Mix Example - WORK AND ENERGY Questions in Gujarati

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ પૃથ્વી તરફ મુક્ત પતન કરે છે,ત્યારે તે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું પાલન કરે છે.
જેમ પદાર્થ નીચે પડે છે,તેમ તેની સ્થિતિ ઉર્જા ઘટે છે અને તેની ગતિ ઉર્જા તેટલા જ પ્રમાણમાં વધે છે.
તેથી,સ્થિતિ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો,જે કુલ યાંત્રિક ઉર્જા છે,તે ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.

(B) સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ એ $PE = mgh$ સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $h$ એ સંદર્ભ સપાટીથી પદાર્થની ઊંચાઈ છે.
કાર સમતલ રસ્તા પર ગતિ કરી રહી હોવાથી,ગતિ દરમિયાન ઊંચાઈ $(h)$ અચળ રહે છે.
$m$,$g$,અને $h$ બદલાતા ન હોવાથી,કારની સ્થિતિઊર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,સ્થિતિઊર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(C) કાર્યનું સૂત્ર $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$s$ એ સ્થાનાંતર છે અને $\theta$ એ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે બળ અને સ્થાનાંતર એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય,ત્યારે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 180^o$ હોય છે.
કારણ કે $\cos(180^o) = -1$ થાય છે,તેથી કાર્ય $W = -F \cdot s$ મળે છે,જેને ઋણ કાર્ય કહેવામાં આવે છે.

(D) જ્યારે પદાર્થોને ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે.
ગતિના નિયમો અનુસાર,મુક્ત પતન કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ એ ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ જેટલો હોય છે,જે આશરે $9.8 \, m/s^2$ છે.
આ ગુરુત્વપ્રવેગ પદાર્થના દળ,કદ કે આકાર પર આધાર રાખતો નથી.
બંને ગોળાઓને એક જ ઊંચાઈ પરથી એકસાથે પાડવામાં આવતા હોવાથી,કોઈપણ બિંદુએ (જેમ કે જમીનથી $10 \, m$ ઊંચાઈએ),તેમનો વેગ સમાન હશે અને પરિણામે તેમનો પ્રવેગ પણ સમાન હશે.
ગતિઊર્જા $(1/2 mv^2)$,વેગમાન $(mv)$,અને સ્થિતિઊર્જા $(mgh)$ એ પદાર્થના દળ $(m)$ પર આધાર રાખે છે,જે બંને ગોળાઓ માટે અલગ-અલગ છે. તેથી,આ ભૌતિક રાશિઓ સમાન હશે નહીં.

(A) કાર્ય એટલે બળ અને બળની દિશામાં થયેલ સ્થાનાંતરનો ગુણાકાર,જે $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ બેગ પર શિરોલંબ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
છોકરીનું સ્થાનાંતર સમતલ રસ્તા પર આડી દિશામાં થાય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (નીચેની તરફ) અને સ્થાનાંતર (આડી દિશામાં) વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $W = F \cdot s \cdot \cos(90^{\circ})$ થશે.
કારણ કે $\cos(90^{\circ}) = 0$ છે,તેથી ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $0 \, J$ થશે.

(B) ઊર્જા એટલે કાર્ય કરવાની ક્ષમતા. ઊર્જાનો $SI$ એકમ $Joule$ $(J)$ છે.
$1$ $Joule$ એ $1$ $Newton$ $metre$ $(N \cdot m)$ ની બરાબર છે.
$Kilowatt$ $hour$ $(kWh)$ એ વિદ્યુત ઊર્જાનો વ્યાવસાયિક એકમ છે,જ્યાં $1$ $kWh = 3.6 \times 10^6$ $J$ થાય છે.
$Kilowatt$ $(kW)$ એ પાવર (સામર્થ્ય) નો એકમ છે,ઊર્જાનો નહીં. પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર $(Power = Work / Time)$.
તેથી,$kilowatt$ એ ઊર્જાનો એકમ નથી.

(C) કાર્યનું સૂત્ર $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે,$F$ એ લાગતું બળ છે,$s$ એ સ્થાનાંતર છે અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કાર્ય એ બળના મૂલ્ય,સ્થાનાંતરના મૂલ્ય અને તેમની વચ્ચેના ખૂણા પર આધાર રાખે છે.
કાર્ય એ પદાર્થના પ્રારંભિક વેગ પર આધાર રાખતું નથી.

