Mix Examples - Heron’s Formula Questions in Gujarati

(A) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ છે જેમાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે.
આપેલ છે: પાયો $BC = 8 \, cm$ અને કર્ણ $AC = 10 \, cm$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
કિંમતો મૂકતા: $10^2 = AB^2 + 8^2$.
$100 = AB^2 + 64$.
$AB^2 = 100 - 64 = 36$.
$AB = \sqrt{36} = 6 \, cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \, cm^2$.

(B) ધારો કે સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓ $a \, cm$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પાયો $= a$ અને વેધ $= a$ થશે.
તેથી,$\frac{1}{2} \times a \times a = 8$.
$a^{2} = 16$,જે આપણને $a = 4 \, cm$ આપે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણ $h = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \, cm$ થાય.

(C) સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 3a$ છે,જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $3a = 60 \, m$,તેથી બાજુની લંબાઈ $a = 60 / 3 = 20 \, m$ મળે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
સૂત્રમાં $a = 20 \, m$ મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (20)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 400 = 100 \sqrt{3} \, m^2$.

(D) આપેલ છે કે,ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ $a = 56 \ cm$,$b = 60 \ cm$ અને $c = 52 \ cm$ છે.
સૌ પ્રથમ,ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ ની ગણતરી કરીએ:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{56 + 60 + 52}{2} = \frac{168}{2} = 84 \ cm$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{84(84 - 56)(84 - 60)(84 - 52)}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{84 \times 28 \times 24 \times 32}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{1806336} = 1344 \ cm^2$.
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $1344 \ cm^2$ છે.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2$ છે.
અહીં બાજુનું માપ $2\sqrt{3} \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2\sqrt{3})^2$
$= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (4 \times 3)$
$= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12$
$= 3\sqrt{3} \, cm^2$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 3 \times 1.732 = 5.196 \, cm^2$.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2$ છે.
અહીં ક્ષેત્રફળ $9 \sqrt{3} \text{ cm}^2$ આપેલું છે,તેથી:
$9 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2$.
બંને બાજુ $\sqrt{3}$ વડે ભાગતા:
$9 = \frac{1}{4} \times (\text{બાજુ})^2$.
બંને બાજુ $4$ વડે ગુણતા:
$(\text{બાજુ})^2 = 36$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\text{બાજુ} = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}$.

(C) સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2$ છે.
અહીં ક્ષેત્રફળ $16 \sqrt{3} \, cm^{2}$ આપેલું છે,તેથી:
$16 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2$.
બંને બાજુ $\sqrt{3}$ વડે ભાગતા:
$16 = \frac{1}{4} \times (\text{બાજુ})^2$.
$4$ વડે ગુણતા:
$(\text{બાજુ})^2 = 16 \times 4 = 64$.
વર્ગમૂળ લેતા:
$\text{બાજુ} = \sqrt{64} = 8 \, cm$.
સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ $= 3 \times \text{બાજુ}$ થાય:
$\text{પરિમિતિ} = 3 \times 8 = 24 \, cm$.

(D) ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 35 \text{ cm}$,$b = 54 \text{ cm}$ અને $c = 61 \text{ cm}$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{35 + 54 + 61}{2} = \frac{150}{2} = 75 \text{ cm}$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{75(75-35)(75-54)(75-61)}$
$= \sqrt{75 \times 40 \times 21 \times 14} = \sqrt{(25 \times 3) \times (8 \times 5) \times (3 \times 7) \times (2 \times 7)}$
$= \sqrt{25 \times 3^2 \times 7^2 \times 16 \times 5} = 5 \times 3 \times 7 \times 4 \sqrt{5} = 420 \sqrt{5} \text{ cm}^2$.
સૌથી લાંબો વેધ ત્રિકોણની સૌથી નાની બાજુ પરનો વેધ હોય છે.
સૌથી નાની બાજુ $35 \text{ cm}$ હોવાથી,સૌથી લાંબો વેધ $h$ નીચે મુજબ મળે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} \implies 420 \sqrt{5} = \frac{1}{2} \times 35 \times h$.
$h = \frac{420 \sqrt{5} \times 2}{35} = 12 \times 2 \sqrt{5} = 24 \sqrt{5} \text{ cm}$.

(A) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 4 \, cm$,$b = 4 \, cm$ અને $c = 2 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 4 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, cm$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \sqrt{5(5 - 4)(5 - 4)(5 - 2)}$
$\text{Area} = \sqrt{5 \times 1 \times 1 \times 3}$
$\text{Area} = \sqrt{15} \, cm^2$.

