Mix Examples - Heron’s Formula Questions in Gujarati

(C) ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 290 \, m$,$b = 290 \, m$ અને $c = 400 \, m$ છે.
સૌ પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{290 + 290 + 400}{2} = \frac{980}{2} = 490 \, m$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{490(490-290)(490-290)(490-400)}$.
ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{490 \times 200 \times 200 \times 90}$.
ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{490 \times 90 \times 200^2}$.
ક્ષેત્રફળ = $200 \times \sqrt{44100}$.
ક્ષેત્રફળ = $200 \times 210 = 42000 \, m^2$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 13\, cm$,$b = 14\, cm$ અને $c = 15\, cm$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{(3 \times 7) \times (2^3) \times 7 \times (2 \times 3)}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{3^2 \times 7^2 \times 2^4}$
ક્ષેત્રફળ $= 3 \times 7 \times 2^2 = 21 \times 4 = 84\, cm^2$.

(A) $120 \, m$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$s = \frac{a + a + a}{2} = \frac{3a}{2} = \frac{3 \times 120}{2} = 180 \, m$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
અહીં $a = b = c = 120 \, m$ હોવાથી:
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{180(180-120)(180-120)(180-120)}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{180 \times 60 \times 60 \times 60}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{180 \times 60^3} = \sqrt{3 \times 60 \times 60^3} = \sqrt{3 \times 60^4}$
ક્ષેત્રફળ $= 60^2 \sqrt{3} = 3600 \sqrt{3} \, m^2$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 33 \, cm$,$b = 34 \, cm$ અને $c = 65 \, cm$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{33 + 34 + 65}{2} = \frac{132}{2} = 66 \, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{66(66 - 33)(66 - 34)(66 - 65)}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{66 \times 33 \times 32 \times 1}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{(2 \times 33) \times 33 \times (16 \times 2) \times 1}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{33^2 \times 2^2 \times 4^2} = 33 \times 2 \times 4 = 264 \, cm^2$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 510\,m$,$b = 520\,m$ અને $c$ છે।
પરિમિતિ $P = a + b + c = 1560\,m$.
$510 + 520 + c = 1560 \implies 1030 + c = 1560 \implies c = 530\,m$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = P/2 = 1560/2 = 780\,m$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{780(780-510)(780-520)(780-530)} = \sqrt{780 \times 270 \times 260 \times 250}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{78 \times 27 \times 26 \times 25 \times 10^4} = 1,17,000\,m^2$.
ખર્ચ $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{દર} = 1,17,000 \times 21 = \text{Rs. } 24,57,000$.

(D) નિયમિત ષટ્કોણ $6$ સમબાજુ ત્રિકોણનો બનેલો હોય છે,જેમાં દરેક બાજુની લંબાઈ $a = 12\,cm$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણની પરિમિતિ $= 6 \times a = 6 \times 12\,cm = 72\,cm$.
એક સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36\sqrt{3}\,cm^2$.
ષટ્કોણનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 6 \times 36\sqrt{3}\,cm^2 = 216\sqrt{3}\,cm^2$.
આમ,પરિમિતિ $72\,cm$ અને ક્ષેત્રફળ $216\sqrt{3}\,cm^2$ છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 51 \, cm$,$b = 52 \, cm$ અને $c = 101 \, cm$ છે.
સૌ પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{51 + 52 + 101}{2} = \frac{204}{2} = 102 \, cm$.
હવે,ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટે હેરોનનું સૂત્ર વાપરો:
$\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\text{Area} = \sqrt{102(102-51)(102-52)(102-101)}$
$\text{Area} = \sqrt{102 \times 51 \times 50 \times 1}$
$\text{Area} = \sqrt{(51 \times 2) \times 51 \times (25 \times 2)}$
$\text{Area} = \sqrt{51^2 \times 2^2 \times 5^2}$
$\text{Area} = 51 \times 2 \times 5 = 510 \, cm^2$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 13 \, cm$,$b = 13 \, cm$ અને $c = 10 \, cm$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s = (a + b + c) / 2 = (13 + 13 + 10) / 2 = 36 / 2 = 18 \, cm$ શોધો.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-13)(18-13)(18-10)} = \sqrt{18 \times 5 \times 5 \times 8} = \sqrt{3600} = 60 \, cm^2$.
હવે,$c = 10 \, cm$ પાયાને અનુરૂપ વેધ $h$ શોધવા માટે,ક્ષેત્રફળ $= (1/2) \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.
$60 = (1/2) \times 10 \times h \implies 60 = 5h \implies h = 12 \, cm$.

