Mix Example - WORK AND ENERGY Questions in Hindi

(A) माना कि दो वस्तुओं का द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ है,जहाँ $m_2 > m_1$ है। माना कि उनका समान संवेग $p$ है।
गतिज ऊर्जा $K$,संवेग $p$ और द्रव्यमान $m$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है।
पहली वस्तु (हल्की) के लिए,$K_1 = \frac{p^2}{2m_1}$।
दूसरी वस्तु (भारी) के लिए,$K_2 = \frac{p^2}{2m_2}$।
उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{p^2 / 2m_1}{p^2 / 2m_2} = \frac{m_2}{m_1}$ है।
चूंकि $m_2 > m_1$,इसलिए $\frac{m_2}{m_1} > 1$ होगा,जिसका अर्थ है कि $K_1 > K_2$।
अतः,हल्की वस्तु की गतिज ऊर्जा अधिक होती है।

(N/A) स्थितिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जो किसी वस्तु में उसकी स्थिति या विन्यास के कारण संचित होती है। जमीन से $h$ ऊँचाई पर स्थित किसी वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा को उस कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है जो उसे जमीन से उस बिंदु तक गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध उठाने में किया जाता है।
$m$ द्रव्यमान की वस्तु को $h$ ऊँचाई तक उठाने में किया गया कार्य $W$ इस प्रकार है:
$W = \text{बल} \times \text{विस्थापन} = (m \times g) \times h = mgh$
अतः, स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh$ होती है।
$(b)$ दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 10 \, kg$
ऊँचाई $h = 6 \, m$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m s^{-2}$
स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh = 10 \times 9.8 \times 6 = 588 \, J$.

(112.5 W) शक्ति को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
लड़के का द्रव्यमान $(m)$ = $45 \, kg$
सीढ़ियों की संख्या $(n)$ = $20$
प्रत्येक सीढ़ी की ऊँचाई = $25 \, cm = 0.25 \, m$
कुल ऊँचाई $(h)$ = $20 \times 0.25 \, m = 5 \, m$
लिया गया समय $(t)$ = $20 \, s$
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ = $10 \, m s^{-2}$
किया गया कार्य $(W)$ = प्राप्त स्थितिज ऊर्जा = $mgh$
$W = 45 \times 10 \times 5 = 2250 \, J$
शक्ति $(P)$ = $\frac{\text{कार्य}}{\text{समय}} = \frac{W}{t}$
$P = \frac{2250}{20} = 112.5 \, W$
अतः,लड़के की शक्ति $112.5 \, W$ है।

(N/A) किसी उपकरण की शक्ति $1 \ W$ तब कहलाती है जब वह $1$ सेकंड में $1$ जूल ऊर्जा का उपभोग करता है।
$(b)$ दिया गया है:
ऊर्जा $(E) = 1000 \ J$
समय $(t) = 10 \ s$
शक्ति $(P) = E / t$
$P = 1000 \ J / 10 \ s = 100 \ W$
अतः,लैंप की शक्ति $100 \ W$ है।

(N/A) नहीं,वस्तु की कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है। जैसे-जैसे वस्तु नीचे गिरती है,जमीन से उसकी ऊँचाई कम होती जाती है,इसलिए उसकी स्थितिज ऊर्जा घटती है। साथ ही,उसका वेग और गतिज ऊर्जा बढ़ती है। स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी,गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बिल्कुल बराबर होती है। इस प्रकार,किसी भी समय पर स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग (यांत्रिक ऊर्जा) स्थिर रहता है।
$(b)$
$(i)$ स्थितिज ऊर्जा प्रारंभिक ऊँचाई $h$ पर अधिकतम होती है,जहाँ वस्तु स्थिर होती है।
$(ii)$ गतिज ऊर्जा जमीन के स्तर पर अधिकतम होती है,वस्तु के सतह से टकराने से ठीक पहले,क्योंकि इस बिंदु पर वेग सबसे अधिक होता है।

(N/A) लड़के द्वारा लगाए गए बल द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है क्योंकि गेंद का विस्थापन लगाए गए बल की दिशा में ही होता है।
$(b)$ गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण बल नीचे की ओर कार्य करता है जबकि गेंद का विस्थापन ऊपर की ओर होता है,जिसका अर्थ है कि बल और विस्थापन एक-दूसरे की विपरीत दिशा में हैं।

(N/A) बक्से को उठाने के लिए लगाया गया बल उसके भार के बराबर होता है,$F = mg = 250 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 2500 \,N$। विस्थापन $S = 1 \,m$ है। किया गया कार्य $W = F \times S = 2500 \,N \times 1 \,m = 2500 \,J$ है।
$(b)$ जब बक्से को पकड़े रखा जाता है,तो कोई विस्थापन नहीं होता है $(S = 0)$। अतः,किया गया कार्य $W = F \times 0 = 0 \,J$ है।
$(c)$ वे थक जाते हैं क्योंकि बक्से पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का विरोध करने के लिए निरंतर मांसपेशियों के प्रयास की आवश्यकता होती है,भले ही कोई यांत्रिक कार्य न हो रहा हो।

(N/A) हाँ,यह तब संभव है जब कोई पिंड $v$ की स्थिर चाल से वृत्ताकार पथ पर गति कर रहा हो। पिंड वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर अभिकेंद्र त्वरण का अनुभव करता है। विस्थापन हमेशा वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय होता है,जिसका अर्थ है कि बल और विस्थापन के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है। अतः,किया गया कार्य:
$W = F S \cos 90^{\circ} = 0$.
$(b)$ हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा $K$ और रैखिक संवेग $p$ के बीच का संबंध $p = \sqrt{2 m K}$ है।
समान गतिज ऊर्जा $K$ वाले दो पिंडों के लिए:
$p_{1} = \sqrt{2 m_{1} K}$
$p_{2} = \sqrt{2 m_{2} K}$
अतः,उनके रैखिक संवेग का अनुपात:
$\frac{p_{1}}{p_{2}} = \sqrt{\frac{2 m_{1} K}{2 m_{2} K}} = \sqrt{\frac{m_{1}}{m_{2}}}$.

