$
બંને બાજુ $\frac{2}{9}$ વડે ગુણતા:
$x + \frac{5}{2} = 27 \times \frac{2}{9}$
$x + \frac{5}{2} = 6$
બંને બાજુથી $\frac{5}{2}$ બાદ કરતા:
$x = 6 - \frac{5}{2} = \frac{12 - 5}{2} = \frac{7}{2} = 3 \frac{1}{2}$

(A) ધારો કે દશકનો અંક $x$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે. સંખ્યા $10x + y$ છે.
આપેલ છે કે એકમનો અંક દશકના અંક કરતા $2$ વધારે છે, તેથી $y = x + 2$.
અંકોનો સરવાળો $x + y = x + (x + 2) = 2x + 2$ છે.
સંખ્યા અને તેના અંકોના સરવાળાનો ગુણાકાર $144$ છે, તેથી $(10x + y)(x + y) = 144$.
સમીકરણમાં $y = x + 2$ મૂકતા:
$(10x + x + 2)(x + x + 2) = 144$
$(11x + 2)(2x + 2) = 144$
$(11x + 2) \cdot 2(x + 1) = 144$
$(11x + 2)(x + 1) = 72$
$11x^2 + 11x + 2x + 2 = 72$
$11x^2 + 13x - 70 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(11x + 35)(x - 2) = 0$
કારણ કે $x$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ, તેથી $x = 2$.
તેથી $y = x + 2 = 2 + 2 = 4$.
આમ, સંખ્યા $10(2) + 4 = 24$ છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યાઓનો સરવાળો $x + y = 22$ છે (સમીકરણ $1$).
વળી,એક સંખ્યાના પાંચ ગણા બીજી સંખ્યાના $6$ ગણા બરાબર છે,તેથી $5x = 6y$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ પરથી,આપણે $x$ ને $x = \frac{6}{5}y$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$\frac{6}{5}y + y = 22$
$\frac{6y + 5y}{5} = 22$
$\frac{11y}{5} = 22$
$11y = 110$
$y = 10$.
હવે,$y = 10$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$x + 10 = 22$
$x = 12$.
આમ,બે સંખ્યાઓ $12$ અને $10$ છે. મોટી સંખ્યા $12$ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે,જ્યાં $x > y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$x + y = 33$ --- $(1)$
$x - y = 15$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(x + y) - (x - y) = 33 - 15$
$2y = 18$
$y = 9$
$y = 9$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x + 9 = 33$
$x = 33 - 9 = 24$
આમ,બે સંખ્યાઓ $24$ અને $9$ છે. તેથી નાની સંખ્યા $9$ છે.

(C) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યાના અડધા અને પાંચમા ભાગનો સરવાળો તે સંખ્યાના ત્રીજા ભાગ કરતા $7 \frac{1}{3} = \frac{22}{3}$ જેટલો વધારે છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\frac{x}{2} + \frac{x}{5} = \frac{x}{3} + \frac{22}{3}$.
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા: $\frac{x}{2} + \frac{x}{5} - \frac{x}{3} = \frac{22}{3}$.
$2, 5,$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $30$ છે.
$\frac{15x + 6x - 10x}{30} = \frac{22}{3}$.
$\frac{11x}{30} = \frac{22}{3}$.
$x = \frac{22}{3} \times \frac{30}{11} = 2 \times 10 = 20$.
આમ,તે સંખ્યા $20$ છે.

(A) ધારો કે તે ધન સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યાનો બે-તૃતીયાંશ ભાગ તેના વ્યસ્તના $\frac{25}{216}$ ભાગ જેટલો છે.
તેથી,$\frac{2}{3} x = \frac{25}{216} \times \frac{1}{x}$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $\frac{2}{3} x^2 = \frac{25}{216}$.
હવે,$x^2 = \frac{25}{216} \times \frac{3}{2}$.
$x^2 = \frac{25}{72 \times 2} = \frac{25}{144}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$x = \sqrt{\frac{25}{144}} = \frac{5}{12}$ (કારણ કે સંખ્યા ધન છે).

