Mix Example - GRAVITATION Questions in Hindi

(A) पृथ्वी द्वारा किसी भी वस्तु पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल को विशेष रूप से उस वस्तु का भार कहा जाता है। इसे उस बल के रूप में परिभाषित किया जाता है जिससे पृथ्वी किसी पिंड को अपने केंद्र की ओर आकर्षित करती है।

(N/A) मुक्त पतन वह स्थिति है जिसमें कोई वस्तु केवल पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में नीचे गिरती है,और उस पर कोई अन्य बल (जैसे वायु का प्रतिरोध) कार्य नहीं करता है। मुक्त पतन के दौरान,वस्तु एक स्थिर त्वरण का अनुभव करती है जिसे गुरुत्वीय त्वरण कहा जाता है,जिसे $g$ द्वारा दर्शाया जाता है,जो पृथ्वी की सतह के पास लगभग $9.8 \ m/s^2$ होता है।

(N/A) सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम से संबंधित एक सामान्य घटना सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति है। न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,ब्रह्मांड का प्रत्येक कण दूसरे कण को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। यह गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है जो ग्रहों को सूर्य के चारों ओर उनकी कक्षाओं में बनाए रखता है।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम बताता है कि ब्रह्मांड में प्रत्येक वस्तु दूसरी वस्तु को एक ऐसे बल से आकर्षित करती है,जो उनके द्रव्यमानों ($M_1$ और $M_2$) के गुणनफल के समानुपाती और उनके केंद्रों के बीच की दूरी $(d^2)$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $F = G \frac{M_1 M_2}{d^2}$,जहाँ $F$ गुरुत्वाकर्षण बल है और $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण बल केवल ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा में कार्य करता है।
चूंकि क्षैतिज दिशा में कोई बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए गति के क्षैतिज घटक में कोई त्वरण नहीं होता है।
न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,बाहरी क्षैतिज बल की अनुपस्थिति में,पूरी उड़ान के दौरान क्षैतिज वेग स्थिर रहता है।

(N/A) हाँ, यह कथन सत्य है। न्यूटन के गति के $\text{तीसरे}$ नियम के अनुसार, पृथ्वी सेब पर गुरुत्वाकर्षण बल लगाती है और सेब पृथ्वी पर समान और विपरीत बल लगाता है। न्यूटन के गति के $\text{दूसरे}$ नियम $(F = ma)$ के अनुसार, उत्पन्न त्वरण वस्तु के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(a = F/m)$। चूंकि पृथ्वी का द्रव्यमान सेब के द्रव्यमान की तुलना में बहुत अधिक है, इसलिए पृथ्वी में उत्पन्न त्वरण नगण्य होता है और इसलिए यह दिखाई नहीं देता है।

(A) किसी वस्तु का द्रव्यमान उसमें निहित पदार्थ की मात्रा होती है।
द्रव्यमान एक अदिश राशि है और यह ब्रह्मांड में वस्तु के स्थान से स्वतंत्र रहता है,अर्थात यह हमेशा स्थिर रहता है।
भार के विपरीत,जो गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ पर निर्भर करता है,द्रव्यमान स्थान के साथ नहीं बदलता है।
इसलिए,यदि पृथ्वी की सतह पर वस्तु का द्रव्यमान $10 \,kg$ है,तो पृथ्वी के केंद्र पर भी इसका द्रव्यमान $10 \,kg$ ही रहेगा।

(C) यदि गुरुत्वाकर्षण बल अचानक समाप्त हो जाता है,तो सभी वस्तुएं पृथ्वी के चारों ओर अपनी वृत्ताकार गति को बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल (centripetal force) खो देंगी। न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,वस्तुएं उस बिंदु से जहां गुरुत्वाकर्षण समाप्त हुआ,अपने वर्तमान पथ की स्पर्शरेखा (tangent) में एक सीधी रेखा में गति करना जारी रखेंगी।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण बल ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा में कार्य करता है।
न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,कोई वस्तु तब तक एकसमान वेग से गति करती रहती है जब तक कि उस दिशा में कोई बाहरी बल न लगाया जाए।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल केवल ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है,इसलिए क्षैतिज दिशा में वेग को बदलने के लिए कोई बल कार्य नहीं करता है।
अतः,गति के दौरान वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है।