(B) ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 6 \, cm$,$b = 8 \, cm$ અને $c = 10 \, cm$ છે.
સૌ પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 8 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, cm$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$Area = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$Area = \sqrt{12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)}$
$Area = \sqrt{12 \times 6 \times 4 \times 2}$
$Area = \sqrt{576} = 24 \, cm^2$.
રંગવાનો ખર્ચ $9$ પૈસા પ્રતિ $cm^2$ છે,જે $Rs \, 0.09$ પ્રતિ $cm^2$ થાય.
કુલ ખર્ચ $= 24 \times 0.09 = Rs \, 2.16$.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
હેરોનના સૂત્ર મુજબ, $a, b, c$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $s$ એ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ને $s = \frac{a+b+c}{2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે ત્રિકોણની પરિમિતિના અડધા ભાગ જેટલી હોય છે.
આપેલા વિધાનમાં, $s$ ને અર્ધ-પરિમિતિને બદલે ત્રિકોણની પરિમિતિ તરીકે ખોટી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે.

(B) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
અહીં,$\text{પાયો} = 4 \, \text{cm}$ અને $\text{વેધ} = 6 \, \text{cm}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 4 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} = 12 \, \text{cm}^2$.
આમ,ગણતરી કરેલ ક્ષેત્રફળ $12 \, \text{cm}^2$ છે,$24 \, \text{cm}^2$ નથી,તેથી આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(TRUE) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle A = 90^{\circ}$,$AB = 4 \, cm$ અને $AC = 4 \, cm$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
અહીં,આપણે $AC$ ને પાયો અને $AB$ ને વેધ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 4 \, cm \times 4 \, cm$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 16 \, cm^2 = 8 \, cm^2$
ગણતરી કરેલ ક્ષેત્રફળ $8 \, cm^2$ હોવાથી,આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(TRUE) ધારો કે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની સમાન બાજુઓ $a$ છે અને પાયો $b = 5 \, cm$ છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $11 \, cm$ આપેલી છે.
તેથી,$a + a + 5 = 11$.
$2a = 11 - 5 = 6$.
$a = 3 \, cm$.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{b}{4} \sqrt{4a^2 - b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Area} = \frac{5}{4} \sqrt{4(3)^2 - 5^2} = \frac{5}{4} \sqrt{4(9) - 25} = \frac{5}{4} \sqrt{36 - 25} = \frac{5}{4} \sqrt{11} \, cm^2$.
ગણતરી કરેલ ક્ષેત્રફળ આપેલ કિંમત સાથે મેળ ખાતું હોવાથી,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{side})^2$ છે.
અહીં ત્રિકોણની બાજુ $8 \text{ cm}$ આપેલી છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (8)^2$
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64$
$\text{Area} = 16 \sqrt{3} \text{ cm}^2$.
ગણતરી કરેલ ક્ષેત્રફળ $16 \sqrt{3} \text{ cm}^2$ એ આપેલ ક્ષેત્રફળ $20 \sqrt{3} \text{ cm}^2$ જેટલું નથી,તેથી આ વિધાન ખોટું છે.

(A) ધારો કે $ABCD$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેનો એક વિકર્ણ $AC = 16 \, cm$ છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણની દરેક બાજુ $10 \, cm$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે,તેથી
$OA = OC = 8 \, cm$ અને $OB = OD$.
$\Delta AOB$ માં,$\angle AOB = 90^{\circ}$ છે.
તેથી,$AB^2 = OA^2 + OB^2$
$\Rightarrow OB^2 = AB^2 - OA^2$
$= (10)^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$
$OB = \sqrt{36} = 6 \, cm$.
$DB = 2(OB) = 2 \times 6 = 12 \, cm$.
આમ,સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{વિકર્ણોનો ગુણાકાર}$
$= \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96 \, cm^2$.
તેથી,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(B) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો પાયો $10 \text{ cm}$ છે અને તેને અનુરૂપ વેધ $3.5 \text{ cm}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{અનુરૂપ વેધ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = 10 \text{ cm} \times 3.5 \text{ cm} = 35 \text{ cm}^2$.
અહીં ગણતરી કરેલ ક્ષેત્રફળ $35 \text{ cm}^2$ મળે છે,જે $30 \text{ cm}^2$ નથી,તેથી આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(FALSE) આ વિધાન ખોટું છે.
એક નિયમિત ષટ્કોણના કેન્દ્રને તેના દરેક શિરોબિંદુઓ સાથે જોડવાથી તેને છ સમબાજુ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
આ છ ત્રિકોણોમાંથી દરેક $a$ બાજુવાળો સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી, નિયમિત ષટ્કોણનું કુલ ક્ષેત્રફળ આ છ સમબાજુ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું થાય છે.
તેથી, $a$ બાજુવાળા નિયમિત ષટ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $6 \times (\text{a બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ})$ થાય, ન કે પાંચ આવા ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો.