(C) ધારો કે સમાન બાજુઓ $a = 30 \, cm$ અને $b = 30 \, cm$ છે.
આપેલ પરિમિતિ $P = 84 \, cm$ હોવાથી,ત્રીજી બાજુ $c = P - (a + b) = 84 - (30 + 30) = 84 - 60 = 24 \, cm$ મળે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = P / 2 = 84 / 2 = 42 \, cm$ થાય.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$A = \sqrt{42(42-30)(42-30)(42-24)}$.
$A = \sqrt{42 \times 12 \times 12 \times 18}$.
$A = 12 \sqrt{42 \times 18} = 12 \sqrt{756}$.
$756 = 36 \times 21$ હોવાથી,$A = 12 \times 6 \sqrt{21} = 72 \sqrt{21} \, cm^2$ મળે.

(D) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નો વિકર્ણ $BD$ તેને બે અતિવ્યાપી ન હોય તેવા ત્રિકોણો,$\Delta ABD$ અને $\Delta BCD$ માં વિભાજિત કરે છે.
$\Delta ABD$ માટે,બાજુઓ $a = 40 \, cm$,$b = 29 \, cm$ અને $c = 29 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_1 = \frac{40 + 29 + 29}{2} = \frac{98}{2} = 49 \, cm$.
$\Delta ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_1(s_1 - a)(s_1 - b)(s_1 - c)} = \sqrt{49(49 - 40)(49 - 29)(49 - 29)} = \sqrt{49 \times 9 \times 20 \times 20} = 7 \times 3 \times 20 = 420 \, cm^2$.
$\Delta BCD$ માટે,બાજુઓ $a = 29 \, cm$,$b = 48 \, cm$ અને $c = 35 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_2 = \frac{29 + 48 + 35}{2} = \frac{112}{2} = 56 \, cm$.
$\Delta BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_2(s_2 - a)(s_2 - b)(s_2 - c)} = \sqrt{56(56 - 29)(56 - 48)(56 - 35)} = \sqrt{56 \times 27 \times 8 \times 21} = \sqrt{(8 \times 7) \times (9 \times 3) \times 8 \times (3 \times 7)} = \sqrt{8^2 \times 7^2 \times 3^2 \times 9} = 8 \times 7 \times 3 \times 3 = 504 \, cm^2$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \Delta ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $+ \Delta BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 420 + 504 = 924 \, cm^2$.

(A) $\triangle ABD$ માં, $\angle A = 90^{\circ}$, $AB = 15 \text{ cm}$ અને $AD = 8 \text{ cm}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ, $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \text{ cm}$.
કાટકોણ $\triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 15 \times 8 = 60 \text{ cm}^2$.
$\triangle BCD$ માં, બાજુઓ $a = 17 \text{ cm}$, $b = 25 \text{ cm}$ અને $c = 12 \text{ cm}$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{17 + 25 + 12}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ cm}$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\triangle BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-17)(27-25)(27-12)} = \sqrt{27 \times 10 \times 2 \times 15} = \sqrt{8100} = 90 \text{ cm}^2$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $+ \triangle BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 60 + 90 = 150 \text{ cm}^2$.

(B) ધારો કે $ABCD$ એ પ્લોટ છે જે વિકર્ણ $BD = 72 \, m$ દ્વારા બે સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજિત થાય છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન હોય છે.
પરિમિતિ $= 4 \times \text{બાજુ} = 340 \, m$.
તેથી,બાજુ $= \frac{340}{4} = 85 \, m$.
$\Delta ABD$ માં,બાજુઓ $a = 85 \, m$,$b = 85 \, m$ અને $c = 72 \, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $(s) = \frac{85 + 85 + 72}{2} = \frac{242}{2} = 121 \, m$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{121(121-85)(121-85)(121-72)}$
$= \sqrt{121 \times 36 \times 36 \times 49}$
$= 11 \times 36 \times 7 = 2772 \, m^2$.
વિકર્ણ સમબાજુ ચતુષ્કોણને બે સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરતું હોવાથી,સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \Delta ABD$ નું ક્ષેત્રફળ
$= 2 \times 2772 = 5544 \, m^2$.