(N/A) शक्ति को कार्य करने की दर या ऊर्जा उपभोग की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक वाट उस एजेंट की शक्ति है जो $1\, s$ में $1\, J$ कार्य करता है।
दिया गया है:
उपभोग की गई ऊर्जा $(W)$ = $1000\, J$
लिया गया समय $(t)$ = $10\, s$
सूत्र:
$P = \frac{W}{t}$
गणना:
$P = \frac{1000\, J}{10\, s} = 100\, W$
अतः,लैंप की शक्ति $100\, W$ है।

(N/A) आकाश में उड़ते हुए पक्षी में पृथ्वी की सतह के सापेक्ष ऊंचाई होने के कारण स्थितिज ऊर्जा होती है।
वह जिस वेग से हवा में उड़ रहा है,उसके कारण उसमें गतिज ऊर्जा भी होती है।
स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का व्यंजक: $PE = mgh$,जहाँ $m$ पक्षी का द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ जमीन से उसकी ऊंचाई है।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ का व्यंजक: $KE = \frac{1}{2}mv^2$,जहाँ $m$ पक्षी का द्रव्यमान है और $v$ उसका वेग है।

(N/A) जब धनुष को खींचा जाता है,तो उसमें प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा संचित हो जाती है। जब तीर को छोड़ा जाता है,तो धनुष में संचित यह स्थितिज ऊर्जा तीर की गतिज ऊर्जा में रूपांतरित हो जाती है,जिससे वह आगे बढ़ता है।
$(b)$ दिया गया है:
द्रव्यमान $(m) = 50 \, kg$
ऊँचाई $(h) = 100 \, m$
गुरुत्वीय त्वरण $(g) = 10 \, m/s^2$
स्थितिज ऊर्जा $(PE) = m \times g \times h$
$PE = 50 \times 10 \times 100$
$PE = 50,000 \, J$ या $50 \, kJ$.

(N/A) ऊर्जा की व्यावसायिक इकाई किलोवाट-घंटा $(kWh)$ है।
$1 \,kWh = 1 \,kW \times 1 \,h = 1000 \,W \times 3600 \,s = 3.6 \times 10^6 \,J$.
$(b)$ दिया गया है: शक्ति $(P) = 60 \,W = 0.06 \,kW$,समय $(t) = 10 \,h$.
खपत की गई ऊर्जा $(E) = P \times t = 0.06 \,kW \times 10 \,h = 0.6 \,kWh$.
चूंकि $1 \,kWh = 1 \text{ यूनिट}$,इसलिए बल्ब एक दिन में $0.6 \text{ यूनिट}$ विद्युत ऊर्जा की खपत करता है।

(N/A) कार्य करने की दर को शक्ति कहते हैं। इसका $SI$ मात्रक वाट $(W)$ है।
$(b)$ किसी वस्तु पर लगाए गए बल और बल की दिशा में हुए विस्थापन के गुणनफल को कार्य कहते हैं। इसका $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है।
$(c)$ किसी वस्तु में उसकी गति के कारण निहित ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहते हैं। इसका $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है।

(N/A) शक्ति को कार्य करने की दर या ऊर्जा खपत की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
विद्युत ऊर्जा की व्यावसायिक इकाई $kWh$ (किलोवाट-घंटा) है और $SI$ इकाई जूल $(J)$ है।
दिया गया है:
शक्ति $(P)$ = $1.5 \, kW$
समय $(t)$ = $2$ घंटे
खपत की गई विद्युत ऊर्जा $(E)$ = $P \times t$
$E = 1.5 \, kW \times 2 \, \text{h} = 3 \, kWh$.
अतः, एक दिन में खपत की गई विद्युत ऊर्जा $3$ यूनिट है (क्योंकि $1 \, kWh = 1$ यूनिट)।

(2:3) किसी वस्तु में उसकी गति के कारण निहित ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहते हैं।
$(b)$ दिया गया है कि द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3}$ है और वेग $v_1 = v_2 = 108 \, km/h$ है।
गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ होता है।
चूंकि वेग दोनों के लिए समान है,इसलिए गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{KE_1}{KE_2} = \frac{\frac{1}{2}m_1v^2}{\frac{1}{2}m_2v^2} = \frac{m_1}{m_2}$ होगा।
अतः,उनकी गतिज ऊर्जा का अनुपात $2:3$ है।

(100 W) कार्य: किसी नियत बल द्वारा किया गया कार्य,बल की दिशा में विस्थापन और विस्थापन के परिमाण का गुणनफल होता है। इसका $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है।
ऊर्जा: किसी वस्तु की कार्य करने की क्षमता को ऊर्जा कहते हैं। इसका $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है।
शक्ति: कार्य करने की दर को शक्ति कहते हैं। इसका $SI$ मात्रक वाट $(W)$ है।
दिया है: द्रव्यमान $m = 80 \, kg$,पायदानों की संख्या $= 30$,प्रत्येक पायदान की ऊँचाई $= 12.5 \, cm = 0.125 \, m$,समय $t = 30 \, s$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m \, s^{-2}$।
कुल ऊँचाई $h = 30 \times 0.125 \, m = 3.75 \, m$।
किया गया कार्य $W = mgh = 80 \times 10 \times 3.75 = 3000 \, J$।
शक्ति $P = W / t = 3000 / 30 = 100 \, W$।

