Mix Examples - Triangles Questions in Hindi

(A) दिया गया है कि $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ है। सर्वांगसम त्रिभुजों में संगतता के नियम के अनुसार,संगत भाग बराबर होते हैं:
$AB = PQ$,$BC = QR$,और $AC = PR$।
साथ ही,कोण भी बराबर होते हैं: $\angle A = \angle P$,$\angle B = \angle Q$,और $\angle C = \angle R$।
हमें दिया गया है कि $\triangle ABC$,$\triangle RPQ$ के सर्वांगसम नहीं है। इसका अर्थ है कि संगतता $A \leftrightarrow R$,$B \leftrightarrow P$,और $C \leftrightarrow Q$ मान्य नहीं है।
आइए $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ के आधार पर विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $A$: $BC = PQ$। संगतता के अनुसार,$BC = QR$ होता है। अतः,$BC = PQ$ सामान्यतः सत्य नहीं है।
विकल्प $B$: $AC = PR$। संगतता के अनुसार यह सत्य है।
विकल्प $C$: $QR = BC$। संगतता के अनुसार यह सत्य है।
विकल्प $D$: $AB = PQ$। संगतता के अनुसार यह सत्य है।
इसलिए,जो कथन सत्य नहीं है वह $BC = PQ$ है।

(B) त्रिभुजों की सर्वांगसमता के मानदंड $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा),$ASA$ (कोण-भुजा-कोण),$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा),$AAS$ (कोण-कोण-भुजा) और $RHS$ (समकोण-कर्ण-भुजा) हैं।
$SSA$ (भुजा-भुजा-कोण) त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए एक मान्य मानदंड नहीं है क्योंकि यह त्रिभुज को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं करता है।

(C) दिया गया है कि भुजाएँ समान हैं: $AB = QR$,$BC = PR$ और $CA = PQ$।
सर्वांगसमता निर्धारित करने के लिए,हम समान भुजाओं के आधार पर शीर्षों का मिलान करते हैं:
$1$. चूंकि $AB = QR$,शीर्ष $A, Q$ के संगत है और $B, R$ के संगत है।
$2$. चूंकि $BC = PR$,शीर्ष $B, P$ के संगत है और $C, R$ के संगत है।
$3$. चूंकि $CA = PQ$,शीर्ष $C, P$ के संगत है और $A, Q$ के संगत है।
इस प्रकार,शीर्षों की संगति $A \leftrightarrow Q, B \leftrightarrow R, C \leftrightarrow P$ है।
अतः,$\triangle CBA \cong \triangle PRQ$ सही है क्योंकि $CB=PR, BA=RQ, AC=QP$ होता है।

(D) $\triangle ABC$ में,हमें दिया गया है कि $AB = AC$ है।
चूँकि त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle C = \angle B$ होगा।
दिया गया है कि $\angle B = 50^{\circ}$ है।
अतः,$\angle C = 50^{\circ}$ होगा।

(A) $\triangle ABC$ में,हमें दिया गया है कि $BC = AB$ है।
त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle A = \angle C$ होगा।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $\angle A + 80^{\circ} + \angle A = 180^{\circ}$।
$2 \angle A + 80^{\circ} = 180^{\circ}$।
$2 \angle A = 180^{\circ} - 80^{\circ}$।
$2 \angle A = 100^{\circ}$।
$\angle A = 100^{\circ} / 2 = 50^{\circ}$।

(B) $\triangle PQR$ में,हमें दिया गया है कि $\angle R = \angle P$ है।
त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,समान कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
इसलिए,$\angle R$ के सम्मुख भुजा $(PQ)$,$\angle P$ के सम्मुख भुजा $(QR)$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$PQ = QR$ है।
चूँकि $QR = 4 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $PQ = 4 \, cm$ होगा।

(C) $\triangle ADC$ में,बहिष्कोण $\angle ADB$,अंतः सम्मुख कोण $\angle DAC$ से बड़ा है।
चूंकि $AD$,$\angle BAC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle BAD = \angle DAC$ है।
इस मान को असमिका में रखने पर,हमें $\angle ADB > \angle BAD$ प्राप्त होता है।
$\triangle ABD$ में,बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी होती है,इसलिए $AB > BD$ है।

(D) दिया गया है कि $\triangle ABC \cong \triangle FDE$ है।
$1$. $\triangle ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। इसलिए,$\angle C = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
$2$. चूंकि $\triangle ABC \cong \triangle FDE$ है,सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
$3$. यहाँ संगति $A \leftrightarrow F$,$B \leftrightarrow D$,और $C \leftrightarrow E$ है।
$4$. इसलिए,$AB$ के संगत भुजा $FD$ (या $DF$) है। अतः,$DF = AB = 5 \, cm$।
$5$. साथ ही,$\angle C$ के संगत कोण $\angle E$ है। इसलिए,$\angle E = \angle C = 60^{\circ}$।
$6$. दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$DF = 5 \, cm$ और $\angle E = 60^{\circ}$ सत्य है।

