Mix Example - WORK AND ENERGY Questions in Hindi

(A) कार को ऊपर उठाने के लिए,क्रेन को गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है।
आवश्यक बल कार के वजन के बराबर होता है: $F = mg = 500 \, kg \times 9.8 \, m/s^2 = 4900 \, N$.
कार का विस्थापन $S = 4 \, m$ है।
किए गए कार्य की गणना इस प्रकार की जाती है: $W = F \times S = 4900 \, N \times 4 \, m = 19600 \, J$.

(A) लड़के को सीढ़ियाँ चढ़ने के लिए गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है।
लड़के पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल,$F = m \times g = 40 \, kg \times 9.8 \, m s^{-2} = 392 \, N$.
तय की गई कुल ऊँचाई (दूरी),$S = 50 \times 10 \, cm = 500 \, cm = 5 \, m$.
$(i)$ लड़के द्वारा किया गया कार्य,$W = F \times S = 392 \, N \times 5 \, m = 1960 \, J$.
$(ii)$ विकसित शक्ति,$P = \frac{W}{t} = \frac{1960 \, J}{5 \, s} = 392 \, W$.

(B) $m$ द्रव्यमान को गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध $h$ ऊँचाई तक उठाने में किया गया कार्य $W = mgh$ होता है।
शक्ति $P$ कार्य करने की दर है,अर्थात $P = \frac{W}{t}$।
दिए गए मान हैं: $m = 10^{5} \text{ kg}$,$g = 10 \text{ m s}^{-2}$,$h = 360 \text{ m}$,और $t = 1 \text{ घंटा} = 3600 \text{ s}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = \frac{10^{5} \times 10 \times 360}{3600}$
$P = \frac{10^{6} \times 360}{3600}$
$P = 10^{5} \text{ W}$।
अतः,आवश्यक शक्ति $10^{5} \text{ W}$ है।

(C) दिया गया है: मोटर की शक्ति $P_{total} = 100\, W$, समय $t = 1\, \text{मिनट} = 60\, \text{सेकंड}$।
पानी को हिलाने के लिए प्रभावी रूप से उपयोग की गई शक्ति कुल आपूर्ति की गई शक्ति का $50\%$ है।
हिलाने के लिए प्रयुक्त शक्ति $P_{stir} = 100\, W$ का $50\% = \frac{50}{100} \times 100 = 50\, W$।
पानी पर किए गए कार्य की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: $\text{कार्य} = \text{शक्ति} \times \text{समय}$।
$\text{कार्य} = 50\, W \times 60\, \text{s} = 3000\, J$।
अतः, एक मिनट में पानी पर किया गया कार्य $3000\, J$ है।

(C) दिया है: द्रव्यमान $m = 10 \, kg$,ऊँचाई $h = 50 \, cm = 0.5 \, m$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m s^{-2}$।
$(a)$ गिराने से ठीक पहले स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ की गणना $PE = mgh = 10 \times 10 \times 0.5 = 50 \, J$ के रूप में की जाती है।
$(b)$ ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है। जमीन को छूने से ठीक पहले,स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा $(KE)$ में परिवर्तित हो जाती है। अतः,$KE = PE = 50 \, J$।
$(c)$ गतिज ऊर्जा के सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करके,वेग $v$ को $v = \sqrt{\frac{2 \times KE}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 50}{10}} = \sqrt{10} \approx 3.16 \, m s^{-1}$ के रूप में ज्ञात किया जा सकता है।