(TRUE) ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 51 \, m$,$b = 37 \, m$ અને $c = 20 \, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{51 + 37 + 20}{2} = \frac{108}{2} = 54 \, m$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{54(54-51)(54-37)(54-20)}$
$= \sqrt{54 \times 3 \times 17 \times 34}$
$= \sqrt{(2 \times 3^3) \times 3 \times 17 \times (2 \times 17)}$
$= \sqrt{2^2 \times 3^4 \times 17^2} = 2 \times 3^2 \times 17 = 2 \times 9 \times 17 = 306 \, m^2$.
મેદાનને સમતલ કરવાનો ખર્ચ = $\text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{દર} = 306 \, m^2 \times Rs \, 3/m^2 = Rs \, 918$.
ગણતરી કરેલ ખર્ચ આપેલ કિંમત સાથે મેળ ખાતો હોવાથી,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 11 \, cm$,$b = 12 \, cm$ અને $c = 13 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{11 + 12 + 13}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-11)(18-12)(18-13)}$
$= \sqrt{18 \times 7 \times 6 \times 5} = \sqrt{3780} = \sqrt{36 \times 105} = 6\sqrt{105} \, cm^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
અહીં પાયો $12 \, cm$ છે,ધારો કે વેધ $h$ છે:
$6\sqrt{105} = \frac{1}{2} \times 12 \times h$
$6\sqrt{105} = 6h$
$h = \sqrt{105} \, cm$.
કારણ કે $\sqrt{100} = 10$ અને $\sqrt{121} = 11$,તેથી $\sqrt{105} \approx 10.2469 \, cm$,જે આશરે $10.25 \, cm$ થાય છે.
આમ,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણાકાર ખેતરની બાજુઓ $a = 41\, m$,$b = 40\, m$ અને $c = 9\, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{41 + 40 + 9}{2} = \frac{90}{2} = 45\, m$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણાકાર ખેતરનું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{45(45 - 41)(45 - 40)(45 - 9)} = \sqrt{45 \times 4 \times 5 \times 36}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{9 \times 5 \times 4 \times 5 \times 36} = \sqrt{32400} = 180\, m^2$.
દરેક ગુલાબના ક્યારા માટે $900\, cm^2$ જગ્યાની જરૂર છે. તેને ચોરસ મીટરમાં ફેરવતા: $900\, cm^2 = \frac{900}{10000}\, m^2 = 0.09\, m^2$.
ગુલાબના ક્યારાની સંખ્યા $= \frac{\text{કુલ ક્ષેત્રફળ}}{\text{દરેક ક્યારાનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{180}{0.09} = 2000$.

(N/A) આકૃતિ બે ત્રિકોણની બનેલી છે. છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ મોટા ત્રિકોણ અને નાના ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે.
$1$. મોટા ત્રિકોણ માટે જેની બાજુઓ $a = 122 \ m$,$b = 120 \ m$ અને $c = 22 \ m$ છે:
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{122 + 120 + 22}{2} = \frac{264}{2} = 132 \ m$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{132(132-122)(132-120)(132-22)}$
$= \sqrt{132 \times 10 \times 12 \times 110} = \sqrt{1742400} = 1320 \ m^2$.
$2$. નાના ત્રિકોણ માટે જેની બાજુઓ $a = 24 \ m$,$b = 26 \ m$ અને $c = 22 \ m$ છે:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ તે કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ: ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 24 \times 10 = 120 \ m^2$.
$3$. છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= \text{મોટા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} - \text{નાના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ}$
$= 1320 \ m^2 - 120 \ m^2 = 1200 \ m^2$.

(C) ત્રિકોણાકાર ખેતરની બાજુઓ $a = 50 \, m$,$b = 65 \, m$ અને $c = 65 \, m$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરીએ:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{50 + 65 + 65}{2} = \frac{180}{2} = 90 \, m$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{90(90-50)(90-65)(90-65)}$
$= \sqrt{90 \times 40 \times 25 \times 25}$
$= \sqrt{3600 \times 625} = 60 \times 25 = 1500 \, m^2$.
ઘાસ વાવવાનો ખર્ચ એ ક્ષેત્રફળ અને દરનો ગુણાકાર છે:
$\text{ખર્ચ} = 1500 \, m^2 \times 7 \, Rs/m^2 = 10,500 \, Rs$.

