Numbers Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $5$ ક્રમિક એકી પૂર્ણાંકો $x, x+2, x+4, x+6,$ અને $x+8$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ગુણનો સરવાળો $185$ છે.
$x + (x+2) + (x+4) + (x+6) + (x+8) = 185$
$5x + 20 = 185$
$5x = 185 - 20$
$5x = 165$
$x = 33$
સૌથી વધુ ગુણ $x+8 = 33 + 8 = 41$ છે.

(A) આપેલી સંખ્યાઓની સરખામણી કરવા માટે,આપણે તેમને સમાન ઘાતાંક (મૂળ) સાથે દર્શાવીએ છીએ.
સંખ્યાઓ $4^{1/3}, 2^{1/2}, 3^{1/6}, 5^{1/4}$ છે.
ઘાતાંકોના છેદ $3, 2, 6, 4$ છે. આ છેદનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ છે.
હવે,દરેક સંખ્યાને $1/12$ ઘાતાંક સાથે ફરીથી લખો:
$4^{1/3} = 4^{4/12} = (4^4)^{1/12} = 256^{1/12}$
$2^{1/2} = 2^{6/12} = (2^6)^{1/12} = 64^{1/12}$
$3^{1/6} = 3^{2/12} = (3^2)^{1/12} = 9^{1/12}$
$5^{1/4} = 5^{3/12} = (5^3)^{1/12} = 125^{1/12}$
આધારની સરખામણી કરતા: $256 > 125 > 64 > 9$.
તેથી,ઉતરતો ક્રમ $\sqrt[3]{4} > \sqrt[4]{5} > \sqrt{2} > \sqrt[6]{3}$ છે.

(B) ધારો કે પદાવલિ $f(n) = 3^{2n} + 9n + 5$ છે.
આપણે પદાવલિને $f(n) = 3^{2n} + 9n + 3 + 2$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
હવે,આપણે પ્રથમ ત્રણ પદોમાંથી $3$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$f(n) = 3(3^{2n-1} + 3n + 1) + 2$.
કારણ કે $3(3^{2n-1} + 3n + 1)$ એ $3$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે,તેથી $f(n)$ ને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષ $2$ છે.

(B) અવિભાજ્ય સંખ્યા એ $1$ થી મોટી એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેને $1$ અને તે સંખ્યા પોતે સિવાય અન્ય કોઈ ધન ભાજક નથી.
અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની શ્રેણી $2, 3, 5, 7, 11, \dots$ થી શરૂ થાય છે.
આ શ્રેણીમાં $2$ એ પ્રથમ સંખ્યા હોવાથી,તે સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
તેથી,સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,ભાજક અને અનુરૂપ શેષ વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$12 - 8 = 4$
$18 - 14 = 4$
$36 - 32 = 4$
$45 - 41 = 4$
અહીં તફાવત સમાન $(4)$ હોવાથી,માંગેલ સંખ્યા $= \operatorname{LCM}(12, 18, 36, 45) - 4$ થશે.
$12, 18, 36$ અને $45$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(\operatorname{LCM})$ શોધો:
$12 = 2^2 \times 3$
$18 = 2 \times 3^2$
$36 = 2^2 \times 3^2$
$45 = 3^2 \times 5$
$\operatorname{LCM} = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$.
તેથી,માંગેલ સંખ્યા $= 180 - 4 = 176$.

(C) $204 \times 197$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + a)(x - b) = x^2 + x(a - b) - ab$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અહીં,ધારો કે $x = 200$,$a = 4$,અને $b = 3$ છે.
$204 \times 197 = (200 + 4)(200 - 3)$
$= 200^2 + 200(4 - 3) - (4 \times 3)$
$= 40000 + 200(1) - 12$
$= 40000 + 200 - 12$
$= 40200 - 12$
$= 40188$

(D) મીટર પટ્ટીની લંબાઈ $1 \ m$ છે,પરંતુ તે $1 \ cm$ ટૂંકી છે. તેથી,પટ્ટીની વાસ્તવિક લંબાઈ $100 \ cm - 1 \ cm = 99 \ cm$ છે.
જ્યારે કાપડ માપવામાં આવે છે,ત્યારે પટ્ટી પરનું રીડિંગ $100 \ m$ દર્શાવે છે. આ ખામીયુક્ત પટ્ટી પરનો દરેક 'મીટર' વાસ્તવમાં $99 \ cm$ હોવાથી,કાપડની કુલ લંબાઈ $100 \times 99 \ cm = 9900 \ cm$ થાય.

