Textbook - Heron’s Formula Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે,ત્રિકોણની પરિમિતિ $32 \, cm$ છે. ધારો કે બાજુઓ $a = 8 \, cm$ અને $b = 11 \, cm$ છે.
ત્રીજી બાજુ $c$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$c = 32 \, cm - (8 + 11) \, cm = 32 \, cm - 19 \, cm = 13 \, cm$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ છે:
$s = \frac{\text{પરિમિતિ}}{2} = \frac{32}{2} \, cm = 16 \, cm$.
હવે,$(s - a)$,$(s - b)$,અને $(s - c)$ ની ગણતરી કરો:
$s - a = 16 - 8 = 8 \, cm$
$s - b = 16 - 11 = 5 \, cm$
$s - c = 16 - 13 = 3 \, cm$
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{16 \times 8 \times 5 \times 3} \, cm^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{16 \times 120} \, cm^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 4 \times \sqrt{4 \times 30} \, cm^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 4 \times 2 \sqrt{30} \, cm^2 = 8 \sqrt{30} \, cm^2$.

(B) બગીચાનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરો:
$2s = 50\,m + 80\,m + 120\,m = 250\,m$
$s = 125\,m$
હવે,તફાવતોની ગણતરી કરો:
$s - a = 125\,m - 120\,m = 5\,m$
$s - b = 125\,m - 80\,m = 45\,m$
$s - c = 125\,m - 50\,m = 75\,m$
બગીચાનું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{125 \times 5 \times 45 \times 75}\,m^2$
$= \sqrt{2109375}\,m^2 = 375\sqrt{15}\,m^2$
આગળ,વાડ બનાવવાનો ખર્ચ શોધો:
બગીચાની પરિમિતિ $= 250\,m$
જરૂરી તારની લંબાઈ $= 250\,m - 3\,m = 247\,m$
વાડ બનાવવાનો ખર્ચ $= 247\,m \times Rs. 20/m = Rs. 4940$

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $3x, 5x$ અને $7x$ મીટર છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $300\, m$ આપેલ છે.
તેથી,$3x + 5x + 7x = 300$.
$15x = 300$,જે આપણને $x = 20$ આપે છે.
આમ,ત્રિકોણની બાજુઓ $3 \times 20 = 60\, m$,$5 \times 20 = 100\, m$ અને $7 \times 20 = 140\, m$ છે.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ નીચે મુજબ છે:
$s = \frac{60 + 100 + 140}{2} = \frac{300}{2} = 150\, m$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{150(150 - 60)(150 - 100)(150 - 140)}\, m^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10}\, m^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{6750000}\, m^2$.
ક્ષેત્રફળ $= 1500\sqrt{3}\, m^2$.

(D) 'a' બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ $180 \, cm$ છે.
ત્રણેય બાજુઓ સમાન હોવાથી,$3a = 180 \, cm$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $a = 60 \, cm$ મળે છે.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{\text{પરિમિતિ}}{2} = \frac{180}{2} = 90 \, cm$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{90(90-60)(90-60)(90-60)} \, cm^2$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{90 \times 30 \times 30 \times 30} \, cm^2$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{3 \times 30 \times 30 \times 30 \times 30} \, cm^2$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{3 \times (30)^2 \times (30)^2} \, cm^2$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 30 \times 30 \times \sqrt{3} \, cm^2 = 900 \sqrt{3} \, cm^2$.

(A) ત્રિકોણાકાર દીવાલની બાજુઓ $a = 122\, m, b = 120\, m, c = 22\, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ નીચે મુજબ છે:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{122 + 120 + 22}{2}\, m = \frac{264}{2}\, m = 132\, m$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{132(132 - 122)(132 - 120)(132 - 22)}\, m^2$
$= \sqrt{132 \times 10 \times 12 \times 110}\, m^2$
$= \sqrt{12 \times 11 \times 10 \times 12 \times 11 \times 10}\, m^2$
$= \sqrt{12^2 \times 11^2 \times 10^2}\, m^2 = 12 \times 11 \times 10\, m^2 = 1320\, m^2$.
$1$ વર્ષ ($12$ મહિના) માટે પ્રતિ $m^2$ ભાડું $= Rs. 5000$.
$3$ મહિના માટે પ્રતિ $m^2$ ભાડું $= Rs. 5000 \times \frac{3}{12} = Rs. 1250$.
$3$ મહિના માટે $1320\, m^2$ નું કુલ ભાડું $= 1320 \times 1250 = Rs. 16,50,000$.