(C) ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: $\triangle ABD$ અને $\triangle BCD$.
$\triangle ABD$ માટે,બાજુઓ $a = 9 \, cm$,$b = 12 \, cm$ અને $c = 15 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_1 = (9 + 12 + 15) / 2 = 36 / 2 = 18 \, cm$.
$\triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_1(s_1-a)(s_1-b)(s_1-c)} = \sqrt{18(18-9)(18-12)(18-15)} = \sqrt{18 \times 9 \times 6 \times 3} = \sqrt{2916} = 54 \, cm^2$.
$\triangle BCD$ માટે,બાજુઓ $a = 13 \, cm$,$b = 14 \, cm$ અને $c = 15 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_2 = (13 + 14 + 15) / 2 = 42 / 2 = 21 \, cm$.
$\triangle BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_2(s_2-a)(s_2-b)(s_2-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84 \, cm^2$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 54 + 84 = 138 \, cm^2$.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણ $AC$ ચતુષ્કોણને બે એકરૂપ ત્રિકોણો,$\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ માં વિભાજિત કરે છે.
આપણે હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ શોધીશું.
$\triangle ABC$ ની બાજુઓ $a = 9 \, cm$,$b = 10 \, cm$ અને $c = 17 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = (a + b + c) / 2 = (9 + 10 + 17) / 2 = 36 / 2 = 18 \, cm$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-9)(18-10)(18-17)} = \sqrt{18 \times 9 \times 8 \times 1} = \sqrt{1296} = 36 \, cm^2$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle ABC$ ના ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 36 = 72 \, cm^2$ થાય.

(A) $1$. વિકર્ણ $AC$ દોરીને ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરો.
$2$. $\triangle ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$3$. $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 20 \times 15 = 150 \, cm^2$.
$4$. $\triangle ABC$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$. તેથી,$AC = 25 \, cm$.
$5$. હવે,$\triangle ADC$ માં,બાજુઓ $a = 25 \, cm$,$b = 12 \, cm$,$c = 17 \, cm$ છે. અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{25 + 12 + 17}{2} = \frac{54}{2} = 27 \, cm$.
$6$. $\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-25)(27-12)(27-17)} = \sqrt{27 \times 2 \times 15 \times 10} = \sqrt{8100} = 90 \, cm^2$.
$7$. ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle ABC) + \text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle ADC) = 150 + 90 = 240 \, cm^2$.

(B) ચતુષ્કોણ $PQRS$ ને વિકર્ણ $PR = 51 \, cm$ દ્વારા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: $\triangle PQR$ અને $\triangle PSR$.
$\triangle PQR$ માટે,બાજુઓ $a = 27 \, cm$,$b = 30 \, cm$,$c = 51 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_1 = (27 + 30 + 51) / 2 = 108 / 2 = 54 \, cm$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{s_1(s_1-a)(s_1-b)(s_1-c)} = \sqrt{54(54-27)(54-30)(54-51)} = \sqrt{54 \times 27 \times 24 \times 3} = \sqrt{104976} = 324 \, cm^2$.
$\triangle PSR$ માટે,બાજુઓ $a = 52 \, cm$,$b = 53 \, cm$,$c = 51 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_2 = (52 + 53 + 51) / 2 = 156 / 2 = 78 \, cm$.
$\triangle PSR$ નું ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{s_2(s_2-a)(s_2-b)(s_2-c)} = \sqrt{78(78-52)(78-53)(78-51)} = \sqrt{78 \times 26 \times 25 \times 27} = \sqrt{1368900} = 1170 \, cm^2$.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ = $324 + 1170 = 1494 \, cm^2$.