(A) त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए और किन्हीं दो भुजाओं का अंतर तीसरी भुजा से कम होना चाहिए।
माना तीसरी भुजा $x$ है।
अतः,$5 - 1.5 < x < 5 + 1.5$,जिसे सरल करने पर $3.5 < x < 6.5$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A) 3.4$ इस सीमा $(3.5, 6.5)$ में नहीं है क्योंकि $3.4 < 3.5$ है।
$B) 3.8$ इस सीमा में है।
$C) 4.1$ इस सीमा में है।
$D) 3.6$ इस सीमा में है।
इसलिए,तीसरी भुजा की लंबाई $3.4\, cm$ नहीं हो सकती है।

(B) $\triangle PQR$ में,हमें दिया गया है कि $\angle R > \angle Q.$
प्रमेय के अनुसार,किसी भी त्रिभुज में,बड़े कोण की सम्मुख भुजा लंबी होती है।
$\angle R$ की सम्मुख भुजा $PQ$ है और $\angle Q$ की सम्मुख भुजा $PR$ है।
चूँकि $\angle R > \angle Q$ है,इसलिए $PQ > PR$ होगा।

(C) दिया है: $\triangle ABC$ में,$AB = AC$ है। इसलिए,$\angle B = \angle C$ (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
दिया है: $\angle C = \angle P$ और $\angle B = \angle Q$ है।
चूंकि $\angle B = \angle C$ है,इसलिए $\angle Q = \angle P$ होगा।
$\triangle PQR$ में,चूंकि $\angle Q = \angle P$ है,इसलिए इन कोणों के सम्मुख भुजाएं बराबर होनी चाहिए,अतः $PR = QR$ होगा। इस प्रकार,$\triangle PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हालाँकि,हमारे पास यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त जानकारी (जैसे कि भुजा की लंबाई या किसी विशिष्ट कोण का माप) नहीं है कि $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ है। उदाहरण के लिए,कोणों के समान संबंधों को बनाए रखते हुए भी त्रिभुजों के आकार अलग-अलग हो सकते हैं।
इसलिए,दोनों त्रिभुज समद्विबाहु हैं,लेकिन वे सर्वांगसम हों यह आवश्यक नहीं है।

(D) $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता अभिगृहीत के अनुसार,यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दूसरे त्रिभुज की संगत दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हो,तो वे दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
दिया है: $AB = FD$ और $\angle A = \angle D$।
त्रिभुजों के $SAS$ द्वारा सर्वांगसम होने के लिए,$\angle A$ बनाने वाली भुजाएँ ($AB$ और $AC$) को $\angle D$ बनाने वाली भुजाओं ($FD$ और $DE$) के बराबर होना चाहिए।
चूँकि $AB = FD$ पहले से दिया गया है,इसलिए $SAS$ शर्त को पूरा करने के लिए $AC = DE$ होना आवश्यक है।

(A) $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी का उपयोग करके $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ सिद्ध करने के लिए,कोण को दी गई दो भुजाओं के बीच का होना चाहिए।
$\triangle ABC$ के लिए,भुजाएँ $AB$ और $AC$ हैं,इसलिए इनके बीच का कोण $\angle A$ है।
$\triangle DEF$ के लिए,भुजाएँ $DE$ और $EF$ हैं,इसलिए इनके बीच का कोण $\angle E$ है।
अतः,यदि $\angle A = \angle E$ है,तो $SAS$ सर्वांगसमता नियम के अनुसार,$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ होगा।

(NO) ये दो त्रिभुज आवश्यक रूप से सर्वांगसम नहीं हैं। दो त्रिभुजों के $ASA$ (कोण-भुजा-कोण) कसौटी द्वारा सर्वांगसम होने के लिए,भुजा को दोनों कोणों के बीच में होना चाहिए। $\triangle ABC$ में,$\angle A$ और $\angle B$ के बीच की भुजा $AB$ है। $\triangle DEF$ में,$\angle D$ और $\angle E$ के बीच की भुजा $DE$ है। चूँकि दी गई शर्त $AB = EF$ है न कि $AB = DE$,इसलिए त्रिभुज $ASA$ सर्वांगसमता कसौटी को संतुष्ट नहीं करते हैं। अतः,वे आवश्यक रूप से सर्वांगसम नहीं हैं।