(C) આપણે $1001$ ને $(1000 + 1)$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1000$ અને $b = 1$ છે:
$(1000 + 1)^3 = (1000)^3 + 3(1000)^2(1) + 3(1000)(1)^2 + (1)^3$
$= 1,000,000,000 + 3(1,000,000) + 3(1000) + 1$
$= 1,000,000,000 + 3,000,000 + 3,000 + 1$
$= 1,003,003,001$.

(D) આપેલ સરવાળો:
$5A7 + 335 = 8B2$
એકમનો અંક જોતા: $7 + 5 = 12$, તેથી છેલ્લો અંક $2$ છે અને દશકના સ્થાન પર $1$ વદી આવે છે.
દશકનો અંક જોતા: $A + 3 + 1 = B$ (જ્યાં $1$ એ એકમના સ્થાનથી આવેલી વદી છે).
તેથી, $A + 4 = B$.
સોના સ્થાન પર: $5 + 3 = 8$, જે પરિણામ સાથે મેળ ખાય છે.
$8B2$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી, તેના અંકોનો સરવાળો $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ:
$8 + B + 2 = 10 + B = \text{3 નો ગુણક}$.
$B$ માટે શક્ય કિંમતો $2, 5, 8$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $B = 2$ હોય, તો $A + 4 = 2 \Rightarrow A = -2$ (શક્ય નથી કારણ કે $A$ એક અંક છે).
કિસ્સો $2$: જો $B = 5$ હોય, તો $A + 4 = 5 \Rightarrow A = 1$.
કિસ્સો $3$: જો $B = 8$ હોય, તો $A + 4 = 8 \Rightarrow A = 4$.
$A$ ની સૌથી મોટી શક્ય કિંમત $4$ છે.

(C) જો કોઈ સંખ્યાના છેલ્લા બે અંકો $00, 25, 50,$ અથવા $75$ હોય,તો તે સંખ્યા $25$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A) 303310$: છેલ્લા બે અંકો $10$ છે ($25$ વડે વિભાજ્ય નથી).
$B) 373355$: છેલ્લા બે અંકો $55$ છે ($25$ વડે વિભાજ્ય નથી).
$C) 303375$: છેલ્લા બે અંકો $75$ છે ($25$ વડે વિભાજ્ય છે).
$D) 22040$: છેલ્લા બે અંકો $40$ છે ($25$ વડે વિભાજ્ય નથી).
તેથી,$303375$ એ $25$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) $3 \times 38 \times 537 \times 1256$ ના ગુણાકારનો એકમનો અંક શોધવા માટે,આપણે દરેક સંખ્યાના એકમના અંકોનો ગુણાકાર કરવો પડશે.
અહીં એકમના અંકો $3, 8, 7$ અને $6$ છે.
તેમનો ગુણાકાર કરતા: $3 \times 8 = 24$ (એકમનો અંક $4$ છે)
હવે,આ પરિણામને પછીના એકમના અંક સાથે ગુણતા: $4 \times 7 = 28$ (એકમનો અંક $8$ છે)
છેલ્લે,આ પરિણામને છેલ્લા એકમના અંક સાથે ગુણતા: $8 \times 6 = 48$ (એકમનો અંક $8$ છે)
તેથી,આપેલ ગુણાકારનો એકમનો અંક $8$ છે.

(D) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $(10x + y)$ છે,જ્યાં $x$ એ દશકનો અંક છે અને $y$ એ એકમનો અંક છે.
જ્યારે અંકોના સ્થાન અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંખ્યા $(10y + x)$ બને છે.
મૂળ સંખ્યા અને નવી સંખ્યાનો સરવાળો કરતા:
$(10x + y) + (10y + x) = 11x + 11y$
$= 11(x + y)$
આમ,પરિણામી સંખ્યા હંમેશા $11$ વડે વિભાજ્ય હશે.