(C) ચતુષ્કોણ $XYZW$ ને વિકર્ણ $XZ$ દ્વારા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: $\triangle XYZ$ અને $\triangle XZW$.
$\triangle XYZ$ માટે,બાજુઓ $a = 25 \, m$,$b = 60 \, m$ અને $c = 65 \, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_1 = (25 + 60 + 65) / 2 = 150 / 2 = 75 \, m$.
$\triangle XYZ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_1(s_1-a)(s_1-b)(s_1-c)} = \sqrt{75(75-25)(75-60)(75-65)} = \sqrt{75 \times 50 \times 15 \times 10} = \sqrt{562500} = 750 \, m^2$.
$\triangle XZW$ માટે,બાજુઓ $a = 65 \, m$,$b = 33 \, m$ અને $c = 34 \, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_2 = (65 + 33 + 34) / 2 = 132 / 2 = 66 \, m$.
$\triangle XZW$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_2(s_2-a)(s_2-b)(s_2-c)} = \sqrt{66(66-65)(66-33)(66-34)} = \sqrt{66 \times 1 \times 33 \times 32} = \sqrt{69696} = 264 \, m^2$.
ચતુષ્કોણ $XYZW$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \text{Area}(\triangle XYZ) + \text{Area}(\triangle XZW) = 750 + 264 = 1014 \, m^2$.

(D) ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને વિકર્ણ $AC = 48 \, cm$ દ્વારા બે ત્રિકોણ $\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
$\triangle ABC$ માટે,બાજુઓ $a = 29 \, cm$,$b = 35 \, cm$ અને $c = 48 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_1 = (29 + 35 + 48) / 2 = 112 / 2 = 56 \, cm$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_1(s_1-a)(s_1-b)(s_1-c)} = \sqrt{56(56-29)(56-35)(56-48)} = \sqrt{56 \times 27 \times 21 \times 8} = \sqrt{254016} = 504 \, cm^2$.
$\triangle ADC$ માટે,બાજુઓ $a = 50 \, cm$,$b = 14 \, cm$ અને $c = 48 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_2 = (50 + 14 + 48) / 2 = 112 / 2 = 56 \, cm$.
$\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_2(s_2-a)(s_2-b)(s_2-c)} = \sqrt{56(56-50)(56-14)(56-48)} = \sqrt{56 \times 6 \times 42 \times 8} = \sqrt{112896} = 336 \, cm^2$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \text{Area}(\triangle ABC) + \text{Area}(\triangle ADC) = 504 + 336 = 840 \, cm^2$.

(A) $1$. ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરવા માટે $AC$ ને જોડો: $\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$.
$2$. કાટકોણ $\triangle ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$. તેથી,$AC = \sqrt{1681} = 41 \, cm$.
$3$. $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 40 \times 9 = 180 \, cm^2$.
$4$. $\triangle ADC$ માટે,બાજુઓ $a = 41 \, cm$,$b = 28 \, cm$ અને $c = 15 \, cm$ છે. અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{41 + 28 + 15}{2} = \frac{84}{2} = 42 \, cm$.
$5$. $\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{42(42-41)(42-28)(42-15)} = \sqrt{42 \times 1 \times 14 \times 27} = \sqrt{(14 \times 3) \times 14 \times (9 \times 3)} = \sqrt{14^2 \times 3^2 \times 3^2} = 14 \times 3 \times 3 = 126 \, cm^2$.
$6$. ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle ABC) + \text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle ADC) = 180 + 126 = 306 \, cm^2$.

(B) પગલું $1$: $a = 10 \, cm$,$b = 17 \, cm$ અને $c = 21 \, cm$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ શોધો.
$s = (a + b + c) / 2 = (10 + 17 + 21) / 2 = 48 / 2 = 24 \, cm$.
પગલું $2$: હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \times 14 \times 7 \times 3} = \sqrt{7056} = 84 \, cm^2$.
પગલું $3$: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ જેટલું જ છે,તેથી $\text{ક્ષેત્રફળ} = 84 \, cm^2$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$ છે.
અહીં $\text{પાયો} = 12 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $12 \times \text{ઊંચાઈ} = 84$.
$\text{ઊંચાઈ} = 84 / 12 = 7 \, cm$.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ તેના વિકર્ણ દ્વારા બે એકરૂપ ત્રિકોણમાં વિભાજિત થાય છે. ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 12 \, cm$,$b = 17 \, cm$ અને $c = 25 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય: $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 17 + 25}{2} = \frac{54}{2} = 27 \, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,એક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-12)(27-17)(27-25)} = \sqrt{27 \times 15 \times 10 \times 2} = \sqrt{8100} = 90 \, cm^2$ થાય.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \times 90 = 180 \, cm^2$ થાય.
$3$ રૂપિયા પ્રતિ $cm^2$ ના દરે રંગકામ કરવાનો કુલ ખર્ચ $180 \times 3 = 540$ રૂપિયા થાય.