(A) આપેલ પદાવલિ $7372 \times 7372 + 7372 \times 628$ છે.
સરવાળા પર ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$a \times b + a \times c = a \times (b + c)$.
અહીં,$a = 7372$,$b = 7372$,અને $c = 628$ છે.
તેથી,પદાવલિ $7372 \times (7372 + 628)$ બને છે.
કૌંસની અંદરનો સરવાળો કરતા: $7372 + 628 = 8000$.
હવે,ગુણાકાર કરતા: $7372 \times 8000 = 58976000$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ છે: $9999 + 8888 + 777 + x = 19700$.
પ્રથમ,આપેલી સંખ્યાઓનો સરવાળો કરો: $9999 + 8888 + 777 = 19664$.
હવે,આ સરવાળાને સમીકરણમાં મૂકો: $19664 + x = 19700$.
$x$ શોધવા માટે,$19700$ માંથી $19664$ બાદ કરો: $x = 19700 - 19664$.
તેથી,$x = 36$.

(A) ધારો કે ખૂટતો અંક $x$ છે,તેથી પદાવલિ $(60x6) \times 111 = 666666$ બને છે.
બંને બાજુને $111$ વડે ભાગતા:
$60x6 = \frac{666666}{111}$
ભાગાકાર કરતા:
$666666 \div 111 = 6006$
$60x6$ ની સરખામણી $6006$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે કે ખૂટતો અંક $x = 0$ છે.

(A) ધારો કે ખૂટતો અંક $x$ છે. સમીકરણ $3149 \times (100 + 10x + 5) = 425115$ છે.
બંને બાજુને $3149$ વડે ભાગતા:
$100 + 10x + 5 = \frac{425115}{3149}$
$105 + 10x = 135$
$10x = 135 - 105$
$10x = 30$
$x = 3$
તેથી,ખૂટતો અંક $3$ છે.

(D) ધારો કે મનોજભાઈની ઉંમર $(10x + y)$ વર્ષ છે.
તેથી,તેમની પત્નીની ઉંમર $(10y + x)$ વર્ષ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમની ઉંમરના સરવાળાનો $\frac{1}{11}$ ભાગ એ તેમની ઉંમરના તફાવત જેટલો છે:
$\frac{1}{11} (10x + y + 10y + x) = (10x + y) - (10y + x)$
$\frac{1}{11} (11x + 11y) = 9x - 9y$
$x + y = 9(x - y)$
$x + y = 9x - 9y$
$10y = 8x$
$\frac{x}{y} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$
અહીં $x$ અને $y$ એક અંકની સંખ્યા હોવાથી,આપણે $x = 5$ અને $y = 4$ લઈ શકીએ.
તેથી,મનોજભાઈની ઉંમર $54$ વર્ષ અને તેમની પત્નીની ઉંમર $45$ વર્ષ છે.
તેમની ઉંમર વચ્ચેનો તફાવત $54 - 45 = 9$ વર્ષ છે.

(B) ધારો કે $d$ ભાજક છે અને $q$ ભાગફળ છે.
લાંબા ભાગાકારની પ્રક્રિયામાં,ભાજ્ય $D$ ને $D = d \times q + r_{last}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આપેલ છે કે $D = 380606$ અને $r_{last} = 413$,તેથી $d \times q = 380606 - 413 = 380193$.
$380193$ એકી સંખ્યા હોવાથી,ભાજક $d$ પણ એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ. આનાથી $d = 3372$ વિકલ્પ દૂર થાય છે.
વળી,$380193$ નો અંત $0$ કે $5$ થી થતો નથી,તેથી $d$ એ $5$ નો ગુણક હોઈ શકે નહીં. આનાથી $c = 4215$ વિકલ્પ દૂર થાય છે.
હવે આપણી પાસે $451$ અને $843$ બાકી છે. આપણે ભાગાકારનું પ્રથમ પગલું ચકાસીએ:
જો $d = 843$ હોય,તો ભાજ્યનો પ્રથમ ભાગ $3806$ ને $843$ વડે ભાગતા $3806 = 843 \times 4 + 434$ મળે છે. આ પ્રથમ શેષ $434$ સાથે મેળ ખાય છે.
જો $d = 451$ હોય,તો $3806 = 451 \times 8 + 198$ મળે છે. આ પ્રથમ શેષ $434$ સાથે મેળ ખાતું નથી.
તેથી,ભાજક $843$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$,તેથી આપણે $x = \frac{3}{4}y$ લખી શકીએ.
$\frac{y-x}{y+x}$ પદમાં $x = \frac{3}{4}y$ મૂકતા:
$\frac{y - \frac{3}{4}y}{y + \frac{3}{4}y} = \frac{\frac{1}{4}y}{\frac{7}{4}y} = \frac{1}{7}$.
હવે,આ કિંમતને પ્રથમ પદમાં ઉમેરતા:
$\frac{6}{7} + \frac{1}{7} = \frac{7}{7} = 1$.

