$AD$ और $BC$ एक रेखाखंड $AB$ पर दो बराबर लंब हैं (आकृति देखिए)। दर्शाइए कि $CD$,$AB$ को समद्विभाजित करता है।
(N/A) दिया है: $AD \perp AB$,$BC \perp AB$ और $AD = BC$।
सिद्ध करना है: $CD$,$AB$ को समद्विभाजित करता है,अर्थात $OA = OB$।
उपपत्ति:
$\Delta OBC$ और $\Delta OAD$ में:
$1$. $\angle OBC = \angle OAD = 90^\circ$ (दिया है)
$2$. $\angle BOC = \angle AOD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$3$. $BC = AD$ (दिया है)
$AAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta OBC \cong \Delta OAD$।
अतः,$OB = OA$ ($c.p.c.t.$ द्वारा)।
चूंकि $OB = OA$,इसलिए $O$,$AB$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$CD$,$AB$ को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है: $CD$,$AB$ को समद्विभाजित करता है,अर्थात $OA = OB$।
उपपत्ति:
$\Delta OBC$ और $\Delta OAD$ में:
$1$. $\angle OBC = \angle OAD = 90^\circ$ (दिया है)
$2$. $\angle BOC = \angle AOD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$3$. $BC = AD$ (दिया है)
$AAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta OBC \cong \Delta OAD$।
अतः,$OB = OA$ ($c.p.c.t.$ द्वारा)।
चूंकि $OB = OA$,इसलिए $O$,$AB$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$CD$,$AB$ को समद्विभाजित करता है।
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$(i)$ $OB = OC$
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$(i)$ $\Delta AMC \cong \Delta BMD$
$(ii)$ $\angle DBC$ एक समकोण है।
$(iii)$ $\Delta DBC \cong \Delta ACB$
$(iv)$ $CM = \frac{1}{2} AB$
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$(ii)$ $\angle DBC$ एक समकोण है।
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