(D) $1$. સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $680 \, m$ છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,બાજુની લંબાઈ $a = 680 / 4 = 170 \, m$ થાય.
$2$. ધારો કે વિકર્ણો $d_1 = 300 \, m$ અને $d_2$ છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.
$3$. સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ અને વિકર્ણોના અડધા ભાગ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લેતા,$(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2 = a^2$ મળે.
$4$. કિંમતો મૂકતા: $(300/2)^2 + (d_2/2)^2 = 170^2$,જે $150^2 + (d_2/2)^2 = 28900$ આપે છે.
$5$. $22500 + (d_2/2)^2 = 28900$,તેથી $(d_2/2)^2 = 6400$,જેનો અર્થ છે કે $d_2/2 = 80 \, m$.
$6$. આમ,$d_2 = 160 \, m$.
$7$. સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $(1/2) \times d_1 \times d_2 = (1/2) \times 300 \times 160 = 24000 \, m^2$ થાય.

(A) પતંગાકાર ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ બે ત્રિકોણ,$\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ નો બનેલો છે,જે વિકર્ણ $AC$ પર જોડાયેલા છે.
$AB = AD = 12 \, cm$ અને $CB = CD = 17 \, cm$ હોવાથી,$SSS$ એકરૂપતા મુજબ $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ થાય.
$\triangle ABC$ માટે,બાજુઓ $a = 12 \, cm, b = 17 \, cm, c = 25 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = (12 + 17 + 25) / 2 = 54 / 2 = 27 \, cm$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-12)(27-17)(27-25)} = \sqrt{27 \times 15 \times 10 \times 2} = \sqrt{8100} = 90 \, cm^2$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 90 = 180 \, cm^2$.
ધારો કે $BD$ એ $AC$ ને $O$ બિંદુએ છેદે છે. $AC \perp BD$. $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= (1/2) \times AC \times BO = 90$.
$(1/2) \times 25 \times BO = 90 \implies BO = 180 / 25 = 7.2 \, cm$.
$BD = 2 \times BO$ હોવાથી,$BD = 2 \times 7.2 = 14.4 \, cm$.

(B) $1$. $AD$ ને સમાંતર રેખા $CE$ દોરો જેથી $E$ એ $AB$ પર હોય। $AD \parallel CE$ અને $AE \parallel CD$ હોવાથી, $AECD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે。
$2$. તેથી, $AE = CD = 20 \, cm$ અને $CE = AD = 9 \, cm$.
$3$. $EB$ ની લંબાઈ $AB - AE = 30 - 20 = 10 \, cm$ થાય.
$4$. $\triangle CEB$ માં, બાજુઓ $17 \, cm$, $9 \, cm$ અને $10 \, cm$ છે। અર્ધ-પરિમિતિ $s = (17 + 9 + 10) / 2 = 18 \, cm$.
$5$. હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\triangle CEB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-17)(18-9)(18-10)} = \sqrt{18 \times 1 \times 9 \times 8} = \sqrt{1296} = 36 \, cm^2$.
$6$. $\triangle CEB$ નું ક્ષેત્રફળ $(1/2) \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = (1/2) \times 10 \times h = 36$ દ્વારા પણ મળે છે, તેથી $h = 7.2 \, cm$.
$7$. સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= (1/2) \times (AB + CD) \times h = (1/2) \times (30 + 20) \times 7.2 = 25 \times 7.2 = 180 \, cm^2$.

(C) ધારો કે સમાન બાજુઓ $3x$ છે અને પાયો $2x$ છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ એ બધી બાજુઓનો સરવાળો છે: $3x + 3x + 2x = 32 \, cm$.
$8x = 32 \implies x = 4$.
આમ,બાજુઓ $a = 12 \, cm$,$b = 12 \, cm$ અને $c = 8 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{32}{2} = 16 \, cm$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{16(16-12)(16-12)(16-8)} = \sqrt{16 \times 4 \times 4 \times 8}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{16 \times 16 \times 8} = 16 \times 2\sqrt{2} = 32\sqrt{2} \, cm^2$.

