Mix Examples - Circles Questions in Gujarati

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AD \parallel BC$ અને તેની સમાંતર ન હોય તેવી બાજુઓ $AB$ અને $DC$ સમાન છે,એટલે કે $AB = DC$.
સાબિત કરવાનું છે: સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ચક્રીય છે.
રચના: $AM \perp BC$ અને $DN \perp BC$ દોરો.
સાબિતી: કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta AMB$ અને $\Delta DNC$ માં:
$\angle AMB = \angle DNC = 90^{\circ}$ (રચના મુજબ)
$AB = DC$ (આપેલ છે)
$AM = DN$ (બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોય છે)
તેથી,$\Delta AMB \cong \Delta DNC$ ($RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ).
આમ,$\angle B = \angle C$ $(CPCT)$.
તે જ રીતે,$\angle BAM = \angle CDN$ $(CPCT)$.
$\angle AMB = 90^{\circ}$ અને $\angle DNC = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\angle MAB = 90^{\circ} - \angle B$ અને $\angle NDC = 90^{\circ} - \angle C$ મળે. $\angle B = \angle C$ હોવાથી,$\angle MAB = \angle NDC$ થાય.
હવે,$\angle BAD = \angle BAM + \angle MAD = \angle BAM + 90^{\circ}$ અને $\angle CDA = \angle CDN + \angle NDA = \angle CDN + 90^{\circ}$.
$\angle BAM = \angle CDN$ હોવાથી,$\angle BAD = \angle CDA$ થાય.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\angle B + \angle C + \angle CDA + \angle BAD = 360^{\circ}$.
$\angle C = \angle B$ અને $\angle CDA = \angle BAD$ મૂકતા,$2\angle B + 2\angle BAD = 360^{\circ}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\angle B + \angle BAD = 180^{\circ}$.
સામસામેના ખૂણાઓની એક જોડીનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ચક્રીય છે.

(N/A) આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $R, D, P$ અને $Q$ એકવર્તુળીય છે.
$RD, QD, PR$ અને $PQ$ ને જોડો.
કારણ કે $RP$ એ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ $R$ અને $P$ ને જોડે છે,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$RP \parallel AC$.
તે જ રીતે,$PQ \parallel AB$.
તેથી,$ARPQ$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેથી,$\angle RAQ = \angle RPQ$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા) ... $(1)$
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABD$ માં,$DR$ એ કર્ણ $AB$ પરની મધ્યગા છે. તેથી,$RA = RD$,જે સૂચવે છે કે $\angle 1 = \angle B$.
તે જ રીતે,કાટકોણ ત્રિકોણ $ACD$ માં,$DQ$ એ કર્ણ $AC$ પરની મધ્યગા છે. તેથી,$QA = QD$,જે સૂચવે છે કે $\angle 3 = \angle C$.
ત્રિકોણ $ABC$ માં,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
વધુમાં,$\triangle RDQ$ માં,$\angle RDQ = 180^{\circ} - (\angle DRQ + \angle DQR) = 180^{\circ} - (2\angle B + 2\angle C) = 180^{\circ} - 2(\angle B + \angle C) = 180^{\circ} - 2(180^{\circ} - \angle A) = 2\angle A - 180^{\circ}$.
વૈકલ્પિક રીતે,ચક્રીય ચતુષ્કોણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,$\angle RPQ = \angle A$ અને $\angle RDQ = \angle RDA + \angle ADQ = \angle RAD + \angle QAD = \angle A$. કારણ કે $\angle RPQ = \angle A$ અને $\angle RDQ = \angle A$,બિંદુઓ $R, D, P, Q$ એકવર્તુળીય છે કારણ કે તેઓ $RQ$ ના એક જ તરફ સમાન ખૂણા આંતરે છે.

(N/A) $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ $AD$ ને $P$ માં અને $BC$ ને $Q$ માં છેદે છે. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $P, Q, C$ અને $D$ એકવર્તુળીય છે.
$1$. $ABQP$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ હોવાથી,બાજુ $AP$ ને $D$ સુધી લંબાવતા બનતો બહિષ્કોણ તેના અંતઃસન્મુખ કોણ જેટલો થાય.
ધારો કે $\angle QPD$ એ $P$ આગળનો બહિષ્કોણ છે. તેથી,$\angle QPD = \angle ABQ$.
$2$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$AD \parallel BC$. પરંતુ,સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $DC$ ની છેદિકા $BC$ લેતા,$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$ (ક્રમિક અંતઃકોણો).
$3$. $\angle QPD = \angle ABQ$ (ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABQP$ ના ગુણધર્મ મુજબ) અને આપણે જાણીએ છીએ કે $\angle ABQ + \angle C = 180^{\circ}$,તેથી આપણે $\angle ABQ$ ની જગ્યાએ $\angle QPD$ મૂકી શકીએ.
$4$. તેથી,$\angle QPD + \angle C = 180^{\circ}$.
$5$. ચતુષ્કોણ $PDCQ$ ના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$PDCQ$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
આમ,બિંદુઓ $P, Q, C$ અને $D$ એકવર્તુળીય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક $\Delta ABC$ અને રેખા $l$ જે $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle A$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક અને $BC$ નો લંબદ્વિભાજક $\Delta ABC$ ના પરિવર્તુળ પર છેદે છે.
સાબિતી: ધારો કે $\angle A$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક $\Delta ABC$ ના પરિવર્તુળને બિંદુ $P$ પર છેદે છે. $BP$ અને $CP$ ને જોડો.
એક જ વૃત્તખંડના ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\angle BAP = \angle BCP$
$AP$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\angle BAP = \angle PAC = \frac{1}{2} \angle A$
તેથી,$\angle BCP = \frac{1}{2} \angle A$ $...(1)$
તે જ રીતે,સમાન વૃત્તખંડમાં,$\angle PAC = \angle PBC$.
$\angle PAC = \frac{1}{2} \angle A$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\angle PBC = \frac{1}{2} \angle A$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle BCP = \angle PBC$
$\Delta PBC$ માં,પાયાના ખૂણા સમાન હોવાથી,તેમની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે:
$BP = CP$
$P$ એ $B$ અને $C$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$P$ એ $BC$ ના લંબદ્વિભાજક પર હોવું જોઈએ.
આમ,$\angle A$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક અને $BC$ નો લંબદ્વિભાજક $\Delta ABC$ ના પરિવર્તુળ પર છેદે છે.