(A) $(57)^{25}$ નો એકમનો અંક શોધવા માટે,આપણે $7$ ની ઘાતોના એકમના અંક જોઈએ.
$7^{1} = 7$
$7^{2} = 49$ (એકમનો અંક $9$ છે)
$7^{3} = 343$ (એકમનો અંક $3$ છે)
$7^{4} = 2401$ (એકમનો અંક $1$ છે)
એકમના અંકોનું ચક્ર $(7, 9, 3, 1)$ છે જેનો આવર્તકાળ $4$ છે.
$(57)^{25}$ માટે,આપણે ઘાતાંક $25$ ને આવર્તકાળ $4$ વડે ભાગીએ છીએ: $25 = 4 \times 6 + 1$.
શેષ $1$ હોવાથી,$(57)^{25}$ નો એકમનો અંક $7^{1}$ ના એકમના અંક જેવો જ એટલે કે $7$ થશે.
તેથી,$[(57)^{25} - 1]$ નો એકમનો અંક $7 - 1 = 6$ થશે.

(C) ધારો કે ત્રણ અંકની સંખ્યા $N$ ને $100x + 10z + y$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ સોના સ્થાનનો અંક છે,$z$ એ દશકના સ્થાનનો અંક છે,અને $y$ એ એકમના સ્થાનનો અંક છે.
આપેલ પદાવલિ $N - 100x - y$ માં $N$ ની કિંમત મૂકતા:
$N - 100x - y = (100x + 10z + y) - 100x - y$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$= 100x - 100x + 10z + y - y$
$= 10z$
પરિણામ $10z$ હોવાથી,આ પદાવલિ હંમેશા $10$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) આપેલ છે કે $n$ એક એવી પૂર્ણ સંખ્યા છે કે જેથી $n = 4k + 3$,જ્યાં $k ge 0$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
આપણે $2n$ ને $4$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
$n$ ની કિંમત $2n$ માં મૂકતા:
$2n = 2(4k + 3) = 8k + 6$.
હવે,$8k + 6$ ને $4$ વડે ભાગતા:
$8k + 6 = 4(2k) + 4 + 2 = 4(2k + 1) + 2$.
અહીં $4(2k + 1)$ એ $4$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે,તેથી શેષ $2$ વધે છે.
ઉદાહરણ: ધારો કે $n = 7$ ($7$ ને $4$ વડે ભાગતા શેષ $3$ મળે છે).
તો $2n = 14$.
$14$ ને $4$ વડે ભાગતા $14 = 4 \times 3 + 2$ મળે છે,તેથી શેષ $2$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $m^{2}-n^{2} = (m-n)(m+n)$.
આપેલ છે કે $(m-n)$ એક બેકી સંખ્યા છે,તેથી ધારો કે $(m-n) = 2k$,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
કારણ કે $(m+n) = (m-n) + 2n$,અને $(m-n)$ બેકી છે,તેથી $(m+n)$ પણ એક બેકી સંખ્યા જ હશે કારણ કે બે બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો હંમેશા બેકી હોય છે.
ધારો કે $(m+n) = 2j$,જ્યાં $j$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$(m^{2}-n^{2}) = (2k)(2j) = 4kj$.
આ દર્શાવે છે કે $(m^{2}-n^{2})$ હંમેશા $4$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) ધારો કે આઈસ્ક્રીમ,કૂકીઝ અને પેસ્ટ્રીની સંખ્યા અનુક્રમે $I$,$C$ અને $P$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $I \ge 9$,$C \ge 9$,અને $P \ge 9$.
વધુમાં,$I < C < P$ અને $I + C + P = 32$.
$I \ge 9$ હોવાથી,$I$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત $9$ છે.
જો $I = 9$ હોય,તો $9 < C < P$ અને $9 + C + P = 32$,જેનો અર્થ થાય છે કે $C + P = 23$.
$C < P$ હોવાથી,આપણે $C$ માટે $10$ થી શરૂ કરીને કિંમતો ચકાસીએ:
જો $C = 10$ હોય,તો $P = 23 - 10 = 13$. અહીં $9 < 10 < 13$ (શરત સંતોષાય છે).
જો $C = 11$ હોય,તો $P = 23 - 11 = 12$. અહીં $9 < 11 < 12$ (શરત સંતોષાય છે).
જો $C = 12$ હોય,તો $P = 23 - 12 = 11$. આ $C < P$ ની શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે.
જો $I = 10$ હોય,તો $10 < C < P$ અને $10 + C + P = 32$,જેનો અર્થ થાય છે કે $C + P = 22$.
$C < P$ હોવાથી,$C$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $11$ હોઈ શકે,તો $P = 11$ થાય,જે $C < P$ નો વિરોધાભાસ કરે છે.
આમ,$C$ માટે માત્ર શક્ય કિંમતો $10$ અથવા $11$ છે.