(D) $1$. સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $40 \, cm$ છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,બાજુની લંબાઈ $a = 40 / 4 = 10 \, cm$ થાય.
$2$. ધારો કે વિકર્ણો $d_1 = 12 \, cm$ અને $d_2$ છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે. વિકર્ણો દ્વારા બનતા ચાર કાટકોણ ત્રિકોણમાંથી એક પર પાયથાગોરસનો પ્રમેય વાપરતા,$(d_2 / 2)^2 + (d_1 / 2)^2 = a^2$ મળે.
$3$. $(d_2 / 2)^2 + (12 / 2)^2 = 10^2 \implies (d_2 / 2)^2 + 36 = 100 \implies (d_2 / 2)^2 = 64 \implies d_2 / 2 = 8 \implies d_2 = 16 \, cm$.
$4$. સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $(d_1 \times d_2) / 2 = (12 \times 16) / 2 = 96 \, cm^2$ થાય.
$5$. શીટ બંને બાજુ છાપવાની હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $96 \times 2 = 192 \, cm^2$ થાય.
$6$. છાપવાનો કુલ ખર્ચ $192 \times 5 = Rs. \, 960$ થાય.

(A) સમલંબ ચતુષ્કોણ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,$PQ$ પર બિંદુ $T$ માંથી લંબ $ST$ દોરો.
$PQ \parallel SR$ અને $QR \perp PQ$ હોવાથી,$QR \perp SR$ પણ થાય. આમ,$TQRS$ એક લંબચોરસ છે.
આપેલ છે કે $PQ = 12 \, m$ અને $SR = 7 \, m$,તેથી $TQ = SR = 7 \, m$.
તેથી,$PT = PQ - TQ = 12 \, m - 7 \, m = 5 \, m$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PTS$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$TS^2 = PS^2 - PT^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
તેથી,$TS = \sqrt{144} = 12 \, m$.
$TQRS$ લંબચોરસ હોવાથી,$QR = TS = 12 \, m$.
સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{વેધ}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (PQ + SR) \times QR$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (12 + 7) \times 12 = 19 \times 6 = 114 \, m^2$.

(A) $(1)$ ખોટું. $10 \, cm$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ $3 \times 10 = 30 \, cm$ થાય. તેથી,અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{30}{2} = 15 \, cm$ થાય,$30 \, cm$ નહીં.
$(2)$ ખોટું. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં બે સમાન બાજુઓ $20 \, cm$ છે. ત્રીજી બાજુ વગર અર્ધ-પરિમિતિ $20 \, cm$ હોઈ શકે નહીં. જો ત્રીજી બાજુ $0$ હોય (જે અશક્ય છે),તો પણ અર્ધ-પરિમિતિ $20 \, cm$ થાય. વાસ્તવમાં,અર્ધ-પરિમિતિ $20 \, cm$ કરતા વધારે હશે.
$(3)$ સાચું. કાટકોણ ત્રિકોણમાં $AB = 6 \, cm$ અને $BC = 8 \, cm$ હોય,તો કર્ણ $AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 \, cm$ થાય. પરિમિતિ $6 + 8 + 10 = 24 \, cm$ થાય. તેથી,અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{24}{2} = 12 \, cm$ થાય.

(A) $(1)$ સાચું: $a$ બાજુવાળા ચોરસના વિકર્ણ $d$ નું સૂત્ર $d = a \sqrt{2}$ છે. $a = 20 \, cm$ માટે,$d = 20 \sqrt{2} \, cm$ થાય. તેથી,આ વિધાન સાચું છે.
$(2)$ ખોટું: $a$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે. જો બાજુ બમણી કરવામાં આવે $(a' = 2a)$,તો નવું ક્ષેત્રફળ $A'$ એ $A' = \frac{\sqrt{3}}{4} (2a)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (4a^2) = 4 \times A$ થાય. ક્ષેત્રફળ મૂળ ક્ષેત્રફળ કરતાં $4$ ગણું થાય છે,બમણું નહીં.