(D) उपभोग की गई ऊर्जा $E = P \times t$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिदिन $4$ बल्बों द्वारा उपभोग की गई ऊर्जा $= 4 \times 40 \, W \times 5 \, \text{घंटे} = 800 \, Wh$।
प्रतिदिन $4$ ट्यूबलाइट द्वारा उपभोग की गई ऊर्जा $= 4 \times 60 \, W \times 5 \, \text{घंटे} = 1200 \, Wh$।
प्रतिदिन टीवी द्वारा उपभोग की गई ऊर्जा $= 100 \, W \times 6 \, \text{घंटे} = 600 \, Wh$।
प्रतिदिन वाशिंग मशीन द्वारा उपभोग की गई ऊर्जा $= 400 \, W \times 3 \, \text{घंटे} = 1200 \, Wh$।
प्रतिदिन कुल उपभोग की गई ऊर्जा $= 800 + 1200 + 600 + 1200 = 3800 \, Wh$।
चूंकि अप्रैल में $30$ दिन होते हैं, अप्रैल में कुल उपभोग की गई ऊर्जा $= 3800 \, Wh \times 30 = 114000 \, Wh$।
यूनिट $(kWh)$ में रूपांतरण: $114000 \, Wh / 1000 = 114 \, kWh$ (या $114$ यूनिट)।
कुल बिजली बिल $= 114 \, \text{यूनिट} \times ₹ 1.80 / \text{यूनिट} = ₹ 205.20$।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 120 \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 25 \, m s^{-1}$,अंतिम वेग $v = 40 \, m s^{-1}$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर किया गया कार्य $W$ उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta KE = \frac{1}{2} m (v^2 - u^2)$
मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times 120 \times (40^2 - 25^2)$
$W = 60 \times (1600 - 625)$
$W = 60 \times 975$
$W = 58500 \, J$
अतः,किया गया कार्य $58500 \, J$ है।

(B) $10 \, m$ की ऊँचाई $h$ पर गेंद की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $E = mgh$ है।
जमीन से टकराने के बाद,ऊर्जा में $40 \%$ की कमी आती है,जिसका अर्थ है कि गेंद अपनी प्रारंभिक ऊर्जा का $60 \%$ बनाए रखती है।
बची हुई ऊर्जा $= 0.60 \times mgh$.
जब गेंद नई ऊँचाई $h'$ तक वापस उछलती है,तो उस ऊँचाई पर उसकी स्थितिज ऊर्जा $mgh'$ होगी।
बची हुई ऊर्जा को नई स्थितिज ऊर्जा के बराबर रखने पर: $mgh' = 0.60 \times mgh$.
दोनों तरफ से $mg$ को हटाने पर,हमें $h' = 0.60 \times h$ प्राप्त होता है।
$h = 10 \, m$ रखने पर,हमें $h' = 0.60 \times 10 \, m = 6 \, m$ प्राप्त होता है।
अतः,गेंद $6 \, m$ की ऊँचाई तक वापस उछलेगी।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5\, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 0\, m/s$,बल $F = 20\, N$,समय $t = 10\, s$.
चरण $1$: न्यूटन के गति के दूसरे नियम $F = ma$ का उपयोग करके त्वरण की गणना करें।
$a = F / m = 20 / 5 = 4\, m/s^2$.
चरण $2$: गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करके अंतिम वेग $v$ ज्ञात करें।
$v = 0 + (4 \times 10) = 40\, m/s$.
चरण $3$: गतिज ऊर्जा $KE$ के सूत्र $KE = 1/2 mv^2$ का उपयोग करके गणना करें।
$KE = 1/2 \times 5 \times (40)^2 = 1/2 \times 5 \times 1600 = 5 \times 800 = 4000\, J$.

(N/A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \, kg$,ऊंचाई $h = 20 \, m$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m s^{-2}$।
$1$. जमीन पर गतिज ऊर्जा $(KE)$:
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर स्थित स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ जमीन पर पहुंचने पर गतिज ऊर्जा $(KE)$ में परिवर्तित हो जाती है।
$PE = mgh = 10 \times 10 \times 20 = 2000 \, J$।
अतः,$KE = 2000 \, J$।
$2$. जमीन से टकराने से ठीक पहले की गति $(v)$:
सूत्र $KE = \frac{1}{2} mv^2$ का उपयोग करने पर:
$2000 = \frac{1}{2} \times 10 \times v^2$
$2000 = 5 \times v^2$
$v^2 = 400$
$v = \sqrt{400} = 20 \, m s^{-1}$।

