Measurement of Volume and Surface Area Questions in Gujarati

(B) ધારો કે અર્ધગોલકના પાયાની ત્રિજ્યા $r$ એકમ છે. પાયા સમાન હોવાથી,શંકુની ત્રિજ્યા પણ $r$ એકમ થશે.
આપેલ છે કે ઊંચાઈ સમાન છે,તેથી શંકુની ઊંચાઈ $h = r$ (કારણ કે અર્ધગોલકની ઊંચાઈ તેની ત્રિજ્યા જેટલી હોય છે).
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}$ થાય.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2\pi r^2$ છે.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\pi rl = \pi r(r\sqrt{2}) = \pi r^2\sqrt{2}$ છે.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટી અને શંકુની વક્ર સપાટીનો ગુણોત્તર $2\pi r^2 : \pi r^2\sqrt{2} = 2 : \sqrt{2}$ થાય.

(C) ધારો કે સામાન્ય ઊંચાઈ $h$ છે. અર્ધગોલક માટે,ઊંચાઈ તેની ત્રિજ્યા જેટલી હોય છે,તેથી $h = r_3$. આપેલ છે કે શંકુ,નળાકાર અને અર્ધગોલકની ઊંચાઈ સમાન છે,તેથી $h = h_{cone} = h_{cylinder} = r_{hemisphere}$.
ધારો કે ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 2x$,$r_2 = 3x$,અને $r_3 = 1x = x$ છે. અર્ધગોલકની ઊંચાઈ તેની ત્રિજ્યા હોવાથી,$h = x$.
શંકુનું ઘનફળ $V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h = \frac{1}{3} \pi (2x)^2 (x) = \frac{4}{3} \pi x^3$.
નળાકારનું ઘનફળ $V_2 = \pi r_2^2 h = \pi (3x)^2 (x) = 9 \pi x^3$.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ $V_3 = \frac{2}{3} \pi r_3^3 = \frac{2}{3} \pi (x)^3 = \frac{2}{3} \pi x^3$.
ગુણોત્તર $V_1 : V_2 : V_3 = \frac{4}{3} \pi x^3 : 9 \pi x^3 : \frac{2}{3} \pi x^3$.
$\frac{3}{\pi x^3}$ વડે ગુણતા,આપણને $4 : 27 : 2$ મળે છે.

(C) ચોરસ પાયાનું ક્ષેત્રફળ તેના વિકર્ણ $d$ નો ઉપયોગ કરીને આ રીતે ગણી શકાય: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d^2$.
અહીં $d = 24 \sqrt{2} \text{ m}$ આપેલ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times (24 \sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times 576 \times 2 = 576 \text{ m}^2$ થાય.
પિરામિડના ઘનફળ $V$ નું સૂત્ર છે: $V = \frac{1}{3} \times \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઊંચાઈ} (h)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1728 = \frac{1}{3} \times 576 \times h$.
$1728 = 192 \times h$.
$h = \frac{1728}{192} = 9 \text{ m}$.

(B) ધારો કે મૂળ શંકુની ઊંચાઈ $H = 9 \, cm$ અને તેના પાયાની ત્રિજ્યા $R = 3 \, cm$ છે.
ધારો કે છિન્નકની ઉપરની વર્તુળાકાર સપાટીની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ઉપરથી કાપેલા નાના શંકુની ઊંચાઈ $h'$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈનો ગુણોત્તર અચળ રહે છે: $\frac{r}{h'} = \frac{R}{H} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$,તેથી $h' = 3r$.
મૂળ શંકુનું ઘનફળ $V_{total} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3^2 \times 9 = \frac{22 \times 27}{7} = \frac{594}{7} \, cm^3$.
ઉપરના નાના શંકુનું ઘનફળ $V_{small} = \frac{1}{3} \pi r^2 h' = \frac{1}{3} \pi r^2 (3r) = \pi r^3$.
શંકુના છિન્નકનું ઘનફળ $V_{frustum} = V_{total} - V_{small} = 44 \, cm^3$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{594}{7} - \frac{22}{7} r^3 = 44$.
$7$ વડે ગુણતા: $594 - 22r^3 = 308$.
$22r^3 = 594 - 308 = 286$.
$r^3 = \frac{286}{22} = 13$.
તેથી,$r = \sqrt[3]{13} \, cm$.

(A) ધારો કે બે નળાકારોની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે,અને તેમની ઊંચાઈઓ અનુક્રમે $h_1$ અને $h_2$ છે.
આપેલ છે કે,ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2 = 2 : 3$ અને ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર $h_1 : h_2 = 5 : 4$ છે.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $CSA = 2 \pi r h$ છે.
બે નળાકારોની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{CSA_1}{CSA_2} = \frac{2 \pi r_1 h_1}{2 \pi r_2 h_2}$ થાય.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{CSA_1}{CSA_2} = \frac{r_1}{r_2} \times \frac{h_1}{h_2}$ મળે છે.
આપેલ ગુણોત્તરની કિંમતો મૂકતા: $\frac{CSA_1}{CSA_2} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
આમ,તેમની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $5:6$ છે.

