Textbook - Triangles Questions in Hindi

(N/A) $(i)$ $\Delta AOD$ और $\Delta BOC$ में:
$OA = OB$ (दिया है)
$OD = OC$ (दिया है)
साथ ही,$\angle AOD = \angle BOC$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta AOD \cong \Delta BOC$ है।
$(ii)$ चूँकि $\Delta AOD \cong \Delta BOC$ है,इसलिए उनके संगत भाग बराबर हैं $(CPCT)$।
अतः,$\angle OAD = \angle OBC$ है।
ये रेखाखंड $AD$ और $BC$ की तिर्यक रेखा $AB$ द्वारा बनाए गए एकांतर अंतःकोण हैं।
चूँकि एकांतर अंतःकोण बराबर हैं,इसलिए $AD \parallel BC$ है।

(N/A) रेखा $l$,$AB$ का लंब समद्विभाजक है और यह $C$ से होकर गुजरती है,जो $AB$ का मध्य-बिंदु है (आकृति देखें)।
हमें यह दर्शाना है कि $PA = PB$ है।
$\Delta PCA$ और $\Delta PCB$ पर विचार करें।
इन त्रिभुजों में:
$AC = BC$ ($C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है)
$\angle PCA = \angle PCB = 90^\circ$ (दिया है,क्योंकि $l$ लंब समद्विभाजक है)
$PC = PC$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta PCA \cong \Delta PCB$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
इस प्रकार,$PA = PB$,जिसका अर्थ है कि $P$,$A$ और $B$ से समदूरस्थ है।

$(i)$ $\Delta AOB$ और $\Delta DOC$ पर विचार करें।
$\angle OAB = \angle ODC$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$ और $AD$ एक तिर्यक रेखा है)
$\angle AOB = \angle DOC$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$OA = OD$ (दिया है,क्योंकि $O$,$AD$ का मध्य-बिंदु है)
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta AOB \cong \Delta DOC$ है।
$(ii)$ चूंकि $\Delta AOB \cong \Delta DOC$,इसलिए $CPCT$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) द्वारा,
$OB = OC$
अतः,$O$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।

(N/A) चतुर्भुज $ACBD$ में,हमें दिया गया है:
$AC = AD$
$AB$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,जिसका अर्थ है कि $\angle CAB = \angle DAB$ है।
अब,$\Delta ABC$ और $\Delta ABD$ पर विचार करें:
$1$. $AC = AD$ (दिया है)
$2$. $\angle CAB = \angle DAB$ (चूंकि $AB$,$\angle A$ का समद्विभाजक है)
$3$. $AB = AB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABC \cong \Delta ABD$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए $CPCT$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) द्वारा उनके संगत भाग बराबर होते हैं।
अतः,$BC = BD$ है।

(N/A) $(i)$ चतुर्भुज $ABCD$ में,हमारे पास $AD = BC$ और $\angle DAB = \angle CBA$ है।
$\Delta ABD$ और $\Delta BAC$ पर विचार करने पर:
$AD = BC$ (दिया है)
$AB = BA$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle DAB = \angle CBA$ (दिया है)
अतः,$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABD \cong \Delta BAC$ है।
$(ii)$ चूँकि $\Delta ABD \cong \Delta BAC$,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$BD = AC$ है।
$(iii)$ चूँकि $\Delta ABD \cong \Delta BAC$,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$\angle ABD = \angle BAC$ है।

(N/A) दिया है: $AD \perp AB$,$BC \perp AB$ और $AD = BC$।
सिद्ध करना है: $CD$,$AB$ को समद्विभाजित करता है,अर्थात $OA = OB$।
उपपत्ति:
$\Delta OBC$ और $\Delta OAD$ में:
$1$. $\angle OBC = \angle OAD = 90^\circ$ (दिया है)
$2$. $\angle BOC = \angle AOD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$3$. $BC = AD$ (दिया है)
$AAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta OBC \cong \Delta OAD$।
अतः,$OB = OA$ ($c.p.c.t.$ द्वारा)।
चूंकि $OB = OA$,इसलिए $O$,$AB$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$CD$,$AB$ को समद्विभाजित करता है।