(D) કોઈપણ પદાર્થમાં તેની સ્થિતિ અથવા ગોઠવણીને કારણે સંગ્રહિત ઉર્જાને સ્થિતિ ઉર્જા કહેવામાં આવે છે.
ડેમમાં રહેલું પાણી ચોક્કસ ઊંચાઈએ સંગ્રહિત હોવાથી,તે તેની જમીનની સાપેક્ષ સ્થિતિને કારણે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા ધરાવે છે.

(A) ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મુક્ત પતન કરતા પદાર્થની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા અચળ રહે છે.
$h$ ઊંચાઈ પર,સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ $mgh$ હોય છે અને ગતિ ઊર્જા $(KE)$ $0$ હોય છે.
$\frac{h}{2}$ અંતર કાપ્યા પછી,બાકી રહેલી ઊંચાઈ $\frac{h}{2}$ છે.
આ બિંદુએ સ્થિતિ ઊર્જા $PE = mg(\frac{h}{2}) = \frac{1}{2}mgh$ થાય છે.
કુલ ઊર્જા $mgh$ હોવાથી,ગતિ ઊર્જા $KE = mgh - \frac{1}{2}mgh = \frac{1}{2}mgh$ થશે.
તેથી,અડધી ઊંચાઈએ,પદાર્થમાં અડધી સ્થિતિ ઊર્જા અને અડધી ગતિ ઊર્જા હોય છે.

(B) ગતિઊર્જા $(K.E)$ નું સૂત્ર $K.E = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v_1 = v$ છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{1}{2}mv^2$ થશે.
જ્યારે વેગ ત્રણ ગણો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો વેગ $v_2 = 3v$ થાય છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{1}{2}m(3v)^2 = \frac{1}{2}m(9v^2) = 9 \times (\frac{1}{2}mv^2)$ થશે.
તેથી,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા અને અંતિમ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $K_1 : K_2 = \frac{1}{2}mv^2 : 9(\frac{1}{2}mv^2) = 1:9$ છે.

(A) પાવર (શક્તિ) એ કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેની ગણતરી $P = F \times v$ સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
અવિનાશ માટે:
$P_{A} = F_{A} \times v_{A} = 10 \, N \times 8 \, m \, s^{-1} = 80 \, W$.
કપિલ માટે:
$P_{K} = F_{K} \times v_{K} = 25 \, N \times 3 \, m \, s^{-1} = 75 \, W$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$80 \, W > 75 \, W$ છે. તેથી,અવિનાશ કપિલ કરતા વધુ શક્તિશાળી છે.

(N/A) બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ બળ અને બળની દિશામાં થયેલા સ્થાનાંતરનો ગુણાકાર છે.
કાર્ય $W = F \times d$
અહીં,છોકરો સમગ્ર માર્ગ દરમિયાન $F = 5\, N$ ના અચળ ઘર્ષણ બળની વિરુદ્ધ ગતિ કરે છે.
છોકરા દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર એ સીધા રસ્તા,વર્તુળાકાર માર્ગ અને અંતિમ સીધા રસ્તાના અંતરનો સરવાળો છે.
$1$. પ્રારંભિક સીધા રસ્તાનું અંતર $= 1.5\, km = 1500\, m$.
$2$. વર્તુળાકાર માર્ગનું અંતર: છોકરો $r = 100\, m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર માર્ગ પર $1.5$ ચક્ર પૂર્ણ કરે છે. અંતર $= 1.5 \times (2 \pi r) = 1.5 \times 2 \times 3.14 \times 100 = 942\, m$.
$3$. અંતિમ સીધા રસ્તાનું અંતર $= 2.0\, km = 2000\, m$.
કુલ અંતર $d = 1500\, m + 942\, m + 2000\, m = 4442\, m$.
ઘર્ષણ બળ સમગ્ર માર્ગ પર લાગતું હોવાથી,ઘર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય કુલ કાપેલા અંતરનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે.
કાર્ય $W = 5\, N \times 4442\, m = 22210\, J$.