(N/A) त्रिभुज $ABC$ और $PQR$ में,हमारे पास है:
$\angle A = \angle Q$ (दिया है)
$\angle B = \angle R$ (दिया है)
दोनों त्रिभुजों के $ASA$ (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता नियम द्वारा सर्वांगसम होने के लिए,दो कोणों के बीच की भुजा बराबर होनी चाहिए।
$\triangle ABC$ में,$\angle A$ और $\angle B$ के बीच की भुजा $AB$ है।
$\triangle PQR$ में,$\angle Q$ और $\angle R$ के बीच की भुजा $QR$ है।
इसलिए,त्रिभुजों के सर्वांगसम होने के लिए,भुजा $AB$ को भुजा $QR$ के बराबर होना चाहिए $(AB = QR)$।

(N/A) त्रिभुज $ABC$ और $PQR$ में,हमें दिया गया है:
$\angle A = \angle Q$ और $\angle B = \angle R$.
दोनों त्रिभुजों के $AAS$ (कोण-कोण-भुजा) सर्वांगसमता नियम द्वारा सर्वांगसम होने के लिए,$\triangle ABC$ की भुजा $BC$ के संगत $\triangle PQR$ की भुजा $RP$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$BC = RP$.
यह सुनिश्चित करता है कि दोनों त्रिभुज $AAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा सर्वांगसम हैं।

(B) यह कथन असत्य है। दो त्रिभुजों के $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता नियम द्वारा सर्वांगसम होने के लिए,कोण को उन दो भुजाओं के बीच का अंतर्गत कोण होना चाहिए। यदि कोण अंतर्गत कोण नहीं है,तो त्रिभुजों का सर्वांगसम होना आवश्यक नहीं है।

(A) यह कथन सत्य है,बशर्ते कि वह भुजा दोनों कोणों के बीच की अंतर्विष्ट भुजा हो ($ASA$ सर्वांगसमता नियम) या वह भुजा दोनों त्रिभुजों में समान सापेक्ष स्थिति वाली संगत भुजा हो ($AAS$ सर्वांगसमता नियम)।
यदि एक त्रिभुज के दो कोण और कोई भी एक भुजा दूसरे त्रिभुज के संगत दो कोणों और संगत भुजा के बराबर हैं,तो त्रिभुज $AAS$ (कोण-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा सर्वांगसम होते हैं।
अतः,त्रिभुजों के सर्वांगसम होने के लिए संगतता की शर्त अनिवार्य है।

(N/A) त्रिभुज असमिका प्रमेय (triangle inequality theorem) के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से हमेशा अधिक होना चाहिए।
यहाँ,भुजाओं की लंबाई $4 \, cm, 3 \, cm$ और $7 \, cm$ है।
दो छोटी भुजाओं का योग करने पर: $4 \, cm + 3 \, cm = 7 \, cm$ प्राप्त होता है।
चूंकि दो भुजाओं का योग $(7 \, cm)$ तीसरी भुजा $(7 \, cm)$ के बराबर है,न कि उससे अधिक,इसलिए त्रिभुज असमिका की शर्त पूरी नहीं होती है।
अतः,इन भुजाओं की लंबाई के साथ त्रिभुज बनाना संभव नहीं है।

(B) यह कहना असत्य है कि $BC = QR$ है।
चूंकि $\triangle ABC \cong \triangle RPQ$ है,इसलिए सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
शीर्षों का मिलान करने पर,हमें $A \leftrightarrow R$,$B \leftrightarrow P$,और $C \leftrightarrow Q$ प्राप्त होता है।
अतः,भुजा $BC$ भुजा $PQ$ के संगत है।
इसलिए,$BC = PQ$ होगा,न कि $QR$।

(A) हाँ,यह सत्य है कि $PR = EF$।
चूंकि $\Delta PQR \cong \Delta EDF$,सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
शीर्ष इस प्रकार संगत हैं: $P \leftrightarrow E$,$Q \leftrightarrow D$,और $R \leftrightarrow F$।
अतः,भुजा $PR$ भुजा $EF$ के संगत है,जिसका अर्थ है कि $PR = EF$।

(PR) $\triangle PQR$ में,त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle Q = 180^{\circ} - (\angle P + \angle R)$
$\angle Q = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$।
कोणों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\angle Q > \angle P > \angle R$ $(80^{\circ} > 70^{\circ} > 30^{\circ})$।
त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,सबसे बड़े कोण के सम्मुख वाली भुजा सबसे लंबी होती है।
यहाँ $\angle Q$ सबसे बड़ा कोण है,और $\angle Q$ के सम्मुख भुजा $PR$ है।
अतः,$PR$ त्रिभुज $\triangle PQR$ की सबसे लंबी भुजा है।