(C) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $2n, 2n+2$ અને $2n+4$ છે,જ્યાં $n$ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.
ગુણાકાર $P = 2n(2n+2)(2n+4) = 8n(n+1)(n+2)$.
કારણ કે $n, (n+1)$ અને $(n+2)$ એ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકો છે,તેમનો ગુણાકાર $n(n+1)(n+2)$ હંમેશા $3! = 6$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તેથી,ગુણાકાર $P$ એ $8 \times 6 = 48$ વડે વિભાજ્ય છે.
પ્રથમ ત્રણ ક્રમિક બેકી સંખ્યાઓ સાથે ચકાસતા: $2 \times 4 \times 6 = 48$.
આગળની સંખ્યાઓ સાથે ચકાસતા: $4 \times 6 \times 8 = 192$,જે $48 \times 4$ છે.
આમ,સૌથી મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યા જે હંમેશા ગુણાકારને ભાગે છે તે $48$ છે.

(B) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
તેથી સમીકરણ $\frac{x}{21} \times \frac{x}{189} = 1$ બને છે.
અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરતા,આપણને $\frac{x^2}{21 \times 189} = 1$ મળે છે.
તેથી,$x^2 = 21 \times 189$.
આપણે $189$ ના અવયવ $21 \times 9$ તરીકે પાડી શકીએ છીએ.
તેથી,$x^2 = 21 \times (21 \times 9) = 21^2 \times 3^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$x = 21 \times 3 = 63$.

(D) ધારો કે ભાજક $= D$,ભાગફળ $= Q$ અને શેષ $= R$ છે.
આપેલ છે કે $R = 48$.
પ્રશ્ન મુજબ,ભાજક એ શેષ કરતા $5$ ગણો છે,તેથી $D = 5 \times R = 5 \times 48 = 240$.
વળી,ભાજક એ ભાગફળ કરતા $12$ ગણો છે,તેથી $D = 12 \times Q$.
$D$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $240 = 12 \times Q$,જેનો અર્થ છે કે $Q = 240 / 12 = 20$.
ભાજ્ય શોધવાનું સૂત્ર છે: $\text{ભાજ્ય} = (\text{ભાજક} \times \text{ભાગફળ}) + \text{શેષ}$。
કિંમતો મૂકતા: $\text{ભાજ્ય} = (240 \times 20) + 48 = 4800 + 48 = 4848$。

(B) $9, 11$ અને $13$ વડે ભાગતા $6$ શેષ વધે તેવી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $9, 11$ અને $13$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધીશું.
$9, 11$ અને $13$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો $LCM = 9 \times 11 \times 13 = 1287$ થાય.
જે સંખ્યાને $9, 11$ અને $13$ વડે ભાગતા $6$ શેષ વધે તે સંખ્યા $(LCM + 6) = 1287 + 6 = 1293$ સ્વરૂપમાં હોય.
આપણે $1294$ માંથી એવી કઈ સંખ્યા બાદ કરીએ કે જેથી $1293$ મળે.
જરૂરી સંખ્યા $= 1294 - 1293 = 1$.

(B) ધારો કે પ્રથમ ભાગ $x$ છે અને બીજો ભાગ $(24 - x)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ ભાગના $7$ ગણામાં બીજા ભાગના $5$ ગણા ઉમેરતા $146$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $7x + 5(24 - x) = 146$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $7x + 120 - 5x = 146$.
પદોનું સાદુંરૂપ આપતા: $2x + 120 = 146$.
બંને બાજુથી $120$ બાદ કરતા: $2x = 146 - 120$.
$2x = 26$.
$2$ વડે ભાગતા: $x = 13$.
આમ,પ્રથમ ભાગ $13$ છે.

(A) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યાના $\frac{1}{3}$ ભાગમાંથી સંખ્યાનો $\frac{1}{4}$ ભાગ બાદ કરતાં $12$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x = 12$.
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે,અપૂર્ણાંકોનો સામાન્ય છેદ $12$ લઈએ.
$\frac{4x}{12} - \frac{3x}{12} = 12$.
$\frac{x}{12} = 12$.
બંને બાજુ $12$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $x = 12 \times 12 = 144$.
આમ,તે સંખ્યા $144$ છે.