(A) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક બેકી સંખ્યાઓ $2x, 2x+2$ અને $2x+4$ છે.
તેથી,$(2x)(2x+2)(2x+4) = 4032$ $...(1)$
આપેલ છે કે પ્રથમ અને ત્રીજી સંખ્યાનો ગુણાકાર $252$ છે,તેથી:
$(2x)(2x+4) = 252$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(2x+2) \times 252 = 4032$
$2x+2 = \frac{4032}{252} = 16$
$2x = 16 - 2 = 14$
આમ,બીજી સંખ્યા $2x+2 = 16$ છે.
બીજી સંખ્યાના પાંચ ગણા $5 \times 16 = 80$ થાય.

(D) જ્યારે $2^{23}$ ને $10$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે $2^{23}$ નો એકમનો અંક શોધવો પડે.
$2$ ની ઘાતોના એકમના અંકોની પેટર્ન તપાસો:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$ (એકમનો અંક $6$ છે)
$2^5 = 32$ (એકમનો અંક $2$ છે)
એકમના અંકો $4$ ના ચક્રમાં પુનરાવર્તિત થાય છે: $(2, 4, 8, 6)$.
ઘાતાંક $23$ ને ચક્રની લંબાઈ $4$ વડે ભાગતા: $23 = 4 \times 5 + 3$.
શેષ $3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2^{23}$ નો એકમનો અંક $2^3$ ના એકમના અંક જેવો જ હશે.
$2^3 = 8$ હોવાથી,$2^{23}$ નો એકમનો અંક $8$ છે.
કોઈપણ સંખ્યાને $10$ વડે ભાગતા,શેષ તેના એકમના અંક જેટલી જ હોય છે.
તેથી,$2^{23}$ ને $10$ વડે ભાગતા મળતી શેષ $8$ છે.

(D) $(4387)^{245} \times (621)^{72}$ નો એકમનો અંક શોધવા માટે,આપણે પાયાના એકમના અંકો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ છીએ.
$1$. $(4387)^{245}$ માટે,એકમનો અંક $7^{245}$ જેવો જ છે. $7$ ની ઘાત $4$ ના ચક્રમાં પુનરાવર્તિત થાય છે: $7^1 = 7$,$7^2 = 9$,$7^3 = 3$,$7^4 = 1$.
$2$. ઘાતાંક $245$ ને $4$ વડે ભાગતા: $245 = 4 \times 61 + 1$. શેષ $1$ વધે છે. તેથી,$(4387)^{245}$ નો એકમનો અંક $7^1 = 7$ છે.
$3$. $(621)^{72}$ માટે,$1$ માં અંત પામતી કોઈપણ સંખ્યાની ઘાતનો એકમનો અંક હંમેશા $1$ જ હોય છે. તેથી,$(621)^{72}$ નો એકમનો અંક $1$ છે.
$4$. ગુણાકારનો એકમનો અંક એ એકમના અંકોનો ગુણાકાર છે: $7 \times 1 = 7$.