(N/A) $ riangle ABD$ में,हमारे पास है:
$AB + BD > AD$ $\ldots(1)$
[चूंकि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए]
$ riangle ADC$ में,हमारे पास है:
$AC + CD > AD$ $\ldots(2)$
[चूंकि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए]
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB + BD + CD + AC > 2AD$
चूंकि $AD$,$\triangle ABC$ की माध्यिका है,इसलिए $BD = CD$। अतः,$BD + CD = BC$।
इस असमिका में मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB + BC + CA > 2AD$
हाँ,यह कथन सत्य है।

(A) हमें सिद्ध करना है कि $AB + BC + AC > 2\, AM$ है।
त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
$\triangle ABM$ में,हमारे पास है:
$AB + BM > AM$ $\ldots (1)$
$\triangle ACM$ में,हमारे पास है:
$AC + CM > AM$ $\ldots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB + BM + AC + CM > AM + AM$
$AB + AC + (BM + CM) > 2\, AM$
चूँकि $M$,$BC$ पर एक बिंदु है,इसलिए $BM + CM = BC$ है। इस मान को असमिका में रखने पर:
$AB + AC + BC > 2\, AM$
अतः,यह कहना सत्य है कि त्रिभुज $ABC$ का परिमाप $2\, AM$ से अधिक है।

(N/A) नहीं,$9 \, cm$,$7 \, cm$ और $17 \, cm$ भुजाओं की लंबाई वाला त्रिभुज बनाना संभव नहीं है।
त्रिभुज असमिका प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए।
यहाँ,दो छोटी भुजाओं का योग है:
$9 \, cm + 7 \, cm = 16 \, cm$
चूंकि $16 \, cm < 17 \, cm$,इसलिए दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक नहीं है।
अतः,इन भुजाओं की लंबाइयों के साथ त्रिभुज का निर्माण नहीं किया जा सकता है।

(A) हाँ,$8\,cm, 7\,cm$ और $4\,cm$ भुजाओं की लंबाई वाला त्रिभुज बनाना संभव है।
त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
शर्तों की जाँच करने पर:
$8 + 7 = 15 > 4$
$8 + 4 = 12 > 7$
$7 + 4 = 11 > 8$
चूँकि तीनों शर्तें पूरी होती हैं,इसलिए त्रिभुज की रचना की जा सकती है।

(N/A) $\triangle PQS$ और $\triangle PRT$ में:
$1$. $PQ = PR$ (दिया है)
$2$. $\angle Q = \angle R$ (दिया है)
$3$. $\angle QPS = \angle RPT$ (उभयनिष्ठ कोण $\angle P$)
अतः,$ASA$ (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\triangle PQS \cong \triangle PRT$ है।

(N/A) दिया है: $BC \parallel AD$ और $BC = DA$ है।
$\triangle BOC$ और $\triangle AOD$ पर विचार करें:
$1$. $\angle CBO = \angle DAO$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $BC \parallel AD$)
$2$. $\angle BCO = \angle ADO$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $BC \parallel AD$)
$3$. $BC = DA$ (दिया है)
$ASA$ (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\triangle BOC \cong \triangle AOD$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$:
$OB = OA$ और $OC = OD$ है।
अतः,$O$ रेखाखंडों $AB$ और $CD$ दोनों का मध्य-बिंदु है।