(A) હા,જો કોઈ પદાર્થનું વેગમાન શૂન્ય હોય તો પણ તેની પાસે યાંત્રિક ઉર્જા હોઈ શકે છે.
યાંત્રિક ઉર્જા એ ગતિ ઉર્જા $(KE)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ નો સરવાળો છે.
વેગમાન $(p)$ એ દળ $(m)$ અને વેગ $(v)$ નો ગુણાકાર છે,એટલે કે $p = mv$.
જો વેગમાન શૂન્ય હોય $(p = 0)$,તો પદાર્થનો વેગ પણ શૂન્ય $(v = 0)$ હોવો જોઈએ.
ગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,જો $v = 0$ હોય,તો $KE = 0$ થાય.
જોકે,પદાર્થ તેની સ્થિતિ અથવા ગોઠવણીને કારણે સ્થિતિ ઉર્જા ધરાવી શકે છે (દા.ત.,જમીનથી અમુક ઊંચાઈએ પકડી રાખેલો દડો).
તેથી,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $(ME = KE + PE)$ શૂન્ય ન હોઈ શકે કારણ કે $PE$ શૂન્ય નથી.

(NO) ના,જો કોઈ પદાર્થની યાંત્રિક ઉર્જા શૂન્ય હોય તો તેનું વેગમાન હોઈ શકે નહીં.
યાંત્રિક ઉર્જા એ ગતિ ઉર્જા $(KE)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ નો સરવાળો છે.
જો યાંત્રિક ઉર્જા શૂન્ય હોય,તો $KE + PE = 0$ થાય.
ગતિ ઉર્જા $(KE = \frac{1}{2}mv^2)$ ક્યારેય ઋણ હોઈ શકતી નથી,અને કુલ સરવાળો શૂન્ય થવા માટે $KE$ અને $PE$ બંને શૂન્ય હોવા જોઈએ.
જો $KE = 0$ હોય,તો $\frac{1}{2}mv^2 = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે પદાર્થનો વેગ $(v)$ શૂન્ય છે.
વેગમાન $(p)$ એ દળ અને વેગનો ગુણાકાર છે $(p = mv)$,તેથી જો $v = 0$ હોય,તો વેગમાન $(p)$ પણ $0$ જ થાય.

(C) પાવર $(P)$ એ કાર્ય કરવાનો દર છે, $P = \frac{W}{\Delta t}$.
પાણીને ઉપર ચઢાવવા માટે કરેલું કાર્ય $W = mgh$ હોવાથી, સૂત્ર $P = \frac{mgh}{\Delta t}$ બને છે.
આપેલ છે: $P = 2 \, kW = 2000 \, W$, $h = 10 \, m$, $g = 10 \, m \, s^{-2}$, અને $\Delta t = 1 \, \text{મિનિટ} = 60 \, s$.
કિંમતો મૂકતા: $2000 = \frac{m \times 10 \times 10}{60}$.
$2000 = \frac{100m}{60} \Rightarrow 2000 = \frac{5m}{3}$.
$m = \frac{2000 \times 3}{5} = 400 \times 3 = 1200 \, kg$.
આમ, પંપ દર મિનિટે $1200 \, kg$ પાણી ચઢાવી શકે છે.

(D) વ્યક્તિનું વજન $W = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે.
ગ્રહ $A$ પર વજન પૃથ્વી કરતા અડધું હોવાથી,ગ્રહ $A$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g_A)$ એ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g_E)$ કરતા અડધો હશે,એટલે કે $g_A = \frac{1}{2} g_E$.
જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ કૂદકો મારે છે,ત્યારે તેના સ્નાયુઓ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય સ્થિતિ ઊર્જા $(PE = mgh)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે. જો સ્નાયુબદ્ધ બળ અને કરવામાં આવેલું કાર્ય સમાન રહે,તો મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઊર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,$m g_E h_E = m g_A h_A$.
કિંમતો મૂકતા: $g_E \times 0.4 = (\frac{1}{2} g_E) \times h_A$.
$0.4 = \frac{1}{2} h_A$.
$h_A = 0.4 \times 2 = 0.8 \, m$.
આમ,વ્યક્તિ ગ્રહ $A$ પર $0.8 \, m$ ની ઊંચાઈ સુધી કૂદી શકે છે.

(N/A) ગતિના ત્રીજા સમીકરણ મુજબ: $v^{2} - u^{2} = 2as$
આના પરથી, સ્થાનાંતર $s$ ને આ રીતે દર્શાવી શકાય: $s = \frac{v^{2} - u^{2}}{2a}$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, લગાડવામાં આવેલ બળ: $F = ma$
બળ $F$ દ્વારા $s$ અંતર સુધી કરવામાં આવેલ કાર્ય $(W)$ ની વ્યાખ્યા: $W = F \times s$
$F$ અને $s$ ના સમીકરણો મૂકતા: $W = (ma) \times \left( \frac{v^{2} - u^{2}}{2a} \right)$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $W = \frac{1}{2}m(v^{2} - u^{2}) = \frac{1}{2}mv^{2} - \frac{1}{2}mu^{2}$
ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $\frac{1}{2}mv^{2}$ હોવાથી, આપણને મળે છે: $W = (K.E.)_{f} - (K.E.)_{i}$
આમ, થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું છે.