(A) સાબિત કરવાનું છે: $\text{ચાપ } CXA + \text{ચાપ } DZB = \text{ચાપ } AYD + \text{ચાપ } BWC = \text{અર્ધવર્તુળ}$.
રચના: $AC, AD, BD$ અને $BC$ ને જોડો.
સાબિતી: ધારો કે જીવાઓ $AB$ અને $CD$ બિંદુ $O$ પર કાટખૂણે છેદે છે. તેથી,$\angle AOC = \angle COB = \angle BOD = \angle DOA = 90^{\circ}$.
વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા આંતરાયેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે. ચાપના માપને તેમના અનુરૂપ કેન્દ્રના ખૂણાઓ દ્વારા દર્શાવીએ.
$\triangle AOC$ માં,$\angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
વર્તુળના પરિઘ પર ચાપ દ્વારા આંતરાયેલો ખૂણો કેન્દ્રના ખૂણા કરતાં અડધો હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\text{ચાપ } CXA = 2 \angle CBA$ અને $\text{ચાપ } DZB = 2 \angle BCD$.
$\triangle OBC$ માં,$\angle OBC + \angle OCB = 90^{\circ}$.
તેથી,$\frac{1}{2} (\text{ચાપ } CXA) + \frac{1}{2} (\text{ચાપ } DZB) = \angle CBA + \angle BCD = 90^{\circ}$.
આમ,$\text{ચાપ } CXA + \text{ચાપ } DZB = 180^{\circ}$,જે અર્ધવર્તુળ છે.
તે જ રીતે,બીજી જોડી માટે,$\text{ચાપ } AYD + \text{ચાપ } BWC = 180^{\circ}$,જે પણ અર્ધવર્તુળ છે.
તેથી,$\text{ચાપ } CXA + \text{ચાપ } DZB = \text{ચાપ } AYD + \text{ચાપ } BWC = \text{અર્ધવર્તુળ}$.

(N/A) વર્તુળની સમાન જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે,તેથી:
જીવા $AB = $ જીવા $AC$ (આપેલ છે,કારણ કે $ABC$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે).
તેથી,$\angle AOB = \angle AOC$ $...(1)$
વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈ પણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે:
$\angle APC = \frac{1}{2} \angle AOC$ $...(2)$
$\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB$ $...(3)$
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle APC = \angle APB$
આમ,$PA$ એ $\angle BPC$ નો દ્વિભાજક છે.

(N/A) આપેલ છે: $AB$ અને $CD$ એ કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળની બે જીવાઓ છે,જે બિંદુ $E$ પર છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle AEC = \frac{1}{2} (\angle AOC + \angle BOD)$.
રચના: $AC, BC, BD$ અને $AD$ ને જોડો.
સાબિતી:
$1$. આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરાયેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ આંતરાયેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
$2$. ચાપ $CXA$ એ કેન્દ્ર પર $\angle AOC$ અને વર્તુળના બાકીના ભાગ પર $\angle ABC$ આંતરે છે. તેથી,$\angle AOC = 2 \angle ABC$ $....(1)$
$3$. તેવી જ રીતે,ચાપ $DYB$ એ કેન્દ્ર પર $\angle BOD$ અને વર્તુળના બાકીના ભાગ પર $\angle BCD$ આંતરે છે. તેથી,$\angle BOD = 2 \angle BCD$ $....(2)$
$4$. $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે: $\angle AOC + \angle BOD = 2(\angle ABC + \angle BCD)$ $....(3)$
$5$. $\Delta CEB$ માં,$\angle AEC$ એ બહિષ્કોણ છે. બહિષ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ તેના બે અંતઃસન્મુખ ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$6$. તેથી,$\angle AEC = \angle ABC + \angle BCD$ $....(4)$
$7$. $(3)$ અને $(4)$ પરથી,આપણને મળે: $\angle AOC + \angle BOD = 2 \angle AEC$.
$8$. આમ,$\angle AEC = \frac{1}{2} (\angle AOC + \angle BOD)$.
આમ,$\angle AEC = \frac{1}{2}$ (ચાપ $CXA$ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરાયેલો ખૂણો $+$ ચાપ $DYB$ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરાયેલો ખૂણો).

(N/A) ધારો કે ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના સામસામેના ખૂણાઓ $\angle A$ અને $\angle C$ ના દ્વિભાજકો વર્તુળને અનુક્રમે $P$ અને $Q$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
આપણે સાબિત કરવું છે કે $PQ$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$AQ$ અને $DQ$ ને જોડો.
ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓ પૂરક હોવાથી,ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં:
$\angle DAB + \angle DCB = 180^{\circ}$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{2} \angle DAB + \frac{1}{2} \angle DCB = 90^{\circ}$
ધારો કે $\angle 1 = \frac{1}{2} \angle DAB$ અને $\angle 2 = \frac{1}{2} \angle DCB$. તેથી,$\angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ}$.
$\angle 2$ અને $\angle 3$ એ એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ છે જે જીવા $QD$ દ્વારા અંતરાયેલા છે,તેથી $\angle 2 = \angle 3$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\angle 1 + \angle 3 = 90^{\circ}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\angle PAQ = 90^{\circ}$.
વર્તુળના પરિઘ પર $PQ$ દ્વારા અંતરાયેલો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,$PQ$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.

(N/A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2} \text{ cm}$ છે. ધારો કે $BC$ એ $2 \text{ cm}$ લંબાઈની જીવા છે.
$OB$ અને $OC$ ને જોડો. $\triangle OBC$ માં,આપણી પાસે $OB = OC = \sqrt{2} \text{ cm}$ અને $BC = 2 \text{ cm}$ છે.
ચકાસો કે શું $\triangle OBC$ કાટકોણ ત્રિકોણ છે:
$OB^2 + OC^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$.
$BC^2 = (2)^2 = 4$.
અહીં $OB^2 + OC^2 = BC^2$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$\angle BOC = 90^{\circ}$ થાય.
વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો,વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ આંતરાતા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$.
આમ,સાબિત થાય છે કે ગુરુ વૃત્તખંડમાં જીવા દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.