(N/A) कागज की एक शीट और एक पत्थर लीजिए। उन्हें एक इमारत की पहली मंजिल से एक साथ गिराइए। अवलोकन कीजिए कि क्या दोनों एक साथ जमीन पर पहुँचते हैं। हम देखते हैं कि कागज पत्थर की तुलना में थोड़ा देर से जमीन पर पहुँचता है।
ऐसा वायु प्रतिरोध (air resistance) के कारण होता है। हवा गिरती हुई वस्तुओं की गति के विरुद्ध घर्षण के कारण प्रतिरोध प्रदान करती है। कागज के बड़े पृष्ठीय क्षेत्रफल के कारण हवा द्वारा कागज पर लगाया गया प्रतिरोध पत्थर पर लगे प्रतिरोध से अधिक होता है। यदि हम इस प्रयोग को निर्वात (एक कांच का जार जिससे हवा निकाल दी गई हो) में करें,तो कागज और पत्थर समान दर से गिरेंगे और एक ही समय में जमीन पर पहुँचेंगे। यह सिद्ध करता है कि गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।

(N/A) $(i)$ न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,ब्रह्मांड में प्रत्येक वस्तु दूसरी वस्तु को एक ऐसे बल से आकर्षित करती है जो उनके द्रव्यमान के गुणनफल के समानुपाती होता है।
$(ii)$ पृथ्वी पत्थर पर गुरुत्वाकर्षण बल लगाती है,जिससे वह पृथ्वी की ओर त्वरित होता है।
$(iii)$ पत्थर भी पृथ्वी पर समान और विपरीत दिशा में गुरुत्वाकर्षण बल लगाता है।
$(iv)$ हालाँकि,पत्थर की तुलना में पृथ्वी का द्रव्यमान अत्यंत अधिक होने के कारण,पृथ्वी में उत्पन्न त्वरण नगण्य होता है,जिससे पत्थर की ओर उसकी गति महसूस नहीं की जा सकती है।

(N/A) $(i)$ मंगल पर वजन,पृथ्वी पर वजन का $38 \%$ है।
मंगल पर वजन $= 0.38 \times 750 \, N = 285 \, N$.
$(ii)$ वजन $(W)$,द्रव्यमान $(m)$ और गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के बीच का संबंध $W = m \times g$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $W = 750 \, N$ और $g = 10 \, m s^{-2}$ दिया गया है।
द्रव्यमान $m = W / g = 750 / 10 = 75 \, kg$.
अतः,पृथ्वी पर मोना का द्रव्यमान $75 \, kg$ है।

(N/A) $(i)$ पत्थर पृथ्वी की ओर गिरता है क्योंकि पृथ्वी पत्थर पर गुरुत्वाकर्षण बल लगाती है। गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार,ब्रह्मांड की प्रत्येक वस्तु दूसरी वस्तु को आकर्षित करती है। चूंकि पृथ्वी का द्रव्यमान बहुत अधिक है,इसलिए पत्थर पर इसका गुरुत्वाकर्षण खिंचाव महत्वपूर्ण होता है,जिससे पत्थर उसकी ओर त्वरित होता है।
$(ii)$ गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार,दो वस्तुओं के बीच आकर्षण बल उनके द्रव्यमान के गुणनफल के समानुपाती और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। चूंकि कमरे में रखी सामान्य वस्तुओं का द्रव्यमान बहुत कम होता है,इसलिए उनके बीच का गुरुत्वाकर्षण बल अत्यंत दुर्बल होता है। यह बल घर्षण बल और पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव की तुलना में नगण्य है,यही कारण है कि वे एक-दूसरे की ओर गति नहीं करती हैं।

(N/A) द्रव्यमान को किसी वस्तु में निहित पदार्थ की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है और यह एक आंतरिक गुण है जो स्थान की परवाह किए बिना स्थिर रहता है।
भार को उस बल के रूप में परिभाषित किया जाता है जिससे कोई वस्तु किसी ग्रह या खगोलीय पिंड के केंद्र की ओर आकर्षित होती है,जिसे $W = m \times g$ के रूप में गणना की जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि $g$ का मान स्थान-स्थान पर भिन्न होता है (उदाहरण के लिए,पृथ्वी की सतह और चंद्रमा पर $g$ का मान अलग होता है),इसलिए वस्तु का भार तदनुसार बदल जाता है,भले ही उसका द्रव्यमान स्थिर रहे।