(D) ધારો કે $a$ અને $b$ બે એકી સંખ્યાઓ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો હંમેશા બેકી સંખ્યા હોય છે.
તેથી,$a+b$ એ બેકી સંખ્યા છે.
વળી,બે એકી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હંમેશા એકી સંખ્યા હોય છે,તેથી $ab$ એ એકી સંખ્યા છે.
હવે,વિકલ્પ $D$ તપાસીએ: $a+b+2ab$.
અહીં $a+b$ બેકી છે અને $2ab$ પણ બેકી છે (કારણ કે કોઈપણ સંખ્યાને $2$ વડે ગુણતા તે બેકી બને છે),અને બે બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો હંમેશા બેકી સંખ્યા જ હોય છે.
તેથી,$a+b+2ab$ એ બેકી સંખ્યા છે.

(C) આપણે $2^{16}-1$ ને વર્ગોના તફાવત તરીકે લખી શકીએ:
$2^{16}-1 = (2^8)^2 - 1^2$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(2^8 - 1)(2^8 + 1)$
કારણ કે $2^8 = 256$,તેથી:
$(256 - 1)(256 + 1) = 255 \times 257$
હવે,આપણે આપેલા વિકલ્પો વડે વિભાજ્યતા તપાસીએ:
$255 = 15 \times 17$
આમ,$255$ એ $2^{16}-1$ નો અવયવ હોવાથી,આ પદ $17$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $x + y = 24$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $xy = 143$ છે.
આપણે તેમના વર્ગોનો સરવાળો શોધવાનો છે,જે $x^2 + y^2$ છે.
બીજગણિતના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.
આ નિત્યસમને $x^2 + y^2$ માટે ગોઠવતા: $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $x^2 + y^2 = (24)^2 - 2(143)$.
વર્ગ અને ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $x^2 + y^2 = 576 - 286$.
તેથી,$x^2 + y^2 = 290$.

(D) $124$ નો એકમનો અંક $4$ છે. આપણે $4^{372} + 4^{373}$ નો એકમનો અંક શોધવાની જરૂર છે.
$4$ ની ઘાતની પેટર્ન તપાસો:
$4^1 = 4$ (એકમનો અંક $4$)
$4^2 = 16$ (એકમનો અંક $6$)
$4^3 = 64$ (એકમનો અંક $4$)
$4^4 = 256$ (એકમનો અંક $6$)
જો ઘાત એકી સંખ્યા હોય,તો એકમનો અંક $4$ મળે છે. જો ઘાત બેકી સંખ્યા હોય,તો એકમનો અંક $6$ મળે છે.
$(124)^{372}$ માટે,ઘાત $372$ બેકી છે,તેથી એકમનો અંક $6$ છે.
$(124)^{373}$ માટે,ઘાત $373$ એકી છે,તેથી એકમનો અંક $4$ છે.
એકમના અંકોનો સરવાળો $6 + 4 = 10$ થાય છે.
તેથી,સરવાળાનો એકમનો અંક $0$ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યાઓનો સરવાળો $(x + y)$ છે.
સરવાળાને દરેક સંખ્યા સાથે અલગ-અલગ ગુણતા:
$x(x + y) = 247$ $...(1)$
$y(x + y) = 114$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$x(x + y) + y(x + y) = 247 + 114$
$(x + y)(x + y) = 361$
$(x + y)^2 = 361$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x + y = \sqrt{361} = 19$
આમ,સંખ્યાઓનો સરવાળો $19$ છે.

(A) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યાનો સાતમો ભાગ તેના અગિયારમા ભાગ કરતા $100$ વધારે છે.
$\Rightarrow \frac{1}{7}x - \frac{1}{11}x = 100$
$7$ અને $11$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $77$ લેતા:
$\Rightarrow \frac{11x - 7x}{77} = 100$
$\Rightarrow \frac{4x}{77} = 100$
$\Rightarrow 4x = 7700$
$\Rightarrow x = \frac{7700}{4}$
$\Rightarrow x = 1925$
આમ,માંગેલ સંખ્યા $1925$ છે.

