Mix Example - WORK AND ENERGY Questions in Hindi

(A) जब कोई वस्तु पृथ्वी की ओर मुक्त रूप से गिरती है,तो वह ऊर्जा संरक्षण के नियम का पालन करती है।
जैसे-जैसे वस्तु नीचे गिरती है,उसकी स्थितिज ऊर्जा घटती है और उसकी गतिज ऊर्जा उसी मात्रा में बढ़ जाती है।
इसलिए,स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग,जो कि कुल यांत्रिक ऊर्जा है,पूरी गति के दौरान स्थिर रहती है।

(B) स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ को $PE = mgh$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $h$ संदर्भ स्तर से वस्तु की ऊँचाई है।
चूँकि कार एक समतल सड़क पर चल रही है,इसलिए गति के दौरान ऊँचाई $(h)$ स्थिर रहती है।
चूँकि $m$,$g$,और $h$ में कोई परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए कार की स्थितिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
अतः,स्थितिज ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(C) कार्य को सूत्र $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$s$ विस्थापन है और $\theta$ उनके बीच का कोण है।
जब बल और विस्थापन एक-दूसरे की विपरीत दिशा में होते हैं,तो उनके बीच का कोण $\theta = 180^o$ होता है।
चूंकि $\cos(180^o) = -1$ होता है,इसलिए किया गया कार्य $W = -F \cdot s$ हो जाता है,जिसे ऋणात्मक कार्य कहा जाता है।

(D) जब वस्तुओं को ऊंचाई से गिराया जाता है,तो वे गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में मुक्त पतन (free fall) करती हैं।
गति के नियमों के अनुसार,मुक्त पतन में वस्तु का त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के बराबर होता है,जो लगभग $9.8 \, m/s^2$ है।
यह गुरुत्वीय त्वरण गिरने वाली वस्तु के द्रव्यमान,आकार या आकृति पर निर्भर नहीं करता है।
चूंकि दोनों गोलों को एक ही ऊंचाई से एक ही समय पर गिराया जाता है,इसलिए किसी भी बिंदु पर (जैसे जमीन से $10 \, m$ ऊपर),उनका वेग समान होगा और परिणामस्वरूप उनका त्वरण भी समान होगा।
गतिज ऊर्जा $(1/2 mv^2)$,संवेग $(mv)$,और स्थितिज ऊर्जा $(mgh)$ सभी वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर करते हैं,जो दोनों गोलों के लिए अलग-अलग है। इसलिए,ये राशियाँ समान नहीं होंगी।

(A) कार्य को बल और बल की दिशा में विस्थापन के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,गुरुत्वाकर्षण बल बैग पर लंबवत नीचे की ओर कार्य करता है।
लड़की का विस्थापन क्षैतिज समतल सड़क के अनुदिश है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल (नीचे की ओर) और विस्थापन (क्षैतिज) के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W = F \cdot s \cdot \cos(90^{\circ})$ होगा।
चूंकि $\cos(90^{\circ}) = 0$ होता है,इसलिए गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध किया गया कार्य $0 \, J$ होगा।

(B) ऊर्जा को कार्य करने की क्षमता के रूप में परिभाषित किया जाता है। ऊर्जा का $SI$ मात्रक $Joule$ $(J)$ है।
$1$ $Joule$,$1$ $Newton$ $metre$ $(N \cdot m)$ के बराबर होता है।
$Kilowatt$ $hour$ $(kWh)$ विद्युत ऊर्जा का एक व्यावसायिक मात्रक है,जहाँ $1$ $kWh = 3.6 \times 10^6$ $J$ होता है।
$Kilowatt$ $(kW)$ शक्ति (Power) का मात्रक है,ऊर्जा का नहीं। शक्ति को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है $(Power = Work / Time)$।
अतः,$kilowatt$ ऊर्जा का मात्रक नहीं है।

(C) कार्य का सूत्र $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ है,जहाँ $W$ कार्य है,$F$ लगाया गया बल है,$s$ विस्थापन है और $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि किया गया कार्य बल के परिमाण,विस्थापन के परिमाण और उनके बीच के कोण पर निर्भर करता है।
किया गया कार्य वस्तु के प्रारंभिक वेग पर निर्भर नहीं करता है।