(B) ત્રિકોણાકાર દીવાલની બાજુઓ $a = 15 \, m$,$b = 11 \, m$ અને $c = 6 \, m$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ શોધીશું:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{15 + 11 + 6}{2} \, m = \frac{32}{2} \, m = 16 \, m$.
હવે,હેરોનનું સૂત્ર વાપરીને,ત્રિકોણાકાર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{16(16 - 15)(16 - 11)(16 - 6)} \, m^2$
$= \sqrt{16 \times 1 \times 5 \times 10} \, m^2$
$= \sqrt{16 \times 50} \, m^2$
$= \sqrt{800} \, m^2$
$= \sqrt{400 \times 2} \, m^2 = 20 \sqrt{2} \, m^2$.
આમ,રંગ કરેલા ભાગનું જરૂરી ક્ષેત્રફળ $20 \sqrt{2} \, m^2$ છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 18 \, cm$,$b = 10 \, cm$ અને $c$ છે.
આપેલ છે કે પરિમિતિ $(2s) = 42 \, cm$.
તેથી,અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{42}{2} = 21 \, cm$.
ત્રીજી બાજુ $c = 42 - (18 + 10) = 42 - 28 = 14 \, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
કિંમતો મૂકતા: ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{21(21-18)(21-10)(21-14)} \, cm^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{21 \times 3 \times 11 \times 7} \, cm^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{(3 \times 7) \times 3 \times 11 \times 7} \, cm^2 = \sqrt{3^2 \times 7^2 \times 11} \, cm^2$.
ક્ષેત્રફળ $= 3 \times 7 \sqrt{11} \, cm^2 = 21 \sqrt{11} \, cm^2$.

(D) ત્રિકોણની પરિમિતિ $= 540 \, cm$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{540}{2} = 270 \, cm$.
ધારો કે બાજુઓ $12x, 17x,$ અને $25x$ છે.
$12x + 17x + 25x = 540 \Rightarrow 54x = 540 \Rightarrow x = 10$.
તેથી,બાજુઓ $a = 120 \, cm, b = 170 \, cm, c = 250 \, cm$ છે.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા: ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$s-a = 270 - 120 = 150 \, cm$.
$s-b = 270 - 170 = 100 \, cm$.
$s-c = 270 - 250 = 20 \, cm$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{270 \times 150 \times 100 \times 20} = \sqrt{81,000,000} = 9,000 \, cm^2$.

(A) ત્રિકોણની સમાન બાજુઓ દરેક $12 \, cm$ છે.
ધારો કે ત્રીજી બાજુ $x \, cm$ છે.
પરિમિતિ $30 \, cm$ હોવાથી,
$12 \, cm + 12 \, cm + x \, cm = 30 \, cm$
$24 \, cm + x = 30 \, cm$
$x = 30 - 24 = 6 \, cm$.
હવે,અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{\text{પરિમિતિ}}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{15(15-12)(15-12)(15-6)} \, cm^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{15 \times 3 \times 3 \times 9} \, cm^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{15 \times 9 \times 9} \, cm^2 = 9 \sqrt{15} \, cm^2$.
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $9 \sqrt{15} \, cm^2$ છે.

(A) $200 \, m, 240 \, m, 360 \, m$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણાકાર ખેતર માટે:
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{200 + 240 + 360}{2} = 400 \, m$.
ઘઉંના ખેતરનું ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{400(400-200)(400-240)(400-360)} = \sqrt{400 \times 200 \times 160 \times 40} = \sqrt{512000000} = 16000\sqrt{2} \, m^2 \approx 22627.4 \, m^2 \approx 2.26 \, \text{હેક્ટર}$.
$240 \, m, 320 \, m, 400 \, m$ બાજુઓ ધરાવતા બીજા ત્રિકોણાકાર ખેતર માટે:
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{240 + 320 + 400}{2} = 480 \, m$.
બીજા ખેતરનું ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{480(480-240)(480-320)(480-400)} = \sqrt{480 \times 240 \times 160 \times 80} = \sqrt{1474560000} = 38400 \, m^2 = 3.84 \, \text{હેક્ટર}$.
મધ્યગા ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
બટાકા માટેનું ક્ષેત્રફળ = ડુંગળી માટેનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{3.84}{2} = 1.92 \, \text{હેક્ટર}$ દરેક.

