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Mix Example - GRAVITATION Questions in Hindi
Class 9 Science · GRAVITATION · Mix Example - GRAVITATION
187+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 187 questions in Hindi
101
DifficultMCQ
पृथ्वी की सतह से $6400 \, km$ की ऊँचाई पर एक वस्तु का भार ज्ञात कीजिए। पृथ्वी की सतह पर वस्तु का भार $20 \, N$ है और पृथ्वी की त्रिज्या $6400 \, km$ है। ($, N$ में)
A
$5$
B
$10$
C
$20$
D
$40$
Solution
(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मान $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह पर वस्तु का भार $W = mg = 20 \, N$ है।
सतह से $h = 6400 \, km$ की ऊँचाई पर,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h = R + R = 2R$ होती है।
इस ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h$ का मान $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{(2R)^2} = \frac{GM}{4R^2} = \frac{1}{4} g$ होता है।
अतः,इस ऊँचाई पर वस्तु का भार $W_h = m \cdot g_h = m \cdot (\frac{1}{4} g) = \frac{1}{4} (mg)$ होगा।
$W = 20 \, N$ का मान रखने पर,हमें $W_h = \frac{1}{4} \times 20 \, N = 5 \, N$ प्राप्त होता है।
पृथ्वी की सतह पर वस्तु का भार $W = mg = 20 \, N$ है।
सतह से $h = 6400 \, km$ की ऊँचाई पर,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h = R + R = 2R$ होती है।
इस ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h$ का मान $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{(2R)^2} = \frac{GM}{4R^2} = \frac{1}{4} g$ होता है।
अतः,इस ऊँचाई पर वस्तु का भार $W_h = m \cdot g_h = m \cdot (\frac{1}{4} g) = \frac{1}{4} (mg)$ होगा।
$W = 20 \, N$ का मान रखने पर,हमें $W_h = \frac{1}{4} \times 20 \, N = 5 \, N$ प्राप्त होता है।
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दो वस्तुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण बल पर क्या प्रभाव पड़ेगा,यदि
$(a)$ एक वस्तु का द्रव्यमान दोगुना कर दिया जाए?
$(b)$ वस्तुओं के बीच की दूरी दोगुनी कर दी जाए?
$(c)$ दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान दोगुने कर दिए जाएं? प्रत्येक स्थिति में कारण दीजिए।
$(a)$ एक वस्तु का द्रव्यमान दोगुना कर दिया जाए?
$(b)$ वस्तुओं के बीच की दूरी दोगुनी कर दी जाए?
$(c)$ दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान दोगुने कर दिए जाएं? प्रत्येक स्थिति में कारण दीजिए।
Solution
(N/A) दो वस्तुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ व्यंजक द्वारा दिया जाता है।
$(a)$ यदि एक वस्तु का द्रव्यमान दोगुना कर दिया जाए $(m_1' = 2m_1)$,तो नया बल $F' = \frac{G(2m_1)m_2}{r^2} = 2F$ होगा। अतः,बल दोगुना हो जाता है।
$(b)$ यदि वस्तुओं के बीच की दूरी दोगुनी कर दी जाए $(r' = 2r)$,तो नया बल $F' = \frac{G m_1 m_2}{(2r)^2} = \frac{G m_1 m_2}{4r^2} = \frac{1}{4}F$ होगा। अतः,बल मूल बल का एक-चौथाई हो जाता है।
$(c)$ यदि दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान दोगुने कर दिए जाएं ($m_1' = 2m_1$ और $m_2' = 2m_2$),तो नया बल $F' = \frac{G(2m_1)(2m_2)}{r^2} = 4 \times \frac{G m_1 m_2}{r^2} = 4F$ होगा। अतः,बल मूल बल का चार गुना हो जाता है।
$(a)$ यदि एक वस्तु का द्रव्यमान दोगुना कर दिया जाए $(m_1' = 2m_1)$,तो नया बल $F' = \frac{G(2m_1)m_2}{r^2} = 2F$ होगा। अतः,बल दोगुना हो जाता है।
$(b)$ यदि वस्तुओं के बीच की दूरी दोगुनी कर दी जाए $(r' = 2r)$,तो नया बल $F' = \frac{G m_1 m_2}{(2r)^2} = \frac{G m_1 m_2}{4r^2} = \frac{1}{4}F$ होगा। अतः,बल मूल बल का एक-चौथाई हो जाता है।
$(c)$ यदि दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान दोगुने कर दिए जाएं ($m_1' = 2m_1$ और $m_2' = 2m_2$),तो नया बल $F' = \frac{G(2m_1)(2m_2)}{r^2} = 4 \times \frac{G m_1 m_2}{r^2} = 4F$ होगा। अतः,बल मूल बल का चार गुना हो जाता है।
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किसी वस्तु के द्रव्यमान और भार के बीच अंतर स्पष्ट कीजिए। भूमध्य रेखा से ध्रुवों की ओर जाने पर वस्तु का भार कैसे बदलता है? किसी वस्तु का भार शून्य कब हो सकता है?
Solution
(N/A) द्रव्यमान और भार के बीच अंतर नीचे दी गई तालिका में दर्शाया गया है:
जब किसी वस्तु को भूमध्य रेखा से ध्रुवों की ओर ले जाया जाता है, तो उसका भार बढ़ जाता है क्योंकि ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का मान भूमध्य रेखा की तुलना में अधिक होता है。
पृथ्वी के केंद्र पर या जब कोई वस्तु मुक्त पतन की स्थिति में होती है, तो उसका भार शून्य हो जाता है।
| द्रव्यमान | भार |
| $1.$ यह किसी वस्तु में निहित पदार्थ की मात्रा है। | $1.$ यह किसी ग्रह द्वारा लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर बल है। |
| $2.$ यह एक नियत राशि है और स्थान बदलने पर नहीं बदलती है। | $2.$ यह एक परिवर्तनीय राशि है और स्थान के गुरुत्वीय त्वरण के साथ बदलती है। |
| $3.$ किसी वस्तु का द्रव्यमान कभी शून्य नहीं हो सकता। | $3.$ मुक्त पतन के दौरान वस्तु का भार शून्य हो सकता है। |
| $4.$ इसे भौतिक तुला द्वारा मापा जाता है। | $4.$ इसे स्प्रिंग तुला द्वारा मापा जाता है। |
| $5.$ यह एक अदिश राशि है। | $5.$ यह एक सदिश राशि है। |
| $6.$ इसे किलोग्राम $(kg)$ में मापा जाता है। | $6.$ इसे न्यूटन $(N)$ में मापा जाता है। |
जब किसी वस्तु को भूमध्य रेखा से ध्रुवों की ओर ले जाया जाता है, तो उसका भार बढ़ जाता है क्योंकि ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का मान भूमध्य रेखा की तुलना में अधिक होता है。
पृथ्वी के केंद्र पर या जब कोई वस्तु मुक्त पतन की स्थिति में होती है, तो उसका भार शून्य हो जाता है।
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$(a)$ पृथ्वी पर सूर्य का गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है,फिर भी यह सूर्य में क्यों नहीं गिरती है?
$(b)$ $500 \, g$ द्रव्यमान की एक वस्तु को $5 \, m$ ऊंचे टॉवर से गिराया जाता है। जब यह जमीन को छूती है तो इसका संवेग ज्ञात कीजिए (दिया गया है $g = 10 \, m s^{-2}$)।
$(b)$ $500 \, g$ द्रव्यमान की एक वस्तु को $5 \, m$ ऊंचे टॉवर से गिराया जाता है। जब यह जमीन को छूती है तो इसका संवेग ज्ञात कीजिए (दिया गया है $g = 10 \, m s^{-2}$)।
Solution
(N/A) ऐसा इसलिए है क्योंकि सूर्य और पृथ्वी के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल पृथ्वी को उसकी कक्षीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$(b)$ दिया गया है: द्रव्यमान $m = 500 \, g = 0.5 \, kg$,ऊँचाई $h = 5 \, m$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m s^{-2}$,प्रारंभिक वेग $u = 0$।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 - u^2 = 2gh$
$v^2 - 0 = 2 \times 10 \times 5 = 100$
$v = \sqrt{100} = 10 \, m s^{-1}$
संवेग $p = m \times v$
$p = 0.5 \, kg \times 10 \, m s^{-1} = 5 \, kg \, m s^{-1}$।
$(b)$ दिया गया है: द्रव्यमान $m = 500 \, g = 0.5 \, kg$,ऊँचाई $h = 5 \, m$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m s^{-2}$,प्रारंभिक वेग $u = 0$।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 - u^2 = 2gh$
$v^2 - 0 = 2 \times 10 \times 5 = 100$
$v = \sqrt{100} = 10 \, m s^{-1}$
संवेग $p = m \times v$
$p = 0.5 \, kg \times 10 \, m s^{-1} = 5 \, kg \, m s^{-1}$।
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Difficult
सिद्ध कीजिए कि यदि किसी वस्तु को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो ऊपर जाने का समय (time of ascent) नीचे आने के समय (time of descent) के बराबर होता है।
Solution
(N/A) ऊपर की गति के लिए:
$u = u, v = 0$
मान लीजिए $t_{1}$ ऊपर जाने का समय है। गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$0 = u - gt_{1}$
$t_{1} = u/g$
नीचे की गति (अवरोहण) के लिए:
वस्तु अधिकतम ऊँचाई पर विराम अवस्था से शुरू होती है,इसलिए $u = 0$। मान लीजिए $t_{2}$ नीचे आने का समय है। $s = ut + (1/2)at^{2}$ का उपयोग करने पर जहाँ $s = h$:
$h = 0 + (1/2)gt_{2}^{2} \implies t_{2} = \sqrt{2h/g}$
चूँकि $h = u^{2}/(2g)$,इस मान को रखने पर $t_{2} = \sqrt{2(u^{2}/2g)/g} = u/g$ प्राप्त होता है।
अतः,$t_{1} = t_{2}$,जो यह सिद्ध करता है कि ऊपर जाने का समय और नीचे आने का समय बराबर है।
$u = u, v = 0$
मान लीजिए $t_{1}$ ऊपर जाने का समय है। गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$0 = u - gt_{1}$
$t_{1} = u/g$
नीचे की गति (अवरोहण) के लिए:
वस्तु अधिकतम ऊँचाई पर विराम अवस्था से शुरू होती है,इसलिए $u = 0$। मान लीजिए $t_{2}$ नीचे आने का समय है। $s = ut + (1/2)at^{2}$ का उपयोग करने पर जहाँ $s = h$:
$h = 0 + (1/2)gt_{2}^{2} \implies t_{2} = \sqrt{2h/g}$
चूँकि $h = u^{2}/(2g)$,इस मान को रखने पर $t_{2} = \sqrt{2(u^{2}/2g)/g} = u/g$ प्राप्त होता है।
अतः,$t_{1} = t_{2}$,जो यह सिद्ध करता है कि ऊपर जाने का समय और नीचे आने का समय बराबर है।
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गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम बताइए। $G$ का $SI$ मात्रक लिखिए। दो वस्तुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $100 \, N$ है। उनके बीच की दूरी को कैसे बदला जाना चाहिए ताकि उनके बीच का बल $50 \, N$ हो जाए?