(D) किसी वस्तु में उसकी स्थिति या विन्यास के कारण संग्रहित ऊर्जा को स्थितिज ऊर्जा कहा जाता है।
चूंकि बांध में पानी एक निश्चित ऊंचाई पर संग्रहित होता है,इसलिए यह जमीन के सापेक्ष अपनी स्थिति के कारण गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा रखता है।

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
$h$ ऊँचाई पर,स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ $mgh$ होती है और गतिज ऊर्जा $(KE)$ $0$ होती है।
$\frac{h}{2}$ दूरी गिरने के बाद,शेष ऊँचाई $\frac{h}{2}$ है।
इस बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $PE = mg(\frac{h}{2}) = \frac{1}{2}mgh$ होती है।
चूंकि कुल ऊर्जा $mgh$ है,इसलिए गतिज ऊर्जा $KE = mgh - \frac{1}{2}mgh = \frac{1}{2}mgh$ होगी।
अतः,आधी ऊँचाई पर,वस्तु में आधी स्थितिज ऊर्जा और आधी गतिज ऊर्जा होती है।

(B) गतिज ऊर्जा $(K.E)$ का सूत्र $K.E = \frac{1}{2}mv^2$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग है।
माना प्रारंभिक वेग $v_1 = v$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{1}{2}mv^2$ होगी।
जब वेग को तीन गुना कर दिया जाता है,तो नया वेग $v_2 = 3v$ हो जाता है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{1}{2}m(3v)^2 = \frac{1}{2}m(9v^2) = 9 \times (\frac{1}{2}mv^2)$ होगी।
अतः,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा और अंतिम गतिज ऊर्जा का अनुपात $K_1 : K_2 = \frac{1}{2}mv^2 : 9(\frac{1}{2}mv^2) = 1:9$ है।

(A) शक्ति को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसकी गणना $P = F \times v$ सूत्र द्वारा की जाती है,जहाँ $F$ बल है और $v$ वेग है।
अविनाश के लिए:
$P_{A} = F_{A} \times v_{A} = 10 \, N \times 8 \, m \, s^{-1} = 80 \, W$.
कपिल के लिए:
$P_{K} = F_{K} \times v_{K} = 25 \, N \times 3 \, m \, s^{-1} = 75 \, W$.
दोनों की तुलना करने पर,$80 \, W > 75 \, W$ है। इसलिए,अविनाश कपिल से अधिक शक्तिशाली है।

(N/A) किसी बल द्वारा किया गया कार्य,बल और बल की दिशा में विस्थापन का गुणनफल होता है।
कार्य $W = F \times d$
यहाँ,लड़का पूरे रास्ते में $F = 5\, N$ के निरंतर घर्षण बल के विरुद्ध गति कर रहा है।
लड़के द्वारा तय की गई कुल दूरी सीधी सड़क,वृत्ताकार पथ और अंतिम सीधी सड़क की दूरी का योग है।
$1$. प्रारंभिक सीधी सड़क की दूरी $= 1.5\, km = 1500\, m$.
$2$. वृत्ताकार पथ की दूरी: लड़का $r = 100\, m$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर $1.5$ चक्कर लगाता है। दूरी $= 1.5 \times (2 \pi r) = 1.5 \times 2 \times 3.14 \times 100 = 942\, m$.
$3$. अंतिम सीधी सड़क की दूरी $= 2.0\, km = 2000\, m$.
कुल दूरी $d = 1500\, m + 942\, m + 2000\, m = 4442\, m$.
चूंकि घर्षण बल पूरे रास्ते पर कार्य करता है,इसलिए घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य की गणना कुल तय की गई दूरी का उपयोग करके की जाती है।
कार्य $W = 5\, N \times 4442\, m = 22210\, J$.