(D) ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 15 \text{ cm}$,$b = 17 \text{ cm}$ અને $c = 20 \text{ cm}$ આપેલી છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની બાજુઓનો સરવાળો છે: $P = a + b + c = 15 + 17 + 20 = 52 \text{ cm}$.
અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ એ પરિમિતિના અડધા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $s = \frac{P}{2} = \frac{52}{2} = 26 \text{ cm}$.
તેથી,ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $26 \text{ cm}$ છે.

(A) હેરોનના સૂત્ર મુજબ,$a$,$b$ અને $c$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $s$ એ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી $s = \frac{a+b+c}{2}$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
તેથી,સાચું સૂત્ર $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ છે.

(B) બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણમાં,વેધ પાયાને $\frac{a}{2}$ લંબાઈના બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$h^{2} + (\frac{a}{2})^{2} = a^{2}$
$h^{2} + \frac{a^{2}}{4} = a^{2}$
$h^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4}$
$h^{2} = \frac{3a^{2}}{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$
આમ,વેધની લંબાઈ $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ છે.

(C) $a, b$ અને $c$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની બાજુઓનો સરવાળો છે,જે $a+b+c$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,અર્ધપરિમિતિ $(s)$ એ પરિમિતિનું અડધું માપ છે.
તેથી,$s = \frac{a+b+c}{2}$.

(D) સૌ પ્રથમ,નોંધો કે બાજુઓ $6 \, cm$,$8 \, cm$ અને $10 \, cm$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે કારણ કે $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ થાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
અર્ધ-પરિમિતિ $s = (6 + 8 + 10) / 2 = 24 / 2 = 12 \, cm$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{12 \times 6 \times 4 \times 2} = \sqrt{576} = 24 \, cm^{2}$.

(A) બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+a+a}{2} = \frac{3a}{2}$ થાય છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું હેરોનનું સૂત્ર $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ છે.
અહીં $a = b = c$ હોવાથી,સૂત્ર $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-a)(s-a)} = \sqrt{s(s-a)^3}$ બને છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)^2 \cdot (s-a)} = (s-a) \sqrt{s(s-a)}$ મળે છે.

(B) આપણને અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2}$ આપેલ છે.
આપણી પાસે નીચે મુજબના સમીકરણો છે:
$s - a = 10 \implies a = s - 10$
$s - b = 15 \implies b = s - 15$
$s - c = 12 \implies c = s - 12$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(s - a) + (s - b) + (s - c) = 10 + 15 + 12$
$3s - (a + b + c) = 37$
કારણ કે $a + b + c = 2s$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$3s - 2s = 37$
$s = 37$
આમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની કિંમત $37 \, cm$ છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $3x$,$4x$ અને $6x$ છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની બાજુઓનો સરવાળો છે: $P = 3x + 4x + 6x = 13x$.
અર્ધપરિમિતિ $s$ એ $s = P / 2 = 13x / 2$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે અર્ધપરિમિતિ $s = 39 \, cm$,તેથી:
$13x / 2 = 39$
$13x = 78$
$x = 78 / 13 = 6$.
ત્રિકોણની બાજુઓ $3(6) = 18 \, cm$,$4(6) = 24 \, cm$ અને $6(6) = 36 \, cm$ છે.
સૌથી મોટી બાજુ $36 \, cm$ છે.

(D) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ $a$,$b$ અને $c$ છે,જ્યાં $c$ કર્ણ છે.
આપેલ છે: $c = 29\,cm$ અને $a = 21\,cm$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $a^2 + b^2 = c^2$.
$21^2 + b^2 = 29^2$.
$441 + b^2 = 841$.
$b^2 = 841 - 441 = 400$.
$b = \sqrt{400} = 20\,cm$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $P = a + b + c = 21 + 20 + 29 = 70\,cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{P}{2} = \frac{70}{2} = 35\,cm$ થાય.

(A) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં,ધારો કે $AB = AC = 13 \, cm$ અને $BC = 24 \, cm$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ માંથી પાયા $BC$ પર વેધ $AD$ દોરો. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,વેધ $AD$ પાયા $BC$ ને દુભાગે છે.
તેથી,$BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$
$13^2 = AD^2 + 12^2$
$169 = AD^2 + 144$
$AD^2 = 169 - 144 = 25$
$AD = \sqrt{25} = 5 \, cm$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times BC \times AD$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 24 \times 5 = 12 \times 5 = 60 \, cm^2$.

