Textbook - GRAVITATION Questions in Hindi

(N/A) गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम यह बताता है कि ब्रह्मांड में प्रत्येक वस्तु दूसरी वस्तु को एक बल से आकर्षित करती है जिसे गुरुत्वाकर्षण बल कहा जाता है।
दो वस्तुओं के बीच कार्य करने वाला बल उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
$m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं और उनके बीच की दूरी $r$ के लिए,उनके बीच कार्य करने वाला आकर्षण बल $(F)$ गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$
जहाँ,$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और इसका मान $6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2 \text{ kg}^{-2}$ है।

(N/A) मान लीजिए कि $M_E$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $m$ पृथ्वी की सतह पर स्थित किसी वस्तु का द्रव्यमान है। यदि $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है,तो गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार,पृथ्वी और वस्तु के बीच कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $(F)$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{G M_E m}{R^2}$
जहाँ:
$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,
$M_E$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,
$m$ वस्तु का द्रव्यमान है,
$R$ पृथ्वी के केंद्र और वस्तु के बीच की दूरी है (जो पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर है)।

(N/A) पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण बल प्रत्येक वस्तु को अपने केंद्र की ओर आकर्षित करता है। जब किसी वस्तु को ऊंचाई से छोड़ा जाता है,तो वह केवल गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में पृथ्वी की सतह की ओर गिरती है। वस्तु की इस गति को मुक्त पतन कहा जाता है।

(N/A) जब कोई वस्तु किसी ऊँचाई से जमीन की ओर गिरती है,तो उसके वेग में परिवर्तन होता है। वेग में होने वाले इस परिवर्तन के कारण वस्तु में त्वरण उत्पन्न होता है। इस त्वरण को गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ कहा जाता है। पृथ्वी की सतह पर इसका मानक मान लगभग $9.8 \, m/s^2$ होता है।

(N/A)

$S.No.$	द्रव्यमान और भार के बीच अंतर
$I.$	द्रव्यमान वस्तु में निहित पदार्थ की मात्रा है; भार वस्तु पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल है।
$II.$	द्रव्यमान वस्तु के जड़त्व का माप है; भार गुरुत्वाकर्षण का माप है।
$III.$	द्रव्यमान एक स्थिर राशि है; भार स्थिर नहीं है और अलग-अलग स्थानों पर बदलता रहता है।
$IV.$	द्रव्यमान एक अदिश राशि है (केवल परिमाण); भार एक सदिश राशि है (परिमाण और दिशा दोनों)।
$V.$	द्रव्यमान का $SI$ मात्रक किलोग्राम $(kg)$ है; भार का $SI$ मात्रक न्यूटन $(N)$ है।

(N/A) मान लीजिए $M_E$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $m$ पृथ्वी की सतह पर स्थित किसी वस्तु का द्रव्यमान है। मान लीजिए $R_E$ पृथ्वी की त्रिज्या है। गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर वस्तु का भार $W_E$ इस प्रकार दिया जाता है:
$W_E = \frac{G M_E m}{R_E^2}$
मान लीजिए $M_M$ और $R_M$ चंद्रमा का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं। तब,गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार,चंद्रमा की सतह पर वस्तु का भार $W_M$ इस प्रकार दिया जाता है:
$W_M = \frac{G M_M m}{R_M^2}$
अब,दोनों भारों का अनुपात लेने पर:
$\frac{W_M}{W_E} = \frac{M_M R_E^2}{M_E R_M^2}$
दिए गए मान:
$M_E = 5.98 \times 10^{24} \text{ kg}$
$M_M = 7.36 \times 10^{22} \text{ kg}$
$R_E = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$
$R_M = 1.74 \times 10^6 \text{ m}$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{W_M}{W_E} = \frac{7.36 \times 10^{22} \times (6.4 \times 10^6)^2}{5.98 \times 10^{24} \times (1.74 \times 10^6)^2} \approx 0.165 \approx \frac{1}{6}$
अतः,चंद्रमा पर किसी वस्तु का भार पृथ्वी पर उसके भार का $\frac{1}{6}$ भाग होता है।