(N/A) $1$. सूर्य द्वारा ग्रहों पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल उनकी वृत्ताकार कक्षा में गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल (centripetal force) प्रदान करता है।
$2$. इस बल की दिशा हमेशा कक्षा के केंद्र की ओर (अर्थात सूर्य की ओर) होती है।
$3$. यदि यह बल अचानक गायब हो जाए,तो ग्रह अपनी वृत्ताकार कक्षा को बनाए रखने में असमर्थ होगा और न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,उस बिंदु पर कक्षा की स्पर्शरेखा (tangent) की दिशा में एक सीधी रेखा में गति करना जारी रखेगा।

(B) गुरुत्वाकर्षण बल का सूत्र $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ है।
दिया गया है:
$m_1 = 10 \; kg$
$m_2 = 20 \; kg$
$r = 10 \; m$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \; Nm^2 kg^{-2}$
सूत्र में मान रखने पर:
$F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 10 \times 20}{(10)^2} \; N$
$F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 200}{100} \; N$
$F = 6.67 \times 10^{-11} \times 2 \; N$
$F = 13.34 \times 10^{-11} \; N$

(D) दिया गया है: पत्थर द्वारा तय की गई दूरी,$S = 19.6 \, m$.
प्रारंभिक वेग,$u = 0 \, m/s$.
गुरुत्वीय त्वरण,$a = 9.8 \, m/s^2$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 - u^2 = 2aS$.
मान रखने पर: $v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 19.6$.
$v^2 = 19.6 \times 19.6$.
$v = \sqrt{19.6^2} = 19.6 \, m/s$.
अतः,जमीन को छूने से ठीक पहले पत्थर का वेग $19.6 \, m/s$ होगा।

(N/A) वस्तु का द्रव्यमान,$m = 50 \, kg$।
पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8 \, m/s^2$।
काल्पनिक ग्रह पर गुरुत्वाकर्षण बल पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल का $6$ गुना है।
इसलिए,$g_{planet} = 6 \times g_{earth}$।
$g_{planet} = 6 \times 9.8 \, m/s^2 = 58.8 \, m/s^2$।
ग्रह पर वस्तु का भार,$W = m \times g_{planet}$।
$W = 50 \, kg \times 58.8 \, m/s^2 = 2940 \, N$।
अतः,ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $58.8 \, m/s^2$ है और वस्तु का भार $2940 \, N$ है।

(A) पृथ्वी की सतह पर व्यक्ति का भार $W_{E} = 600\, N$ है।
व्यक्ति का द्रव्यमान $m = \frac{W_{E}}{g_{E}} = \frac{600\, N}{10\, m s^{-2}} = 60\, kg$ के रूप में गणना की जाती है।
द्रव्यमान एक स्थिर राशि है और यह स्थान के साथ नहीं बदलता है,इसलिए चंद्रमा पर भी द्रव्यमान $60\, kg$ ही रहेगा।
चंद्रमा की सतह पर व्यक्ति का भार $W_{M} = \frac{W_{E}}{6}$ होता है,क्योंकि चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी के गुरुत्वीय त्वरण का $\frac{1}{6}$ होता है।
अतः,$W_{M} = \frac{600\, N}{6} = 100\, N$।

(C) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,दो वस्तुओं के बीच आकर्षण बल $F = G \frac{M_1 M_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यह बल पारस्परिक होता है,जिसका अर्थ है कि पृथ्वी सीसे पर बल लगाती है और सीसा पृथ्वी पर समान और विपरीत दिशा में बल लगाता है।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
इसलिए,$1 \,kg$ सीसे पर पृथ्वी द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल और $1 \,kg$ सीसे द्वारा पृथ्वी पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल परिमाण में बिल्कुल बराबर होते हैं।

(B) किसी वस्तु का भार उस बल के रूप में परिभाषित होता है जिससे वह ग्रह के केंद्र की ओर आकर्षित होती है,जिसकी गणना $W = m \times g$ द्वारा की जाती है।
चूंकि मनुष्य का द्रव्यमान $(m)$ हर जगह स्थिर रहता है,इसलिए उसका भार गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ पर निर्भर करता है।
चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण,पृथ्वी के गुरुत्वीय त्वरण का लगभग छठा भाग $(1/6)$ होता है।
इसलिए,पृथ्वी की तुलना में चंद्रमा की सतह पर मनुष्य का भार घट जाएगा।