(A) हाँ,किसी वस्तु के पास यांत्रिक ऊर्जा हो सकती है भले ही उसका संवेग शून्य हो।
यांत्रिक ऊर्जा गतिज ऊर्जा $(KE)$ और स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का योग होती है।
संवेग $(p)$ द्रव्यमान $(m)$ और वेग $(v)$ का गुणनफल है,अर्थात $p = mv$।
यदि संवेग शून्य है $(p = 0)$,तो वस्तु का वेग भी शून्य $(v = 0)$ होना चाहिए।
चूंकि गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ है,यदि $v = 0$ है,तो $KE = 0$ होगा।
हालाँकि,वस्तु अपनी स्थिति या विन्यास के कारण स्थितिज ऊर्जा रख सकती है (उदाहरण के लिए,जमीन से कुछ ऊंचाई पर पकड़ी गई गेंद)।
इसलिए,कुल यांत्रिक ऊर्जा $(ME = KE + PE)$ शून्य नहीं होगी क्योंकि $PE$ शून्य नहीं है।

(NO) नहीं,यदि किसी वस्तु की यांत्रिक ऊर्जा शून्य है तो उसका संवेग नहीं हो सकता।
यांत्रिक ऊर्जा गतिज ऊर्जा $(KE)$ और स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का योग होती है।
यदि यांत्रिक ऊर्जा शून्य है,तो $KE + PE = 0$ होगा।
चूंकि गतिज ऊर्जा $(KE = \frac{1}{2}mv^2)$ कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती,और कुल योग शून्य होने के लिए $KE$ और $PE$ दोनों को शून्य होना चाहिए।
यदि $KE = 0$ है,तो $\frac{1}{2}mv^2 = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि वस्तु का वेग $(v)$ शून्य है।
संवेग $(p)$ द्रव्यमान और वेग का गुणनफल होता है $(p = mv)$,इसलिए यदि $v = 0$ है,तो संवेग $(p)$ भी $0$ होगा।

(C) शक्ति $(P)$ कार्य करने की दर है, $P = \frac{W}{\Delta t}$.
चूँकि पानी को ऊपर उठाने के लिए किया गया कार्य $W = mgh$ है, इसलिए सूत्र $P = \frac{mgh}{\Delta t}$ हो जाता है।
दिया गया है: $P = 2 \, kW = 2000 \, W$, $h = 10 \, m$, $g = 10 \, m \, s^{-2}$, और $\Delta t = 1 \, \text{मिनट} = 60 \, s$.
मान रखने पर: $2000 = \frac{m \times 10 \times 10}{60}$.
$2000 = \frac{100m}{60} \Rightarrow 2000 = \frac{5m}{3}$.
$m = \frac{2000 \times 3}{5} = 400 \times 3 = 1200 \, kg$.
अतः, पंप प्रति मिनट $1200 \, kg$ पानी ऊपर उठा सकता है।

(D) व्यक्ति का वजन $W = mg$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूँकि ग्रह $A$ पर वजन पृथ्वी पर वजन का आधा है,इसलिए ग्रह $A$ पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_A)$ पृथ्वी के गुरुत्वीय त्वरण $(g_E)$ का आधा होगा,अर्थात $g_A = \frac{1}{2} g_E$.
जब कोई व्यक्ति कूदता है,तो उसकी मांसपेशियों द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा $(PE = mgh)$ में परिवर्तित हो जाता है। यदि मांसपेशियों का बल और किया गया कार्य समान रहे,तो अधिकतम ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
इसलिए,$m g_E h_E = m g_A h_A$.
मान रखने पर: $g_E \times 0.4 = (\frac{1}{2} g_E) \times h_A$.
$0.4 = \frac{1}{2} h_A$.
$h_A = 0.4 \times 2 = 0.8 \, m$.
इस प्रकार,वह व्यक्ति ग्रह $A$ पर $0.8 \, m$ की ऊँचाई तक कूद सकता है।

(N/A) गति के तीसरे समीकरण के अनुसार: $v^{2} - u^{2} = 2as$
इससे, विस्थापन $s$ को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: $s = \frac{v^{2} - u^{2}}{2a}$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, लगाया गया बल: $F = ma$
बल $F$ द्वारा $s$ दूरी तक किए गए कार्य $(W)$ की परिभाषा है: $W = F \times s$
$F$ और $s$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $W = (ma) \times \left( \frac{v^{2} - u^{2}}{2a} \right)$
व्यंजक को सरल करने पर: $W = \frac{1}{2}m(v^{2} - u^{2}) = \frac{1}{2}mv^{2} - \frac{1}{2}mu^{2}$
चूंकि गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $\frac{1}{2}mv^{2}$ है, हमें प्राप्त होता है: $W = (K.E.)_{f} - (K.E.)_{i}$
अतः, किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है।