(A) व्यक्ति द्वारा किया गया कार्य उस भार पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध होता है जिसे वह उठा रहा है।
यहाँ,उठाए जा रहे वस्तु का द्रव्यमान $m = 30 \, kg$ है।
जिस ऊँचाई तक इसे उठाया जाता है वह $h = 10 \, m$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m s^{-2}$ है।
किया गया कार्य $W$ सूत्र $W = mgh$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $W = 30 \times 9.8 \times 10$.
$W = 30 \times 98 = 2940 \, J$.
नोट: व्यक्ति का अपना वजन $(50 \, kg)$ वस्तु पर किए गए कार्य के लिए अप्रासंगिक है।

(N/A) दिया गया है: कार का द्रव्यमान $m_{c} = 750\, kg$,वेग $v = 54\, km h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18} = 15\, m s^{-1}$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE_{i})$ = $\frac{1}{2} m_{c} v^{2} = \frac{1}{2} \times 750 \times (15)^{2} = 375 \times 225 = 84375\, J$.
जब $50\, kg$ द्रव्यमान का एक यात्री कार में बैठता है,तो नया कुल द्रव्यमान $M = 750 + 50 = 800\, kg$ हो जाता है।
नई गतिज ऊर्जा $(KE_{f})$ = $\frac{1}{2} M v^{2} = \frac{1}{2} \times 800 \times (15)^{2} = 400 \times 225 = 90000\, J$.

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,वायु प्रतिरोध की अनुपस्थिति में किसी वस्तु की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,गेंद में $mgh$ के बराबर स्थितिज ऊर्जा होती है और इसकी गतिज ऊर्जा $0$ होती है।
जैसे-जैसे गेंद नीचे गिरती है,इसकी स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
जमीन को छूने से ठीक पहले,पूरी स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
इसलिए,जमीन को छूने से ठीक पहले गेंद की गतिज ऊर्जा $mgh$ के बराबर होती है।

(D) $(i)$ गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध किया गया कार्य गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जिसे सूत्र $W = mgh$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ ऊँचाई है।
$(ii)$ दिया गया है: द्रव्यमान $(m) = 45 \, kg$,ऊँचाई $(h) = 10 \, m$,और गुरुत्वीय त्वरण $(g) \approx 10 \, m/s^2$।
किया गया कार्य $(W) = m \times g \times h$
$W = 45 \, kg \times 10 \, m/s^2 \times 10 \, m$
$W = 4500 \, J$.

(A) प्रत्येक बच्चे द्वारा किया गया कार्य $W = mgh$ सूत्र का उपयोग करके निकाला जाता है।
यहाँ $m = 20 \, kg$,$g = 9.8 \, m/s^2$,और $h = 10 \, m$ दिया गया है।
किया गया कार्य $= 20 \times 9.8 \times 10 = 1960 \, J$ है।
चूँकि दोनों बच्चों के लिए $m$,$g$ और $h$ समान हैं,इसलिए किया गया कार्य समान है।
शक्ति (पावर) कार्य करने की दर है,$P = W / t$।
बच्चे $A$ के लिए: $P_A = 1960 / 10 = 196 \, W$।
बच्चे $B$ के लिए: $P_B = 1960 / 20 = 98 \, W$।
चूँकि $196 \, W > 98 \, W$ है,इसलिए बच्चे $A$ के पास अधिक शक्ति है।

(N/A) $m$ द्रव्यमान और $v$ वेग से गतिमान वस्तु की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र है: $K = \frac{1}{2}mv^2$।
$(i)$ यदि द्रव्यमान दोगुना $(m' = 2m)$ हो और वेग स्थिर $(v' = v)$ रहे:
$K' = \frac{1}{2}(2m)v^2 = 2 \times (\frac{1}{2}mv^2) = 2K$।
गतिज ऊर्जा मूल मान की दोगुनी हो जाती है।
$(ii)$ यदि वेग दोगुना $(v' = 2v)$ हो और द्रव्यमान स्थिर $(m' = m)$ रहे:
$K' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times (\frac{1}{2}mv^2) = 4K$।
गतिज ऊर्जा मूल मान की चार गुनी हो जाती है।
$(iii)$ यदि द्रव्यमान दोगुना $(m' = 2m)$ हो और वेग आधा $(v' = v/2)$ कर दिया जाए:
$K' = \frac{1}{2}(2m)(v/2)^2 = \frac{1}{2}(2m)(v^2/4) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2}mv^2) = K/2$।
गतिज ऊर्जा मूल मान की आधी हो जाती है।

