Mix Examples - Heron’s Formula Questions in Gujarati

(D) હેરોનનું સૂત્રમાં,$a$,$b$ અને $c$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$s$ એ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે,જેની ગણતરી $s = \frac{a+b+c}{2}$ તરીકે કરવામાં આવે છે.

(A) જ્યારે ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓના માપ આપેલા હોય ત્યારે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે.
ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a$,$b$ અને $c$ છે.
સૌ પ્રથમ,ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $s$ શોધો,જે $s = \frac{a+b+c}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્યારબાદ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.

(B) ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કાટખૂણો બનાવતી બે બાજુઓ પાયો અને વેધ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓનો ગુણાકાર}$ થાય છે.

(C) સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h$,જ્યાં $a$ અને $b$ એ સમાંતર બાજુઓની લંબાઈ છે અને $h$ એ તેમની વચ્ચેનું લંબ અંતર (ઊંચાઈ) છે.
તેથી,સાચું સૂત્ર $\frac{1}{2} \times \text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો} \times \text{સમાંતર બાજુઓ વચ્ચેનું અંતર}$ છે.

(D) બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $Area = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
$a_1 = 16\,cm$ બાજુ ધરાવતા ત્રિકોણ માટે,ક્ષેત્રફળ $A_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} (16)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 256$ થાય.
$a_2 = 8\,cm$ બાજુ ધરાવતા ત્રિકોણ માટે,ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (8)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64$ થાય.
$A_1$ એ $A_2$ કરતા કેટલા ગણું છે તે શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તર લઈએ: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} \times 256}{\frac{\sqrt{3}}{4} \times 64} = \frac{256}{64} = 4$.
આમ,$16\,cm$ બાજુ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $8\,cm$ બાજુ ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતા $4$ ગણું છે.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુનું માપ $a = 10\,cm$ છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $P = a + a + a = 3a$ થાય.
$P = 3 \times 10 = 30\,cm$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ એ પરિમિતિના અડધા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$s = \frac{P}{2} = \frac{30}{2} = 15\,cm$.

(B) સૌ પ્રથમ,નોંધો કે બાજુઓના માપ $12 \, cm$,$16 \, cm$ અને $20 \, cm$ એ પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી બનાવે છે કારણ કે $12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$ થાય છે.
સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ અન્ય બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોવાથી,આ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
પાયો $12 \, cm$ અને વેધ $16 \, cm$ લેતા,આપણને મળે: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 6 \times 16 = 96 \, cm^2$.

(C) ત્રિકોણની આપેલી બાજુઓ $a = 13 \, cm$, $b = 14 \, cm$ અને $c = 15 \, cm$ છે.
પ્રથમ, અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \, cm$.
હવે, ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટે હેરોનનું સૂત્ર વાપરો:
$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$\text{Area} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}$
$\text{Area} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}$
$\text{Area} = \sqrt{(3 \times 7) \times (2^3) \times 7 \times (2 \times 3)}$
$\text{Area} = \sqrt{2^4 \times 3^2 \times 7^2}$
$\text{Area} = 2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 21 = 84 \, cm^2$.

(D) સમબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટેનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ છે,જ્યાં $d_1$ અને $d_2$ એ વિકર્ણોની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $d_1 = 40 \, cm$ અને $d_2 = 42 \, cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 40 \times 42$
$\text{Area} = 20 \times 42 = 840 \, cm^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $d_1 = 16\,cm$ અને $d_2 = 30\,cm$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે $(90^{\circ})$.
ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુ $a$ છે. વિકર્ણો સમબાજુ ચતુષ્કોણને ચાર એકરૂપ કાટકોણ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
આ ત્રિકોણની બાજુઓ વિકર્ણોની લંબાઈથી અડધી હોય છે: $d_1/2 = 8\,cm$ અને $d_2/2 = 15\,cm$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $a^2 = (8)^2 + (15)^2$.
$a^2 = 64 + 225 = 289$.
$a = \sqrt{289} = 17\,cm$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ = $4 \times \text{બાજુ} = 4 \times 17 = 68\,cm$.

(B) સૌ પ્રથમ,પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને તપાસો કે શું આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે: $AB^2 + BC^2 = 20^2 + 48^2 = 400 + 2304 = 2704$
અહીં $AC^2 = 52^2 = 2704$ છે,તેથી $AB^2 + BC^2 = AC^2$ થાય છે.
આમ,$\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં પાયો $BC = 48 \, cm$ અને વેધ (ઊંચાઈ) $AB = 20 \, cm$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 48 \times 20 = 24 \times 20 = 480 \, cm^2$.

(C) સૌ પ્રથમ,પાયથાગોરસના પ્રમેય દ્વારા ચકાસો કે શું આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે: $12^2 + 35^2 = 144 + 1225 = 1369$. કારણ કે $37^2 = 1369$ થાય છે,તેથી આ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
પાયો $12 \ cm$ અને વેધ $35 \ cm$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 12 \times 35 = 6 \times 35 = 210 \ cm^2$.

(D) ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $s$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$s = \frac{a + b + c}{2}$
અહીં આપેલ કિંમતો $a = 15 \, cm$,$b = 20 \, cm$ અને $s = 31 \, cm$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$31 = \frac{15 + 20 + c}{2}$
$31 \times 2 = 35 + c$
$62 = 35 + c$
$c = 62 - 35$
$c = 27 \, cm$
આમ,$c$ ની કિંમત $27 \, cm$ છે.

(A) ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 20 \, cm$,$b = 24 \, cm$ અને $c = 32 \, cm$ છે.
ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $s$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$s = \frac{a + b + c}{2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$s = \frac{20 + 24 + 32}{2}$
$s = \frac{76}{2}$
$s = 38 \, cm$
આમ,ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $38 \, cm$ છે.