(B) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{4}{3} \times x = 64$.
$x$ શોધવા માટે,બંને બાજુ $\frac{3}{4}$ વડે ગુણો:
$x = 64 \times \frac{3}{4} = 16 \times 3 = 48$.
હવે,આપણે તે સંખ્યાનો અડધો ભાગ શોધવાનો છે:
$\frac{1}{2} \times x = \frac{1}{2} \times 48 = 24$.

(D) ધારો કે જરૂરી અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y}$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,અંશ અને છેદ બંનેમાં $1$ ઉમેરતા $4$ મળે છે:
$\frac{x+1}{y+1} = 4 \Rightarrow x+1 = 4y+4 \Rightarrow x-4y = 3$ (સમીકરણ $1$).
બીજી શરત મુજબ,અંશ અને છેદ બંનેમાંથી $1$ બાદ કરતા $7$ મળે છે:
$\frac{x-1}{y-1} = 7 \Rightarrow x-1 = 7y-7 \Rightarrow x-7y = -6$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$(x-4y) - (x-7y) = 3 - (-6)$
$3y = 9 \Rightarrow y = 3$.
$y=3$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$x - 4(3) = 3 \Rightarrow x - 12 = 3 \Rightarrow x = 15$.
આમ,અપૂર્ણાંક $\frac{15}{3}$ છે. તેથી અંશ $15$ છે.

(C) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $3x$,$4x$ અને $5x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સૌથી મોટી સંખ્યા $(5x)$ અને સૌથી નાની સંખ્યા $(3x)$ નો સરવાળો એ ત્રીજી સંખ્યા $(4x)$ અને $52$ ના સરવાળા જેટલો છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $5x + 3x = 4x + 52$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $8x = 4x + 52$.
બંને બાજુથી $4x$ બાદ કરતા: $4x = 52$.
$4$ વડે ભાગતા: $x = 13$.
સૌથી નાની સંખ્યા $3x = 3 \times 13 = 39$ છે.

(A) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $a, b,$ અને $c$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ અને $\frac{b}{c} = \frac{5}{3}$ છે.
સંયુક્ત ગુણોત્તર $a:b:c$ શોધવા માટે,આપણે બંને ગુણોત્તરમાં $b$ ની કિંમત સમાન બનાવીશું.
પ્રથમ ગુણોત્તરને $5$ વડે અને બીજા ગુણોત્તરને $3$ વડે ગુણતા:
$\frac{a}{b} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$
$\frac{b}{c} = \frac{5 \times 3}{3 \times 3} = \frac{15}{9}$
આમ,$a:b:c = 10:15:9$.
ધારો કે સંખ્યાઓ $10x, 15x,$ અને $9x$ છે.
સંખ્યાઓનો સરવાળો $68$ છે,તેથી:
$10x + 15x + 9x = 68$
$34x = 68$
$x = 2$
બીજી સંખ્યા $15x = 15 \times 2 = 30$ છે.

(C) ધારો કે માંગેલ અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y}$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,છેદમાં $1$ ઉમેરતા $\frac{x}{y+1} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2x = y + 1$,અથવા $2x - y = 1$ (સમીકરણ $1$) મળે છે.
બીજી શરત મુજબ,અંશમાં $1$ ઉમેરતા $\frac{x+1}{y} = 1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $x + 1 = y$,અથવા $x - y = -1$ (સમીકરણ $2$) મળે છે.
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$(2x - y) - (x - y) = 1 - (-1)$
$2x - y - x + y = 1 + 1$
$x = 2$.
$x = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$2 - y = -1$
$y = 3$.
તેથી,માંગેલ અપૂર્ણાંક $\frac{2}{3}$ છે.

(B) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{4}{5}x - \frac{2}{3}x = 8$.
આને ઉકેલવા માટે,અપૂર્ણાંકોનો સામાન્ય છેદ $15$ લો.
$\frac{12x - 10x}{15} = 8$.
$\frac{2x}{15} = 8$.
બંને બાજુ $15$ વડે ગુણતા:
$2x = 8 \times 15 = 120$.
$2$ વડે ભાગતા:
$x = 60$.

(C) $60$ અને $80$ ની વચ્ચેની તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે પહેલા આ શ્રેણીમાં આવતી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓને ઓળખીશું.
અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જે $1$ કરતા મોટી હોય અને જેના માત્ર બે જ અવયવો હોય છે: $1$ અને તે સંખ્યા પોતે.
$60$ અને $80$ ની વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $61, 67, 71, 73$ અને $79$ છે.
હવે,આપણે તેમનો સરવાળો કરીશું:
$61 + 67 + 71 + 73 + 79 = 351$.
તેથી,$60$ થી $80$ સુધીની તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો $351$ થાય છે.