(A) हाँ,यह संभव है कि कोई वस्तु त्वरित गति की स्थिति में हो जबकि बल द्वारा किया गया कार्य शून्य हो।
कार्य $(W)$ को $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$s$ विस्थापन है,और $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
समान वृत्तीय गति में,वस्तु पर एक अभिकेंद्र बल वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है,जो अभिकेंद्र त्वरण उत्पन्न करता है।
चूंकि किसी भी क्षण वस्तु का विस्थापन वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है और अभिकेंद्र बल केंद्र की ओर निर्देशित होता है,इसलिए बल और विस्थापन के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ होता है।
चूंकि $\cos(90^{\circ}) = 0$ होता है,इसलिए किया गया कार्य $W = F \cdot s \cdot 0 = 0$ होगा। इस प्रकार,त्वरण उत्पन्न करने वाले बाहरी बल की उपस्थिति के बावजूद,किया गया कार्य शून्य होता है।

(C) $10\, m$ की ऊँचाई $h$ पर गेंद की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$PE = m \times 10\, m/s^2 \times 10\, m = 100m\, J$.
जमीन से टकराने के बाद,ऊर्जा में $40\%$ की कमी आती है,जिसका अर्थ है कि शेष ऊर्जा प्रारंभिक ऊर्जा का $100\% - 40\% = 60\%$ है।
शेष ऊर्जा = $0.60 \times 100m = 60m\, J$.
माना गेंद द्वारा प्राप्त नई ऊँचाई $h'$ है। इस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $PE' = mgh'$ है।
शेष ऊर्जा को नई स्थितिज ऊर्जा के बराबर करने पर: $mgh' = 60m$.
$m \times 10 \times h' = 60m$.
$h' = 60 / 10 = 6\, m$.
अतः,गेंद $6\, m$ की ऊँचाई तक वापस उछल सकती है।

(D) शक्ति $(P)$ = $1200 \, W = 1.2 \, kW$.
प्रतिदिन का समय $(t)$ = $30 \, \text{मिनट} = 0.5 \, \text{घंटे}$.
अप्रैल के महीने में $30$ दिन होते हैं।
कुल खपत की गई विद्युत ऊर्जा $(E)$ = शक्ति $\times$ प्रतिदिन का समय $\times$ दिनों की संख्या।
$E = 1.2 \, kW \times 0.5 \, h \times 30 \, \text{दिन}$.
$E = 0.6 \times 30 = 18 \, kWh$.

(N/A) गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और संवेग $(p)$ के बीच का संबंध $K.E. = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि दोनों वस्तुओं का संवेग समान है $(p_1 = p_2 = p)$।
मान लीजिए $m_1$ हल्की वस्तु का द्रव्यमान है और $m_2$ भारी वस्तु का द्रव्यमान है,जहाँ $m_1 < m_2$ है।
हल्की वस्तु की गतिज ऊर्जा $(K.E.)_1 = \frac{p^2}{2m_1}$ है।
भारी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(K.E.)_2 = \frac{p^2}{2m_2}$ है।
उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{(K.E.)_1}{(K.E.)_2} = \frac{\frac{p^2}{2m_1}}{\frac{p^2}{2m_2}} = \frac{m_2}{m_1}$ है।
चूंकि $m_1 < m_2$,इसलिए $\frac{m_2}{m_1} > 1$ होगा,जिसका अर्थ है कि $(K.E.)_1 > (K.E.)_2$।
अतः,हल्की वस्तु की गतिज ऊर्जा अधिक होती है।

(10 M/S) $m(A) = m(B) = 1000 \,kg$. कार $(A)$ का प्रारंभिक वेग $v = 36 \,km/h = 36 \times (5/18) \,m/s = 10 \,m/s$.
घर्षण बल $F = 100 \,N$.
चूंकि कार $(A)$ एकसमान गति से चलती है,इसलिए इंजन को विपरीत घर्षण बल के बराबर बल लगाना होगा।
शक्ति $P = F \times v = 100 \,N \times 10 \,m/s = 1000 \,W$.
टक्कर के लिए,हम संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हैं:
$m_A u_A + m_B u_B = m_A v_A + m_B v_B$
यहाँ,$m_A = 1000 \,kg$,$u_A = 10 \,m/s$,$m_B = 1000 \,kg$,$u_B = 0 \,m/s$,और $v_A = 0 \,m/s$ (क्योंकि कार $(A)$ रुक जाती है)।
$1000 \times 10 + 1000 \times 0 = 1000 \times 0 + 1000 \times v_B$
$10000 = 1000 \times v_B$
$v_B = 10 \,m/s$.