(D) ફ્લાયઓવરની ત્રિકોણાકાર બાજુની દીવાલોની બાજુઓ $a = 13 \, m$,$b = 14 \, m$ અને $c = 15 \, m$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરીએ:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \, m$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}$
$= \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{(3 \times 7) \times (2^3) \times 7 \times (2 \times 3)}$
$= \sqrt{7^2 \times 3^2 \times 2^4} = 7 \times 3 \times 2^2 = 84 \, m^2$.
વાર્ષિક ભાડું $Rs \, 2000$ પ્રતિ $m^2$ છે.
$6$ મહિના (અડધા વર્ષ) માટે $1 \, m^2$ નું ભાડું $Rs \, \frac{2000}{2} = Rs \, 1000$ થાય.
તેથી,$6$ મહિના માટે $84 \, m^2$ નું કુલ ભાડું $84 \times 1000 = Rs \, 84,000$ થાય.

(D) ધારો કે $ABC$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે જેની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. ધારો કે $O$ એક અંદરનું બિંદુ છે,અને $O$ માંથી બાજુઓ $AB$,$BC$ અને $AC$ પર દોરેલા લંબ અનુક્રમે $h_1 = 14 \, cm$,$h_2 = 10 \, cm$ અને $h_3 = 6 \, cm$ છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\Delta OAB$,$\Delta OBC$ અને $\Delta OAC$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times a \times 14 = 7a \, cm^2$.
$\Delta OBC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times a \times 10 = 5a \, cm^2$.
$\Delta OAC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times a \times 6 = 3a \, cm^2$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 7a + 5a + 3a = 15a \, cm^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
બંને ક્ષેત્રફળના સૂત્રોને સરખાવતા:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 15a$
$a \neq 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a = 15$
$a = \frac{15 \times 4}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3} \, cm$.
હવે,$a = 20\sqrt{3}$ ને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= 15 \times (20\sqrt{3}) = 300\sqrt{3} \, cm^2$.
આમ,સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $300\sqrt{3} \, cm^2$ છે.

(D) ધારો કે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની સમાન બાજુઓ $3x$ અને $3x$ છે,અને પાયો $2x$ છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની બાજુઓનો સરવાળો છે: $3x + 3x + 2x = 8x$.
આપેલ છે કે પરિમિતિ $32 \, cm$ છે,તેથી $8x = 32$,જેનો અર્થ છે કે $x = 4$.
આમ,ત્રિકોણની બાજુઓ $12 \, cm, 12 \, cm$ અને $8 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{12 + 12 + 8}{2} = \frac{32}{2} = 16 \, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{16(16-12)(16-12)(16-8)} = \sqrt{16 \times 4 \times 4 \times 8}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{16 \times 16 \times 8} = 16 \sqrt{8} = 16 \times 2\sqrt{2} = 32\sqrt{2} \, cm^2$.

(N/A) $\Delta BCD$ ની બાજુઓ $a = 12 \text{ cm}, b = 17 \text{ cm}$ અને $c = 25 \text{ cm}$ છે.
$\therefore \Delta BCD$ ની અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 17 + 25}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ cm}.$
$\therefore \Delta BCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ [હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા]
$= \sqrt{27(27 - 12)(27 - 17)(27 - 25)}$
$= \sqrt{27 \times 15 \times 10 \times 2}$
$= \sqrt{(9 \times 3) \times (3 \times 5) \times (5 \times 2) \times 2}$
$= \sqrt{9 \times 9 \times 25 \times 4} = 3 \times 3 \times 5 \times 2 = 90 \text{ cm}^2.$
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ તેને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે:
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $2 \times \Delta BCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $2 \times 90 = 180 \text{ cm}^2.$
ધારો કે શિરોબિંદુ $A$ માંથી બાજુ $DC$ પરનો વેધ $h$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ = પાયો $\times$ વેધ
$180 = DC \times h$
$180 = 12 \times h$
$h = \frac{180}{12} = 15 \text{ cm}.$
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $180 \text{ cm}^2$ છે અને વેધની લંબાઈ $15 \text{ cm}$ છે.

(N/A) ધારો કે ખેતર $ABCD$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\Delta ABC \text{ નું ક્ષેત્રફળ}) \quad ...(1)$
હવે,$\Delta ABC$ ની બાજુઓ $a = 40 \, m, b = 60 \, m$ અને $c = 80 \, m$ છે.
$\Delta ABC$ ની અર્ધ-પરિમિતિ,$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{40+60+80}{2} = \frac{180}{2} = 90 \, m$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{90(90-40)(90-60)(90-80)}$
$= \sqrt{90 \times 50 \times 30 \times 10}$
$= \sqrt{1350000} = 300\sqrt{15} \, m^2 \approx 1161.895 \, m^2$.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 300\sqrt{15} = 600\sqrt{15} \, m^2 \approx 2323.79 \, m^2$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $6x, 7x$ અને $8x$ મીટર છે.
આપેલ છે કે પરિમિતિ $420\, m$ છે,તેથી:
$6x + 7x + 8x = 420$
$21x = 420$
$x = 20$
આમ,બાજુઓ $a = 120\, m, b = 140\, m, c = 160\, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{420}{2} = 210\, m$ છે.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{210(210-120)(210-140)(210-160)}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{210 \times 90 \times 70 \times 50}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{66150000} \approx 8133.265\, m^2$.