(B) ભાજ્ય,ભાજક,ભાગફળ અને શેષ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
ભાજ્ય = (ભાજક $\times$ ભાગફળ) + શેષ
આપેલ છે:
ભાજ્ય = $24446$
ભાગફળ = $79$
શેષ = $35$
ધારો કે ભાજક $x$ છે.
$24446 = (x \times 79) + 35$
$24446 - 35 = 79x$
$24411 = 79x$
$x = 24411 \div 79$
$x = 309$
તેથી,ભાજક $309$ છે.

(A) ભાજ્ય,ભાજક,ભાગફળ અને શેષ વચ્ચેનો સંબંધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$\text{ભાજ્ય} = (\text{ભાજક} \times \text{ભાગફળ}) + \text{શેષ}$
આપેલ છે:
$\text{ભાજક} = 456$
$\text{ભાગફળ} = 120$
$\text{શેષ} = 333$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{ભાજ્ય} = (456 \times 120) + 333$
$\text{ભાજ્ય} = 54720 + 333$
$\text{ભાજ્ય} = 55053$

(B) ભાજ્ય, ભાજક, ભાગફળ અને શેષ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
ભાજ્ય $= (\text{ભાજક} \times \text{ભાગફળ}) + \text{શેષ}$
આપેલ છે:
ભાજક $= 62$
ભાગફળ $= 463$
શેષ $= 60$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
ભાજ્ય $= (62 \times 463) + 60$
ભાજ્ય $= 28706 + 60$
ભાજ્ય $= 28766$
તેથી, તે સંખ્યા $28766$ છે.

(C) ધારો કે તે સંખ્યા $N$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,$N = 221q + 43$,જ્યાં $q$ એ ભાગફળ છે.
આપણે $N$ ને $17$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવી છે.
$N = (13 \times 17)q + 43$.
અહીં $(13 \times 17)q$ એ $17$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે,તેથી શેષ માત્ર $43$ ને $17$ વડે ભાગવાથી મળે.
$43 = 17 \times 2 + 9$.
આમ,મળતી શેષ $9$ છે.

(A) અવિભાજ્ય સંખ્યા એ $1$ કરતા મોટી એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેને $1$ અને તે સંખ્યા પોતે સિવાય અન્ય કોઈ ધન ભાજક નથી.
ત્રણ અંકની સૌથી મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સૌથી મોટી ત્રણ અંકની સંખ્યા $999$ થી તપાસવાનું શરૂ કરીએ છીએ.
$1$. $999$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે $(999 = 3 \times 333)$,તેથી તે અવિભાજ્ય નથી.
$2$. $998$ એ બેકી સંખ્યા છે,તેથી તે $2$ વડે વિભાજ્ય છે,એટલે કે તે અવિભાજ્ય નથી.
$3$. $997$ એ $\sqrt{997} \approx 31.57$ સુધીની કોઈપણ અવિભાજ્ય સંખ્યા (જેમ કે $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31$) વડે વિભાજ્ય નથી.
આથી $997$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
તેથી,$997$ એ ત્રણ અંકની સૌથી મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.

(A) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,$7 \times x = 555...5$ (એક એવી સંખ્યા જેમાં માત્ર પાંચડા જ હોય).
આવી ન્યૂનતમ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $n$ પાંચડા ધરાવતી સંખ્યાઓ તપાસવાનું શરૂ કરીએ છીએ,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$
આપણે સૌથી નાનું $n$ શોધવાની જરૂર છે જેથી $55...5$ ($n$ વખત) એ $7$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$5/7$ (શેષ $5$)
$55/7 = 7$ શેષ $6$
$555/7 = 79$ શેષ $2$
$5555/7 = 793$ શેષ $4$
$55555/7 = 7936$ શેષ $3$
$555555/7 = 79365$ શેષ $0$.
કારણ કે $555555$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સૌથી નાની સંખ્યા છે જેમાં માત્ર પાંચડા છે,તેથી ભાગફળ $79365$ એ આવી ન્યૂનતમ સંખ્યા છે.
તેથી,ન્યૂનતમ સંખ્યા $79365$ છે.