(N/A) ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का मान भूमध्य रेखा की तुलना में अधिक होता है क्योंकि पृथ्वी ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है,जिससे पृथ्वी के केंद्र से सतह की दूरी ध्रुवों पर कम हो जाती है।
गति के समीकरण $s = ut + (1/2)gt^2$ के अनुसार,यदि किसी वस्तु को विरामावस्था से गिराया जाता है $(u = 0)$,तो $s = (1/2)gt^2$ होता है,जिसका अर्थ है $t = \sqrt{2s/g}$।
चूंकि दूरी $(s)$ समान है और ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ अधिक है,इसलिए जमीन तक पहुँचने में लगने वाला समय $(t)$ भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर कम होता है।

(A) गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $(g')$ का सूत्र $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ है,जहाँ $\omega$ पृथ्वी का कोणीय वेग है,$R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $\lambda$ अक्षांश है।
यदि पृथ्वी घूमना बंद कर देती है,तो $\omega = 0$ हो जाता है,जिसका अर्थ है कि पद $\omega^2 R \cos^2 \lambda$ शून्य हो जाता है।
परिणामस्वरूप,ध्रुवों को छोड़कर सभी बिंदुओं पर प्रभावी गुरुत्वाकर्षण $(g')$ बढ़ जाता है (जहाँ $\lambda = 90^\circ$ और $\cos 90^\circ = 0$ होता है)।
चूंकि भार $(W = mg)$ प्रभावी गुरुत्वाकर्षण त्वरण के सीधे आनुपातिक होता है,इसलिए पृथ्वी की सतह पर सभी स्थानों पर वस्तु का भार बढ़ जाएगा,सिवाय ध्रुवों के,जहाँ यह अपरिवर्तित रहेगा।

(A) हाँ,दोनों वस्तुएँ पृथ्वी पर एक ही समय में पहुँचेंगी।
इसका कारण यह है कि दोनों वस्तुओं की ऊर्ध्वाधर गति उनकी क्षैतिज गति से स्वतंत्र होती है।
दोनों वस्तुएँ $u_y = 0 \ m/s$ के प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग के साथ शुरू होती हैं।
दोनों वस्तुओं पर नीचे की ओर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ समान रूप से कार्य करता है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $s$ मीनार की ऊँचाई $(h)$ है,$u = 0$ है,और $a = g$ है,हमें $h = \frac{1}{2}gt^2$ प्राप्त होता है।
समय के लिए हल करने पर,$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$।
चूँकि $h$ और $g$ दोनों वस्तुओं के लिए समान हैं,इसलिए जमीन तक पहुँचने में लगा समय $(t)$ दोनों के लिए समान होगा।

(N/A) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,ब्रह्मांड का प्रत्येक पिंड दूसरे पिंड को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(F = G \frac{M_1 M_2}{r^2})$.
यद्यपि सभी पिंड एक-दूसरे पर गुरुत्वाकर्षण बल लगाते हैं,लेकिन सामान्य आकार की वस्तुओं के लिए इस बल का परिमाण अत्यंत कम होता है क्योंकि पृथ्वी के द्रव्यमान की तुलना में उनका द्रव्यमान नगण्य होता है।
इसके विपरीत,पृथ्वी का द्रव्यमान बहुत विशाल है। इसलिए,पृथ्वी की सतह के पास किसी भी वस्तु पर पृथ्वी द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल उन वस्तुओं के बीच के आपसी गुरुत्वाकर्षण बलों की तुलना में काफी अधिक होता है।
परिणामस्वरूप,पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण बल प्रभावी हो जाता है,जिससे सभी वस्तुएं पृथ्वी के केंद्र की ओर आकर्षित होती हैं।

(N/A) भारहीनता वह स्थिति है जिसमें किसी वस्तु पर कोई शुद्ध गुरुत्वाकर्षण बल कार्य नहीं करता है या ऐसा महसूस होता है कि उसका कोई वजन नहीं है। यह घटना तब होती है जब कोई पिंड केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में मुक्त पतन (free fall) की स्थिति में होता है,जहाँ आधार देने वाला बल (अभिलंब बल) शून्य हो जाता है।