Solution
(N/A) गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम यह बताता है कि ब्रह्मांड में प्रत्येक वस्तु दूसरी वस्तु को एक ऐसे बल से आकर्षित करती है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
$G$ का $SI$ मात्रक $N \, m^2 \, kg^{-2}$ है।
दिया गया है:
प्रारंभिक बल $F_1 = 100 \, N$
अंतिम बल $F_2 = 50 \, N$
हम जानते हैं कि गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ होता है,जिसका अर्थ है $F \propto \frac{1}{r^2}$।
अतः,$\frac{F_1}{F_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$।
मान रखने पर:
$\frac{100}{50} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$
$2 = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$
$\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{2}$
इस प्रकार,बल को $50 \, N$ करने के लिए वस्तुओं के बीच की दूरी को $\sqrt{2}$ गुना (मूल दूरी का लगभग $1.414$ गुना) बढ़ाना चाहिए।
$G$ का $SI$ मात्रक $N \, m^2 \, kg^{-2}$ है।
दिया गया है:
प्रारंभिक बल $F_1 = 100 \, N$
अंतिम बल $F_2 = 50 \, N$
हम जानते हैं कि गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ होता है,जिसका अर्थ है $F \propto \frac{1}{r^2}$।
अतः,$\frac{F_1}{F_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$।
मान रखने पर:
$\frac{100}{50} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$
$2 = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$
$\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{2}$
इस प्रकार,बल को $50 \, N$ करने के लिए वस्तुओं के बीच की दूरी को $\sqrt{2}$ गुना (मूल दूरी का लगभग $1.414$ गुना) बढ़ाना चाहिए।
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सिद्ध कीजिए कि चंद्रमा पर किसी वस्तु का भार पृथ्वी पर उसके भार का छठा भाग होता है। [दिया है: पृथ्वी का द्रव्यमान $= 5.98 \times 10^{24} \ kg$,चंद्रमा का द्रव्यमान $= 7.36 \times 10^{22} \ kg$,पृथ्वी की त्रिज्या $= 6.37 \times 10^{6} \ m$,चंद्रमा की त्रिज्या $= 1.74 \times 10^{6} \ m$]
Solution
(N/A) मान लीजिए कि किसी वस्तु का द्रव्यमान $m$ है। चंद्रमा पर उसका भार $W_{m}$ है और पृथ्वी पर उसका भार $W_{E}$ है।
गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम का उपयोग करते हुए,चंद्रमा पर वस्तु का भार $W_{m} = \frac{GM_{m}m}{R_{m}^{2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M_{m}$ चंद्रमा का द्रव्यमान है और $R_{m}$ उसकी त्रिज्या है।
इसी प्रकार,पृथ्वी पर वस्तु का भार $W_{E} = \frac{GM_{E}m}{R_{E}^{2}}$ है,जहाँ $M_{E}$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R_{E}$ उसकी त्रिज्या है।
दोनों भारों का अनुपात लेने पर:
$\frac{W_{m}}{W_{E}} = \frac{GM_{m}m}{R_{m}^{2}} \times \frac{R_{E}^{2}}{GM_{E}m} = \frac{M_{m}}{M_{E}} \times \left( \frac{R_{E}}{R_{m}} \right)^{2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{W_{m}}{W_{E}} = \frac{7.36 \times 10^{22}}{5.98 \times 10^{24}} \times \left( \frac{6.37 \times 10^{6}}{1.74 \times 10^{6}} \right)^{2}$
$\frac{W_{m}}{W_{E}} \approx 0.0123 \times (3.66)^{2} \approx 0.0123 \times 13.4 = 0.165 \approx \frac{1}{6}$
अतः,चंद्रमा पर किसी वस्तु का भार पृथ्वी पर उसके भार का छठा भाग होता है।
गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम का उपयोग करते हुए,चंद्रमा पर वस्तु का भार $W_{m} = \frac{GM_{m}m}{R_{m}^{2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M_{m}$ चंद्रमा का द्रव्यमान है और $R_{m}$ उसकी त्रिज्या है।
इसी प्रकार,पृथ्वी पर वस्तु का भार $W_{E} = \frac{GM_{E}m}{R_{E}^{2}}$ है,जहाँ $M_{E}$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R_{E}$ उसकी त्रिज्या है।
दोनों भारों का अनुपात लेने पर:
$\frac{W_{m}}{W_{E}} = \frac{GM_{m}m}{R_{m}^{2}} \times \frac{R_{E}^{2}}{GM_{E}m} = \frac{M_{m}}{M_{E}} \times \left( \frac{R_{E}}{R_{m}} \right)^{2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{W_{m}}{W_{E}} = \frac{7.36 \times 10^{22}}{5.98 \times 10^{24}} \times \left( \frac{6.37 \times 10^{6}}{1.74 \times 10^{6}} \right)^{2}$
$\frac{W_{m}}{W_{E}} \approx 0.0123 \times (3.66)^{2} \approx 0.0123 \times 13.4 = 0.165 \approx \frac{1}{6}$
अतः,चंद्रमा पर किसी वस्तु का भार पृथ्वी पर उसके भार का छठा भाग होता है।
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Difficult
$100 \, m$ ऊँचे टॉवर के शीर्ष से एक पत्थर को नीचे गिरने दिया जाता है और उसी समय एक अन्य पत्थर को जमीन से $25 \, m s^{-1}$ के वेग से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है। गणना करें कि दोनों पत्थर कब और कहाँ मिलेंगे? ($g = 10 \, m s^{-2}$ लें)।
Solution
(A) मान लीजिए पत्थर $A$,$h = 100 \, m$ ऊँचे टॉवर के शीर्ष से नीचे गिरता है। इसका प्रारंभिक वेग $u_1 = 0$ और त्वरण $a_1 = +g = 10 \, m s^{-2}$ है।
दूसरा पत्थर $B$ जमीन से $u_2 = 25 \, m s^{-1}$ के प्रारंभिक वेग से ऊपर की ओर फेंका जाता है और इसका त्वरण $a_2 = -g = -10 \, m s^{-2}$ है।
मान लीजिए कि दोनों पत्थर $t$ समय के बाद टॉवर के शीर्ष से $y$ दूरी नीचे बिंदु $C$ पर मिलते हैं। पत्थर $A$ के लिए:
$y = u_1 t + \frac{1}{2} a_1 t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 = 5t^2$ ... $(1)$
पत्थर $B$ के लिए,जमीन से तय की गई दूरी $(100 - y)$ है:
$100 - y = u_2 t + \frac{1}{2} a_2 t^2 = 25t - \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 = 25t - 5t^2$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$y + (100 - y) = 5t^2 + 25t - 5t^2$
$100 = 25t$
$t = 4 \, s$
समीकरण $(1)$ में $t = 4 \, s$ रखने पर:
$y = 5 \times (4)^2 = 5 \times 16 = 80 \, m$.
अतः,दोनों पत्थर $4 \, s$ के बाद टॉवर के शीर्ष से $80 \, m$ की दूरी पर (या जमीन से $20 \, m$ की दूरी पर) मिलेंगे।
दूसरा पत्थर $B$ जमीन से $u_2 = 25 \, m s^{-1}$ के प्रारंभिक वेग से ऊपर की ओर फेंका जाता है और इसका त्वरण $a_2 = -g = -10 \, m s^{-2}$ है।
मान लीजिए कि दोनों पत्थर $t$ समय के बाद टॉवर के शीर्ष से $y$ दूरी नीचे बिंदु $C$ पर मिलते हैं। पत्थर $A$ के लिए:
$y = u_1 t + \frac{1}{2} a_1 t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 = 5t^2$ ... $(1)$
पत्थर $B$ के लिए,जमीन से तय की गई दूरी $(100 - y)$ है:
$100 - y = u_2 t + \frac{1}{2} a_2 t^2 = 25t - \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 = 25t - 5t^2$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$y + (100 - y) = 5t^2 + 25t - 5t^2$
$100 = 25t$
$t = 4 \, s$
समीकरण $(1)$ में $t = 4 \, s$ रखने पर:
$y = 5 \times (4)^2 = 5 \times 16 = 80 \, m$.
अतः,दोनों पत्थर $4 \, s$ के बाद टॉवर के शीर्ष से $80 \, m$ की दूरी पर (या जमीन से $20 \, m$ की दूरी पर) मिलेंगे।
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MediumMCQ
दो पत्थरों $A$ और $B$ को एक बहुमंजिला इमारत से गिराया जाता है। पत्थर $A$ को $100 \, m$ की ऊँचाई से और उसी समय पत्थर $B$ को $50 \, m$ की ऊँचाई से गिराया जाता है। वे दोनों एक ही समय पर पृथ्वी पर पहुँचते हैं। क्या जमीन पर पहुँचते समय उनका वेग समान होगा? गणना करके उत्तर ज्ञात कीजिए ($g = 10 \, m s^{-2}$ लें)।
A
हाँ,उनका वेग समान होगा।
B
नहीं,पत्थर $A$ का वेग अधिक होगा।
C
नहीं,पत्थर $B$ का वेग अधिक होगा।
D
निर्धारित नहीं किया जा सकता।
Solution
(B) $100 \, m$ की ऊँचाई से गिराए गए पत्थर $A$ के लिए:
समीकरण $v^2 - u^2 = 2gh$ का उपयोग करने पर,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है:
$v_A^2 = 2 \times 10 \times 100 = 2000$
$v_A = \sqrt{2000} \approx 44.72 \, m s^{-1}$।
$50 \, m$ की ऊँचाई से गिराए गए पत्थर $B$ के लिए:
समीकरण $v^2 - u^2 = 2gh$ का उपयोग करने पर,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है:
$v_B^2 = 2 \times 10 \times 50 = 1000$
$v_B = \sqrt{1000} \approx 31.62 \, m s^{-1}$।
चूँकि $v_A \neq v_B$,इसलिए जमीन पर पहुँचते समय पत्थरों का वेग समान नहीं होगा। पत्थर $A$ का वेग अधिक होगा।
समीकरण $v^2 - u^2 = 2gh$ का उपयोग करने पर,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है:
$v_A^2 = 2 \times 10 \times 100 = 2000$
$v_A = \sqrt{2000} \approx 44.72 \, m s^{-1}$।
$50 \, m$ की ऊँचाई से गिराए गए पत्थर $B$ के लिए:
समीकरण $v^2 - u^2 = 2gh$ का उपयोग करने पर,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है:
$v_B^2 = 2 \times 10 \times 50 = 1000$
$v_B = \sqrt{1000} \approx 31.62 \, m s^{-1}$।
चूँकि $v_A \neq v_B$,इसलिए जमीन पर पहुँचते समय पत्थरों का वेग समान नहीं होगा। पत्थर $A$ का वेग अधिक होगा।
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Medium
न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम बताइए और इसके लिए एक व्यंजक लिखिए। साथ ही,यह दर्शाइए कि किसी वस्तु का गुरुत्वीय त्वरण उसके द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।
Solution
(N/A) न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम बताता है कि ब्रह्मांड का प्रत्येक कण दूसरे कण को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,बल $F$ इस प्रकार है:
$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$
जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$m_1$ और $m_2$ दो वस्तुओं के द्रव्यमान हैं,और $r$ उनके केंद्रों के बीच की दूरी है।
यह दर्शाने के लिए कि गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ गिरती हुई वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र है,पृथ्वी (द्रव्यमान $M$,त्रिज्या $R$) की ओर गिरती हुई $m$ द्रव्यमान की वस्तु पर विचार करें।
गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G M m}{R^2}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = m \times a$। यहाँ,$a = g$ है,इसलिए $F = m \times g$।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $m \times g = \frac{G M m}{R^2}$।
दोनों पक्षों से $m$ को काटने पर,हमें $g = \frac{G M}{R^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g$ केवल पृथ्वी के द्रव्यमान $(M)$,गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$ और पृथ्वी की त्रिज्या $(R)$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह गिरती हुई वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ से स्वतंत्र है।
गणितीय रूप से,बल $F$ इस प्रकार है:
$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$
जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$m_1$ और $m_2$ दो वस्तुओं के द्रव्यमान हैं,और $r$ उनके केंद्रों के बीच की दूरी है।
यह दर्शाने के लिए कि गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ गिरती हुई वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र है,पृथ्वी (द्रव्यमान $M$,त्रिज्या $R$) की ओर गिरती हुई $m$ द्रव्यमान की वस्तु पर विचार करें।
गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G M m}{R^2}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = m \times a$। यहाँ,$a = g$ है,इसलिए $F = m \times g$।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $m \times g = \frac{G M m}{R^2}$।
दोनों पक्षों से $m$ को काटने पर,हमें $g = \frac{G M}{R^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g$ केवल पृथ्वी के द्रव्यमान $(M)$,गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$ और पृथ्वी की त्रिज्या $(R)$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह गिरती हुई वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ से स्वतंत्र है।
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Medium
$(i)$ सीमा अपने एक मित्र के निर्देशानुसार ध्रुवों पर सोने के कुछ दाने खरीदती है। जब वह उसे भूमध्य रेखा (equator) पर मिलती है तो वह उसे वही सोना सौंप देती है। क्या मित्र खरीदे गए सोने के वजन से सहमत होगा? यदि नहीं,तो क्यों?
$(ii)$ यदि चंद्रमा पृथ्वी को आकर्षित करता है,तो पृथ्वी चंद्रमा की ओर गति क्यों नहीं करती है?
$(ii)$ यदि चंद्रमा पृथ्वी को आकर्षित करता है,तो पृथ्वी चंद्रमा की ओर गति क्यों नहीं करती है?