(N/A) दिया है: $\triangle PQR$ में,$PQ > PR$ और $QS$,$RS$ क्रमशः $\angle Q$ और $\angle R$ के समद्विभाजक हैं।
चूँकि $PQ > PR$,बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है। इसलिए,$\angle R > \angle Q$।
चूँकि $QS$ और $RS$ क्रमशः $\angle Q$ और $\angle R$ के समद्विभाजक हैं,इसलिए:
$\angle SQR = \frac{1}{2} \angle Q$
$\angle SRQ = \frac{1}{2} \angle R$
चूँकि $\angle R > \angle Q$,इसलिए $\frac{1}{2} \angle R > \frac{1}{2} \angle Q$ होगा।
अतः,$\angle SRQ > \angle SQR$।
$\triangle SQR$ में,चूँकि $\angle SRQ > \angle SQR$,बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है। अतः,$SQ > SR$।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ जिसमें $AB = AC$ है।
$D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है और $E$,$AB$ का मध्य-बिंदु है।
सिद्ध करना है: $BD = CE$ है।
उपपत्ति: $\triangle ABD$ और $\triangle ACE$ में:
$1$. $AB = AC$ (दिया है)
$2$. $\angle BAD = \angle CAE$ (उभयनिष्ठ कोण)
$3$. $AD = AE$ (चूंकि $AB = AC$,इसलिए उनके आधे भाग बराबर होंगे,अर्थात $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}AC$)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle ABD \cong \triangle ACE$ है।
अतः,$CPCT$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) द्वारा $BD = CE$ है।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ जिसमें $BD = CE$ और $AD = AE$ है।
सिद्ध करना है: $\triangle ABD \cong \triangle ACE$.
उपपत्ति: $\triangle ADE$ में,
$AD = AE$ [दिया है]
$\Rightarrow \angle ADE = \angle AED$ [त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
अब,$\angle ADB + \angle ADE = 180^{\circ}$ [रैखिक युग्म अभिगृहीत]
$\angle AEC + \angle AED = 180^{\circ}$ [रैखिक युग्म अभिगृहीत]
इन समीकरणों से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle ADB + \angle ADE = \angle AEC + \angle AED$
चूंकि $\angle ADE = \angle AED$,इसलिए $\angle ADB = \angle AEC$ है।
अब,$\triangle ABD$ और $\triangle ACE$ में:
$AD = AE$ [दिया है]
$\angle ADB = \angle AEC$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$BD = CE$ [दिया है]
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम से,
$\triangle ABD \cong \triangle ACE$.
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: वर्ग $ABCD$ की भुजा $CD$ पर एक समबाहु त्रिभुज $CDE$ बनाया गया है।
सिद्ध करना है: $\triangle ADE \cong \triangle BCE$।
उपपत्ति: वर्ग $ABCD$ में,हमारे पास है:
$AD = BC$ (वर्ग की भुजाएँ बराबर होती हैं) ... $(1)$
$\angle ADC = \angle BCD = 90^{\circ}$ (वर्ग के कोण) ... $(2)$
समबाहु त्रिभुज $CDE$ में,हमारे पास है:
$DE = CE$ (समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ बराबर होती हैं) ... $(3)$
$\angle CDE = \angle DCE = 60^{\circ}$ (समबाहु त्रिभुज के कोण) ... $(4)$
$(2)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$\angle ADC + \angle CDE = \angle BCD + \angle DCE$
$\angle ADE = \angle BCE$ ... $(5)$
अब,$\triangle ADE$ और $\triangle BCE$ में:
$AD = BC$ ($(1)$ से)
$\angle ADE = \angle BCE$ ($(5)$ से)
$DE = CE$ ($(3)$ से)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle ADE \cong \triangle BCE$।

(N/A) दिया है: $BA \perp AC$,$DE \perp DF$,$BA = DE$,और $BF = EC$ है।
चरण $1$: कर्ण की समानता स्थापित करें।
हमें $BF = EC$ दिया गया है।
दोनों पक्षों में $FC$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$BF + FC = EC + FC$
$BC = EF$
चरण $2$: दोनों त्रिभुजों की तुलना करें।
$\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ में:
$1$. $\angle A = \angle D = 90^{\circ}$ (दिया है कि $BA \perp AC$ और $DE \perp DF$)
$2$. $BA = DE$ (दिया है)
$3$. $BC = EF$ (कर्ण,ऊपर सिद्ध किया गया)
चरण $3$: निष्कर्ष।
$RHS$ (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ है।

(N/A) दिया है: $PQ = PR$ है।
सिद्ध करना है: $PS > PQ$ है।
उपपत्ति: $\triangle PQR$ में,हमारे पास है:
$PR = PQ$ (दिया है)।
इसलिए,$\angle PQR = \angle PRQ$ (त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
$\triangle PQS$ में,$\angle PQR$ एक बहिष्कोण है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का बहिष्कोण उसके प्रत्येक अंतःअभिमुख कोणों से बड़ा होता है।
इसलिए,$\angle PQR > \angle S$ है।
चूँकि $\angle PQR = \angle PRQ$ है,इसलिए $\angle PRQ > \angle S$ होगा।
$\triangle PSR$ में,चूँकि $\angle PRQ > \angle S$ है,इसलिए $\angle PRQ$ के सम्मुख भुजा,$\angle S$ के सम्मुख भुजा से बड़ी होनी चाहिए।
अतः,$PS > PR$ है।
चूँकि $PR = PQ$ है,हम $PR$ के स्थान पर $PQ$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
इस प्रकार,$PS > PQ$ है।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $\triangle PQR$ की भुजा $QR$ पर एक बिंदु $S$ स्थित है।
सिद्ध करना है: $PQ + QR + RP > 2 \, PS$.
उपपत्ति: $\triangle PQS$ में,हमारे पास है:
$PQ + QS > PS$ ..... $(1)$
[चूँकि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए]
अब,$\triangle PSR$ में,हमारे पास है:
$RS + RP > PS$ ..... $(2)$
[चूँकि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए]
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$PQ + QS + RS + RP > 2 \, PS$
चूँकि $QS + RS = QR$,इसलिए:
$PQ + QR + RP > 2 \, PS$
इति सिद्धम्।