(D) एक दबी हुई स्प्रिंग अपनी विकृत अवस्था के कारण प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा का भंडारण करती है।
जब स्प्रिंग को अम्ल में घोला जाता है,तो स्प्रिंग को दबी हुई अवस्था में रखने वाले रासायनिक बंध टूट जाते हैं।
भंडारित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा मुक्त होती है और अम्ल के अणुओं की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
अणुओं की गतिज ऊर्जा में यह वृद्धि अम्ल के घोल के तापमान में वृद्धि का कारण बनती है।
इसलिए,स्थितिज ऊर्जा अंततः ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।

(B) संवेग $(p)$,द्रव्यमान $(m)$ और गतिज ऊर्जा $(K)$ के बीच संबंध $p = \sqrt{2mK}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों पिंडों के लिए गतिज ऊर्जा $(K)$ समान है,इसलिए संवेग द्रव्यमान के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है $(p \propto \sqrt{m})$।
अतः,जिस पिंड का द्रव्यमान अधिक है (भारी पिंड),उसका संवेग हल्के पिंड की तुलना में अधिक होगा।

(A) गतिज ऊर्जा $(K)$,संवेग $(p)$ और द्रव्यमान $(m)$ के बीच का संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों पिंडों के लिए संवेग $(p)$ समान है,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(K \propto \frac{1}{m})$।
अतः,जिस पिंड का द्रव्यमान कम (हल्का पिंड) होता है,उसका हर छोटा होने के कारण उसकी गतिज ऊर्जा का मान अधिक प्राप्त होता है।
इस प्रकार,हल्के पिंड की गतिज ऊर्जा भारी पिंड की तुलना में अधिक होती है।

(B) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ है।
$1$. यदि हम द्रव्यमान को दोगुना करते हैं $(m' = 2m)$,तो नई गतिज ऊर्जा: $KE' = \frac{1}{2}(2m)v^2 = 2 \times KE$ हो जाती है। अतः,द्रव्यमान को दोगुना करने से गतिज ऊर्जा दोगुनी हो जाती है।
$2$. यदि हम वेग को दोगुना करते हैं $(v' = 2v)$,तो नई गतिज ऊर्जा: $KE'' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times KE$ हो जाती है। अतः,वेग को दोगुना करने से गतिज ऊर्जा चार गुना बढ़ जाती है।
चूंकि $4 \times KE > 2 \times KE$,इसलिए वेग को दोगुना करने का प्रभाव वस्तु की गतिज ऊर्जा पर अधिक होता है।

(B) जब पानी एक निश्चित ऊंचाई पर होता है,तो उसमें गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा होती है।
जैसे ही पानी नीचे गिरता है,यह गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
तल पर पहुँचने पर,पानी के अणु एक-दूसरे के साथ और चट्टानों के साथ टकराते हैं,जिससे यह गतिज ऊर्जा ऊष्मीय ऊर्जा में बदल जाती है।
परिणामस्वरूप,झरने के तल पर पानी ऊपर के पानी की तुलना में गर्म होता है।

(B) कार्य को बल और बल की दिशा में विस्थापन के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है $(W = F \times s)$।
पहली स्थिति में,लड़का दीवार को धक्का देता है,लेकिन चूंकि दीवार नहीं हिलती है,इसलिए विस्थापन $(s)$ $0$ है। अतः,दीवार पर किया गया कार्य $W = F \times 0 = 0$ है।
दूसरी स्थिति में,लड़का कुर्सी को धक्का देता है और वह कक्षा में आगे से पीछे की ओर जाती है,जिसका अर्थ है कि वहां शून्य से अधिक विस्थापन $(s > 0)$ है।
चूंकि कुर्सी पर कार्य किया जाता है और दीवार पर शून्य कार्य किया जाता है,इसलिए कुर्सी के मामले में अधिक कार्य किया जाता है।