Solution
(N/A) $(i)$ नहीं,मित्र सहमत नहीं होगा। भार वह बल है जिससे पृथ्वी किसी वस्तु को आकर्षित करती है,जिसे सूत्र $W = m \times g$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का मान भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर अधिक होता है,इसलिए उसी सोने का भार भूमध्य रेखा पर ध्रुवों की तुलना में कम होगा।
$(ii)$ न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,चंद्रमा पृथ्वी पर समान और विपरीत बल लगाता है। हालाँकि,पृथ्वी चंद्रमा की ओर गति नहीं करती है क्योंकि पृथ्वी का द्रव्यमान चंद्रमा के द्रव्यमान की तुलना में बहुत अधिक है। न्यूटन के दूसरे नियम $(F = m \times a)$ के अनुसार,उत्पन्न त्वरण द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(a = F / m)$। अतः,पृथ्वी का त्वरण नगण्य है।
$(ii)$ न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,चंद्रमा पृथ्वी पर समान और विपरीत बल लगाता है। हालाँकि,पृथ्वी चंद्रमा की ओर गति नहीं करती है क्योंकि पृथ्वी का द्रव्यमान चंद्रमा के द्रव्यमान की तुलना में बहुत अधिक है। न्यूटन के दूसरे नियम $(F = m \times a)$ के अनुसार,उत्पन्न त्वरण द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(a = F / m)$। अतः,पृथ्वी का त्वरण नगण्य है।
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Medium
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ और गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$ के बीच तीन अंतर लिखिए।
Solution
(N/A) गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ और गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$ के बीच तीन अंतर निम्नलिखित हैं:
$(i)$ पृथ्वी की सतह पर $g$ का मान $9.8 \, m/s^2$ होता है,जबकि $G$ का मान $6.67 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2/kg^2$ होता है।
$(ii)$ $g$ का मान स्थान के अनुसार बदलता रहता है,जबकि $G$ का मान पूरे ब्रह्मांड में स्थिर रहता है।
$(iii)$ $g$ एक सदिश राशि है,जबकि $G$ एक अदिश राशि है।
$(i)$ पृथ्वी की सतह पर $g$ का मान $9.8 \, m/s^2$ होता है,जबकि $G$ का मान $6.67 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2/kg^2$ होता है।
$(ii)$ $g$ का मान स्थान के अनुसार बदलता रहता है,जबकि $G$ का मान पूरे ब्रह्मांड में स्थिर रहता है।
$(iii)$ $g$ एक सदिश राशि है,जबकि $G$ एक अदिश राशि है।
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किसी वस्तु के द्रव्यमान और भार को परिभाषित कीजिए। उनके $SI$ मात्रक लिखिए। पृथ्वी पर एक वस्तु का द्रव्यमान $20 \, kg$ है। चंद्रमा की सतह पर इसका द्रव्यमान और भार क्या होगा? (चंद्रमा पर $g = 1.6 \, m s^{-2}$)
Solution
(N/A) द्रव्यमान किसी वस्तु में निहित पदार्थ की मात्रा है। द्रव्यमान का $SI$ मात्रक $kg$ है।
भार वह बल है जिससे कोई वस्तु पृथ्वी या किसी खगोलीय पिंड के केंद्र की ओर आकर्षित होती है। भार का $SI$ मात्रक न्यूटन $(N)$ है।
चूंकि द्रव्यमान वस्तु का एक स्थिर गुण है और स्थान बदलने पर नहीं बदलता है,इसलिए चंद्रमा पर वस्तु का द्रव्यमान $20 \, kg$ ही रहेगा।
चंद्रमा पर वस्तु का भार ज्ञात करने के लिए सूत्र $W = m \times g$ का उपयोग किया जाता है,जहाँ $m = 20 \, kg$ और $g = 1.6 \, m s^{-2}$ है।
$W = 20 \times 1.6 = 32 \, N$.
अतः,चंद्रमा पर वस्तु का द्रव्यमान $20 \, kg$ और भार $32 \, N$ होगा।
भार वह बल है जिससे कोई वस्तु पृथ्वी या किसी खगोलीय पिंड के केंद्र की ओर आकर्षित होती है। भार का $SI$ मात्रक न्यूटन $(N)$ है।
चूंकि द्रव्यमान वस्तु का एक स्थिर गुण है और स्थान बदलने पर नहीं बदलता है,इसलिए चंद्रमा पर वस्तु का द्रव्यमान $20 \, kg$ ही रहेगा।
चंद्रमा पर वस्तु का भार ज्ञात करने के लिए सूत्र $W = m \times g$ का उपयोग किया जाता है,जहाँ $m = 20 \, kg$ और $g = 1.6 \, m s^{-2}$ है।
$W = 20 \times 1.6 = 32 \, N$.
अतः,चंद्रमा पर वस्तु का द्रव्यमान $20 \, kg$ और भार $32 \, N$ होगा।
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Difficult
गुरुत्वीय त्वरण से क्या तात्पर्य है? मान लीजिए कि एक ऐसा ग्रह मौजूद है जिसका द्रव्यमान और त्रिज्या दोनों पृथ्वी के आधे हैं। इस ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण की गणना कीजिए।
Solution
(N/A) गुरुत्वीय त्वरण वह त्वरण है जो किसी वस्तु में तब उत्पन्न होता है जब उसे केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में स्वतंत्र रूप से गिरने दिया जाता है। किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $R$ उसकी त्रिज्या है।
दिया गया है:
ग्रह का द्रव्यमान $(M_P)$ = $\frac{M_E}{2}$
ग्रह की त्रिज्या $(R_P)$ = $\frac{R_E}{2}$
पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_E)$ = $9.8 \, m/s^2$
अनुपात का उपयोग करते हुए:
$\frac{g_P}{g_E} = \frac{GM_P / R_P^2}{GM_E / R_E^2} = \frac{M_P}{M_E} \times (\frac{R_E}{R_P})^2$
मान रखने पर:
$\frac{g_P}{g_E} = \frac{M_E / 2}{M_E} \times (\frac{R_E}{R_E / 2})^2 = \frac{1}{2} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$
अतः,$g_P = 2 \times g_E = 2 \times 9.8 \, m/s^2 = 19.6 \, m/s^2$.
दिया गया है:
ग्रह का द्रव्यमान $(M_P)$ = $\frac{M_E}{2}$
ग्रह की त्रिज्या $(R_P)$ = $\frac{R_E}{2}$
पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_E)$ = $9.8 \, m/s^2$
अनुपात का उपयोग करते हुए:
$\frac{g_P}{g_E} = \frac{GM_P / R_P^2}{GM_E / R_E^2} = \frac{M_P}{M_E} \times (\frac{R_E}{R_P})^2$
मान रखने पर:
$\frac{g_P}{g_E} = \frac{M_E / 2}{M_E} \times (\frac{R_E}{R_E / 2})^2 = \frac{1}{2} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$
अतः,$g_P = 2 \times g_E = 2 \times 9.8 \, m/s^2 = 19.6 \, m/s^2$.
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कारण बताइए:
$(a)$ पृथ्वी पर '$g$' का मान स्थिर नहीं है।
$(b)$ अलग-अलग द्रव्यमान वाली वस्तुएं एक निश्चित ऊंचाई से गिरने में समान समय लेती हैं।
$(c)$ '$G$' को सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक के रूप में जाना जाता है।
$(a)$ पृथ्वी पर '$g$' का मान स्थिर नहीं है।
$(b)$ अलग-अलग द्रव्यमान वाली वस्तुएं एक निश्चित ऊंचाई से गिरने में समान समय लेती हैं।
$(c)$ '$G$' को सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक के रूप में जाना जाता है।
Solution
(N/A) गुरुत्वीय त्वरण को $g = \frac{GM}{R^2}$ व्यंजक द्वारा दिया जाता है।
यह पृथ्वी की त्रिज्या $(R)$ पर निर्भर करता है। चूंकि पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है और इसकी त्रिज्या ध्रुवों से भूमध्य रेखा तक बदलती रहती है,इसलिए $g$ का मान हर जगह स्थिर नहीं होता है। इसके अतिरिक्त,$g$ ऊंचाई और गहराई के साथ भी बदलता है।
$(b)$ गिरती हुई वस्तु पर कार्य करने वाला गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यह व्यंजक दर्शाता है कि $g$ गिरती हुई वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर नहीं करता है,बल्कि केवल ग्रह के द्रव्यमान $(M)$ और उसके केंद्र से दूरी $(R)$ पर निर्भर करता है। इसलिए,सभी वस्तुएं अपने द्रव्यमान की परवाह किए बिना समान त्वरण के साथ गिरती हैं और निर्वात में एक निश्चित ऊंचाई से गिरने में समान समय लेती हैं।
$(c)$ '$G$' को सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक कहा जाता है क्योंकि इसका मान पूरे ब्रह्मांड में सभी स्थानों पर समान रहता है और यह माध्यम या शामिल पिंडों की प्रकृति से स्वतंत्र होता है।
यह पृथ्वी की त्रिज्या $(R)$ पर निर्भर करता है। चूंकि पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है और इसकी त्रिज्या ध्रुवों से भूमध्य रेखा तक बदलती रहती है,इसलिए $g$ का मान हर जगह स्थिर नहीं होता है। इसके अतिरिक्त,$g$ ऊंचाई और गहराई के साथ भी बदलता है।
$(b)$ गिरती हुई वस्तु पर कार्य करने वाला गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यह व्यंजक दर्शाता है कि $g$ गिरती हुई वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर नहीं करता है,बल्कि केवल ग्रह के द्रव्यमान $(M)$ और उसके केंद्र से दूरी $(R)$ पर निर्भर करता है। इसलिए,सभी वस्तुएं अपने द्रव्यमान की परवाह किए बिना समान त्वरण के साथ गिरती हैं और निर्वात में एक निश्चित ऊंचाई से गिरने में समान समय लेती हैं।
$(c)$ '$G$' को सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक कहा जाता है क्योंकि इसका मान पूरे ब्रह्मांड में सभी स्थानों पर समान रहता है और यह माध्यम या शामिल पिंडों की प्रकृति से स्वतंत्र होता है।
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$(a)$ मुक्त पतन (free fall) से आप क्या समझते हैं?
$(b)$ मुक्त पतन के दौरान वस्तुओं की गति की दिशा में क्या होता है?
$(c)$ एक पत्थर को $19.6 \, m$ की ऊँचाई से गिराया जाता है। गणना कीजिए:
$(i)$ गिरने में लगा समय।
$(ii)$ इस पतन के अंत में इसकी गति क्या होगी?
$(iii)$ $1 \, s$ के बाद त्वरण क्या होगा?
$(b)$ मुक्त पतन के दौरान वस्तुओं की गति की दिशा में क्या होता है?
$(c)$ एक पत्थर को $19.6 \, m$ की ऊँचाई से गिराया जाता है। गणना कीजिए:
$(i)$ गिरने में लगा समय।
$(ii)$ इस पतन के अंत में इसकी गति क्या होगी?
$(iii)$ $1 \, s$ के बाद त्वरण क्या होगा?
Solution
(N/A) मुक्त पतन किसी वस्तु की वह गति है जो केवल गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में,स्थिर त्वरण के साथ होती है।
$(b)$ मुक्त पतन के दौरान गति की दिशा में कोई परिवर्तन नहीं होता है (यह हमेशा ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर होती है)।
$(c)$ दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$,ऊँचाई $h = 19.6 \, m$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$।
$(i)$ गति के समीकरण $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर:
$19.6 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$19.6 = 4.9 \times t^2$
$t^2 = 4$
$t = 2 \, s$।
$(ii)$ वेग ज्ञात करने के लिए $v = u + gt$ का उपयोग करने पर:
$v = 0 + 9.8 \times 2$
$v = 19.6 \, m/s$।
$(iii)$ चूँकि वस्तु मुक्त पतन में है,इसलिए इसका त्वरण स्थिर रहता है और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$ के बराबर होता है,अतः $1 \, s$ के बाद भी त्वरण $9.8 \, m/s^2$ ही रहेगा।
$(b)$ मुक्त पतन के दौरान गति की दिशा में कोई परिवर्तन नहीं होता है (यह हमेशा ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर होती है)।
$(c)$ दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$,ऊँचाई $h = 19.6 \, m$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$।
$(i)$ गति के समीकरण $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर:
$19.6 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$19.6 = 4.9 \times t^2$
$t^2 = 4$
$t = 2 \, s$।
$(ii)$ वेग ज्ञात करने के लिए $v = u + gt$ का उपयोग करने पर:
$v = 0 + 9.8 \times 2$
$v = 19.6 \, m/s$।
$(iii)$ चूँकि वस्तु मुक्त पतन में है,इसलिए इसका त्वरण स्थिर रहता है और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$ के बराबर होता है,अतः $1 \, s$ के बाद भी त्वरण $9.8 \, m/s^2$ ही रहेगा।
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$(a)$ $G$ और $g$ के बीच अंतर स्पष्ट कीजिए।
$(b)$ क्या पृथ्वी पर $g$ का मान हर जगह समान होता है? कारण बताइए।
$(c)$ यदि दो वस्तुओं के बीच की दूरी तीन गुनी कर दी जाए,तो उनके बीच का गुरुत्वाकर्षण बल कैसे बदल जाएगा?
$(b)$ क्या पृथ्वी पर $g$ का मान हर जगह समान होता है? कारण बताइए।
$(c)$ यदि दो वस्तुओं के बीच की दूरी तीन गुनी कर दी जाए,तो उनके बीच का गुरुत्वाकर्षण बल कैसे बदल जाएगा?
