ત્રિકોણ $ABC$ નું પરિકેન્દ્ર $O$ છે. સાબિત કરો કે $\angle OBC + \angle BAC = 90^{\circ}$.

(N/A) $ABC$ એક ત્રિકોણ છે અને $O$ પરિકેન્દ્ર છે.
$OD \perp BC$ દોરો. $OB$ અને $OC$ ને જોડો.
કાટકોણ $\Delta OBD$ અને કાટકોણ $\Delta OCD$ માં,આપણી પાસે છે:
કર્ણ $OB =$ કર્ણ $OC$ [એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ]
$OD = OD$ [સામાન્ય બાજુ]
$\therefore \Delta OBD \cong \Delta OCD$ [$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ]
$\therefore \angle 1 = \angle 2$ અને $\angle 3 = \angle 4$ [$CPCT$]
હવે,$\angle BOC = 2 \angle BAC$ [કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો પરિઘ આગળના ખૂણા કરતા બમણો હોય છે]
વળી,$\Delta OBC$ માં,$OB = OC$,તેથી $\angle 3 = \angle 4$.
$\Delta OBD$ માં,$\angle 3 + \angle 1 + 90^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 3 + \angle 1 = 90^{\circ}$.
$\angle BOC = 2 \angle 1 + 2 \angle 2$ અને $\angle BOC = 2 \angle BAC$ હોવાથી,આપણને $\angle 1 + \angle 2 = \angle BAC$ મળે છે.
$\angle 1 = \angle 2$ હોવાથી,$2 \angle 1 = \angle BAC$,અથવા $\angle 1 = \frac{1}{2} \angle BAC$.
આ કિંમત $\angle 3 + \angle 1 = 90^{\circ}$ માં મૂકતા,આપણને $\angle OBC + \angle BAC = 90^{\circ}$ મળે છે (જ્યાં $\angle OBC = \angle 3$).
આમ,સાબિત થાય છે.