(A) जब एक कॉइल स्प्रिंग को संकुचित किया जाता है,तो स्प्रिंग को उसकी संतुलन स्थिति से विस्थापित करने के लिए एक बाहरी बल लगाया जाता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,बाहरी बल द्वारा स्प्रिंग पर किया गया कार्य स्प्रिंग में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2}kx^2$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्थापन है।
जैसे-जैसे स्प्रिंग संकुचित होती है,विस्थापन $x$ बढ़ता है,जिससे स्प्रिंग में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि होती है।

(B) किसी वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = mgh$ होता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $h$ संदर्भ स्तर (जमीन) से वस्तु के द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई है।
चूँकि एक व्यक्ति के लिए $m$ और $g$ स्थिर होते हैं,इसलिए स्थितिज ऊर्जा सीधे द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई $(h)$ पर निर्भर करती है।
जब कोई व्यक्ति जमीन पर लेटा होता है,तो उसके द्रव्यमान केंद्र की जमीन से ऊँचाई खड़े होने,जमीन पर बैठने या कुर्सी पर बैठने की तुलना में सबसे कम होती है।
इसलिए,जब व्यक्ति जमीन पर लेटा होता है तो उसकी स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है।

(C) भौतिकी में,कार्य को लगाए गए बल और बल की दिशा में हुए विस्थापन के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसका सूत्र $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ है,जहाँ $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
यदि गति की दिशा के समानांतर बल का कोई घटक नहीं है,तो $\theta = 90^\circ$ होता है। चूँकि $\cos(90^\circ) = 0$ होता है,इसलिए किया गया कार्य $W = 0$ हो जाता है।
अतः,जब गति की दिशा के समानांतर बल का कोई घटक नहीं होता है,तो कोई कार्य नहीं होता है।

(D) $m$ द्रव्यमान और $v$ वेग से गति कर रही वस्तु की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र है: $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$।
यदि चाल को दोगुना कर दिया जाए,तो नया वेग $v' = 2v$ हो जाता है।
नई गतिज ऊर्जा $(K.E.')$ होगी: $K.E.' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times (\frac{1}{2}mv^2)$।
अतः,$K.E.' = 4 \times K.E.$
यह दर्शाता है कि जब चाल दोगुनी की जाती है तो गतिज ऊर्जा $4$ गुना बढ़ जाती है।

(A) जमीन से $h$ ऊँचाई पर स्थित $m$ द्रव्यमान की वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = mgh$ होता है।
जब पत्थर $d$ ऊर्ध्वाधर ऊँचाई से नीचे गिरता है,तो उसकी प्रारंभिक ऊँचाई $h_i$ है और अंतिम ऊँचाई $h_f = h_i - d$ है।
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta PE = PE_i - PE_f$ है।
$\Delta PE = mgh_i - mg(h_i - d)$।
$\Delta PE = mgh_i - mgh_i + mgd$।
$\Delta PE = mgd$।
अतः,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में होने वाली कमी $mgd$ है।

(C) गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} mv^2$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग है।
दिया गया है: $KE = 1 \, J$,$m = 1 \, kg$.
सूत्र में मान रखने पर: $1 = \frac{1}{2} \times 1 \times v^2$.
$v^2 = 2$.
$v = \sqrt{2} \approx 1.414 \, m/s$.
अतः,चाल लगभग $1.4 \, m/s$ होगी।