(A) હા,એ શક્ય છે કે કોઈ પદાર્થ પ્રવેગી ગતિમાં હોય છતાં તેના પર લાગતા બળ દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય હોય.
કાર્ય $(W)$ નું સૂત્ર $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$s$ એ સ્થાનાંતર છે અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થ પર કેન્દ્રગામી બળ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે,જે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે.
કોઈપણ ક્ષણે પદાર્થનું સ્થાનાંતર વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે અને કેન્દ્રગામી બળ કેન્દ્ર તરફ હોય છે,તેથી બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ થાય છે.
ચૂંકિ $\cos(90^{\circ}) = 0$ છે,તેથી થતું કાર્ય $W = F \cdot s \cdot 0 = 0$ થાય છે. આમ,પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરતા બાહ્ય બળની હાજરી હોવા છતાં,કાર્ય શૂન્ય થાય છે.

(C) $10\, m$ ની ઊંચાઈ $h$ પર દડાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $PE = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$PE = m \times 10\, m/s^2 \times 10\, m = 100m\, J$.
જમીન સાથે અથડાયા પછી,ઊર્જામાં $40\%$ નો ઘટાડો થાય છે,જેનો અર્થ છે કે બાકી રહેલી ઊર્જા પ્રારંભિક ઊર્જાના $100\% - 40\% = 60\%$ છે.
બાકી રહેલી ઊર્જા = $0.60 \times 100m = 60m\, J$.
ધારો કે દડા દ્વારા પ્રાપ્ત નવી ઊંચાઈ $h'$ છે. આ ઊંચાઈ પર સ્થિતિ ઊર્જા $PE' = mgh'$ છે.
બાકી રહેલી ઊર્જાને નવી સ્થિતિ ઊર્જા સાથે સરખાવતા: $mgh' = 60m$.
$m \times 10 \times h' = 60m$.
$h' = 60 / 10 = 6\, m$.
આમ,દડો $6\, m$ ની ઊંચાઈ સુધી પાછો ઉછળી શકે છે.

(D) પાવર $(P)$ = $1200 \, W = 1.2 \, kW$.
દરરોજનો સમય $(t)$ = $30 \, \text{મિનિટ} = 0.5 \, \text{કલાક}$.
એપ્રિલ મહિનામાં કુલ $30$ દિવસ હોય છે.
કુલ વપરાતી વિદ્યુત ઉર્જા $(E)$ = પાવર $\times$ દરરોજનો સમય $\times$ દિવસોની સંખ્યા.
$E = 1.2 \, kW \times 0.5 \, h \times 30 \, \text{દિવસ}$.
$E = 0.6 \times 30 = 18 \, kWh$.

(N/A) ગતિઊર્જા $(K.E.)$ અને વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K.E. = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંને વસ્તુઓનું વેગમાન સમાન છે $(p_1 = p_2 = p)$.
ધારો કે $m_1$ એ હલકી વસ્તુનું દળ છે અને $m_2$ એ ભારે વસ્તુનું દળ છે,જ્યાં $m_1 < m_2$ છે.
હલકી વસ્તુની ગતિઊર્જા $(K.E.)_1 = \frac{p^2}{2m_1}$ છે.
ભારે વસ્તુની ગતિઊર્જા $(K.E.)_2 = \frac{p^2}{2m_2}$ છે.
તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{(K.E.)_1}{(K.E.)_2} = \frac{\frac{p^2}{2m_1}}{\frac{p^2}{2m_2}} = \frac{m_2}{m_1}$ થાય છે.
અહીં $m_1 < m_2$ હોવાથી,$\frac{m_2}{m_1} > 1$ થાય,જે દર્શાવે છે કે $(K.E.)_1 > (K.E.)_2$.
તેથી,હલકી વસ્તુની ગતિઊર્જા વધારે હોય છે.