(N/A) ધારો કે $O$ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતું એક વર્તુળ છે. $AB$ અને $AC$ બે જીવાઓ છે જેથી $AB = 2 AC$ થાય.
ધારો કે $OL \perp AB$ અને $OM \perp AC$. આપેલ છે કે $OL = p$ અને $OM = q$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે.
કાટકોણ $\Delta AOL$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$r^{2} = AL^{2} + p^{2} \Rightarrow AL^{2} = r^{2} - p^{2}$.
$L$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AL = \frac{1}{2} AB$.
તેથી,$(\frac{1}{2} AB)^{2} = r^{2} - p^{2} \Rightarrow \frac{1}{4} AB^{2} = r^{2} - p^{2} \Rightarrow AB^{2} = 4(r^{2} - p^{2})$.
$AB = 2 AC$ હોવાથી,$(2 AC)^{2} = 4(r^{2} - p^{2}) \Rightarrow 4 AC^{2} = 4(r^{2} - p^{2}) \Rightarrow AC^{2} = r^{2} - p^{2} \quad \dots(1)$.
કાટકોણ $\Delta AOM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$r^{2} = AM^{2} + q^{2} \Rightarrow AM^{2} = r^{2} - q^{2}$.
$M$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AM = \frac{1}{2} AC$.
તેથી,$(\frac{1}{2} AC)^{2} = r^{2} - q^{2} \Rightarrow \frac{1}{4} AC^{2} = r^{2} - q^{2} \Rightarrow AC^{2} = 4(r^{2} - q^{2}) \quad \dots(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$r^{2} - p^{2} = 4(r^{2} - q^{2})$
$r^{2} - p^{2} = 4r^{2} - 4q^{2}$
$4q^{2} = 4r^{2} - r^{2} + p^{2}$
$4q^{2} = 3r^{2} + p^{2}$.
આમ,$4q^{2} = p^{2} + 3r^{2}$ સાબિત થાય છે.

(N/A) $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $\angle BCO = 30^{\circ}$ છે. આપણે $x$ અને $y$ ની કિંમતો શોધવાની છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OPC$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle POC = 180^{\circ} - (\angle OPC + \angle PCO)$
$\Rightarrow \angle POC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle AOD = 90^{\circ}$,અને $AD$ એક સીધી રેખા હોવાથી,$\angle AOD + \angle DOP = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
$\angle DOP = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
હવે,$\angle COD = \angle DOP - \angle POC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા બનતો ખૂણો,વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ બનતા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે:
$\angle CBD = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2} \times 30^{\circ} = 15^{\circ}$. તેથી,$y = 15^{\circ}$.
વળી,$\angle ABD = \frac{1}{2} \angle AOD = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$.
$\Delta ABP$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$x + (\angle ABD + y) + \angle APB = 180^{\circ}$
$x + (45^{\circ} + 15^{\circ}) + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$x + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$x = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
આમ,$x = 30^{\circ}$ અને $y = 15^{\circ}$.

$(30^{\circ})$ $\Delta OBD$ માં,આપણી પાસે $OB = OD$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ) અને $BD = OD$ (આપેલ છે).
કારણ કે $OB = OD = BD$,તેથી $\Delta OBD$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\angle BOD = 60^{\circ}$.
$\Delta OPD$ અને $\Delta BPD$ માં,$OD = BD$ (આપેલ છે),$DP = DP$ (સામાન્ય બાજુ),$\angle OPD = \angle BPD = 90^{\circ}$.
આમ,$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta OPD \cong \Delta BPD$.
આનો અર્થ એ છે કે $\angle DOP = \angle DBP$. કારણ કે $\angle BOD = 60^{\circ}$,તેથી $\angle DOP = 60^{\circ}$.
આમ,$\angle DBP = 60^{\circ}$.
$\Delta BPD$ માં,$\angle BDP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,$\angle CAB = \angle CDB$.
તેથી,$\angle CAB = 30^{\circ}$.

(N/A) આપેલ છે: $AB$ અને $CD$ એ કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ છે જેમને લંબાવતા તે $P$ બિંદુમાં છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PB = PD$.
રચના: $OR \perp AB$ અને $OQ \perp CD$ દોરો. $OP$ ને જોડો.
સાબિતી: કારણ કે $OR \perp AB$ અને $OQ \perp CD$ એ વર્તુળના કેન્દ્ર $O$ માંથી દોરેલ છે,
તેથી,$R$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
[કારણ કે કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલ લંબ જીવાને દુભાગે છે]
કારણ કે $AB = CD$ [આપેલ છે],
તેથી,$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD$.
તેથી,$AR = CQ$ અને $RB = QD$ $...(1)$
કારણ કે $AB = CD$,તેથી $OR = OQ$ $...(2)$
[કારણ કે સમાન જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોય છે]
હવે,કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ORP$ અને $\Delta OQP$ માં:
$\angle ORP = \angle OQP$ [દરેક $90^{\circ}$]
કર્ણ $OP = $ કર્ણ $OP$ [સામાન્ય બાજુ]
$OR = OQ$ [$(2)$ પરથી]
$\Delta ORP \cong \Delta OQP$ [કા.ક.બા. ($R$.$H$.$S$.) એકરૂપતાની શરત મુજબ]
$RP = QP$ [$CPCT$ દ્વારા] $...(3)$
હવે,$(3)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$RP - RB = QP - QD$
$PB = PD$
આમ,સાબિત થાય છે.

(A) $(1)$ સાચું. વ્યાખ્યા મુજબ,વર્તુળ એટલે સમતલના એવા તમામ બિંદુઓનો સમૂહ જે સમતલના એક નિશ્ચિત બિંદુ (કેન્દ્ર) થી નિશ્ચિત અંતરે (ત્રિજ્યા) આવેલા હોય છે.
$(2)$ સાચું. વ્યાખ્યા મુજબ,વર્તુળના કેન્દ્ર અને વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુને જોડતા રેખાખંડને વર્તુળની ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે.