(N/A) $(i)$ पृथ्वी को सूर्य के चारों ओर घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल,सूर्य और पृथ्वी के बीच लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
$(ii)$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,इस बल का परिमाण सूर्य के द्रव्यमान $(M)$,पृथ्वी के द्रव्यमान $(m)$ और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग $(r^2)$ पर निर्भर करता है। इसका सूत्र $F = G \frac{Mm}{r^2}$ है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।

(N/A) माना कि दो पिंडों के द्रव्यमान $m_{1}$ और $m_{2}$ हैं और पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है।
माना कि पृथ्वी के केंद्र से दोनों पिंडों की दूरी $r$ है।
न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के पिंड पर पृथ्वी द्वारा लगाया गया बल $F = \frac{GMm}{r^{2}}$ होता है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
पिंड $A$ के लिए,बल $F_{1} = \frac{GMm_{1}}{r^{2}}$ है।
पिंड $B$ के लिए,बल $F_{2} = \frac{GMm_{2}}{r^{2}}$ है।
यह दिया गया है कि बल समान हैं,अर्थात $F_{1} = F_{2}$।
इसलिए,$\frac{GMm_{1}}{r^{2}} = \frac{GMm_{2}}{r^{2}}$।
दोनों पक्षों से समान पदों $\frac{GM}{r^{2}}$ को हटाने पर,हमें $m_{1} = m_{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,दोनों पिंडों के द्रव्यमान समान हैं।

(N/A) उत्प्लावन बल निम्नलिखित दो कारकों पर निर्भर करता है:
$1$. द्रव में डूबी हुई वस्तु का आयतन।
$2$. द्रव का घनत्व।
$(b)$ आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार, किसी द्रव में डूबी हुई वस्तु पर लगने वाला उत्प्लावन बल उस वस्तु द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है। अतः, $\text{उत्प्लावन बल} = \text{विस्थापित द्रव का भार}$.

(A) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ होता है।
$(i)$ यदि दूरी $r$ को आधा कर दिया जाए,अर्थात $r' = r/2$,तो नया बल $F'$ होगा:
$F' = G \frac{m_1 m_2}{(r/2)^2} = G \frac{m_1 m_2}{r^2 / 4} = 4 \left( G \frac{m_1 m_2}{r^2} \right) = 4F$।
अतः,बल मूल बल का $4$ गुना हो जाएगा।
$(ii)$ यदि एक वस्तु का द्रव्यमान चार गुना कर दिया जाए,अर्थात $m_1' = 4m_1$,तो नया बल $F''$ होगा:
$F'' = G \frac{(4m_1) m_2}{r^2} = 4 \left( G \frac{m_1 m_2}{r^2} \right) = 4F$।
अतः,बल मूल बल का $4$ गुना हो जाएगा।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण बल का सूत्र $F = \frac{G M m}{R^2}$ है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,$m$ वस्तु का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
$(b)$ गुरुत्वीय त्वरण की दिशा हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर होती है।

(B) गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
$(i)$ स्थान का अक्षांश: पृथ्वी के आकार और घूर्णन के कारण $g$ का मान ध्रुवों पर अधिकतम और भूमध्य रेखा पर न्यूनतम होता है।
$(ii)$ पृथ्वी की सतह से ऊँचाई: जैसे-जैसे हम पृथ्वी की सतह से दूर जाते हैं (ऊँचाई पर),$g$ का मान घटता जाता है।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम यह बताता है कि ब्रह्मांड में प्रत्येक वस्तु दूसरी वस्तु को एक ऐसे बल से आकर्षित करती है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,$F = G \frac{M \times m}{d^2}$,जहाँ $F$ गुरुत्वाकर्षण बल है,$M$ और $m$ दो वस्तुओं के द्रव्यमान हैं,और $d$ उनके बीच की दूरी है।
सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ का $SI$ मात्रक $N \ m^2 \ kg^{-2}$ है।

(N/A) हवा में,सिक्का पहले जमीन पर पहुंचेगा क्योंकि कागज के टुकड़े पर लगने वाला वायु प्रतिरोध उसके द्रव्यमान के सापेक्ष उसके बड़े सतह क्षेत्र के कारण काफी अधिक होता है,जो उसे धीमा कर देता है।
निर्वात में,सिक्का और कागज दोनों एक साथ जमीन पर पहुंचेंगे।
ऐसा इसलिए होता है क्योंकि निर्वात में कोई वायु प्रतिरोध नहीं होता है। गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,सभी वस्तुएं अपने द्रव्यमान या आकार की परवाह किए बिना,गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के साथ समान रूप से नीचे गिरती हैं।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम बताता है कि ब्रह्मांड का प्रत्येक पिंड दूसरे पिंड को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
यदि दूरी $r$ को तीन गुना कर दिया जाए,तो नई दूरी $r' = 3r$ हो जाती है।
नया बल $F'$ इस प्रकार होगा: $F' = G \frac{m_1 m_2}{(3r)^2} = G \frac{m_1 m_2}{9r^2} = \frac{1}{9} F$.
अतः,बल मूल बल का $\frac{1}{9}$ गुना हो जाएगा।

