$AB$ और $CD$ एक चतुर्भुज $ABCD$ की क्रमशः सबसे छोटी और सबसे लंबी भुजाएँ हैं (आकृति देखें)। दर्शाइए कि $\angle A > \angle C$ और $\angle B > \angle D$ है।
(N/A) मान लीजिए कि हम $AC$ को मिलाते हैं।
$\Delta ABC$ में,चूँकि $AB$ चतुर्भुज $ABCD$ की सबसे छोटी भुजा है,इसलिए $AB < BC$ और $AB < AC$ होगा।
विशेष रूप से,$BC > AB$ है।
चूँकि बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है $\angle BAC > \angle BCA$ ........... $(1)$
$\Delta ACD$ में,चूँकि $CD$ चतुर्भुज $ABCD$ की सबसे लंबी भुजा है,इसलिए $CD > AD$ और $CD > AC$ होगा।
विशेष रूप से,$CD > AD$ है।
चूँकि बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है $\angle CAD > \angle ACD$ ........... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\angle BAC + \angle CAD) > (\angle BCA + \angle ACD)$
$\Rightarrow \angle A > \angle C$
इसी प्रकार,$BD$ को मिलाकर और $\Delta ABD$ तथा $\Delta BCD$ के लिए समान तर्क का उपयोग करके,हम दर्शा सकते हैं कि $\angle B > \angle D$ है।
$\Delta ABC$ में,चूँकि $AB$ चतुर्भुज $ABCD$ की सबसे छोटी भुजा है,इसलिए $AB < BC$ और $AB < AC$ होगा।
विशेष रूप से,$BC > AB$ है।
चूँकि बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है $\angle BAC > \angle BCA$ ........... $(1)$
$\Delta ACD$ में,चूँकि $CD$ चतुर्भुज $ABCD$ की सबसे लंबी भुजा है,इसलिए $CD > AD$ और $CD > AC$ होगा।
विशेष रूप से,$CD > AD$ है।
चूँकि बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है $\angle CAD > \angle ACD$ ........... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\angle BAC + \angle CAD) > (\angle BCA + \angle ACD)$
$\Rightarrow \angle A > \angle C$
इसी प्रकार,$BD$ को मिलाकर और $\Delta ABD$ तथा $\Delta BCD$ के लिए समान तर्क का उपयोग करके,हम दर्शा सकते हैं कि $\angle B > \angle D$ है।
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$\Delta ABC$ और $\Delta DBC$ एक ही आधार $BC$ पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं और शीर्ष $A$ और $D$ भुजा $BC$ के एक ही ओर स्थित हैं (आकृति देखें)। यदि $AD$ को बढ़ाने पर वह $BC$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो दर्शाइए कि:
$(i)$ $\Delta ABD \cong \Delta ACD$
$(ii)$ $\Delta ABP \cong \Delta ACP$
$(iii)$ $AP$,$\angle A$ और $\angle D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
$(iv)$ $AP$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है।
$(i)$ $\Delta ABD \cong \Delta ACD$
$(ii)$ $\Delta ABP \cong \Delta ACP$
$(iii)$ $AP$,$\angle A$ और $\angle D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
$(iv)$ $AP$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है।
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$(i)$ $OB = OC$
$(ii)$ $AO$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है।
$(i)$ $OB = OC$
$(ii)$ $AO$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है।
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