(D) $(1)$ ખોટું. વર્તુળ જે સમતલ પર આવેલું છે તેને તે ત્રણ ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: અંદરનો ભાગ,વર્તુળ પોતે અને બહારનો ભાગ.
$(2)$ ખોટું. જો કોઈ બિંદુનું વર્તુળના કેન્દ્રથી અંતર તેની ત્રિજ્યા કરતાં વધારે હોય,તો તે બિંદુ વર્તુળના બહારના ભાગમાં આવેલું હોય છે.

(A) $(1)$ સાચું. જીવા એટલે એવો રેખાખંડ જેના અંત્યબિંદુઓ વર્તુળ પર આવેલા હોય છે.
$(2)$ ખોટું. વર્તુળના વ્યાસની લંબાઈ તેની ત્રિજ્યાની લંબાઈ કરતાં બમણી હોય છે,એટલે કે $d = 2r$.

(A) $(1)$ સાચું. વ્યાખ્યા મુજબ,વર્તુળ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેના વર્તુળના ભાગને ચાપ કહેવામાં આવે છે.
$(2)$ સાચું. વર્તુળની સીમાની કુલ લંબાઈને તેનો પરિઘ કહેવામાં આવે છે.

(A) $(1)$ ખોટું. જીવા અને તેના કોઈ પણ ચાપ વચ્ચેના પ્રદેશને વૃત્તખંડ કહેવાય છે,વૃત્તાંશ નહીં.
$(2)$ ખોટું. ચાપ અને કેન્દ્રને ચાપના અંત્યબિંદુઓ સાથે જોડતી બે ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેના પ્રદેશને વૃત્તાંશ કહેવાય છે,વૃત્તખંડ નહીં.

(N/A) આપેલ છે : $AB$ અને $CD$ એ $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળની સમાન જીવાઓ છે,એટલે કે $AB = CD$.
સાબિત કરવાનું છે : $\angle AOB = \angle COD$.
સાબિતી: $\Delta OAB$ અને $\Delta OCD$ માં:
$OA = OC$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OB = OD$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$AB = CD$ (આપેલ છે)
તેથી,$\Delta OAB \cong \Delta OCD$ ($SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ).
તેથી,$\angle AOB = \angle COD$ ($CPCT$ દ્વારા).

(N/A) આપેલ છે: $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળમાં,જીવાઓ $AB$ અને $PQ$ કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે,એટલે કે $\angle AOB = \angle POQ$.
સાબિત કરવાનું છે: $AB = PQ$.
સાબિતી: $\Delta AOB$ અને $\Delta POQ$ માં:
$OA = OP$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OB = OQ$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$\angle AOB = \angle POQ$ (આપેલ છે)
તેથી,$\Delta AOB \cong \Delta POQ$ ($SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ).
તેથી,$AB = PQ$ ($CPCT$ મુજબ).

(N/A) ધારો કે $O$ અને $O'$ કેન્દ્રવાળા બે એકરૂપ વર્તુળો છે.
ધારો કે $AB$ એ પ્રથમ વર્તુળની જીવા છે અને $CD$ એ બીજા વર્તુળની જીવા છે,જ્યાં $AB = CD$ છે.
આપણે સાબિત કરવું છે કે $\angle AOB = \angle CO'D$.
$\triangle AOB$ અને $\triangle CO'D$ માં:
$1. OA = O'C$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ સમાન હોય છે).
$2. OB = O'D$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ સમાન હોય છે).
$3. AB = CD$ (આપેલ છે).
$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle AOB \cong \triangle CO'D$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
તેથી,$\angle AOB = \angle CO'D$.

(N/A) ધારો કે $O$ અને $O'$ કેન્દ્રવાળા બે એકરૂપ વર્તુળો છે.
ધારો કે $AB$ એ પ્રથમ વર્તુળની જીવા છે અને $CD$ એ બીજા વર્તુળની જીવા છે.
આપેલ છે કે $\angle AOB = \angle CO'D$.
$\triangle AOB$ અને $\triangle CO'D$ માં:
$1$. $OA = O'C$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ સમાન હોય છે).
$2$. $OB = O'D$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ સમાન હોય છે).
$3$. $\angle AOB = \angle CO'D$ (આપેલ છે).
$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle AOB \cong \triangle CO'D$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
તેથી,$AB = CD$.
આમ,જીવાઓ સમાન છે.

(A) વર્તુળમાં,સમાન જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે.
આપેલ છે કે $P$ કેન્દ્રિત વર્તુળમાં $AB$ અને $CD$ સમાન જીવાઓ છે $(AB = CD)$.
પ્રમેય મુજબ,વર્તુળની સમાન જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે.
તેથી,$\angle APB = \angle CPD$.
આપેલ છે કે $\angle APB = 80^{\circ}$,તેથી $\angle CPD = 80^{\circ}$ થાય.

(B) $1$. વર્તુળમાં,સમાન જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે. જીવા $AB = CD$ હોવાથી,કેન્દ્ર આગળ બનતા ખૂણા સમાન હશે,તેથી $\angle CPD = \angle APB = 100^{\circ}$.
$2$. $\triangle PCD$ માં,$PC$ અને $PD$ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ છે,તેથી $PC = PD$. આથી $\triangle PCD$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
$3$. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે,તેથી $\angle PCD = \angle PDC$.
$4$. ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$\angle PCD + \angle PDC + \angle CPD = 180^{\circ}$.
$5$. કિંમતો મૂકતા: $2 \times \angle PCD + 100^{\circ} = 180^{\circ}$.
$6$. $2 \times \angle PCD = 80^{\circ}$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $\angle PCD = 40^{\circ}$ મળે છે.