(B) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે તેને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરીએ છીએ: $\Delta ABC$ અને $\Delta ACD$.
$\angle B = 90^\circ$ હોવાથી,$\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$\Delta ABC$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, cm$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \, cm^2$.
હવે,$\Delta ACD$ માટે,બાજુઓ $a = 10 \, cm$,$b = 12 \, cm$ અને $c = 14 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 12 + 14}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, cm$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta ACD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-10)(18-12)(18-14)} = \sqrt{18 \times 8 \times 6 \times 4} = \sqrt{3456} \approx 58.787 \, cm^2$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \text{ક્ષેત્રફળ}(\Delta ABC) + \text{ક્ષેત્રફળ}(\Delta ACD) = 24 + 58.787 = 82.787 \, cm^2$.

(C) સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $40 \, cm$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,બાજુની લંબાઈ $\frac{40}{4} = 10 \, cm$ થાય.
વિકર્ણ સમબાજુ ચતુષ્કોણને $10 \, cm, 10 \, cm$ અને $12 \, cm$ બાજુઓવાળા બે એકરૂપ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
એક ત્રિકોણ માટે હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા:
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16 \, cm$.
એક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \times 6 \times 6 \times 4} = \sqrt{2304} = 48 \, cm^2$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 48 = 96 \, cm^2$.
બંને બાજુ રંગવાનું હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \times 96 = 192 \, cm^2$ થાય.
$Rs \, 5$ પ્રતિ $cm^2$ ના દરે રંગવાનો કુલ ખર્ચ $192 \times 5 = Rs \, 960$ થાય.

(A) $RT \perp SP$ દોરો. આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $RT = PQ = 7 \ m$ અને $PT = QR = 7 \ m$ છે.
કારણ કે $SP = 12 \ m$ છે,તેથી $ST = SP - PT = 12 \ m - 7 \ m = 5 \ m$ થાય.
હવે,કાટકોણ ત્રિકોણ $STR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$SR^2 = ST^2 + RT^2$
$13^2 = 5^2 + RT^2$
$169 = 25 + RT^2$
$RT^2 = 169 - 25 = 144$
$RT = 12 \ m$.
આમ,સમલંબ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ $12 \ m$ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (SP + QR) \times PQ$
$= \frac{1}{2} \times (12 \ m + 7 \ m) \times 12 \ m$
$= \frac{1}{2} \times 19 \ m \times 12 \ m = 19 \times 6 \ m^2 = 114 \ m^2$.

(B) ધારો કે $a, b, c$ એ આપેલા ત્રિકોણની બાજુઓ છે અને $s$ એ તેની અર્ધ-પરિમિતિ છે.
તેથી,$s = \frac{a+b+c}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2s = a+b+c$ $...(1)$.
આપેલા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવા ત્રિકોણની બાજુઓ $2a, 2b$ અને $2c$ છે.
ધારો કે $S$ એ નવા ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે.
$S = \frac{2a+2b+2c}{2} = a+b+c = 2s$ $...(2)$.
નવા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta' = \sqrt{S(S-2a)(S-2b)(S-2c)}$ છે.
સૂત્રમાં $S = 2s$ મૂકતા:
$\Delta' = \sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}$
$\Delta' = \sqrt{2s \cdot 2(s-a) \cdot 2(s-b) \cdot 2(s-c)}$
$\Delta' = \sqrt{16s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\Delta' = 4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 4\Delta$.
આમ,નવા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ અને આપેલા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta'}{\Delta} = \frac{4\Delta}{\Delta} = 4:1$ છે.