Solution
(A) $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है जिसका मान $6.673 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$ निश्चित है। यह ब्रह्मांड में हर जगह समान रहता है।
$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,जो स्थान के अनुसार बदलता रहता है। इसका $SI$ मात्रक $\text{m s}^{-2}$ है।
$(b)$ नहीं,पृथ्वी पर $g$ का मान हर जगह समान नहीं होता है। पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार नहीं है; यह ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है। सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ के अनुसार,ध्रुवों पर त्रिज्या $R$ भूमध्य रेखा की तुलना में कम होती है। इसलिए,ध्रुवों पर $g$ का मान अधिक और भूमध्य रेखा पर कम होता है।
$(c)$ न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$F = \frac{G M m}{r^2}$,इसलिए $F \propto \frac{1}{r^2}$।
यदि दूरी $r$ को तीन गुना $(r' = 3r)$ कर दिया जाए,तो नया बल $F' = \frac{G M m}{(3r)^2} = \frac{G M m}{9r^2} = \frac{1}{9} F$ हो जाता है।
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल अपने मूल मान का नौवां भाग ($1$/$9$) हो जाएगा।
$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,जो स्थान के अनुसार बदलता रहता है। इसका $SI$ मात्रक $\text{m s}^{-2}$ है।
$(b)$ नहीं,पृथ्वी पर $g$ का मान हर जगह समान नहीं होता है। पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार नहीं है; यह ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है। सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ के अनुसार,ध्रुवों पर त्रिज्या $R$ भूमध्य रेखा की तुलना में कम होती है। इसलिए,ध्रुवों पर $g$ का मान अधिक और भूमध्य रेखा पर कम होता है।
$(c)$ न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$F = \frac{G M m}{r^2}$,इसलिए $F \propto \frac{1}{r^2}$।
यदि दूरी $r$ को तीन गुना $(r' = 3r)$ कर दिया जाए,तो नया बल $F' = \frac{G M m}{(3r)^2} = \frac{G M m}{9r^2} = \frac{1}{9} F$ हो जाता है।
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल अपने मूल मान का नौवां भाग ($1$/$9$) हो जाएगा।
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DifficultMCQ
तीन छात्र $A, B$ और $C$ एक लकड़ी के गुटके के भार और उसे एक क्षैतिज सतह पर गतिमान करने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल के बीच संबंध स्थापित करने के लिए एक प्रयोग कर रहे थे। प्रत्येक द्वारा उपयोग किया गया प्रायोगिक सेटअप नीचे दी गई आकृतियों में दिखाया गया है।
उनके द्वारा प्राप्त परिणाम होगा:
उनके द्वारा प्राप्त परिणाम होगा:
A
प्रत्येक के लिए समान
B
$A$ के लिए सबसे सटीक
C
$B$ के लिए सबसे सटीक
D
$C$ के लिए सबसे सटीक
Solution
(B) लकड़ी के गुटके को खिसकाने के लिए आवश्यक बल को मापने के प्रयोग में,यह आवश्यक है कि स्प्रिंग बैलेंस द्वारा लगाया गया बल क्षैतिज हो ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि पूरा बल स्थैतिक घर्षण को दूर करने में योगदान देता है।
सेटअप $A$ में,धागे को क्षैतिज रूप से खींचा जाता है,जिससे यह सुनिश्चित होता है कि बल सदिश सतह के समानांतर है।
सेटअप $B$ में,धागा भी क्षैतिज है,लेकिन जुड़ाव सीधा और स्थिर है।
सेटअप $C$ में,कुंडलित स्प्रिंग का उपयोग बल के ऊर्ध्वाधर घटकों या दोलनों को पेश कर सकता है,जिससे अशुद्धियाँ हो सकती हैं।
सेटअप $A$ बल का सबसे सीधा और क्षैतिज अनुप्रयोग प्रदान करता है,जो संरेखण के कारण होने वाली त्रुटियों को कम करता है,इस प्रकार सबसे सटीक परिणाम देता है।
सेटअप $A$ में,धागे को क्षैतिज रूप से खींचा जाता है,जिससे यह सुनिश्चित होता है कि बल सदिश सतह के समानांतर है।
सेटअप $B$ में,धागा भी क्षैतिज है,लेकिन जुड़ाव सीधा और स्थिर है।
सेटअप $C$ में,कुंडलित स्प्रिंग का उपयोग बल के ऊर्ध्वाधर घटकों या दोलनों को पेश कर सकता है,जिससे अशुद्धियाँ हो सकती हैं।
सेटअप $A$ बल का सबसे सीधा और क्षैतिज अनुप्रयोग प्रदान करता है,जो संरेखण के कारण होने वाली त्रुटियों को कम करता है,इस प्रकार सबसे सटीक परिणाम देता है।
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Medium
नीचे बर्फ से भाप में परिवर्तन का ग्राफ दर्शाया गया है। बर्फ से पानी और पानी से भाप में अवस्था परिवर्तन का अवलोकन करें और इस ग्राफ से इन अवस्था परिवर्तनों के बारे में निकाले जा सकने वाले दो निष्कर्ष लिखें।
Solution
(N/A) $(i)$ गलनांक के दौरान,बर्फ का तापमान $0^{\circ} C$ पर स्थिर रहता है। पूरी बर्फ के पानी में बदल जाने के बाद ही तापमान बढ़ना शुरू होता है।
$(ii)$ $100^{\circ} C$ पर पानी उबलना शुरू हो जाता है और पानी के भाप में बदलने के दौरान तापमान स्थिर रहता है (वाष्पीकरण की गुप्त ऊष्मा)।
$(ii)$ $100^{\circ} C$ पर पानी उबलना शुरू हो जाता है और पानी के भाप में बदलने के दौरान तापमान स्थिर रहता है (वाष्पीकरण की गुप्त ऊष्मा)।
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Medium
$(a)$ सिद्ध कीजिए कि यदि पृथ्वी पृथ्वी के केंद्र से समान दूरी पर रखी दो वस्तुओं को समान बल से आकर्षित करती है,तो उनके द्रव्यमान समान होंगे।
$(b)$ मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु द्वारा अनुभव किए जाने वाले गुरुत्वीय त्वरण को गणितीय रूप से व्यक्त कीजिए।
$(c)$ $G$ को सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक क्यों कहा जाता है?
$(b)$ मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु द्वारा अनुभव किए जाने वाले गुरुत्वीय त्वरण को गणितीय रूप से व्यक्त कीजिए।
$(c)$ $G$ को सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक क्यों कहा जाता है?
Solution
(N/A) मान लीजिए कि दो वस्तुओं के द्रव्यमान $m_{1}$ और $m_{2}$ हैं।
मान लीजिए पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है और पृथ्वी के केंद्र से दूरी $d$ है।
न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,बल $F = \frac{GMm}{d^{2}}$ होता है।
दो वस्तुओं के लिए,$F_{1} = \frac{GMm_{1}}{d^{2}}$ और $F_{2} = \frac{GMm_{2}}{d^{2}}$ होगा।
दिया गया है कि $F_{1} = F_{2}$,इसलिए $\frac{GMm_{1}}{d^{2}} = \frac{GMm_{2}}{d^{2}}$।
दोनों पक्षों से समान पदों $\frac{GM}{d^{2}}$ को हटाने पर,हमें $m_{1} = m_{2}$ प्राप्त होता है।
$(b)$ पृथ्वी की सतह पर (त्रिज्या $R$) $m$ द्रव्यमान वाली वस्तु के लिए गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^{2}}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
$(c)$ $G$ को सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक कहा जाता है क्योंकि इसका मान पूरे ब्रह्मांड में समान रहता है,चाहे स्थान या परस्पर क्रिया करने वाली वस्तुओं की प्रकृति कुछ भी हो।
मान लीजिए पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है और पृथ्वी के केंद्र से दूरी $d$ है।
न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,बल $F = \frac{GMm}{d^{2}}$ होता है।
दो वस्तुओं के लिए,$F_{1} = \frac{GMm_{1}}{d^{2}}$ और $F_{2} = \frac{GMm_{2}}{d^{2}}$ होगा।
दिया गया है कि $F_{1} = F_{2}$,इसलिए $\frac{GMm_{1}}{d^{2}} = \frac{GMm_{2}}{d^{2}}$।
दोनों पक्षों से समान पदों $\frac{GM}{d^{2}}$ को हटाने पर,हमें $m_{1} = m_{2}$ प्राप्त होता है।
$(b)$ पृथ्वी की सतह पर (त्रिज्या $R$) $m$ द्रव्यमान वाली वस्तु के लिए गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^{2}}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
$(c)$ $G$ को सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक कहा जाता है क्योंकि इसका मान पूरे ब्रह्मांड में समान रहता है,चाहे स्थान या परस्पर क्रिया करने वाली वस्तुओं की प्रकृति कुछ भी हो।
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Medium
एक वस्तु को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है और वह $10 \, m$ की ऊँचाई तक पहुँचती है। गणना कीजिए:
$(i)$ वह वेग जिससे वस्तु को ऊपर की ओर फेंका गया था और
$(ii)$ वस्तु द्वारा उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लिया गया समय।
$(i)$ वह वेग जिससे वस्तु को ऊपर की ओर फेंका गया था और
$(ii)$ वस्तु द्वारा उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लिया गया समय।
Solution
(A) दिया गया है:
वस्तु की ऊँचाई,$h = 10 \, m$
उच्चतम बिंदु पर अंतिम वेग,$v = 0 \, m/s$
गुरुत्वीय त्वरण,$a = -g = -9.8 \, m/s^2$
$(i)$ गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^2 - u^2 = 2ah$:
$0^2 - u^2 = 2 \times (-9.8) \times 10$
$-u^2 = -196$
$u^2 = 196$
$u = 14 \, m/s$
अतः,प्रारंभिक वेग $14 \, m/s$ है।
$(ii)$ गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,$v = u + at$:
$0 = 14 + (-9.8) \times t$
$9.8t = 14$
$t = 14 / 9.8 \approx 1.43 \, s$
अतः,उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लिया गया समय लगभग $1.43 \, s$ है।
वस्तु की ऊँचाई,$h = 10 \, m$
उच्चतम बिंदु पर अंतिम वेग,$v = 0 \, m/s$
गुरुत्वीय त्वरण,$a = -g = -9.8 \, m/s^2$
$(i)$ गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^2 - u^2 = 2ah$:
$0^2 - u^2 = 2 \times (-9.8) \times 10$
$-u^2 = -196$
$u^2 = 196$
$u = 14 \, m/s$
अतः,प्रारंभिक वेग $14 \, m/s$ है।
$(ii)$ गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,$v = u + at$:
$0 = 14 + (-9.8) \times t$
$9.8t = 14$
$t = 14 / 9.8 \approx 1.43 \, s$
अतः,उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लिया गया समय लगभग $1.43 \, s$ है।
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MediumMCQ
एक ऐसा ग्रह मौजूद है जिसका द्रव्यमान और त्रिज्या दोनों पृथ्वी के आधे हैं। पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण के संदर्भ में उस ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण क्या होगा?
A
$g_{e}$
B
$2g_{e}$
C
$g_{e}/2$
D
$4g_{e}$
Solution
(B) हम जानते हैं कि पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $g_{e} = \frac{GM_{e}}{R_{e}^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M_{p} = \frac{M_{e}}{2}$ और त्रिज्या $R_{p} = \frac{R_{e}}{2}$ है।
इन मानों को ग्रह के गुरुत्वाकर्षण के सूत्र $g_{p} = \frac{GM_{p}}{R_{p}^{2}}$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$g_{p} = \frac{G(M_{e}/2)}{(R_{e}/2)^{2}} = \frac{GM_{e}/2}{R_{e}^{2}/4} = \frac{GM_{e}}{2} \times \frac{4}{R_{e}^{2}} = 2 \times \frac{GM_{e}}{R_{e}^{2}}$.
चूंकि $\frac{GM_{e}}{R_{e}^{2}} = g_{e}$,इसलिए $g_{p} = 2g_{e}$ होता है।
दिए गए ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M_{p} = \frac{M_{e}}{2}$ और त्रिज्या $R_{p} = \frac{R_{e}}{2}$ है।
इन मानों को ग्रह के गुरुत्वाकर्षण के सूत्र $g_{p} = \frac{GM_{p}}{R_{p}^{2}}$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$g_{p} = \frac{G(M_{e}/2)}{(R_{e}/2)^{2}} = \frac{GM_{e}/2}{R_{e}^{2}/4} = \frac{GM_{e}}{2} \times \frac{4}{R_{e}^{2}} = 2 \times \frac{GM_{e}}{R_{e}^{2}}$.
चूंकि $\frac{GM_{e}}{R_{e}^{2}} = g_{e}$,इसलिए $g_{p} = 2g_{e}$ होता है।
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MediumMCQ
एक लड़की का द्रव्यमान $50\, kg$ है। पृथ्वी पर उसका अनुमानित भार क्या होगा? चंद्रमा की सतह पर उसके द्रव्यमान और भार में क्या परिवर्तन होगा?