(N/A) $(i)$ यह प्रकृति में सबसे दुर्बल बल है।
$(ii)$ यह सदैव आकर्षण प्रकृति का होता है और द्रव्यमान वाली किन्हीं भी दो वस्तुओं के बीच कार्य करता है।

(B) दिया गया है कि ग्रह का द्रव्यमान $M_P = M/2$ और ग्रह की त्रिज्या $R_P = R/2$ है,जहाँ $M$ और $R$ क्रमशः पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं।
किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = GM/R^2$ होता है।
दिए गए ग्रह के लिए,गुरुत्वीय त्वरण $g_P$ इस प्रकार होगा:
$g_P = \frac{GM_P}{R_P^2}$
$M_P = M/2$ और $R_P = R/2$ का मान रखने पर:
$g_P = \frac{G(M/2)}{(R/2)^2} = \frac{GM/2}{R^2/4} = \frac{GM}{2} \times \frac{4}{R^2} = 2 \times \frac{GM}{R^2}$
चूंकि $g = GM/R^2$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$g_P = 2g$
अतः,इस ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $2g$ है।

(B) वस्तु का भार वह बल है जो उसे गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध उठाने के लिए आवश्यक है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$ है।
पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $g \approx 10 \,m/s^2$ है।
आवश्यक बल $F$,भार $W = m \times g$ के बराबर होता है।
$F = 0.1 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 1 \,N$।
अतः,वस्तु को उठाने के लिए कम से कम $1 \,N$ बल की आवश्यकता होती है।

(N/A) $(i)$ गुरुत्वीय त्वरण वह त्वरण है जो पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण किसी वस्तु में उत्पन्न होता है।
$(ii)$ पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार नहीं है; इसकी त्रिज्या भूमध्य रेखा पर अधिक और ध्रुवों पर कम होती है। चूंकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $g$ का मान त्रिज्या $R$ के साथ बदलता रहता है,जिससे यह ध्रुवों पर अधिक और भूमध्य रेखा पर कम होता है।
$(iii)$ मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु का त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है। इस व्यंजक में गिरने वाली वस्तु का द्रव्यमान $(m)$ शामिल नहीं है। इसलिए,सभी वस्तुएं अपने द्रव्यमान की परवाह किए बिना समान त्वरण के साथ गिरती हैं,और एक निश्चित ऊंचाई से जमीन तक पहुंचने में समान समय लेती हैं।
$(iv)$ $G$ को सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक कहा जाता है क्योंकि इसका मान पूरे ब्रह्मांड में समान रहता है। इसका $SI$ मात्रक $N \ m^2 \ kg^{-2}$ है।

(N/A) $(i)$ हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है। अतः,पृथ्वी की सतह पर और सतह के बहुत करीब '$R$' (अर्थात पृथ्वी की त्रिज्या) स्थिर रहता है; इसलिए '$g$' भी स्थिर रहेगा। हालाँकि,पृथ्वी की सतह से बहुत दूर की दूरी पर,जब '$R$' बदलता है,तो '$g$' का मान स्थिर नहीं रहता है।
$(ii)$ नहीं,मुक्त पतन के दौरान सभी वस्तुएं समान त्वरण के साथ गिरती हैं क्योंकि '$g$' गिरने वाली वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है। '$g$' का मान लगभग $9.8 \, m/s^2$ होता है।