(C) વર્તુળમાં,જો બે જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે,તો તે જીવાઓની લંબાઈ સમાન હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે $\angle POQ = 90^{\circ}$ અને $\angle ROS = 90^{\circ}$.
કારણ કે $\angle POQ = \angle ROS$ છે,તેથી જીવા $PQ$ અને $RS$ સમાન હોવી જોઈએ.
આપેલ છે કે $PQ = 6\, cm$,તેથી $RS = 6\, cm$ થાય.

(D) $\triangle OXY$ માં,$OX = OY$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ).
તેથી,$\angle OYX = \angle OXY = 30^{\circ}$.
$\triangle OXY$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle XOY = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ}$.
$\triangle OXY$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા: $\frac{XY}{\sin(120^{\circ})} = \frac{OX}{\sin(30^{\circ})}$.
$OX = \frac{8 \cdot \sin(30^{\circ})}{\sin(120^{\circ})} = \frac{8 \cdot 0.5}{\sqrt{3}/2} = \frac{8}{\sqrt{3}}$.
હવે,$\triangle OPQ$ માં,$OP = OQ = OX = \frac{8}{\sqrt{3}}$.
$\triangle OPQ$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા: $PQ = 2 \cdot OP \cdot \sin(\frac{120^{\circ}}{2}) = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \sin(60^{\circ})$.
$PQ = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \, cm$.

(A) કેન્દ્ર $P$ વાળા વર્તુળમાં,$PA = PB = 8 \ cm$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ).
$PA = PB$ હોવાથી,$\triangle PAB$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\angle PBA = \angle PAB = 40^{\circ}$.
$\triangle PAB$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle APB = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 100^{\circ}$.
જીવા $AB$ અને $CD$ સમાન છે અને વર્તુળોની ત્રિજ્યા સમાન $(8 \ cm)$ હોવાથી,જીવાઓ તેમના કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે.
આમ,$\angle CQD = \angle APB = 100^{\circ}$.

(C) કેન્દ્ર $P$ વાળા વર્તુળમાં,$PA = PB = 4\, cm$ (ત્રિજ્યાઓ). $\triangle APB$ માં,$PA = PB = 4\, cm$ અને $AB = 5\, cm$.
કેન્દ્ર $Q$ વાળા વર્તુળમાં,$QX = QY = 4\, cm$ (ત્રિજ્યાઓ).
આપેલ છે કે $\angle XQY = 50^{\circ}$. $\triangle XQY$ માં,$QX = QY = 4\, cm$.
$\triangle XQY$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$XY^2 = QX^2 + QY^2 - 2(QX)(QY) \cos(50^{\circ})$
$XY^2 = 4^2 + 4^2 - 2(4)(4) \cos(50^{\circ}) = 32(1 - \cos(50^{\circ}))$
$XY^2 = 32(2 \sin^2(25^{\circ})) = 64 \sin^2(25^{\circ})$
$XY = 8 \sin(25^{\circ}) \approx 3.38\, cm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકનો પૂર્ણાંક $3$ છે.

(N/A) આપણી પાસે $O$ કેન્દ્રવાળું એક વર્તુળ છે. $BC$ એ વ્યાસ છે અને $AB$ એ જીવા છે,જ્યાં $OD \perp AB$ છે. $AC$ ને જોડો.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે. તેથી,$D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર હોવાથી,$O$ એ વ્યાસ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$\triangle ABC$ માં,$O$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$OD$ એ $\triangle ABC$ ની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$OD \parallel CA$ અને $OD = \frac{1}{2} CA$.
આમ,$CA = 2OD$.

(N/A) $1$. ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $P$ છે. $l$ એ જીવા $AB$ નો લંબદ્વિભાજક હોવાથી,તે વર્તુળના કેન્દ્ર $P$ માંથી પસાર થાય છે.
$2$. આપણને આપેલ છે કે $AB \parallel CD$.
$3$. $l$ એ $AB$ ને લંબ હોવાથી $(l \perp AB)$ અને $AB \parallel CD$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $l$ એ $CD$ ને પણ લંબ છે $(l \perp CD)$.
$4$. વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને જીવાને લંબ રેખા તે જીવાને દુભાગે છે.
$5$. $l$ એ કેન્દ્ર $P$ માંથી પસાર થાય છે અને $CD$ ને લંબ છે,તેથી $l$ એ જીવા $CD$ ને દુભાગે છે.

(N/A) $1$. ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $P$ છે. રેખા $l$ એ $P$ માંથી પસાર થાય છે અને $AB$ ને બિંદુ $M$ માં તથા $XY$ ને બિંદુ $N$ માં છેદે છે.
$2$. રેખા $l$ જીવા $AB$ ને $M$ માં દુભાગે છે,તેથી પ્રમેય મુજબ 'વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવાને દુભાગવા દોરેલી રેખા જીવાને લંબ હોય છે',એટલે કે $PM \perp AB$. તેથી,$\angle PMA = 90^{\circ}$.
$3$. તેવી જ રીતે,રેખા $l$ જીવા $XY$ ને $N$ માં દુભાગે છે,તેથી $PN \perp XY$. તેથી,$\angle PNY = 90^{\circ}$.
$4$. $M, P$ અને $N$ એક જ રેખા $l$ પર આવેલા હોવાથી,$\angle PMA$ અને $\angle PNY$ એ રેખા $l$ દ્વારા $AB$ અને $XY$ ને છેદવાથી બનતા અનુકોણ છે.
$5$. $\angle PMA = 90^{\circ}$ અને $\angle PNY = 90^{\circ}$ હોવાથી,અનુકોણ સમાન છે $(\angle PMA = \angle PNY = 90^{\circ})$.
$6$. તેથી,અનુકોણની પૂર્વધારણાના પ્રતીપ મુજબ,$AB \parallel XY$ થાય.