(B) पतली पट्टियों वाले स्कूल बैग को पकड़ना कठिन होता है क्योंकि कंधों पर पड़ने वाला दबाव बहुत अधिक होता है।
दबाव को प्रति इकाई क्षेत्र पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र $P = F/A$ है।
चूंकि दबाव उस सतह क्षेत्र $(A)$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है जिस पर बल $(F)$ कार्य करता है,इसलिए कम सतह क्षेत्र के परिणामस्वरूप अधिक दबाव उत्पन्न होता है।
पतली पट्टियों के मामले में,संपर्क सतह का क्षेत्रफल बहुत कम होता है,जिससे कंधे पर दबाव काफी बढ़ जाता है,जिससे दर्द और असुविधा होती है।

(B) किसी द्रव में डूबी हुई वस्तु पर द्रव द्वारा ऊपर की ओर लगाए गए बल को उत्प्लावकता (buoyancy) कहा जाता है।
जब आप किसी वस्तु को पानी में डुबोने का प्रयास करते हैं,तो आप महसूस कर सकते हैं कि वस्तु पर एक ऊपर की ओर बल कार्य कर रहा है।
इस बल को उत्प्लावक बल (buoyant force) या उत्क्षेप (upthrust) कहा जाता है।
जैसे-जैसे वस्तु को द्रव में गहराई तक धकेला जाता है,विस्थापित द्रव का आयतन बढ़ता जाता है,जिससे उत्प्लावक बल में वृद्धि होती है।

(C) कोई वस्तु तैरेगी या डूबेगी,यह वस्तु के घनत्व और तरल के घनत्व की तुलना पर निर्भर करता है।
यदि वस्तु का घनत्व तरल के घनत्व से अधिक है,तो वस्तु का भार (गुरुत्वाकर्षण बल) उत्प्लावन बल से अधिक हो जाता है,जिससे वह डूब जाती है।
इसके विपरीत,यदि वस्तु का घनत्व तरल के घनत्व से कम है,तो वस्तु पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल गुरुत्वाकर्षण बल से अधिक होता है,जिससे वह सतह पर तैरती है।

(A) जब आप वजन मशीन पर खड़े होते हैं,तो मशीन आपके शरीर द्वारा उस पर लगाए गए अभिलंब बल (normal force) को मापती है।
हवा की उपस्थिति के कारण,आपके शरीर पर ऊपर की दिशा में उत्प्लावन बल (buoyant force) कार्य करता है।
यह उत्प्लावन बल वजन मशीन पर आपके शरीर द्वारा लगाए गए कुल नीचे की ओर बल को कम कर देता है।
इसलिए,वजन मशीन द्वारा दिखाई गई रीडिंग आपके वास्तविक द्रव्यमान से थोड़ी कम होती है।
अतः,आपका वास्तविक द्रव्यमान $42\, kg$ से अधिक है।

(A) रुई का थैला लोहे की छड़ से भारी होता है।
इसका कारण यह है कि रुई के थैले का आयतन लोहे की छड़ की तुलना में बहुत अधिक होता है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,जब किसी वस्तु को तरल (हवा) में डुबोया जाता है,तो उस पर ऊपर की ओर एक उत्प्लावन बल कार्य करता है जो विस्थापित तरल के भार के बराबर होता है।
चूंकि रुई का थैला अधिक स्थान घेरता है,इसलिए यह अधिक हवा को विस्थापित करता है,जिसके परिणामस्वरूप लोहे की छड़ की तुलना में इस पर अधिक उत्प्लावन बल कार्य करता है।
यह उत्प्लावन बल वजन मशीन पर रुई के थैले के आभासी भार को कम कर देता है।
इसलिए,वजन मशीन द्वारा दोनों के लिए $100\, kg$ दिखाने के लिए,रुई के थैले का वास्तविक द्रव्यमान लोहे की छड़ से अधिक होना चाहिए ताकि अधिक उत्प्लावन बल की भरपाई हो सके।

(D) गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार,दो वस्तुओं के बीच कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $(F)$ उनके बीच की दूरी $(r)$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात:
$F = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}$
यदि दूरी $r$ को घटाकर $r/2$ कर दिया जाए,तो नया गुरुत्वाकर्षण बल $(F')$ होगा:
$F' = G \frac{m_{1} m_{2}}{(r/2)^{2}}$
$F' = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}/4}$
$F' = 4 \times (G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}})$
$F' = 4F$
अतः,यदि दूरी को आधा कर दिया जाए,तो गुरुत्वाकर्षण बल मूल मान का चार गुना हो जाता है।