(N/A) गतिज ऊर्जा: किसी वस्तु में उसकी गति के कारण निहित ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहते हैं।
स्थितिज ऊर्जा: किसी वस्तु में उसकी स्थिति या विन्यास के कारण निहित ऊर्जा को स्थितिज ऊर्जा कहते हैं।
गतिज ऊर्जा का व्यंजक $KE = \frac{1}{2} mv^2$ है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m)$ = $10 \, kg$
वेग $(v)$ = $10 \, m s^{-1}$
गणना:
$KE = \frac{1}{2} \times 10 \times (10)^2$
$KE = 5 \times 100$
$KE = 500 \, J$
पत्थर की गतिज ऊर्जा $500 \, J$ है।

(D) $(i)$ मान लीजिए $m$ द्रव्यमान की एक वस्तु घर्षणहीन सतह पर प्रारंभ में विराम अवस्था में है,अर्थात $u = 0$। मान लीजिए वस्तु पर एक नियत बल $F$ कार्य करता है,जिससे $a$ त्वरण उत्पन्न होता है। $S$ विस्थापन के बाद,वस्तु $v$ वेग प्राप्त कर लेती है। गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2aS$ का उपयोग करने पर,हमें $a = v^2 / (2S)$ प्राप्त होता है।
बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \times S$ है। चूँकि $F = ma$,इसलिए $W = (ma) \times S = m \times (v^2 / 2S) \times S = 1/2 mv^2$।
यह किया गया कार्य गतिज ऊर्जा $(KE)$ के रूप में संचित होता है। अतः,$KE = 1/2 mv^2$। गतिज ऊर्जा का $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है।
$(ii)$ दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \, kg$,वेग $v = 5 \, m s^{-1}$।
$KE = 1/2 mv^2 = 1/2 \times 10 \times (5)^2 = 5 \times 25 = 125 \, J$.

(N/A) शामिल ऊर्जा के दो रूप गतिज ऊर्जा $(KE)$ और स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ हैं।
$(b)$ आरेख में,बिंदु $A$ चरम स्थिति को दर्शाता है जहाँ $PE$ अधिकतम है और $KE$ शून्य है। बिंदु $B$ माध्य स्थिति को दर्शाता है जहाँ $KE$ अधिकतम है और $PE$ शून्य है।
$(c)$ जैसे-जैसे लोलक माध्य स्थिति $(B)$ से चरम स्थिति $(A)$ की ओर जाता है,$KE$ का $PE$ में रूपांतरण होता है,इसलिए $KE$ घटती है और $PE$ बढ़ती है। इसके विपरीत,जब यह चरम स्थिति $(A)$ से माध्य स्थिति $(B)$ की ओर आता है,तो $PE$ का $KE$ में रूपांतरण होता है,इसलिए $PE$ घटती है और $KE$ बढ़ती है।
$(d)$ इसमें शामिल नियम ऊर्जा संरक्षण का नियम है। यह नियम बताता है कि ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है,इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। एक विलगित निकाय में,कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।

(A) ऊर्जा संरक्षण का नियम: यह बताता है कि ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है; इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। एक विलगित निकाय (isolated system) में कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।
उदाहरण: किसी वस्तु के मुक्त पतन के दौरान,स्थितिज ऊर्जा धीरे-धीरे गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,लेकिन कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
$(b)$ $(i)$ लड़की $A$ द्वारा व्यय की गई शक्ति:
वजन $(mg) = 400 \, N$,ऊँचाई $(h) = 8 \, m$,समय $(t) = 20 \, s$.
शक्ति $(P) = \frac{\text{किया गया कार्य}}{\text{समय}} = \frac{mgh}{t} = \frac{400 \times 8}{20} = 160 \, W$.
$(ii)$ लड़की $B$ द्वारा व्यय की गई शक्ति:
वजन $(mg) = 400 \, N$,ऊँचाई $(h) = 8 \, m$,समय $(t) = 50 \, s$.
शक्ति $(P) = \frac{mgh}{t} = \frac{400 \times 8}{50} = 64 \, W$.
$(c)$ शक्ति $(P) = 1500 \, W = 1.5 \, kW$,समय $(t) = 10 \, h$.
उपभोग की गई ऊर्जा $= P \times t = 1.5 \, kW \times 10 \, h = 15 \, kWh$.

(A) किसी वस्तु पर कार्य करने वाले बल द्वारा किया गया कार्य,बल के परिमाण और बल की दिशा में वस्तु के विस्थापन के गुणनफल के बराबर होता है।
कार्य का व्यंजक है: $W = F \times s$,जहाँ $W$ कार्य है,$F$ बल है और $s$ विस्थापन है।
$(b)$ यदि वस्तु का विस्थापन शून्य है,तो किया गया कार्य शून्य होगा। क्योंकि $W = F \times 0 = 0$ होता है।
$(c)$ गतिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जो किसी वस्तु में उसकी गति के कारण होती है। $m$ द्रव्यमान और $v$ चाल से गतिमान वस्तु की गतिज ऊर्जा $(K)$ का व्यंजक $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।

(N/A) दिया गया है: द्रव्यमान $(m) = 10 \ kg$,ऊँचाई $(h) = 10 \ m$,गुरुत्वीय त्वरण $(g) = 10 \ m/s^2$.
स्थितिज ऊर्जा $(PE) = mgh$,गतिज ऊर्जा $(KE) = \frac{1}{2}mv^2$,यांत्रिक ऊर्जा $(ME) = PE + KE$.