(C) ધારો કે નળાકારની ઊંચાઈ $h \, cm$ અને પાયાની ત્રિજ્યા $r \, cm$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ પૃષ્ઠફળ $2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 462 \, cm^2 \dots (1)$ છે.
વક્ર પૃષ્ઠફળ એ કુલ પૃષ્ઠફળના $\frac{1}{3}$ ભાગનું છે:
વક્ર પૃષ્ઠફળ $= 2 \pi r h = \frac{1}{3} \times 462 = 154 \, cm^2$.
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2 \pi r^2 + 154 = 462$
$2 \pi r^2 = 462 - 154 = 308$
$2 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 308$
$r^2 = \frac{308 \times 7}{44} = 49$
$r = 7 \, cm$.
હવે,$2 \pi r h = 154$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times h = 154$
$44 \times h = 154$
$h = \frac{154}{44} = 3.5 \, cm$ (અથવા $\frac{7}{2} \, cm$).
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 3.5 = 539 \, cm^3$ થાય.

(D) ધારો કે ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2 \pi rh$ છે.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\pi rl$ છે,જ્યાં $l = \sqrt{h^2 + r^2}$.
આપેલ છે કે તેમની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $8:5$ છે:
$\frac{2 \pi rh}{\pi r \sqrt{h^2 + r^2}} = \frac{8}{5}$
$\frac{2h}{\sqrt{h^2 + r^2}} = \frac{8}{5}$
$\frac{h}{\sqrt{h^2 + r^2}} = \frac{4}{5}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{h^2}{h^2 + r^2} = \frac{16}{25}$
$25h^2 = 16h^2 + 16r^2$
$9h^2 = 16r^2$
$\frac{r^2}{h^2} = \frac{9}{16}$
$\frac{r}{h} = \frac{3}{4}$
આમ,તેમની ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $3:4$ છે.

(D) ધારો કે પાયાની ત્રિજ્યા $r$ એકમ છે અને શંકુની ઊંચાઈ $h$ એકમ છે.
અર્ધગોળાકાર ભાગની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2 \pi r^2$ છે.
શંકુ આકારના ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\pi r l$ છે,જ્યાં $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ એ તિર્યક ઊંચાઈ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બંને ભાગોની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે:
$2 \pi r^2 = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$
બંને બાજુને $\pi r$ વડે ભાગતા ($r \neq 0$ ધારીને):
$2r = \sqrt{r^2 + h^2}$
બંને બાજુનો વર્ગ કરતા:
$4r^2 = r^2 + h^2$
$3r^2 = h^2$
બંને બાજુનું વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{3}r = h$
તેથી,ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{r}{h} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,એટલે કે $1: \sqrt{3}$ થાય.

(D) સમબાજુ ત્રિકોણના પાયાનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{side}^2$ છે.
આપેલ બાજુ $6 \, cm$ ની કિંમત મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9 \sqrt{3} \, cm^2$.
લંબ પ્રિઝમનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Volume} = \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઊંચાઈ}$.
આપેલ ઘનફળ $108 \sqrt{3} \, cm^3$ હોવાથી:
$108 \sqrt{3} = 9 \sqrt{3} \times h$.
બંને બાજુ $9 \sqrt{3}$ વડે ભાગતા:
$h = \frac{108 \sqrt{3}}{9 \sqrt{3}} = 12 \, cm$.

(A) ધારો કે જરૂરી સિક્કાઓની સંખ્યા $x$ છે.
દરેક સિક્કાનું ઘનફળ (જે નળાકાર છે) $V = \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
દરેક સિક્કા માટે,$r = 0.75\, cm$ અને $h = 0.2\, cm$.
$x$ સિક્કાઓનું કુલ ઘનફળ $= x \times \pi \times (0.75)^2 \times 0.2$.
નવા નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi R^2 H$ છે.
અહીં,$R = 3\, cm$ અને $H = 8\, cm$.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi \times (3)^2 \times 8 = \pi \times 9 \times 8 = 72\pi\, cm^3$.
બંને ઘનફળને સરખાવતા:
$x \times \pi \times (0.75)^2 \times 0.2 = 72\pi$
$x \times (0.5625) \times 0.2 = 72$
$x \times 0.1125 = 72$
$x = \frac{72}{0.1125}$
$x = \frac{720000}{1125} = 640$.
આમ,જરૂરી સિક્કાઓની સંખ્યા $640$ છે.