(N/A) पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के प्रभाव में स्वतंत्र रूप से गिरती हुई वस्तु में उत्पन्न एकसमान त्वरण को गुरुत्वीय त्वरण कहते हैं,जो पृथ्वी के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
$(b)$ पृथ्वी की सतह पर $g$ का औसत मान $9.8 \, m/s^2$ है।
$(c)$ $g$ का मान निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है: $(i)$ पृथ्वी का आकार (यह ध्रुवों पर अधिक और भूमध्य रेखा पर कम होता है),$(ii)$ पृथ्वी की सतह से ऊँचाई (ऊँचाई के साथ यह घटता है),और $(iii)$ पृथ्वी की सतह से गहराई (जैसे-जैसे हम केंद्र की ओर बढ़ते हैं,यह घटता जाता है)।

(N/A) पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण पृथ्वी की सतह की ओर मुक्त रूप से गिरते हुए पिंड में उत्पन्न एकसमान त्वरण को गुरुत्वीय त्वरण कहते हैं।
नहीं,मुक्त रूप से गिरते हुए पिंड में उत्पन्न त्वरण पिंड के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$m$ द्रव्यमान वाले पिंड पर कार्य करने वाला बल $F$ है:
$F = m \times g$ --- $(1)$
न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी (द्रव्यमान $M$) और पिंड (द्रव्यमान $m$) के बीच $R$ (पृथ्वी की त्रिज्या) की दूरी पर गुरुत्वाकर्षण बल है:
$F = \frac{G M m}{R^2}$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$m \times g = \frac{G M m}{R^2}$
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर:
$g = \frac{G M}{R^2}$
यहाँ,$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है। चूंकि $g$ के व्यंजक में गिरते हुए पिंड का द्रव्यमान $(m)$ शामिल नहीं है,यह सिद्ध करता है कि गुरुत्वीय त्वरण पिंड के द्रव्यमान से स्वतंत्र है।

(A) किसी वस्तु का भार $W = mg$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
$g$ का मान पृथ्वी की त्रिज्या $(R)$ पर निर्भर करता है,जो $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार नहीं है; यह ध्रुवों पर थोड़ी चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है। इसलिए,भूमध्य रेखा पर पृथ्वी की त्रिज्या ध्रुवों की त्रिज्या से अधिक होती है।
चूंकि $g$ त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(g \propto \frac{1}{R^2})$,इसलिए $g$ का मान भूमध्य रेखा पर कम और ध्रुवों (जैसे अंटार्कटिका) पर अधिक होता है।
परिणामस्वरूप,चीनी के बैग का वजन भूमध्य रेखा की तुलना में अंटार्कटिका ले जाने पर अधिक होगा।

(N/A) $(i)$ उपग्रह में भारहीनता इसलिए देखी जाती है क्योंकि उपग्रह और उसके अंदर की सभी वस्तुएं पृथ्वी की ओर मुक्त पतन (free fall) की स्थिति में होती हैं। चूंकि शरीर पर गुरुत्वाकर्षण का विरोध करने के लिए कोई बाहरी संपर्क बल (अभिलंब बल) कार्य नहीं कर रहा होता है,इसलिए आभासी भार शून्य हो जाता है।
$(ii)$ दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $(u) = 15 \, m s^{-1}$
अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $(v) = 0 \, m s^{-1}$
गुरुत्वीय त्वरण $(g) = -9.8 \, m s^{-2}$
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 - u^2 = 2gh$
$0^2 - (15)^2 = 2 \times (-9.8) \times h$
$-225 = -19.6 \times h$
$h = \frac{225}{19.6} \approx 11.48 \, m$
अतः,प्राप्त अधिकतम ऊँचाई लगभग $11.48 \, m$ है।

(N/A) $(i)$ न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का नियम ब्रह्मांड की सभी वस्तुओं पर लागू होता है,चाहे उनका आकार,द्रव्यमान या दूरी कुछ भी हो,इसलिए इसे गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम कहा जाता है।
$(ii)$ गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम महत्वपूर्ण है क्योंकि यह निम्नलिखित घटनाओं को सफलतापूर्वक समझाता है:
$(a)$ वह गुरुत्वाकर्षण बल जो हमें पृथ्वी से बांधे रखता है।
$(b)$ पृथ्वी के चारों ओर चंद्रमा की गति।
$(c)$ सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति।
$(d)$ चंद्रमा और सूर्य के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण समुद्र में आने वाला ज्वार-भाटा।