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$। किसी वस्तु पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = G \frac{Mm}{r^2}$ होता है। इन दोनों को बराबर करने पर,$ma = G \frac{Mm}{r^2}$,जो सरल होकर $a = G \frac{M}{r^2}$ हो जाता है। यहाँ,$a$ गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ है,$G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $r$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है। चूँकि $g$ केवल पृथ्वी के द्रव्यमान और उसके केंद्र से दूरी पर निर्भर करता है,यह गिरती हुई वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ से स्वतंत्र है। इसलिए,वायु प्रतिरोध की अनुपस्थिति में,सभी वस्तुएँ समान त्वरण के साथ गिरती हैं और भारी वस्तुएँ हल्की वस्तुओं की तुलना में तेजी से नीचे नहीं गिरती हैं।

(B) गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार,$m$ द्रव्यमान की वस्तु पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{G M m}{r^2}$
जहाँ:
पृथ्वी का द्रव्यमान,$M = 6 \times 10^{24} \,kg$
वस्तु का द्रव्यमान,$m = 1 \,kg$
सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक,$G = 6.67 \times 10^{-11} \,Nm^2 \,kg^{-2}$
पृथ्वी की त्रिज्या,$r = R = 6.4 \times 10^6 \,m$
सूत्र में मान रखने पर:
$F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times 1}{(6.4 \times 10^6)^2}$
$F = \frac{40.02 \times 10^{13}}{40.96 \times 10^{12}}$
$F \approx 9.8 \,N$
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण लगभग $9.8 \,N$ है।

(C) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,ब्रह्मांड में प्रत्येक वस्तु दूसरी वस्तु को एक ऐसे बल से आकर्षित करती है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। यह बल पारस्परिक होता है। इसलिए,पृथ्वी चंद्रमा को उसी बल से आकर्षित करती है जिस बल से चंद्रमा पृथ्वी को आकर्षित करता है। यह न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार है,जो बताता है कि प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।

(N/A) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,पृथ्वी और चंद्रमा एक-दूसरे पर समान और विपरीत गुरुत्वाकर्षण बल लगाते हैं।
हालाँकि,न्यूटन के गति के दूसरे नियम $F = ma$ के अनुसार,किसी पिंड में उत्पन्न त्वरण उसके द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(a = F/m)$।
पृथ्वी का द्रव्यमान चंद्रमा के द्रव्यमान से काफी अधिक है।
द्रव्यमान में इस विशाल अंतर के कारण,पृथ्वी में उत्पन्न त्वरण,चंद्रमा में उत्पन्न त्वरण की तुलना में नगण्य होता है।
इसलिए,पृथ्वी चंद्रमा की ओर कोई दृश्य गति प्रदर्शित नहीं करती है।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार,दो वस्तुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G M m}{r^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$(i)$ $F$ वस्तुओं के द्रव्यमान के सीधे समानुपाती होता है। यदि एक वस्तु का द्रव्यमान दोगुना कर दिया जाए,तो गुरुत्वाकर्षण बल भी दोगुना हो जाएगा।
$(ii)$ $F$ वस्तुओं के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। यदि दूरी दोगुनी कर दी जाए,तो गुरुत्वाकर्षण बल अपने मूल मान का एक-चौथाई $(1/4)$ हो जाता है। इसी प्रकार,यदि दूरी तीन गुनी कर दी जाए,तो गुरुत्वाकर्षण बल अपने मूल मान का नौवां हिस्सा $(1/9)$ हो जाता है।
$(iii)$ $F$ वस्तुओं के द्रव्यमान के गुणनफल के सीधे समानुपाती होता है। यदि दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान दोगुने कर दिए जाएं,तो नया बल $F' = \frac{G(2M)(2m)}{r^{2}} = 4 \times \frac{G M m}{r^{2}} = 4F$ होगा। अतः,गुरुत्वाकर्षण बल मूल मान का चार गुना हो जाता है।