(N/A) दिया है: $l \parallel m$ और $p \parallel q$ है।
सिद्ध करना है: $\Delta ABC \cong \Delta CDA$ है।
उपपत्ति:
चूँकि $l \parallel m$ है और $AC$ एक तिर्यक रेखा है,
इसलिए,$\angle BAC = \angle DCA$ [एकांतर अंतःकोण]
साथ ही,चूँकि $p \parallel q$ है और $AC$ एक तिर्यक रेखा है,
इसलिए,$\angle BCA = \angle DAC$ [एकांतर अंतःकोण]
अब,$\Delta ABC$ और $\Delta CDA$ में:
$\angle BAC = \angle DCA$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$\angle BCA = \angle DAC$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$AC = CA$ [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः,$ASA$ (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABC \cong \Delta CDA$ है।

(N/A) दिया है: रेखा $l$ कोण $\angle A$ की समद्विभाजक है। $BP \perp AQ$ और $BQ \perp AP$ है।
$(i)$ $\Delta APB$ और $\Delta AQB$ में:
$\angle APB = \angle AQB = 90^{\circ}$ (दिया है)
$\angle PAB = \angle QAB$ ($l$ कोण $\angle A$ की समद्विभाजक है)
$AB = AB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$AAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta APB \cong \Delta AQB$ है।
$(ii)$ चूँकि $\Delta APB \cong \Delta AQB$,इसलिए $CPCT$ द्वारा उनके संगत भाग बराबर हैं।
अतः,$BP = BQ$ है।
यह दर्शाता है कि बिंदु $B$,$\angle A$ की भुजाओं से समदूरस्थ (समान दूरी पर) है।

(N/A) हमें दिया गया है कि $\angle BAD = \angle EAC$ है।
दोनों पक्षों में $\angle DAC$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle BAD + \angle DAC = \angle EAC + \angle DAC$
$\Rightarrow \angle BAC = \angle DAE$
अब,$\triangle ABC$ और $\triangle ADE$ में,हमारे पास है:
$\angle BAC = \angle DAE$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$AB = AD$ [दिया है]
$AC = AE$ [दिया है]
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle ADE$ [$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी का उपयोग करते हुए]
चूँकि $\triangle ABC \cong \triangle ADE$ है,इसलिए,उनके संगत भाग बराबर होते हैं ($CPCT$ द्वारा)।
$\Rightarrow BC = DE$.

(N/A) दिया है: $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है।
$\therefore AP = BP$
$\angle EPA = \angle DPB$ [दिया है]
दोनों पक्षों में $\angle EPD$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle EPA + \angle EPD = \angle DPB + \angle EPD$
$\Rightarrow \angle APD = \angle BPE$
$(i)$ $\Delta DAP$ और $\Delta EBP$ में:
$AP = BP$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$\angle PAD = \angle PBE$ [दिया है कि $\angle BAD = \angle ABE$]
$\angle APD = \angle BPE$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा:
$\Delta DAP \cong \Delta EBP$
$(ii)$ चूँकि $\Delta DAP \cong \Delta EBP$,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$:
$\Rightarrow AD = BE$

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$\angle C = 90^\circ$ और $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है $(AM = BM)$। $CM$ को $D$ तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि $DM = CM$ है।
$(i)$ $\Delta AMC$ और $\Delta BMD$ में:
$AM = BM$ (दिया है,$M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है)
$\angle AMC = \angle BMD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$CM = DM$ (दिया है)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta AMC \cong \Delta BMD$ है।
$(ii)$ चूँकि $\Delta AMC \cong \Delta BMD$,इसलिए उनके संगत भाग बराबर हैं $(c.p.c.t.)$।
अतः,$\angle MAC = \angle MBD$। ये एकांतर अंतःकोण हैं,जो यह दर्शाता है कि $AC \parallel DB$ है।
चूँकि $AC \parallel DB$ और $BC$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^\circ$ होता है।
$\angle ACB + \angle DBC = 180^\circ$
$90^\circ + \angle DBC = 180^\circ$
$\angle DBC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$।
$(iii)$ $\Delta DBC$ और $\Delta ACB$ में:
$DB = AC$ ($\Delta AMC \cong \Delta BMD$ से $c.p.c.t.$)
$\angle DBC = \angle ACB = 90^\circ$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$BC = CB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta DBC \cong \Delta ACB$ है।
$(iv)$ चूँकि $\Delta DBC \cong \Delta ACB$,इसलिए उनके संगत भाग बराबर हैं $(c.p.c.t.)$।
अतः,$DC = AB$ है।
चूँकि $DM = CM$,इसलिए $CM = \frac{1}{2} DC$ है।
$DC = AB$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $CM = \frac{1}{2} AB$ प्राप्त होता है।