A
Weight on Earth is $500\, N$; mass remains same,weight decreases on the Moon.
B
Weight on Earth is $50\, N$; mass decreases,weight remains same on the Moon.
C
Weight on Earth is $500\, N$; mass decreases,weight remains same on the Moon.
D
Weight on Earth is $50\, N$; mass remains same,weight increases on the Moon.
Solution
(A) पृथ्वी पर किसी वस्तु का भार $W = m \times g$ सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है $(g \approx 10\, m/s^2)$।
पृथ्वी पर भार: $W = 50\, kg \times 10\, m/s^2 = 500\, N$।
चंद्रमा पर,वस्तु का द्रव्यमान स्थिर रहता है क्योंकि यह वस्तु का आंतरिक गुण है।
हालाँकि,चंद्रमा पर भार बदल जाता है क्योंकि चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी के गुरुत्वीय त्वरण का लगभग $1/6$ भाग होता है। इसलिए,चंद्रमा पर उसका भार $500/6 \approx 83.33\, N$ होगा।
पृथ्वी पर भार: $W = 50\, kg \times 10\, m/s^2 = 500\, N$।
चंद्रमा पर,वस्तु का द्रव्यमान स्थिर रहता है क्योंकि यह वस्तु का आंतरिक गुण है।
हालाँकि,चंद्रमा पर भार बदल जाता है क्योंकि चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी के गुरुत्वीय त्वरण का लगभग $1/6$ भाग होता है। इसलिए,चंद्रमा पर उसका भार $500/6 \approx 83.33\, N$ होगा।
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न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को सार्वत्रिक नियम कहा जाता है। क्यों?
Solution
(N/A) न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को सार्वत्रिक नियम इसलिए कहा जाता है क्योंकि यह ब्रह्मांड के सभी वस्तुओं पर लागू होता है,चाहे उनका द्रव्यमान,आकार,आकृति या उनके बीच की दूरी कुछ भी हो। यह ब्रह्मांड में कहीं भी स्थित पदार्थ के किन्हीं भी दो कणों के बीच कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का वर्णन करता है।
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न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,पदार्थ का प्रत्येक कण दूसरे कण को आकर्षित करता है। लेकिन पृथ्वी की सतह पर स्थित वस्तुएं इस आकर्षण बल के कारण एक-दूसरे की ओर गति नहीं करती हैं,क्यों?
A
बल बहुत कमजोर है।
B
पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण प्रभावी है।
C
घर्षण गति को रोकता है।
D
वस्तुएं बहुत भारी हैं।
Solution
(B) पृथ्वी की सतह पर दो छोटी वस्तुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण बल अत्यंत कमजोर होता है क्योंकि उनका द्रव्यमान बहुत कम होता है।
इसके विपरीत,पृथ्वी का द्रव्यमान बहुत विशाल है।
इस कारण से,किसी भी वस्तु और पृथ्वी के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल,वस्तुओं के बीच के आपसी आकर्षण की तुलना में काफी अधिक होता है।
परिणामस्वरूप,सभी वस्तुएं एक-दूसरे की ओर आकर्षित होने के बजाय पृथ्वी के केंद्र की ओर खिंची चली जाती हैं।
इसके विपरीत,पृथ्वी का द्रव्यमान बहुत विशाल है।
इस कारण से,किसी भी वस्तु और पृथ्वी के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल,वस्तुओं के बीच के आपसी आकर्षण की तुलना में काफी अधिक होता है।
परिणामस्वरूप,सभी वस्तुएं एक-दूसरे की ओर आकर्षित होने के बजाय पृथ्वी के केंद्र की ओर खिंची चली जाती हैं।
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EasyMCQ
गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु की गति की प्रकृति क्या है?
A
एकसमान गति
B
एकसमान त्वरित गति
C
असमान त्वरित गति
D
स्थिर वेग गति
Solution
(B) जब कोई वस्तु गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में मुक्त रूप से गिरती है,तो वह गुरुत्वीय त्वरण $(g \approx 9.8 \ m/s^2)$ के कारण एक स्थिर त्वरण का अनुभव करती है।
चूंकि पूरी गिरावट के दौरान त्वरण स्थिर रहता है,इसलिए वस्तु का वेग समान समय अंतराल में समान मात्रा में बढ़ता है।
अतः,गति की प्रकृति एक आयाम में एकसमान त्वरित गति है।
चूंकि पूरी गिरावट के दौरान त्वरण स्थिर रहता है,इसलिए वस्तु का वेग समान समय अंतराल में समान मात्रा में बढ़ता है।
अतः,गति की प्रकृति एक आयाम में एकसमान त्वरित गति है।
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EasyMCQ
क्या किसी वस्तु का भार भूमध्य रेखा पर अधिक होगा या ध्रुवों पर?
A
भूमध्य रेखा
B
ध्रुव
C
दोनों स्थानों पर समान
D
उपरोक्त में से कोई नहीं
Solution
(B) किसी वस्तु का भार $W = m \times g$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार नहीं है; यह ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है।
चूंकि पृथ्वी की त्रिज्या भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर कम है,इसलिए $g$ का मान ध्रुवों पर अधिक होता है।
चूंकि $W$,$g$ के सीधे आनुपातिक है,इसलिए वस्तु का भार भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर अधिक होगा।
पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार नहीं है; यह ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है।
चूंकि पृथ्वी की त्रिज्या भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर कम है,इसलिए $g$ का मान ध्रुवों पर अधिक होता है।
चूंकि $W$,$g$ के सीधे आनुपातिक है,इसलिए वस्तु का भार भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर अधिक होगा।
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EasyMCQ
क्या किसी पिंड को गुरुत्वाकर्षण प्रभावों से सुरक्षित (shield) करना संभव है?
A
हाँ,लेड (सीसा) के कवच का उपयोग करके।
B
हाँ,विद्युत-चुंबकीय कवच का उपयोग करके।
C
नहीं,यह संभव नहीं है।
D
हाँ,निर्वात कक्ष (vacuum chamber) का उपयोग करके।
Solution
(C) नहीं,किसी पिंड को गुरुत्वाकर्षण प्रभावों से सुरक्षित करना संभव नहीं है।
इसका कारण यह है कि गुरुत्वाकर्षण अन्योन्यक्रिया एक मौलिक बल है जो द्रव्यमान वाली सभी वस्तुओं के बीच कार्य करता है।
विद्युत-चुंबकीय बलों के विपरीत,जिन्हें आवेशों के बीच कोई पदार्थ रखकर सुरक्षित (shield) किया जा सकता है,गुरुत्वाकर्षण बल बीच के माध्यम की प्रकृति पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,गुरुत्वाकर्षण को किसी भी ज्ञात पदार्थ द्वारा रोका या निष्प्रभावी नहीं किया जा सकता है।
इसका कारण यह है कि गुरुत्वाकर्षण अन्योन्यक्रिया एक मौलिक बल है जो द्रव्यमान वाली सभी वस्तुओं के बीच कार्य करता है।
विद्युत-चुंबकीय बलों के विपरीत,जिन्हें आवेशों के बीच कोई पदार्थ रखकर सुरक्षित (shield) किया जा सकता है,गुरुत्वाकर्षण बल बीच के माध्यम की प्रकृति पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,गुरुत्वाकर्षण को किसी भी ज्ञात पदार्थ द्वारा रोका या निष्प्रभावी नहीं किया जा सकता है।
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पृथ्वी चंद्रमा को लगातार अपने केंद्र की ओर खींच रही है,फिर भी वह पृथ्वी पर नहीं गिरता,क्यों?
A
चंद्रमा पृथ्वी से बहुत दूर है।
B
पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण बल चंद्रमा के अपने गुरुत्वाकर्षण द्वारा संतुलित होता है।
C
पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण बल चंद्रमा को उसकी कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
D
चंद्रमा का अपना स्वतंत्र मार्ग है और वह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण से प्रभावित नहीं होता है।
Solution
(C) पृथ्वी द्वारा चंद्रमा पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल,चंद्रमा को पृथ्वी के चारों ओर एक वृत्ताकार कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
यह गुरुत्वाकर्षण बल चंद्रमा के वेग की दिशा के लंबवत कार्य करता है,जो चंद्रमा की गति की दिशा को उसकी चाल बदले बिना लगातार बदलता रहता है।
परिणामस्वरूप,चंद्रमा पृथ्वी की ओर गिरने के बजाय अपनी कक्षा में परिक्रमा करता रहता है।
यह गुरुत्वाकर्षण बल चंद्रमा के वेग की दिशा के लंबवत कार्य करता है,जो चंद्रमा की गति की दिशा को उसकी चाल बदले बिना लगातार बदलता रहता है।
परिणामस्वरूप,चंद्रमा पृथ्वी की ओर गिरने के बजाय अपनी कक्षा में परिक्रमा करता रहता है।
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EasyMCQ
गुरुत्वीय त्वरण ग्रह के द्रव्यमान पर किस प्रकार निर्भर करता है?
A
यह ग्रह के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
B
यह ग्रह के द्रव्यमान के अनुक्रमानुपाती होता है।
C
यह ग्रह के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।
D
यह ग्रह के द्रव्यमान के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होता है।
Solution
(B) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का मान सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $g \propto M$ है।
अतः,गुरुत्वीय त्वरण ग्रह के द्रव्यमान के सीधे अनुक्रमानुपाती होता है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $g \propto M$ है।
अतः,गुरुत्वीय त्वरण ग्रह के द्रव्यमान के सीधे अनुक्रमानुपाती होता है।
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यदि पृथ्वी का व्यास उसके वर्तमान मान का दोगुना हो जाए और उसका द्रव्यमान अपरिवर्तित रहे,तो पृथ्वी की सतह पर स्थित किसी वस्तु के भार पर क्या प्रभाव पड़ेगा?
A
यह दोगुना हो जाएगा।
B
यह चार गुना हो जाएगा।
C
यह आधा हो जाएगा।
D
यह एक-चौथाई हो जाएगा।
Solution
(D) मान लीजिए $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
पृथ्वी की सतह पर $m$ द्रव्यमान वाली वस्तु का भार $W = mg = \frac{GMm}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि व्यास दोगुना हो जाता है,तो त्रिज्या $R$ भी दोगुनी हो जाती है,अर्थात $R' = 2R$।
नया भार $W'$ होगा $W' = \frac{GMm}{(R')^2} = \frac{GMm}{(2R)^2} = \frac{GMm}{4R^2}$।
अतः,$W' = \frac{1}{4} W$।
इसलिए,वस्तु का भार उसके मूल मान का एक-चौथाई हो जाएगा।
पृथ्वी की सतह पर $m$ द्रव्यमान वाली वस्तु का भार $W = mg = \frac{GMm}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि व्यास दोगुना हो जाता है,तो त्रिज्या $R$ भी दोगुनी हो जाती है,अर्थात $R' = 2R$।
नया भार $W'$ होगा $W' = \frac{GMm}{(R')^2} = \frac{GMm}{(2R)^2} = \frac{GMm}{4R^2}$।
अतः,$W' = \frac{1}{4} W$।
इसलिए,वस्तु का भार उसके मूल मान का एक-चौथाई हो जाएगा।
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Medium
सही विकल्प चुनें:
$(a)$ ऊँचाई बढ़ने के साथ गुरुत्वीय त्वरण बढ़ता है/घटता है।
$(b)$ गहराई बढ़ने के साथ गुरुत्वीय त्वरण बढ़ता है/घटता है।
$(c)$ गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी के द्रव्यमान/पिंड के द्रव्यमान से स्वतंत्र है।
$(a)$ ऊँचाई बढ़ने के साथ गुरुत्वीय त्वरण बढ़ता है/घटता है।
$(b)$ गहराई बढ़ने के साथ गुरुत्वीय त्वरण बढ़ता है/घटता है।
$(c)$ गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी के द्रव्यमान/पिंड के द्रव्यमान से स्वतंत्र है।
Solution
(A) ऊँचाई बढ़ने के साथ गुरुत्वीय त्वरण घटता है क्योंकि कम ऊँचाई के लिए $g' = g(1 - 2h/R_e)$ होता है।
$(b)$ गहराई बढ़ने के साथ गुरुत्वीय त्वरण घटता है क्योंकि $g' = g(1 - d/R_e)$ होता है।
$(c)$ गुरुत्वीय त्वरण पिंड के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है,क्योंकि $g = GM/R^2$ होता है,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ इसकी त्रिज्या है।
$(b)$ गहराई बढ़ने के साथ गुरुत्वीय त्वरण घटता है क्योंकि $g' = g(1 - d/R_e)$ होता है।
$(c)$ गुरुत्वीय त्वरण पिंड के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है,क्योंकि $g = GM/R^2$ होता है,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ इसकी त्रिज्या है।
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EasyMCQ
एक व्यक्ति पृथ्वी की तुलना में चंद्रमा की सतह पर अधिक ऊँचा कूद सकता है। क्यों?