(C) આ પતંગ એક ચોરસ $ABCD$ અને નીચેના ભાગમાં એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની બનેલી છે.
આપેલ છે કે ચોરસનો વિકર્ણ $44 \, cm$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ વિકર્ણ $d$ નો ઉપયોગ કરીને $\text{Area} = \frac{1}{2} d^2$ તરીકે ગણી શકાય.
ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 44 \times 44 = 968 \, cm^2$.
ચોરસ તેના વિકર્ણો દ્વારા ચાર સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજિત થાય છે. દરેક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{968}{4} = 242 \, cm^2$ છે.
આકૃતિ પરથી:
- લાલ રંગ (ભાગ $IV$) $= 242 \, cm^2$.
- પીળો રંગ (ભાગ $I$ અને $II$) $= 242 + 242 = 484 \, cm^2$.
- લીલો રંગ (ભાગ $III$ અને નીચેનો ત્રિકોણ).
નીચેના ત્રિકોણ માટે જેની બાજુઓ $20 \, cm, 20 \, cm, 14 \, cm$ છે:
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{20+20+14}{2} = 27 \, cm$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-20)(27-20)(27-14)} = \sqrt{27 \times 7 \times 7 \times 13} = 21 \sqrt{39} \approx 21 \times 6.245 = 131.15 \, cm^2$.
કુલ લીલો રંગ $= 242 + 131.15 = 373.15 \, cm^2$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની નાની બાજુ $x \, cm$ છે. તેથી,બીજી બાજુ $(x + 4) \, cm$ અને ત્રીજી બાજુ $(2x - 6) \, cm$ થશે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની બાજુઓનો સરવાળો છે:
$x + (x + 4) + (2x - 6) = 50$
$4x - 2 = 50$
$4x = 52$
$x = 13 \, cm$.
ત્રણેય બાજુઓ $13 \, cm$,$17 \, cm$ અને $20 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{13 + 17 + 20}{2} = \frac{50}{2} = 25 \, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$:
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{25(25 - 13)(25 - 17)(25 - 20)}$
$= \sqrt{25 \times 12 \times 8 \times 5}$
$= \sqrt{25 \times (4 \times 3) \times (4 \times 2) \times 5}$
$= 5 \times 4 \times \sqrt{3 \times 2 \times 5}$
$= 20 \sqrt{30} \, cm^2$.

(A) સમલંબ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$.
ધારો કે એક સમાંતર બાજુની લંબાઈ $x \, cm$ છે.
તેથી,બીજી સમાંતર બાજુની લંબાઈ $(x + 4) \, cm$ થશે.
આપેલ છે કે,$\text{ક્ષેત્રફળ} = 475 \, cm^2$ અને $\text{ઊંચાઈ} = 19 \, cm$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$475 = \frac{1}{2} \times (x + x + 4) \times 19$
$475 = \frac{1}{2} \times (2x + 4) \times 19$
$475 = (x + 2) \times 19$
$x + 2 = \frac{475}{19} = 25$
$x = 25 - 2 = 23 \, cm$.
આમ,બંને સમાંતર બાજુઓની લંબાઈ $23 \, cm$ અને $(23 + 4) \, cm$ એટલે કે $23 \, cm$ અને $27 \, cm$ છે.

(B) લંબચોરસ પ્લોટની લંબાઈ $40 \, m$ અને પહોળાઈ $15 \, m$ છે。
નિયમો મુજબ, આગળ અને પાછળના ભાગમાં $3 \, m$ જગ્યા અને બાકીની બંને બાજુએ $2 \, m$ જગ્યા છોડવી જરૂરી છે。
બાંધકામ વિસ્તારની નવી લંબાઈ $= 40 - (3 + 3) = 40 - 6 = 34 \, m$.
બાંધકામ વિસ્તારની નવી પહોળાઈ $= 15 - (2 + 2) = 15 - 4 = 11 \, m$.
ઘર બાંધી શકાય તેવો સૌથી મોટો વિસ્તાર $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 34 \, m \times 11 \, m = 374 \, m^2$.

(A) ધારો કે સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે જેમાં સમાંતર બાજુઓ $AB = 90 \, m$ અને $CD = 30 \, m$ છે. બાજુ $AC$ એ $AB$ અને $CD$ બંનેને લંબ છે.
$DM \perp AB$ દોરો. $ACDM$ એક લંબચોરસ બનાવે છે,તેથી $AM = CD = 30 \, m$ અને $DM = AC$ થાય.
હવે,$MB = AB - AM = 90 \, m - 30 \, m = 60 \, m$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle DMB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$DM^2 = DB^2 - MB^2 = (100)^2 - (60)^2$
$DM^2 = 10000 - 3600 = 6400$
$DM = \sqrt{6400} = 80 \, m$.
આમ,સમલંબ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ $80 \, m$ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
$= \frac{1}{2} \times (90 + 30) \times 80 = \frac{1}{2} \times 120 \times 80 = 4800 \, m^2$.
ખેતર ખેડવાનો કુલ ખર્ચ $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{દર} = 4800 \times 4 = \operatorname{Rs} 19,200$.