(N/A) $\Delta ABD$ और $\Delta ACD$ में:
$\angle BAD = \angle CAD$ (दिया है,क्योंकि $AD$,$\angle A$ का समद्विभाजक है)
$AD = AD$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$ (दिया है,क्योंकि $AD \perp BC$)
अतः,$ASA$ (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta ABD \cong \Delta ACD$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होंगे $(CPCT)$।
अतः,$AB = AC$ है।
चूँकि $\Delta ABC$ की दो भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) $\Delta ABF$ और $\Delta ACE$ में:
$AB = AC$ (दिया है)
$\angle A = \angle A$ (उभयनिष्ठ कोण)
$AF = AE$ (चूंकि $F$ और $E$ क्रमशः बराबर भुजाओं $AC$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $AF = \frac{1}{2} AC$ और $AE = \frac{1}{2} AB$ है। चूँकि $AB = AC$,इसलिए $AF = AE$ होगा।)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta ABF \cong \Delta ACE$ है।
सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं।
इस प्रकार,$BF = CE$ ($CPCT$ द्वारा)।

(N/A) $\Delta ABD$ और $\Delta ACE$ में:
$AB = AC$ (दिया है) ........... $(1)$
$\angle B = \angle C$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण) ........... $(2)$
साथ ही,$BE = CD$
दोनों पक्षों से $DE$ घटाने पर:
$BE - DE = CD - DE$
$BD = CE$ ........... $(3)$
अतः,$\Delta ABD \cong \Delta ACE$ ($(1)$,$(2)$,$(3)$ और $SAS$ सर्वांगसमता नियम का उपयोग करते हुए)।
इससे प्राप्त होता है $AD = AE$ ($CPCT$ - सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।

(N/A) $(i)$ $\Delta ABC$ में,हमारे पास है
$AB = AC$ [दिया है]
$\therefore \angle C = \angle B$ [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
$\Rightarrow \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} \angle B$
या $\angle OCB = \angle OBC$
$\Rightarrow OB = OC$ [बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]
$(ii)$ $\Delta ABO$ और $\Delta ACO$ में,हमारे पास है
$AB = AC$ [दिया है]
$OB = OC$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$\angle OBA = \angle OCA$ [चूँकि $\frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \angle C$]
$\therefore SAS$ सर्वांगसमता कसौटी का उपयोग करने पर,
$\Delta ABO \cong \Delta ACO$
$\Rightarrow \angle OAB = \angle OAC$ [c.p.c.t. द्वारा]
$\Rightarrow AO$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है।

(N/A) दिया है: $AD$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है,जिसका अर्थ है कि $BD = CD$ और $\angle ADB = \angle ADC = 90^o$ है।
$\Delta ABD$ और $\Delta ACD$ में:
$AD = AD$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle ADB = \angle ADC = 90^o$ (दिया है)
$BD = CD$ (चूंकि $AD$,$BC$ का समद्विभाजक है)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta ABD \cong \Delta ACD$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
इस प्रकार,$AB = AC$ है।
चूंकि $\Delta ABC$ की दो भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC$ है।
शीर्षलंब $BE \perp AC$ और $CF \perp AB$ हैं।
सिद्ध करना है: $BE = CF$।
उपपत्ति:
$\Delta ABE$ और $\Delta ACF$ में:
$1$. $\angle A = \angle A$ (उभयनिष्ठ कोण)
$2$. $AB = AC$ (दिया है)
$3$. $\angle AEB = \angle AFC = 90^\circ$ (चूंकि $BE$ और $CF$ शीर्षलंब हैं)
अतः,$AAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABE \cong \Delta ACF$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$BE = CF$।

(N/A) $(i)$ $\Delta ABE$ और $\Delta ACF$ में,हमारे पास है:
$\angle AEB = \angle AFC = 90^\circ$ (चूँकि $BE \perp AC$ और $CF \perp AB$)
$\angle A = \angle A$ (उभयनिष्ठ कोण)
$BE = CF$ (दिया है)
अतः,$AAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABE \cong \Delta ACF$ है।
$(ii)$ चूँकि $\Delta ABE \cong \Delta ACF$,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$AB = AC$ है।
इस प्रकार,$ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,हमारे पास है
$AB = AC$ (दिया है,क्योंकि $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है)
चूंकि बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए:
$\angle ABC = \angle ACB$ .......... $(1)$
$\Delta BDC$ में,हमारे पास है
$BD = CD$ (दिया है,क्योंकि $\Delta BDC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है)
चूंकि बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए:
$\angle CBD = \angle BCD$ .......... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle ABC + \angle CBD = \angle ACB + \angle BCD$
$\Rightarrow \angle ABD = \angle ACD$
इति सिद्धम्।