(C) અહીં $AB = 9 \, m$ અને $BC = 40 \, m$ તથા $\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ $AC$ શોધીએ:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41 \, m$.
પ્રથમ જૂથ કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ નો વિસ્તાર સાફ કરે છે:
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 40 \times 9 = 180 \, m^2$.
બીજું જૂથ ત્રિકોણ $ACD$ નો વિસ્તાર સાફ કરે છે જેની બાજુઓ $41 \, m, 15 \, m$ અને $28 \, m$ છે. હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{41 + 15 + 28}{2} = \frac{84}{2} = 42 \, m$.
$\Delta ACD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{42(42 - 41)(42 - 15)(42 - 28)} = \sqrt{42 \times 1 \times 27 \times 14} = \sqrt{15876} = 126 \, m^2$.
પ્રથમ જૂથે $180 \, m^2$ અને બીજા જૂથે $126 \, m^2$ વિસ્તાર સાફ કર્યો. પ્રથમ જૂથે $(180 - 126) = 54 \, m^2$ વધુ વિસ્તાર સાફ કર્યો.
વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા સાફ કરવામાં આવેલ કુલ વિસ્તાર $= 180 + 126 = 306 \, m^2$.

(D) ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરવા માટે $B$ અને $D$ ને જોડો: $\Delta BCD$ અને $\Delta ABD$.
$1$. કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta BCD$ માં (કારણ કે $\angle C = 90^{\circ}$):
$\Delta BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30 \, m^{2}$.
$2$. પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વિકર્ણ $BD$ ની લંબાઈ શોધો:
$BD^{2} = BC^{2} + CD^{2} = 12^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169$.
$BD = \sqrt{169} = 13 \, m$.
$3$. $\Delta ABD$ માટે,બાજુઓ $a = 9 \, m$,$b = 8 \, m$ અને $c = 13 \, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{9 + 8 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, m$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{15(15-9)(15-8)(15-13)} = \sqrt{15 \times 6 \times 7 \times 2} = \sqrt{1260} = 6\sqrt{35} \, m^{2}$.
$\sqrt{35} \approx 5.916$ લેતા,ક્ષેત્રફળ $\approx 6 \times 5.916 = 35.496 \approx 35.5 \, m^{2}$.
$4$. ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \text{Area}(\Delta BCD) + \text{Area}(\Delta ABD) = 30 + 35.5 = 65.5 \, m^{2}$.

(A) ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને વિકર્ણ $AC$ દ્વારા બે ત્રિકોણ,$\Delta ABC$ અને $\Delta ACD$ માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
$\Delta ABC$ માટે:
બાજુઓ $a = 3 \, cm, b = 4 \, cm, c = 5 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_1 = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6 \, cm$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_1(s_1 - a)(s_1 - b)(s_1 - c)} = \sqrt{6(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6 \, cm^2$.
$\Delta ACD$ માટે:
બાજુઓ $a = 5 \, cm, b = 4 \, cm, c = 5 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_2 = \frac{5 + 4 + 5}{2} = 7 \, cm$.
$\Delta ACD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_2(s_2 - a)(s_2 - b)(s_2 - c)} = \sqrt{7(7 - 5)(7 - 4)(7 - 5)} = \sqrt{7 \times 2 \times 3 \times 2} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \, cm^2$.
$\sqrt{21} \approx 4.58$ લેતા,ક્ષેત્રફળ $\approx 2 \times 4.58 = 9.16 \, cm^2$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $+ \Delta ACD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 6 + 9.16 = 15.16 \, cm^2 \approx 15.2 \, cm^2$.

(B) સપાટી $I$ નું ક્ષેત્રફળ:
આ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેની બાજુઓ $a = 5\, cm, b = 5\, cm, c = 1\, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{5+5+1}{2} = 5.5\, cm$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{5.5(5.5-5)(5.5-5)(5.5-1)} = \sqrt{5.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 4.5} = \sqrt{6.1875} \approx 2.48\, cm^{2}$.
સપાટી $II$ નું ક્ષેત્રફળ:
આ એક લંબચોરસ છે જેની લંબાઈ $6.5\, cm$ અને પહોળાઈ $1\, cm$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= 6.5 \times 1 = 6.5\, cm^{2}$.
સપાટી $III$ નું ક્ષેત્રફળ:
આ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓ $1\, cm$ અને $2\, cm$ છે. ઊંચાઈ $h$ પાયથાગોરસના પ્રમેય દ્વારા ગણવામાં આવે છે: $h = \sqrt{1^{2} - (0.5)^{2}} = \sqrt{0.75} \approx 0.866\, cm$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (1 + 2) \times 0.866 = 1.5 \times 0.866 \approx 1.3\, cm^{2}$.
સપાટી $IV$ અને $V$ નું ક્ષેત્રફળ:
આ બે એકરૂપ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $6\, cm$ અને ઊંચાઈ $1.5\, cm$ છે.
$IV$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 6 \times 1.5 = 4.5\, cm^{2}$.
$V$ નું ક્ષેત્રફળ $= 4.5\, cm^{2}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2.48 + 6.5 + 1.3 + 4.5 + 4.5 = 19.28\, cm^{2} \approx 19.3\, cm^{2}$.