ऊँचाई $(m)$	$PE$ $(J)$	$KE$ $(J)$	$ME$ $(J)$
$10$	$1000$	$0$	$1000$
$8$	$800$	$200$	$1000$
$5$	$500$	$500$	$1000$
$0$	$0$	$1000$	$1000$

ऊर्जा संरक्षण का नियम: ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है; इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में रूपांतरित किया जा सकता है। एक विलगित निकाय में कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।

(N/A) नहीं,यह कथन गलत है। कार्य शून्य है क्योंकि पृथ्वी पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल (सूर्य की दिशा में) और विस्थापन (वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखा के अनुदिश) एक-दूसरे के लंबवत हैं,अर्थात $\theta = 90^{\circ}$। सूत्र $W = F S \cos \theta$ के अनुसार,चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$ है,इसलिए किया गया कार्य $W = 0$ है।
$(b)$ चूंकि कुली बक्से को पकड़े रखने के लिए बल लगा रहा है लेकिन बक्से का कोई विस्थापन नहीं हो रहा है $(S = 0)$,इसलिए उसके द्वारा किया गया कार्य शून्य है।
$(c)$ कुल द्रव्यमान $m = 70 \, kg + 10 \, kg = 80 \, kg$। बल $F = m \times g = 80 \, kg \times 10 \, m s^{-2} = 800 \, N$। विस्थापन $S = 100 \, m$। किया गया कार्य $W = F \times S = 800 \, N \times 100 \, m = 80,000 \, J$।

(C) औसत शक्ति को कुल किए गए कार्य और लिए गए कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$(b)$ जब फुटबॉल को किक मारी जाती है,तो वह वक्र पथ पर चलकर वापस जमीन पर आ जाती है। गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य केवल ऊर्ध्वाधर विस्थापन पर निर्भर करता है। चूँकि प्रारंभिक और अंतिम ऊर्ध्वाधर स्थिति समान (जमीन) है,इसलिए ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h = 0$ है। अतः,गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W = mgh = 0$ होगा।
$(c)$ राम और श्याम द्वारा किया गया कार्य समान है क्योंकि दोनों का द्रव्यमान $(40 \, kg)$ समान है और दोनों समान ऊँचाई $(3 \, m)$ तक चढ़ते हैं।
राम की शक्ति $= \frac{mgh}{t} = \frac{40 \times 9.8 \times 3}{10} = 117.6 \, W$.
श्याम की शक्ति $= \frac{mgh}{t} = \frac{40 \times 9.8 \times 3}{12} = 98 \, W$.
चूँकि $117.6 \, W > 98 \, W$,इसलिए राम की शक्ति श्याम की शक्ति से अधिक है।

(1:3) किसी वस्तु पर लगाए गए बल और बल की दिशा में वस्तु के विस्थापन के गुणनफल को कार्य कहते हैं। कार्य का परिमाण दो कारकों पर निर्भर करता है: $(1)$ लगाए गए बल का परिमाण $(F)$ और $(2)$ बल की दिशा में वस्तु का विस्थापन $(s)$।
$(b)$ दिया गया है: कार की गति $(v_1) = 30 \, m/s$,ट्रक की गति $(v_2) = 30 \, m/s$। द्रव्यमान का अनुपात $(m_1 : m_2) = 1 : 3$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $(E_k) = \frac{1}{2}mv^2$ होती है,इसलिए गतिज ऊर्जा का अनुपात होगा:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{1}{2}m_1v_1^2}{\frac{1}{2}m_2v_2^2} = \frac{m_1}{m_2} \times \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2$
चूंकि $v_1 = v_2$ है,इसलिए अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$ होगा।
अतः,गतिज ऊर्जा का अनुपात $1:3$ है।

(N/A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है; इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। अतः,एक विलगित निकाय की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।
$(b)$ ऊर्जा का $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है और ऊर्जा का व्यावसायिक मात्रक किलोवाट-घंटा $(kWh)$ है।
$1 \, kWh = 1 \, kW \times 1 \, h$
$1 \, kWh = 1000 \, W \times 3600 \, s$
$1 \, kWh = 3,600,000 \, J = 3.6 \times 10^6 \, J$.
$(c)$ दिया गया है: बल $(F)$ = $7 \, N$,विस्थापन $(S)$ = $5 \, m$।
किया गया कार्य $(W)$ = $F \times S$
$W = 7 \, N \times 5 \, m = 35 \, J$.