A
चंद्रमा का गुरुत्वाकर्षण खिंचाव अधिक है।
B
चंद्रमा का गुरुत्वाकर्षण खिंचाव पृथ्वी से कम है।
C
चंद्रमा पर कोई वायुमंडल नहीं है।
D
चंद्रमा आकार में छोटा है।
Solution
(B) चंद्रमा की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$,पृथ्वी की सतह के गुरुत्वीय त्वरण का लगभग $1/6$ भाग होता है।
चूंकि चंद्रमा पर गुरुत्वाकर्षण बल बहुत कम है,इसलिए समान शारीरिक प्रयास करने पर एक व्यक्ति पृथ्वी की तुलना में चंद्रमा पर $6$ गुना अधिक ऊँचा कूद सकता है।
चूंकि चंद्रमा पर गुरुत्वाकर्षण बल बहुत कम है,इसलिए समान शारीरिक प्रयास करने पर एक व्यक्ति पृथ्वी की तुलना में चंद्रमा पर $6$ गुना अधिक ऊँचा कूद सकता है।
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$50 \, kg$ और $120 \, kg$ द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण बल की गणना कीजिए,जो एक-दूसरे से $10 \, m$ की दूरी पर रखी गई हैं। $(G = 6.673 \times 10^{-11} \, N \, m^2 \, kg^{-2})$
A
$4.0 \times 10^{-9} \, N$
B
$4.0 \times 10^{-8} \, N$
C
$6.673 \times 10^{-9} \, N$
D
$2.0 \times 10^{-9} \, N$
Solution
(A) गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
पहली वस्तु का द्रव्यमान,$m_1 = 50 \, kg$.
दूसरी वस्तु का द्रव्यमान,$m_2 = 120 \, kg$.
वस्तुओं के बीच की दूरी,$r = 10 \, m$.
गुरुत्वाकर्षण नियतांक,$G = 6.673 \times 10^{-11} \, N \, m^2 \, kg^{-2}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = \frac{6.673 \times 10^{-11} \times 50 \times 120}{10^2}$
$F = \frac{6.673 \times 10^{-11} \times 6000}{100}$
$F = 6.673 \times 10^{-11} \times 60$
$F = 400.38 \times 10^{-11} \, N$
$F = 4.0038 \times 10^{-9} \, N \approx 4.0 \times 10^{-9} \, N$.
दिया गया है:
पहली वस्तु का द्रव्यमान,$m_1 = 50 \, kg$.
दूसरी वस्तु का द्रव्यमान,$m_2 = 120 \, kg$.
वस्तुओं के बीच की दूरी,$r = 10 \, m$.
गुरुत्वाकर्षण नियतांक,$G = 6.673 \times 10^{-11} \, N \, m^2 \, kg^{-2}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = \frac{6.673 \times 10^{-11} \times 50 \times 120}{10^2}$
$F = \frac{6.673 \times 10^{-11} \times 6000}{100}$
$F = 6.673 \times 10^{-11} \times 60$
$F = 400.38 \times 10^{-11} \, N$
$F = 4.0038 \times 10^{-9} \, N \approx 4.0 \times 10^{-9} \, N$.
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Medium
यदि पृथ्वी पर आपका भार $450 N$ है,तो मंगल ग्रह पर अपना भार ज्ञात कीजिए। (मंगल की त्रिज्या $= 4.3 \times 10^{6} m$,मंगल का द्रव्यमान $= 6 \times 10^{23} kg$ और गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G = 6.67 \times 10^{-11} Nm^{2} kg^{-2}$)। पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $10 m s^{-2}$ लीजिए।
Solution
(97.2 N) पृथ्वी पर भार $(W) = 450 N$
पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $(g) = 10 m s^{-2}$
अतः,वस्तु का द्रव्यमान $(m) = \frac{W}{g} = \frac{450}{10} = 45 kg$.
अब,मंगल की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_{m})$ की गणना $g_{m} = \frac{GM_{m}}{R_{m}^{2}}$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
मान रखने पर: $g_{m} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{23}}{(4.3 \times 10^{6})^{2}}$.
$g_{m} = \frac{40.02 \times 10^{12}}{18.49 \times 10^{12}} \approx 2.16 m s^{-2}$.
अतः,मंगल पर भार $= m \times g_{m} = 45 \times 2.16 = 97.2 N$.
पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $(g) = 10 m s^{-2}$
अतः,वस्तु का द्रव्यमान $(m) = \frac{W}{g} = \frac{450}{10} = 45 kg$.
अब,मंगल की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_{m})$ की गणना $g_{m} = \frac{GM_{m}}{R_{m}^{2}}$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
मान रखने पर: $g_{m} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{23}}{(4.3 \times 10^{6})^{2}}$.
$g_{m} = \frac{40.02 \times 10^{12}}{18.49 \times 10^{12}} \approx 2.16 m s^{-2}$.
अतः,मंगल पर भार $= m \times g_{m} = 45 \times 2.16 = 97.2 N$.
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बृहस्पति ग्रह का द्रव्यमान $1.9 \times 10^{27} \, kg$ है और सूर्य का द्रव्यमान $1.99 \times 10^{30} \, kg$ है। सूर्य से बृहस्पति की औसत दूरी $7.8 \times 10^{11} \, m$ है। सूर्य द्वारा बृहस्पति पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल की गणना कीजिए।
A
$1.1 \times 10^{24} \, N$
B
$2.2 \times 10^{23} \, N$
C
$8.8 \times 10^{22} \, N$
D
$4.4 \times 10^{23} \, N$
Solution
(D) दिया गया है:
बृहस्पति का द्रव्यमान,$M_1 = 1.9 \times 10^{27} \, kg$
सूर्य का द्रव्यमान,$M_2 = 1.99 \times 10^{30} \, kg$
बृहस्पति और सूर्य के बीच की दूरी,$r = 7.8 \times 10^{11} \, m$
गुरुत्वाकर्षण नियतांक,$G = 6.67 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2 \cdot kg^{-2}$
गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के सूत्र $F = \frac{G M_1 M_2}{r^2}$ का उपयोग करने पर:
$F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.9 \times 10^{27} \times 1.99 \times 10^{30}}{(7.8 \times 10^{11})^2}$
$F = \frac{6.67 \times 1.9 \times 1.99 \times 10^{46}}{60.84 \times 10^{22}}$
$F \approx 4.146 \times 10^{23} \, N$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,गुरुत्वाकर्षण बल $4.4 \times 10^{23} \, N$ है।
बृहस्पति का द्रव्यमान,$M_1 = 1.9 \times 10^{27} \, kg$
सूर्य का द्रव्यमान,$M_2 = 1.99 \times 10^{30} \, kg$
बृहस्पति और सूर्य के बीच की दूरी,$r = 7.8 \times 10^{11} \, m$
गुरुत्वाकर्षण नियतांक,$G = 6.67 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2 \cdot kg^{-2}$
गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के सूत्र $F = \frac{G M_1 M_2}{r^2}$ का उपयोग करने पर:
$F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.9 \times 10^{27} \times 1.99 \times 10^{30}}{(7.8 \times 10^{11})^2}$
$F = \frac{6.67 \times 1.9 \times 1.99 \times 10^{46}}{60.84 \times 10^{22}}$
$F \approx 4.146 \times 10^{23} \, N$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,गुरुत्वाकर्षण बल $4.4 \times 10^{23} \, N$ है।
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एक वस्तु का पृथ्वी की सतह पर भार $63 \, N$ है। पृथ्वी की त्रिज्या की आधी ऊँचाई पर पृथ्वी द्वारा उस पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल कितना होगा? (दिया है: पृथ्वी का द्रव्यमान $= 6 \times 10^{24} \, kg$ और पृथ्वी की त्रिज्या $= 6.4 \times 10^{6} \, m$)
A
$27.35$
B
$28.00$
C
$31.50$
D
$63.00$
Solution
(A) $1$. सबसे पहले,वस्तु का द्रव्यमान $(m)$ ज्ञात करें। दिया गया भार $W = mg = 63 \, N$ है। $g = 10 \, m/s^2$ मानते हुए,$m = 63 / 10 = 6.3 \, kg$ होगा।
$2$. पृथ्वी के केंद्र से वस्तु की दूरी $(r)$,जब ऊँचाई $h = R/2$ हो,तो $r = R + h = R + R/2 = 1.5R$ होगी।
$3$. चूँकि $R = 6.4 \times 10^6 \, m$ दिया गया है,इसलिए $r = 1.5 \times 6.4 \times 10^6 = 9.6 \times 10^6 \, m$ होगा।
$4$. गुरुत्वाकर्षण बल का सूत्र $F = \frac{GMm}{r^2}$ है।
$5$. मान रखने पर: $F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times 6.3}{(9.6 \times 10^6)^2}$।
$6$. $F = \frac{252.186 \times 10^{13}}{92.16 \times 10^{12}} = \frac{2521.86}{92.16} \approx 27.35 \, N$।
$2$. पृथ्वी के केंद्र से वस्तु की दूरी $(r)$,जब ऊँचाई $h = R/2$ हो,तो $r = R + h = R + R/2 = 1.5R$ होगी।
$3$. चूँकि $R = 6.4 \times 10^6 \, m$ दिया गया है,इसलिए $r = 1.5 \times 6.4 \times 10^6 = 9.6 \times 10^6 \, m$ होगा।
$4$. गुरुत्वाकर्षण बल का सूत्र $F = \frac{GMm}{r^2}$ है।
$5$. मान रखने पर: $F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times 6.3}{(9.6 \times 10^6)^2}$।
$6$. $F = \frac{252.186 \times 10^{13}}{92.16 \times 10^{12}} = \frac{2521.86}{92.16} \approx 27.35 \, N$।
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चंद्रमा की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $1.67 \, m s^{-2}$ है। यदि चंद्रमा की त्रिज्या $1.74 \times 10^{6} \, m$ है,तो चंद्रमा का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए। ($G = 6.67 \times 10^{-11} \, N m^{2} kg^{-2}$ का उपयोग करें)
Solution
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^{2}}$ है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ खगोलीय पिंड का द्रव्यमान है और $R$ उसकी त्रिज्या है।
द्रव्यमान $(M)$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $M = \frac{g R^{2}}{G}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान हैं:
$g = 1.67 \, m s^{-2}$
$R = 1.74 \times 10^{6} \, m$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \, N m^{2} kg^{-2}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$M = \frac{1.67 \times (1.74 \times 10^{6})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M = \frac{1.67 \times 3.0276 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M \approx 0.758 \times 10^{23} \, kg = 7.58 \times 10^{22} \, kg$.
अतः,चंद्रमा का द्रव्यमान लगभग $7.58 \times 10^{22} \, kg$ है।
द्रव्यमान $(M)$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $M = \frac{g R^{2}}{G}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान हैं:
$g = 1.67 \, m s^{-2}$
$R = 1.74 \times 10^{6} \, m$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \, N m^{2} kg^{-2}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$M = \frac{1.67 \times (1.74 \times 10^{6})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M = \frac{1.67 \times 3.0276 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M \approx 0.758 \times 10^{23} \, kg = 7.58 \times 10^{22} \, kg$.
अतः,चंद्रमा का द्रव्यमान लगभग $7.58 \times 10^{22} \, kg$ है।
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Medium
एक पत्थर को छत के किनारे से गिराया जाता है।
$(a)$ इसे $4.9 \, m$ गिरने में कितना समय लगता है?
$(b)$ उस पतन के अंत में इसकी गति क्या होगी?
$(c)$ $7.9 \, m$ की दूरी तय करने के बाद इसकी गति क्या होगी?
$(d)$ $1 \, s$ और $2 \, s$ के बाद इसका त्वरण क्या होगा?
$(a)$ इसे $4.9 \, m$ गिरने में कितना समय लगता है?
$(b)$ उस पतन के अंत में इसकी गति क्या होगी?
$(c)$ $7.9 \, m$ की दूरी तय करने के बाद इसकी गति क्या होगी?
$(d)$ $1 \, s$ और $2 \, s$ के बाद इसका त्वरण क्या होगा?
Solution
(N/A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग,$u = 0 \, m/s$.
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8 \, m/s^2$.
$(a)$ गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$4.9 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$4.9 = 4.9 \times t^2$
$t^2 = 1 \Rightarrow t = 1 \, s$.
अतः,$4.9 \, m$ गिरने में $1 \, s$ का समय लगता है।
$(b)$ $v^2 - u^2 = 2aS$ का उपयोग करने पर:
$v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 4.9$
$v^2 = 96.04$
$v = 9.8 \, m/s$.