(C) जब वस्तुओं को ऊंचाई से गिराया जाता है,तो वे गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में मुक्त पतन (free fall) करती हैं।
हवा के प्रतिरोध की अनुपस्थिति में,मुक्त पतन में वस्तु का त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के बराबर होता है,जो लगभग $9.8 \, m/s^2$ है।
यह त्वरण वस्तु के द्रव्यमान,आकार या पदार्थ पर निर्भर नहीं करता है।
चूंकि दोनों गोलों को एक ही ऊंचाई से एक साथ गिराया जाता है,इसलिए किसी भी बिंदु पर (जमीन से $10 \, m$ ऊपर सहित),उनका वेग और त्वरण $(g)$ समान होगा।
स्थितिज ऊर्जा $(PE = mgh)$ द्रव्यमान पर निर्भर करती है,इसलिए यह दोनों गोलों के लिए अलग होगी।
संवेग $(p = mv)$ द्रव्यमान पर निर्भर करता है,इसलिए यह भी अलग होगा।
गतिज ऊर्जा $(KE = 1/2 mv^2)$ द्रव्यमान पर निर्भर करती है,इसलिए यह भी अलग होगी।
अतः,केवल त्वरण ही वह राशि है जो दोनों गोलों के लिए समान रहती है।

(D) गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = mgh$ है,जहाँ:
$m$ वस्तु का द्रव्यमान $(1 \, kg)$ है,
$g$ गुरुत्वीय त्वरण (लगभग $9.8 \, m/s^2$) है,
$h$ जमीन से ऊँचाई है।
यहाँ $PE = 1 \, J$ दिया गया है,इसलिए:
$1 = 1 \times 9.8 \times h$
$h = 1 / 9.8 \, m$
$h \approx 0.102 \, m$.
अतः,सही ऊँचाई $0.102 \, m$ है।

(A) किसी ऊँचाई $(h)$ पर स्थित वस्तु की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र है: $PE = m \cdot g \cdot h$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है: द्रव्यमान $(m)$ = $5\,kg$,ऊँचाई $(h)$ = $5\,m$,गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ $\approx 10\,m/s^2$.
जैसे ही वस्तु जमीन पर गिरती है,स्थितिज ऊर्जा में होने वाली हानि उसकी प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।
$PE = 5\,kg \times 10\,m/s^2 \times 5\,m = 250\,J$.
अतः,स्थितिज ऊर्जा में होने वाली हानि $250\,J$ है।

(B) भारोत्तोलक द्वारा किया गया कार्य $(W)$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जो $W = mgh$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,द्रव्यमान $(m)$ = $240 \,kg$,ऊँचाई $(h)$ = $2.5 \,m$,और गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ = $9.8 \,m/s^2$ है।
$W = 240 \times 9.8 \times 2.5 = 5880 \,J$.
लिया गया समय $(t)$ = $3 \,s$ है।
औसत शक्ति $(P)$ कार्य करने की दर है,अर्थात $P = W / t$.
$P = 5880 / 3 = 1960 \,W$.
अतः,औसत शक्ति $1960 \,W$ है।

(C) कार्य $(W)$ को सूत्र $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$s$ विस्थापन है,और $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
जब कोई बल किसी पिंड की गति को मंद करता है,तो बल विस्थापन की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
इसलिए,बल और विस्थापन के बीच का कोण $\theta = 180^{\circ}$ होता है।
चूंकि $\cos(180^{\circ}) = -1$ होता है,इसलिए किया गया कार्य $W = F \cdot s \cdot (-1) = -F \cdot s$ होगा।
अतः,किया गया कार्य ऋणात्मक होता है।

(D) किसी वस्तु पर बल $(F)$ द्वारा किया गया कार्य $(W)$,सूत्र $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $s$ विस्थापन है और $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
कार्य को धनात्मक होने के लिए,$\cos(\theta)$ का मान धनात्मक होना चाहिए,जो $0^\circ \le \theta < 90^\circ$ होने पर होता है।
इसका अर्थ है कि वस्तु को लगाए गए बल की दिशा में (या उसके साथ न्यून कोण बनाते हुए) गति करनी चाहिए।
अतः,यदि वस्तु लगाए गए बल की दिशा में गति करती है,तो किया गया कार्य धनात्मक होता है।