(C) આપેલ ત્રિકોણ માટે,બાજુઓ $a = 28 \, cm$,$b = 30 \, cm$ અને $c = 26 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{28 + 30 + 26}{2} \, cm = \frac{84}{2} = 42 \, cm$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{42(42 - 28)(42 - 30)(42 - 26)} \, cm^2$
$= \sqrt{42 \times 14 \times 12 \times 16} \, cm^2$
$= \sqrt{(6 \times 7) \times (2 \times 7) \times (6 \times 2) \times 16} \, cm^2$
$= \sqrt{6^2 \times 7^2 \times 2^2 \times 4^2} \, cm^2 = 6 \times 7 \times 2 \times 4 \, cm^2 = 336 \, cm^2$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોવાથી:
$\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ} = 336 \, cm^2$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$ છે.
$28 \, cm \times h = 336 \, cm^2$
$h = \frac{336}{28} \, cm = 12 \, cm$.
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ $12 \, cm$ છે.

(D) અહીં,સમબાજુ ચતુષ્કોણની દરેક બાજુ $= 30\, m$ છે.
એક વિકર્ણ $= 48\, m$ છે.
વિકર્ણ સમબાજુ ચતુષ્કોણને બે એકરૂપ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી પ્રથમ ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 30\, m, b = 30\, m, c = 48\, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{30 + 30 + 48}{2}\, m = \frac{108}{2} = 54\, m$.
ત્રિકોણ $I$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{54(54 - 30)(54 - 30)(54 - 48)}\, m^{2}$.
$= \sqrt{54 \times 24 \times 24 \times 6}\, m^{2} = \sqrt{(9 \times 6) \times 24 \times 24 \times 6}\, m^{2} = \sqrt{9 \times 36 \times 24^{2}}\, m^{2} = 3 \times 6 \times 24\, m^{2} = 432\, m^{2}$.
બીજા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ પણ $432\, m^{2}$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 432\, m^{2} + 432\, m^{2} = 864\, m^{2}$.
આમ,$18$ ગાયો માટે ઘાસનું ક્ષેત્રફળ $= 864\, m^{2}$.
$1$ ગાય માટે ઘાસનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{864}{18}\, m^{2} = 48\, m^{2}$.

(N/A) દરેક ત્રિકોણાકાર ટુકડાની બાજુઓ $a = 20\, cm$,$b = 50\, cm$ અને $c = 50\, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{20 + 50 + 50}{2}\, cm = \frac{120}{2}\, cm = 60\, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરીને,દરેક ત્રિકોણાકાર ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{60(60 - 20)(60 - 50)(60 - 50)}\, cm^2$
$= \sqrt{60 \times 40 \times 10 \times 10}\, cm^2 = \sqrt{240000}\, cm^2 = 200\sqrt{6}\, cm^2$.
કુલ $10$ ત્રિકોણાકાર ટુકડાઓ હોવાથી,દરેક રંગના $5$ ટુકડાઓ છે.
દરેક રંગ માટે જરૂરી કાપડનું ક્ષેત્રફળ $= 5 \times 200\sqrt{6}\, cm^2 = 1000\sqrt{6}\, cm^2$.