(B) $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $a = 6.5\, cm$,$b = 7\, cm$ અને $c = 7.5\, cm$ છે.
$\Delta ABC$ ની અર્ધ-પરિમિતિ $s$:
$s = \frac{6.5 + 7 + 7.5}{2} = \frac{21}{2} = 10.5\, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{10.5(10.5 - 6.5)(10.5 - 7)(10.5 - 7.5)}$
$= \sqrt{10.5 \times 4 \times 3.5 \times 3}$
$= \sqrt{441} = 21\, cm^2$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $DBCE$ એ સમાન પાયા $BC$ પર રચાયેલ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $\Delta ABC$ જેટલું જ છે:
$\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } DBCE \text{ નું ક્ષેત્રફળ} = \Delta ABC \text{ નું ક્ષેત્રફળ} = 21\, cm^2$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = $\text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$.
$BC \times DF = 21\, cm^2$
$7\, cm \times DF = 21\, cm^2$
$DF = \frac{21}{7} = 3\, cm$.
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ $DF = 3\, cm$ છે.

(N/A) $ABCD$ એક લંબચોરસ છે જેમાં $AB = 51 \, cm$ અને $BC = 25 \, cm$ છે.
સમાંતર બાજુઓ $QC$ અને $PD$ નો ગુણોત્તર $9:8$ હોવાથી,ધારો કે $QC = 9x$ અને $PD = 8x$ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $PQCD$ ની ઊંચાઈ લંબચોરસની પહોળાઈ જેટલી જ એટલે કે $25 \, cm$ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $PQCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (QC + PD) \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (9x + 8x) \times 25 = \frac{1}{2} \times 17x \times 25$.
લંબચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 51 \times 25$.
આપેલ છે કે સમલંબ ચતુષ્કોણ $PQCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{5}{6} \times \text{લંબચોરસ } ABCD \text{ નું ક્ષેત્રફળ}$.
તેથી,$\frac{1}{2} \times 17x \times 25 = \frac{5}{6} \times 51 \times 25$.
બંને બાજુ $25$ વડે ભાગતા અને $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $17x = \frac{5}{6} \times 51 \times 2 = \frac{5}{3} \times 51 = 5 \times 17 = 85$.
આમ,$x = \frac{85}{17} = 5$.
તેથી,$QC$ ની લંબાઈ $= 9x = 9 \times 5 = 45 \, cm$.
અને $PD$ ની લંબાઈ $= 8x = 8 \times 5 = 40 \, cm$.

(N/A) આપેલ છે કે,લંબચોરસ ટાઇલના માપ $50\, cm \times 70\, cm$ છે.
લંબચોરસ ટાઇલનું ક્ષેત્રફળ $= 50\, cm \times 70\, cm = 3500\, cm^2$.
દરેક ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 25\, cm, b = 17\, cm$ અને $c = 26\, cm$ છે.
હવે,અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2}$ દ્વારા મળે છે.
$s = \frac{25 + 17 + 26}{2} = \frac{68}{2} = 34\, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,એક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{34(34 - 25)(34 - 17)(34 - 26)} = \sqrt{34 \times 9 \times 17 \times 8}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{(17 \times 2) \times 3^2 \times 17 \times (2^3)} = \sqrt{17^2 \times 2^4 \times 3^2} = 17 \times 4 \times 3 = 204\, cm^2$.
$8$ ત્રિકોણનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 8 \times 204\, cm^2 = 1632\, cm^2$.
આમ,ડિઝાઇનનું કુલ ક્ષેત્રફળ $1632\, cm^2$ છે.
ટાઇલનું બાકી રહેલું ક્ષેત્રફળ $=$ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $-$ ડિઝાઇનનું ક્ષેત્રફળ.
બાકી રહેલું ક્ષેત્રફળ $= 3500\, cm^2 - 1632\, cm^2 = 1868\, cm^2$.
તેથી,ડિઝાઇનનું કુલ ક્ષેત્રફળ $1632\, cm^2$ અને ટાઇલનું બાકી રહેલું ક્ષેત્રફળ $1868\, cm^2$ છે.

(B) ધારો કે આપેલ ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 12 \, cm$,$b = 17 \, cm$ અને $c = 25 \, cm$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 17 + 25}{2} = \frac{54}{2} = 27 \, cm$.
હવે,તફાવતની ગણતરી કરો:
$s - a = 27 - 12 = 15 \, cm$
$s - b = 27 - 17 = 10 \, cm$
$s - c = 27 - 25 = 2 \, cm$
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{27 \times 15 \times 10 \times 2} \, cm^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{(9 \times 3) \times (3 \times 5) \times (5 \times 2) \times 2} \, cm^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{9 \times 9 \times 25 \times 4} \, cm^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 3 \times 3 \times 5 \times 2 = 90 \, cm^2$.