(D) गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम निम्नलिखित कारणों से महत्वपूर्ण है:
$1$. यह हमें पृथ्वी से बांधे रखता है।
$2$. यह पृथ्वी के चारों ओर चंद्रमा की गति के लिए उत्तरदायी है।
$3$. यह सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति के लिए उत्तरदायी है।
$4$. यह चंद्रमा और सूर्य के कारण समुद्र में आने वाले ज्वार-भाटा के लिए उत्तरदायी है।

(A) जब वस्तुएं केवल गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में पृथ्वी की ओर गिरती हैं,तो उन्हें मुक्त पतन में कहा जाता है।
पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के कारण किसी वस्तु में उत्पन्न त्वरण को गुरुत्वीय त्वरण या मुक्त पतन का त्वरण कहा जाता है।
इसका मान लगभग $9.8\, ms^{-2}$ होता है,जो वस्तु के द्रव्यमान की परवाह किए बिना सभी वस्तुओं के लिए स्थिर रहता है।

(B) पृथ्वी द्वारा किसी वस्तु पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल को उस वस्तु का भार कहा जाता है।
इसकी गणना $W = m \times g$ सूत्र द्वारा की जाती है,जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।

(B) पृथ्वी पर किसी वस्तु का भार $W = mg$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
जहाँ:
$m$ = वस्तु का द्रव्यमान।
$g$ = गुरुत्वीय त्वरण।
चूंकि पृथ्वी ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है,इसलिए $g$ का मान भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर अधिक होता है।
चूंकि $W = mg$,इसलिए समान द्रव्यमान के सोने का भार ध्रुवों पर अधिक और भूमध्य रेखा पर कम होगा।
अतः,अमित का मित्र खरीदे गए सोने के वजन से सहमत नहीं होगा क्योंकि ध्रुवों से भूमध्य रेखा पर ले जाने पर सोने का भार कम हो जाता है।

(B) जब कागज की एक शीट को गेंद के आकार में मोड़ा जाता है,तो हवा के संपर्क में आने वाला उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल कम हो जाता है।
चूंकि हवा का प्रतिरोध वस्तु के पृष्ठीय क्षेत्रफल पर निर्भर करता है,इसलिए गेंद के आकार में मोड़ा गया कागज,सपाट कागज की तुलना में बहुत कम हवा का प्रतिरोध अनुभव करता है।
परिणामस्वरूप,गेंद के आकार में मोड़ा गया कागज सपाट कागज की तुलना में तेजी से नीचे गिरता है।

(C) पृथ्वी पर वस्तु का भार इस प्रकार ज्ञात किया जाता है: $W_e = m \times g$,जहाँ $m = 10\, kg$ और $g = 9.8\, m/s^2$ है।
अतः,$W_e = 10\, kg \times 9.8\, m/s^2 = 98\, N$.
चंद्रमा पर गुरुत्वाकर्षण बल पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल का $\frac{1}{6}$ होता है।
इसलिए,चंद्रमा पर वस्तु का भार: $W_m = \frac{1}{6} \times W_e$.
$W_m = \frac{1}{6} \times 98\, N \approx 16.3\, N$.
इस प्रकार,चंद्रमा पर भार $16.3\, N$ और पृथ्वी पर भार $98\, N$ है।

(D) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 49\, m/s$
अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $v = 0\, m/s$
गुरुत्वीय त्वरण $g = -9.8\, m/s^2$ (नीचे की ओर)
$(i)$ अधिकतम ऊँचाई $(h)$ ज्ञात करने के लिए:
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 - u^2 = 2gh$
$0^2 - (49)^2 = 2 \times (-9.8) \times h$
$-2401 = -19.6 \times h$
$h = 2401 / 19.6 = 122.5\, m$
$(ii)$ कुल उड़ान समय $(T)$ ज्ञात करने के लिए:
ऊपर जाते समय गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए: $v = u + gt$
$0 = 49 + (-9.8) \times t$
$9.8t = 49$
$t = 5\, s$
चूँकि चढ़ाई का समय और उतरने का समय समान होता है,इसलिए कुल समय $T = 2 \times t = 2 \times 5 = 10\, s$.