(A) ધારો કે $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક $AD$ છે,જ્યાં $D$ એ વર્તુળ પરનું બિંદુ છે અને $P$ એ $AD$ પર આવેલું છે.
$\triangle APB$ અને $\triangle APC$ માં:
$1$. $AP = AP$ (સામાન્ય બાજુ).
$2$. $\angle BAP = \angle CAP$ (કારણ કે $AP$ એ $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક છે).
$3$. $PB = PC$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ).
હવે,$\triangle APB$ અને $\triangle APC$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા:
$\triangle APB$ માં: $\frac{PB}{\sin \theta} = \frac{AB}{\sin \angle APB} \implies AB = \frac{r sin \angle APB}{\sin \theta}$.
$\triangle APC$ માં: $\frac{PC}{\sin \theta} = \frac{AC}{\sin \angle APC} \implies AC = \frac{r sin \angle APC}{\sin \theta}$.
$A, P, D$ એક જ રેખા પર હોવાથી,$\angle APB + \angle APC = 180^{\circ}$.
તેથી,$\sin \angle APB = \sin(180^{\circ} - \angle APC) = \sin \angle APC$.
આમ,$AB = AC$ સાબિત થાય છે.

(C) $P$ માંથી $PM \perp AB$ દોરો. $PA$ ને જોડો.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે.
$\therefore AM = MB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 32 = 16\, cm$.
$PA$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,તેથી $PA = 20\, cm$.
$\Delta PMA$ માં,$\angle M = 90^{\circ}$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PA^2 = PM^2 + AM^2$.
$\therefore PM^2 = PA^2 - AM^2 = (20)^2 - (16)^2 = 400 - 256 = 144$.
$\therefore PM = \sqrt{144} = 12\, cm$.
આમ,કેન્દ્ર $P$ થી જીવા $AB$ નું અંતર $12\, cm$ છે.

(D) ધારો કે $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. આપેલ છે કે $OR = OM = OS = 5 \, m$ (વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ) અને $RS = SM = 6 \, m$.
ચતુષ્કોણ $ORSM$ માં,$OR = OM = 5 \, m$ અને $RS = SM = 6 \, m$.
તેથી,ચતુષ્કોણ $ORSM$ એ પતંગાકાર ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,તેનો વિકર્ણ $OS$ એ વિકર્ણ $RM$ ને બિંદુ $K$ પર કાટખૂણે દુભાગે છે.
તેથી,$\angle RKO = 90^{\circ}$ અને $K$ એ $RM$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $RM = 2 RK$.
$OL \perp RS$ દોરો. કેન્દ્રમાંથી જીવા $RS$ પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $L$ એ $RS$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$RL = \frac{1}{2} RS = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \, m$.
કાટકોણ $\Delta RLO$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$RO^2 = OL^2 + RL^2$
$5^2 = OL^2 + 3^2$
$25 = OL^2 + 9$
$OL^2 = 16 \implies OL = 4 \, m$.
હવે,$\Delta ROS$ નું ક્ષેત્રફળ બે રીતે શોધી શકાય છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times RS \times OL = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \, m^2$.
વળી,ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OS \times RK = \frac{1}{2} \times 5 \times RK$.
બંને ક્ષેત્રફળોને સરખાવતા: $\frac{1}{2} \times 5 \times RK = 12$
$5 \times RK = 24 \implies RK = 4.8 \, m$.
કારણ કે $RM = 2 RK$,તેથી $RM = 2 \times 4.8 = 9.6 \, m$.
આમ,રેશ્મા અને મંદિપ વચ્ચેનું અંતર $9.6 \, m$ છે.

(A) ધારો કે $O$ કેન્દ્રિત વર્તુળ બગીચો દર્શાવે છે અને બિંદુઓ $A, S$ અને $D$ અનુક્રમે અંકુર,સૈયદ અને ડેવિડના સ્થાન દર્શાવે છે. અંકુર,સૈયદ અને ડેવિડ એકબીજાથી સમાન અંતરે બેઠા હોવાથી,$\Delta ASD$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
$SD$ ના મધ્યબિંદુ $M$ માંથી $SD$ નો લંબદ્વિભાજક દોરો. તે કેન્દ્ર $O$ અને શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થશે.
ધારો કે $SM = x \, m$. તો $SD = 2SM = 2x \, m$.
$\Delta OMS$ માં,$\angle M = 90^{\circ}$. પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$OM^2 = OS^2 - SM^2 = (20)^2 - x^2 = 400 - x^2$
$OM = \sqrt{400 - x^2}$
$O$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ $ASD$ નું મધ્યકેન્દ્ર હોવાથી,શિરોબિંદુથી મધ્યકેન્દ્રનું અંતર એ મધ્યકેન્દ્રથી સામેની બાજુના મધ્યબિંદુના અંતર કરતા બમણું હોય છે.
$AM = AO + OM = 20 + \sqrt{400 - x^2}$
$\Delta ASD$ માં,વેધ $AM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{બાજુ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times (2x) = x\sqrt{3}$.
$AM$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$x\sqrt{3} = 20 + \sqrt{400 - x^2}$
$x\sqrt{3} - 20 = \sqrt{400 - x^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x\sqrt{3} - 20)^2 = 400 - x^2$
$3x^2 - 40\sqrt{3}x + 400 = 400 - x^2$
$4x^2 - 40\sqrt{3}x = 0$
$4x(x - 10\sqrt{3}) = 0$
$x \neq 0$ હોવાથી,$x = 10\sqrt{3}$.
દોરીની લંબાઈ એ ત્રિકોણની બાજુ $SD = 2x = 2(10\sqrt{3}) = 20\sqrt{3} \, m$ છે.

(B) ધારો કે $P$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $AB$ એ $30\,cm$ લંબાઈની જીવા છે.
કેન્દ્ર $P$ માંથી જીવા $AB$ પર લંબ $PM$ દોરો.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે.
તેથી,$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{30}{2} = 15\,cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PA^2 = PM^2 + AM^2$.
અહીં ત્રિજ્યા $PA = 17\,cm$ અને $AM = 15\,cm$ આપેલ છે.
$17^2 = PM^2 + 15^2$.
$289 = PM^2 + 225$.
$PM^2 = 289 - 225 = 64$.
$PM = \sqrt{64} = 8\,cm$.
આમ,કેન્દ્ર $P$ થી જીવા $AB$ નું અંતર $8\,cm$ છે.