(A) कार्य को बल और विस्थापन के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। कार्य का $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है,जो $1 \text{ N} \cdot \text{m}$ के बराबर होता है।
$CGS$ (सेंटीमीटर-ग्राम-सेकंड) पद्धति में,बल का मात्रक डाइन है और विस्थापन का मात्रक सेंटीमीटर $(cm)$ है।
अतः,कार्य का $CGS$ मात्रक अर्ग (erg) है,जहाँ $1 \text{ erg} = 1 \text{ dyne} \cdot \text{cm}$ होता है।
$1 \text{ जूल} = 10^7 \text{ अर्ग}$।

(B) कार्य $(W)$ को बल $(F)$ और बल की दिशा में विस्थापन $(s)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसका सूत्र $W = F \times s$ है।
एक जूल $(1 \, J)$ कार्य तब कहा जाता है जब $1 \, \text{Newton}$ $(1 \, N)$ का बल किसी वस्तु को बल की दिशा में $1 \, \text{meter}$ $(1 \, m)$ विस्थापित करता है।
अतः, $1 \, J = 1 \, N \times 1 \, m$ होता है।

(C) $m$ द्रव्यमान वाले और $v$ चाल से गति कर रहे कण की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र है: $K = \frac{1}{2}mv^2$।
यदि चाल को दोगुना कर दिया जाए,तो नई चाल $v' = 2v$ हो जाती है।
नई गतिज ऊर्जा $(K')$ होगी: $K' = \frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{1}{2}m(2v)^2$।
$K' = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times (\frac{1}{2}mv^2) = 4K$।
अतः,गतिज ऊर्जा मूल गतिज ऊर्जा की चार गुनी हो जाती है।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
यह ऊर्जा संरक्षण के नियम के रूप में जाना जाने वाला एक मौलिक सिद्धांत है।
इस नियम के अनुसार,ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है,इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।
इसलिए,एक पृथक प्रणाली की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है,जिसका अर्थ है कि एक रूप द्वारा खोई गई ऊर्जा की मात्रा दूसरे रूप द्वारा बिल्कुल उतनी ही प्राप्त कर ली जाती है।

(B) यह कथन असत्य है。
भौतिकी में, किसी बल $(F)$ द्वारा किया गया कार्य $(W)$ बल और बल की दिशा में विस्थापन $(s)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित होता है, जिसे $W = F \times s \times \cos(\theta)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है。
यदि बल लगाया जाता है लेकिन कोई गति उत्पन्न नहीं होती है, तो विस्थापन $(s)$ $0$ होता है。
इसलिए, किया गया कार्य $W = F \times 0 = 0$ होता है。
हालाँकि, कथन कहता है कि "बल कार्य नहीं करता है", जो यह दर्शाता है कि कार्य नहीं हो रहा है। चूँकि विस्थापन न होने पर कार्य वास्तव में $0$ होता है, लेकिन पाठ्यपुस्तकों के संदर्भ में इस कथन को असत्य माना जाता है क्योंकि यह बल की प्रकृति को गलत तरीके से प्रस्तुत करता है。

(B) यह कथन असत्य है।
किलोवाट घंटा $(kWh)$ ऊर्जा का मात्रक है,शक्ति का नहीं।
शक्ति को वाट $(W)$ या किलोवाट $(kW)$ में मापा जाता है,जबकि ऊर्जा को किलोवाट घंटा $(kWh)$ में मापा जाता है।

(FALSE) यह कथन असत्य है।
भौतिकी में,कार्य को बल और विस्थापन के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,और ऊर्जा को कार्य करने की क्षमता के रूप में परिभाषित किया जाता है।
कार्य और ऊर्जा दोनों को एक ही $SI$ इकाई में मापा जाता है,जो जूल $(J)$ है।