(D) $(i)$ जब किसी वस्तु को एक निश्चित कोण पर फेंका जाता है, तो वह अधिकतम ऊँचाई $h$ तक ऊपर जाती है और फिर परवलयाकार पथ का अनुसरण करते हुए वापस जमीन पर आ जाती है। ऊपर जाते समय गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_{against} = mgh$ है। नीचे गिरते समय गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_{by} = mgh$ है। चूँकि प्रारंभिक और अंतिम बिंदु एक ही क्षैतिज रेखा पर हैं, इसलिए ऊर्ध्वाधर दिशा में कुल विस्थापन $0$ है। अतः, गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कुल कार्य $W_{net} = W_{against} + W_{by} = -mgh + mgh = 0 \, J$ है।
$(ii)$ दिया गया है: द्रव्यमान $m = 20 \, kg$, प्रारंभिक वेग $u = 5 \, m s^{-1}$, अंतिम वेग $v = 2 \, m s^{-1}$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta KE = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2$
$W = \frac{1}{2} \times 20 \times (2)^2 - \frac{1}{2} \times 20 \times (5)^2$
$W = 10 \times 4 - 10 \times 25$
$W = 40 - 250 = -210 \, J$।

(A) दिया गया है: बल $F = 100 \, N$,क्षैतिज विस्थापन $S_H = 5 \, m$,ऊर्ध्वाधर विस्थापन $S_V = 10 \, m$।
मान लीजिए कि $W_1$ क्षैतिज गति के दौरान किया गया कार्य है और $W_2$ ऊर्ध्वाधर गति के दौरान किया गया कार्य है।
क्षैतिज गति के लिए,बल ऊर्ध्वाधर है और विस्थापन क्षैतिज है,इसलिए कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
$W_1 = F \cdot S_H \cdot \cos(90^{\circ}) = 100 \times 5 \times 0 = 0 \, J$।
ऊर्ध्वाधर गति के लिए,बल ऊर्ध्वाधर है और विस्थापन भी ऊर्ध्वाधर है,इसलिए कोण $\theta = 0^{\circ}$ है।
$W_2 = F \cdot S_V \cdot \cos(0^{\circ}) = 100 \times 10 \times 1 = 1000 \, J$।
कुल कार्य $W = W_1 + W_2 = 0 + 1000 = 1000 \, J$।
$(b)$ गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ और संवेग $p = mv$ होता है।
$p = mv$ से,हमें $v = \frac{p}{m}$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा के सूत्र में $v$ का मान रखने पर:
$K = \frac{1}{2}m \left(\frac{p}{m}\right)^2 = \frac{1}{2}m \left(\frac{p^2}{m^2}\right) = \frac{p^2}{2m}$।
अतः,संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।

(N/A) औसत शक्ति को कार्य करने की औसत दर के रूप में परिभाषित किया जाता है। यदि $t$ समय में कुल कार्य $W$ किया जाता है,तो औसत शक्ति $P_{av}$ इस प्रकार दी जाती है:
$P_{av} = \frac{W}{t}$
$4$ उपकरणों द्वारा खपत कुल शक्ति $= 4 \times 500 = 2000\, W = 2\, kW$
उपकरणों के चलने का समय $= 10$ घंटे
प्रतिदिन खपत ऊर्जा $= 2\, kW \times 10\, h = 20\, kWh$
नवंबर के महीने ($30$ दिन) में खपत कुल ऊर्जा $= 20\, kWh \times 30 = 600\, kWh$
$(b)$ जब कोई वस्तु गुरुत्वाकर्षण के अधीन मुक्त रूप से गिरती है,तो अपनी गति के कारण उसमें गतिज ऊर्जा होती है। जब वह जमीन से टकराती है,तो उसकी गतिज ऊर्जा अन्य ऊर्जा रूपों में परिवर्तित हो जाती है,मुख्य रूप से सतह के साथ प्रभाव के कारण यह ध्वनि ऊर्जा और ऊष्मीय ऊर्जा में बदल जाती है।

(A) $(i)$ किसी पिंड की गतिज ऊर्जा $(E)$ उसके संवेग $(p)$ से $E = p^2 / 2m$ के रूप में संबंधित होती है। यदि संवेग समान है,तो $E \propto 1/m$ होगा।
अतः,हल्की वस्तु और भारी वस्तु की गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_{\text{light}}}{E_{\text{heavy}}} = \frac{m_{\text{heavy}}}{m_{\text{light}}}$ होगा।
चूँकि $m_{\text{heavy}} > m_{\text{light}}$,इसलिए अनुपात $1$ से अधिक होगा। अतः,हल्की वस्तु की गतिज ऊर्जा अधिक होगी।
$(ii)$ दिया गया है: प्रारंभिक ऊँचाई $h_1 = 10\, m$। ऊर्जा में $40\%$ की कमी होती है,इसलिए शेष ऊर्जा प्रारंभिक ऊर्जा का $60\%$ है $(E_2 = 0.6 E_1)$।
स्थितिज ऊर्जा के सूत्र $E = mgh$ का उपयोग करने पर,$mgh_2 = 0.6 mgh_1$ प्राप्त होता है।
$h_2 = 0.6 \times h_1 = 0.6 \times 10\, m = 6\, m$.
अतः,गेंद $6\, m$ की ऊँचाई तक वापस उछलेगी।