(N/A) $\Delta ABC$ में,चूँकि $AB = AC$ है,इसलिए $\angle ABC = \angle ACB$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)। मान लीजिए $\angle ABC = \angle ACB = x$ है। तब $\angle BAC = 180^\circ - 2x$ होगा।
$\Delta ACD$ में,चूँकि $AD = AB$ और $AB = AC$ है,इसलिए $AD = AC$ होगा। अतः,$\angle ADC = \angle ACD$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)। मान लीजिए $\angle ADC = \angle ACD = y$ है।
चूँकि $BA$ को $D$ तक बढ़ाया गया है,$BD$ एक सीधी रेखा है। इसलिए,$\angle BAC + \angle CAD = 180^\circ$ होगा।
चूँकि $\angle CAD = 180^\circ - 2y$ ($\Delta ACD$ से) है,इसलिए $(180^\circ - 2x) + (180^\circ - 2y) = 180^\circ$ होगा।
$360^\circ - 2(x + y) = 180^\circ$।
$2(x + y) = 180^\circ$।
$x + y = 90^\circ$।
चूँकि $\angle BCD = \angle ACB + \angle ACD = x + y$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\angle BCD = 90^\circ$ है।

(N/A) $\triangle ABC$ में,हमारे पास है:
$AB = AC$ [दिया है]
चूंकि भुजाएँ बराबर हैं,उनके सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं।
$\Rightarrow \angle ACB = \angle ABC$
हम जानते हैं कि त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^o$ होता है।
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^o$
$90^o + \angle B + \angle C = 180^o$ [चूंकि $\angle A = 90^o$]
$\angle B + \angle C = 180^o - 90^o = 90^o$
चूंकि $\angle B = \angle C$,हम लिख सकते हैं:
$2 \angle B = 90^o$
$\angle B = \frac{90^o}{2} = 45^o$
अतः,$\angle B = 45^o$ और $\angle C = 45^o$.

(N/A) $\Delta ABC$ में,हमारे पास है:
$AB = BC = CA$ $[\because \Delta ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है$]$
चूँकि $AB = BC$,इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle A = \angle C$ ......... $(1)$
इसी प्रकार,चूँकि $AC = BC$,इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle A = \angle B$ ......... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle A = \angle B = \angle C$
माना $\angle A = \angle B = \angle C = x$
चूँकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^o$ होता है:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^o$
प्रत्येक कोण के लिए $x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x + x + x = 180^o$
$3x = 180^o$
$x = \frac{180^o}{3} = 60^o$
अतः,$\angle A = \angle B = \angle C = 60^o$.
इस प्रकार,एक समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^o$ होता है।

(N/A) दिया है: $PA = PB$ और $QA = QB$। हमें दर्शाना है कि $PQ \perp AB$ और $PQ$,$AB$ को समद्विभाजित करता है। मान लीजिए $PQ$,$AB$ को $C$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$\Delta PAQ$ और $\Delta PBQ$ पर विचार करें:
$AP = BP$ (दिया है)
$AQ = BQ$ (दिया है)
$PQ = PQ$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SSS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta PAQ \cong \Delta PBQ$ है।
इसका अर्थ है कि $CPCT$ द्वारा $\angle APQ = \angle BPQ$ है।
अब,$\Delta PAC$ और $\Delta PBC$ पर विचार करें:
$AP = BP$ (दिया है)
$\angle APC = \angle BPC$ (चूंकि $\angle APQ = \angle BPQ$)
$PC = PC$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta PAC \cong \Delta PBC$ है।
इसका अर्थ है कि $CPCT$ द्वारा $AC = BC$ और $\angle ACP = \angle BCP$ है।
चूंकि $\angle ACP + \angle BCP = 180^o$ (रैखिक युग्म),
$2 \angle ACP = 180^o \implies \angle ACP = 90^o$ है।
चूंकि $AC = BC$ और $\angle ACP = 90^o$ है,अतः $PQ$,$AB$ का लंब समद्विभाजक है।