(A) ट्रॉली पर किए गए कार्य को ज्ञात करने के लिए,हम कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हैं: $W = \Delta KE = KE_f - KE_i$।
दिया गया है: कुल द्रव्यमान $m = 35 \, kg + 5 \, kg = 40 \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 4 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \, m/s$।
$W = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2 = 0 - \frac{1}{2} \times 40 \times (4)^2 = -20 \times 16 = -320 \, J$।
ट्रॉली पर किया गया कार्य $-320 \, J$ है।
$(b)$ चूंकि लड़की ट्रॉली पर बैठी है और ट्रॉली के सापेक्ष गति को बदलने के लिए कोई अतिरिक्त बल नहीं लगा रही है,इसलिए लड़की द्वारा किया गया कार्य $0 \, J$ है।

(N/A) बक्से को उठाने के लिए लगाया गया बल उसके भार के बराबर होता है: $F = m \times g = 250 \,kg \times 10 \,m \,s^{-2} = 2500 \,N$।
बक्से को उठाने में किया गया कार्य $W = F \times s = 2500 \,N \times 1 \,m = 2500 \,J$ है।
$(b)$ बक्से को पकड़े रखने में किया गया कार्य शून्य है क्योंकि विस्थापन $s = 0$ है।
$(c)$ वे थक जाते हैं क्योंकि बक्से को पकड़े रखने के लिए,उनकी मांसपेशियों को लगातार गुरुत्वाकर्षण बल के विपरीत बल लगाना पड़ता है,जिसमें आंतरिक मांसपेशीय प्रयास और ऊर्जा का व्यय शामिल होता है।

(N/A) शक्ति को कार्य करने की दर या ऊर्जा स्थानांतरण की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
किलोवाट $(kW)$ शक्ति की इकाई है, जो $1000 \, J/s$ को दर्शाती है। किलोवाट घंटा $(kWh)$ ऊर्जा की इकाई है, जो $1 \, kW$ शक्ति वाला उपकरण $1 \, \text{घंटे}$ में जितनी ऊर्जा खपत करता है, उसे दर्शाती है।
दिया है: ऊँचाई $(h) = 20 \, m$, द्रव्यमान $(m) = 2000 \, \text{टन} = 2000 \times 1000 \, kg = 2 \times 10^6 \, kg$, समय $(t) = 1 \, \text{मिनट} = 60 \, s$, गुरुत्वीय त्वरण $(g) = 10 \, m \, s^{-2}$.
स्थितिज ऊर्जा $(PE) = mgh = 2 \times 10^6 \times 10 \times 20 = 4 \times 10^8 \, J$.
शक्ति = $\frac{\text{ऊर्जा}}{\text{समय}} = \frac{4 \times 10^8 \, J}{60 \, s} = \frac{40}{6} \times 10^7 \, W = 6.67 \times 10^6 \, W$ या $6.67 \, MW$.

(B) शक्ति को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है। जब किसी वस्तु को उठाया जाता है,तो किया गया कार्य उसकी स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जो $mgh$ है।
शक्ति $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t} = mg \left(\frac{h}{t}\right)$.
चूंकि गति $v = \frac{h}{t}$ है,इसलिए संबंध $P = mgv$ होता है।
दिया गया है: शक्ति $P = 100\, W$,गति $v = 1\, m\, s^{-1}$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m\, s^{-2}$।
द्रव्यमान $m$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $m = \frac{P}{g \times v}$।
मान रखने पर: $m = \frac{100}{10 \times 1} = 10\, kg$।

(C) एक वाट उस एजेंट की शक्ति है जो $1 \, J \, s^{-1}$ की दर से कार्य करता है।
$1 \, \text{किलोवाट} = 1000 \, J \, s^{-1}$।
इंजन द्वारा विकसित कुल शक्ति $= 150 \, kg \times 500 \, W \, kg^{-1} = 75,000 \, W = 7.5 \times 10^4 \, W$।
हम जानते हैं कि $\text{शक्ति} = \text{बल} \times \text{वेग}$।
अतः, $\text{बल} = \frac{\text{शक्ति}}{\text{वेग}} = \frac{7.5 \times 10^4 \, W}{20 \, m \, s^{-1}} = 3750 \, N$।