(N/A) $(i)$ ऊर्जा संरक्षण का नियम बताता है कि ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है,इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। किसी निकाय के लिए,कुल ऊर्जा स्थिर रहती है यदि उस पर कोई बाहरी गैर-संरक्षी बल कार्य न करे।
$(ii)$ मान लीजिए $m$ द्रव्यमान की एक वस्तु पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई से मुक्त रूप से गिर रही है। मान लीजिए वस्तु $A$ बिंदु पर $h$ ऊँचाई पर है,$x$ दूरी तय करने के बाद $B$ बिंदु पर $(h-x)$ ऊँचाई पर है,और $C$ बिंदु पर जमीन को छूने से ठीक पहले है।
$A$ बिंदु पर (ऊँचाई $h$): वस्तु स्थिर है,इसलिए वेग $v = 0$ है।
गतिज ऊर्जा $(T) = 1/2 mv^2 = 0$ है।
स्थितिज ऊर्जा $(U) = mgh$ है।
कुल ऊर्जा $(E) = T + U = 0 + mgh = mgh$ $....(i)$
$B$ बिंदु पर (ऊँचाई $h-x$): वस्तु ने $x$ दूरी तय की है। गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u=0, a=g, s=x$,हमें $v^2 = 2gx$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $(T) = 1/2 m(2gx) = mgx$ है।
स्थितिज ऊर्जा $(U) = mg(h-x) = mgh - mgx$ है।
कुल ऊर्जा $(E) = T + U = mgx + mgh - mgx = mgh$ $....(ii)$
$C$ बिंदु पर (ऊँचाई $0$): वस्तु ने $h$ दूरी तय की है। गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u=0, a=g, s=h$,हमें $V^2 = 2gh$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $(T) = 1/2 mV^2 = 1/2 m(2gh) = mgh$ है।
स्थितिज ऊर्जा $(U) = mg(0) = 0$ है।
कुल ऊर्जा $(E) = T + U = mgh + 0 = mgh$ $....(iii)$
समीकरणों $(i), (ii),$ और $(iii)$ से यह स्पष्ट है कि मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु की कुल यांत्रिक ऊर्जा सभी बिंदुओं पर स्थिर रहती है।

(B) यांत्रिक ऊर्जा किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(KE)$ और स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का योग है। इसके दो रूप गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा हैं। ऊर्जा संरक्षण का नियम कहता है कि ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है; इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। एक सरल लोलक इसका उदाहरण है: माध्य स्थिति पर,ऊर्जा पूरी तरह से गतिज होती है,जबकि चरम स्थितियों पर,यह पूरी तरह से स्थितिज होती है। जैसे-जैसे लोलक दोलन करता है,ऊर्जा लगातार गतिज और स्थितिज रूपों के बीच परिवर्तित होती रहती है।
$(b)$ दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1000 \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 72 \, km \, h^{-1} = 72 \times (5/18) \, m \, s^{-1} = 20 \, m \, s^{-1}$,अंतिम वेग $v = 0 \, m \, s^{-1}$।
किया गया कार्य = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन = $\frac{1}{2} m (v^2 - u^2)$।
किया गया कार्य = $\frac{1}{2} \times 1000 \times (0^2 - 20^2) = 500 \times (-400) = -200,000 \, J = -2 \times 10^5 \, J$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि कार्य कार की गति के विपरीत दिशा में किया गया है।

(A) दिया गया है: $m_1 = m, m_2 = m, v_1 = 2v, v_2 = 3v$. हमें $E_1 / E_2$ का अनुपात ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ होती है। इसलिए:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{1}{2}m_1v_1^2}{\frac{1}{2}m_2v_2^2} = \frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{(2v)^2}{(3v)^2} = \frac{4v^2}{9v^2} = \frac{4}{9}$.
$(b)$ कुल ऊर्जा = गतिज ऊर्जा $(KE)$ + स्थितिज ऊर्जा $(PE)$।
$h$ ऊँचाई पर,कुल ऊर्जा $mgh$ होती है (क्योंकि $KE = 0$ और $PE = mgh$)।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गिरने के दौरान प्रत्येक बिंदु पर कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।
जमीन तक पहुँचने के आधे रास्ते पर (ऊँचाई $h/2$),वेग $v$ का मान $v^2 - u^2 = 2g(h/2)$ द्वारा प्राप्त होता है। चूँकि $u = 0$,इसलिए $v^2 = gh$।
$KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mgh$.
$PE = mg(h/2) = \frac{1}{2}mgh$.
कुल ऊर्जा = $KE + PE = \frac{1}{2}mgh + \frac{1}{2}mgh = mgh$।

$(D)$ कार्य होने के लिए दो शर्तें हैं: $(i)$ वस्तु पर बल लगना चाहिए, और $(ii)$ वस्तु का बल की दिशा में विस्थापन होना चाहिए।
$(b)$ घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होता है क्योंकि घर्षण बल वस्तु के विस्थापन की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
$(c)$ शक्ति को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसका संबंध $P = W / t$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $P$ शक्ति है, $W$ किया गया कार्य है और $t$ लिया गया समय है।
$(d)$ दिया गया है: कार्य $(W) = 1960 \, J$, समय $(t) = 4 \, \text{मिनट} = 4 \times 60 = 240 \, s$.
सूत्र $P = W / t$ का उपयोग करने पर: $P = 1960 / 240 = 8.166... \approx 8.17 \, W$.

(N/A) गतिज ऊर्जा $(KE)$ वह कार्य है जो बल $F$ द्वारा $m$ द्रव्यमान के पिंड को विरामावस्था $(u=0)$ से $v$ वेग तक त्वरित करने के लिए किया जाता है। $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर,हमें $s = v^2 / (2a)$ प्राप्त होता है। चूंकि $F = ma$,किया गया कार्य $W = F \times s = ma \times (v^2 / 2a) = 1/2 mv^2$ है। अतः,$KE = 1/2 mv^2$ है।
$(b)$ चूंकि $KE \propto v^2$,यदि वेग $5v$ हो जाता है,तो नई गतिज ऊर्जा $KE' = 1/2 m(5v)^2 = 25 \times (1/2 mv^2) = 25 \times KE$ होगी। गतिज ऊर्जा $25$ गुना बढ़ जाएगी।
$(c)$ जमीन पर गिरते हुए पिंड की गतिज ऊर्जा उसकी प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $(PE = mgh)$ के बराबर होती है। $h$ ऊंचाई पर $m$ द्रव्यमान के लिए,$PE_1 = mgh$। $2h$ ऊंचाई पर $2m$ द्रव्यमान के लिए,$PE_2 = (2m)g(2h) = 4mgh$। चूंकि $PE_2 > PE_1$,इसलिए $2m$ द्रव्यमान वाले पिंड की गतिज ऊर्जा अधिक होगी।