(A) गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2gs$ के अनुसार।
जहाँ,
$u = \text{पत्थर का प्रारंभिक वेग} = 0\, ms^{-1}$.
$v = \text{पत्थर का अंतिम वेग}$.
$s = \text{टॉवर की ऊँचाई} = 19.6\, m$.
$g = \text{गुरुत्वीय त्वरण} = 9.8\, ms^{-2}$.
समीकरण में मान रखने पर:
$v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 19.6$.
$v^2 = 19.6 \times 19.6 = (19.6)^2$.
$v = 19.6\, ms^{-1}$.
अतः,जमीन को छूने से ठीक पहले पत्थर का वेग $19.6\, ms^{-1}$ है।

(B) गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ ऊपर की गति के लिए $a = -g$ है।
दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 40 \, m/s$
अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $v = 0 \, m/s$
त्वरण $g = 10 \, m/s^2$
$v^2 = u^2 - 2gh$ का उपयोग करते हुए:
$0^2 = (40)^2 - 2(10)h$
$20h = 1600$
$h = 80 \, m$ (अधिकतम ऊँचाई)।
तय की गई कुल दूरी = ऊपर की ओर की दूरी + नीचे की ओर की दूरी = $80 \, m + 80 \, m = 160 \, m$।
कुल विस्थापन = अंतिम स्थिति - प्रारंभिक स्थिति = $0 \, m$ (चूँकि पत्थर प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ जाता है)।

(C) गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार,पृथ्वी और सूर्य के बीच आकर्षण बल निम्न प्रकार है:
$F = \frac{G \times M_{\text{Sun}} \times M_{\text{Earth}}}{R^2}$
जहाँ:
$M_{\text{Sun}} = 2 \times 10^{30} \, kg$
$M_{\text{Earth}} = 6 \times 10^{24} \, kg$
$R = 1.5 \times 10^{11} \, m$
$G = 6.7 \times 10^{-11} \, Nm^2 \, kg^{-2}$
मान रखने पर:
$F = \frac{6.7 \times 10^{-11} \times 2 \times 10^{30} \times 6 \times 10^{24}}{(1.5 \times 10^{11})^2}$
$F = \frac{80.4 \times 10^{43}}{2.25 \times 10^{22}}$
$F = 35.73 \times 10^{21} \, N = 3.57 \times 10^{22} \, N$
अतः,पृथ्वी और सूर्य के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $3.57 \times 10^{22} \, N$ है।

(D) मान लीजिए कि दोनों पत्थर $t$ समय के बाद मिलते हैं।
टॉवर से गिराए गए पत्थर के लिए:
प्रारंभिक वेग,$u = 0\, m/s$।
मान लीजिए कि $t$ समय में टॉवर के शीर्ष से पत्थर का विस्थापन $s$ है।
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8\, m/s^2$।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$s = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$s = 4.9t^2$ ............. $(1)$
ऊपर की ओर फेंके गए पत्थर के लिए:
प्रारंभिक वेग,$u = 25\, m/s$।
मान लीजिए कि $t$ समय में जमीन से पत्थर का विस्थापन $s'$ है।
गुरुत्वीय त्वरण,$g = -9.8\, m/s^2$।
गति के समीकरण $s' = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$s' = 25t - \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$s' = 25t - 4.9t^2$ ............. $(2)$
मिलन बिंदु पर दोनों पत्थरों के विस्थापन का योग टॉवर की कुल ऊँचाई $100\, m$ के बराबर है:
$s + s' = 100$
$4.9t^2 + 25t - 4.9t^2 = 100$
$25t = 100$
$t = 4\, s$
$4\, s$ में,ऊपर से नीचे गिरते हुए पत्थर द्वारा तय की गई दूरी है:
$s = 4.9 \times (4)^2 = 4.9 \times 16 = 78.4\, m$।
अतः,पत्थर $4\, s$ के बाद जमीन से $(100 - 78.4) = 20.6\, m$ की ऊँचाई पर मिलेंगे।