(D) ધારો કે મૂળ ગોળાની ત્રિજ્યા $r \, m$ છે.
નવી ત્રિજ્યા $(r + 2) \, m$ થશે.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થયેલો વધારો $704 \, m^2$ છે:
$4 \pi (r + 2)^2 - 4 \pi r^2 = 704$
બંને બાજુ $4 \pi$ વડે ભાગતા:
$(r + 2)^2 - r^2 = \frac{704}{4 \pi}$
$(r^2 + 4r + 4) - r^2 = \frac{176}{\pi}$
$4r + 4 = \frac{176}{22/7}$
$4(r + 1) = \frac{176 \times 7}{22}$
$4(r + 1) = 8 \times 7$
$4(r + 1) = 56$
$r + 1 = 14$
$r = 13 \, m$.

(C) એક લંબવૃત્તીય નળાકાર એક અર્ધગોલકને એવી રીતે પરિબદ્ધ કરે છે કે જેથી તેમના પાયા સમાન હોય.
ધારો કે અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $r$ છે.
નળાકાર અર્ધગોલકને પરિબદ્ધ કરતું હોવાથી,નળાકારની ત્રિજ્યા પણ $r$ થશે અને નળાકારની ઊંચાઈ અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા જેટલી એટલે કે $r$ થશે.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ $= \frac{2}{3} \pi r^3$.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \pi r^2 (r) = \pi r^3$.
અર્ધગોલકના ઘનફળ અને નળાકારના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{\frac{2}{3} \pi r^3}{\pi r^3} = \frac{2}{3}$ થાય.
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(C) ગોળાનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ત્રણેય ગોળાકાર દડાઓનું કુલ ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi (1^3 + 2^3 + 3^3) = \frac{4}{3} \pi (1 + 8 + 27) = \frac{4}{3} \pi (36) \, cm^3$.
આપેલ છે કે ઓગાળવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન $25\%$ પદાર્થનો વ્યય થાય છે.
બાકી રહેલ ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi (36) \times (1 - 0.25) = \frac{4}{3} \pi (36) \times 0.75 = \frac{4}{3} \pi (36) \times \frac{3}{4} = \frac{4}{3} \pi (27) \, cm^3$.
ધારો કે નવા ગોળાકાર દડાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
તેથી,$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (27)$.
$R^3 = 27$.
$R = 3 \, cm$.

(B) સમઘનના વિકર્ણની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $d = a\sqrt{3}$ છે, જ્યાં $a$ એ સમઘનની બાજુની લંબાઈ છે।
અહીં આપેલ છે કે વિકર્ણ $d = 6 \text{ cm}$.
તેથી, $a\sqrt{3} = 6 \text{ cm}$.
$a$ ની કિંમત શોધતા, $a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ cm}$.
સમઘનનું ઘનફળ $V$ શોધવાનું સૂત્ર $V = a^3$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા, $V = (2\sqrt{3})^3 = 2^3 \times (\sqrt{3})^3 = 8 \times 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \text{ cm}^3$.

(C) જ્યારે $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાને $4$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા બે લંબ સમતલો દ્વારા કાપીને),ત્યારે દરેક ભાગ એક ગોળાકાર ફાચર (spherical wedge) બને છે.
$1$. મૂળ ગોળાનું વક્ર પૃષ્ઠફળ $4 \pi r^{2}$ છે. ગોળાને $4$ સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવતા,દરેક ભાગનું વક્ર પૃષ્ઠફળ $\frac{1}{4} \times 4 \pi r^{2} = \pi r^{2}$ થાય.
$2$. તમામ $4$ ભાગોનું કુલ વક્ર પૃષ્ઠફળ $4 \times \pi r^{2} = 4 \pi r^{2}$ થાય.
$3$. દરેક $4$ ભાગમાં કાપ દ્વારા બનાવેલી બે સપાટ અર્ધવર્તુળાકાર સપાટીઓ હોય છે. કુલ $4$ ભાગો હોવાથી,કુલ $4 \times 2 = 8$ અર્ધવર્તુળાકાર સપાટીઓ મળે.
$4$. એક અર્ધવર્તુળાકાર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \pi r^{2}$ છે.
$5$. આ $8$ સપાટ સપાટીઓનું કુલ ક્ષેત્રફળ $8 \times \frac{1}{2} \pi r^{2} = 4 \pi r^{2}$ થાય.
$6$. $4$ ભાગોનું કુલ પૃષ્ઠફળ એ કુલ વક્ર પૃષ્ઠફળ અને કુલ સપાટ પૃષ્ઠફળનો સરવાળો છે:
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 4 \pi r^{2} + 4 \pi r^{2} = 8 \pi r^{2}$ ચોરસ એકમ.