(N/A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है,इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।
$(b)$ दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1500 \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 36 \, km/h = 10 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 72 \, km/h = 20 \, m/s$.
किया गया कार्य $(W)$ = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन = $\frac{1}{2} m (v^2 - u^2)$.
$W = \frac{1}{2} \times 1500 \times (20^2 - 10^2) = 750 \times (400 - 100) = 750 \times 300 = 225,000 \, J$ या $2.25 \times 10^5 \, J$.
चूंकि वेग में वृद्धि हो रही है,इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है।
$(c)$ दोलन करते हुए लोलक की अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ उसके चरम स्थितियों (extreme positions) पर होती है और अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE)$ उसके माध्य स्थिति (mean position) पर होती है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 800 \, kg$,ऊँचाई $h = 1500 \, cm = 15 \, m$,समय $t = 20 \, s$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m s^{-2}$।
पानी को ऊपर उठाने के लिए किया गया कार्य $W$ प्राप्त स्थितिज ऊर्जा के बराबर होता है: $W = mgh$।
शक्ति $P$ कार्य करने की दर है: $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$।
मान रखने पर: $P = \frac{800 \times 10 \times 15}{20}$।
$P = \frac{120000}{20} = 6000 \, W$।
चूँकि $1 \, kW = 1000 \, W$,इसलिए $P = 6 \, kW$।

(N/A) दिया गया है: कार का द्रव्यमान $m_1 = 750 \,kg$,वेग $v = 54 \,km \cdot h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18} \,m \cdot s^{-1} = 15 \,m \cdot s^{-1}$।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE_1)$:
$KE_1 = \frac{1}{2} m_1 v^2 = \frac{1}{2} \times 750 \times (15)^2 = 375 \times 225 = 84375 \,J$।
जब $50 \,kg$ द्रव्यमान का एक यात्री कार में बैठता है,तो नया कुल द्रव्यमान $m_2 = 750 \,kg + 50 \,kg = 800 \,kg$ हो जाता है।
नई गतिज ऊर्जा $(KE_2)$:
$KE_2 = \frac{1}{2} m_2 v^2 = \frac{1}{2} \times 800 \times (15)^2 = 400 \times 225 = 90000 \,J$।

(A) दिया गया है: व्यक्ति का द्रव्यमान $m = 60 \, kg$,लिया गया समय $t = 40 \, s$,सीढ़ियों की संख्या $= 30$,प्रत्येक सीढ़ी की ऊँचाई $= 20 \, cm = 0.2 \, m$.
कुल ऊँचाई $h = 30 \times 0.2 \, m = 6 \, m$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$ लेने पर।
किया गया कार्य $W = mgh = 60 \times 10 \times 6 = 3600 \, J$.
शक्ति $P = \frac{W}{t} = \frac{3600 \, J}{40 \, s} = 90 \, W$.
अतः,व्यक्ति की शक्ति $90 \, W$ है।

(N/A) व्यक्ति द्वारा किया गया कार्य निकाय (व्यक्ति + भार) की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
कुल द्रव्यमान $m$,व्यक्ति के द्रव्यमान और उसके द्वारा उठाए गए भार का योग है:
$m = 70 \,kg + 10 \,kg = 80 \,kg$
ऊँचाई $h = 100 \,m$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \,m/s^2$ लेते हुए,किए गए कार्य $W$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$W = m \times g \times h$
$W = 80 \,kg \times 9.8 \,m/s^2 \times 100 \,m$
$W = 78400 \,J$ (या $7.84 \times 10^4 \,J$)।

(B) किसी वस्तु को एक निश्चित दूरी तक विस्थापित करने में किया गया कार्य निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = F \times S \times \cos \theta$
यह मानते हुए कि बल विस्थापन की दिशा में लगाया गया है,$\theta = 0^\circ$ है,इसलिए $\cos 0^\circ = 1$ होगा।
दिया गया है:
बल $(F)$ = $100 \, N$
विस्थापन $(S)$ = $10 \, m$
द्रव्यमान $(m)$ = $50 \, kg$ (नोट: यहाँ द्रव्यमान की गणना में आवश्यकता नहीं है क्योंकि बल पहले से ही दिया गया है)।
गणना:
$W = F \times S = 100 \, N \times 10 \, m = 1000 \, J$.

(B) दिया गया है: बल $F = 20 \,N$,समय $t = 10 \,s$,द्रव्यमान $m = 5 \,kg$,और प्रारंभिक वेग $u = 0 \,m/s$.
सबसे पहले,न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करके त्वरण $a$ ज्ञात करें: $a = F/m = 20/5 = 4 \,m/s^2$.
इसके बाद,$v = u + at$ समीकरण का उपयोग करके $10 \,s$ के बाद अंतिम वेग $v$ ज्ञात करें: $v = 0 + (4 \times 10) = 40 \,m/s$.
अंत में,गतिज ऊर्जा $KE$ की गणना $KE = 1/2 \times m \times v^2$ सूत्र का उपयोग करके करें: $KE = 1/2 \times 5 \times (40)^2 = 1/2 \times 5 \times 1600 = 4000 \,J$.

