$(i)$ जमीन के साथ एक निश्चित कोण पर फेंकी गई वस्तु एक वक्र पथ पर चलती है और वापस जमीन पर गिरती है। वस्तु के पथ के प्रारंभिक और अंतिम बिंदु एक ही क्षैतिज रेखा पर स्थित हैं। गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध और गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा वस्तु पर किया गया कुल कार्य क्या है? उचित गणितीय अभिव्यक्ति के साथ समझाइए।
$(ii)$ $20 \, kg$ द्रव्यमान पर कार्य करने वाला एक निश्चित बल इसके वेग को $5 \, m s^{-1}$ से बदलकर $2 \, m s^{-1}$ कर देता है। बल द्वारा किए गए कार्य की गणना कीजिए।

(D) $(i)$ जब किसी वस्तु को एक निश्चित कोण पर फेंका जाता है, तो वह अधिकतम ऊँचाई $h$ तक ऊपर जाती है और फिर परवलयाकार पथ का अनुसरण करते हुए वापस जमीन पर आ जाती है। ऊपर जाते समय गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_{against} = mgh$ है। नीचे गिरते समय गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_{by} = mgh$ है। चूँकि प्रारंभिक और अंतिम बिंदु एक ही क्षैतिज रेखा पर हैं, इसलिए ऊर्ध्वाधर दिशा में कुल विस्थापन $0$ है। अतः, गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कुल कार्य $W_{net} = W_{against} + W_{by} = -mgh + mgh = 0 \, J$ है।
$(ii)$ दिया गया है: द्रव्यमान $m = 20 \, kg$, प्रारंभिक वेग $u = 5 \, m s^{-1}$, अंतिम वेग $v = 2 \, m s^{-1}$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta KE = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2$
$W = \frac{1}{2} \times 20 \times (2)^2 - \frac{1}{2} \times 20 \times (5)^2$
$W = 10 \times 4 - 10 \times 25$
$W = 40 - 250 = -210 \, J$।