(A) ऊपर जाने का समय और नीचे आने का समय समान होता है। गेंद अपनी ऊपर और नीचे की यात्रा के लिए कुल $6\, s$ का समय लेती है।
इसलिए,अधिकतम ऊँचाई प्राप्त करने के लिए उसने $3\, s$ का समय लिया है।
अधिकतम ऊँचाई पर गेंद का अंतिम वेग,$v = 0\, m/s$.
गुरुत्वीय त्वरण,$g = -9.8\, m/s^2$.
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$0 = u + (-9.8 \times 3)$
$u = 9.8 \times 3 = 29.4\, m/s$.
अतः,गेंद को $29.4\, m/s$ के वेग से ऊपर फेंका गया था।
$(b)$ मान लीजिए गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h$ है।
ऊपर की यात्रा के दौरान प्रारंभिक वेग,$u = 29.4\, m/s$.
अंतिम वेग,$v = 0\, m/s$.
गुरुत्वीय त्वरण,$g = -9.8\, m/s^2$.
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$h = 29.4 \times 3 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 3^2 = 88.2 - 44.1 = 44.1\, m$.
अतः,अधिकतम ऊँचाई $44.1\, m$ है।
$(c)$ गेंद $3\, s$ बाद अधिकतम ऊँचाई प्राप्त करती है। इस ऊँचाई को प्राप्त करने के बाद,यह नीचे गिरना शुरू कर देगी।
इस स्थिति में,प्रारंभिक वेग,$u = 0\, m/s$.
फेंकने के $4\, s$ बाद गेंद की स्थिति उसकी नीचे की यात्रा के दौरान $4\, s - 3\, s = 1\, s$ में तय की गई दूरी द्वारा दी जाती है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$s = 0 \times 1 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times 1^2 = 4.9\, m$.
अब,कुल ऊँचाई $44.1\, m$ है।
इसका अर्थ है कि $4\, s$ बाद गेंद जमीन से $39.2\, m$ $(44.1\, m - 4.9\, m)$ की ऊँचाई पर है।

(B) जब किसी वस्तु को द्रव में डुबोया जाता है,तो वस्तु की ऊपरी और निचली सतहों के बीच दबाव के अंतर के कारण द्रव वस्तु पर ऊपर की दिशा में बल लगाता है। इस ऊपर की ओर लगने वाले बल को उत्प्लावन बल (buoyant force) या उत्क्षेप (upthrust) कहा जाता है।

(B) पानी में डूबी हुई वस्तु पर दो बल कार्य करते हैं।
एक गुरुत्वाकर्षण बल है,जो वस्तु को नीचे की ओर खींचता है।
दूसरा उत्प्लावन बल है,जो वस्तु को ऊपर की ओर धकेलता है।
यदि ऊपर की ओर लगने वाला उत्प्लावन बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल से अधिक है,तो वस्तु सतह पर आ जाएगी।
चूंकि प्लास्टिक का घनत्व पानी के घनत्व से कम होता है,इसलिए पानी द्वारा प्लास्टिक के गुटके पर लगाया गया उत्प्लावन बल उस पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल से अधिक होता है।
इसलिए,पानी के भीतर छोड़े जाने पर प्लास्टिक का गुटका सतह पर आ जाता है।

(B) यदि किसी वस्तु का घनत्व द्रव के घनत्व से अधिक होता है,तो वह द्रव में डूब जाती है। दूसरी ओर,यदि किसी वस्तु का घनत्व द्रव के घनत्व से कम होता है,तो वह द्रव की सतह पर तैरती है।
यहाँ,पदार्थ का घनत्व $= \frac{\text{पदार्थ का द्रव्यमान}}{\text{पदार्थ का आयतन}} = \frac{50}{20} = 2.5\, g\, cm^{-3}$ है।
पदार्थ का घनत्व $(2.5\, g\, cm^{-3})$ पानी के घनत्व $(1\, g\, cm^{-3})$ से अधिक है। इसलिए,पदार्थ पानी में डूब जाएगा।

(N/A) पैकेट का घनत्व = $\frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}} = \frac{500\, g}{350\, cm^3} \approx 1.43\, g/cm^3$ है।
चूंकि पैकेट का घनत्व $(1.43\, g/cm^3)$ पानी के घनत्व $(1\, g/cm^3)$ से अधिक है,इसलिए पैकेट पानी में डूब जाएगा।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,पूरी तरह से डूबी हुई वस्तु द्वारा विस्थापित पानी का आयतन वस्तु के आयतन के बराबर होता है।
विस्थापित पानी का द्रव्यमान = $\text{पैकेट का आयतन} \times \text{पानी का घनत्व} = 350\, cm^3 \times 1\, g/cm^3 = 350\, g$।