(A) ધારો કે $P$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $AB$ એ $40 \, cm$ લંબાઈની જીવા છે.
ધારો કે $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે.
તેથી,$AM = MB = \frac{40}{2} = 20 \, cm$.
કેન્દ્રથી જીવાનું અંતર $PM = 21 \, cm$ આપેલ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PA^2 = PM^2 + AM^2$
$PA^2 = 21^2 + 20^2$
$PA^2 = 441 + 400 = 841$
$PA = \sqrt{841} = 29 \, cm$.
અહીં,$PA$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r)$ છે.
વ્યાસ $(d)$ = $2 \times r = 2 \times 29 = 58 \, cm$.

(D) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
$12 \, cm$ લંબાઈની જીવા $AB$ માટે,કેન્દ્ર $O$ થી અંતર $d_1 = 8 \, cm$ છે.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે. આમ,કેન્દ્રથી અંતર,ત્રિજ્યા અને જીવાની અડધી લંબાઈ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
$r^2 = (12/2)^2 + 8^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
તેથી,$r = 10 \, cm$.
$16 \, cm$ લંબાઈની જીવા $CD$ માટે,ધારો કે કેન્દ્રથી અંતર $d_2$ છે.
$r^2 = (16/2)^2 + d_2^2$.
$10^2 = 8^2 + d_2^2$.
$100 = 64 + d_2^2$.
$d_2^2 = 36$.
$d_2 = 6 \, cm$.

(A) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કેન્દ્ર $P$ માંથી જીવા $AB$ પર લંબ $M$ અને જીવા $CD$ પર લંબ $N$ દોરો.
$PM = 15 \, cm$ અને $PN = 8 \, cm$.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AM = MB = AB / 2 = 16 / 2 = 8 \, cm$.
કાટ્રાયંગલ $\triangle PAM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $r^2 = PM^2 + AM^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$.
તેથી,$r = \sqrt{289} = 17 \, cm$.
હવે,ટ્રાયંગલ $\triangle PNC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $r^2 = PN^2 + CN^2$.
$17^2 = 8^2 + CN^2 \implies 289 = 64 + CN^2$.
$CN^2 = 289 - 64 = 225$.
$CN = \sqrt{225} = 15 \, cm$.
$N$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$CD = 2 \times CN = 2 \times 15 = 30 \, cm$.

(A) ધારો કે $P$ એ $25\,cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
ધારો કે $M$ અને $N$ એ અનુક્રમે જીવા $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AM = MB = AB/2 = 40/2 = 20\,cm$ અને $CN = ND = CD/2 = 30/2 = 15\,cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $PM^2 + AM^2 = PA^2 \implies PM^2 + 20^2 = 25^2 \implies PM^2 = 625 - 400 = 225 \implies PM = 15\,cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PNC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $PN^2 + CN^2 = PC^2 \implies PN^2 + 15^2 = 25^2 \implies PN^2 = 625 - 225 = 400 \implies PN = 20\,cm$.
કેન્દ્ર $P$ એ જીવાઓની વચ્ચે ન હોવાથી,જીવાઓ વચ્ચેનું અંતર $|PN - PM| = |20 - 15| = 5\,cm$ થશે.

(C) ધારો કે $P$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $r = 26\,cm$ એ ત્રિજ્યા છે.
કેન્દ્ર $P$ માંથી જીવાઓ $AB$ અને $CD$ પર અનુક્રમે લંબ $PM$ અને $PN$ દોરો.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10\,cm$
$CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{48}{2} = 24\,cm$
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PM^2 + AM^2 = PA^2$
$PM^2 + 10^2 = 26^2$
$PM^2 = 676 - 100 = 576$
$PM = \sqrt{576} = 24\,cm$
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PNC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PN^2 + CN^2 = PC^2$
$PN^2 + 24^2 = 26^2$
$PN^2 = 676 - 576 = 100$
$PN = \sqrt{100} = 10\,cm$
કેન્દ્ર $P$ એ જીવાઓની વચ્ચે હોવાથી,$AB$ અને $CD$ વચ્ચેનું અંતર $PM + PN = 24 + 10 = 34\,cm$ થાય.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $P$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 25 \, cm$ છે.
કેન્દ્ર $P$ માંથી જીવાઓ $AB$ અને $CD$ પર લંબ દોરો,જે તેમને અનુક્રમે $M$ અને $N$ બિંદુઓમાં મળે છે.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{48}{2} = 24 \, cm$
$CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{40}{2} = 20 \, cm$
કાટ
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PMA$ માં:
$PM^2 + AM^2 = PA^2$
$PM^2 + 24^2 = 25^2$
$PM^2 + 576 = 625$
$PM^2 = 49 \implies PM = 7 \, cm$
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PNC$ માં:
$PN^2 + CN^2 = PC^2$
$PN^2 + 20^2 = 25^2$
$PN^2 + 400 = 625$
$PN^2 = 225 \implies PN = 15 \, cm$
કેન્દ્ર $P$ એ જીવાઓની વચ્ચે હોવાથી,$AB$ અને $CD$ વચ્ચેનું અંતર $PM + PN = 7 \, cm + 15 \, cm = 22 \, cm$ થાય.

(A) ધારો કે $P$ એ $13 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. ધારો કે $M$ અને $N$ એ અનુક્રમે જીવા $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AM = MB = 12 \, cm$ અને $CN = ND$. $\triangle PMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PM^2 + AM^2 = PA^2$,તેથી $PM^2 + 12^2 = 13^2$,જે $PM^2 = 169 - 144 = 25$ આપે છે,તેથી $PM = 5 \, cm$. બે કિસ્સાઓ શક્ય છે: જીવાઓ કેન્દ્રની એક જ બાજુએ અથવા વિરુદ્ધ બાજુએ હોય. કિસ્સો $1$: જીવાઓ વિરુદ્ધ બાજુએ છે. અંતર $MN = PM + PN = 17 \, cm$. $PM = 5 \, cm$ હોવાથી,$PN = 17 - 5 = 12 \, cm$. $\triangle PNC$ માં,$PN^2 + CN^2 = PC^2$,તેથી $12^2 + CN^2 = 13^2$,જે $CN^2 = 169 - 144 = 25$ આપે છે,તેથી $CN = 5 \, cm$. આમ,$CD = 2 \times CN = 10 \, cm$. કિસ્સો $2$: જીવાઓ એક જ બાજુએ છે. અંતર $MN = |PM - PN| = 17 \, cm$. $PM = 5 \, cm$ હોવાથી,$PN$ એ $22 \, cm$ અથવા $-12 \, cm$ થાય,જે અશક્ય છે કારણ કે ત્રિજ્યા $13 \, cm$ છે. તેથી,$CD = 10 \, cm$.