(B) ધારો કે ચોરસ $PQRS$ ની બાજુનું માપ $a \, cm$ છે.
ચોરસમાં,વિકર્ણ $d$ અને બાજુ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $d = a\sqrt{2}$ છે.
અહીં વિકર્ણ $PR = 10 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $a\sqrt{2} = 10$.
$a$ માટે ઉકેલતા,$a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \, cm$ મળે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\text{Area} = a^2$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,$\text{Area} = (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50 \, cm^2$ મળે.
વૈકલ્પિક રીતે,ચોરસનું ક્ષેત્રફળ વિકર્ણ $d$ નો ઉપયોગ કરીને $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d^2$ સૂત્ર દ્વારા પણ શોધી શકાય છે.
$d = 10 \, cm$ મૂકતા,$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times 100 = 50 \, cm^2$ થાય.

(C) ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ વિકર્ણનો ઉપયોગ કરીને તેને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરીને શોધી શકાય છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{Area}(\triangle ABC) + \text{Area}(\triangle ADC)$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 20 \times 8 = 80 \, cm^2$.
$\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 20 \times 12 = 120 \, cm^2$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 80 + 120 = 200 \, cm^2$.

(D) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુનું માપ $a$ છે. પરિમિતિ $100\,cm$ હોવાથી,$4a = 100\,cm$,તેથી $a = 25\,cm$ મળે.
ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $d_1 = 48\,cm$ અને $d_2$ છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.
આથી,સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુ કર્ણ તરીકે અને વિકર્ણોના અડધા ભાગ અન્ય બે બાજુઓ તરીકે લઈને એક કાટકોણ ત્રિકોણ બને છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $(a)^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $(25)^2 = (48/2)^2 + (d_2/2)^2$.
$625 = (24)^2 + (d_2/2)^2$.
$625 = 576 + (d_2/2)^2$.
$(d_2/2)^2 = 625 - 576 = 49$.
$d_2/2 = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,$d_2 = 7 \times 2 = 14\,cm$.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
અહીં,પાયો $AB = 16 \, cm$ અને તેને અનુરૂપ વેધ $DM = 12 \, cm$ આપેલ છે.
તેથી,$\text{ક્ષેત્રફળ} = 16 \, cm \times 12 \, cm = 192 \, cm^{2}$.

(B) સૌ પ્રથમ,નોંધો કે $AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = AC^2$ થાય છે.
બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના વર્ગ જેટલો હોવાથી,$\Delta ABC$ એ $B$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \, cm^2$ તરીકે ગણી શકાય.
વૈકલ્પિક રીતે,$AC$ ને પાયો અને $BM$ ને વેધ તરીકે લેતા,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times AC \times BM = \frac{1}{2} \times 10 \times BM = 5 \times BM$ થાય.
બંને ક્ષેત્રફળોને સરખાવતા: $5 \times BM = 24$.
તેથી,$BM = \frac{24}{5} = 4.8 \, cm$ મળે છે.

(C) ચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની બાજુની લંબાઈનો પોતાની સાથે ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે. તેથી, ચોરસના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = (\text{બાજુ})^{2}$ છે.

(D) બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,પાયો $a$ છે અને વેધ $h$ પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે: $h = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{3a^2/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times a \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની લંબાઈ અને પહોળાઈના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $=$ $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$.

(A) સમબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$,જ્યાં $d_1$ અને $d_2$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણના બે વિકર્ણોની લંબાઈ છે.
તેથી,સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times$ તેના વિકર્ણોનો ગુણાકાર થાય છે.

(B) ચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની બાજુના માપનો ઉપયોગ કરીને $Area = side^2$ તરીકે ગણી શકાય છે. જો કે,જો વિકર્ણ $(d)$ ની લંબાઈ આપવામાં આવી હોય,તો ક્ષેત્રફળ $Area = \frac{d^2}{2}$ તરીકે ગણવામાં આવે છે. તેથી,ખૂટતો શબ્દ વિકર્ણ છે.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેના પાયા અને તે પાયા પરના અનુરૂપ વેધ (ઊંચાઈ) ના ગુણાકાર દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. તેથી, $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{અનુરૂપ વેધ}$.