(N/A) दिया है: रेखाएँ $l$ और $m$ बिंदु $A$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। $P$ एक ऐसा बिंदु है कि $PB \perp l$ और $PC \perp m$ है,जहाँ $PB = PC$ है।
सिद्ध करना है: रेखा $AP$ रेखाओं $l$ और $m$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है,अर्थात $\angle PAB = \angle PAC$ है।
उपपत्ति: $\Delta PAB$ और $\Delta PAC$ पर विचार कीजिए।
इन दो त्रिभुजों में:
$1$. $PB = PC$ (दिया है,क्योंकि $P$ रेखाओं से समान दूरी पर है)
$2$. $\angle PBA = \angle PCA = 90^o$ (दिया है,क्योंकि $PB \perp l$ और $PC \perp m$)
$3$. $PA = PA$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$RHS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta PAB \cong \Delta PAC$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
इस प्रकार,$\angle PAB = \angle PAC$ है।
यह दर्शाता है कि रेखा $AP$ रेखाओं $l$ और $m$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है।

(N/A) $(i)$ $\Delta ABD$ और $\Delta ACD$ में:
$AB = AC$ [दिया है]
$AD = AD$ [उभयनिष्ठ]
$BD = CD$ [दिया है]
$\therefore \Delta ABD \cong \Delta ACD$ [$SSS$ सर्वांगसमता नियम]
$(ii)$ $\Delta ABP$ और $\Delta ACP$ में:
$AB = AC$ [दिया है]
$\angle BAP = \angle CAP$ [चूँकि $\Delta ABD \cong \Delta ACD$,उनके संगत भाग बराबर हैं]
$AP = AP$ [उभयनिष्ठ]
$\therefore \Delta ABP \cong \Delta ACP$ [$SAS$ सर्वांगसमता नियम]
$(iii)$ चूँकि $\Delta ABP \cong \Delta ACP$,उनके संगत भाग सर्वांगसम हैं।
$\Rightarrow \angle BAP = \angle CAP$,अतः $AP$,$\angle A$ का समद्विभाजक है।
साथ ही,$\Delta BDP$ और $\Delta CDP$ में:
$BD = CD$ [दिया है]
$DP = DP$ [उभयनिष्ठ]
$BP = CP$ [चूँकि $\Delta ABP \cong \Delta ACP$,$CPCT$ द्वारा $BP = CP$]
$\therefore \Delta BDP \cong \Delta CDP$ [$SSS$ सर्वांगसमता नियम]
$\Rightarrow \angle BDP = \angle CDP$,अतः $AP$,$\angle D$ का समद्विभाजक है।
$(iv)$ चूँकि $\Delta ABP \cong \Delta ACP$,अतः $\angle APB = \angle APC$ [$CPCT$ द्वारा]।
चूँकि $\angle APB + \angle APC = 180^\circ$ [रैखिक युग्म],
अतः $\angle APB = \angle APC = 90^\circ$।
साथ ही $BP = CP$ [$CPCT$ द्वारा]।
अतः $AP$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है।

(N/A) $(i)$ $\Delta ABD$ और $\Delta ACD$ में,हमारे पास है:
$AB = AC$ [दिया है]
$\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$ [चूंकि $AD$ एक शीर्षलंब है]
$AD = AD$ [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः,$RHS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta ABD \cong \Delta ACD$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$BD = CD$,जिसका अर्थ है कि $AD$,$BC$ को समद्विभाजित करता है।
$(ii)$ चूंकि $\Delta ABD \cong \Delta ACD$ है,इसलिए उनके संगत कोण बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$\angle BAD = \angle CAD$,जिसका अर्थ है कि $AD$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,$AM$ एक माध्यिका है [दिया है]।
$\therefore BM = \frac{1}{2} BC$ ........... $(1)$
$\Delta PQR$ में,$PN$ एक माध्यिका है।
$\therefore QN = \frac{1}{2} QR$ ........... $(2)$
$\because BC = QR$ [दिया है]
$\therefore \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} QR$
$\Rightarrow BM = QN$ [$(1)$ और $(2)$ से]
$(i)$ $\Delta ABM$ और $\Delta PQN$ में,हमारे पास है:
$AB = PQ$ [दिया है]
$AM = PN$ [दिया है]
$BM = QN$ [ऊपर सिद्ध किया]
$\therefore \Delta ABM \cong \Delta PQN$ [$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी]
$(ii)$ $\because \Delta ABM \cong \Delta PQN$
$\therefore$ उनके संगत भाग सर्वांगसम हैं $(CPCT)$।
$\Rightarrow \angle B = \angle Q$
अब,$\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,हमारे पास है:
$AB = PQ$ [दिया है]
$\angle B = \angle Q$ [ऊपर सिद्ध किया]
$BC = QR$ [दिया है]
$\therefore \Delta ABC \cong \Delta PQR$ [$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी]