(D) शक्ति $(P)$ कार्य करने की दर है,जिसे $P = F \times v$ द्वारा दर्शाया जाता है। चूंकि वस्तुएं गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध गति कर रही हैं,इसलिए आवश्यक बल $F = mg$ है।
$(i)$ तितली के लिए:
द्रव्यमान $m = 1.0 \, g = 1.0 \times 10^{-3} \, kg$,वेग $v = 0.5 \, m \, s^{-1}$,$g = 10 \, m \, s^{-2}$।
$P = (1.0 \times 10^{-3} \, kg) \times (10 \, m \, s^{-2}) \times (0.5 \, m \, s^{-1}) = 5 \times 10^{-3} \, W$।
$(ii)$ गिलहरी के लिए:
द्रव्यमान $m = 250 \, g = 0.25 \, kg$,वेग $v = 0.5 \, m \, s^{-1}$,$g = 10 \, m \, s^{-2}$।
$P = (0.25 \, kg) \times (10 \, m \, s^{-2}) \times (0.5 \, m \, s^{-1}) = 1.25 \, W$।
अतः,तितली के लिए शक्ति $5 \times 10^{-3} \, W$ है और गिलहरी के लिए $1.25 \, W$ है।

(POSITIVE) किया गया कार्य धनात्मक है। इसका कारण यह है कि व्यक्ति बाल्टी को ऊपर उठाने के लिए ऊपर की दिशा में बल लगाता है और बाल्टी का विस्थापन भी उसी ऊपर की दिशा में होता है। चूंकि बल और विस्थापन के बीच का कोण $0^{\circ}$ है,इसलिए किया गया कार्य $(W = F \cdot s \cdot \cos(0^{\circ}))$ धनात्मक है।

(B) गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है।
इसका कारण यह है कि बाल्टी का विस्थापन ऊपर की दिशा में होता है,जबकि गुरुत्वाकर्षण बल नीचे की दिशा में कार्य करता है।
चूंकि बल और विस्थापन के बीच का कोण $180^{\circ}$ है,इसलिए किया गया कार्य $W = F \cdot s \cdot \cos(180^{\circ}) = -F \cdot s$ होता है,जो कि ऋणात्मक है।

(NEGATIVE) घर्षण द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होता है।
तर्क: कार्य $(W)$ को सूत्र $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$s$ विस्थापन है,और $\theta$ बल और विस्थापन सदिशों के बीच का कोण है।
जब कोई वस्तु नत समतल पर नीचे की ओर फिसलती है,तो गति (विस्थापन) की दिशा समतल के अनुदिश नीचे की ओर होती है।
घर्षण बल हमेशा वस्तु की गति की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
इसलिए,घर्षण बल और विस्थापन के बीच का कोण $\theta = 180^{\circ}$ है।
चूँकि $\cos(180^{\circ}) = -1$ होता है,इसलिए किया गया कार्य $W = F \cdot s \cdot (-1) = -F \cdot s$ होगा,जो कि ऋणात्मक है।

(A) जब कोई वस्तु एक खुरदरे क्षैतिज तल पर एकसमान वेग से गति करती है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
इसका अर्थ है कि लगाया गया बल घर्षण बल के परिमाण के बराबर और दिशा में विपरीत होता है।
लगाए गए बल द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है क्योंकि लगाया गया बल वस्तु के विस्थापन की दिशा में कार्य करता है।
इसके विपरीत,घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होता है क्योंकि यह विस्थापन की दिशा के विपरीत कार्य करता है।

(NEGATIVE) दोलन करते हुए लोलक पर हवा के प्रतिरोधी बल द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होता है।
ऐसा इसलिए है क्योंकि हवा का प्रतिरोधी बल (वायु प्रतिरोध) हमेशा लोलक की गति की दिशा के विपरीत कार्य करता है।
चूंकि बल और विस्थापन के बीच का कोण $180^{\circ}$ है,इसलिए किया गया कार्य $(W = F \cdot s \cdot \cos(180^{\circ}))$ ऋणात्मक मान देता है।

