$ABC$ एक त्रिभुज है जिसमें भुजाओं $AC$ और $AB$ पर खींचे गए शीर्षलंब $BE$ और $CF$ बराबर हैं (आकृति देखिए)। दर्शाइए कि
$(i)$ $\Delta ABE \cong \Delta ACF$
$(ii)$ $AB = AC$,अर्थात $ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
$(i)$ $\Delta ABE \cong \Delta ACF$
$(ii)$ $AB = AC$,अर्थात $ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
(N/A) $(i)$ $\Delta ABE$ और $\Delta ACF$ में,हमारे पास है:
$\angle AEB = \angle AFC = 90^\circ$ (चूँकि $BE \perp AC$ और $CF \perp AB$)
$\angle A = \angle A$ (उभयनिष्ठ कोण)
$BE = CF$ (दिया है)
अतः,$AAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABE \cong \Delta ACF$ है।
$(ii)$ चूँकि $\Delta ABE \cong \Delta ACF$,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$AB = AC$ है।
इस प्रकार,$ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
$\angle AEB = \angle AFC = 90^\circ$ (चूँकि $BE \perp AC$ और $CF \perp AB$)
$\angle A = \angle A$ (उभयनिष्ठ कोण)
$BE = CF$ (दिया है)
अतः,$AAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABE \cong \Delta ACF$ है।
$(ii)$ चूँकि $\Delta ABE \cong \Delta ACF$,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$AB = AC$ है।
इस प्रकार,$ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
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$(i)$ $\Delta ABD \cong \Delta ACD$
$(ii)$ $\Delta ABP \cong \Delta ACP$
$(iii)$ $AP$,$\angle A$ और $\angle D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
$(iv)$ $AP$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है।
$(i)$ $\Delta ABD \cong \Delta ACD$
$(ii)$ $\Delta ABP \cong \Delta ACP$
$(iii)$ $AP$,$\angle A$ और $\angle D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
$(iv)$ $AP$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है।
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