(B) ધારો કે $x = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}$
આ પદાવલિ અનંત હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$x = \sqrt{6+x}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2 = 6+x$
દ્વિઘાત સમીકરણના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$x^2 - x - 6 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x-3)(x+2) = 0$
આથી $x = 3$ અથવા $x = -2$ મળે છે.
ધન સંખ્યાનું વર્ગમૂળ હંમેશા ધન હોવાથી,આપણે $x = -2$ ને અવગણીશું.
તેથી,$x = 3$.

(D) આપેલ છે કે ભાજક $= a$ અને ભાજ્ય $= b$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ભાજક એ ભાગફળ કરતા $4$ ગણો છે,તેથી ભાગફળ $= \frac{a}{4}$ થાય.
ભાજક એ શેષ કરતા બમણો છે,તેથી શેષ $= \frac{a}{2}$ થાય.
ભાગાકારના નિયમ મુજબ: $\text{ભાજ્ય} = (\text{ભાજક} \times \text{ભાગફળ}) + \text{શેષ}$.
કિંમતો મૂકતા: $b = (a \times \frac{a}{4}) + \frac{a}{2}$.
$b = \frac{a^2}{4} + \frac{a}{2} = \frac{a^2 + 2a}{4}$.
$4b = a^2 + 2a = a(a + 2)$.
તેથી,$\frac{a(a+2)}{b} = 4$.

(C) કોઈ સંખ્યા $11$ વડે ત્યારે જ વિભાજ્ય હોય જો તેના એકી સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો અને બેકી સ્થાન પરના અંકોના સરવાળાનો તફાવત $0$ અથવા $11$ નો ગુણક હોય.
સંખ્યા $738A6A$ માટે:
એકી સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો = $A + A + 3 = 2A + 3$.
બેકી સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો = $6 + 8 + 7 = 21$.
તફાવત = $(2A + 3) - 21 = 2A - 18$.
$11$ વડે વિભાજ્યતા માટે,$2A - 18 = 0$ લેતા,
$2A = 18$
$A = 9$.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $ab = 1575$ છે અને તેમનો ભાગાકાર $\frac{a}{b} = \frac{9}{7}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા: $(ab) \times (\frac{a}{b}) = 1575 \times \frac{9}{7}$.
આથી $a^2 = 225 \times 9 = 2025$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$a = \sqrt{2025} = 45$.
હવે,$a = 45$ ને ભાગાકારના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{45}{b} = \frac{9}{7}$.
$b$ માટે ઉકેલતા: $b = \frac{45 \times 7}{9} = 5 \times 7 = 35$.
તેથી,સંખ્યાઓનો સરવાળો $a + b = 45 + 35 = 80$ થાય છે.

(C) જ્યારે $(67^{67} + 67)$ ને $68$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે શેષના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે જ્યારે $(a - 1)^n$ ને $a$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $(-1)^n$ મળે છે,જ્યાં $a$ એ ભાજક છે.
અહીં,$a = 68$ અને $n = 67$ છે.
તેથી,$67^{67} = (68 - 1)^{67}$ થાય.
જ્યારે $(68 - 1)^{67}$ ને $68$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $(-1)^{67} = -1$ મળે છે.
હવે,આપણે બાકી રહેલા પદ $67$ ને આ શેષમાં ઉમેરીએ છીએ:
શેષ $= -1 + 67 = 66$.
શેષ હંમેશા ધન અને ભાજક કરતાં નાની હોવી જોઈએ,તેથી અંતિમ શેષ $66$ છે.

(C) ધારો કે આપેલી અભિવ્યક્તિ $E = 3011 \times 3012$ છે.
આપણે $3012$ ને $(3011 + 1)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$E = 3011 \times (3011 + 1) = (3011)^2 + 3011$.
આ અભિવ્યક્તિને પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે,આપણે તેમાંથી એવી સંખ્યા $x$ બાદ કરવી પડે જેથી $(3011)^2 + 3011 - x = k^2$ થાય,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
જો આપણે $3011$ બાદ કરીએ,તો આપણને $(3011)^2 + 3011 - 3011 = (3011)^2$ મળે,જે એક પૂર્ણ વર્ગ છે.
આમ,બાદ કરવાની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા $3011$ છે.