(N/A) $\triangle ABC$ में,हमें दिया गया है कि $AB = AC$ है।
अतः,$\angle ABC = \angle ACB$ (त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
चूँकि $D$,$AC$ पर एक बिंदु है,इसलिए $\angle DBC < \angle ABC$ होगा।
$\angle ABC$ के स्थान पर $\angle ACB$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\angle DBC < \angle ACB$ है।
यहाँ $\angle ACB$ और $\angle DCB$ एक ही कोण हैं,अतः $\angle DBC < \angle DCB$ है।
$\triangle BCD$ में,चूँकि $\angle DCB > \angle DBC$ है,इसलिए बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है।
अतः,$BD > CD$ या $CD < BD$ है।

(N/A) $\triangle AMC$ और $\triangle BMD$ में,हमारे पास है:
$\angle MAC = \angle MBD$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $l \parallel m$)
$\angle AMC = \angle BMD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$AM = BM$ (दिया है,क्योंकि $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है)
अतः,$\triangle AMC \cong \triangle BMD$ ($ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा)
इस प्रकार,$CM = DM$ ($CPCT$ द्वारा)
अतः,$M$,$CD$ का भी मध्य-बिंदु है।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ में,$AB = AC$ है। $BO$ और $CO$ क्रमशः $\angle B$ और $\angle C$ के कोण समद्विभाजक हैं,जो $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $BO$ को $M$ तक बढ़ाया गया है।
उपपत्ति:
$\triangle ABC$ में,चूँकि $AB = AC$,इसलिए $\angle ABC = \angle ACB$ (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
चूँकि $BO$ और $CO$ कोण $\angle B$ और $\angle C$ के समद्विभाजक हैं,इसलिए:
$\angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC$
$\angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB$
चूँकि $\angle ABC = \angle ACB$,इसलिए $\angle OBC = \angle OCB$ होगा।
$\triangle OBC$ में,जब भुजा $BO$ को $M$ तक बढ़ाया जाता है,तो $\angle MOC$ शीर्ष $O$ पर एक बहिष्कोण है।
त्रिभुज के बहिष्कोण गुणधर्म के अनुसार,बहिष्कोण अपने दोनों अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
इसलिए,$\angle MOC = \angle OBC + \angle OCB$।
चूँकि $\angle OBC = \angle OCB$,हम लिख सकते हैं:
$\angle MOC = \angle OBC + \angle OBC = 2 \angle OBC$।
$\angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\angle MOC = 2 \times (\frac{1}{2} \angle ABC) = \angle ABC$।
अतः,$\angle MOC = \angle ABC$ सिद्ध हुआ।

(N/A) $\triangle ABC$ में,हमारे पास $AB = AC$ है।
इसलिए,$\angle ABC = \angle ACB$ [क्योंकि त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]।
चूंकि $BO$ और $CO$ क्रमशः $\angle B$ और $\angle C$ के समद्विभाजक हैं,इसलिए $\angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC$ और $\angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB$ है।
चूंकि $\angle ABC = \angle ACB$,इसलिए $\angle OBC = \angle OCB$ होगा।
$\triangle OBC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^{\circ}$।
$\angle OCB = \angle OBC$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\angle BOC + 2 \angle OBC = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\angle BOC = 180^{\circ} - 2 \angle OBC$।
अब,$\angle ABC$ के आसन्न बाह्य कोण पर विचार करें। मान लीजिए $D$,$AB$ के विस्तार पर एक बिंदु है। बाह्य कोण $\angle CBD = 180^{\circ} - \angle ABC$ है।
चूंकि $\angle ABC = 2 \angle OBC$,इसलिए $\angle CBD = 180^{\circ} - 2 \angle OBC$ होगा।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\angle BOC = \angle CBD$।

(N/A) माना $\angle BAD = \angle 1$ और $\angle CAD = \angle 2$ है। चूँकि $AD$,$\angle BAC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle 1 = \angle 2$ है।
$\triangle ACD$ में,$\angle ADC$ शीर्ष $D$ पर एक बहिष्कोण है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
अतः,$\angle ADC = \angle CAD + \angle ACD = \angle 2 + \angle ACD$ है।
चूँकि $\angle ACD > 0$,इसलिए $\angle ADC > \angle 2$ प्राप्त होता है।
$\angle 2 = \angle 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\angle ADC > \angle 1$ प्राप्त होता है।
अब,$\triangle ABD$ पर विचार करें। इस त्रिभुज में,भुजा $AB$ के सम्मुख कोण $\angle ADB$ (जो $\angle ADC$ है) है और भुजा $BD$ के सम्मुख कोण $\angle BAD$ (जो $\angle 1$ है) है।
चूँकि $\angle ADC > \angle 1$,इसलिए बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है।
अतः,$AB > BD$ सिद्ध होता है।