(N/A) दिया है: $BE \perp AC$ और $CF \perp AB$ जहाँ $BE = CF$ है।
सिद्ध करना है: $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,अर्थात $AB = AC$ है।
उपपत्ति:
समकोण त्रिभुज $\Delta BEC$ और $\Delta CFB$ में:
$1$. $\angle BEC = \angle CFB = 90^\circ$ (शीर्षलंब भुजाओं पर लंब होते हैं)।
$2$. $BC = CB$ (उभयनिष्ठ कर्ण)।
$3$. $BE = CF$ (दिया है)।
अतः,$RHS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta BEC \cong \Delta CFB$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होंगे $(CPCT)$:
$\angle BCE = \angle CBF$
इसका अर्थ है कि $\angle BCA = \angle CBA$ है।
$\Delta ABC$ में,समान कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
इसलिए,$AB = AC$ है।
अतः,$\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) दिया है: $ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC$ है। $AP \perp BC$ है।
सिद्ध करना है: $\angle B = \angle C$।
उपपत्ति:
$\Delta ABP$ और $\Delta ACP$ में:
$1$. $\angle APB = \angle APC = 90^\circ$ (चूँकि $AP \perp BC$)
$2$. $AB = AC$ (दिया है)
$3$. $AP = AP$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$RHS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABP \cong \Delta ACP$।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$\angle B = \angle C$।

(N/A) $\Delta DAC$ में,
$AD = AC$ (दिया है)
अतः,$\angle ADC = \angle ACD$ (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
अब,$\angle ADC$,$\Delta ABD$ के लिए एक बहिष्कोण है।
बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार,$\angle ADC > \angle ABD$।
चूँकि $\angle ADC = \angle ACD$ है,इसलिए $\angle ACD > \angle ABD$।
इसका अर्थ है कि $\angle ACB > \angle ABC$।
$\Delta ABC$ में,बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है। अतः,$AB > AC$।
चूँकि $AD = AC$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $AB > AD$।

(N/A) मान लीजिए कि हम $\Delta ABC$ पर विचार करते हैं जिसमें $\angle B = 90^\circ$ है।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^\circ$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$ है।
$\angle B = 90^\circ$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\angle A + 90^\circ + \angle C = 180^\circ$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\angle A + \angle C = 90^\circ$ है।
चूंकि $\angle A + \angle C = 90^\circ$ और $\angle B = 90^\circ$ है,इसलिए $\angle B = \angle A + \angle C$ होता है।
इसका अर्थ है कि $\angle B > \angle A$ और $\angle B > \angle C$ है।
किसी भी त्रिभुज में,बड़े कोण के सम्मुख भुजा लंबी होती है। इसलिए,$\angle B$ के सम्मुख भुजा $(AC)$,$\angle A$ के सम्मुख भुजा $(BC)$ और $\angle C$ के सम्मुख भुजा $(AB)$ से लंबी है।
अतः,$AC > BC$ और $AC > AB$ है।
चूंकि $AC$ कर्ण है,इसलिए यह त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है।

(N/A) हम जानते हैं कि $\angle ABC + \angle PBC = 180^\circ$ [रैखिक युग्म अभिगृहीत]।
इसी प्रकार,$\angle ACB + \angle QCB = 180^\circ$ [रैखिक युग्म अभिगृहीत]।
अतः,$\angle ABC + \angle PBC = \angle ACB + \angle QCB$ है।
दिया गया है कि $\angle PBC < \angle QCB$ है।
चूंकि कोणों का योग स्थिर $(180^\circ)$ है,यदि योग में एक कोण छोटा है,तो समानता बनाए रखने के लिए दूसरा कोण बड़ा होना चाहिए।
अतः,$\angle ABC > \angle ACB$ है।
किसी भी त्रिभुज में,बड़े कोण के सामने की भुजा लंबी होती है।
इसलिए,$\angle ABC$ के सामने की भुजा $(AC)$,$\angle ACB$ के सामने की भुजा $(AB)$ से बड़ी है।
अतः,$AC > AB$ सिद्ध होता है।