(A) किया गया कार्य $(W)$ सूत्र $W = Fs \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$s$ विस्थापन है,और $\theta$ बल और विस्थापन सदिशों के बीच का कोण है।
जब $\theta = 90^{\circ}$ होता है,तो $\cos 90^{\circ} = 0$ होता है।
इसलिए,$W = Fs \times 0 = 0$।
चूंकि किया गया कार्य धनात्मक,ऋणात्मक या शून्य हो सकता है,इसलिए कार्य का न्यूनतम मान (परिमाण के संदर्भ में) तब प्राप्त होता है जब बल विस्थापन के लंबवत होता है,जिसके परिणामस्वरूप शून्य कार्य होता है।

(FALSE) यह कथन असत्य है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है,इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।
जब कोई पिंड गिरता है और जमीन से टकराता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा अन्य रूपों में परिवर्तित हो जाती है,जैसे कि ध्वनि ऊर्जा,ऊष्मीय ऊर्जा और विरूपण की स्थितिज ऊर्जा (यदि पिंड या जमीन में कोई परिवर्तन होता है)।
अतः,निकाय की कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है और इस सिद्धांत का उल्लंघन नहीं होता है।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है: $KE = \frac{1}{2}mv^2$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग है।
यदि वेग को आधा कर दिया जाए,तो नया वेग $v' = \frac{v}{2}$ होगा।
नई गतिज ऊर्जा $KE'$ इस प्रकार होगी: $KE' = \frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v^2}{4}) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2}mv^2) = \frac{1}{4} KE$.
अतः,गतिज ऊर्जा मूल गतिज ऊर्जा की $\frac{1}{4}$ हो जाती है।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
जब धनुष की डोरी को खींचा जाता है,तो धनुष पर कार्य किया जाता है,जो धनुष में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है। जब तीर को छोड़ा जाता है,तो यह संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा तीर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जिससे तीर आगे की ओर बढ़ता है।

(FALSE) यह कथन असत्य है।
किसी बल द्वारा किया गया कार्य,लगाए गए बल और बल की दिशा में हुए विस्थापन के गुणनफल के रूप में परिभाषित होता है $(W = F \cdot s \cdot \cos \theta)$।
कार्य करने की दर को शक्ति (Power) के रूप में परिभाषित किया जाता है $(P = W / t)$।
अतः,किया गया कार्य केवल बल और विस्थापन के परिमाण पर निर्भर करता है,न कि कार्य करने में लगे समय या गति पर।

(A) यह कथन सत्य है।
शक्ति को कार्य करने की दर या ऊर्जा के स्थानांतरण की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से, $Power (P) = \frac{Work (W)}{Time (t)}$.
इसका $SI$ मात्रक वाट $(W)$ है।

(A) यह कथन $True$ (सत्य) है।
कार्य $(W)$ को सूत्र $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$s$ विस्थापन है,और $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
वृत्तीय गति में,अभिकेंद्र बल हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है,जबकि विस्थापन (स्पर्शरेखीय वेग) हमेशा त्रिज्या के लंबवत होता है।
चूंकि अभिकेंद्र बल और विस्थापन के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है,इसलिए किया गया कार्य $W = F \cdot s \cdot \cos(90^{\circ})$ होता है।
चूंकि $\cos(90^{\circ}) = 0$ होता है,इसलिए अभिकेंद्र बल द्वारा किया गया कार्य $0$ होता है।

(FALSE) यह कथन असत्य है।
कार्य का $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है,जिसे तब परिभाषित किया जाता है जब $1$ न्यूटन का बल किसी वस्तु को $1$ मीटर विस्थापित करता है।
वाट $(W)$ शक्ति का $SI$ मात्रक है,जिसे कार्य करने की दर या ऊर्जा स्थानांतरण की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है ($1$ वाट = $1$ जूल प्रति सेकंड)।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ होता है,जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है और $v$ उसकी चाल (या वेग) है।
चूँकि सूत्र में गतिज ऊर्जा की गणना करने के लिए केवल वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ और चाल $(v)$ की आवश्यकता होती है,इसलिए इन दो मानों को जानने से हम वस्तु की गतिज ऊर्जा निर्धारित कर सकते हैं।