(10 M/S) $m(A) = m(B) = 1000 \,kg$. કાર $(A)$ નો પ્રારંભિક વેગ $v = 36 \,km/h = 36 \times (5/18) \,m/s = 10 \,m/s$.
ઘર્ષણ બળ $F = 100 \,N$.
કારણ કે કાર $(A)$ અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે,તેથી એન્જિને વિરોધી ઘર્ષણ બળ જેટલું જ બળ લગાડવું પડે.
પાવર $P = F \times v = 100 \,N \times 10 \,m/s = 1000 \,W$.
અથડામણ માટે,આપણે વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$m_A u_A + m_B u_B = m_A v_A + m_B v_B$
અહીં,$m_A = 1000 \,kg$,$u_A = 10 \,m/s$,$m_B = 1000 \,kg$,$u_B = 0 \,m/s$,અને $v_A = 0 \,m/s$ (કારણ કે કાર $(A)$ સ્થિર થઈ જાય છે).
$1000 \times 10 + 1000 \times 0 = 1000 \times 0 + 1000 \times v_B$
$10000 = 1000 \times v_B$
$v_B = 10 \,m/s$.

(A) ટ્રોલી પર થયેલું કાર્ય શોધવા માટે,આપણે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $W = \Delta KE = KE_f - KE_i$.
આપેલ છે: કુલ દળ $m = 35 \, kg + 5 \, kg = 40 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 4 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \, m/s$.
$W = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2 = 0 - \frac{1}{2} \times 40 \times (4)^2 = -20 \times 16 = -320 \, J$.
ટ્રોલી પર થયેલું કાર્ય $-320 \, J$ છે.
$(b)$ છોકરી ટ્રોલી પર બેઠેલી છે અને ટ્રોલીની સાપેક્ષ ગતિ બદલવા માટે કોઈ વધારાનું બળ લગાડતી નથી,તેથી છોકરી દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $0 \, J$ છે.

(N/A) બોક્સને ઊંચકવા માટે લગાડવામાં આવેલું બળ તેના વજન જેટલું હોય છે: $F = m \times g = 250 \,kg \times 10 \,m \,s^{-2} = 2500 \,N$.
બોક્સને ઊંચકવામાં થયેલું કાર્ય $W = F \times s = 2500 \,N \times 1 \,m = 2500 \,J$ છે.
$(b)$ બોક્સને પકડી રાખવામાં થયેલું કાર્ય શૂન્ય છે કારણ કે સ્થાનાંતર $s = 0$ છે.
$(c)$ તેઓ થાકી જાય છે કારણ કે બોક્સને પકડી રાખવા માટે,તેમના સ્નાયુઓએ સતત ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ બળ લગાડવું પડે છે,જેમાં આંતરિક સ્નાયુબદ્ધ પ્રયત્ન અને ઉર્જાનો વ્યય થાય છે.

(N/A) પાવર એટલે કાર્ય કરવાની અથવા ઉર્જાના રૂપાંતરણનો દર.
કિલોવોટ $(kW)$ એ પાવરનો એકમ છે, જે $1000 \, J/s$ દર્શાવે છે। કિલોવોટ અવર $(kWh)$ એ ઉર્જાનો એકમ છે, જે $1 \, kW$ પાવર ધરાવતું સાધન $1 \, \text{કલાક}$ માં જેટલી ઉર્જા વાપરે છે તે દર્શાવે છે.
આપેલ છે: ઊંચાઈ $(h) = 20 \, m$, દળ $(m) = 2000 \, \text{ટન} = 2000 \times 1000 \, kg = 2 \times 10^6 \, kg$, સમય $(t) = 1 \, \text{મિનિટ} = 60 \, s$, ગુરુત્વપ્રવેગ $(g) = 10 \, m \, s^{-2}$.
સ્થિતિ ઉર્જા $(PE) = mgh = 2 \times 10^6 \times 10 \times 20 = 4 \times 10^8 \, J$.
પાવર = $\frac{\text{ઉર્જા}}{\text{સમય}} = \frac{4 \times 10^8 \, J}{60 \, s} = \frac{40}{6} \times 10^7 \, W = 6.67 \times 10^6 \, W$ અથવા $6.67 \, MW$.

(B) પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર. જ્યારે કોઈ પદાર્થને ઊંચકવામાં આવે છે,ત્યારે થયેલું કાર્ય તેની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,જે $mgh$ છે.
પાવર $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t} = mg \left(\frac{h}{t}\right)$.
ઝડપ $v = \frac{h}{t}$ હોવાથી,સંબંધ $P = mgv$ થાય છે.
આપેલ છે: પાવર $P = 100\, W$,ઝડપ $v = 1\, m\, s^{-1}$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\, m\, s^{-2}$.
દળ $m$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $m = \frac{P}{g \times v}$.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{100}{10 \times 1} = 10\, kg$.