(N/A) ત્રિકોણ $I$ નું ક્ષેત્રફળ:
વિકર્ણ $= 32\, cm$.
ચોરસના વિકર્ણો એકબીજાને $90^\circ$ પર દુભાગે છે,તેથી ત્રિકોણ $I$ ની ઊંચાઈ (જે વિકર્ણનું અડધું માપ છે) $= \frac{1}{2} \times 32\, cm = 16\, cm$.
ત્રિકોણનો પાયો એ ચોરસનો બીજો વિકર્ણ છે,જે પણ $32\, cm$ છે.
ત્રિકોણ $I$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 32\, cm \times 16\, cm = 256\, cm^2$.
ત્રિકોણ $II$ નું ક્ષેત્રફળ:
ચોરસનો વિકર્ણ તેને બે એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી ત્રિકોણ $II$ નું ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણ $I$ ના ક્ષેત્રફળ જેટલું જ હોય.
ત્રિકોણ $II$ નું ક્ષેત્રફળ $= 256\, cm^2$.
ત્રિકોણ $III$ નું ક્ષેત્રફળ:
પાયા પરના ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 8\, cm, b = 6\, cm, c = 6\, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{8 + 6 + 6}{2} = 10\, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{10(10-8)(10-6)(10-6)} = \sqrt{10 \times 2 \times 4 \times 4} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}\, cm^2$.
$\sqrt{5} \approx 2.24$ લેતા,ક્ષેત્રફળ $\approx 8 \times 2.24 = 17.92\, cm^2$.
આમ,દરેક રંગ માટે વપરાયેલ કાગળનું ક્ષેત્રફળ:
રંગ $I = 256\, cm^2$,રંગ $II = 256\, cm^2$,રંગ $III = 17.92\, cm^2$.

(C) $16$ સમાન ત્રિકોણાકાર ટાઇલ્સ છે.
ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 9\, cm, b = 28\, cm, c = 35\, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{9 + 28 + 35}{2} = \frac{72}{2} = 36\, cm$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને એક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{36(36 - 9)(36 - 28)(36 - 35)} = \sqrt{36 \times 27 \times 8 \times 1} = \sqrt{7776} = 36\sqrt{6}\, cm^2$.
$\sqrt{6} \approx 2.449$ નો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળ $\approx 36 \times 2.449 = 88.164\, cm^2$.
$16$ ટાઇલ્સનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 16 \times 88.164 = 1410.624\, cm^2$.
$50$ પૈસા (અથવા $Rs. 0.50$) પ્રતિ $cm^2$ ના દરે પોલિશ કરવાનો ખર્ચ $= 1410.624 \times 0.50 = Rs. 705.312$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,ખર્ચ $Rs. 705.60$ થાય છે.

(D) આપેલ ખેતર સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના સ્વરૂપમાં છે,જેમાં સમાંતર બાજુઓ $AB = 10\, m$ અને $DC = 25\, m$ છે.
અસમાંતર બાજુઓ $AD = 13\, m$ અને $BC = 14\, m$ છે.
$BE \parallel AD$ દોરો,જેથી $E$ એ $DC$ પર આવે. તેથી $ABED$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$DE = AB = 10\, m$,તેથી $EC = DC - DE = 25\, m - 10\, m = 15\, m$.
$\Delta BCE$ માં,બાજુઓ $a = 13\, m$,$b = 14\, m$ અને $c = 15\, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\, m$.
$\Delta BCE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84\, m^{2}$.
ધારો કે $h$ એ $EC = 15\, m$ પાયાને અનુરૂપ $\Delta BCE$ ની ઊંચાઈ છે.
$\Delta BCE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = 84\, m^{2}$.
$\frac{1}{2} \times 15 \times h = 84 \Rightarrow h = \frac{168}{15} = 11.2\, m$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABED$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = AB \times h = 10 \times 11.2 = 112\, m^{2}$.
ખેતરનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \Delta BCE$ નું ક્ષેત્રફળ $+$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABED$ નું ક્ષેત્રફળ $= 84 + 112 = 196\, m^{2}$.

(A) ધારો કે $ABCD$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ આકારનું ખેતર છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $= 400\, m$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,દરેક બાજુ $= 400\, m / 4 = 100\, m$.
આમ,$AB = BC = CD = DA = 100\, m$.
ધારો કે વિકર્ણ $BD = 160\, m$.
વિકર્ણ સમબાજુ ચતુષ્કોણને બે એકરૂપ ત્રિકોણો,$\triangle ABD$ અને $\triangle BCD$ માં વિભાજિત કરે છે.
$\triangle ABD$ માટે,બાજુઓ $a = 100\, m$,$b = 100\, m$ અને $c = 160\, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ નીચે મુજબ છે:
$s = (100 + 100 + 160) / 2 = 360 / 2 = 180\, m$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$\triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{180(180-100)(180-100)(180-160)}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{180 \times 80 \times 80 \times 20}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{180 \times 20 \times 80^2}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{3600 \times 6400}$
ક્ષેત્રફળ $= 60 \times 80 = 4800\, m^2$.
જમીનને બે સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવી હોવાથી,તે દરેકને $4800\, m^2$ ક્ષેત્રફળ મળશે.