अतः,$4.9 \, m$ के अंत में पत्थर की गति $9.8 \, m/s$ होगी।
$(c)$ $v^2 - u^2 = 2aS$ का उपयोग करने पर:
$v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 7.9$
$v^2 = 154.84$
$v = \sqrt{154.84} \approx 12.44 \, m/s$.
अतः,$7.9 \, m$ के अंत में पत्थर की गति $12.44 \, m/s$ होगी।
$(d)$ मुक्त पतन के दौरान,गुरुत्वीय त्वरण स्थिर रहता है।
$1 \, s$ के बाद त्वरण = $9.8 \, m/s^2$.
$2 \, s$ के बाद त्वरण = $9.8 \, m/s^2$.
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8 \, m/s^2$.
$(a)$ गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$4.9 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$4.9 = 4.9 \times t^2$
$t^2 = 1 \Rightarrow t = 1 \, s$.
अतः,$4.9 \, m$ गिरने में $1 \, s$ का समय लगता है।
$(b)$ $v^2 - u^2 = 2aS$ का उपयोग करने पर:
$v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 4.9$
$v^2 = 96.04$
$v = 9.8 \, m/s$.
अतः,$4.9 \, m$ के अंत में पत्थर की गति $9.8 \, m/s$ होगी।
$(c)$ $v^2 - u^2 = 2aS$ का उपयोग करने पर:
$v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 7.9$
$v^2 = 154.84$
$v = \sqrt{154.84} \approx 12.44 \, m/s$.
अतः,$7.9 \, m$ के अंत में पत्थर की गति $12.44 \, m/s$ होगी।
$(d)$ मुक्त पतन के दौरान,गुरुत्वीय त्वरण स्थिर रहता है।
$1 \, s$ के बाद त्वरण = $9.8 \, m/s^2$.
$2 \, s$ के बाद त्वरण = $9.8 \, m/s^2$.
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Difficult
$49\, m$ ऊँची चट्टान से एक लड़का एक पत्थर गिराता है। एक सेकंड बाद,वह दूसरा पत्थर फेंकता है। दोनों पत्थर एक ही समय पर जमीन पर पहुँचते हैं। उसने दूसरा पत्थर किस गति से फेंका?
Solution
(12.1 M/S) पहले पत्थर के लिए,हमें दिया गया है:
$u = 0\, m\, s^{-1}, h = 49\, m, g = 9.8\, m\, s^{-2}$
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$49 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$t^2 = \frac{98}{9.8} = 10$
$t = \sqrt{10} \approx 3.16\, s$
अतः,पहले पत्थर को जमीन पर पहुँचने में $3.16\, s$ का समय लगता है।
दूसरे पत्थर के लिए,इसे $1\, s$ बाद फेंका जाता है लेकिन यह एक ही समय पर जमीन पर पहुँचता है। इसलिए,दूसरे पत्थर द्वारा लिया गया समय $t_2 = 3.16 - 1 = 2.16\, s$ है।
दूसरे पत्थर के लिए $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$49 = u \times 2.16 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2.16)^2$
$49 = 2.16u + 4.9 \times 4.6656$
$49 = 2.16u + 22.86$
$2.16u = 49 - 22.86 = 26.14$
$u = \frac{26.14}{2.16} \approx 12.10\, m\, s^{-1}$
अतः,दूसरा पत्थर $12.1\, m\, s^{-1}$ की गति से फेंका गया था।
$u = 0\, m\, s^{-1}, h = 49\, m, g = 9.8\, m\, s^{-2}$
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$49 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$t^2 = \frac{98}{9.8} = 10$
$t = \sqrt{10} \approx 3.16\, s$
अतः,पहले पत्थर को जमीन पर पहुँचने में $3.16\, s$ का समय लगता है।
दूसरे पत्थर के लिए,इसे $1\, s$ बाद फेंका जाता है लेकिन यह एक ही समय पर जमीन पर पहुँचता है। इसलिए,दूसरे पत्थर द्वारा लिया गया समय $t_2 = 3.16 - 1 = 2.16\, s$ है।
दूसरे पत्थर के लिए $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$49 = u \times 2.16 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2.16)^2$
$49 = 2.16u + 4.9 \times 4.6656$
$49 = 2.16u + 22.86$
$2.16u = 49 - 22.86 = 26.14$
$u = \frac{26.14}{2.16} \approx 12.10\, m\, s^{-1}$
अतः,दूसरा पत्थर $12.1\, m\, s^{-1}$ की गति से फेंका गया था।
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Difficult
एक पत्थर को छत के किनारे से गिराया जाता है। यह $2 \, m$ ऊँची खिड़की को $0.1 \, s$ में पार करता है। छत,खिड़की के ऊपरी हिस्से से कितनी दूर है?
Solution
(19.42 M) माना कि खिड़की के ऊपरी हिस्से और छत के बीच की दूरी $S$ है। खिड़की को पार करने की यात्रा के लिए,अर्थात $B$ से $C$ तक:
माना $B$ पर वेग $u \, m/s$ है।
तय की गई दूरी,$S = 2 \, m$.
लिया गया समय,$t = 0.1 \, s$.
त्वरण,$a = g = 9.8 \, m/s^2$.
समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$2 = u(0.1) + \frac{1}{2}(9.8)(0.1)^2$
$2 = 0.1u + 0.049$
$0.1u = 1.951$
$u = 19.51 \, m/s$.
अतः,खिड़की के ऊपरी हिस्से पर पत्थर का वेग $19.51 \, m/s$ है।
अब,छत से खिड़की के ऊपरी हिस्से तक पत्थर के मुक्त पतन के लिए,अर्थात $A$ से $B$ तक:
प्रारंभिक वेग $u_i = 0 \, m/s$.
अंतिम वेग $v = 19.51 \, m/s$.
तय की गई दूरी $S = ?$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$.
समीकरण $v^2 - u_i^2 = 2gS$ का उपयोग करने पर:
$(19.51)^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times S$
$S = \frac{(19.51)^2}{19.6} \approx 19.42 \, m$.
माना $B$ पर वेग $u \, m/s$ है।
तय की गई दूरी,$S = 2 \, m$.
लिया गया समय,$t = 0.1 \, s$.
त्वरण,$a = g = 9.8 \, m/s^2$.
समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$2 = u(0.1) + \frac{1}{2}(9.8)(0.1)^2$
$2 = 0.1u + 0.049$
$0.1u = 1.951$
$u = 19.51 \, m/s$.
अतः,खिड़की के ऊपरी हिस्से पर पत्थर का वेग $19.51 \, m/s$ है।
अब,छत से खिड़की के ऊपरी हिस्से तक पत्थर के मुक्त पतन के लिए,अर्थात $A$ से $B$ तक:
प्रारंभिक वेग $u_i = 0 \, m/s$.
अंतिम वेग $v = 19.51 \, m/s$.
तय की गई दूरी $S = ?$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$.
समीकरण $v^2 - u_i^2 = 2gS$ का उपयोग करने पर:
$(19.51)^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times S$
$S = \frac{(19.51)^2}{19.6} \approx 19.42 \, m$.
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MediumMCQ
एक गेंद को $u$ वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है। पृथ्वी पर वापस गिरने पर उसका वेग ज्ञात कीजिए।
A
$u$
B
$2u$
C
$u/2$
D
$0$
Solution
(A) ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद के लिए:
प्रारंभिक वेग $= u \text{ m/s}$.
अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $= v = 0 \text{ m/s}$.
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = -g$ (गुरुत्वीय त्वरण नीचे की ओर कार्य करता है):
$0 = u - gt \implies t = u/g$ (अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय)।
वापसी की यात्रा के लिए,गेंद अधिकतम ऊँचाई पर विरामावस्था से शुरू होती है $(u_{return} = 0)$ और गुरुत्वाकर्षण के तहत नीचे गिरती है $(a = +g)$:
समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए:
$v^2 = 0^2 + 2gH$,जहाँ $H$ अधिकतम ऊँचाई है।
ऊपर की गति से,$H = u^2 / (2g)$।
वापसी के समीकरण में $H$ का मान रखने पर: $v^2 = 2g(u^2 / 2g) = u^2$।
अतः,$v = u$।
इस प्रकार,गेंद उसी वेग $u$ के साथ प्रक्षेपण बिंदु पर वापस आती है जिस वेग से उसे फेंका गया था।
प्रारंभिक वेग $= u \text{ m/s}$.
अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $= v = 0 \text{ m/s}$.
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = -g$ (गुरुत्वीय त्वरण नीचे की ओर कार्य करता है):
$0 = u - gt \implies t = u/g$ (अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय)।
वापसी की यात्रा के लिए,गेंद अधिकतम ऊँचाई पर विरामावस्था से शुरू होती है $(u_{return} = 0)$ और गुरुत्वाकर्षण के तहत नीचे गिरती है $(a = +g)$:
समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए:
$v^2 = 0^2 + 2gH$,जहाँ $H$ अधिकतम ऊँचाई है।
ऊपर की गति से,$H = u^2 / (2g)$।
वापसी के समीकरण में $H$ का मान रखने पर: $v^2 = 2g(u^2 / 2g) = u^2$।
अतः,$v = u$।
इस प्रकार,गेंद उसी वेग $u$ के साथ प्रक्षेपण बिंदु पर वापस आती है जिस वेग से उसे फेंका गया था।
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Medium
सिद्ध कीजिए कि यदि किसी वस्तु को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो ऊपर जाने का समय (time of ascent) नीचे आने के समय (time of descent) के बराबर होता है।
Solution
(N/A) जब किसी वस्तु को $u$ प्रारंभिक वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो अधिकतम ऊँचाई पर उसका अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
माना ऊपर जाने का समय $t_{1}$ है। गति के प्रथम समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = -g$:
$0 = u - gt_{1}$
$\Rightarrow t_{1} = \frac{u}{g} ......(1)$
वापसी की यात्रा (नीचे आने) के लिए,वस्तु अधिकतम ऊँचाई पर विराम अवस्था से शुरू होती है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u' = 0$ है। जब यह जमीन पर पहुँचती है तो अंतिम वेग $v' = u$ होता है। माना नीचे आने का समय $t_{2}$ है। $v' = u' + gt_{2}$ का उपयोग करने पर:
$u = 0 + gt_{2}$
$\Rightarrow t_{2} = \frac{u}{g} ......(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें $t_{1} = t_{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,ऊपर जाने का समय नीचे आने के समय के बराबर होता है।
माना ऊपर जाने का समय $t_{1}$ है। गति के प्रथम समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = -g$:
$0 = u - gt_{1}$
$\Rightarrow t_{1} = \frac{u}{g} ......(1)$
वापसी की यात्रा (नीचे आने) के लिए,वस्तु अधिकतम ऊँचाई पर विराम अवस्था से शुरू होती है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u' = 0$ है। जब यह जमीन पर पहुँचती है तो अंतिम वेग $v' = u$ होता है। माना नीचे आने का समय $t_{2}$ है। $v' = u' + gt_{2}$ का उपयोग करने पर:
$u = 0 + gt_{2}$
$\Rightarrow t_{2} = \frac{u}{g} ......(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें $t_{1} = t_{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,ऊपर जाने का समय नीचे आने के समय के बराबर होता है।
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Easy
एक पत्थर को एक इमारत की छत से गिराया जाता है। इसे जमीन तक पहुँचने में $4 \, s$ का समय लगता है। इमारत की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। $(g = 9.8 \, m \, s^{-2})$
Solution
(78.4 M) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m \, s^{-1}$,समय $t = 4 \, s$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m \, s^{-2}$।
मुक्त पतन के लिए गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करने पर:
$h = ut + \frac{1}{2}gt^2$
मान रखने पर:
$h = (0 \times 4) + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4)^2$
$h = 0 + 0.5 \times 9.8 \times 16$
$h = 4.9 \times 16$
$h = 78.4 \, m$
अतः,इमारत की ऊँचाई $78.4 \, m$ है।
मुक्त पतन के लिए गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करने पर:
$h = ut + \frac{1}{2}gt^2$
मान रखने पर:
$h = (0 \times 4) + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4)^2$
$h = 0 + 0.5 \times 9.8 \times 16$
$h = 4.9 \times 16$
$h = 78.4 \, m$
अतः,इमारत की ऊँचाई $78.4 \, m$ है।
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MediumMCQ
एक व्यक्ति का पृथ्वी पर भार $600\,N$ है। उसका द्रव्यमान क्या है? $(g=10\,m s^{-2})$। चंद्रमा पर उसका भार $100\,N$ होगा। चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण क्या है?