(C) ત્રિકોણાકાર ખેતર માટે,બાજુઓના માપ $a = 51 \,m$,$b = 52 \,m$ અને $c = 53 \,m$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{51 + 52 + 53}{2} = \frac{156}{2} = 78 \,m$.
હવે,તફાવતની ગણતરી કરો:
$s - a = 78 - 51 = 27 \,m$
$s - b = 78 - 52 = 26 \,m$
$s - c = 78 - 53 = 25 \,m$
હેરોનનું સૂત્ર વાપરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{78 \times 27 \times 26 \times 25}$
$= \sqrt{(2 \times 3 \times 13) \times (3^3) \times (2 \times 13) \times 5^2}$
$= \sqrt{2^2 \times 3^4 \times 13^2 \times 5^2}$
$= 2 \times 3^2 \times 13 \times 5$
$= 1170 \,m^2$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $4x, 7x$ અને $9x$ મીટર છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $500 \, m$ આપેલી છે.
તેથી,$4x + 7x + 9x = 500$.
$20x = 500 \implies x = 25$.
બાજુઓ $a = 4 \times 25 = 100 \, m$,$b = 7 \times 25 = 175 \, m$ અને $c = 9 \times 25 = 225 \, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{500}{2} = 250 \, m$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$s-a = 250 - 100 = 150 \, m$.
$s-b = 250 - 175 = 75 \, m$.
$s-c = 250 - 225 = 25 \, m$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{250 \times 150 \times 75 \times 25} = \sqrt{25^2 \times 10^2 \times 3^2 \times 5^2} = 25 \times 10 \times 3 \times 5 \sqrt{5} = 3750 \sqrt{5} \, m^2$.

(A) બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
અહીં બાજુની લંબાઈ $a = 50 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (50)^2$
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2500$
$\text{Area} = 625 \sqrt{3} \, cm^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $a = 9 \, cm$,$b = 10 \, cm$ અને $c = 17 \, cm$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{9 + 10 + 17}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, cm$.
હવે,ક્ષેત્રફળના સૂત્ર $\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ નો ઉપયોગ કરો:
$\text{Area} = \sqrt{18(18 - 9)(18 - 10)(18 - 17)}$
$\text{Area} = \sqrt{18 \times 9 \times 8 \times 1}$
$\text{Area} = \sqrt{1296} = 36 \, cm^2$.

(C) ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 360 \, m$,$b = 450 \, m$ અને $c = 450 \, m$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{360 + 450 + 450}{2} = \frac{1260}{2} = 630 \, m$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{630(630 - 360)(630 - 450)(630 - 450)}$.
ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{630 \times 270 \times 180 \times 180}$.
ક્ષેત્રફળ = $180 \times \sqrt{630 \times 270}$.
ક્ષેત્રફળ = $180 \times \sqrt{(90 \times 7) \times (90 \times 3)}$.
ક્ષેત્રફળ = $180 \times 90 \times \sqrt{7 \times 3}$.
ક્ષેત્રફળ = $16200 \sqrt{21} \, m^2$.

(D) ત્રિકોણાકાર પ્લોટની બાજુઓ $a = 200\,m$,$b = 210\,m$ અને $c = 290\,m$ છે.
સૌ પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ શોધો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{200 + 210 + 290}{2} = \frac{700}{2} = 350\,m$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરીને,ક્ષેત્રફળ $(A)$:
$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$A = \sqrt{350(350-200)(350-210)(350-290)}$
$A = \sqrt{350 \times 150 \times 140 \times 60} = 21000\,m^2$.
ઘાસ ઉગાડવાનો કુલ ખર્ચ = $\text{ક્ષેત્રફળ }\times \text{દર }= 21000 \times 5 = \text{Rs. } 105000$.

(A) આપેલ બાજુઓ $a = 15\,cm$ અને $b = 28\,cm$ છે. પરિમિતિ $P = 84\,cm$ છે.
ત્રીજી બાજુ $c = P - (a + b) = 84 - (15 + 28) = 84 - 43 = 41\,cm$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = P / 2 = 84 / 2 = 42\,cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{42(42-15)(42-28)(42-41)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{42 \times 27 \times 14 \times 1}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{(14 \times 3) \times (9 \times 3) \times 14 \times 1} = \sqrt{14^2 \times 3^2 \times 3^2} = 14 \times 3 \times 3 = 126\,cm^2$.

(B) ધારો કે સમાન બાજુઓ $a = 17\,cm$ અને $b = 17\,cm$ છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $P = 50\,cm$ છે.
ધારો કે ત્રીજી બાજુ $c$ છે. તેથી,$a + b + c = 50$.
$17 + 17 + c = 50 \implies 34 + c = 50 \implies c = 16\,cm$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = P / 2 = 50 / 2 = 25\,cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{25(25-17)(25-17)(25-16)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{25 \times 8 \times 8 \times 9}$.
ક્ષેત્રફળ $= 5 \times 8 \times 3 = 120\,cm^2$.