(N/A) दिया है: $\angle B < \angle A$ और $\angle C < \angle D$ है।
$\triangle AOB$ में,क्योंकि $\angle B < \angle A$ है,बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी होती है। इसलिए,$OA < OB$ ($\angle B$ के सामने की भुजा $OA$ है और $\angle A$ के सामने की भुजा $OB$ है) ...... $(1)$
$\triangle COD$ में,क्योंकि $\angle C < \angle D$ है,बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी होती है। इसलिए,$OD < OC$ ($\angle C$ के सामने की भुजा $OD$ है और $\angle D$ के सामने की भुजा $OC$ है) ...... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$OA + OD < OB + OC$
चूंकि $OA + OD = AD$ और $OB + OC = BC$ है,इसलिए:
$AD < BC$.

(N/A) मान लीजिए कि हम $AC$ को मिलाते हैं।
$\Delta ABC$ में,चूँकि $AB$ चतुर्भुज $ABCD$ की सबसे छोटी भुजा है,इसलिए $AB < BC$ और $AB < AC$ होगा।
विशेष रूप से,$BC > AB$ है।
चूँकि बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है $\angle BAC > \angle BCA$ ........... $(1)$
$\Delta ACD$ में,चूँकि $CD$ चतुर्भुज $ABCD$ की सबसे लंबी भुजा है,इसलिए $CD > AD$ और $CD > AC$ होगा।
विशेष रूप से,$CD > AD$ है।
चूँकि बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है $\angle CAD > \angle ACD$ ........... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\angle BAC + \angle CAD) > (\angle BCA + \angle ACD)$
$\Rightarrow \angle A > \angle C$
इसी प्रकार,$BD$ को मिलाकर और $\Delta ABD$ तथा $\Delta BCD$ के लिए समान तर्क का उपयोग करके,हम दर्शा सकते हैं कि $\angle B > \angle D$ है।

(N/A) $\Delta PQR$ में,$PS$,$\angle QPR$ का समद्विभाजक है [दिया है]।
इसलिए,$\angle QPS = \angle RPS$।
चूंकि $PR > PQ$ [दिया है],
इसलिए,$PR$ के सम्मुख कोण,$PQ$ के सम्मुख कोण से बड़ा होगा।
अतः,$\angle PQS > \angle PRS$।
बाईं ओर $\angle QPS$ और दाईं ओर $\angle RPS$ जोड़ने पर (चूंकि $\angle QPS = \angle RPS$):
$\angle PQS + \angle QPS > \angle PRS + \angle RPS$ ... $(1)$।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$\Delta PQS$ के लिए,बहिष्कोण $\angle PSR = \angle PQS + \angle QPS$।
$\Delta PRS$ के लिए,बहिष्कोण $\angle PSQ = \angle PRS + \angle RPS$।
इन मानों को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\angle PSR > \angle PSQ$।

(N/A) मान लीजिए कि रेखा $l$ पर स्थित न होने वाला एक बिंदु $P$ है। मान लीजिए कि $PM$,$P$ से रेखा $l$ पर खींचा गया लंब है,और $N$ रेखा $l$ पर कोई अन्य बिंदु है ताकि $N \neq M$ हो।
$\Delta PMN$ में,चूँकि $\angle M = 90^o$ है,कोणों का योग $\angle M + \angle N + \angle P = 180^o$ होता है।
इसका अर्थ है कि $\angle N + \angle P = 90^o$,इसलिए $\angle N < 90^o$ है।
चूँकि $\angle N < \angle M$ है,$\angle N$ के सम्मुख भुजा $\angle M$ के सम्मुख भुजा से छोटी होनी चाहिए।
इसलिए,$PM < PN$ है।
चूँकि $N$ रेखा $l$ पर कोई भी बिंदु ($M$ के अलावा) है,यह दर्शाता है कि $PM$,$P$ से रेखा $l$ पर खींचे गए किसी भी अन्य रेखाखंड से छोटा है।
अतः,लंब रेखाखंड,एक बिंदु से एक रेखा पर खींचा गया सबसे छोटा रेखाखंड होता है।