(N/A) $CB$ को बिंदु $D$ तक इस प्रकार बढ़ाइए कि $BC = BD$ हो और $AD$ को मिलाइए।
$\Delta ABC$ और $\Delta ABD$ में:
$BC = BD$ (रचना से)
$AB = AB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle ABC = \angle ABD = 90^{\circ}$ (दिया है और रचना से)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम से $\Delta ABC \cong \Delta ABD$ है।
इसलिए,$CPCT$ से $\angle CAB = \angle DAB$ है। माना $\angle BAC = x$,तो $\angle CAB = x$ और $\angle DAB = x$ है।
इस प्रकार,$\angle CAD = \angle CAB + \angle BAD = x + x = 2x$ है।
चूँकि $\angle BCA = 2 \angle BAC$ है,और $\angle BAC = x$ है,तो $\angle BCA = 2x$ है।
$\Delta ACD$ में,$\angle CAD = 2x$ और $\angle ACD = 2x$ है।
चूँकि दो कोण बराबर हैं,इसलिए उनके सम्मुख भुजाएँ बराबर होंगी,अतः $AC = CD$ है।
साथ ही,चूँकि $\Delta ABC \cong \Delta ABD$ है,इसलिए $CPCT$ से $AC = AD$ है।
अतः,$\angle ADC = \angle ACD = 2x$ है।
चूँकि $\Delta ACD$ के तीनों कोण $60^{\circ}$ हैं $(2x + 2x + 2x = 180^{\circ} \implies x = 30^{\circ})$,इसलिए $\Delta ACD$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,$AC = CD = AD$ है।
चूँकि $CD = BC + BD$ और $BC = BD$ है,इसलिए $CD = BC + BC = 2BC$ है।
अतः,$AC = 2BC$ सिद्ध होता है।

(N/A) यह $ASA$ (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता कसौटी है।
मान लीजिए दो त्रिभुज $\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ हैं जहाँ $\angle B = \angle E$,$\angle C = \angle F$ और $BC = EF$ है।
हमें सिद्ध करना है कि $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ है।
स्थिति $1$: यदि $AB = DE$ है,तो $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता नियम से $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ होगा।
स्थिति $2$: यदि $AB < DE$ है,तो $DE$ पर एक बिंदु $P$ इस प्रकार लीजिए कि $DP = AB$ हो। $PF$ को मिलाइए। $\triangle ABC$ और $\triangle DPF$ में,$AB = DP$,$\angle B = \angle E$ और $BC = EF$ है। अतः,$SAS$ नियम से $\triangle ABC \cong \triangle DPF$ होगा। इसका अर्थ है कि $\angle ACB = \angle DPF$ है। लेकिन हमें दिया गया है कि $\angle ACB = \angle DFE$ है। इसलिए,$\angle DPF = \angle DFE$,जो केवल तभी संभव है जब $P$,$E$ पर संपाती हो। अतः,$AB = DE$ और $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ है।
स्थिति $3$: यदि $AB > DE$ है,तो इसी प्रकार के तर्क से सिद्ध होता है कि $AB = DE$ और त्रिभुज सर्वांगसम हैं।

(N/A) हमें $\Delta ABC$ की भुजा $BC$ पर एक बिंदु $D$ दिया गया है,इस प्रकार कि $\angle BAD = \angle CAD$ और $BD = CD$ है। हमें सिद्ध करना है कि $AB = AC$ है।
$AD$ को बिंदु $E$ तक इस प्रकार बढ़ाइए कि $AD = DE$ हो और फिर $CE$ को मिलाइए।
अब,$\Delta ABD$ और $\Delta ECD$ में:
$BD = CD$ (दिया है)
$AD = DE$ (रचना द्वारा)
$\angle ADB = \angle EDC$ (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः,$\Delta ABD \cong \Delta ECD$ ($SAS$ सर्वांगसमता नियम)।
इसलिए,$AB = EC$ और $\angle BAD = \angle CED$ $(CPCT)$ ... $(1)$
साथ ही,$\angle BAD = \angle CAD$ (दिया है) ... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें $\angle CAD = \angle CED$ प्राप्त होता है।
$\Delta ACE$ में,चूँकि $\angle CAD = \angle CED$ है,इसलिए इन कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होनी चाहिए।
अतः,$AC = EC$ ... $(3)$
$(1)$ और $(3)$ से,हमें $AB = AC$ प्राप्त होता है।
अतः,$\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) $QS$ को आगे बढ़ाइए ताकि वह $PR$ को $T$ पर प्रतिच्छेद करे।
$\triangle PQT$ में,हमारे पास है:
$PQ + PT > QT$ (त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है)
$PQ + PT > SQ + ST$ ..... $(1)$
$\triangle TSR$ में,हमारे पास है:
$ST + TR > SR$ ..... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$PQ + PT + ST + TR > SQ + ST + SR$
$PQ + PT + TR > SQ + SR$
चूँकि $PT + TR = PR$,इसलिए:
$PQ + PR > SQ + SR$
अतः,$SQ + SR < PQ + PR$.