(A) व्यय की गई शक्ति $P$ को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसका सूत्र $P = W / t$ है।
चूंकि लड़की एक समान गति से चढ़ती है,इसलिए किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जो $W = mgh$ है।
दिए गए मान हैं: द्रव्यमान $m = 40\, kg$,ऊँचाई $h = 6\, m$,और समय $t = 15\, s$। गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8\, m/s^2$ लेने पर।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = \frac{mgh}{t} = \frac{40 \times 9.8 \times 6}{15} = \frac{2352}{15} = 156.8\, W$.
अतः,लड़की द्वारा व्यय की गई शक्ति $156.8\, W$ है।

(D) माना कि प्रत्येक पिंड का द्रव्यमान $m$ है।
पहले पिंड की गतिज ऊर्जा $(KE)$ $K_{1} = \frac{1}{2}mv^{2} \quad \dots(i)$ द्वारा दी जाती है।
दूसरे पिंड की गतिज ऊर्जा $(KE)$ $K_{2} = \frac{1}{2}m(3v)^{2} = \frac{1}{2}m(9v^{2}) = \frac{9}{2}mv^{2} \quad \dots(ii)$ द्वारा दी जाती है।
उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करते हैं:
$\frac{K_{2}}{K_{1}} = \frac{\frac{9}{2}mv^{2}}{\frac{1}{2}mv^{2}} = \frac{9}{1}$.
अतः,उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $9:1$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान,$m = 2 \, kg$,वेग,$v = 0.1 \, m s^{-1}$।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} m v^2$ होता है।
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$KE = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.1)^2$
$KE = 1 \times 0.01$
$KE = 0.01 \, J$।
अतः,वस्तु की गतिज ऊर्जा $0.01 \, J$ है।

(B) दिया गया है: वस्तु का द्रव्यमान,$m = 100 \, g = 0.1 \, kg$।
गतिज ऊर्जा,$KE = 20 \, J$।
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE = \frac{1}{2} m v^2$ होता है।
वेग $v$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$v^2 = \frac{2 \times KE}{m}$।
मान रखने पर:
$v^2 = \frac{2 \times 20}{0.1} = \frac{40}{0.1} = 400$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$v = \sqrt{400} = 20 \, m s^{-1}$।

(N/A) दिया गया है: द्रव्यमान,$m = 10\, kg$,ऊँचाई,$h = 5\, m$,गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8\, m/s^2$.
$1$. शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा $(PE)$:
$PE = mgh = 10 \times 9.8 \times 5 = 490\, J$.
$2$. जमीन पर गतिज ऊर्जा $(KE)$:
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर स्थित स्थितिज ऊर्जा जमीन पर पहुँचने पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$KE = PE = 490\, J$.
$3$. जमीन से टकराने से ठीक पहले की गति:
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2gh$ का उपयोग करते हुए,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0\, m/s$ है:
$v^2 - 0 = 2 \times 9.8 \times 5$
$v^2 = 98$
$v = \sqrt{98} \approx 9.9\, m/s$.

(B) गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ वस्तु का वेग है।
$1$. यदि हम द्रव्यमान को दोगुना करते हैं $(m' = 2m)$,तो नई गतिज ऊर्जा $KE' = \frac{1}{2}(2m)v^2 = 2 \times KE$ हो जाती है। इस प्रकार,गतिज ऊर्जा दोगुनी हो जाती है।
$2$. यदि हम वेग को दोगुना करते हैं $(v' = 2v)$,तो नई गतिज ऊर्जा $KE'' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times KE$ हो जाती है। इस प्रकार,गतिज ऊर्जा चार गुना बढ़ जाती है।
दोनों की तुलना करने पर,द्रव्यमान को दोगुना करने की तुलना में वेग को दोगुना करने का गतिज ऊर्जा पर अधिक प्रभाव पड़ता है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \, kg$,बल $F = 16 \, N$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,समय $t = 10 \, s$।
चरण $1$: न्यूटन के गति के दूसरे नियम $F = ma$ का उपयोग करके त्वरण $a$ ज्ञात करें।
$a = \frac{F}{m} = \frac{16 \, N}{4 \, kg} = 4 \, m/s^2$।
चरण $2$: गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करके अंतिम वेग $v$ ज्ञात करें।
$v = 0 + (4 \, m/s^2 \times 10 \, s) = 40 \, m/s$।
चरण $3$: गतिज ऊर्जा $KE$ के सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करके गणना करें।
$KE = \frac{1}{2} \times 4 \, kg \times (40 \, m/s)^2 = 2 \times 1600 = 3200 \, J$।

(C) कार्य को $W = F S \cos \theta$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$S$ विस्थापन है,और $\theta$ बल और विस्थापन सदिशों के बीच का कोण है।
$1$. क्षैतिज गति के लिए: लगाया गया बल ऊर्ध्वाधर ($10 \,N$ ऊपर की ओर) है और विस्थापन क्षैतिज $(5 \,m)$ है। अतः कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
$W_{1} = F S \cos 90^{\circ} = 10 \times 5 \times 0 = 0 \,J$.
$2$. ऊर्ध्वाधर गति के लिए: लगाया गया बल ऊर्ध्वाधर ($10 \,N$ ऊपर की ओर) है और विस्थापन भी ऊर्ध्वाधर ($10 \,m$ ऊपर की ओर) है। अतः कोण $\theta = 0^{\circ}$ है।
$W_{2} = F S \cos 0^{\circ} = 10 \times 10 \times 1 = 100 \,J$.
कुल कार्य = $W_{1} + W_{2} = 0 + 100 = 100 \,J$.