(C) એક વોટ એટલે એવા એજન્ટનો પાવર જે $1 \, J \, s^{-1}$ ના દરે કાર્ય કરે છે.
$1 \, \text{કિલોવોટ} = 1000 \, J \, s^{-1}$.
એન્જિન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો કુલ પાવર $= 150 \, kg \times 500 \, W \, kg^{-1} = 75,000 \, W = 7.5 \times 10^4 \, W$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{પાવર} = \text{બળ} \times \text{વેગ}$.
તેથી, $\text{બળ} = \frac{\text{પાવર}}{\text{વેગ}} = \frac{7.5 \times 10^4 \, W}{20 \, m \, s^{-1}} = 3750 \, N$.

(D) પાવર $(P)$ એ કાર્ય કરવાનો દર છે,જે $P = F \times v$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. પદાર્થો ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ ગતિ કરતા હોવાથી,જરૂરી બળ $F = mg$ છે.
$(i)$ પતંગિયા માટે:
દળ $m = 1.0 \, g = 1.0 \times 10^{-3} \, kg$,વેગ $v = 0.5 \, m \, s^{-1}$,$g = 10 \, m \, s^{-2}$.
$P = (1.0 \times 10^{-3} \, kg) \times (10 \, m \, s^{-2}) \times (0.5 \, m \, s^{-1}) = 5 \times 10^{-3} \, W$.
$(ii)$ ખિસકોલી માટે:
દળ $m = 250 \, g = 0.25 \, kg$,વેગ $v = 0.5 \, m \, s^{-1}$,$g = 10 \, m \, s^{-2}$.
$P = (0.25 \, kg) \times (10 \, m \, s^{-2}) \times (0.5 \, m \, s^{-1}) = 1.25 \, W$.
આમ,પતંગિયા માટે પાવર $5 \times 10^{-3} \, W$ અને ખિસકોલી માટે $1.25 \, W$ છે.

(POSITIVE) થયેલું કાર્ય ધન છે. આનું કારણ એ છે કે માણસ ડોલને ઉપર ખેંચવા માટે ઉપરની દિશામાં બળ લગાડે છે અને ડોલનું સ્થાનાંતર પણ તે જ ઉપરની દિશામાં થાય છે. બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ હોવાથી,થયેલું કાર્ય $(W = F \cdot s \cdot \cos(0^{\circ}))$ ધન છે.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય ઋણ છે.
આનું કારણ એ છે કે ડોલનું સ્થાનાંતર ઉપરની દિશામાં થાય છે,જ્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચેની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ હોવાથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = F \cdot s \cdot \cos(180^{\circ}) = -F \cdot s$ થાય છે,જે ઋણ છે.

(NEGATIVE) ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ઋણ હોય છે.
કારણ: કાર્ય $(W)$ ની વ્યાખ્યા સૂત્ર $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$s$ એ સ્થાનાંતર છે અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થ ઢળતી સપાટી પર નીચે સરકે છે,ત્યારે ગતિની દિશા (સ્થાનાંતર) સપાટી પર નીચેની તરફ હોય છે.
ઘર્ષણ બળ હંમેશા પદાર્થની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
તેથી,ઘર્ષણ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 180^{\circ}$ છે.
કારણ કે $\cos(180^{\circ}) = -1$,તેથી થયેલું કાર્ય $W = F \cdot s \cdot (-1) = -F \cdot s$ થાય છે,જે ઋણ છે.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ ખરબચડી સમક્ષિતિજ સપાટી પર અચળ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે લગાડવામાં આવેલું બળ ઘર્ષણ બળના મૂલ્ય જેટલું જ અને તેની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
લગાડવામાં આવેલા બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ધન છે કારણ કે લગાડવામાં આવેલું બળ પદાર્થના સ્થાનાંતરની દિશામાં જ કાર્ય કરે છે.
તેનાથી વિપરીત,ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ઋણ હોય છે કારણ કે તે સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.

(NEGATIVE) દોલન કરતા લોલક પર હવાના અવરોધક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ઋણ હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે હવાના અવરોધક બળની દિશા હંમેશા લોલકની ગતિની દિશાની વિરુદ્ધ હોય છે.
કારણ કે બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ છે,તેથી થયેલું કાર્ય $(W = F \cdot s \cdot \cos(180^{\circ}))$ ઋણ મૂલ્ય ધરાવે છે.