(A) एक समबाहु त्रिभुज में,तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं,अर्थात $AB = BC = AC$।
चूँकि त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle A = \angle B = \angle C$ है।
मान लीजिए कि प्रत्येक कोण $x$ है।
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
$x + x + x = 180^{\circ}$।
$3x = 180^{\circ}$।
$x = \frac{180^{\circ}}{3} = 60^{\circ}$।
अतः,एक समबाहु त्रिभुज के सभी कोण $60^{\circ}, 60^{\circ}, 60^{\circ}$ होते हैं।

(N/A) मान लीजिए $AB$,$LM$ को $O$ पर प्रतिच्छेद करता है। हमें सिद्ध करना है कि $AO = BO$ है।
अब,$\angle i = \angle r$ ... $(1)$
[$\because$ आपतन कोण = परावर्तन कोण]
$\angle B = \angle i$ [संगत कोण] ... $(2)$
और $\angle A = \angle r$ [एकांतर अंतः कोण] ... $(3)$
$(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है $\angle B = \angle A$।
$\triangle BOC$ और $\triangle AOC$ में:
$\angle 1 = \angle 2 = 90^{\circ}$ [दिया गया है]
$OC = OC$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$\angle B = \angle A$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
अतः,$\triangle BOC \cong \triangle AOC$ [$AAS$ सर्वांगसमता नियम]।
इसलिए,$AO = BO$ [$CPCT$]।

(N/A) छात्र के तर्क में त्रुटि यह है कि उन्होंने $AAS$ (कोण-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी का उपयोग किया है,लेकिन $\triangle ABD$ में भुजा $AD$,कोण $\angle B$ और $\angle ADB$ के बीच में नहीं है।
सही उपपत्ति:
$\triangle ABD$ और $\triangle ACD$ में:
$AB = AC$ (दिया है)
$AD = AD$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$ ($AD \perp BC$ दिया है)
अतः,$RHS$ (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा:
$\triangle ABD \cong \triangle ACD$
इस प्रकार,$\angle BAD = \angle CAD$ $(CPCT)$।

(N/A) हमें सिद्ध करना है कि $\triangle BPQ$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
दिया गया है कि $BP$,$\angle ABC$ का समद्विभाजक है,इसलिए:
$\angle 1 = \angle 2$ .....$(1)$
चूंकि $PQ \parallel BA$ और $BP$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं:
$\angle 1 = \angle 3$ .....$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle 2 = \angle 3$
$\triangle BPQ$ में,चूंकि $\angle 2 = \angle 3$,इसलिए इन समान कोणों के सम्मुख भुजाएं बराबर होनी चाहिए:
$PQ = BQ$
चूंकि $\triangle BPQ$ की दो भुजाएं बराबर हैं,इसलिए $\triangle BPQ$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) $\triangle ABD$ और $\triangle CBD$ में,हमारे पास है:
$AB = CB$ [दिया है]
$AD = CD$ [दिया है]
$BD = BD$ [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः,$\triangle ABD \cong \triangle CBD$ [$SSS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
$\Rightarrow \angle ABD = \angle CBD$ [$CPCT$]
और $\angle ADB = \angle CDB$ [$CPCT$]
अतः,$BD$ कोण $ABC$ और $ADC$ दोनों को समद्विभाजित करता है।

(N/A) दिया है: एक समकोण त्रिभुज $ABC$ जिसमें $AB = AC$ है और $\angle A$ का समद्विभाजक $BC$ को $D$ पर मिलता है।
सिद्ध करना है: $BC = 2 AD$.
उपपत्ति: $\triangle ABC$ में,चूंकि $AB = AC$ है और यह एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए $\angle BAC = 90^{\circ}$ है।
$\triangle CAD$ और $\triangle BAD$ में:
$AC = AB$ (दिया है)
$\angle CAD = \angle BAD$ (चूंकि $AD$,$\angle A$ का समद्विभाजक है)
$AD = AD$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle CAD \cong \triangle BAD$ है।
इसलिए,$CD = BD$ ($CPCT$ द्वारा)।
समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में,$AD$ कर्ण पर माध्यिका भी है।
एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
अतः,$AD = \frac{1}{2} BC$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2 AD = BC$ प्राप्त होता है।
अतः,$BC = 2 AD$ सिद्ध हुआ।