(B) एक खिंचा हुआ धनुष अपने आकार में परिवर्तन के कारण स्थितिज ऊर्जा (प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा) धारण करता है।
जब डोरी को छोड़ा जाता है,तो यह संचित स्थितिज ऊर्जा तीर में स्थानांतरित हो जाती है।
जैसे ही धनुष अपने मूल आकार में वापस आता है,स्थितिज ऊर्जा तीर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जिससे वह गति करने लगता है।

(N/A) $(i)$ जूल $(J)$
$(ii)$ अर्ग $(erg)$
$(iii)$ किलोवाट-घंटा $(kWh)$

(B) इंजीनियरिंग में उपयोग की जाने वाली शक्ति की व्यावहारिक इकाई $Horsepower$ $(hp)$ है।
$1$ $hp$ लगभग $746$ $W$ (वाट) के बराबर होता है।

(N/A) $(i)$ रासायनिक ऊर्जा (Chemical energy)
$(ii)$ ऊष्मीय ऊर्जा (Heat energy)
$(iii)$ प्रकाश ऊर्जा (Light energy)
$(iv)$ विद्युत ऊर्जा (Electrical energy)
$(v)$ ध्वनि ऊर्जा (Sound energy)
$(vi)$ सौर ऊर्जा (Solar energy)

(B) शक्ति का मात्रक वाट $(W)$ है।
$1$ हॉर्सपावर $(hp)$ शक्ति की एक इकाई है जिसे घोड़े द्वारा भार खींचने के लिए प्रयुक्त शक्ति के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मानक परिभाषा के अनुसार, $1$ हॉर्सपावर $746$ वाट के बराबर होता है।

(B) हॉर्सपावर $(hp)$ शक्ति (power) को मापने की एक इकाई है।
इसका उपयोग आमतौर पर उस दर को व्यक्त करने के लिए किया जाता है जिस पर कोई मशीन,जैसे कि इंजन या मोटर,कार्य कर सकती है।
एक मैकेनिकल हॉर्सपावर लगभग $746 \ W$ (वाट) के बराबर होता है।

(A) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग है।
यह दिया गया है कि दोनों वस्तुओं की गतिज ऊर्जा समान है,इसलिए $\frac{1}{2}m_1v_1^2 = \frac{1}{2}m_2v_2^2$ है।
इसका अर्थ है $m_1v_1^2 = m_2v_2^2$,या $\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{m_2}{m_1}$।
यदि $m_1 < m_2$ (हल्की वस्तु का द्रव्यमान भारी वस्तु से कम है),तो $\frac{m_2}{m_1} > 1$ होगा।
इसलिए,$\frac{v_1^2}{v_2^2} > 1$,जिसका अर्थ है $v_1^2 > v_2^2$,या $v_1 > v_2$।
अतः,भारी वस्तु के समान गतिज ऊर्जा प्राप्त करने के लिए हल्की वस्तु को अधिक तेजी से चलना होगा।

(N/A) ऋणात्मक कार्य तब होता है जब लगाया गया बल वस्तु के विस्थापन की विपरीत दिशा में होता है। इसका एक उदाहरण किसी गतिशील वस्तु पर घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य है। जैसे-जैसे वस्तु एक दिशा में गति करती है,घर्षण बल विपरीत दिशा में कार्य करता है,जिसके परिणामस्वरूप बल और विस्थापन के बीच $180^{\circ}$ का कोण बनता है,जो किए गए कार्य को ऋणात्मक बना देता है $(W = F \cdot s \cdot \cos(180^{\circ}) = -Fs)$।

(B) जब घड़ी की स्प्रिंग को चाबी दी जाती है,तो उस पर कार्य किया जाता है,जिससे उसके आकार में परिवर्तन होता है। यह कार्य स्प्रिंग में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा (Elastic potential energy) के रूप में संचित हो जाता है। जैसे-जैसे स्प्रिंग धीरे-धीरे खुलती है,यह संचित ऊर्जा घड़ी के गियर्स को चलाने के लिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।