(N/A) मान लीजिए कि हम एक $\Delta ABC$ पर विचार करते हैं।
भुजा $AB$ का लंब समद्विभाजक $l$ खींचिए।
भुजा $BC$ का लंब समद्विभाजक $m$ खींचिए।
मान लीजिए कि ये दोनों लंब समद्विभाजक $l$ और $m$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूंकि किसी रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु उसके अंत बिंदुओं से समान दूरी पर होता है,इसलिए बिंदु $O$,$AB$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है (अतः $OA = OB$) और $BC$ के लंब समद्विभाजक पर भी स्थित है (अतः $OB = OC$)।
इसलिए,$OA = OB = OC$,जिसका अर्थ है कि बिंदु $O$ ही वह वांछित बिंदु है जो सभी शीर्षों $A, B$ और $C$ से समान दूरी पर है। इस बिंदु $O$ को त्रिभुज का परिकेंद्र (circumcenter) कहा जाता है।

(N/A) मान लीजिए एक $\Delta ABC$ है।
$\angle B$ का कोण समद्विभाजक $'l'$ खींचिए।
$\angle C$ का कोण समद्विभाजक $'m'$ खींचिए।
मान लीजिए कि दोनों कोण समद्विभाजक $'l'$ और $'m'$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूंकि किसी कोण के समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु उस कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है,इसलिए बिंदु $O$,$\angle B$ के समद्विभाजक पर स्थित है (अतः यह $AB$ और $BC$ से समान दूरी पर है) और $\angle C$ के समद्विभाजक पर भी स्थित है (अतः यह $BC$ और $AC$ से समान दूरी पर है)।
अतः,बिंदु $O$,$\Delta ABC$ की तीनों भुजाओं ($AB$,$BC$ और $AC$) से समान दूरी पर है। इस बिंदु $O$ को त्रिभुज का अंतःकेंद्र (incenter) कहा जाता है।

(N/A) यह सुनिश्चित करने के लिए कि आइसक्रीम पार्लर बिंदुओं $A$,$B$ और $C$ से समान दूरी पर है,हमें इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का परिकेंद्र (circumcenter) ज्ञात करना होगा।
$1$. बिंदुओं $A$ और $B$ को जोड़ें,और रेखा $l$ खींचें,जो रेखाखंड $AB$ का लंब समद्विभाजक है।
$2$. बिंदुओं $B$ और $C$ को जोड़ें,और रेखा $m$ खींचें,जो रेखाखंड $BC$ का लंब समद्विभाजक है।
$3$. मान लीजिए कि लंब समद्विभाजक $l$ और $m$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
बिंदु $O$,$\triangle ABC$ का परिकेंद्र है,और यह शीर्षों $A$,$B$ और $C$ से समान दूरी पर है। इसलिए,आइसक्रीम पार्लर को बिंदु $O$ पर स्थापित किया जाना चाहिए।

(B) दी गई आकृतियों में $1\,cm$ भुजा वाले कितने समबाहु त्रिभुज समा सकते हैं,यह ज्ञात करने के लिए हम आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे और उसे एक छोटे समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल से विभाजित करेंगे।
$1$. $s = 5\,cm$ भुजा वाले नियमित षट्भुज के लिए:
क्षेत्रफल $= \frac{3\sqrt{3}}{2} s^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 25 = 37.5\sqrt{3} \approx 64.95\,cm^2$.
$1\,cm$ भुजा वाले प्रत्येक छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = 0.25\sqrt{3} \approx 0.433\,cm^2$ है।
आकृति $(i)$ में त्रिभुजों की संख्या $= \frac{37.5\sqrt{3}}{0.25\sqrt{3}} = 150$.
$2$. आकृति $(ii)$ में तारा के आकार की आकृति के लिए:
यह आकृति $5\,cm$ भुजा वाले केंद्रीय षट्भुज और उसकी भुजाओं पर जुड़े $5\,cm$ भुजा वाले $6$ समबाहु त्रिभुजों से बनी है।
कुल क्षेत्रफल $= \text{षट्भुज का क्षेत्रफल} + 6 \times (5\,cm \text{ भुजा वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल})$.
कुल क्षेत्रफल $= 37.5\sqrt{3} + 6 \times (6.25\sqrt{3}) = 37.5\sqrt{3} + 37.5\sqrt{3} = 75\sqrt{3} \approx 129.9\,cm^2$.
आकृति $(ii)$ में त्रिभुजों की संख्या $= \frac{75\sqrt{3}}{0.25\sqrt{3}} = 300$.
अतः,तारा के आकार की आकृति $(ii)$ में अधिक त्रिभुज हैं।