(D) નવ ક્રમિક એકી સંખ્યાઓની સરેરાશ $\frac{621}{9} = 69$ છે.
અહીં નવ સંખ્યાઓ હોવાથી,વચ્ચેની સંખ્યા ($5$મી સંખ્યા) $69$ છે.
ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ માટે,બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $2$ હોય છે. તેથી,ગણ $A$ ની સૌથી નાની સંખ્યા $69 - (4 \times 2) = 69 - 8 = 61$ થશે.
છ ક્રમિક બેકી સંખ્યાઓના નવા ગણની સૌથી નાની સંખ્યા $61 + 15 = 76$ છે.
આ છ ક્રમિક બેકી સંખ્યાઓ $76, 78, 80, 82, 84, 86$ છે.
આ સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=6, a=76, d=2$.
સરવાળો $= \frac{6}{2}[2(76) + (6-1)2] = 3[152 + 10] = 3[162] = 486$.

(D) ધારો કે બે ક્રમિક બેકી સંખ્યાઓ $x$ અને $x+2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમના વર્ગોનો સરવાળો $6500$ છે.
$x^{2} + (x+2)^{2} = 6500$
$x^{2} + x^{2} + 4x + 4 = 6500$
$2x^{2} + 4x - 6496 = 0$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x^{2} + 2x - 3248 = 0$
આ દ્વિઘાત સમીકરણને ઉકેલવા માટે,આપણે તેના અવયવો પાડીએ:
$x^{2} + 58x - 56x - 3248 = 0$
$x(x + 58) - 56(x + 58) = 0$
$(x + 58)(x - 56) = 0$
આનાથી $x = 56$ અથવા $x = -58$ મળે છે.
આપણે ધન બેકી સંખ્યાઓ શોધી રહ્યા હોવાથી,આપણે $x = 56$ લઈશું.
તેથી બે ક્રમિક બેકી સંખ્યાઓ $56$ અને $58$ છે.
નાની સંખ્યા $56$ છે.

(D) ધારો કે સેટ-$A$ ની પાંચ ક્રમિક બેકી સંખ્યાઓ $x, x+2, x+4, x+6,$ અને $x+8$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમનો સરવાળો $220$ છે:
$x + (x+2) + (x+4) + (x+6) + (x+8) = 220$
$5x + 20 = 220$
$5x = 200$
$x = 40$.
તેથી,સેટ-$A$ ની સૌથી નાની સંખ્યા $40$ છે.
હવે,પાંચ ક્રમિક સંખ્યાઓનો બીજો સેટ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે સૌથી નાની સંખ્યા $y$ છે. બીજી સૌથી નાની સંખ્યા $y+1$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બીજી સૌથી નાની સંખ્યા એ સેટ-$A$ ની સૌથી નાની સંખ્યાના બમણા કરતા $37$ ઓછી છે:
$y+1 = (2 \times 40) - 37$
$y+1 = 80 - 37 = 43$
$y = 42$.
તેથી પાંચ ક્રમિક સંખ્યાઓ $42, 43, 44, 45,$ અને $46$ છે.
તેમનો સરવાળો $42 + 43 + 44 + 45 + 46 = 220$ થાય છે.

(A) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે. ભાગાકારના નિયમ મુજબ,આપણે લખી શકીએ:
$x = 296k + 75$,જ્યાં $k$ એક પૂર્ણાંક છે.
આપણે $x$ ને $37$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવી છે.
આપણે $296$ ને $37 \times 8$ અને $75$ ને $(37 \times 2) + 1$ તરીકે લખી શકીએ.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = (37 \times 8)k + (37 \times 2) + 1$
$x = 37(8k + 2) + 1$
આ દર્શાવે છે કે $x$ એ $37m + 1$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $m = 8k + 2$.
તેથી,જ્યારે સંખ્યાને $37$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $1$ મળે છે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યાઓનો સરવાળો $a + b = 12$ છે અને સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $ab = 35$ છે.
આપણે તેમના વ્યસ્તનો સરવાળો શોધવાનો છે,જે $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ છે.
છેદ સમાન કરતા,આપણને $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{12}{35}$ મળે છે.