(N/A) $(i)$ दो वस्तुओं के बीच आकर्षण बल उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के सीधे आनुपातिक होता है, अर्थात $F \propto m_{1} m_{2}$।
दो वस्तुओं के बीच आकर्षण बल उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है, अर्थात $F \propto \frac{1}{r^{2}}$।
$(ii)$ दिया गया है:
पृथ्वी का द्रव्यमान, $M = 6 \times 10^{24} \, kg$
उपग्रह का द्रव्यमान, $m = 6.5 \times 10^{20} \, kg$
उनके बीच की दूरी, $r = 3.35 \times 10^{6} \, km = 3.35 \times 10^{9} \, m$
गुरुत्वाकर्षण नियतांक, $G = 6.7 \times 10^{-11} \, Nm^{2} kg^{-2}$
सूत्र $F = G \frac{Mm}{r^{2}}$ का उपयोग करते हुए:
$F = \frac{6.7 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times 6.5 \times 10^{20}}{(3.35 \times 10^{9})^{2}}$
$F = \frac{261.3 \times 10^{33}}{11.2225 \times 10^{18}}$
$F \approx 23.28 \times 10^{15} \, N$ या $2.33 \times 10^{16} \, N$।

(N/A) मान लीजिए कि $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ग्रह की सतह के पास $m$ द्रव्यमान की एक वस्तु है।
सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,वस्तु पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F$ है:
$F = \frac{GMm}{R^2} \dots (1)$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$m$ द्रव्यमान की वस्तु पर लगने वाला बल $F$ है:
$F = mg \dots (2)$
(जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है)।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$mg = \frac{GMm}{R^2}$
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है:
$g = \frac{GM}{R^2}$
चूंकि वस्तु का द्रव्यमान $m$ कट जाता है,इसलिए गुरुत्वीय त्वरण $g$ केवल ग्रह के द्रव्यमान $M$ और उसकी त्रिज्या $R$ पर निर्भर करता है। इस प्रकार,मुक्त पतन के दौरान वस्तु का त्वरण उसके द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$g = \frac{GM}{R^2}$
जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यदि पृथ्वी अपने वर्तमान आकार के एक-तिहाई तक सिकुड़ जाती है,तो नई त्रिज्या $R' = \frac{R}{3}$ हो जाएगी।
द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है।
अतः,नया गुरुत्वीय त्वरण $g'$ होगा:
$g' = \frac{GM}{(R')^2} = \frac{GM}{(\frac{R}{3})^2} = \frac{GM}{\frac{R^2}{9}} = 9 \times \frac{GM}{R^2}$
चूँकि $g = 9.8 \, m s^{-2}$ है,इसलिए:
$g' = 9 \times 9.8 \, m s^{-2} = 88.2 \, m s^{-2}$.

(N/A) दिया गया है:
गेंद द्वारा तय की गई दूरी,$S = 122.5 \, m$
प्रारंभिक वेग,$u = 0$
त्वरण,$a = g = 9.8 \, m s^{-2}$
$(i)$ यदि $t$ गेंद को जमीन पर गिरने में लगा समय है,तो गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$122.5 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$122.5 = 4.9 \times t^2$
$t^2 = \frac{122.5}{4.9} = 25$
$t = \sqrt{25} = 5 \, s$
$(ii)$ पहले तीन सेकंड $(t = 3 \, s)$ में गेंद द्वारा तय की गई दूरी:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
$S = 0 \times 3 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3)^2$
$S = 4.9 \times 9 = 44.1 \, m$
$(iii)$ तीन सेकंड के अंत में $(t = 3 \, s)$ गेंद का वेग:
$v = u + at$
$v = 0 + 9.8 \times 3 = 29.4 \, m s^{-1}$

(N/A)

गुरुत्वीय त्वरण $(g)$	सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$
$(i)$ यह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण किसी पिंड में उत्पन्न त्वरण है।	$(i)$ यह $1\, kg$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच लगने वाले आकर्षण बल के संख्यात्मक मान के बराबर है,जब वे $1\, m$ की दूरी पर स्थित हों।
$(ii)$ $g$ का मान पृथ्वी की सतह पर अलग-अलग स्थानों पर भिन्न होता है और एक खगोलीय पिंड से दूसरे पिंड पर बदलता रहता है।	$(ii)$ $G$ एक सार्वत्रिक नियतांक है,अर्थात इसका मान पूरे ब्रह्मांड में हर जगह समान $(6.67 \times 10^{-11}\, Nm^2 kg^{-2})$ रहता है।
$(iii)$ यह एक सदिश राशि है।	$(iii)$ यह एक अदिश राशि है।