(B) किसी वस्तु पर किया गया कार्य सूत्र $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ द्वारा परिभाषित होता है,जहाँ $F$ लगाया गया बल है,$s$ विस्थापन है,और $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
किया गया कार्य लगाए गए बल और उस बल के कारण हुए विस्थापन पर निर्भर करता है।
यह वस्तु के वेग पर निर्भर नहीं करता है,क्योंकि वेग विस्थापन के परिवर्तन की दर है,न कि यांत्रिक कार्य की परिभाषा में कोई कारक।

(C) किसी बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
इस स्थिति में,पिंड का भार लंबवत नीचे की ओर कार्य करता है,जबकि पिंड का विस्थापन क्षैतिज (सतह के अनुदिश) है।
चूँकि लंबवत भार और क्षैतिज विस्थापन के बीच का कोण $90^\circ$ है,इसलिए $\cos(90^\circ) = 0$ होता है।
अतः,भार द्वारा किया गया कार्य $W = F \cdot s \cdot 0 = 0$ है।

(C) कार्य $(W)$ को बल $(F)$ और बल की दिशा में विस्थापन $(s)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र $W = F \times s \times \cos(\theta)$ है।
चूंकि व्यक्ति भारी द्रव्यमान को हिलाने में विफल रहता है,इसलिए विस्थापन $(s)$ $0$ है।
अतः,किया गया कार्य $W = F \times 0 = 0 \text{ Joules}$ है।
इस प्रकार,व्यक्ति द्वारा किया गया कार्य शून्य है।

(B) किसी वस्तु को लंबवत ऊपर उठाने में किया गया कार्य $(W)$ सूत्र $W = mgh$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $h$ वह ऊँचाई है जहाँ तक वस्तु को उठाया जाता है।
चूँकि किया गया कार्य केवल लगाए गए बल (जो वस्तु के भार $mg$ के बराबर होता है) और विस्थापन $(h)$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह लिए गए समय या उस गति से स्वतंत्र है जिस पर वस्तु को उठाया जाता है।
अतः,किया गया कार्य इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि वस्तु को कितनी तेजी से उठाया गया है।

(N/A) कार्य को बल और बल की दिशा में विस्थापन के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। जब एक कुली सिर पर भार लेकर सीढ़ियों पर ऊपर चढ़ता है,तो वह भार के वजन (जो नीचे की ओर कार्य करता है) को संतुलित करने के लिए ऊपर की ओर बल लगाता है। चूंकि कुली का विस्थापन भी ऊपर की दिशा में होता है,इसलिए कुली द्वारा लगाए गए बल और विस्थापन के बीच का कोण $0^{\circ}$ होता है। अतः,कुली द्वारा किया गया कार्य धनात्मक और अशून्य होता है $(W = F \cdot s \cdot \cos(0^{\circ}) = F \cdot s)$.

(C) एक सरल लोलक में,डोरी में तनाव बल $T$ हमेशा निलंबन बिंदु की ओर कार्य करता है।
जैसे-जैसे लोलक का गोलक अपने वृत्ताकार पथ पर गति करता है,विस्थापन सदिश $ds$ हमेशा पथ के स्पर्शरेखीय होता है।
तनाव बल $T$ हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है,जो प्रत्येक बिंदु पर विस्थापन सदिश $ds$ के लंबवत होता है।
चूंकि कार्य $W$ को अदिश गुणनफल $W = \int T \cdot ds = \int T \cos(90^{\circ}) ds$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,और $\cos(90^{\circ}) = 0$ होता है,इसलिए तनाव बल द्वारा किया गया कार्य $0$ है।

(N/A) रस्साकशी के खेल में,जीतने वाली टीम हारने वाली टीम पर बल लगाती है,जिससे वे बल की दिशा में विस्थापित हो जाते हैं।
चूंकि जीतने वाली टीम द्वारा लगाया गया बल और हारने वाली टीम का विस्थापन एक ही दिशा में है,इसलिए जीतने वाली टीम धनात्मक कार्य करती है।
किए गए कार्य का परिमाण जीतने वाली टीम द्वारा लगाए गए परिणामी बल और हारने वाली टीम द्वारा तय किए गए विस्थापन के गुणनफल के बराबर होता है।

(N/A) ऊर्जा संरक्षण का नियम यह बताता है कि ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है। इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। एक विलगित निकाय (isolated system) की कुल ऊर्जा हमेशा स्थिर रहती है।