(C) $\sqrt{5}, \sqrt[3]{4}, \sqrt[5]{2}, \sqrt[7]{3}$ સંખ્યાઓની સરખામણી કરવા માટે,આપણે તેમને સમાન ઘાત (મૂળ) માં ફેરવીએ.
અહીં ઘાત $2, 3, 5, 7$ છે. આ ઘાતનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210$ છે.
હવે,દરેક સંખ્યાને $210$ માં મૂળમાં ફેરવો:
$1$. $\sqrt{5} = 5^{1/2} = 5^{105/210} = \sqrt[210]{5^{105}}$
$2$. $\sqrt[3]{4} = 4^{1/3} = 4^{70/210} = \sqrt[210]{4^{70}}$
$3$. $\sqrt[5]{2} = 2^{1/5} = 2^{42/210} = \sqrt[210]{2^{42}}$
$4$. $\sqrt[7]{3} = 3^{1/7} = 3^{30/210} = \sqrt[210]{3^{30}}$
આધારની સરખામણી કરતા: $5^{105}$ એ $5^{105}, 4^{70}, 2^{42}, 3^{30}$ માં સૌથી મોટી કિંમત છે.
તેથી,$\sqrt{5}$ એ સૌથી મોટી સંખ્યા છે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે તેમના તફાવત,સરવાળા અને ગુણાકારનો ગુણોત્તર $1: 7: 24$ છે.
ધારો કે સામાન્ય ગુણક $a$ છે. તેથી:
$x - y = 1a$
$x + y = 7a$
$xy = 24a$
પ્રથમ બે સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x - y) + (x + y) = 1a + 7a \Rightarrow 2x = 8a \Rightarrow x = 4a$.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા: $(x + y) - (x - y) = 7a - 1a \Rightarrow 2y = 6a \Rightarrow y = 3a$.
હવે,$x$ અને $y$ ની કિંમત ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$xy = (4a)(3a) = 12a^2$.
કારણ કે $xy = 24a$,તેથી $12a^2 = 24a$.
$12a$ વડે ભાગતા ($a \neq 0$ ધારીને),આપણને $a = 2$ મળે છે.
તેથી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $xy = 24a = 24 \times 2 = 48$ થાય.

(D) ધારો કે ગણ $A$ ની પાંચ ક્રમિક બેકી સંખ્યાઓ $x, x+2, x+4, x+6, x+8$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમનો સરવાળો $220$ છે:
$x + (x+2) + (x+4) + (x+6) + (x+8) = 220$
$5x + 20 = 220$
$5x = 200$
$x = 40$.
ગણ $A$ ની સૌથી નાની સંખ્યા $40$ છે.
ધારો કે નવા ગણ $B$ ની બીજી સૌથી નાની સંખ્યા $y$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,$y = (2 \times 40) - 37 = 80 - 37 = 43$.
ગણ $B$ માં પાંચ ક્રમિક સંખ્યાઓ છે,તેથી જો બીજી સૌથી નાની સંખ્યા $43$ હોય,તો તે સંખ્યાઓ $42, 43, 44, 45, 46$ થશે.
આ સંખ્યાઓનો સરવાળો $42 + 43 + 44 + 45 + 46 = 220$ થાય છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા $f$ છે અને બીજી સંખ્યા $s$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આપણી પાસે નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણો છે:
$2f + 3s = 100$ $...(1)$
$3f + 2s = 120$ $...(2)$
આ સમીકરણો ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણો:
$4f + 6s = 200$ $...(3)$
$9f + 6s = 360$ $...(4)$
સમીકરણ $(4)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$(9f - 4f) + (6s - 6s) = 360 - 200$
$5f = 160$
$f = 32$
હવે,$f = 32$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2(32) + 3s = 100$
$64 + 3s = 100$
$3s = 36$
$s = 12$
આમ,બે સંખ્યાઓ $32$ અને $12$ છે. આ બંનેની સરખામણી કરતા,મોટી સંખ્યા $32$ છે.