A
$60\,kg, 1.67\,m s^{-2}$
B
$60\,kg, 1.5\,m s^{-2}$
C
$6\,kg, 1.67\,m s^{-2}$
D
$60\,kg, 1.0\,m s^{-2}$
Solution
(A) दिया गया है: पृथ्वी पर भार $W_{E} = 600\,N$,चंद्रमा पर भार $W_{M} = 100\,N$,पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m s^{-2}$।
सबसे पहले,हम सूत्र $W = m \times g$ का उपयोग करके व्यक्ति का द्रव्यमान $(m)$ ज्ञात करते हैं:
$m = \frac{W_{E}}{g} = \frac{600}{10} = 60\,kg$.
चूंकि द्रव्यमान हर जगह स्थिर रहता है,इसलिए चंद्रमा पर भी व्यक्ति का द्रव्यमान $60\,kg$ ही रहेगा।
अब,हम सूत्र $W_{M} = m \times g_{m}$ का उपयोग करके चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_{m})$ ज्ञात करते हैं:
$g_{m} = \frac{W_{M}}{m} = \frac{100}{60} = 1.67\,m s^{-2}$.
सबसे पहले,हम सूत्र $W = m \times g$ का उपयोग करके व्यक्ति का द्रव्यमान $(m)$ ज्ञात करते हैं:
$m = \frac{W_{E}}{g} = \frac{600}{10} = 60\,kg$.
चूंकि द्रव्यमान हर जगह स्थिर रहता है,इसलिए चंद्रमा पर भी व्यक्ति का द्रव्यमान $60\,kg$ ही रहेगा।
अब,हम सूत्र $W_{M} = m \times g_{m}$ का उपयोग करके चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_{m})$ ज्ञात करते हैं:
$g_{m} = \frac{W_{M}}{m} = \frac{100}{60} = 1.67\,m s^{-2}$.
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Medium
$(a)$ पृथ्वी की सतह पर एक व्यक्ति का भार $392 \, N$ है। उसका द्रव्यमान ज्ञात कीजिए। $(g = 9.8 \, m s^{-2})$
$(b)$ यदि उस व्यक्ति को चंद्रमा पर ले जाया जाए,तो:
$(i)$ उसका द्रव्यमान और
$(ii)$ उसका भार क्या होगा?
$(iii)$ चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण की गणना कीजिए।
$(b)$ यदि उस व्यक्ति को चंद्रमा पर ले जाया जाए,तो:
$(i)$ उसका द्रव्यमान और
$(ii)$ उसका भार क्या होगा?
$(iii)$ चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण की गणना कीजिए।
Solution
(N/A) दिया गया है: भार $(W) = 392 \, N$,गुरुत्वीय त्वरण $(g) = 9.8 \, m s^{-2}$।
द्रव्यमान $(m) = W / g = 392 / 9.8 = 40 \, kg$।
$(b)$ $(i)$ किसी वस्तु का द्रव्यमान स्थान बदलने पर भी स्थिर रहता है। अतः,चंद्रमा पर उसका द्रव्यमान $40 \, kg$ ही रहेगा।
$(ii)$ चंद्रमा पर किसी वस्तु का भार पृथ्वी पर उसके भार का $1/6$ होता है। अतः,चंद्रमा पर भार $= 392 / 6 \approx 65.33 \, N$।
$(iii)$ चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_m) = \text{चंद्रमा पर भार} / \text{द्रव्यमान} = 65.33 / 40 \approx 1.63 \, m s^{-2}$।
द्रव्यमान $(m) = W / g = 392 / 9.8 = 40 \, kg$।
$(b)$ $(i)$ किसी वस्तु का द्रव्यमान स्थान बदलने पर भी स्थिर रहता है। अतः,चंद्रमा पर उसका द्रव्यमान $40 \, kg$ ही रहेगा।
$(ii)$ चंद्रमा पर किसी वस्तु का भार पृथ्वी पर उसके भार का $1/6$ होता है। अतः,चंद्रमा पर भार $= 392 / 6 \approx 65.33 \, N$।
$(iii)$ चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_m) = \text{चंद्रमा पर भार} / \text{द्रव्यमान} = 65.33 / 40 \approx 1.63 \, m s^{-2}$।
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Medium
एक वस्तु का द्रव्यमान $30 \ kg$ है। चंद्रमा पर $(i)$ और किसी अन्य ग्रह पर $(ii)$ इसका भार क्या होगा? चंद्रमा पर $g$ का मान पृथ्वी पर $g$ के मान का $1/6$ है। ग्रह पर $g$ का मान पृथ्वी पर $g$ के मान का $3$ गुना है। $g_{earth} = 10 \ m/s^2$ लें।
Solution
(N/A) दिया गया है: द्रव्यमान $(m) = 30 \ kg$,$g_{earth} = 10 \ m/s^2$.
$(i)$ चंद्रमा पर भार $(W_m)$:
$g_{moon} = 1/6 \times g_{earth} = 1/6 \times 10 = 5/3 \ m/s^2$.
$W_m = m \times g_{moon} = 30 \times (5/3) = 50 \ N$.
$(ii)$ ग्रह पर भार $(W_p)$:
$g_{planet} = 3 \times g_{earth} = 3 \times 10 = 30 \ m/s^2$.
$W_p = m \times g_{planet} = 30 \times 30 = 900 \ N$.
$(i)$ चंद्रमा पर भार $(W_m)$:
$g_{moon} = 1/6 \times g_{earth} = 1/6 \times 10 = 5/3 \ m/s^2$.
$W_m = m \times g_{moon} = 30 \times (5/3) = 50 \ N$.
$(ii)$ ग्रह पर भार $(W_p)$:
$g_{planet} = 3 \times g_{earth} = 3 \times 10 = 30 \ m/s^2$.
$W_p = m \times g_{planet} = 30 \times 30 = 900 \ N$.
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Difficult
एक व्यक्ति $0.5 \, kg$ द्रव्यमान की गेंद को $25 \, m s^{-1}$ के वेग से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंकता है। ज्ञात कीजिए: $(a)$ गेंद का प्रारंभिक संवेग,$(b)$ अधिकतम ऊँचाई के आधे मार्ग पर गेंद का संवेग। ($g = 10 \, m s^{-2}$ दिया गया है)
Solution
(N/A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.5 \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 25 \, m s^{-1}$,गुरुत्वीय त्वरण $g = -10 \, m s^{-2}$।
$(a)$ प्रारंभिक संवेग $p = m \times u = 0.5 \times 25 = 12.5 \, kg \, m s^{-1}$।
$(b)$ अधिकतम ऊँचाई के आधे मार्ग पर संवेग ज्ञात करने के लिए,सबसे पहले $v^2 - u^2 = 2gH$ का उपयोग करके अधिकतम ऊँचाई $H$ ज्ञात करें। अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
$0^2 - (25)^2 = 2 \times (-10) \times H$
$-625 = -20 \times H$
$H = 625 / 20 = 31.25 \, m$।
आधी ऊँचाई $h = H / 2 = 31.25 / 2 = 15.625 \, m$।
अब,$v_h^2 - u^2 = 2gh$ का उपयोग करके ऊँचाई $h$ पर वेग $v_h$ ज्ञात करें:
$v_h^2 - (25)^2 = 2 \times (-10) \times 15.625$
$v_h^2 - 625 = -312.5$
$v_h^2 = 312.5$
$v_h = \sqrt{312.5} \approx 17.68 \, m s^{-1}$।
आधे मार्ग पर संवेग $p_h = m \times v_h = 0.5 \times 17.68 = 8.84 \, kg \, m s^{-1}$।
$(a)$ प्रारंभिक संवेग $p = m \times u = 0.5 \times 25 = 12.5 \, kg \, m s^{-1}$।
$(b)$ अधिकतम ऊँचाई के आधे मार्ग पर संवेग ज्ञात करने के लिए,सबसे पहले $v^2 - u^2 = 2gH$ का उपयोग करके अधिकतम ऊँचाई $H$ ज्ञात करें। अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
$0^2 - (25)^2 = 2 \times (-10) \times H$
$-625 = -20 \times H$
$H = 625 / 20 = 31.25 \, m$।
आधी ऊँचाई $h = H / 2 = 31.25 / 2 = 15.625 \, m$।
अब,$v_h^2 - u^2 = 2gh$ का उपयोग करके ऊँचाई $h$ पर वेग $v_h$ ज्ञात करें:
$v_h^2 - (25)^2 = 2 \times (-10) \times 15.625$
$v_h^2 - 625 = -312.5$
$v_h^2 = 312.5$
$v_h = \sqrt{312.5} \approx 17.68 \, m s^{-1}$।
आधे मार्ग पर संवेग $p_h = m \times v_h = 0.5 \times 17.68 = 8.84 \, kg \, m s^{-1}$।
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Medium
एक गेंद को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,जो $6 \, s$ बाद फेंकने वाले के पास वापस आ जाती है। ज्ञात कीजिए:
$(a)$ वह वेग जिससे इसे ऊपर फेंका गया था।
$(b)$ प्राप्त की गई अधिकतम ऊँचाई। ($g = 9.8 \, m s^{-2}$ लीजिए)
$(a)$ वह वेग जिससे इसे ऊपर फेंका गया था।
$(b)$ प्राप्त की गई अधिकतम ऊँचाई। ($g = 9.8 \, m s^{-2}$ लीजिए)
Solution
(N/A) दिया गया है: कुल समय $T = 6 \, s$,अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $v = 0 \, m s^{-1}$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m s^{-2}$।
चूँकि ऊपर जाने का समय और नीचे आने का समय समान होता है,इसलिए अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t = T / 2 = 6 / 2 = 3 \, s$ है।
$(a)$ गति के प्रथम समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = -g$:
$0 = u + (-9.8 \times 3)$
$u = 29.4 \, m s^{-1}$।
अतः,प्रारंभिक वेग $29.4 \, m s^{-1}$ है।
$(b)$ गति के तीसरे समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर:
$0^2 - (29.4)^2 = 2 \times (-9.8) \times h$
$-864.36 = -19.6 \times h$
$h = 864.36 / 19.6 = 44.1 \, m$।
अतः,प्राप्त की गई अधिकतम ऊँचाई $44.1 \, m$ है।
चूँकि ऊपर जाने का समय और नीचे आने का समय समान होता है,इसलिए अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t = T / 2 = 6 / 2 = 3 \, s$ है।
$(a)$ गति के प्रथम समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = -g$:
$0 = u + (-9.8 \times 3)$
$u = 29.4 \, m s^{-1}$।
अतः,प्रारंभिक वेग $29.4 \, m s^{-1}$ है।
$(b)$ गति के तीसरे समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर:
$0^2 - (29.4)^2 = 2 \times (-9.8) \times h$
$-864.36 = -19.6 \times h$
$h = 864.36 / 19.6 = 44.1 \, m$।
अतः,प्राप्त की गई अधिकतम ऊँचाई $44.1 \, m$ है।
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एक गेंद को $20\, m$ की ऊँचाई से गिराया जाता है। एक सेकंड के बाद उसी ऊँचाई से दूसरी गेंद को $u$ प्रारंभिक वेग के साथ नीचे फेंका जाता है। यदि दोनों गेंदें एक ही समय पर जमीन पर पहुँचती हैं, तो दूसरी गेंद का प्रारंभिक वेग ज्ञात कीजिए। ($g = 10\, m s^{-2}$ लें)।
Solution
$(15 M S^{-1})$ पहली गेंद के लिए:
$u = 0, h = 20\, m, g = 10\, m s^{-2}, t = ?$
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$20 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$20 = 5t^2$
$t^2 = 4$
$t = 2\, s$
दूसरी गेंद के लिए:
चूँकि दूसरी गेंद $1\, s$ बाद फेंकी गई है और वह जमीन पर एक ही समय पर पहुँचती है, इसलिए उसका यात्रा समय $t' = 2 - 1 = 1\, s$ होगा।
$u = ?, h = 20\, m, g = 10\, m s^{-2}, t' = 1\, s$
$S = ut' + \frac{1}{2}at'^2$ का उपयोग करने पर:
$20 = u(1) + \frac{1}{2} \times 10 \times (1)^2$
$20 = u + 5$
$u = 20 - 5 = 15\, m s^{-1}$
$u = 0, h = 20\, m, g = 10\, m s^{-2}, t = ?$
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$20 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$20 = 5t^2$
$t^2 = 4$
$t = 2\, s$
दूसरी गेंद के लिए:
चूँकि दूसरी गेंद $1\, s$ बाद फेंकी गई है और वह जमीन पर एक ही समय पर पहुँचती है, इसलिए उसका यात्रा समय $t' = 2 - 1 = 1\, s$ होगा।
$u = ?, h = 20\, m, g = 10\, m s^{-2}, t' = 1\, s$
$S = ut' + \frac{1}{2}at'^2$ का उपयोग करने पर:
$20 = u(1) + \frac{1}{2} \times 10 \times (1)^2$
$20 = u + 5$
$u = 20 - 5 = 15\, m s^{-1}$
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