(B) ખેંચાયેલું ધનુષ તેના આકારમાં ફેરફારને કારણે સ્થિતિઊર્જા ધરાવે છે (સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા).
જ્યારે દોરી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે આ સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા તીરને સ્થાનાંતરિત થાય છે.
જેમ જેમ ધનુષ તેના મૂળ આકારમાં પાછું આવે છે,તેમ સ્થિતિઊર્જા તીરની ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેના કારણે તે ગતિ કરે છે.

(N/A) $(i)$ જુલ $(J)$
$(ii)$ અર્ગ $(erg)$
$(iii)$ કિલોવોટ-અવર $(kWh)$

(B) એન્જિનિયરિંગમાં વપરાતો પાવરનો વ્યવહારુ એકમ $Horsepower$ $(hp)$ છે.
$1$ $hp$ એ આશરે $746$ $W$ (વોટ) ની બરાબર હોય છે.

(N/A) $(i)$ રાસાયણિક ઉર્જા (Chemical energy)
$(ii)$ ઉષ્મા ઉર્જા (Heat energy)
$(iii)$ પ્રકાશ ઉર્જા (Light energy)
$(iv)$ વિદ્યુત ઉર્જા (Electrical energy)
$(v)$ ધ્વનિ ઉર્જા (Sound energy)
$(vi)$ સૌર ઉર્જા (Solar energy)

(B) પાવરનો એકમ વોટ $(W)$ છે.
$1$ હોર્સપાવર $(hp)$ એ પાવરનો એકમ છે જે ઘોડા દ્વારા ભાર ખેંચવા માટે વપરાતા પાવર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પ્રમાણિત વ્યાખ્યા મુજબ, $1$ હોર્સપાવર એ $746$ વોટની બરાબર છે.

(B) હોર્સપાવર $(hp)$ એ પાવર (શક્તિ) માપવાનો એક એકમ છે.
તેનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે એન્જિન અથવા મોટર જેવા મશીન દ્વારા કાર્ય કરવાની દર દર્શાવવા માટે થાય છે.
એક મિકેનિકલ હોર્સપાવર આશરે $746 \ W$ (વોટ) ની બરાબર હોય છે.

(A) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થોની ગતિઊર્જા સમાન છે,તેથી $\frac{1}{2}m_1v_1^2 = \frac{1}{2}m_2v_2^2$.
આનો અર્થ એ થાય કે $m_1v_1^2 = m_2v_2^2$,અથવા $\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{m_2}{m_1}$.
જો $m_1 < m_2$ (હલકા પદાર્થનું દળ ભારે પદાર્થ કરતા ઓછું હોય),તો $\frac{m_2}{m_1} > 1$ થાય.
તેથી,$\frac{v_1^2}{v_2^2} > 1$,જેનો અર્થ છે કે $v_1^2 > v_2^2$,અથવા $v_1 > v_2$.
આમ,ભારે પદાર્થ જેટલી જ ગતિઊર્જા મેળવવા માટે હલકા પદાર્થનો વેગ વધારે હોવો જોઈએ.

(N/A) જ્યારે લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ પદાર્થના સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય ત્યારે ઋણ કાર્ય થાય છે. તેનું એક ઉદાહરણ ગતિ કરતા પદાર્થ પર ઘર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય છે. જેમ પદાર્થ એક દિશામાં ગતિ કરે છે,તેમ ઘર્ષણ બળ તેની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે,જેના પરિણામે બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચે $180^{\circ}$ નો ખૂણો બને છે,જે કાર્યને ઋણ બનાવે છે $(W = F \cdot s \cdot \cos(180^{\circ}) = -Fs)$.

(B) જ્યારે ઘડિયાળની સ્પ્રિંગને ચાવી આપવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર કાર્ય કરવામાં આવે છે,જેનાથી તેના આકારમાં ફેરફાર થાય છે. આ કાર્ય સ્પ્રિંગમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા (Elastic potential energy) સ્વરૂપે સંગ્રહિત થાય છે. જેમ જેમ સ્પ્રિંગ ધીમે ધીમે ખુલે છે,તેમ આ સંગ્રહિત ઉર્જા ઘડિયાળના ગિયર્સને ફેરવવા માટે ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.