(B) ધારો કે ત્રિજ્યા $r = 50 \, cm$ છે. ધારો કે $M$ અને $N$ એ અનુક્રમે જીવા $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$AB = 80 \, cm$ હોવાથી,$AM = MB = 40 \, cm$ થાય.
$\triangle PMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PM^2 + AM^2 = PA^2$.
$PM^2 + 40^2 = 50^2 \implies PM^2 = 2500 - 1600 = 900 \implies PM = 30 \, cm$.
કેન્દ્ર $P$ એ જીવાઓની વચ્ચે નથી,તેથી જીવાઓ વચ્ચેનું અંતર $PN - PM = 10 \, cm$ થાય.
$PN = 10 + PM = 10 + 30 = 40 \, cm$.
$\triangle PNC$ માં,$PN^2 + NC^2 = PC^2$.
$40^2 + NC^2 = 50^2 \implies 1600 + NC^2 = 2500 \implies NC^2 = 900 \implies NC = 30 \, cm$.
$N$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$CD = 2 \times NC = 2 \times 30 = 60 \, cm$ થાય.

(C) વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાયેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
અહીં,ચાપ $AB$ એ કેન્દ્ર $P$ આગળ $\angle APB$ અને વર્તુળના બાકીના ભાગ પર $\angle ACB$ આંતરે છે.
તેથી,$\angle APB = 2 \angle ACB$.
આપેલ છે કે $\angle ACB = 50^{\circ}$.
કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\angle APB = 2 \times 50^{\circ} = 100^{\circ}$.
આમ,$\angle APB$ નું માપ $100^{\circ}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $AB$ એ $P$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળની જીવા છે. બિંદુ $C$ એ ગુરુચાપ $AB$ પરનું એક બિંદુ છે.
આપણને $\angle APB = 130^{\circ}$ આપેલ છે.
વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાયેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle APB = 2 \angle ACB$.
આપેલ કિંમત મૂકતા:
$130^{\circ} = 2 \angle ACB$
$\angle ACB = \frac{130^{\circ}}{2} = 65^{\circ}$.
આમ,$\angle ACB = 65^{\circ}$.

(A) આપેલ છે કે $AB$ એ $P$ કેન્દ્રિત વર્તુળની જીવા છે. બિંદુ $C$ એ ગુરુચાપ $AB$ પરનું બિંદુ છે.
વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાતો ખૂણો એ વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરાતા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle APB = 2 \angle ACB$.
આપેલ છે કે $\angle ACB + \angle APB = 135^{\circ}$.
આપેલ સમીકરણમાં $\angle APB = 2 \angle ACB$ મૂકતા:
$\angle ACB + 2 \angle ACB = 135^{\circ}$
$3 \angle ACB = 135^{\circ}$
$\angle ACB = \frac{135^{\circ}}{3} = 45^{\circ}$.
હવે,$\angle APB$ ની ગણતરી કરતા:
$\angle APB = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$.
આમ,$\angle ACB = 45^{\circ}$ અને $\angle APB = 90^{\circ}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle BDC = \angle BAC$.
આપેલ છે કે $\angle BAC = 50^{\circ}$,તેથી $\angle BDC = 50^{\circ}$.
હવે,$\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC$.
કિંમતો મૂકતા,$\angle ADC = 45^{\circ} + 50^{\circ} = 95^{\circ}$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ ચક્રીય હોવાથી,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$.
$\angle ABC + 95^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle ABC = 180^{\circ} - 95^{\circ} = 85^{\circ}$.

(N/A) ધારો કે $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $AB$ અને $AC$ એ બે વર્તુળોના વ્યાસ છે. આ વર્તુળો એકબીજાને બિંદુઓ $A$ અને $P$ માં છેદે છે.
સામાન્ય જીવા $AP$ દોરો.
$AB$ એ વ્યાસ હોવાથી,$\angle APB$ એ અર્ધવર્તુળનો ખૂણો છે.
$\therefore \angle APB = 90^{\circ}$.
$AC$ એ વ્યાસ હોવાથી,$\angle APC$ એ અર્ધવર્તુળનો ખૂણો છે.
$\therefore \angle APC = 90^{\circ}$.
આ બે સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle APB + \angle APC = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle APB$ અને $\angle APC$ એ સામાન્ય ભુજ $AP$ ધરાવતા પાસપાસેના ખૂણા છે અને તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,તેઓ રૈખિક જોડના ખૂણા બનાવે છે.
તેથી,બિંદુઓ $B, P$ અને $C$ એક જ રેખા પર આવેલા હોવા જોઈએ.
આમ,વર્તુળોનું છેદબિંદુ $P$ એ ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુ $BC$ પર આવેલું છે.

(N/A) ત્રિકોણ $ABC$ ના ખૂણાઓ $\angle A, \angle B$ અને $\angle C$ ના દ્વિભાજકો ત્રિકોણ $ABC$ ના પરિવર્તને અનુક્રમે $D, E$ અને $F$ માં છેદે છે.
$\angle FDE = \angle FDA + \angle EDA$ (પાસેના ખૂણાઓ)
$= \angle FCA + \angle EBA$ (વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે)
$= \frac{1}{2} \angle C + \frac{1}{2} \angle B$ (કારણ કે $AD, BE, CF$ ખૂણાના દ્વિભાજકો છે)
$= \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$
$= \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A)$ (કારણ કે $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$)
$= 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$
આમ,$\angle FDE = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$.
તે જ રીતે,$\angle DEF = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B$ અને $\angle EFD = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle C$.