(B) પદાર્થ પર થયેલ કાર્યનું સૂત્ર $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડેલ બળ છે,$s$ એ સ્થાનાંતર છે,અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કાર્ય એ લાગુ પાડેલ બળ અને તે બળ દ્વારા થયેલા સ્થાનાંતર પર આધાર રાખે છે.
તે પદાર્થના વેગ પર આધાર રાખતું નથી,કારણ કે વેગ એ સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે,તે યાંત્રિક કાર્યની વ્યાખ્યામાં આવતું પરિબળ નથી.

(C) બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ કિસ્સામાં,પદાર્થનું વજન શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે,જ્યારે પદાર્થનું સ્થાનાંતર સમક્ષિતિજ (સપાટીની દિશામાં) છે.
શિરોલંબ વજન અને સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ હોવાથી,$\cos(90^\circ) = 0$ થાય છે.
તેથી,વજન દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F \cdot s \cdot 0 = 0$ થાય છે.

(C) કાર્ય $(W)$ એ બળ $(F)$ અને બળની દિશામાં થયેલા સ્થાનાંતર $(s)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનું સૂત્ર $W = F \times s \times \cos(\theta)$ છે.
કારણ કે વ્યક્તિ ભારે દળને ખસેડવામાં નિષ્ફળ જાય છે,તેથી સ્થાનાંતર $(s)$ $0$ છે.
તેથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = F \times 0 = 0 \text{ Joules}$ છે.
આમ,વ્યક્તિ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય છે.

(B) કોઈ વસ્તુને ઊભી દિશામાં ઉપર ઉઠાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $(W)$ સૂત્ર $W = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ વસ્તુનું દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે જ્યાં સુધી વસ્તુને ઉઠાવવામાં આવે છે.
કારણ કે કરવામાં આવતું કાર્ય ફક્ત લાગુ પાડવામાં આવેલા બળ (જે વસ્તુના વજન $mg$ જેટલું હોય છે) અને સ્થાનાંતર $(h)$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે લીધેલા સમય અથવા વસ્તુને ઉઠાવવાની ઝડપથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,કરવામાં આવતું કાર્ય વસ્તુ કેટલી ઝડપથી ઉઠાવવામાં આવે છે તેના પર આધાર રાખતું નથી.

(N/A) કાર્ય એટલે બળ અને બળની દિશામાં થયેલું સ્થાનાંતરનો ગુણાકાર. જ્યારે કુલી માથા પર ભાર લઈને સીડી ચઢે છે,ત્યારે તે ભારના વજન (જે નીચેની તરફ લાગે છે) ને સંતુલિત કરવા માટે ઉપરની તરફ બળ લગાડે છે. કુલીનું સ્થાનાંતર પણ ઉપરની દિશામાં હોવાથી,કુલી દ્વારા લગાડવામાં આવેલ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ છે. તેથી,કુલી દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ધન અને શૂન્યતર છે $(W = F \cdot s \cdot \cos(0^{\circ}) = F \cdot s)$.

(C) સરળ લોલકમાં,દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $T$ હંમેશા આધારબિંદુની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
જેમ જેમ લોલકનો ગોળો તેના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે,તેમ સ્થાનાંતર સદિશ $ds$ હંમેશા પથને સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
તણાવ બળ $T$ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે,જે દરેક બિંદુએ સ્થાનાંતર સદિશ $ds$ ને લંબ હોય છે.
કાર્ય $W$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $W = \int T \cdot ds = \int T \cos(90^{\circ}) ds$ થાય છે,અને $\cos(90^{\circ}) = 0$ હોવાથી,તણાવ બળ દ્વારા થતું કાર્ય $0$ થાય છે.

(N/A) દોરડા ખેંચની રમતમાં,વિજેતા ટીમ હારતી ટીમ પર બળ લગાડે છે,જેના કારણે હારતી ટીમ બળની દિશામાં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
વિજેતા ટીમ દ્વારા લગાડવામાં આવેલું બળ અને હારતી ટીમનું સ્થાનાંતર એક જ દિશામાં હોવાથી,વિજેતા ટીમ ધન કાર્ય કરે છે.
થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય વિજેતા ટીમ દ્વારા લગાડવામાં આવેલા પરિણામી બળ અને હારતી ટીમના સ્થાનાંતરના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.

(N/A) ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ શક્ય નથી. ઉર્જાને માત્ર એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. અલગ કરેલી સિસ્ટમની કુલ ઉર્જા હંમેશા અચળ રહે છે.